Informacion Calculo

Prof. Susana Lpez 1

Universidad Autnoma de Madrid

Tema 3: Clculo diferencial

1 Clculo diferencial de funciones de una variable Real

Cuando estudiamos funcin del tipo y = f (x), nos gustara saber cmo vara la variabledependiente y cuando vara la variable x. Esto es equivalente a estudiar la inclinacin de lagrfica de la funcin en un punto determinado. Sabemos que cuando tenemos la ecuacin deuna recta y = ax+ b, el nmero a no slo nos indica la pendiente de la recta, es decir, el gradode inclinacin de la misma, sino que tambin nos indica cunto vara la variable y cuando varala variable x una unidad. Cuanto mayor sea a mayor ser la variacin de la variable y y cuantomenor sea a ms insensible ser la variable y ante cambio en la variable x.Pero, cmo medir la inclinacin de la grfica de una funcin cualquiera en un punto de-

terminado? Una respuesta a esta pregunta es definir la inclinacin de una curva en un puntocomo la pendiente de la tangente a la curva en ese punto.

1 2 3 4 5

-50

-25

25

50

75

100

125

Recta tangente en x = 3Cmo calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto x0? Como se puede

observar en el dibujo la recta tangente no es ms que el lmite de rectas secantes que pasan porel punto (x0, f (x0)) .

-2

0

2

4

6

-3 -2 -1 1 2 3x

Recta tangente como lmite de rectas secantes

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Consideremos el siguiente grfico:

-2

0

2

4

6

-3 -2 -1 1 2 3x

Recta tangente como lmite de rectas secantes

Vamos a calcular cual es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (x0, f (x0)) .Para ello consideramos la recta secante que pasa por los puntos (x0, f (x0)) y (x0 + h, f (x0 + h)) .La pendiente de la recta secante no es ms que:

f (x0 + h) f (x0)x0 + h x0

=f (x0 + h) f (x0)

h

La pendiente de la recta tangente ser el lmite del cociente anterior cuando h se hace cadavez ms pequeo, y si ese lmite existe lo definiremos como derivada de f en el punto x0 y lodenotaremos por f 0 (x0) , tambin diremos que f es diferenciable en x0,

f 0 (x0) = limh0

f (x0 + h) f (x0)h

Si f es diferenciable en todos los puntos de su dominio diremos entonces que la funcin esdiferenciable.La recta tangente que pasa por el punto (x0, f (x0)) tiene por ecuacin:

y = f (x0) + f 0 (x0) (x x0)

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1.1 Tasas de variacin y su significado econmico

Supongamos que los rendimientos de dos activos X e Y estn relacionados por la siguientefuncin y = f (x), es decir, cuando el activo X ofrece un rendimiento de a unidades el activoY ofrece un rendimiento de f (a) unidades. Si el rendimiento del activo X se incrementa enh unidades el incremento o decremento en el rendimiento del activo Y ser f (a+ h). Lavariacin del rendimiento del activo Y con relacin a la variacin del rendimiento del activo Xse denomina tasa de variacin media de f en el intervalo [a, a+ h] y es igual a:

f (a+ h) f (a)h

= tasa de variacin media

Si hacemos que el incremento de variacin, h, sea cada vez menor de tal modo que llegue aser cero lo que obtendremos ser la tasa de variacin instantnea:

f 0 (a) = limh0

f (a+ h) f (a)h

= tasa de variacin instantnea

1.2 Reglas de derivacin

Si f y g son dos funciones diferenciables entonces tambin lo ser F (x) = f (x) + g (x) yG (x) = f (x) g (x) :

F 0 (x) = f 0 (x) + g0 (x)G0 (x) = f 0 (x) g0 (x)

Si f y g son dos funciones diferenciables y g (x) 6= 0 para todo x Dom (g) entoncesH (x) = f (x) g (x) y P (x) = f(x)g(x) tambin son diferenciables:

H 0 (x) = f 0 (x) g (x) + f (x) g0 (x)P 0 (x) =

f 0 (x) g (x) f (x) g0 (x)[g (x)]2

Regla de la cadena Si f y g son dos funciones diferenciables entonces tambin lo serF (x) = (f g) (x) :

F 0 (x) = f 0 (g (x)) g0 (x)

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Reglas de derivacin Damos a continuacin una lista de reglas de derivacin.

