Informe Evaluación en Línea 2016 Área Matemática · existen entre las operaciones y sus...

Informe Evaluación en línea Pruebas Formativas Área Matemática Julio 2016

DIEE - DSPE - ANEP

Informe Evaluación en Línea – Pruebas Formativas – Área Matemática – Año 2016

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Contenido

1. Presentación 3

2. Las operaciones y sus significados 4

2.1 Introducción ............................................................................................ 4

2.2 Las estructuras aditivas .............................................................................. 5

2.2.1 Actividad Venta de entradas ................................................................... 6

2.2.2 Actividad Olimpíada Río 6 ..................................................................... 8

2.2.3 Actividad Más niñas ............................................................................ 10

2.3 Las estructuras multiplicativas .................................................................... 13

2.3.1 Actividad El festival 1 ......................................................................... 14

2.3.2 Actividad Tazas de café ........................................................................ 16

2.3.3 Actividad Entrega de libros................................................................... 18

2.4 A modo de cierre .................................................................................... 21

2.5 Referencias bibliográficas .......................................................................... 22

3. De las tareas y las habilidades en Geometría 23

3.1 Introducción ........................................................................................... 23

3.2 Análisis de las actividades ...................................................................... 25

3.2.1 Actividad ¿Es rectángulo? .................................................................... 25

3.2.2 Actividad Recortando el cuadrado ......................................................... 27

3.2.3 Actividad Trazado de triángulo equilátero ................................................ 30

3.3 A modo de cierre .................................................................................. 33

3.4 Referencias bibliográficas ....................................................................... 34

ANEXO I – Tablas de especificaciones en el área de Matemática_2016 35

ANEXO II 36


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1. PresentaciónLa evaluación es parte inherente al proceso educativo y constituye en sí misma una actividad sumamente compleja que puede enfocarse desde diferentes marcos teóricos. Por esta razón, docentes y técnicos de la DIEE siempre han mostrado preocupación por definir esta evaluación como proceso que no prioriza resultados, sino que se centra en las discusiones pedagógicas que las pruebas puedan desencadenar en cada centro educativo. La evaluación en línea pretende acompañar el trabajo de los docentes en las aulas y colaborar con ellos para brindar datos que permitan realizar intervenciones oportunas para la mejora de los aprendizajes de los alumnos. Si bien las pruebas son elaboradas en forma externa al aula, todo el resto del proceso queda en manos del docente: desde la aplicación del instrumento, el análisis de los datos, las reflexiones a partir de ellos, hasta las intervenciones necesarias para redireccionar las prácticas de enseñanza.

El carácter formativo de la evaluación en línea supone entonces colaborar con los docentes mediante el aporte de un instrumento de evaluación que brinda insumos para la reflexión en el colectivo docente favoreciendo el pensar juntos nuevas estrategias en pro de mejorar los aprendizajes de los alumnos en cada centro educativo. El valor agregado de esta evaluación es el análisis de los resultados, la interpretación de los errores y de los aciertos, pero sobre todo que estos análisis se realicen de forma colectiva en cada escuela. La importancia radica en poder compartir reflexiones y generar acuerdos a nivel de centro sobre distintos énfasis curriculares y modalidades de trabajo.

En función de lo anterior, el trabajo que realizan los maestros en las salas docentes que se llevan a cabo luego de cada ciclo de evaluación es fundamental para analizar colectivamente los resultados. Este informe pretende aportar a estas instancias de encuentro en cada centro y brindar información sustantiva, junto con los resultados nacionales de las distintas pruebas aplicadas.

Para analizar los resultados de las pruebas es importante tener en cuenta que las actividades fueron seleccionadas considerando el carácter formativo de la evaluación. En función de este objetivo las actividades propuestas están elaboradas pensando en su potencialidad para generar espacios de reflexión-acción. Por esta razón, algunas de las actividades propuestas podrían ser categorizadas como difíciles para los alumnos del grado en el que se proponen, o algunos de los conocimientos no haber sido abordados en clase al momento de aplicar las pruebas. Esto sería totalmente inadecuado si las pruebas fueran sumativas y su objetivo fuera acreditar los conocimientos de los alumnos. Pero en el caso de la evaluación en línea, su carácter formativo hace que las actividades sean, en algunos casos, mojones intermedios en el camino del aprendizaje y, en otros, el “puntapié” inicial a partir del cual abordar nuevos conocimientos.

Como en todos ciclos, las pruebas de cada una de las áreas tienen algunas actividades comunes a los distintos grados escolares. Los resultados de ellas pueden ser analizados transversalmente para captar la diversidad de desempeños entre los distintos niveles. También en esta oportunidad se han puesto a disposición de los maestros materiales complementarios que describen los instrumentos de evaluación y tienen como objetivo hacer visibles los criterios y fundamentos de las pruebas y que explicitan el sustento de las propuestas de evaluación de cada área.


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El informe de Matemática toma dos ejes de análisis a partir de las actividades propuestas en la prueba: el significado de las operaciones aritméticas y las tareas y habilidades que se desarrollan a través de las actividades en Geometría.

El primero de los ejes busca analizar cómo se desempeñan los estudiantes frente a actividades que se resuelven mediante una misma operación aritmética pero con distinto significado en función de la situación.

El segundo eje pretende dar cuenta de cómo influyen el tipo de tareas que se le propone a los estudiantes, en el abordaje de la Geometría, en el desarrollo de ciertas habilidades como lo son la visualización, la conceptualización o la validación.

Al final del informe, en el anexo I, se presentan las tablas de especificaciones de las pruebas propuestas en este ciclo; en el anexo II se ofrecen los resultados de cada una de las actividades agregados a nivel nacional. Dado que las condiciones de aplicación de pruebas no son homogéneas, sino que responden a las decisiones de cada maestro, los resultados nacionales solo deben interpretarse como una tendencia global.

Esperamos que los temas aquí abordados les sean de utilidad para sus prácticas docentes.

2. Las operaciones y sus significados

2.1 Introducción

Si bien durante todo el ciclo escolar se trabaja con las operaciones en los diferentes conjuntos numéricos, lograr el desarrollo de la competencia operatoria implica mucho más que el dominio de las técnicas de cálculo y de los algoritmos, es así que en el Programa de Educación Inicial y Primaria ANEP-CEP (2008, p.62) se explicita “Cuando se habla de operaciones no se hace referencia a “hacer cuentas”, sino a conocer y poner en juego los conceptos y las relaciones que la operación representa.”

En el propio programa se destaca la necesidad de tener presentes todos los aspectos involucrados en las operaciones, entre ellos, los distintos significados de las operaciones ya que éstos contribuyen a construir el sentido de cada operación. En este sentido Jung, Laborde y Lujambio (2011, p.3) plantean que los significados de las operaciones refieren a un “contenido de carácter didáctico, que implica contemplar las distintas situaciones de uso en las que se enmarcan las operaciones” en el entendido que el contexto, cotidiano o no, es el que habilita su análisis y genera, dependiendo de la situación elegida, diferentes relaciones.

A su vez Rodríguez Rava y Palumbo (2005) plantean que el trabajar los distintos significados de las operaciones favorece la identificación por parte de los estudiantes de las relaciones que existen entre las operaciones y sus propiedades.

Rodríguez Rava (2005, p. 131) apoya esta idea argumentando que las operaciones cobran significado a través de los problemas que resuelve por lo que “Para la enseñanza de las operaciones se hace necesario el planteo de situaciones en diversos contextos, para impedir que los alumnos “aten” un conocimiento a un único contexto”

Por lo tanto adquiere sentido que los estudiantes recorran distintas situaciones, entendidas estas como tareas, que se resuelven mediante la misma operación (igual operación distinto


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significado) y a su vez otras que si bien tienen el mismo significado, al variar el lugar de la incógnita, cambia la operación que permite resolverla.

Esta sección del informe del área sobre la Evaluación Formativa 2016 se focalizará en el análisis de actividades que involucran estructuras aditivas y multiplicativas.

2.2 Las estructuras aditivas

Según Vergnaud (1990)

El campo conceptual de las estructuras aditivas es a la vez el conjunto de las situaciones cuyo tratamiento implica una o varias adiciones o sustracciones, y el conjunto de conceptos y teoremas que permiten analizar estas situaciones como tareas matemáticas (…)

Una idea arraigada es que los “problemas de suma” son más fáciles que “los de resta”, sin embargo, sabemos, como señalan Jung y otros, que la dificultad de un problema radica en cómo se entretejen los datos del problema y no en la operación que lo resuelve.

Como menciona Vergnaud (1990, p.8) “toda situación puede ser reducida a una combinación de relaciones de base con datos conocidos y desconocidos”, se analizará en este informe las relaciones aditivas base presentes en algunas de las actividades de prueba según la siguiente categorización planteada por este mismo autor (p. 11).

(…) se pueden identificar seis relaciones aditivas de base, a partir de las cuales se pueden engendrar todos los problemas de adición y sustracción de la aritmética ordinaria.

I. La composición de dos medidas en una tercera II. La transformación (cuantificada) de una medida inicial en una medida finalIII. La relación (cuantificada) de comparación entre dos medidasIV. La composición de dos transformacionesV. La transformación de una relación VI. La composición de dos relaciones

Estas relaciones pueden dar lugar a problemas que se resuelven mediante una adición o una sustracción y estas operaciones pueden estar asociadas a distintos significados.


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2.2.1 Actividad Venta de entradas

Una de las actividades propuestas en la evaluación formativa 2016 es Venta de entradas. Esta actividad es transversal, integra las pruebas de los 4 grados escolares evaluados (3°a 6°).

ACTIVIDAD Venta de entradas

Código MAT2191

Dominio Números

Contenido Operaciones

Sub-contenido Adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

Competencia Resolver problemas

Aplicación Transversal: 3°, 4°, 5° y 6°

Objetivo Resolver una situación aditiva. Perfil de Egreso (3°)

Resolver situaciones en las que la variación de la incógnita permita identificar la relación entre la suma y la resta.

Opciones Justificación de las opciones % de respuestas

3° 4° 5° 6°

A

RESPUESTA CORRECTA Interpreta correctamente la consigna del problema, y diseña una estrategia que le permite calcular las entradas que no fueron vendidas. Puede efectuar, entre otros variados cálculos: 95 + 50 = 145 y 180 - 145 = 35 ó 180 - 95 = 85 y 85 - 50 = 35

41 52 61 74

B No interpreta la consigna del problema o realiza un procedimiento incompleto, calculando las entradas que quedaron a la venta sin descontar las vendidas por Internet. Efectúa: 180 - 95.

13 13 12 7

C No interpreta la consigna del problema o realiza un procedimiento incompleto, calculando solamente las entradas que fueron vendidas. Efectúa: 95 + 50.

27 26 21 16

D

No interpreta la consigna del problema, y suma todos los datos disponibles, 180+ 95 + 50 ó Interpreta la consigna del problema, infieriendo que 95 + 50 + ? = 180, pero se confunde o no sabe cómo despejar la incógnita, y efectúa directamente, ? = 180 + 95 + 50. No valida la pertinencia del resultado finalmente obtenido.

