UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

“FRANCISCO DE MIRANDA”

AREA DE TECNOLOGÍA

COMPLEJO ACADÉMICO EL SABINO

UNIDAD CURRICULAR: ESTADÍSTICA

PROF(A): ING.MERLY ROJAS

TEORÍA DE PROBABILIDAD

PROBABILIDAD

La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un

experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la

filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas

complejos.

HISTORIA

El estudio científico de la probabilidad es un desarrollo moderno. Los juegos de azar muestran que ha habido un

interés en cuantificar las ideas de la probabilidad durante milenios, pero las descripciones matemáticas exactas de

utilidad en estos problemas sólo surgieron mucho después.

Según Richard Jeffrey, "Antes de la mitad del siglo XVII, el término 'probable' (en latín probable) significaba

aprobable. Una acción u opinión probable era una que las personas sensatas emprenderían o mantendrían, en las

circunstancias.

Pierre-Simon Laplace (1774) hizo el primer intento para deducir una regla para la combinación de observaciones a

partir de los principios de la teoría de las probabilidades. Representó la ley de la probabilidad de error con una curva

y = φ(x), siendo x cualquier error e y y su probabilidad, y expuso tres propiedades de esta curva:

1. es simétrica al eje y;

2. el eje x es una asíntota, siendo la probabilidad del error igual a 0;

3. la superficie cerrada es 1, haciendo cierta la existencia de un error.

Dedujo una fórmula para la media de tres observaciones. También obtuvo (1781) una fórmula para la ley de facilidad

de error (un término debido a Lagrange, 1774), pero una que llevaba a ecuaciones inmanejables. Daniel Bernoulli

(1778) introdujo el principio del máximo producto de las probabilidades de un sistema de errores concurrentes.

La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras

una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico.

APLICACIONES

Dos aplicaciones principales de la teoría de la probabilidad en el día a día son en el análisis de riesgo y en el

comercio de los mercados de materias primas. Los gobiernos normalmente aplican métodos probabilísticos en

regulación ambiental donde se les llama "análisis de vías de dispersión", y a menudo miden el bienestar usando

métodos que son estocásticos por naturaleza, y escogen qué proyectos emprender basándose en análisis

estadísticos de su probable efecto en la población como un conjunto. No es correcto decir que la estadística está

incluida en el propio modelado, ya que típicamente los análisis de riesgo son para una única vez y por lo tanto

requieren más modelos de probabilidad fundamentales, por ej. "la probabilidad de otro 11-S". Una ley de números

pequeños tiende a aplicarse a todas aquellas elecciones y percepciones del efecto de estas elecciones, lo que hace

de las medidas probabilísticas un tema político.

Un buen ejemplo es el efecto de la probabilidad percibida de cualquier conflicto generalizado sobre los precios del

petróleo en Oriente Medio - que producen un efecto dominó en la economía en conjunto. Un cálculo por un mercado

de materias primas en que la guerra es más probable en contra de menos probable, probablemente envía los precios

hacia arriba o hacia abajo e indica a otros comerciantes esa opinión. Por consiguiente, las probabilidades no se

calculan independientemente y tampoco son necesariamente muy racionales. La teoría de las finanzas conductuales

surgió para describir el efecto de este pensamiento de grupo en el precio, en la política, y en la paz y en los

conflictos.

Se puede decir razonablemente que el descubrimiento de métodos rigurosos para calcular y combinar los cálculos de

probabilidad ha tenido un profundo efecto en la sociedad moderna. Por consiguiente, puede ser de alguna

importancia para la mayoría de los ciudadanos entender cómo se calculan los pronósticos y las probabilidades, y

cómo contribuyen a la reputación y a las decisiones, especialmente en una democracia.

Otra aplicación significativa de la teoría de la probabilidad en el día a día es en la fiabilidad. Muchos bienes de

consumo, como los automóviles y la electrónica de consumo, utilizan la teoría de la fiabilidad en el diseño del

producto para reducir la probabilidad de avería. La probabilidad de avería también está estrechamente relacionada

con la garantía del producto.

Se puede decir que no existe una cosa llamada probabilidad. También se puede decir que la probabilidad es la

medida de nuestro grado de incertidumbre, o esto es, el grado de nuestra ignorancia dada una situación. Por

consiguiente, puede haber una probabilidad de 1 entre 52 de que la primera carta en una baraja de cartas es la J de

diamantes. Sin embargo, si uno mira la primera carta y la reemplaza, entonces la probabilidad es o bien 100% o 0%,

y la elección correcta puede ser hecha con precisión por el que ve la carta. La física moderna proporciona ejemplos

importantes de situaciones determinísticas donde sólo la descripción probabilística es factible debido a información

incompleta y la complejidad de un sistema así como ejemplos de fenómenos realmente aleatorios.

En un universo determinista, basado en los conceptos newtonianos, no hay probabilidad si se conocen todas las

condiciones. En el caso de una ruleta, si la fuerza de la mano y el periodo de esta fuerza es conocida, entonces el

número donde la bola parará será seguro. Naturalmente, esto también supone el conocimiento de la inercia y la

fricción de la ruleta, el peso, lisura y redondez de la bola, las variaciones en la velocidad de la mano durante el

movimiento y así sucesivamente. Una descripción probabilística puede entonces ser más práctica que la mecánica

newtoniana para analizar el modelo de las salidas de lanzamientos repetidos de la ruleta. Mucha gente hoy en día

confunde el hecho de que la mecánica cuántica se describe a través de distribuciones de probabilidad con la

suposición de que es por ello un proceso aleatorio, cuando la mecánica cuántica es probabilística no por el hecho de

que siga procesos aleatorios sino por el hecho de no poder determinar con precisión sus parámetros fundamentales,

lo que imposibilita la creación de un sistema de ecuaciones determinista.

