Informe de Laboratorio 2 Irwin

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INFORME DE LABORATORIO 2 TUTOR: MOISES RODRIGUEZ CAMILO ACUÑA PRESENTADO POR: IRWIN HINCAPIE FERREIRA 7602301 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD INGENIERÍA ELECTRONICA CONTROL ANALÓGICO

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control analogico

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INFORME DE LABORATORIO 2

TUTOR:

MOISES RODRIGUEZ

CAMILO ACUÑA

PRESENTADO POR:

IRWIN HINCAPIE FERREIRA

7602301

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

INGENIERÍA ELECTRONICA

CONTROL ANALÓGICO

SANTA MARTA

2015

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INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo, veremos el desarrollo de la práctica 2 del laboratorio del curso de control analógico, donde analizaremos la observabilidad y controlabilidad para los sistemas propuestos en espacios de estado. Esta práctica se llevará a cabo mediante el software en el entorno de desarrollo de “matlab”.

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OBJETIVOS

Objetivo General Identificar las competencias adquiridas por el estudiante en el análisis de la observabilidad

y la controlabilidad del sistema.

Objetivos Específicos: Realizar el análisis de un sistema propuesto con el fin de adquirir mayor destreza en el

análisis de las características de controlabilidad y observabilidad. Fortalecer las competencias matemáticas en el análisis y argumentación de la resolución de

problemas de controlabilidad y observabilidad de sistemas. Desarrollar y adquirir mayores habilidades en el manejo del software Matlab como

herramienta para la solución problemas de análisis de sistemas observables y controlables.

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MARCO TEÓRICO

CONTROLABILIDAD

Cualquier sistema donde se debe realizar el control sobre varias variables de entrada y generar varias señales de salida, podemos modelarlo a través del espacio de estados. El modelo en espacio de estados estará constituido por cuatro matrices organizadas en una ecuación de estados y una ecuación de salida respectivamente así:

˙x (t )=Ax (t ) Bu ( t )˙y (t )=Cx (t ) Du (t )

Dónde:

x = Vector de estado.y = Vector de salida.u = Vector de control o transmitancia directa (de orden r)A = Matriz de estados.B = Matriz de entrada.C = Matriz de salida.

Estas matrices nos pueden entregar mucha información que nos permitirá determinar la Controlabilidad y Observabilidad del sistema.

El estado de un sistema, el cual es el conjunto de valores de la Variables del sistema, describe completamente el sistema en cualquier momento dado. Es decir, ninguna información del pasado de un sistema ayudará a predecir el futuro, si los estados en el presente no son conocidos. Por lo tanto, la controlabilidad de estado significa usualmente que es posible, por entradas admisibles, cambiar los estados de cualquier valor inicial a cualquier otro valor final dentro de un intervalo de tiempo. Dicho de otra forma un sistema es completamente controlable si cada variable de estado del proceso se puede controlar para llegar a un cierto objetivo en un tiempo finito, a través de algún control no restringido u(t). Cabe destacar que controlabilidad no significa que una vez alcanzado un estado es posible mantenerlo ahí, sino solamente que puede alcanzarse ese estado.

El sistema es completamente controlable si la matriz de controlabilidad C es de rango completo.

OBSERVAVILIDAD

Formalmente, se dice que un sistema es observable si, mediante cualquier secuencia de los vectores de estado y de control, el estado actual puede determinarse en un tiempo finito usando solamente las salidas (esta definición está orientada hacia la representación de

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espacios de estados). De manera menos formal, esto significa que a partir de las salidas de un sistema es posible conocer el comportamiento de todo el sistema. Cuando un sistema no es observable, quiere decir que los valores actuales de algunos de sus estados no pueden ser determinados mediante sensores de salida, esto implica que su valor es desconocido para el controlador y, consecuentemente, no será capaz de satisfacer las especificaciones de control referidas a estas salidas. Es decir que un sistema es completamente observable si cada variable de estado del sistema afecta alguna de las salidas. En otras palabras, con frecuencia es deseable obtener información sobre las variables de estado de las mediciones de las salidas y las entradas. Si cualquiera de los estados no se puede observar a partir de las mediciones de las salidas, se dice que el estado es no observable, y el sistema no es completamente observable, o simplemente no observable.