17 9 6 3

Omisión 2 1 1 0


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La resolución del problema planteado implica elaborar una estrategia de dos pasos, relacionados con los cálculos 180-(95+50) o 180-95-50.

Según las relaciones aditivas de base que menciona Vergnaud, la relación presente en la actividad planteada corresponde al tipo II. En la situación hay una medida inicial (las 180 entradas o lugares disponibles de la sala) sobre la que opera una transformación (asociada a vender entradas) para dar lugar a otra medida (entradas disponibles).

Se trata de una transformación negativa o disminución (o dos transformaciones negativas en el caso del segundo cálculo mencionado) donde la incógnita se encuentra en la medida final, lo que determina que el problema se resuelva mediante una sustracción con el significado de perder o quitar. Para clarificar esta idea se puede pensar la situación de la siguiente manera: “hay 180 entradas, se venden 95 y luego otras 50, quedan….”.A continuación se muestra una representación gráfica que ilustra esta situación.

Esta idea de sustracción (quitar cierta cantidad a otra, para averiguar lo que queda) le resulta familiar a los niños ya que es frecuente en situaciones de su vida cotidiana, por lo que es de los significados que les resultan más fáciles.

Como señalan Jung y otros, a veces es difícil categorizar el problema y puede que admita distintas interpretaciones. Otra posible interpretación de este problema es quitando el foco de lo temporal y considerándolo como de composición de medidas, entradas vendidas en boletería, entradas vendidas por internet y entradas sin vender se componen en otra medida que es la del total de entradas. Efectuando el cálculo 180-(95+50) aparece, primero en la adición el significado de unir o juntar (entradas vendidas por internet y entradas vendidas en boletería) y luego en la sustracción el de separar (hay una colección que se separa en grupos, no se pierden elementos).

Con cualquiera de los significados de la sustracción considerados, se evidencia en los resultados obtenidos en la aplicación que no son de los significados que presentan mayores dificultades para los alumnos. Fíjese que a pesar de la dificultad relacionada a los números involucrados (números de hasta 3 cifras) y a pesar de ser una situación que se resuelve en 2 pasos, los porcentajes de respuesta correcta varían entre el 41% y el 74% entre 3ro y 6to respectivamente, resultando un ítem de dificultad media para los alumnos de 3ro y fácil para los de 6to año.

En todos los grados el distractor más elegido es el C (145). La elección de esta opción de respuesta puede significar un procedimiento incompleto, es decir, el 145 puede ser el resultado parcial en un camino de resolución correcto, calcular el total de entradas vendidas a través de los distintos medios (95 + 50) para luego restarlos a la cantidad de entradas disponibles en un principio (180). O bien puede significar una interpretación equivocada de la situación respondiendo con la cantidad de entradas vendidas.

La opción B (85) también puede significar un procedimiento incompleto de resolución. En este caso el alumno resta únicamente las entradas vendidas en la boletería y no considera las


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entradas vendidas por internet. Esta opción es seleccionada por un porcentaje pequeño de estudiantes en todos los grados (entre un 7% y 13%).

Como se mencionó anteriormente esta actividad fue propuesta para los cuatro grados escolares evaluados y en relación a los resultados obtenidos se observa progreso en todos los grados, aumentando aproximadamente un 10% de respuesta correcta en cada nivel. Esto evidencia un avance significativo en el logro de este tipo de problemas relacionados a situaciones aditivas.

2.2.2 Actividad Olimpíada Río 6

La segunda actividad relacionada al tema abordado de significados de las operaciones que se analizará corresponde a Olimpíadas Rio 6. Esta actividad fue planteada en la prueba de 3er. año.

ACTIVIDAD Olimpíadas Río 6

Código MAT2232

Dominio Números




Aplicación 3°

Objetivo Resolver una situación aditiva a partir de información gráfica. Perfil de Egreso (3°)

Resolver situaciones en las que la variación del lugar de la incógnita permita Identificar la relación entre la suma y la resta.


A Responde con uno de los datos o reconoce que 10+6=16 pero responde con el otro sumando.

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B RESPUESTA CORRECTA Identifica que la situación se resuelve con una sustracción, calculando la diferencia entre 16 y 6.

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C Responde con uno de los datos o comete error en el algoritmo al restar las cifras en el lugar de las unidades, hace 6 - 6 = 6.

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D Interpreta el vocablo "más" de la consigna como la suma de los juegos mencionados (6+16).

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Omisión 1


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En este caso el problema es relativamente sencillo: se resuelve mediante una única operación, la sustracción 16-6 y no requiere elaborar una estrategia de varios pasos; los números son “pequeños” (números de 2 cifras o menos) que incluso pueden favorecer estrategias de resolución de tipo conteo o sobreconteo y además la información se presenta en un gráfico donde aparecen explícitamente los datos.

Sin embargo, a pesar de que todas estas características mencionadas muestran la simplicidad del problema, se presenta una dificultad relacionada al significado de la sustracción que aparece aquí presente.

Este problema refiere a la relación básica mencionada por Vergnaud del tipo III: La relación (cuantificada) de comparación entre dos medidas. Aquí las cantidades no sufren ninguna alteración, hay una cantidad que es la que se compara en relación a otra que hace de referente. Justamente, el significado que se aborda en este problema es el de Igualación o Comparación, esto implica comparar dos cantidades y averiguar lo que le falta a una para igualar a la otra. La pregunta “¿Cuántos Juegos olímpicos más se celebraron en Europa que en América del Norte?” coloca al alumno en situación de responder con una cantidad que exprese numéricamente la comparación solicitada, es decir buscar la diferencia entre las cantidades correspondientes a los juegos olímpicos en estos dos continentes. La siguiente figura muestra un posible esquema para la situación.

Algunos investigadores1 señalan que el significado de encontrar una diferencia resulta menos simple que el de quitar o disminuir, incluso a veces se indica que este último significado se construye aún sin ir a la escuela.

Cabe destacar también otro tipo de dificultad, como señalan Jung y otros (2011, p. 14), en algunos problemas de este tipo “existe una incongruencia lingüística, ya que se pregunta ¿Cuántos más tiene? y el problema se resuelve con una resta. El marcador semántico “más” agrega dificultad a la situación.” Este tipo de problemas donde en el enunciado aparecen palabras clave (más, menos) que resultan incongruentes en algunos casos con la operación que se requiere para resolverlo presentan una dificultad adicional.

En relación a los resultados obtenidos en la aplicación esta actividad obtiene el mismo porcentaje de respuesta correcta en tercer año que el ítem Venta de entradas (41%). Si bien ambos problemas se resuelven mediante sustracciones, como ya se mencionó, en uno de los problemas los números son mucho más “manejables” (facilitando estrategias de conteo y sobreconteo) y el problema involucra un solo paso mientras que en el otro aparecen números de

1 Alicia Ávila, “Problemas fáciles y problemas difíciles” Y Verschaffel,L y De Corte, E. (1996). “Number and Arithmetic” en Bishop, A.J. y otros. International Handbook of Mathematics Education.


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hasta 3 cifras, la estrategia es de dos pasos y sin embargo se obtiene el mismo porcentaje de respuesta correcta. Esto evidencia lo señalado en relación a la dificultad intrínseca implicada en los distintos significados de las operaciones.

De las opciones no correctas la que registra un mayor porcentaje de elección es la C (16), con un 27% de las respuestas. Aquí la hipótesis de error es que los alumnos que seleccionan esta opción o bien responden con uno de los datos, la cantidad de juegos olímpicos que se celebraron enEuropa evidenciando deficiencias en la comprensión de la pregunta, o quizás cometen error al realizar el algoritmo de la resta con los números 16 y 6, calculando 6-6=6 (tal vez esto último no es muy factible ya que no es probable que planteen el algoritmo para resolver esta situación). Con un poco menos de elección se encuentra la opción D (22), relacionada al error de sumar los números en lugar de restar, quizás favorecida por la dificultad lingüística analizada anteriormente. Esta opción es elegida por un 18% de los estudiantes por lo que no se evidencia claramente que la expresión “más” induzca a un error en la elección de la operación para resolver la situación.

2.2.3 Actividad Más niñas

Resulta interesante mostrar también un problema que resulta de la combinación de algunas de las relaciones aditivas presentes en la tipología básica de Vergnaud. Este es el problema Más niñas propuesto en la prueba de 6°año.

Aquí la situación plantea una combinación de las relaciones I (La composición de dos medidas en una tercera) y III (Comparación entre dos medidas). En primer lugar, las dos medidas involucradas son la cantidad de niñas y la cantidad de varones que se componen para formar la cantidad de alumnos de la clase. Por otro lado, existe una relación de comparación entre la cantidad de niñas y la cantidad de niños, dada en el enunciado mediante la frase “hay 3 niñas más que varones”. La siguiente figura muestra los esquemas elaborados por Vergnaud para ilustrar las relaciones I y III y también un esquema elaborado que muestra cómo aparecen esas relaciones en el problema mencionado.

Esquema teórico (Vergnaud) Esquema de la actividad


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ACTIVIDAD Más niñas

Código MAT2202

Dominio Números




Aplicación 6°

Objetivo Reconocer la relación entre la cantidad de elementos de dos subconjuntos de un conjunto dado para calcular.

Perfil de Egreso (6°)

Resolver situaciones de cálculo pensado, algorítmico, exacto, aproximado y con calculadora, utilizando estrategias personales o algoritmos convencionales con números naturales y racionales.


A Responde con la cantidad de varones que hay en la clase. Efectúa 29-3= 26; 26:2=13

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B

RESPUESTA CORRECTA Posibles procedimientos: 1) Divide entre 2 el número obtenido de restarle 3 a la cantidad totalde estudiantes de la clase y a ese resultado le suma 3. Efectúa: 29-3=26; 26:2=13; 13+3=16

2) Suma 3 a la cantidad total de estudiantes de la clase y eseresultado lo divide entre 2. Efectúa: 29+3=32; 32:2=16

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C

Procedimiento incorrecto. Divide entre 2 la cantidad total de estudiantes de la clase. Elige la parte entera del cociente obtenido y le suma 3. Efectúa: 29:2=14.5; 14+3=17

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D Responde con el número que obtiene de restarle 3 a la cantidad total de estudiantes.

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Omisión 0


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El problema resulta complejo no solo por las relaciones involucradas sino también por el lugar en que aparece la incógnita en ambas relaciones. En la relación I solo se conoce la cantidad de alumnos, se desconoce tanto la cantidad de niñas como la de varones. En la relación III se desconocen ambas cantidades (la menor, cantidad de varones y la mayor, cantidad de niñas), solo se conoce la comparación (3 más). Por lo tanto para resolver el problema se deben descomponer las relaciones en problemas simples y vincular las medidas presentes en ambas.

En relación a los resultados obtenidos, el 45% de los alumnos de 6°año responden correctamente a la actividad. De las opciones erróneas, la que muestra mayor logro en las relaciones aditivas es la A (13), ya que el error refiere a responder con la cantidad de varones y no con la cantidad de niñas. Esta opción es elegida por un 12% de los alumnos.

