Ingeniera en Automatizacin y Robtica

Informe de modelado en MATLAB (Parte b y c)Instrumentacin Industrial

ContenidoIntroduccin3Planteo del ejercicio3Pregunta a)5Codigo MATLAB5Anlisis de resultados6Pregunta b)7Codigo MATLAB7Anlisis de resultados11Pregunta c)12Cdigo MATLAB12Anlisis de resultados13

Introduccin

El presente informe tiene como objetivo determinar la respuesta de una planta donde se llena un contenedor de agua a travs de una bomba hidrulica, controlando el flujo de agua y el nivel del estanque. Modelaremos y analizaremos con el programa MATLAB como es la respuesta del sistema al considerar distintos factores que pueden influir en un proceso real. Analizaremos como funcionaria si fuese un sistema en lazo abierto y en lazo cerrado y determinaremos el tipo de respuesta que muestran los grficos generados. Variaremos la ganancia y determinaremos para que valores de la ganancia se producen oscilaciones en el sistema. En definitiva, buscaremos estudiar el comportamiento de esta planta al variar el tipo de control.Planteo del ejercicio

En la figura se muestra un sistema formado por una bomba hidrulica que genera un caudal para el llenado del depsito:

Ecuaciones:

+_

La bomba es accionada mediante una seal entre 0 y 10 volt; el caudal generado se mide mediante un sensor que proporciona una seal variable de rango 0-10 volt. El deposito es cilndrico de radio 4 cm (rea A=50.27 cm2) y la altura mxima de 10 cm. Un sensor proporciona una seal entre 0 y 10 volt para medir la altura del depsito, con offset ajustable (altura inicial h0=0 cm 0.26 V; altura final h=10 cm 9.8V).El caudal de salida qs (t) se gobierna con una vlvula de vaciado de accionamiento manual (posicin a=0, vlvula cerrada; a=1 vlvula abierta).Se pide:a) Comparar la evolucin del caudal de la bomba qe(t) y la altura del depsito h(t) en lazo abierto cuando se suministra una entrada u(t) constante de 5 volt.b) Si se realimenta unitariamente todo el conjunto, obtener la nueva evolucin del caudal de la bomba y de la altura del depsito con entrada constante de 5 volt.Calcular los polos y el coeficiente de amortiguamiento del sistema.c) Dibujar el lugar de las races del sistema, determinando con qu valor adicional de K la altura del depsito pasa a tener sobre oscilacin; en este caso, obtener los nuevos valores de los polos en lazo cerrado, el coeficiente de amortiguamiento y el valor de ganancia esttica del conjunto.

Pregunta a)

Codigo MATLAB

>> ut=sym(5)>> h0=0.26>> A=50.27>> Us=laplace(ut)>> Us=tf([5],[1 0])>> G1=tf([0.3],[0.407 1])>> G2=tf([1],[A 0])>> G3=tf([1],[2*sqrt(h0)])>> Qes=Us*G1>> Ge1=feedback(G2,G3)>> Hs=Qes*Ge1>> syms s>> Q=1.5/(0.407*s^2+s)>> qt=ilaplace(Q)>> H=1.53/(20.87*s^3+51.67*s^2+s)>> ht=ilaplace(H)>> ezplot(qt,[0 10 0 2])>> hold on>> grid on>> ezplot(ht,[0 10 0 2])

Grfico 1 representacin grfica de (lnea azul) y (lnea roja)Anlisis de resultados

Analizando el grafico 1 se aprecia como el caudal alcanza rpidamente su valor mximo sin haber oscilaciones de ningn tipo, o sea, de manera crticamente amortiguada aproximadamente en el tiempo . Esto quiere decir que la bomba hidrulica tiene la fuerza suficiente como para generar de forma rpida y efectiva el caudal requerido. Paralelamente la altura comienza a aumentar inmediatamente pero de forma bastante lenta, seguido de un aumento ms rpido luego de que se estabiliza en su asntota. Esto est dado, evidentemente, por el bajo nivel de caudal que hay en un principio y cuando ste se estabiliza se aprecia que el nivel sube de forma constante y lineal, ya que la forma del estanque (cilndrico) as lo permite. Por tanto podemos concluir que la configuracin utilizada fue la correcta, ya que se logr estabilizar el proceso (en teora) de manera rpida y sin oscilaciones. Decimos que se cumple en teora ya que en el proceso real hay perturbaciones, como la espuma del agua o la agitacin dentro del tanque, que podran generar desviaciones en lo previsto y en las medidas que se obtienen por ejemplo del sensor de nivel.

Pregunta b)

Se le agrega una realimentacin unitaria al sistema desde la salida hasta la entrada El sistema queda representado a continuacin.