TEORÍA DE PROBABILIDAD

ESPACIO MUESTRAL

Un espacio muestral S asociado a un experimento aleatorio, es un conjunto tal que:

a) Cada elemento de S representa un resultado del experimento

b) Cualquier forma de verificar el experimento da un resultado que corresponde a un elemento de S y sólo

uno.

Ejemplo: si lanzamos dos monedas, una de 1 Euro y otra de 50 céntimos, el espacio muestral será

siendo C la cara de una moneda y X el reverso de la misma o cruz.

SUCESOS

Sea S un espacio muestral dado. Un suceso es un subconjunto de S.

Así si en un experimento el espacio muestral es siendo n finito, un suceso puede ser

Suceso simple es un subconjunto unitario de S. Esto es, habrá n sucesos simples , , …,

El suceso no es un suceso simple, sino que es la unión de dos sucesos simples:

Suceso imposible.- El suceso vacío o suceso imposible es el que no tiene ningún elemento y se le llama

Suceso seguro.- Es el que ocurre siempre en un determinado experimento. O sea que es el espacio

muestral. Suceso seguro = S

Sucesos incompatibles o disjuntos.- Son los que no pueden ocurrir a la vez.

Por ejemplo si , , E y F son incompatibles, no pueden ocurrir a la vez y entonces

. Sin embargo los sucesos E y no son incompatibles, cuando ocurre está ocurriendo E

y G y en este caso

Sucesos contrarios o complementarios

Dado un suceso cualquiera E, el suceso contrario o complementario es el que ocurre cuando no ocurre E. O sea

que, además de ser incompatibles, o sea , se complementan para formar el espacio muestral, o sea que

LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO

Probabilidad.- A cada suceso simple le asignamos un número representado por y

denominado probabilidad del suceso . Estos números (probabilidades) pueden asignarse

arbitrariamente, con tal que satisfagan las siguientes condiciones:

a) La probabilidad de cada suceso simple es un número no negativo, es decir siendo

b) La suma de las probabilidades asignadas a todos los sucesos simples de un espacio muestral es 1. Esto es:

Por tanto siendo

Probabilidad del suceso imposible.- El suceso imposible tiene de probabilidad 0.

Probabilidad de un suceso.- Si E es la unión de dos o más sucesos simples, la probabilidad de E,

representada por P(E) es la suma de las probabilidades de los sucesos simples cuya unión es E.

ALGUNOS TEOREMAS DE PROBABILIDADES

Probabilidad del suceso seguro.- La probabilidad del suceso seguro es 1, es decir

Demostración

Si E y F son sucesos tales que (E está incluido o es subconjunto de F, o sea que si ocurre E ocurre

también F, , E implica F)

En resumen: Si

Probabilidad de un suceso cualquiera.- Siendo E un suceso cualquiera

Probabilidad de la unión de dos sucesos.-

Si los sucesos son incompatibles en ese caso

Si son sucesos incompatibles

Probabilidad de sucesos complementarios.- Si el suceso complementario de E, es

Demostración

Por ser E y complementarios E y incompatibles

, y como

Subconjuntos.

Si A es subjunto de B o es igual a B, o sea , ya que si A tiene menos elementos

que B y todos ellos están en B, al sumar las probabilidades de cada suceso simple dará un número menor

en A que en B. Si A=B lógicamente P(A)=P(B)

Resta de conjuntos.-

Se define el conjunto A-B como el que está formado por los elementos de A que no están en B. Por tanto si quitamos

a A los elementos comunes a A y B ( ) nos queda A-B

Desigualdad de Boole.-

Demostración

Ya hemos visto en el punto 5) que , y que por tanto nos queda ahora que

Por otra parte de 4) se deduce que

Sustituyendo en la desigualdad que tenemos que demostrar queda:

, simplificando tenemos que hemos de demostrar ahora que

, que ya sabemos que es cierto, pues un suceso cualquiera cumple 3), y el

suceso también cumplirá que

Probabilidad de la unión de tres o más sucesos.- Vamos a probar que siendo y sucesos

cualesquiera

Para

ello vamos a representar los sucesos y en un diagrama de Venn en el que representamos a los tres

sucesos dentro del espacio muestral S

Separamos dentro del espacio muestral regiones de sucesos incompatibles, o sea sucesos que no tienen ningún

elemento en común.

Por ejemplo el suceso está compuesto de las regiones independientes y , y vamos a llamarle a la

probabilidad de que ocurra

Sustituimos esta notación en la fórmula que queremos probar

, este es el primer miembro de la igualdad.

El segundo es:

=

Luego ya lo hemos probado.

Esta fórmula que hemos probado para tres sucesos cualesquiera se puede generalizar para n sucesos así:

Desigualdad de Benferroni.-

Dados tres sucesos cualesquiera y , vamos a probar que

De la propiedad 9) se deduce que

Luego ya tenemos probada la primera desigualdad.

Y de la figura del apartado 9) donde separamos los tres sucesos en regiones, vemos que

Mientras que =

Probada la segunda desigualdad.

Por tanto probada la desigualdad doble que supone la desigualdad de Benferroni

Esta desigualdad se puede generalizar para n sucesos quedando así:

Las probabilidades son muy útiles, ya que pueden servir para desarrollar estrategias. Por ejemplo, algunos

automovilistas parecen mostrar una mayor tendencia a aumentar la velocidad si creen que existe un riesgo pequeño

de ser multados; los inversionistas estarán más interesados en invertirse dinero si las posibilidades de ganar son

buenas. El punto central en todos estos casos es la capacidad de cuantificar cuan probable es determinado evento.