Ejemplosf (x) = a constante f 0 (x) = 0 f (x) = 3 f 0 (x) = 0f (x) = xn f 0 (x) = nxn1 f (x) = x4 f 0 (x) = 4x3

f (x) = sinx f 0 (x) = cosxf (x) = cosx f 0 (x) = sinxf (x) = tanx f 0 (x) = 1 + tan2 x = 1

cos2 xf (x) = lnx f 0 (x) = 1xf (x) = ex f 0 (x) = ex

f (x) = ag (x) f 0 (x) = ag0 (x) f (x) = 3 cosx f 0 (x) = 3 sinxf (x) = gn (x) f 0 (x) = ngn1 (x) g0 (x) f (x) = (2x 3)3 f 0 (x) = 3 (2x 3)2 2f (x) = ln g (x) f 0 (x) = g

0(x)g(x) f (x) = ln (x

3 3x+ 2) f 0 (x) = 3x23(x33x+2)

f (x) = eg(x) f 0 (x) = g0 (x) eg(x) f (x) = esinx f 0 (x) = cosxesinx

1.2.1 Derivacin logartmica

Supongamos que g (x) y h (x) son diferenciables, entonces tambin lo son f (x) = ag(x) yf (x) = h (x)g(x) . Cmo calculamos las derivadas de estas funciones?Por ejemplo, consideremos f (x) = ag(x), si tomamos logaritmos en ambos lados de la

igualdad obtenemos:ln f (x) = ln ag(x) = g (x) ln a

derivando en ambos lados de la igualdad:

f 0 (x)f (x)

= g0 (x) ln a

despejando f 0 (x) :f 0 (x) = f (x) g0 (x) ln a = ag(x)g0 (x) ln a

Ejemplo 1

f (x) = 3x2 = f 0 (x) = 2x3x2 ln 3

Si consideramos a continuacin f (x) = h (x)g(x) , de nuevo tomando logaritmos en amboslados tenemos:

ln f (x) = lnh (x)g(x) = g (x) lnh (x)

derivando en ambos lados de la igualdad:

f 0 (x)f (x)

= g0 (x) lnh (x) + g (x)h0 (x)h (x)

despejando f 0 (x) :

f 0 (x) = h (x)g(x)g0 (x) lnh (x) + g (x)

h0 (x)h (x)

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Ejemplo 2

Si consideramos la funcin f (x) = (3 sinx+ x2)x2

aplicando la frmula anterior tenemosque la derivada de la funcin es

f 0 (x) =3 cosx+ x2

x2 2x ln

3 cosx+ x2

+ x2

3 cosx+ 2x3 sinx+ x2

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Ejercicios:

1. Derivar las funciones siguientes:

f (x) = x3 + 2x 3 f (x) = ln (ex + 1) f (x) = ln (lnx)f (x) =

x2 3 f (x) = 2x3x1 f (x) = ln

x2 + 1

f (x) = esinx3 f (x) = ex3 lnx2 f (x) = x ln (x+ 1)f (x) = ln (cosx sinx) f (x) = 3(2x2)2 f (x) = elnx2

f (x) = cos2 x f (x) = cos (x3 2x+ 2)3 f (x) = (cos 3x)2

f (x) = ln (x3 4x2 + 5)2 f (x) = 3x2 f (x) = (2x 3)x21

2. Hallar la pendiente y la ecuacin de la recta tangente a la grfica de las siguientes curvasen los puntos que se indican:

(a) f (x) = 3x+ 2 en (0, 2)

(b) f (x) = x2 1 en (1, 0)(c) f (x) = x3 2x en (1, 1)(d) f (x) = 3x + 2 en (3, 3)

(e) f (x) = sin (3x+ 2) en23, 0

(f) f (x) = ln (3x2 2) en (1, 0)(g) f (x) = x4 cosx en (0,1)

3. El nmero de personas que ven cierta serie de televisin que lleva varios aos en antenase aproxima a la funcin:

N (x) = (60 + 2x)2/3 1 x 26

donde N (x) (medido en millones) denota el nmero de espectadores semanales de la serieen la semana x. Hallar la razn de incremento de la audiencia semanal al final de lasegunda semana y al final de la semana 12. Cuntos espectadores haba en la semana 2y 24?

4. Un controlador areo detecta dos aviones que vuelan en trayectorias perpendiculares y ala misma altura. Uno de ellos dista 150 km de la torre de control y se mueve a 450 km/h.El otro est a 200 km y se desplaza a 600 km/k.

(a) A qu ritmo decrece la distancia entre los dos aviones?

(b) De cunto tiempo dispone el controlador para ordenar a uno de ellos que cambiesu ruta?

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2 Optimizacin en una variable

2.1 Funcin creciente y decreciente

Diremos que una funcin f es creciente cuando para todo x, y Dom (f) con x y se verificaque f (x) f (y) . Diremos que es estrictamente creciente si f (x) < f (y) .

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

1 2 3 4 5x

f (x) = lnx

Cuando una funcin es creciente tenemos entonces que para todo h > 0, f (x+ h) f (x) ,por tanto, f (x+ h) f (x) 0, de manera que el lmite siguiente es positivo

f 0 (x) = limh0

f (x+ h) f (x)h

0

De este modo vemos que buscar las zonas de crecimiento de una funcin se reduce a buscar lasregiones del dominio de la funcin f donde su derivada es positiva.

Diremos que una funcin f es decreciente cuando para todo x, y Dom (f) con x y severifica que f (x) f (y) . Diremos que es estrictamente decreciente si f (x) > f (y) .