+_+_

Codigo MATLAB

>> ut=sym(5)>> h0=0.26>> A=50.27>> Us=laplace(ut)>> Us=tf([5],[1 0])>> G1=tf([0.3],[0.407 1])>> G2=tf([1],[A 0])>> G3=tf([1],[2*sqrt(h0)])>> Ge1=feedback(G2,G3)>> Ge2=feedback(Ge1,1)>> Gs=Ge2>> Gs=zpk(Gs)>> Hs=Us*Ge2>> Qes=(Us-Hs)*G1>> syms s>> Q=(76.9*s^2+1.5*s)/(20.87*s^4+52.09*s^3+2.02*s^2)>> qt=ilaplace(Q)>> H=5.099/(51.27*s^2+2.02*s)>> ht=ilaplace(H)>> ezplot(qt,[0 50 0 2])>> hold on>> grid on>> ezplot(ht,[0 50 0 3])>> hold off>> pzmap(Gs)>> grid on

Grfico 2 Representacin de

Grfico 3 Representacin de

Grfico 4 Ubicacin de polos de la funcin

Grfico 5 Respuesta al escaln del sistema.

Anlisis de resultados

La funcin de transferencia del sistema est representada por la ecuacin:

Del estudio del grafico 5 se puede concluir rpidamente que el caudal presenta un peak al inicio que lentamente decae hasta llegar a su asntota aproximadamente en .En el grafico 4 se aprecia claramente como la respuesta de la altura es considerablemente mas rpida que en el sistema sin la retroalimentacin unitaria aplicada. Esto es consecuencia de la sobreoscilacion y rpida subida del caudal . Se puede ver en la grfica que la velocidad del caudal va decayendo a medida q se llena, debido a que la realimentacin va reduciendo la salida a medida que la altura aumenta.Se puede apreciar en el grafico 5 que el sistema posee un nico polo ubicado en el semiplano izquierdo, por lo que se concluye que el sistema es estable. Efectivamente se comprueba que la respuesta del caudal no presenta crecimiento infinitamente creciente de la salida y la altura presenta una curva rpida pero con decaimiento. Finalmente se observa que al aplicar la retroalimentacin el sistema se reduce a uno de primer orden, por lo tanto no existe un coeficiente de amortiguacin.

Pregunta c)

Cdigo MATLAB>> G1=tf([3.259*2.1904],[1 2.48 2.1904])>> G2=tf([3.259*5],[1 2.48 5])>> G3=tf([3.259*10],[1 2.48 10])>> G4=tf([3.259*20],[1 2.48 20])>> step(G1)>> hold on>> step(G2)>> hold on>> step(G3)>> hold on>> step(G4)>> hold on>> grid on>> hold off>> pzmap(G1)>> hold on>> pzmap(G2)>> hold on>> pzmap(G3)>> hold on>> pzmap(G4)>> hold on>> grid onAnlisis de resultadosDe la situacin original del sistema se tiene la funcin de transferencia:

En comparacin con la ecuacin estndar de un sistema de segundo orden:

Donde es la ganancia del sistemaEn la funcin de transferencia del sistema, se factoriza el denominador por . El factor extraido se aade al numerador resultando

Siendo el factor la ganancia esttica del sistema.De la ecuacin anterior se deduce que:

Para que el sistema presente oscilacin se debe cumplir que por lo que interesa saber para que valor de se cumple . Para ello se despeja:

Con este nuevo valor de K se obtiene un sistema crticamente amortiguado y la funcin de transferencia nueva es:

Finalmente, un sistema con sobreoscilacin seria aquel donde .Se decide utilizar como caso de estudio para que la oscilacin sea visible, con la funcin de transferencia dada por:

Tambin se trabajan las funciones de transferencia donde , y , para demostrar el aumento de las sobreoscilaciones a medida que la ganancia aumenta.

Grfico 6 Representacin de las respuestas del sistema cuando la ganancia varia. (Lnea azul , lnea naranja , lnea amarilla , lnea purpura ). Se aprecia claramente como a medida que se aumenta la ganancia del sistema, la cantidad y amplitud de las oscilaciones aumenta.

Grfico 7 Dibujo de la ubicacin de los polos del sistema para variadas ganancias. (Azul , naranja , amarilla , purpura ). Se puede ver que a medida que la ganancia aumenta, los polos van abrindose ms.

Demostramos as que, una vez superado el valor de la ganancia para el cual el sistema queda crticamente amortiguado, se produce una sobre oscilacin. Que para nuestro caso ser con cualquier ganancia superior a . Y claramente a un mayor valor de la ganancia mayor ser la oscilacin inicial del sistema. Lo mismo ocurre con los polos que si bien, para los valores aqu dados, se encuentran siempre en el semiplano izquierdo y por tanto indican que es un sistema estable, se hacen cada vez ms dispersos a medida que aumenta la ganancia.sbado, 25 de julio de 201515