Informe Cuerdas Vibrantes 2011-II

Cuerdas Vibrantes Laboratorio de Física II

Cuerdas VibrantesObjetivo

Analizar y estudiar en forma experimental la relación entre la frecuencia, la tensión, la densidad lineal y la longitud de onda que se producen en una onda estacionaria transversal.

Equipo

Un vibrador Una fuente de corriente continúa Un vasito de plástico Una polea sargenta Cuatro masas Una regla graduada de un metro Una cuerda

Fundamento Teórico

Las ondas en una cuerda vibrante son fáciles de visualizar, al tiempo que presentan la mayoría de las propiedades generales comunes a todas las ondas. Por esta razón van a servir de introducción útil al estudio de las ondas. La teoría de las cuerdas vibrantes tiene aplicación directa a los instrumentos musicales tales como la guitarra, el piano y el violín; a los cables de tendido aéreo, como los de las líneas de transporte de la energía, líneas telefónicas y puentes colgantes. La teoría tiene una aplicación indirecta al estudio de la estructura atómica a causa de la estrecha analogía existente entre los modos normales de vibración de una cuerda y los estados energéticos de una átomo.

Ondas en una cuerda tensa

Imaginemos una cuerda larga fija por un extremo. Si damos al otro extremo una sacudida brusca hacia arriba y hacia abajo, se genera un pulso que se propaga por la cuerda con velocidad constante. El pulso constituye una región limitada de la cuerda que se encuentra perturbada con relación a su posición normal (de equilibrio). Es esta región de perturbación la que se mueve a lo largo de la cuerda.

Si se sacude continuamente el extremo libre de la cuerda, en ésta se forman ondas estacionarias. Muy frecuentemente nos encontraremos con dichas ondas, pero el término “onda” suele utilizarse para cualquier perturbación que se propague de esta manera, independientemente de cual sea su forma.

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Definición: Una onda es una perturbación de un medio que se propaga por él con una velocidad constante v característica del medio. En el ejemplo que nos ocupa, la cuerda es el medio y la perturbación el desplazamiento de los puntos de la cuerda respecto a su posición no perturbada, o de equilibrio.

Ondas periódicas

Ondas transversales periódicas: Aquella onda en la cual los puntos del medio se mueven perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda. Las ondas en una cuerda son transversales porque los puntos de la cuerda se mueven perpendicularmente a la cuerda mientras la onda se propaga a lo largo de ella.

Onda periódicas longitudinales: Aquella onda en la cual los puntos del medio se mueven en uno y otro sentido en la dirección de propagación de la onda. Se puede establecer una onda longitudinal en un resorte largo apretando entre sí algunas espiras de un extremo y soltándolas después. Al volver a su posición de equilibrio dichas espiras, las espiras próximas se comprimen, las cuales a su vez vuelven a sus posiciones de equilibrio comprimiendo nuevas espiras a lo largo del resorte.

Velocidad de una onda

Puede demostrarse que la velocidad v de una onda en una cuerda de masa m y longitud L es

v=√ TmL

Donde T es la tensión. La cantidad m/L es la masa por unidad de longitud, o densidad lineal, de la cuerda. Así pues, si hacemos

μ=mL

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La velocidad de la onda será

v=√Tμ

Considerando además la relación entre la velocidad de propagación, la frecuencia y la longitud de onda, v=fλ, puede demostrarse que las frecuencias para las que se observarán ondas estacionarias en una cuerda están dadas por:

f n=n2 L √Tμ

Procedimiento

Disponga e equipo sobe la mesa tal como indica el diagrama. Ponga las masas en el vasito, haga funcionar el vibrador, varíe

lentamente la distancia del vibrador hasta la polea hasta que se forme un nodo muy cerca al vibrador. Mida la distancia L desde la polea hasta el nodo inmediato al vibrador. Anote el número n de semilongitudes de onda contenidos.

Repita el paso anterior con las diferentes masas dadas dentro del baldecito, cuyo peso debe ser añadido al del peso contenido en él para referirnos a la fuerza F. Como resultado de los pasos llenar el cuadro de la siguiente página.

Cálculos y Resultados

1. Calcule f, λ, y v para cada peso llenando el cuadro siguiente:

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Mayor Energía Cinética

MayorEnergía Potencial


Masa (Kg)

F(N) n L(m) f(s-1) Λ(m) v(ms-1)

0.0154 0.15 3 0.67 42.01 0.447 18.779

0.025 0.245 2 0.583 32.186 0.583 18.764

0.0348 0.341 2 0.68 41.607 0.68 28.293

0.0362 0.355 2 0.698 41.357 0.698 28.867

0.0736 0.721 1 0.496 41.471 0.992 41.139

0.0834 0.817 1 0.539 40.624 1.078 43.793

0.0946 0.924 1 0.56 41.652 1.12 46.650

f promedio=42 .01+32.186+41.607+41.357+41. 471+40 .624+41.652

7=40 .130

2. Grafique un perfil de la cuerda indicando la posición de mayor Energía Cinética y la posición de mayor Energía Potencial en la cuerda.