0.5

1

1.5

2

2.5

-1 -0.5 0 0.5 1x

y = ex

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Cuando una funcin es decreciente tenemos entonces que para todo h > 0, f (x+ h) f (x) ,por tanto, f (x+ h) f (x) 0, de manera que el lmite siguiente es negativo

f 0 (x) = limh0

f (x+ h) f (x)h

0

De este modo vemos que buscar las zonas de crecimiento de una funcin se reduce a buscar lasregiones del dominio de la funcin f donde su derivada es negativa.

2.2 Mximos, mnimos

Diremos que a Dom (f) es un mximo de la funcin f si f (a) f (x) para todo x Dom (f).En el caso de un punto mximo la funcin pasa de ser creciente a decreciente, por tanto la

funcin derivada de la funcin f 0 (x) para de ser positiva a negativa, de manera que en el puntomximo la derivada necesariamente tiene que ser cero.Diremos que b Dom (f) es un mximo de la funcin f si f (b) f (x) para todo x

Dom (f).En el caso de un punto mnimo la funcin pasa de ser decreciente a creciente, por tanto la

funcin derivada de la funcin f 0 (x) para de ser negativa a positiva, de manera que en el puntomnimo la derivada necesariamente tiene que ser cero.

-1

-0.5

0

0.5

1

-4 -2 2 4x

y = sinx

Teorema 1 Sea f una funcin diferenciable en x0 Dom (f), si x es un mximo o mnimo dela funcin entonces

f 0 (x0) = 0

Sigamos razonando. En el caso de que la funcin sea dos veces diferenciable en un puntomximo, la pendiente de la funcin cerca de dicho punto pasa de ser creciente a decreciente,es decir, la pendiente de la funcin es decreciente en un entorno del punto x0. Como ya hemosmencionado anteriormente, al ser la funcin f 0 (x) es decreciente en un entorno de x0, se tendrentonces que f 0 (x0) 0.De modo similar si en x0 existe un mnimo de la funcin entonces f 0 (x0) 0.

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y = cosx

-1

-0.5

0

0.5

1

-4 -2 2 4x

f (x) = sinx y f 0 (x) = cosx

2.2.1 Clculo de mximos y mnimos de una funcin

A continuacin resumimos los pasos que hay que realizar para calcular los mximos y mnimosde una funcin.Dada una funcin f (x)

1. Resolvemos f 0 (x) = 0, las races de esta ecuacin sern los candidatos a mximo o mnimo.

2. Sea x0 Dom (f) tal que f 0 (x0) = 0. Calculamos f 00 (x)

(a) Si f 00 (x0) < 0 entonces en x0 existe un mximo de la funcin

(b) Si f 00 (x0) > 0 entonces en x0 existe un mnimo de la funcin

(c) Si f 00 (x0) = 0 entonces calculamos f 000 (x) y

si f 000 (x0) 6= 0 en x0 existe un punto de inflexinsi f 000 (x0) = 0 entonces

si f (4) (x0) < 0 entonces en x0 existe un mximo de la funcinsi f (4) (x0) > 0 entonces en x0 existe un mnimo de la funcinsi f (4) (x0) = 0 entonces calculamos f (5) (x) y

si f (5) (x0) 6= 0 en x0 existe un punto de inflexinsi f (5) (x0) = 0 en x0 calculamos f (6) (x) ysi f (6) (x0) < 0 entonces en x0 existe un mximo de la funcinsi f (6) (x0) > 0 entonces en x0 existe un mnimo de la funcinsi f (6) (x0) = 0...

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2.3 Concavidad y convexidad

Diremos que una funcin es convexa en un entorno I = [a, b] Dom (f) si la recta que unelos puntos f (a) y f (b) se encuentra por encima de la curva.Si nos damos cuenta la pendiente de la funcin en el intervalo I crece a medida que nos

desplazamos a la derecha del intervalo, eso quiere decir que la funcin f 0 (x) que mide lapendiente de la funcin f (x) es creciente, y por tanto f 00 (x) 0.

-5

0

5

10

15

20

25

-1 1 2 3 4 5x

f (x) = x2 + 4 intervalo I = [1, 4]

Por tanto, buscar las zonas donde la funcin sea convexa es equivalente a buscar los intervalosdonde f 00 (x) 0.De modo equivalente, diremos que una funcin es cncava en un entorno I = [a, b]

Dom (f) si la recta que une los puntos f (a) y f (b) se encuentra por debajo de la curva.

-4

-2

0

2

4

-3 -2 -1 1 2 3x

f (x) = x2 + 4 intervalo I = [2, 1]

De nuevo nos damos cuenta que la pendiente de la funcin en el intervalo I decrece a medidaque nos desplazamos a la derecha del intervalo, eso quiere decir que la funcin f 0 (x) que midela pendiente de la funcin f (x) es decreciente, y por tanto f 00 (x) 0.Por tanto, buscar las zonas donde la funcin sea cncava es equivalente a buscar los intervalos

donde f 00 (x) 0.Los puntos donde la funcin cambia de cncava a convexa o viceversa se denominan puntos

de inflexin.