Las opciones no correctas que registran mayor porcentaje de elección son la C (17) y D (26) con porcentajes de 23% y 19% de respuestas respectivamente. Los estudiantes que eligen estas opciones evidencian errores en alguna de las relaciones involucradas en el problema (o en ambas).

La opción C (17) surge de considerar como iguales la cantidad de niñas y niños en la relación y efectuar un razonamiento erróneo para calcular la cantidad de niños, efectuando 29:2 y tomando el cociente entero 14 (perdiendo el contexto del problema). Posteriormente estos alumnos usan este dato y trabajan de forma correcta en la relación III, es decir en la comparación: como hay 3 niñas más que varones, si los varones son 14, entonces las niñas son 14+3=17.

En el caso de la opción D (26), no se trabaja con la cantidad de niñas y varones, sino que se focaliza únicamente en las cantidades que aparecen en el enunciado y en el elemento de comparación. Interpretan que la relación “3 más” implica que se debe restar estos números para hallar la cantidad pedida, sin tener en cuenta, por un lado, que la relación “3 más” está establecida entre la cantidad de niñas y de varones, y por otro lado, que tomando el 29 como una de las cantidades de comparación (cantidad de varones), para calcular la cantidad de niñas se debería sumar 3 a esta cantidad. Puede que también esta opción resulte un procedimiento incompleto, ya que se puede arribar a la solución del problema, efectuando: 29-3=26, 26:2=13 que representa la cantidad de niños y luego 13+3=16 para obtener la cantidad de niñas.

Cabe mencionar también que los niños pueden abordar el problema mediante estrategias más artesanales, de tipo ensayo y error. Por ejemplo, teniendo en cuenta que en total hay 29 niños, el estudiante encuentra dos cantidades que sumen 29, por ejemplo 14 y 15 y considerando que debe haber “3 niñas más” manipula los conjuntos agregando y quitando elementos hasta que se cumpla la condición.


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2.3 Las estructuras multiplicativas

En primer lugar analizaremos que se entiende por estructuras multiplicativas.

El concepto de estructuras multiplicativas es un constructo teórico complejo que forma parte de uno de los cuatro campos conceptuales definidos por Vergnaud (1990) y va más allá de situaciones que se resuelven mediante la multiplicación o división o combinación de ambas,

El campo conceptual de las estructuras multiplicativas es a la vez el conjunto de situaciones cuyo tratamiento implica una o varias multiplicaciones o divisiones, y el conjunto de conceptos y teoremas que permiten analizar estas situaciones: proporción simple y proporción múltiple, función lineal y n- lineal, razón escalar directa e inversa, cociente y producto de dimensiones, combinación lineal y aplicación lineal, fracción, razón, número racional, múltiplo y divisor, etc.(Vergnaud, 1990, en la traducción de Godino, p. 8)

De esta forma se involucran en el concepto de estructuras multiplicativas los conceptos y teoremas y son las situaciones las que dan sentido a ellos aunque el sentido no está en ellas. Son los esquemas que una situación evoca en el individuo lo que constituye el sentido de esa situación. En cada situación se pone en juego un particular significado del contenido, de forma que la dificultad de la tarea estará dada por los propios conceptos matemáticos involucrados más que por las dificultades lingüísticas y por el número de elementos puestos en juego.

Es lógico pensar que los estudiantes no acceden de forma inmediata a todos los significados de un mismo concepto, se trata de un proceso por sucesivas aproximaciones, organizaciones y reorganizaciones. Según los problemas que se elijan y los contextos en los que se trabaje se ponen en juego algunos de los significados de las operaciones y se dejan fuera otros.

A su vez Vergnaud (1990) entiende que toda situación puede ser reducida a una combinación de relaciones de base con datos conocidos y desconocidos y donde los procesos cognitivos y las respuestas del sujeto están en función de esas situaciones a las que se enfrenta. En el caso de las estructuras multiplicativas se pueden distinguir tres relaciones de base o categorías de problemas: los de proporcionalidad (o isomorfismo de medidas), los de producto escalar y por último los de producto cartesiano.

En la Prueba Formativa de Matemática 2016 se plantearon distintas situaciones que se corresponden con las relaciones de base de las estructuras multiplicativas que fueron propuestas con el objetivo de aportar insumos al maestro sobre la apropiación de los estudiantes del concepto de multiplicación y división.


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2.3.1 Actividad El festival 1

El ítem El festival 1 propuesto en la prueba de 3er año y 4°año, pertenece al dominio Números y al contenido Razones y proporciones. Este ítem está clasificado dentro de la competencia Comunicar porque la relación entre las magnitudes involucradas está dada mediante una representación icónica que, aunque simple, el estudiante debe decodificar. Se corresponde también con uno de los logros que se espera que los estudiantes de 3° año escolar hayan alcanzado al egresar de ese curso “Resolver situaciones de proporcionalidad directa, en relación con los datos disponibles“ publicado en el segundo borrador del Documento Base de Análisis Curricular (agosto 2015).

ACTIVIDAD El festival 1

Código MAT2177

Dominio Números

Contenido Razones y proporciones

Sub-contenido Proporcionalidad directa

Competencia Comunicar

Aplicación 3° y 4° de Educación Primaria

Objetivo Identificar una relación de proporcionalidad a partir de un registro gráfico.


Resolver situaciones de proporcionalidad directa, en relación con los datos disponibles.

Opciones Justificación de las opciones % de respuestas 3° 4°

A Identifica la razón de proporcionalidad (2) y responde con ese número ó Responde con la cantidad de vasos de refresco de la imagen.

19 10

B No identifica la relación de proporcionalidad, asume el canje de 1 cupón por 1 refresco.

18 14

C

No identifica la relación de proporcionalidad, responde con la suma de los 4 cupones con los 2 vasos de refresco de la imagen ó Identifica la relación de proporcionalidad y responde con la cantidad de refrescos que le darán por 3 cupones porque interpreta que el de la imagen ya lo cambió.

7 5

D RESPUESTA CORRECTA Identifica la razón de proporcionalidad (2). Calcula 2 x 4 = 8 55 71

Omisión 2 1


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La situación que plantea la actividad se corresponde con una de las categorías de problemas multiplicativos que propone Vergnaud (1991), los problemas de isomorfismo de medidas. Se tratan de situaciones donde se establece un isomorfismo entre dos campos de medidas, en este caso, cantidad de cupones y cantidad de vasos de refresco.

Cantidad de cupones Cantidad de vasos de refrescos

1 2 4 x

Los números 1 y 4 representan cantidad de cupones y los números 2 y x representan cantidad de vasos de refresco. El problema multiplicativo establece una función entre estos dos campos de medida. El problema se puede resolver aplicando por lo menos dos procedimientos, el que se denomina procedimiento escalar en el que a la cantidad de refrescos (2) se le aplica el operador (× 4) obteniendo otra cantidad de vasos de refresco (2×4). El operador es escalar ya que solo establece una relación, multiplicativa en este caso, entre cantidades de la misma magnitud. Los niños también podrían llegar al resultado aplicando reiteradamente la suma, son 2 vasos de refresco por cupón y como tenemos 4 cupones podemos hacer 2+2+2+2 totalizando 8 vasos de refresco. Teniendo en cuenta esta posibilidad de razonamiento, en consonancia con lo que platea Parra (2009) en Enseñar aritmética a los más chicos, este tipo de problemas en los que se puede dar sentido a la multiplicación mediante una adaptación de sus conocimientos aditivos previos, pueden resultar más sencillos para los niños.

Por otro lado, también se podría aplicar para la resolución el procedimiento funcional

Cantidad de cupones Cantidad de vasos de refrescos

4 x× 2

La multiplicación 4 × 2 indica: 4 cupones × 2 vasos de refresco/cupón = 8 vasos de refresco En este caso el operador (×2) no es escalar, esta dimensionado (vasos de refresco/cupón).

Por supuesto que ambos procedimientos son equivalentes pero no son iguales y como manifiesta Chamorro (2003) ponen de manifiesto la complejidad que implican algunas relaciones multiplicativas, incluso las más sencillas como esta.

Este tipo de problemas multiplicativos puede considerarse de los más simples, porque si bien se establece entre los datos una relación cuaternaria, como entre ellos está la referencia a una unidad del primer campo de medidas, la situación se resuelve utilizando una única operación, la multiplicación.

En el programa escolar se explicita ya desde segundo año escolar, en el dominio Operaciones “La multiplicación y división” el trabajo con los distintos significados de las operaciones en las tres categorías que define Vergnaud. Cabe destacar que de los datos recogidos post aplicación, se observa un avance en el logro de los estudiantes de cuarto año con respecto a los de tercero. Un 55% de los estudiantes de tercero eligen la respuesta correcta mientras que ese porcentaje aumenta más de 15 puntos porcentuales llegando al 71 % entre los de cuarto. Las alternativas A(2) y B(4) son las más elegidas en cualquiera de los cursos en los que se incluyó la actividad,19 y 18% en tercero y 10 y 14% en cuarto respectivamente. Probablemente esta elección se ve favorecido por el hecho de que son valores que se explicitan en el estímulo, el 2 a través de los


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dos vasos de refresco que se muestran en la imagen que proporciona el patrón y el 4 a través de la pregunta.

2.3.2 Actividad Tazas de café

ACTIVIDAD Tazas de café

Código MAT2193

Dominio Números

Contenido Razones y proporciones

Sub-contenido Proporcionalidad directa


Aplicación 5° y 6° de Educación Primaria

Objetivo Calcular un cuarto proporcional


Resolver situaciones de proporcionalidad directa, en relación con los datos disponibles.


5° 6°

A

RESPUESTA CORRECTA

Identifica la relación de proporcionalidad.

Ó Reconoce que la cantidad de cucharadas de café corresponden a la mitad de la cantidad de tazas de café que se obtienen. Calcula la mitad de 2.

52 64

B Responde con el coeficiente de proporcionalidad entre tazas de café y las cucharadas de café o asume que se utiliza 1 cucharada de café por taza.

13 10

C Responde con la razón entre la cantidad de tazas (6 y 2) 15 11

D

Plantea mal o la proporción ó la plantea bien pero la resuelve mal; efectúa x =6x2:3.

ó Identifica la relación “doble” entre las tazas de café y las cucharadas de café y la aplica pero entre las cucharadas de café y las tazas donde la relación existente es “mitad”.

20 15

Omisión 1 1


17

Una segunda actividad que se enmarca en las situaciones multiplicativas es Tazas de café. Esta actividad se propuso en las pruebas de 5° y 6° año y en el caso de este último grado se corresponde con uno de los perfiles de egreso explicitados en el segundo borrador del Documento Base de Análisis Curricular (agosto 2015): “Resolver situaciones de proporcionalidad directa, en relación con los datos disponibles”.

