MATERIA:

METODOS NUMERICOS

DOCENTE:

ING. ESTEBAN SAMANIEGO

INTEGRANTES:

-MARCELO CARDENAS

-JOSUE FAJARDO

-JUAN NARVAEZ

-CRISTIAN VIZHÑAY

SEPTIEMBRE – JUNIO

2014-2015

1. Método de Horner Propósito: Encontrar cero de funciones Nombre función: n_horner(px,xo)

Sintaxis:-Argumentos de Entrada-px coeficientes de polinomio-xo primera aproximación inicial

-Argumentos de Salida

-raices

-cocientes

Descripción del Método:

Sea un polinomio: Pn ( x )=a0 xn+a1 x

n−1+…+an

Se toman: { d0=a0dk=ak+dk−1 x0(k=1 ,…,n−1)

dn=P (x0 )

Así el cociente de hacer P ( x )/( x−x0 ) es:

Q ( x )=d0 xn−1+d1 x

n−1+…+dn−1

Las ventajas del método de Horner son:

Podemos expresar un polinomio en forma: P ( x )=(x−x0 )Q (x )+dn Al derivar la expresión, tenemos: P ´ ( x )=Q (x )+(x−x0 )Q´ ( x ) . Es decir,

P ´ (x0 )=Q (x0 )

La evaluación usando la forma monomial del polinomio de grado-n requiere al

menos n sumas y (n2+n)/2 multiplicaciones, si las potencias se calculan

mediante la repetición de multiplicaciones. El algoritmo de Horner sólo

requiere n sumas y n multiplicaciones. (Minimizar el número de multiplicaciones

es lo más deseable porque necesitan mucha carga computacional y son

inestables comparadas con la suma).

Se han demostrado que el algoritmo de Horner es óptimo, de modo que

cualquier algoritmo que se use para evaluar un polinomio requerirá como

mínimo el mismo número de operaciones. El hecho de que el número de

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operaciones requeridas es mínimo fue demostrado por Alexander Ostrowski en

1954, y que el número de multiplicaciones es mínimo por Victor Pan en 1966.

Cuando x es una matriz, el algoritmo de Horner no es óptimo.

Ejemplo

Utilice el método de la Newton horner para encontrar una raíz real de la ecuación f(x)= x2−4 x+4 siendo x0=1

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2. Metodo LU Proposito: Encontrar la solución de un sistema de ecuaciones y el

valor del Determinate

Nombre de la función: LU(matrizA,matrizb)

•Sintaxis

-Argumentos de entrada:-Matriz A-Matriz B

-Argumentos de Salida-Matriz A-Matriz U-Matriz L-Determinante A- Determinante U- Determinante L-Solución del sistema

Descripción del Método.

Básicamente la descomposición LU consiste en descomponer la matriz en dos matrices cuyo producto es la matriz original.

Una factorización LU de una matriz A es un par de matrices L(Lower) y U (Upper) donde, U es triangular superior, L es triangular inferior y todos los elementos diagonales de L son iguales a 1.

Si tenemos una matriz factorizada de esta manera, se puede simplificar operaciones como la de encontrar el determinante de la matriz o resolver sistema de ecuaciones lineales donde esta matriz es la matriz de coeficientes.

Para determinar directamente la expresión de los coeficientes de L y de U en función de los de

A basta multiplicar dichas matrices y comparar sus coeficientes con los de A.

Operando sucesivamente de la misma forma se llega a la siguiente expresión general para calcular los coeficientes de L y U

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Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

La resolución del sistema de ecuaciones Ax = b corresponde a resolver los sistemas triangulares

La ventaja fundamental de esta factorización aparece cuando hay que resolver muchos sistemas lineales con la misma matriz de coeficientes A y diferentes términos en la matriz de términos independientes b, en cuyo caso basta almacenar las matrices L y U una sola vez.

Calculo del Determinante

El determinante de la matriz A podemos calcularlo mediante la multiplicación de los determinantes correspondientes a la factorización LU de esta matriz es decir

det(A)=det(L)*det(u)

Al tratarse de matrices triangulares, se simplifica el cálculo de los determinantes, en las matrices L y U, a la multiplicación de los elementos de sus diagonales.

Ejemplo

Utilice el método de LU para encontrar las raíces reales del sistema de ecuaciones:

4x1-2x2+x3=11

20X1-7x2+12x3= 70

-8x1+13x2+17x3=17

De la forma Ax=b, además encontrar el determinante de la matriz A.