-20

-10

0

10

20

-4 -2 2 4x

f (x) = x3 + 3 punto de inflexin x = 0

Por tanto un punto de inflexin x0 Dom (f) es un punto donde la funcin no es concavani convexa, es decir, la segunda derivada de la funcin no es positiva ni negativa, por tanto sernula

f 00 (x0) = 0.

De manera que al buscar los puntos de inflexin buscaremos aquellos puntos que anulan lasegunda derivada. Si la primera o tercera derivada de la funcin en estos puntos no se anulaentonces tendremos un punto de inflexin.

f 0 (x0) 6= 0 y f 00 (x0) = 0 = x0 es un punto de inflexinf 0 (x0) = 0, f 00 (x0) = 0 y f

000(x0) 6= 0 = x0 es un punto de inflexin


Ejercicios:

1. La filial en Mxico de la compaa Thermo-Master fabrica un termmetro para interioresy exteriores. La gerencia estima que la ganancia que puede lograr la compaa por lafabricacin y ventqa de x unidades de termmetros por semana es

P (x) = 0.01x2 + 8x 5000Euros. Encontrar los intervalos donde la funcin de ganancia es creciente y los intervalosdonde es decreciente.

2. El coste medio, en Euros, de la produccin de x discos de larga duracin en la compaade discos Lincoln est dado por

C (x) = 0.0001x+ 2 + 2000x

0 < x < 6000

Mostar que C (x) siempre es decreciente en el intervalo (0, 6000) .

3. Las ganancias mensuales estimadas que pueden alcanzar la compaa Cannon por lafabricacin y venta de x unidades de su cmara modelo M1 es:

P (x) = 0.04x2 + 240x 10000Euros Cuntas cmaras debe producir Cannon cada mes para maximizar sus ganancias?

4. La dcada de los 80 vio una tendencia hacia detenciones de corte antiguo, opuestas a laspolticas penales ms liberales y las correcciones con base en la comunidad, populares enla dcada de los 60 y principios de los 70. Como resultado, las prisiones se sobrepoblarony se ampli la brecha entre el nmero de reclusos y la capacidad de las prisiones. Con baseen las cifras del Departamento de Justicia de Estados Unidos, el nmero de prisioneros(en miles) en las crceles federales y estatales es aproximado mediante la funcin

N (t) = 3.5t2 + 26.7t+ 436.2 0 t 10donde t se mide en aos y t = 0 corresponde a 1984. El nmero de reclusos para los quefueron diseadas las crceles est dado por

C (t) = 24.3t+ 365 0 t 10donde C (t) se mide en miles y t tienen el mismo significado anterior. Mostrar que ladiferencia entre el nmero de prisioneros y la capacidad carcelaria se ha reducido a cadainstante t.

5. Las ventas totales S, en miles de Euros, de la corporacin de instrumentos de precisinCannon se relaciona con la cantidad de dinero x que Cannon gasta en la publicidad desus pruductos mediante la funcin

S (x) = 0.002x3 + 0.6x2 + x+ 500 0 x 200donde x se mide en miles de Euros. Determinar el punto de inflexin de la funcin S yanalizar su significado.


6. Como resultado del mayor coste de la energa, la tasa de crecimiento de las gananciasde la compaa Venice, con cuatro aos de antigedad, ha comenzado a declinar. Lagerencia de Venice, despus de consultar a expertos en energa, decide implantar ciertasmedidas de conservacin de la energa para reducir la cuenta de la misma. El directorgeneral indica que, de acuerdo con sus clculos, la tasa de crecimiento de las ganancias deVenice deber incrementarse de nuevo dentro de cuatro aos. Si las ganancias de Venice(en cientos de Euros) dentro de x aos estn dadas por la funcin

P (x) = x3 9x2 + 40x+ 50 0 x 8

determinar si la prediccin del director general es precisa.

7. Un estudio de eficiencia realizado para la compaa de aparatos elctricos Elektra mostrque el nmero de walkie-talkies Space Commander ensamblados por el trabajador prome-dio t horas despus de iniciar su jornada de trabajo a las 8 a.m. est dado por

N (t) = t3 + 6t2 + 15t 0 t 4

En qu momento del turno matutino trabaja el obrero con su mxima eficacia?

8. Una caja de base cuadrada y parte superior abierta debe contener un volumen de 32000cm3. Encontrar las dimensiones de la caja que minimice la cantidad de material usado.

9. Determinar el nivel de produccin que maximiza el beneficio de una compaa que poseecomo funcin de costes y funcin precio por unidades demandadas:

C (x) = 84 + 1.26x 0.01x2 + 0.00007x3 y p (x) = 3.5 0.01x

10. Por experiencia, el gerente de un complejo de apartamentos de 100 unidades sabe que seocuparn todas si la renta es de 400 Euros al mes. Una investigacin del mercado sugiereque, en promedio, quedar una unidad adicional vaca por cada incremento de 5 Eurosen la renta. Cunto debe cargar el gerente por renta para maximizar el ingreso?