Para determinar si un sistema es observable hay que hallar la matriz de observabilidad O a partir de ecuación de estados:

˙x (t )=Ax (t ) Bu ( t )

Dónde:

x = Vector de estado (vector de orden n)u = Vector de control (de orden r).A = Matriz de estados.B = Matriz de entrada.

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PRACTICA N° 2. DISEÑO DE CONTROLADORES

PROCEDIMIENTO:

Para el siguiente sistema expresado en espacio de estados:

˙x (t )=Ax (t ) Bu ( t )

˙y (t )=Cx (t ) Du (t )

Figura 3 - Representación del sistema en espacio de estados

Dónde:

Figura 1. Matrices del espacio de estados

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Determinar, explicando todo el procedimiento empleado:

a. Su Controlabilidad.

Se dice que un sistema es controlable en el tiempo t0 si se puede transferir desde cualquier estado inicial x(t0) a cualquier otro estado, mediante un vector de control sin restricciones, en un intervalo de tiempo finito.

Definimos las matrices ingresándolas en “Matlab”.

Insertamos el comando para hallar la matriz de controlabilidad y el rango de la misma. En las siguientes imágenes:

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Así obtendremos:

Análisis: Después de calcular el rango de la matriz de controlabilidad, la cual nos dio como resultado 4, donde el orden del sistema es 4, ya que existen 4 estados, entonces los resultados coinciden y por lo tanto el sistema es completamente controlable.

Para comprobar este resultado, podemos utilizar un método alternativo, el cual consiste en digitar el comando ctrb (A, B), en donde nos reanuda de nuevo la matriz de controlabilidad y al hallar el rango, se comprueba el resultado primeramente obtenido:

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b. Su Observabilidad.

Se dice que un sistema es observable en el tiempo t0 si, con el sistema en el estado x(t0), es posible determinar este estado a partir de la observación de la salida durante un intervalo de tiempo finito.

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Definimos las matrices ingresándolas en “Matlab”.

Insertamos el comando para hallar la matriz de Observabilidad y el rango de la misma. En las siguientes imágenes:

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Análisis: Después de evaluar el rango de la matriz de observabilidad, nos da como resultado 4, donde el orden del sistema es 4, entonces los resultados coinciden y por lo tanto el sistema es completamente observable.

Otra comprobación de este resultado es utilizando el método alterno, que consiste en digitar el siguiente comando obsv(A, C), lo que nos retorna de nuevo la matriz de observabilidad y de ella volvemos a hallar el rango, lo que nos comprueba el resultado anteriormente obtenido:

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CONCLUSIONES

Con base en un sistema propuesto, se realizó el análisis correspondiente para hallar la controlabilidad y observabilidad, planteando las ecuaciones características para cada caso y matemáticamente hallando su solución.

Se comprobó la propiedad de la controlabilidad que especifica que el comportamiento de un sistema puede ser controlado por medio de sus entradas, donde se dice que un sistema es controlable en un tiempo t0 si se puede trasferir desde cualquier estado inicial x(t0) a cualquier otro estado, mediante un vector de control sin restricciones, en un intervalo de tiempo finito.

Se comprobó la propiedad de la observabilidad, nos indica que si el comportamiento interno del sistema puede detectarse en sus salidas, donde se dice que un sistema es observable en el tiempo t0 si, con el sistema en el estado x(t0), es posible determinar este estado a partir de la observación de la salida durante un intervalo de tiempo finito.

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REFERENCIAS

Marín, B, F. (2013). 299005 – CONTROL ANALÓGICO. Disponible en URL: http://www.unad.learnmate.co/file.php/448/Modulo%20en%20Linea/index.html. [Consulta 26 de abril de 2015].