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3. Metodo Jacobi

Proposito: Encontrar la solución de un sistema de ecuaciones

Nombre función: jacobi(a,b,tol,x0,nmax)

Sintaxis:-Argumentos de Entrada:

a: matriz de coeficinetes

b: matriz de términos independientes

tol: tolerancia

x0: valor inicial

nmax: numero de iteraciones maximo

-Argumentos de SalidaNumero de iteraciones

Solución del sistema

Descripcion del Metodo

Un método iterativo con el cual se resuelve el sistema lineal Ax = b comienza con una aproximación inicial x(0)a la solución x y genera una sucesión de vectores x(k) que converge a x. Los métodos iterativos traen consigo un proceso que convierte el sistema Ax = b en otro equivalente de la forma x = Tx + c para alguna matriz fija T y un vector c. Luego de seleccionar el vector inicial x(0) la sucesión de los vectores de la solución aproximada se genera calculando:

x(k) = Tx(k-1) + c para cada k = 1,2,3,....

El método se escribe en la forma x(k) = Tx(k-1) + c separando A en sus partes diagonal D y fuera de la diagonal. Sea D la matriz diagonal cuya diagonal es la misma que A, sea -L la parte estrictamente triangular inferior de la parte A y sea -U la parte estrictamente triangular superior de A.

Con esta notación A = D-L-U, entonces transformamos la ecuación Ax = b, o (D-L-U)x = b, en Dx = (L+U)x + b y, si D-1 existe, es decir, si ai,i es distinto de cero para cada i, entonces x = D-1(L+U)x + D-1b. Esto da origen a la forma matricial del métodoiterativo de Jacobi: x(k) = D-1(L+U)x(k-1) + D-1b, k = 1,2,... Al introducir la notación Tj = D-1(L+U) y cj, esta técnica tiene la forma x(k) = Tx(k-1) + c

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Una vista a la ecuación: del método de jacobi, sugiere algunas mejoras al algoritmo; en el sentido de que cuando queremos calcular x(k) utilicemos las componentes de x(k-1) y las recién calculadas de x(k) pues estas probablemente sean una mejor aproximación a la solución.

Así la nueva ecuación es:

Es de mencionar el siguiente teorema: " Si A es estrictamente diagonal dominante, entonces con cualquier elección de la aproximación inicial, el método de Jacobi da una sucesión que converge a la solución única de Ax = b"

Ejemplo:

Utilice el método de Jacobi para encontrar las raíces reales del sistema de ecuaciones:

10x1+2x2+x3=7

X1+5x2+x3= -8

2x1+3x2+10x3=6

Siendo x1=¿ 0 , x2=0 ,x3=0 con una tolerancia de 0.01 y un número máximo de iteraciones de 100.

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4. MÉTODO GAUSS SEIDEL

Proposito: Encontrar la solución de un sistema de ecuaciones

Nombre función: seidel1(a,b,tol,x0,nmax)

Sintaxis-Argumentos de Entrada:

a: matriz de coeficinetes

b: matriz de términos independientes

tol: tolerancia

x0: valor inicial

nmax: numero de iteraciones maximo

-Argumentos de SalidaNumero de iteraciones

Solución del sistema

Descripción del Método:

Es un método iterativo, lo que significa es que para encontrar la solución a un sistema de ecuaciones lineales, en notación matricial: Ax=b. se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se desee.

La diferencia entre este método y el de Jacobi es que, en este último, las mejoras a las aproximaciones no se utilizan hasta completar las iteraciones.

El método de Gauss-Seidel converge a una solución del sistema de ecuaciones Ax=b, y la convergencia es por lo menos tan rápida como la convergencia del método de Jacobi.

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Su pongamos ahora que λi, i=1, …, n, son los valores propios que corresponden a los vectores propios ui, i=1,…, n, los cuales son linealmente independientes, entonces podemos escribir el error inicial

Por lo tanto la iteración converge si y solo si |λi|<1, para i=1,…, n.

Ventajas: más exacto y rápido, acepta las fracciones Desventajas: muy largo y tedioso, no siempre converge a la solución, repetitivo.

Ejemplo:

Utilice el método de Gauss-Seidel para encontrar las raíces reales del sistema de ecuaciones:

10x1+2x2+x3=7

X1+5x2+x3= -8

2x1+3x2+10x3=6

Siendo x1=¿ 0 , x2=0 ,x3=0 con una tolerancia de 0.01 y un número máximo de iteraciones de 100.

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