11. Se ha estimado que la produccin total de petrleo de cierto pozo petrolero et dada por

T (t) = 1000 (t+ 10) e0.1t + 10000

miles de barriles t das despus de iniciar su produccin. En qu ao el pozo estarproduciendo a su mxima capacidad?

12. El valor presente de una propiedad adquirida por un inversor est dado por la funcin

P (t) = 80000et20.09t 0 t 8

donde P (t) se mide en Euros y t es el tiempo en aos desde el presente. Determinar eltiempo ptimo para que el inversor venda la propiedad. Cul es el valor presente ptimode la propiedad?


3 Teorema del Valor Medio

Supongamos que queremos evaluar el siguiente lmite

limx0

ex 1x

no podemos usar directamente los lmites para trabajar con este ejemplo ya que el lmite deldenominador es cero. Para calcular este lmite es til un teorema conocimo como la Regla deLHpital que establece que, bajo ciertas condiciones, el lmite del cociente de dos funcionesf(x)g(x) coincide con el lmite del cociente de sus derivadas:

f 0 (x)g0 (x)

Su demostraci utiliza el resultado conocido como Teorema general del valor interme-dio.

Teorema 2 (Teorema de Rolle) Si f es continua sobre [a, b] y derivable sobre (a, b), y f(a) =f (b) entonces existe un nmero c (a, b) tal que f(c) = 0.

Teorema 3 (Teorema del valor medio) Si f es continua sobre [a, b] y derivable sobre (a, b),y f(a) 6= f (b) entonces existe un nmero c (a, b) tal que

f 0 (c) =f (b) f (a)

b a

Teorema 4 (Teorema general del valor medio) Si f y g son diferenciables en un intervaloabierto (a, b) y continuas en [a, b] y adems g0 (x) 6= 0 para todo x (a, b) , existe algn puntoc (a, b) tal que

f 0 (c)g0 (c)

=f (b) f (a)g (b) g (a)

Teorema 5 (Regla de Lpital) Sean f y g funciones derivables en un intervalo abierto (a, b)que contiene al punto x=c, excepto posiblemente en el punto c. Supongamos que g0 (x) 6= 0 paratodo x (a, b) , excepto posiblemente en el punto c. Si el lmite de f(x)g(x) cuando x tiende a cproduce una forma indeterminada 0/0, entonces

limxc

f (x)g (x)

= limxc

f 0 (x)g0 (x)

supuesto que el lmite de la derecha existe o es infinito. Este resultado es vlido tambin si ellmite de f(x)g(x) produce cualquiera de las formas indeterminadas /.


EJERCICIOS:

1. Calcular los lmites siguientes:

a.limx0

1cosxx2 h. limx

xln(1+2ex)

b.limx0

cosmxcosnxx2 i. limx

x3exx2

c.limx0

2xsin1 x2x+x tan1 x j. limx

x

x2 1

d.lim

x0ex lnx k. lim

x

1x

1ex1

e.limx0

1cosxx2 l. limx

xe1x x

f.limx0

sinxx3 m. limx

(lnx)3

x2

g. limx0

x+tanxsinx n. limx

ln(lnx)x

2. La frmula para el capital producido por una inversin inicial P a una tasa r de interwscompuesto n veces al ao, tras t aos, es

A = P1 +

rn

ntProbar que la frmula lmite cuando n tiende a infinito es

A = Pert

3. Aplicar el teorema general del valor medio a las funciones f y g en el intervalo indicado.Encontrar los valores c en el intervalo (a, b) tales que:

f 0 (c) =f (b) f (a)

b a

(a) f (x) = x3, g (x) = x2 + 1, [0, 1]

(b) f (x) = sinx, g (x) = cosx,0,

2

4. Sean f y g continuas en [a, b] y derivables en (a, b). Tambin f (a) = g (a) y f 0 (x) < g0 (x)cuando a < x < b. Demustre que f (b) < g (b). Sugerencia: aplicar el teorema del valormedio a la funcin h = f g.

5. A las 2:00 p.m. el velocmitro del automvil indica 30 millas/h. a las 2:10 p.m. indica50 millas/h. Demostrar que en algn momento entre las 2:00 y 2:10 la aceleracin es 120millas/h, exactamente.

6. Dos corredores arracan al mismo tiempo en una competicin y terminan empatados.Demuestre que en cierto momento de la carrera tuvieron la misma velocidad. Sugerencia,estudiar la funcin h = f g donde f y g son las funciones posicin de cada uno de loscorredores.