En ella se ponen en relación dos conjuntos, cantidad de tazas de café y cantidad de cucharadas de café, si bien también corresponde a problemas de isomorfismo de medidas, es más complejo que el anterior porque entre los datos no está dada la correspondencia con la unidad del primer campo de medidas (tazas de café) lo que hace que entre en la categoría “cuarta proporcional” dentro de las estructuras multiplicativas (Vergnaud,1990).

Esta circunstancia de no estar dada explícitamente la correspondencia con la unidad hace que, si para hallar ese cuarto proporcional se plantea la proporción o la clásica “regla de tres” el estudiante deba hacer dos operaciones, una multiplicación y una división. Sin embargo, tanto los números involucrados, como los cursos en los que se planteo la actividad (5° y 6° año escolar), como la frecuentación de este contenido en el aula, podrían hacer pensar que no es un problema que ofrezca mayor dificultad a los estudiantes.

Cabe destacar que también es posible llegar a la respuesta correcta aplicando una única operación a partir de identificar la relación entre la cantidad de tazas de café y la cantidad de cucharadas de café

doble de

Cantidad de tazas de café

Cantidad de cucharadas de café

mitad de

En los datos recogidos se puede observar una progreso de 12% entre un curso y otro en el logro del objetivo. En el caso de 5° año el porcentaje de respuesta correcta alcanza el 52% y en 6° el 64%.

Las respuestas que no coinciden con la clave se reparten en forma más o menos equitativa entre las alternativas de respuesta con cierto predominio de la opción D(4). En el caso de quinto esta opción es elegida por casi el 20% de los estudiantes mientras que en sexto esta proporción baja al 15%. Los razonamientos que pueden llevar a elegir 4 como respuesta pueden ser variados, por

un lado puede ser que se equivoquen en plantear la proporción, planteando 6

��

�

�o que

planteen bien la proporción pero la resuelven con error calculando x como � ��

� .

Sin embargo también pueden llegar a esta respuesta a partir de identificar correctamente la relación entre la cantidad de tazas de café y la cantidad de cucharadas de café pero en el momento de aplicarla lo hace en el sentido inverso y contestan con el “doble” en vez de con “la mitad”.

Tazas de café

Cucharadas de café

6 3 2 x


18

2.3.3 Actividad Entrega de libros

Las actividades Entrega de libros 1 y 2 corresponden a estructuras multiplicativas pero de la categoría “producto escalar”.

ACTIVIDAD Entrega de libros 2

Código MAT2233

Dominio Números

Contenido Conjuntos numéricos

Sub-contenido Números racionales/Fracciones


Aplicación 3° de Educación Primaria

Objetivo Aplicar el concepto de "cuarta parte" en la resolución de una situación de cálculo.


Usar la relación entre el número de partes y el tamaño de las partes en la resolución de situaciones.

Opciones Justificación de las opciones % de

respuestas

A

Aplica el concepto de “cuarta parte” y la calcula correctamente para el dato dado pero interpreta que la consigna le solicita calcular la cantidad de libros que restan entregar, o sea, las “tres cuartas partes” del total de libros, respondiendo 150.

Posiblemente efectúa 200 : 4 = 50; 200 - 50 = 150

26

B Confunde el concepto de "cuarta parte", con el de "mitad". Calcula la mitad de 200.

22

C

RESPUESTA CORRECTA

Aplica el concepto de “cuarta parte” e interpreta que la consigna le solicita calcular la cantidad de litros entregados.

Procedimiento 1: Efectúa 200 : 4 = 50

Procedimiento 2: 1/4 es 0,25. Efectúa 200x0,25 = 50

Procedimiento 3: 1/4 de 100 es 25 entonces 1/4 de 200 es 50.

44

D No aplica el concepto de "cuarta parte", confundiendo dicha expresión con "cuatro".

6

Omisión 2


19

La actividad Entrega de libros 2, fue propuesta en la prueba de tercer año corresponde al contenido Conjuntos numéricos y al subcontenido Números racionales, fracciones y tiene por objetivo indagar sobre el logro de “Aplicar el concepto de "cuarta parte" en la resolución de una situación de cálculo”.

Al igual que en las actividades anteriores, esta se corresponde con uno de los perfiles de egreso de tercer año “Usar la relación entre el número de partes y el tamaño de las partes en la resolución de situaciones” según se detalla en el segundo borrador del Documento Base de Análisis Curricular (agosto 2015).

El producto escalar es otro de los significados que puede tener la multiplicación. En este tipo de problemas se establece una relación numérica entre un único espacio de medidas, específicamente “cantidad de libros”, y un operador que no representa ninguna magnitud que se manifiesta por la expresión “cuarta parte”. Tanto los datos que se dan como la forma en que estos se relacionan determinan cambios en el lugar de la incógnita sin generar nuevos significados.

Es importante tener en cuenta la dificultad que origina el tipo de operador escalar “cuarta parte” que no es lo mismo que fuera “doble” o “triple”, por citar algunos casos. Para calcular la cuarta parte de 200 podría multiplicarse este número por ¼, razonamiento improbable para estudiantes de 3er año escolar, incluso el hecho de multiplicar por 0,25. Probablemente lo más factible es que los niños dividan 200 entre 4 para calcular la cuarta parte buscada.

Un 44% de los niños de tercer año logran responder correctamente la actividad pero a su vez hay un 25% que responden la alternativa A (150). Los estudiantes que optan por esta alternativa puede considerarse que logran parcialmente el objetivo del ítem “Aplicar el concepto de "cuarta parte" en la resolución de una situación de cálculo” porque identifican y calculan la cuarta parte de un número pero van más allá de los que se pregunta al responder con la cantidad de libros que faltan entregar en vez de la cantidad de libros que ya se entregaron. Sin embargo hay un quinto del total de niños que respondieron la actividad, que optan por la alternativa B (100) que no se corresponde con la aplicación del operador escalar un cuarto. También hay un porcentaje muy reducido de niños, 6%, que optan por la alternativa D (4), probablemente originado de confundir “cuarta parte” con “cuatro”.

La actividad Entrega de libros 1, propuesta en 4°año plantea una situación similar a la propuesta en Entrega de libros 2 pero ahora solicitando un paso más, calcular la cantidad de libros que quedan todavía por entregar. La dificultad por el tipo de problema multiplicativo y de operador escalar es el mismo en ambas propuestas sin embargo en este caso el porcentaje de respuesta correcta es 36%.


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ACTIVIDAD Entrega de libros 1

Código MAT2194

Dominio Números

Contenido Conjuntos numéricos

Sub-contenido Números racionales/Fracciones


Aplicación 4° de Educación Primaria

Objetivo Aplicar el concepto de "cuarta parte" en la resolución de una situación de cálculo.


A No aplica el concepto de "cuarta parte", confundiendo esa expresión con "4". Calcula: 200 - 4.

11

B

RESPUESTA CORRECTA Aplica el concepto de "cuarta parte" para calcular las "tres cuartas partes" de una cantidad. Procedimiento 1. Calcula la cuarta parte de 200. Resta ese resultado a 200 para obtener las tres cuartas partes de esa cantidad. Procedimiento 2. Calcula la cuarta parte de 200. Multiplica ese resultado por 3 para calcular las tres cuartas partes de esa cantidad. Procedimiento 3. Identifica que 1/4 es 0,25 entonces 3/4 es 0,75 y multiplica este número por la cantidad total de libros que llegó a la escuela.

36

C Confunde el concepto de "cuarta parte", con el de "mitad". Calcula la mitad de 200.

17

D Aplica el concepto de "cuarta parte" y la calcula correctamente para el dato dado. No interpreta que la consigna le solicita calcular la cantidad de libros que restan.

36

Omisión 1

Vergnaud (1990) señala tres factores como responsables de la complejidad cognitiva de las tareas: la estructura de problemas, los valores numéricos, y los dominios de experiencia. En el caso de estas dos actividades los valores numéricos involucrados no difieren, en ambos casos se trabaja en el campo de los números Naturales. De la misma forma, se mantiene el dominio de experiencia al cual se hace referencia, que podría asociarse con el contexto en que se basa la


21

actividad, por lo que evidentemente queda como responsable de la dificultad cognitiva de Entrega de libros 1 la estructura del problema. En este ítem la estructura del problema implica un paso más en la estrategia de resolución, lo que se traduce en la utilización de una operación más que en la actividad Entrega de libros 2 propuesta en tercer año. Esta podría ser la razón de que no se observe un avance en término de porcentaje de respuesta correcta entre tercero y cuarto en estas actividades que referían a la misma categoría de estructura multiplicativa.

Obsérvese que mientras que en Entrega de libros 2 de tercer año entre los que calculan la cuarta parte y los que calculan las tres cuartas partes se llega al 70% en Entrega de libros 1 propuesta en cuarto año ese porcentaje es apenas superior, 72%. Incluso puede llamar la atención que mientras en tercero sólo el 6% de los niños confunden “cuarta parte” con “4” optando por la alternativa D, en cuarto año un 11% de los niños eligen la opción A(196) que resulta de restar 4 a 200 en vez de restar a 200 su cuarta parte.

2.4 A modo de cierre

Como se mencionó en la presentación de este capítulo, los análisis aquí incluidos pretender ser un insumo más para las reflexiones que el colectivo docente pueda realizar en pos de la mejora de los aprendizajes así como un aporte a la hora de planificar estrategias para abordar temáticas especificas del área.

En esta primera parte del capítulo se analizaron algunas de las actividades que si bien se resuelven con una misma operación, su significado es distinto. La elección de esta temática para el informe se basa en la importancia que tiene en todo el ciclo escolar la enseñanza de las operaciones aritméticas. Ésta ocupa buena parte de tiempo curricular, pero aprender las operaciones va más allá del dominio de las técnicas de cálculo y los algoritmos, implica conocer y poner en juego los conceptos y las relaciones que la operación representa. Para favorecer el logro de este conocimiento es clave abordar, desde la didáctica, los distintos significados de las operaciones pues contribuyen a construir el sentido de cada operación.

Si bien la cantidad de actividades propuestas en las pruebas que involucran situaciones aditivas o multiplicativas no permiten hacer afirmaciones contundentes en cuanto al logro de los estudiantes, la evidencia empírica parece mostrar que es un factor de dificultad en la resolución de la actividad el significado que adquiere la operación involucrada. La actividad que presenta la sustracción con el significado de “perder o quitar” resulta más fácil que la de “igualación o comparación”. Es un factor de dificultad el tipo de situación aditiva involucrada en la tarea. Por ejemplo relaciones aditivas en las que una medida inicial sufre una transformación para llegar a una medida final resulta más fácil que aquella en que la relación es de comparación entre dos medidas. Respecto de las relaciones multiplicativas, entre las que corresponden a “isomorfismo de medidas” (según Vergnaud) resultan más fáciles aquellas actividades en las que se da explícitamente la relación con la unidad de uno de los campos de medida. A su vez, frente a una misma situación multiplicativa del tipo “producto escalar” el número de pasos involucrados en la actividad parece influir en la dificultad de la tarea.