Teniendo en cuenta lo siguiente:

EPotencial = 12K x2 ECinetica =

12mv ²

- Se observa que en los vientres la velocidad de la cuerda es máxima por lo tanto es ahí donde se encuentra la mayor energía cinética.

- Por otro lado en los nodos la posición es la máxima entonces ahí se encuentra la mayor energía potencial de la cuerda.

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A diferencia del caso de la onda viajera, para el cual la energía cinética permanece constante en el tiempo, en la onda estacionaria resulta una cantidad oscilante. La razón es que para una onda viajera en una longitud de onda hay en todo momento puntos con velocidad máxima y puntos en reposo, y todas las posibilidades intermedias. En una onda estacionaria todos los puntos oscilan al unísono de forma que en un instante todos tienen la velocidad máxima (y la energía cinética es máxima), y en otro están todos en reposo (y la energía cinética es nula).

Observamos que, en la propagación de una perturbación, las partículas se mueven, pero retornan a sus posiciones de equilibrio, cuando pasa la perturbación. Entonces, lo que se propaga no es la materia, sino su cantidad de movimiento.

Primero todas las partículas de una cuerda, en la cual hay una onda estacionaria, tienen energía (cinética, potencial).

En un sistema vibratorio, la energía cinética y potencial de un sistema se distribuyen de tal forma que la pulsación (y, por ello, la energía total) es mínima. También es importante saber que la energía cinética media es igual a la energía potencial media.

Para que se presente una máxima energía potencial, las partículas deben tener una máxima elongación, es decir que su desplazamiento transversal sea igual al de la amplitud A.

Además por el principio de la conservación de la energía, las partículas que presentan máxima energía potencial, luego de algún tiempo al pasar dichas partículas por la posición de equilibrio (eje X), su energía potencial se transforma en energía cinética la cual también será máxima.

Entonces aquellas partículas que se encuentran en las posiciones:x = λ/4 ; 3λ/4 ; 5λ/ ; ….. (De haberlos); presentan una máxima energía potencial y una máxima energía cinética en distintos tiempos. Además las posiciones mencionadas corresponden a los antinodos.

Los Nodos son aquellas partículas de la cuerda que no se caracterizan por tener energía sino por transmitir cantidad de movimiento.

3. Grafique v2 versus F e interprete el resultado. Haga ajuste de la gráfica por mínimos cuadrados.

Realizando el método de mínimos cuadrados para el ajuste de la curva, utilizamos el cuadro de datos.

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xi=F yi=v2

n = 4 (número de datos)

Reemplazando estos resultados en las ecuaciones normales:

∑i=1

n

yi=a0n+a1∑i=1

n

x i

∑i=1

n

yi x i=a0∑i=1

n

x i+a1∑i=1

n

x i2

f ( x )=2347.4 x−0.4466

v2=2347.4 F−0.4466

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.10

500

1000

1500

2000

2500

3000

f(x) = 2347.20281704473 x − 0.446863664678631R² = 0.999999866480621

v2 vs F

Fuerza (N)

Velo

cidad

al c

uadr

ado

(m/s

)^2

Donde se concluye que la pendiente de la recta nos representa la inversa de la densidad lineal

Pendiente de la ecuación: 2347.4

1μ=Pendiente

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Entonces el valor de la densidad lineal será:

μ=0.426 gm

De porque con los datos obtenidos experimentalmente se puede hallar la densidad lineal muy aproximada a la teórica.

Observaciones

Al poner las masas en el baldecito hay que tener en cuenta que no sea mayor que el del vibrador, ya que ello generará una aceleración al vibrador.

Vimos que el vibrador no vibraba solo de arriba a abajo, ya que la onda en la cuerda se percibía que daba vueltas en círculos.

El equipo vibrador activado por un extremo y por el otro terminal una determinada masa que son sostenidas por una cuerda generan en el espacio libre ondas transversales.

Al variar la masa en el baldecito, también lo hace la longitud de onda.

Conclusiones

Los puntos de las ondas estacionarias transportan energía a excepción de los nodos que solo transportan cantidad de movimiento.

Al realizar los cálculos pudimos concluir que conforme aumentaba la longitud de onda de la onda estacionaria, a su vez aumentaba la velocidad de propagación de la onda, y se determina que la longitud de onda varía directamente proporcional a la velocidad.

Se concluye que la energía cinética máxima ocurre en los nodos y que la energía potencial máxima; en los antinodos.

Se concluye que las ondas estacionarias en una cuerda se producen cuando existe una tensión en dicha cuerda, generando una velocidad que depende de la densidad lineal de la cuerda y de la tensión de ella.

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Bibliografía

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Resnick-Halliday-Krang, “Física”, Editorial Cecsa; 4ta edición en español, pág. 414-418.

Sears – Semanzky, “Física Universitaria”, Editorial Pearson, Decimosegunda edición, Capitulo 15; pág. 488-501.

Serway – J.W.Jewett, Editorial Thomson, Sextaedición; pág. 549-555.

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