4 Clculo diferencial de funciones reales de varias vari-ables

Supongamos a continuacin la funcin f : R2 R es una funcin de dos variables, y supong-amos que queremos saber cmo vara la funcin f (x, y) cuando vara la primera variable yla segunda permanece constante, de ese modo podramos considerar la funcin de una solavariable

g1 (x) = f (x, y0)

sabemos por el clculo en una variable que la tasa de cambio de la funcin g (x) en el puntox = x0

g01 (x0) = limh0g1 (x0 + h) g1 (x0)

h= lim

h0

f (x0 + h, y) f (x0, y0)h

si este lmite existe, diremos que existe la derivada parcial de f (x, y) con respecto a la variablex en el punto (x0, y0).Del mismo modo podramos calcular la tasa de variacin de la funcin f (x, y) cuando vara

la segunda variable y la primera permanece contante, en ese caso tendramos en cuenta lafuncin

g2 (y) = f (x0, y)

y su funcin derivada:

g02 (y0) = limh0g2 (y0 + h) g2 (y0)

h= lim

h0

f (x0, y0 + h) f (x0, y0)h

si el lmite existe lo denominaremos derivada parcial de f (x, y) con respecto a la variable y enel punto (x0, y0).

Definicin 1 Sea f : D R2 R es una funcin de dos variables, definimos las funcionesderivadas parciales f(x,y)x y

f(x,y)y con respecto a la primera y segunda variable respectivamente

como

fx (x0, y0) =f (x0, y0)

x= lim

h0

f (x0 + h, y0) f (x0, y0)h

fy (x0, y0) =f (x0, y0)

y= lim

h0

f (x0, y0 + h) f (x0, y0)h

podemos de este modo formar el vectorf(x0,y0)

x ,f(x0,y0)

y

que denominaremos vector gradi-

ente de f

f (x0, y0) =f (x0, y0)

x,f (x0, y0)

y

Las derivadas parciales tambin se definen para funciones de tres o ms variables, de manera

que podemos generalizar el resultado anterior para funciones f : D Rn R y de este modotenemos que el gradiente de la funcin ser:

f (x01, ..., x0n) =f (x01, ..., x0n)

x1, ...,

f (x01, ..., x0n)xn


Ejemplo:Si queremos calcular el vector gradiente de la funcin f (x, y, z) = exyz en el punto (1, 1, 0),

calculamos primero las derivadas parciales de la funcin:

fx

= yzexyz,fy= xzexyz,

fz= xyexyz

de este modo obtenmos que el vector gradiente es de la forma

f (x, y, z) = (yzexyz, xzexyz, xyexyz)

por ltimo, evaluamos el vector gradiente en el punto que nos indican.

f (1, 1, 0) = (0, 0, 1)

El gradiente de una funcin es muy importante ya que nos indica la direccin de mximocrecimiento de la funcin. Adems el vector gradiente en un punto es perpendicular a la curvade nivel de la funcin que pasa por ese punto.

Ejemplo:Consideramos la funcin f (x, y) = x2 + y2, el vector gradiente es f (x, y) = (2x, 2y) y

las curvas de nivel son de la forma x2 + y2 = c donde c 0, es decir, las curvas de nivel soncircunferencias concentricas de centro (0, 0) y radio

c. Como se puede observar en el grfico

el vector gradiente de la funcin en un punto es perpendicular a la curva de nivel a la quepertenece ese punto.


4.1 Plano tangente

Cuando tratamos con funciones de una variable podemos calcular la ecuacin de la recta tan-gente a un punto perteneciente a la grfica de la funcin, su equivalente cuando tratamos confunciones de dos variables es el plano tangente en un punto de la superficie que como sabemos,representa la grfica una la funcin f (x, y).

Definicin 2 Definimos el plano tangente a la grfica de la funcin f : D R2 R en elpunto (x0, y0) como:

z = f (x0, y0) +f (x0, y0)

x(x x0) +

f (x0, y0)y

(y y0)

Ejemplo:Vamos a calcular el plano tangente al paraboloide elptico f (x, y) = 2x2 + y2 en el punto

(1, 1, 3) .

f (x, y)x

= 2x,f (x, y)

y= 2y

f (1, 1)x

= 4,f (1, 1)

y= 2

Entonces la ecuacin del plano tangente en el punto (1, 1, 3) viene dada por:

z = 3 + 4 (x 1) + 2 (y 1)z = 4x+ 2y 3

52.50-2.5-5 52.50-2.5-5

75

50

25

0

-25

x

y

z

El plano tangente, cuando existe, es una buena aproximacin lineal de la funcin en unpunto.