Por último, cabe destacar un aspecto importante que se constata con todas las actividades transversales propuestas, se observa un avance significativo en el logro de los estudiantes a medida que se avanza en la escolaridad. Esto ocurre ya sea en las actividades que recorren los cuatro grados o dos grados consecutivos y va más allá de las actividades que involucran situaciones aditivas o multiplicativas.


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2.5 Referencias bibliográficas

ANEP-CEP (2008). Programa de Educación Inicial y Primaria. Año 2008. Montevideo, Imprenta Rosgal S.A.

ÁVILA, A. Problemas fáciles y problemas difíciles. Tomado de Ávila, A. “Los niños también cuentan”, SEP, México 1994 (Libros del Rincón, en prensa) pp.55-65.

CHAMORRO, M° del Carmen (2003). Didáctica de las Matemáticas para primaria. Pearson Education. España

JUNG, V.; LABORDE, M. y LUJAMBIO, A. (2011). PAEPU. Operaciones con “significado”. TERCER PROYECTO DE APOYO A LA ESCUELA PÚBLICA URUGUAYA Curso de Apoyo a la Enseñanza de la Matemática para Maestros de Escuelas Comunes.

PARRA, C. y SAIZ, I. (2009). Enseñar matemática a los más chicos. De la exploración al dominio. HomoSapiens Ediciones. Argentina

RODRÍGUEZ RAVA, B. (2005). De las operaciones… ¿qué podemos enseñar? En Rodríguez Rava, B. y Xavier de Mello, M. (Comps). El quehacer matemático en la escuela. Montevideo. Fondo Editorial Queduca

VERGNAUD, G. (1990). La teoría de los campos conceptuales. CNRS y Université René Descartes. Recherches en Didáctique des Mathématiques, Vol. 10, nº 2, 3, pp. 133-170. Traducción de Godino, Juan D. Extraído el 20 de junio de 2016 de http://www.fundesuperior.org/Articulos/Pedagogia/Teoria_campos_conceptuales.pdf


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3. De las tareas y las habilidades en Geometría

3.1 Introducción

“(…) el aspecto formativo de la enseñanza de la Geometría es tan relevante como el aspecto informativo, es decir, los procesos de pensamiento que los alumnos desarrollan con un adecuado tratamiento de la Geometría en clase son tan importantes como el aprendizaje de los contenidos geométricos.” (GARCÍA, LÓPEZ, 2008:30)

Efectivamente, los enfoques actuales en enseñanza de la geometría insisten en la importancia de trabajar con los estudiantes tanto en el análisis de las propiedades de las figuras y de los cuerpos geométricos, como en el desarrollo en una manera de pensar íntimamente vinculada a lo geométrico. Tal como manifiestan Itzcovich y Broitman (2001), estudiar los “objetos geométricos”, las figuras, los cuerpos, sus propiedades y relaciones, trasciende el mero reconocimiento de los mismos, ya que los auténticos aprendizajes en la materia se dan cuando se conforma un estilo de pensamiento que, sobre la base de determinados conocimientos fundamentales, habilita la resolución de una extensa variedad de situaciones nuevas o antes no frecuentadas. Esto es,

“El «modo de pensar geométrico» supone poder apoyarse en propiedades estudiadas de las figuras y de los cuerpos para poder anticipar relaciones no conocidas. Se trata de poder obtener un resultado –en principio desconocido a partir de relaciones ya conocidas. Esta es la anticipación. Por otra parte, poder saber que dicho resultado es el correcto porque las propiedades puestas en juego lo garantizan. En geometría el modo de demostrar la validez de una afirmación no es empírico (por ejemplo midiendo o dibujando), sino racional (a través de argumentos).” (ITZCOVICH, BROITMAN, 2001:3)

Del mismo modo, el actual Programa de Educación Inicial y Primaria estimula orientaciones didácticas centradas en “(…) la construcción de significados a través de la problematización del conocimiento geométrico”, lo cual es factible de concretar mediante el desarrollo de situaciones donde los alumnos necesiten, entre otras cosas, reutilizar constantemente los saberes construidos en torno a ciertos objetos geométricos. De esta maneta, “se centra (…) la enseñanza de la Geometría en las figuras, sus propiedades y relaciones como el objeto específico

superando tanto los enfoques nominalistas como los aritmetizados.” (ANEP-CEP, 2008:66-67)

Para García y López (2008), las actividades de enseñanza en torno a las figuras geométricas se clasifican, de acuerdo a su intención didáctica, en tres clases: tareas de conceptualización, de investigación o de demostración. Evidentemente, cuando se presenta una situación determinada es factible, e incluso necesario, favorecer el tratamiento de conceptos conjuntamente con la experimentación, con la formulación de conjeturas, o de argumentos, no obstante la intencionalidad del docente hará primar en las distintas situaciones alguna de estas tareas. Poner el acento en “lo conceptual” conlleva a focalizarse en “la construcción de conceptos y de relaciones geométricas”, lo cual –vale aclarar inmediatamente- va más allá de definiciones o


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“representaciones ostensivas”2. Entretanto, las tareas de investigación requieren que “el alumno indague acerca de las características, propiedades y relaciones entre objetos geométricos con el

propósito de dotarlas de significados”, lo cual reclama la puesta en juego de “lo aprendido” a fin de explorar alternativas de solución a nuevos problemas o situaciones. Por último, las actividades de demostración colocan el énfasis en la elaboración de razonamientos que conduzcan a defender ideas o procedimientos utilizados, a justificar la validez de resultados obtenidos, a socializar adecuadamente la labor realizada en las distintas fases de la resolución de cierto problema. (Cf. GARCÍA, LÓPEZ, 2008)

Demostrar no solo es una actividad clave en Geometría, también es una de las habilidades que, necesariamente, la escuela debe contribuir a desarrollar en cada uno de sus estudiantes. En este sentido, tal como se cuestionan Bressan, Bogisic y Crego (2000), resulta fundamental reflexionar acerca de cuáles son las habilidades que “una buena enseñanza de la geometría” debería construir entre nuestros escolares. Y a tales efectos, estas autoras, teniendo en cuenta los estudios realizados por Hoffer (1981), van a destacar al menos cinco habilidades básicas: visualización, construcción, comunicación, razonamiento lógico-deductivo y aplicación. Del mismo modo que con los diferentes tipos de actividades, estas habilidades no se desarrollan ni se trabajan aisladamente, siendo fundamentales, una vez más, las decisiones pedagógicas que el docente va tomando a fin de abordarlas, tramitarlas y potenciarlas.

En resumidas cuentas, trabajar en torno a la Geometría va más allá de la mera elección de los contenidos matemáticos que serán objeto de enseñanza, sobre todo resulta fundamental reflexionar acerca de las habilidades que los alumnos estarán poniendo en juego y desarrollando con el abordaje de los mismos. O sea,

“La geometría ayuda a estimular y ejercitar habilidades de pensamiento y estrategias de resolución de problemas. Da oportunidades para observar, comparar, medir, conjeturar, imaginar, crear, generalizar y deducir. Tales oportunidades pueden ayudar al alumno a aprender cómo descubrir relaciones por ellos mismos y tornarse mejores solucionadores de problemas.” (BRESSAN, BOGISIC, CREGO, 2000:15)

A continuación, se analizan tres de las seis actividades que, enmarcadas en el dominio “Geometría”, fueron utilizadas durante el actual ciclo de evaluación formativa de los aprendizajes en la modalidad en línea. Los criterios de selección de estas actividades a los efectos de su análisis son, en esencia, dos. Por un lado, la relevancia curricular dada a los objetos geométricos involucrados y las habilidades de pensamiento factibles de “activación” a instancias de su resolución. Por otro lado, el hecho de que todas estas actividades de evaluación fueron aplicadas en más de un grado escolar –inclusive, una de ellas se utiliza de manera transversal-, lo cual permite observar el desempeño de los alumnos a medida que se avanza en la escolaridad.

2 Según Chamorro (2003), “El adjetivo ostensivo proviene del latín ostendere que significa presentarse con insistencia, es decir, ostentar.” (CHAMORRO, 2003:228) Por ende, cuando se hace referencia a “representaciones ostensivas” se trata de indicar aquellas representaciones de uso habitual que el maestro utiliza a los efectos de mostrar todas las cualidades de un determinado objeto matemático. Por ejemplo, en el caso de un “objeto geométrico” como lo es el rectángulo, su “representación ostensiva” suele ser de este modo ( ), representándose escasamente de otra manera.


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3.2 Análisis de las actividades

3.2.1 Actividad ¿Es rectángulo?

Este es uno de los ítemes transversales del ciclo de evaluación, es decir que integra las pruebas de los cuatro grados escolares evaluados. Presentada a través de un diálogo entre dos niños, la situación requiere básicamente que el alumno reconozca, entre las figuras dadas en las alternativas de respuesta, un cuadrilátero que no sea un rectángulo, ya que ese cuadrilátero es un contraejemplo que Sofía utiliza a los efectos de negar la proposición que efectúa Juan.

ACTIVIDAD ¿Es rectángulo?

Código MAT2231

Dominio Geometría

Contenido Figuras Planas

Sub-contenido Cuadriláteros: definición, propiedades y construcciones.

Competencia Aplicar Conceptos

Aplicación Transversal: 3°, 4°, 5° y 6°

Objetivo Identificar el contraejemplo que argumenta la negación de una proposición.

Perfil de Egreso 3° Identificar propiedades comunes y no comunes en la comparación de figuras.


3° 4° 5° 6°

A

Reconoce que la figura dibujada por Sofía no debe ser un rectángulo, pero no tiene en cuenta que la figura que identifica como contraejemplo no es cuadrilátero pues no tiene 4 lados sino 3.

10 7 5 3

B

Reconoce que la figura dibujada por Sofía no debe ser un rectángulo, pero no tiene en cuenta que la figura que identifica como contraejemplo no es cuadrilátero pues no tiene 4 lados sino 5.

13 9 8 5

C Reconoce el rectángulo y responde con esta opción sin tener en cuenta que debe identificar un contraejemplo, es decir un cuadrilátero que no sea rectángulo.

36 36 29 20

D

RESPUESTA CORRECTA Identifica la figura que tiene 4 lados y no es rectángulo para argumentar que no todos los cuadriláteros son rectángulos.

40 47 58 71

Omisión 1 1 0 0


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En base a la clasificación de actividades realizada por García y López (2008), este ítem puede vincularse con las tareas de demostración, donde el alumno deberá utilizar conceptos que le permitan validar determinado razonamiento. En este caso, los conceptos a evocar son dos: en primer lugar, “figura que tiene cuatro lados”; en segundo lugar, “rectángulo”. Entretanto, el razonamiento a validar requiere aquí del análisis e identificación del argumento (figura dibujada por Sofía en su libreta, la cual asume el rol de contraejemplo) que conlleva a la negación de la proposición realizada. Precisamente, Juan sostiene que “si una figura tiene cuatro lados tiene que ser un rectángulo” (generalización de una propiedad en una figura geométrica), lo cual es interpelado por Sofía, quién manifiesta que “eso no es cierto”, demostrándolo a través de la representación de una figura que busca contradecir lo afirmado (ejemplificación en la cual dicha propiedad no se cumple).

De este modo, a fin de resolver con acierto esta situación resulta necesario, además de la puesta en juego de los conceptos de “cuadrilátero” y de “rectángulo”, interpretar cuál es el procedimiento de validación elaborado, donde Sofía da un “argumento” que tiende a falsear la proposición de Juan. Por ende, inferir que la figura dibujada en la libreta de Sofía “tiene que ser un cuadrilátero no rectángulo” requiere que el alumno entienda lo que subyace detrás de esa argumentación3, a saber: “es suficiente con que exista al menos un caso en el que no se cumple una proposición para poder afirmar que la misma no es verdadera”.4

En función de lo antedicho, se trata sin dudas de un ítem de alta complejidad, mediante el cual se estimulan fundamentalmente las habilidades de razonamiento lógico (Hoffer, 1981). No obstante, la forma de presentación de la situación, donde ha sido utilizado como recurso una conversación entre niños, parece haber facilitado su resolución. Tal como se observa en la tabla del ítem, 4 de cada 10 alumnos de tercer año escolar respondieron correctamente, señalando la libreta donde se representó un cuadrilátero no rectángulo, opción D). Asimismo, se verifica un incremento en los porcentajes de respuesta correcta a medida que se avanza en los grados escolares, alcanzándose el máximo en sexto año con un 71%.

A efectos del análisis, conviene diferenciar las alternativas de respuesta no correctas. Por un lado, tanto la opción A) como la opción B), muestran libretas donde han sido representados polígonos no cuadriláteros: un triángulo en la A) y un pentágono en la B). La inclusión de estas opciones de respuesta se fundamenta en el supuesto que el alumno reconoce que la figura dibujada por Sofía no tiene que ser un rectángulo, lo cual es acertado, aunque no tiene en cuenta que el polígono representado, a fin de actuar como contraejemplo, a su vez debe ser cuadrilátero. Los patrones de elección de estos distractores son similares, ya que: escasos alumnos tienden a seleccionarlos –menos aun la opción A) que la B)- y decrecen sistemáticamente a medida que se avanza en la escolaridad.

Por otro lado, la opción C), muestra una libreta donde está representado un rectángulo. La presencia de este distractor intenta dar cuenta de aquellos alumnos que se centran únicamente en el concepto “rectángulo”, asociándolo a su representación habitual –adjetívese, “ostensiva”-. De esta manera, el alumno responde sin interpretar que, lo que debe identificarse en realidad, es un contraejemplo, o sea un cuadrilátero no rectángulo. La alta elección de esta alternativa, como era previsible, se verifica en todos los grados escolares, no obstante es notoria en tercero

3 Es necesario explicitar que esta actividad de evaluación no está orientada hacia la elaboración de un argumento, más bien –y como se ha mencionado- busca que se analice la “argumentación” desarrollada por un tercero. 4 En este sentido, debe considerarse lo que el perfil de egreso (3°), donde se inscribe la actividad, detalla (“Identificar propiedades comunes y no comunes en la comparación de figuras”). Si no se concreta esta identificación, difícilmente se resuelva con acierto la situación.


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y cuarto año, alcanzando a más de un tercio de los alumnos que realizaron la evaluación, y en quinto, donde prácticamente 3 de cada 10 alumnos la seleccionan (7% de diferencia).

3.2.2 Actividad Recortando el cuadrado

Este es un ítem transversal a dos grados escolares, incluido en este ciclo de evaluación en las pruebas de cuarto y quinto año. El cometido central de la actividad consiste en visualizar cuál es el “polígono que se obtiene” al recortarse “una esquina de un cuadrado hecho en cartulina” con el fin de determinar su número de vértices.

ACTIVIDAD Recortando el cuadrado

Código MAT2205

Dominio Geometría


Sub-contenido Cuadriláteros: definición, propiedades y construcciones.

Competencia Aplicar Conceptos

Aplicación 4° y 5°

Objetivo Reconocer el número de vértices de un polígono.

Opciones Justificación de las opciones % de

respuestas

4° 5°

A Responde con la cantidad de vértices que se originan al hacer el recorte, que son los únicos que se ven en la segunda imagen.

20 15

B Responde con la cantidad de vértices del triángulo que se recortó. 22 19

C Responde con la cantidad de vértices del cuadrado o cuenta la cantidad de vértices que se observan en la segunda imagen (considerando las esquinas).

29 28

D RESPUESTA CORRECTA

Identifica los tres vértices originales del cuadrado más los dos que se originan al hacer el recorte.

29 38

Omisión 1 0


28

Para continuar con la línea de análisis desarrollada en la introducción, es factible inscribir la presente actividad de evaluación dentro de las “tareas de investigación”. Asimismo, se intenta promover a través de la misma la utilización de “habilidades de visualización”. Precisamente, el aprendizaje de los objetos matemáticos demanda análisis, interpretación, así como interconexión de diversos “registros de representación”, mucho más aun cuando se trata de objetos geométricos. En este sentido, retomando trabajos de Raymond Duval (1995, 1998, 1999, 2003, 2005), Marmolejo manifiesta: “(…) los elementos de reflexión de esta disciplina son asequibles únicamente a través de representaciones, nunca de forma directa, como sí suele

suceder en el aprendizaje de los objetos tratados en otras disciplinas. Por lo tanto, el

aprendizaje y enseñanza de las matemáticas moviliza formas de ver de naturaleza diferente a

las privilegiadas en las demás disciplinas. (…)” (MARMOLEJO, 2010:13) Consecuentemente, es necesario diferenciar entre lo que ha de entenderse por “ver” y lo que realmente significa “visualizar”, ya que “visión” (acto de “ver”) alude a la percepción de los objetos físicos, mientras que “visualización” (acto de “visualizar”) refiere a la percepción de representaciones5. Dicho de otro modo, visualizar es

“(…) producir una representación que, en ausencia de toda percepción visual de los objetos representados, permite mirarlos como si estuvieran verdaderamente delante de los ojos. La visualización debe entonces permitir distinguir e identificar, ya sea a primer golpe de ojo (aprehensión vista como inmediata) o sea de un solo golpe de ojo (aprehensión simultánea) lo que se representa (…). (DUVAL, 2003 apud MARMOLEJO, 2010:13).

En esta actividad de evaluación, el alumno debe recobrar el concepto de “cuadrado”, poniendo en juego, fundamentalmente, las “representaciones mentales” que del mismo ha frecuentado, construido y tiene a disposición. Pero esto solo es el comienzo, ya que será necesario producir a continuación, con todo ese acervo, una “nueva representación”, la cual deberá tener como base los elementos que se muestran en la imagen inicial de la situación. Y en esto consiste el proceso de visualización; en este caso, en relacionar el análisis de la información que brinda cierta imagen con los conocimientos que, sobre los “cuadrados” (definiciones, representaciones, relaciones, etcétera), tiene interiorizados el alumno, a fin de recrearlo de acuerdo a lo que se le ofrece. Obsérvese el cuadro.

Cuadro 1.

Conceptualización Imagen Visualización

5 Asimismo, cabe recordar: “La visualización no es una visión inmediata de las relaciones, sino una interpretación de lo que se presenta a nuestra contemplación que solamente podemos realizar eficazmente si hemos aprendido a leer adecuadamente el tipo de comunicación que la sustenta.” (CANTORAL, MONTIEL, 2002:2)


29

Posteriormente, a fin de resolver la situación, el alumno deberá “sustituir mentalmente” la imagen inicial colocando en su lugar la imagen final, tal como se muestra en el Cuadro 2. De este modo, recién estará en condiciones de determinar cuáles son las características que tiene el polígono originado a instancias del recorte, entre ellas, su número de vértices.

Cuadro 2. Visualización (sobre la base de la imagen inicial) Visualización (sobre la base de la imagen final)

Más allá de la forma de resolución detallada, donde las imágenes dadas fueron el sostén del proceso de visualización, es factible dar cuenta de la situación apelando a su modelización. Para ello, si bien es necesario recurrir a los mismos conocimientos e interpretar la información presentada, los alumnos suplantarán “imágenes” con “representaciones conceptuales” de las mismas. Véase el Cuadro 3. No obstante, este modo de resolución requiere que el alumno esté familiarizado con una diversidad de tareas centradas, didácticamente, en favorecer no solo el avance en las habilidades de visualización sino también en las de transferencia.

Cuadro 3.

En cuanto a los resultados obtenidos en este ciclo de evaluación, casi 3 de cada 10 alumnos en cuarto año, y casi 4 de cada 10 en quinto año, respondieron correctamente la situación, marcando la opción D) 5. Entretanto, la opción C) 4, donde se responde teniendo en cuenta el número de vértices que tiene un cuadrado, resulta una de las alternativas de respuesta, como se preveía, con mayor elección. En este caso, la noción de “cuadrado” tiende a ensombrecer el proceso de transformación que se opera mediante la ejecución del recorte, y como evidencian los porcentajes de respuesta, esto se da igualmente en ambos grados escolares. Ya los que visualizan el “triángulo recortado”, respondiendo con el número de vértices de ese polígono y no con el “que se obtiene al sacarle la esquina”, representan aproximadamente una quinta parte de los alumnos evaluados, tanto en cuarto como en quinto año.


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3.2.3 Actividad Trazado de triángulo equilátero

Este también es un ítem transversal a dos grados escolares, aunque a diferencia del anterior conforma las pruebas de quinto y sexto año. La situación se orienta a la identificación del procedimiento (algoritmo) de construcción de un triángulo equilátero con ciertos instrumentos, para lo cual será necesario valerse de la aplicación de conceptos y de relaciones intra e interfigurales.

ACTIVIDAD Trazado de triángulo equilátero

Código MAT2258

Dominio Geometría


Sub-contenido Triángulos: definición, propiedades y construcciones.

Competencia Ejecutar Algoritmos

Aplicación 5° y 6°

Objetivo Identificar el trazado con regla y compás de un triángulo equilátero.

Opciones Justificación de las opciones % de respuestas 5° 6°

A

RESPUESTA CORRECTA Identifica que las circunferencias trazadas con centro en los extremos del segmento deben tener radios iguales y, a su vez, éstos deben ser iguales al segmento dado.

69 77

B No identifica que las circunferencias trazadas con centro en los extremos del segmento deben tener radios iguales y, a su vez, éstos deben ser iguales al segmento dado.

5 3

C Identifica que las circunferencias trazadas con centro en los extremos del segmento deben tener radios iguales pero no considera que éstos deben ser iguales al segmento dado.

9 7

D Identifica que las circunferencias trazadas con centro en los extremos del segmento deben tener radios iguales pero no considera que éstos deben ser iguales al segmento dado.