Ejemplo:La funcin g (x, y) = 4x+2y3 se aproxima a la funcin f (x, y) = 2x2+y2 cerca del punto

(1, 1) .f (1.1, 1.1) = 3. 63 f (1, 0.9) = 10. 2 f (1.001, 0.9) = 28. 703g (1.1, 1.1) = 3. 6 g (1, 0.9) = 10. 08 g (1.001, 0.9) = 28. 264


4.2 Condiciones de diferenciabilidad y Matriz Jacobiana

En clculo de una variable se muestra que si f es diferenciable entonces es continua. Estotambin es cierto para las funciones diferenciables de varias variables. Mientras que el recprocosigue siendo falso.Cuando consideramos una funcin real de variable real, decir que la funcin es derivable en

un punto x0 es equivalente a decir que la recta tangente que pasa por el punto (x0, f (x0)) esuna buena aproximacin a la grfica de f (x) cuando x est prxima a x0.

limxx0

|f (x) f (x0) f 0 (x0) (x x0)||x x0| = 0

Lo mismo ocurre cuando tratamos con funciones de dos variables f : D R2 R. Decirque una funcin es diferenciable en (x0, y0) ser equivalente a decir que el plano tangente a lafuncin en (x0, y0) es una buena aproximacin a la grfica de la funcin cuando (x, y) estnprximos a (x0, y0) .

Definicin 3 Sea f : D R2 R, diremos que una funcin es diferenciable en el punto(x0, y0) D si existen las derivadas parciales fx y

fy en (x0, y0) y si

f (x, y) f (x0, y0) + f(x0,y0)x (x x0) +f(x0,y0)

y (y y0)

k(x, y) (x0, y0)k 0

cuando (x, y) (x0, y0) .

Aplicar est definicin para ver si una funcin es diferenciable en un punto puede ser enalgunos casos costosa. Pero tenemos el siguiente resultado que nos dan una condicin suficientepero no necesaria para que la funcin sea diferenciable.

Teorema 6 Sea f : D R2 R. Supongamos que existen las derivadas parciales de f, y soncontinuas en un entorno del punto (x0, y0) . Entonces f es diferenciable en el punto (x0, y0) .

Para el caso general de funciones vectoriales f : Rn Rm la diferencial de la funcin fviene representada por una matriz m n tambin denominada matriz Jacobiana.

f (x1, x2, . . . , xn) = (f1 (x1, x2, . . . , xn) , f2 (x1, x2, . . . , xn) , . . . , fm (x1, x2, . . . , xn))

Jf (x0) = Df (x0) =

f1x1(x0) f1xn (x0)...

...fmx1

(x0) fmxn (x0)

Ejemplo:Si consideramos la funcin f (x, y) = (x2 y2, exy, 2x+ y) su matriz Jacobiana viene dada

por:

Jf (x, y) =

2x 2yyexy xexy

2 1


4.3 Derivada direccional

La derivada parcial fx mide la sensibiliad o razn de cambio de la funcin cuando nos movemosen la direccin del eje x, mientras que fxmide la sensibiliad de la funcin cuando nos movemosen la direccin del eje y. Si nos encontramos en un punto cualquiera de la grfica de unafuncin de dos variables, nos podemos preguntar cual es la sensibilidad de la funcin cuandonos movemos a travs de la grfica de la funcin en cualquier direccin

Definicin 4 Sea f : D R2 R, la derivada direccional de f en el punto (x0, y0) en ladireccin del vector unitario v = (v1, v2) viene dada por:

Dfv (x0, y0) = limh0

f (x0 + hv1, y0 + hv2) f (x0, y0)h

o de manera ms sencilla:

Dfv (x0, y0) =f (x0, y0)

x v1 + f (x0, y0)y v2

Dfv (x0, y0) = f (x0, y0) v

Que el vector v = (v1, v2) sea unitario quiere decir que es un vector de norma o mdulounitario:

kvk =qv21 + v22 = 1

Este resultado se puede generalizar para cualquier funcin f : D Rn REjemplo:Sea f (x, y, z) = x2exyz y queremos calcular la razn de cambio de f en la direccin

v =13, 1

3, 1

3

en el punto (1, 0, 0) .

Dfv (x, y, z) =2xexyz x2yzexyz,x3zexyz,x3yexyz

13,13,13

que en el punto (1, 0, 0) se convierte en:

Dfv (1, 0, 0) = (2, 0, 0) 13,13,13

=

23

Observar que como casos particulares tenemos que f(x0,y0)x es la derivada direccional de lafuncin f (x, y) en el punto (x0, y0) en la direccin v = (1, 0) y

f(x0,y0)y la derivada direccional

de la funcin en la direccin w = (0, 1) .


EJERCICIOS:

1. Evaluar las primeras derivadas parciales de la funcin en el punto dado:

(a) f (x, y) = x2y + xy2; (1, 2)

(b) f (x, y) = x2 + xy + y2 + 2x y; (1, 2)(c) f (x, y) = x

y + y2, (2, 1)

(d) f (x, y) =px2 + y2; (3, 4)

(e) f (x, y) = xy ; (1, 2)

(f) f (x, y) = x+yxy ; (1,2)(g) f (x, y) = exy; (1, 1)

(h) f (x, y) = ex ln y; (0, e)

(i) f (x, y, z) = x2yz3; (1, 0, 2)

(j) f (x, y, z) = x2y2 + z2; (1, 1, 2)

2. Sea la funcinf (x, y) =

xyx2 + y2

definida en el dominio D = R28 {(0, 0)}. Se puede definir f a todo R2 de maneracontinua? Calcular, si existe, el gradiente de f .