16 13

Omisión 1 0


31

Según la clasificación de García y López (2008), esta actividad de evaluación se vincula estrechamente con las tareas de investigación, ya que la idea central reside en explorar las relaciones entre distintos objetos geométricos a los efectos de determinar la validez de un procedimiento de construcción. Pensar tareas en las cuales los “trazados” sean el eje del trabajo pedagógico, ya sea en situaciones donde efectivamente deba trazarse o en situaciones donde se problematice o se reflexione sobre una “construcción geométrica”, debería ser una actividad más frecuente a nivel escolar. Tal como se advierte en algunos estudios, una gestión didáctica que permita dotar de sentido los trazados en el aula, constituirá sin dudas una herramienta, “un medio para avanzar en las conceptualizaciones de los objetos geométricos por parte de nuestros alumnos.” (FRIPP, RODRÍGUEZ RAVA, 2005:79) Asimismo, más allá de los conocimientos que deben ponerse en juego, estas actividades tienden a fomentar el avance no solo en las habilidades de construcción, sino además en las de visualización, comunicación y argumentación, lo cual reafirma su alto valor formativo.

Como en otros ítemes utilizados en este ciclo de evaluación, la situación se desencadena a través de una conversación que mantiene una maestra con un alumno llamado Lucas. Elaborado intencionadamente como fuente de información, de este diálogo se extraen tres datos relevantes a los efectos de encaminar la resolución de la actividad. Primero, se asegura que uno de los trazados presentados en las alternativas de respuesta es correcto: “Lucas, hiciste muy bien el trazado…”. En segundo término, se detalla cuáles son los instrumentos utilizados en el trazado: “regla y compás”. Y, tercero, se explicita una definición de triángulo equilátero, como aquel que “… tiene tres lados iguales”. Entretanto, en este análisis de los distintos elementos que conforman la situación planteada, es necesario tener en cuenta los cambios de registro. Si bien el lenguaje natural predomina en la consigna del ítem, en las alternativas de respuesta sucede todo lo contrario, prevaleciendo lo que Duval (1999) denomina “registro gráfico” (geométrico), caracterizado aquí por su fuerte contenido simbólico.

Ahora bien, ¿qué conocimientos geométricos deben movilizarse a fin de resolver la situación propuesta? A los conceptos de “triángulo” y de “triángulo equilátero”, del que se da una definición, se suma la necesidad de interpretar las construcciones geométricas dadas, o sea entender los registros gráficos. Por ejemplo, el alumno debe inferir allí que las “líneas curvas” que se muestran punteadas corresponden a arcos de circunferencias, y eventualmente visualizarlas. De este modo, pondrá en juego también el concepto de circunferencia, definible “como lugar geométrico de los puntos del plano que, distan de un punto, una determinada cantidad de longitud (en este caso, la longitud del segmento dado)”. Y además, considerar el segmento dado en tanto lado del triángulo equilátero a construir. En función de ello, el alumno tiene entonces que reflexionar sobre las relaciones interfigurales que deben establecerse en la construcción del triángulo equilátero, e identificar en cuál de los cuatro trazados estas relaciones se verifican. Así, la aplicación de propiedades, tanto del triángulo equilátero como de la circunferencia, adquiere sentido solo en función de sus interrelaciones.

Precisamente, cuando se comiencen a examinar los distintos registros gráficos, es clave para la identificación del “trazado correcto”, que se verifiquen dos condiciones simultáneamente. Por un lado, que los centros de las circunferencias trazadas son los extremos del segmento dado; por otro lado, que los radios de las circunferencias trazadas son iguales y, a su vez, éstos iguales al segmento dado (ver Cuadro 4). A tales efectos, como medio de facilitar a los alumnos el procedimiento tendiente a corroborar si se cumplen, o no, ambas condiciones en un mismo trazado, particularmente cuando sea necesaria la comparación de cantidades de longitud, todas


32

las construcciones fueron desarrolladas sobre una cuadrícula. Una vez efectuada esta verificación, se podrá determinar cuál de los trazados realizó Lucas.

Cuadro 4. De la visualización a la validación

- Segmento AB, (lado del triángulo equilátero); - Circunferencia de centro A y radio AB; - Circunferencia de centro B y radio BA.

- Punto C, (tercer vértice del triángulo; intersección de las circunferencias de centro A y B, y radios AB y BA, respectivamente)

- Segmento AC (lado del triángulo equilátero) - Segmento BC (lado del triángulo equilátero) - Triángulo equilátero ABC.

En relación a los resultados obtenidos, casi un 70% de los alumnos de quinto año y un 77% de los alumnos de sexto año, respondieron con acierto la situación, seleccionando la opción A). Estos porcentajes tan elevados de respuesta correcta, elevados si se tiene en cuenta la complejidad que reviste la resolución de la situación de acuerdo a lo detallado, tal vez se explique en función de la propia construcción que allí se exhibe, la cual resulta sumamente familiar a los alumnos dada su insistente frecuentación en las aulas. Por ende, quizás la resolución esté más vinculada al reconocimiento de un algoritmo de construcción geométrico que a la aplicación de conceptos, de relaciones o de ciertas habilidades, como lo son la visualización o la validación. Entretanto, la opción D) resulta, dentro de las alternativas de respuesta no correctas, la que registra mayor porcentaje de elección. Si bien esto se asocia al hecho de considerar que todos los lados del triángulo que queda determinado mediante ese trazado son iguales al segmento dado, sin reconocer que allí efectivamente se está trazando un triángulo isósceles no equilátero, probablemente confunde cuando usa la cuadrícula que el segmento dado tiene casi la misma cantidad de longitud que la altura del triángulo factible de construir, determinando erróneamente que el mismo será equilátero. Por su parte, las opciones B) y C), son distractores que prácticamente se desestiman, decreciendo también en elección amedida que transcurre la escolaridad, lo cual da cuenta de ciertos avances.


33

3.3 A modo de cierre

Si bien las actividades de evaluación que abordan contenidos de Geometría son escasas para habilitar una mirada exhaustiva en cuanto al desarrollo de ese “pensamiento geométrico” que la escuela debería estimular, el análisis de estos ítems ha permitido identificar al menos tres cuestiones que merecen destacarse. Primero, la constatación de progresión en los porcentajes de respuesta correcta, independientemente de la actividad transversal analizada, conforme se avanza en los grados escolares. Segundo, y vinculado con el punto anterior, tanto las habilidades de “visualización” como las de “razonamiento lógico”, tienden a potenciarse en los grados escolares superiores. Esto se evidencia claramente en el ítem ¿Es rectángulo?, donde la interpretación de los argumentos tendientes a invalidar una afirmación presenta un salto significativo entre los alumnos de tercero y los de sexto año. Tercero, señalar cómo, a través de los diferentes tipos de tareas que se proponen en Geometría, es factible incidir en la articulación e interconexión de las habilidades así como de los conocimientos que, sobre los objetos geométricos, se construyen.


34

3.4 Referencias bibliográficas

ANEP-CEIP (2015), Documento Base de Análisis Curricular. Montevideo, Segunda Edición, Agosto de 2015.

ANEP-CEP (2008), Programa de Educación Inicial y Primaria. Año 2008. Montevideo, Imprenta Rosgal S.A.

BRESSAN, Ana María, BOGISIC, Beatriz, CREGO, Karina (2000), Razones para enseñar Geometría en la Educación Básica. Mirar, construir, decir y pensar…, Colección: Recursos Didácticos. Buenos Aires, Ediciones Novedades Educativas.

CANTORAL, Ricardo, MONTIEL, Gisela (2002), “Visualización y pensamiento matemático”, Área de Educación Superior del Departamento de Matemática Educativa, Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN, México.

FRIPP, Ariel (2005), “Visualización”. En: RODRÍGUEZ RAVA, Beatriz, XAVIER DE MELLO, Alicia (Comps.), El Quehacer Matemático en la Escuela. Construcción colectiva de docentes uruguayos. Montevideo, Fondo Editorial Queduca, FUM-TEP, pp. 41-43.

FRIPP, Ariel, RODRÍGUEZ RAVA, Beatriz (2005), “Trazados sí… pero ¿cómo?... y, ¿para qué?”. En: RODRÍGUEZ RAVA, Beatriz, XAVIER DE MELLO, Alicia (Comps.), El Quehacer Matemático en la Escuela. Construcción colectiva de docentes uruguayos. Montevideo, Fondo Editorial Queduca, FUM-TEP, pp. 70-79.

GARCÍA, Silvia, LÓPEZ, Olga (2008), La enseñanza de la Geometría. Colección: Materiales para Apoyar la Práctica Educativa. Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación (INEE), México D. F.

ITZCOVICH, Horacio, BROITMAN, Claudia (2001), Orientaciones didácticas para la enseñanza de la geometría en EGB. Documento N° 3, año 2001. Dirección General de Cultura y Educación de la Provincia de Buenos Aires, Dirección General de Educación Básica, Gabinete Pedagógico Curricular – Matemática.

MARMOLEJO, Gustavo (2010), “La visualización en los primeros ciclos de la educación básica. Posibilidades y complejidad”. En: Revista Sigma, Volumen X, N° 2. Departamento de Matemáticas, Universidad de Nariño, Colombia, Pág. 10-26. Disponible en la web (última visita, 6/07/16): [http://revistasigma.udenar.edu.co/articulos/Volumen X 2/2.pdf]


35

ANEXO I – Tablas de especificaciones en el área de Matemática_2016 3° AÑO 4° AÑO 5° AÑO 6° AÑO

COMPETENCIAS FUNDAMENTALES

CONTENIDO

AP

LIC

AR

CO

NC

EPTO

S

CO

MU

NIC

AR

EJEC

UTA

R A

LGO

RIT

MO

S

RE

SOLV

ER P

RO

BLE

MA

S

AP

LIC

AR

CO

NC

EPTO

S

CO

MU

NIC

AR

EJEC

UTA

R A

LGO

RIT

MO

S

RE

SOLV

ER P

RO

BLE

MA

S

AP

LIC

AR

CO

NC

EPTO

S

CO

MU

NIC

AR

EJEC

UTA

R A

LGO

RIT

MO

S

RE

SOLV

ER P

RO

BLE

MA

S

AP

LIC

AR

CO

NC

EPTO

S

CO

MU

NIC

AR

EJEC

UTA

R A

LGO

RIT

MO

S

RE

SOLV

ER P

RO

BLE

MA

S

DO

MIN

IO

NÚMEROS

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

CONJUNTOS NUMÉRICOS

DIVISIBILIDAD

OPERACIONES

RAZONES y PROPORCIONES

GEOMETRÍA FIGURAS PLANAS

FIGURAS ESPACIALES

PROBABILIDAD Y

ESTADÍSTICA

PROBABILIDAD DE UN SUCESO

DATOS E INFORMACIÓN ESTADÍSTICA

MEDICIÓN

MEDIDA

SISTEMAS DE MEDICIÓN

MAGNITUDES Y SUS MEDIDAS

CAMBIOS Y

RELACIONES SECUENCIAS Y PATRONES

CANTIDAD DE ACTIVIDADES POR COMPETENCIA 6 3 1 6 7 2 1 7 9 2 1 6 7 3 1 9

CANTIDAD DE ACTIVIDADES POR PRUEBA 16 17 18 20


36

ANEXO II

6 En el caso de las preguntas abiertas, se presentan los porcentajes calculados sobre el total de preguntas corregidas por los docentes. Por razones de redondeo, en algunos casos la suma puede exceder el 100%.

ACTIVIDADES DE LA PRUEBA - TERCER AÑO DE EDUCACIÓN PRIMARIA

Código

del

ítem

Orden

en la

prueba

Título Objetivo Competencia Dominio Contenido

Porcentaje de respuestas6

A B C D S/R %

correcta

2189 1 Ceibalitas 1 Resolver una situación aditiva. Resolver problemas Números Operaciones 49 32 8 9 2 49

2191 2 Venta de entradas Resolver una situación aditiva. Resolver problemas Números Operaciones 41 13 27 17 2 41

2181 3 Estadio Maracaná Reconocer la cantidad de centenas en un número de cinco cifras.

Aplicar conceptos Números Sistemas de numeración

12 11 35 41 2 35

2232 4 Olimpíadas Río 6 Resolver una situación aditiva a partir de información gráfica.

Resolver problemas Números Operaciones 12 41 27 18 1 41

2244 5 Londres 2012 Calcular una suma. Ejecutar algoritmos Números Operaciones 17 14 53 14 2 53

2261 6 Medallas 1 Identificar un valor en una tabla que cumple con determinadas condiciones.

Comunicar Probabilidad y estadística

Representación e interpretación de datos

7 25 10 56 2 56

2240 7 Medallas 2 Asociar una misma información dada en dos registros (tabla y gráfico).



19 13 50 17 2 50

2262 8 Pintar de rojo 2 Identificar una fracción a partir de una representación gráfica.

Aplicar conceptos Números Conjuntos numéricos

44 13 13 28 1 44

2226 9 Cálculo mental 1 Reconocer la descomposición de números en una situación de cálculo.


CT CP SC

20 24 56

2231 10 ¿Es rectángulo? Identificar el contraejemplo que argumenta la negación de una proposición.

Aplicar conceptos Geometría Figuras planas 10 13 36 40 1 40

2243 11 Estimación altura en pies

Estimar una medida utilizando unidades no convencionales.

Resolver problemas Medición Medida CT SC

56 44


37

Código

del

ítem

Orden

en la

prueba


Porcentaje de respuestas

A B C D S/R %

correcta

2188 12 Largo del pizarrón Establecer relaciones en el sistema métrico decimal para resolver una situación aditiva.

Resolver problemas Medición Medida 16 27 35 20 2 27

2186 13 Más de un metro Estimar una cantidad de longitud. Aplicar conceptos Medición Magnitudes y sus medidas

67 12 12 7 2 67

2177 14 El festival 1 Identificar una relación de proporcionalidad a partir de un registro gráfico.

Comunicar Números Razones y proporciones

19 18 7 55 2 55


38

ACTIVIDADES DE LA PRUEBA - CUARTO AÑO DE EDUCACIÓN PRIMARIA

Código

del

ítem

Orden

en la

prueba



A B C D S/R %

correcta

2247 1 Número de puerta Aplicar propiedades del sistema de numeración decimal para identificar un número.

Resolver problemas Números Sistemas de numeración

48 11 32 9 1 48

2206 2 Olimpíadas Río 1 Reconocer la cantidad de unidades de mil de un número de cinco cifras.


3 30 10 57 1 30




13 10 63 14 1 63

2191 4 Venta de entradas Resolver una situación aditiva. Resolver problemas Números Operaciones 52 13 26 9 1 52

2248 5 Los picos Calcular una diferencia. Ejecutar algoritmos Números Operaciones 47 12 21 19 1 47

2226 6 Cálculo mental 1 Reconocer la descomposición de números en una situación de cálculo.


CT CP SC

25 26 49

2194 7 Entrega de libros 1 Aplicar el concepto de "cuarta parte" en la resolución de una situación de cálculo.

Resolver problemas Números Conjuntos numéricos

11 36 17 36 1 36

2215 8 Ceibalitas 4 Identificar un número múltiplo de 4. Aplicar conceptos Números Divisibilidad 11 15 25 48 2 48

2250 9 Producto de la semana 2

Reconocer el significado de un porcentaje de descuento.

Aplicar conceptos Números Razones y proporciones

23 17 17 42 1 42

2177 10 El festival 1 Identificar una relación de proporcionalidad a partir de un registro gráfico.

Comunicar Números Razones y proporciones

10 14 5 71 1 71

2176 11 Regador de jardín 4 Identificar una representación gráfica de una fracción.


15 8 66 11 1 66



2205 13 Recortando el cuadrado

Reconocer un polígono por el número de vértices.




39

Código

del

ítem

Orden

en la

prueba



A B C D S/R %

correcta

2211 14 El cuarto de Martín 1 Calcular una longitud utilizando una escala gráfica.

Resolver problemas Medición Magnitudes y sus medidas

29 20 39 12 1 39

2246 15 La altura de Alicia Estimar una cantidad de longitud. Resolver problemas Medición Medida CT SC

38 62


40

ACTIVIDADES DE LA PRUEBA - QUINTO AÑO DE EDUCACIÓN PRIMARIA

Código

del

ítem

Orden

en la

prueba



A B C D S/R %

correcta

2206 1 Olimpíadas Río 1 Reconocer la cantidad de unidades de mil de un número de cinco cifras.


2 39 7 51 1 39




11 8 71 10 1 71

2218 3 Jugadores 1 Interpretar información presentada en gráfico de barras.



25 12 52 11 0 52

2249 4 Ruleta Comparar las probabilidades de un suceso en experimentos aleatorios de un mismo contexto.

Resolver problemas Probabilidad y estadística

Probabilidad de un suceso

15 4 5 76 1 76

2190 5 El punto J en la recta numérica

Identificar el número decimal que representa un punto en la recta numérica.


11 27 42 19 1 42

2251 6 La altura de Ana Estimar una cantidad de longitud teniendo como referencia una escala.

Resolver problemas Medición Medida CT CP SC

34 15 51

2211 7 El cuarto de Martín 1 Calcular una longitud usando una escala gráfica.

Resolver problemas Medición Magnitudes y sus medidas

25 15 52 8 1 52

2212 8 El cuarto de Martín 2 Relacionar un objeto con una de sus magnitudes.

Aplicar conceptos Medición Magnitudes y sus medidas

51 24 17 7 1 51

2205 9 Recortando el cuadrado

Reconocer un polígono por el número de vértices.


2235 10 Propiedades cuadriláteros - 1

Identificar una propiedad de los rombos. Aplicar conceptos Geometría Figuras planas 23 37 22 17 1 37





41

Código

del

ítem

Orden

en la

prueba



A B C D S/R %

correcta

2258 12 Trazado de triángulo equilátero

Identificar el trazado con regla y compás de un triángulo equilátero.

Ejecutar algoritmos Geometría Figuras planas 69 5 9 17 1 69

2175 13 Regador de jardín 3 Identificar un modelo geométrico que representa una situación.


2217 14 Entrega de libros 3 Identificar una secuencia de operaciones que permite resolver una situación en un contexto cotidiano.


2195 15 Afirmaciones sobre múltiplos

Identificar una regularidad relacionada al concepto de múltiplo.

Aplicar conceptos Cambio y relaciones

Secuencias y patrones

34 45 10 11 1 45

2193 16 Tazas de café Calcular un cuarto proporcional. Resolver problemas Números Razones y proporciones

52 13 15 20 1 52

2198 17 Balde, jarra y vaso Resolver una situación multiplicativa (de proporcionalidad).

Resolver problemas Números Razones y proporciones

6 5 20 68 1 68


42

ACTIVIDADES DE LA PRUEBA - SEXTO AÑO DE EDUCACIÓN PRIMARIA

Código

del ítem

Orden

en la

prueba



A B C D S/R %

correcta

2191 1 Venta de entradas Resolver una situación aditiva. Resolver problemas Números Operaciones 74 7 16 0 74

2219 2 Jugadores 2 Ordenar números decimales. Aplicar conceptos Números Conjuntos numéricos 9 16 10 66 0 66

2240 3 Medallas 2 Asociar una misma información dada en dos registros (tabla y grafico).


Representación e interpretación de datos 9 5 78 7 0 78

2224 4 Redes sociales 2 Interpretar información representada gráficamente.


Representación e interpretación de datos 11 62 13 14 0 62

2192 5 Juego de la memoria Identificar la fracción que expresa la probabilidad de un suceso.

Aplicar conceptos Probabilidad y estadística

Probabilidad de un suceso 24 42 25 8 0 42

2257 6 Pintar de rojo 2/3 Reconocer la relación parte-todo en la representación de una fracción para relacionarlo con una fracción equivalente.

Resolver problemas Números Conjuntos numéricos

22 20 35 23 0 35

2213 7 El muro Calcular para comparar números racionales en diferentes representaciones.

Resolver problemas Números Conjuntos numéricos 9 12 66 14 0 66

2258 8 Trazado de un triángulo equilátero

Identificar el trazado con regla y compás de un triángulo equilátero.

Ejecutar algoritmos Geometría Figuras planas 77 3 7 13 0 77



2242 10 El cuarto de Martín 7 Asociar la representación en perspectiva de un conjunto de objetos con su proyección ortogonal.

Resolver problemas Geometría Figuras espaciales 57 12 7 25 0 57

2251 11 La altura de Ana Estimar una cantidad de longitud teniendo como referencia una escala.

Resolver problemas Medición Medida CT CP SC

40 16 44



43

Código

del ítem

Orden

en la

prueba



A B C D S/R %

correcta

2202 12 Más niñas Reconocer la relación entre la cantidad de elementos de dos subconjuntos de un conjunto dado para calcular.


2195 13 Afirmaciones sobre múltiplos

Identificar una regularidad relacionada al concepto de múltiplo.

Aplicar conceptos Cambio y relaciones

Secuencias y patrones 31 53 8 9 1 53

2200 14 Las guardias Resolver una situación aditiva que implica hallar un múltiplo común a dos números.

Resolver problemas Números Divisibilidad 22 32 21 25 1 25

2197 15 La clase de gimnasia Identificar el argumento que valida una proposición.

Aplicar conceptos Números Divisibilidad 13 62 8 17 0 17

2196 16 Iluminación Calcular un porcentaje a partir de información gráfica.

Resolver problemas Números Razones y proporciones 32 13 51 3 1 32

2227 17 Producto de la semana 1

Calcular un porcentaje de una cantidad en una situación de descuento.

Resolver problemas Números Razones y proporciones 25 18 32 24 1 32

2199 18 Concentración de agua

Reconocer que la relación que indica un porcentaje es independiente de las cantidades consideradas.

Resolver problemas Números Razones y proporciones

10 6 75 9 0 10

2225 19 Chicos en internet Identificar un porcentaje expresado a través de una relación explicitada en lenguaje natural y gráfico.

Aplicar conceptos Números Razones y proporciones

28 9 7 56 0 56

2193 20 Tazas de café Calcular un cuarto proporcional. Resolver problemas Números Razones y proporciones 64 10 11 15 0 64

Informe Evaluación en Línea 2016 Área Matemática · existen entre las operaciones y sus...

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