3. Calcularf y decir si existeDuf (0, 0) para cualquier vector unitario u para las siguientesfunciones:

(a) f (x, y) = ex+y

(b) f (x, y) =

xy2

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

4. Calcula la matriz Jacobiana de las siguientes funciones:

a. f (x, y) = (xy, ln (xy) , 2x) b. f (x) = (xex, cos (cos (x)))c. f (x, y, z) = x2 ln z + y

x xyz d. f (x, y, z) = (xyz, xy, x)

5. Sea h(x, y) = 2ex2 + e3y2 la altura de una montaa en la posicin (x, y) R2. Si en laposicin (1, 0) hay un manantial, en qu direccin comienza a correr el agua?

6. Determinar las matrices jacobianas asociadas a las siguientes funciones:

(a) f(x, y, z) = (x2 yz, x+ z e2y)(b) g(x, y) = (xy, 3x, 3x y3)


(c) h(x, y, z) = (z2 x, xyz, 8z)

7. Sea h (x, y) = 2ex2 + e3y2 la altura de una montaa en la posicin (x, y) R2. En qudireccin desde (1, 0) se debera comenzar a caminar para escalar lo ms rpido posible?

8. Calcular el vector gradiente de las siguientes funciones:

(a) f(x, y) = x cosx sin y

(b) f(x, y, z) = exyz

(c) f(x, y) = (x2 + y2) log(x2 + y2)

9. Calcular el gradiente de la siguientes funciones en el punto indicado:

(a) f(x, y) = (a2 x2 y2)1/2 en P = (a/2, a/2)(b) f(x, y) = log(1 + xy)1/2 en P = (0, 0)

(c) f(x, y) = ey cos(3x+ y) en P = (2/3, 0)

10. La productividad de cierto pas de Europa Occidental est dada por la funcin

f (x, y) = 40x4/5y1/5

donde se utiliza x unidades de mano de obra e y unidades de capital.

(a) Cul es la productividad marginal de la mano de obra y la productividad marginaldel capital cuando los gastos respectivos en mano de obra y capital son 32 y 243unidades?

(b) El gobierno debera alentar la inversin en capital en vez del gasto en mano de obraen ese momento para incrementar la productividad del pas?

11. En cierta fbrica la produccin diaria es Q(K,L) = 30K0.3L0.7 unidades, donde K denotala inversin de capital medida en miles de Euros y L el tamaa de la fuerza laboral mediaen horas-trabajador. Supongamos que la inversin actual de capital es de 900000 Eurosy que se utilizan 1000 horas-trabajador cada da.

(a) Utilizar el anlisis marginal para estimar el efecto de una inversin de capital adic-cional de 1.000 Euros en la produccin diaria si no cambia en tamao de la fuerzalaboral.

(b) Hallar la productividad marginal de capital QK y la productividad marginal de lamano de obra QL cuando el gasto de capital es 630000 Euros y el nivel de trabajoes 830 horas-trabajador.

(c) Debera el fabricante considerar la adicin de una unidad de capital o de una unidadde mano de obra para aumentar la produccin ms rpidamente?


12. Calcular la derivada direccional de f en la direccin del vector u en el punto p. Calculartambin las derivadas direccionales mximas y mnimas de f indicando la direccin en laque se producen:

(a) f (x, y) = ex+y2, u =

22,22

, p = (0, 0)

(b) f (x, y) = sen (x2 y2) cos (x+ y) , u = (1,1) , p = (0, 0)

(c) f (x, y) =cos (x y)(x+ 1)

, u = (2, 0) , p = (0, 2)

(d) f (x, y, z) = xez + y cos (x+ z) , u = (1, 0, 1) , p = (, 1, 0)

(e) f (x, y, z) =p(x2 + 2) ezy, u = (1, 2, 2) , p = (0, 1, 1)

13. Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones en los puntos y vectoresque se indican:

(a) f (x, y) = x+ 2xy 3x2 en (1, 2) en la direccin del vector v = (3, 2).(b) f (x, y, z) = ex + xyz en el punto (1,1,0) y en la direccin del vector v = (0, 1, 1).

(c) f (x, y, z) = 3x+2y+4zx en el punto (1, 0, 2) y en la direccin del vector v = (1, 0, 1).

14. Hallar la derivada direccional en el punto y vector indicado en cada apartado de lassiguientes funciones, dibujar la curva de nivel que incluye al punto P, y el vector gradientecorrespondiente:

(a) f (x, y) = xy, P = (2; 3), v = (1; 1)

(b) f (x, y) = xy , P = (1; 1), v un vector paralelo al eje 0X.

15. Estudiar la diferenciabilidad de las siguientes funciones:

(a) f (x, y) = ex2y

(b) f (x, y) = xyx2+y2

16. Sea

f (x, y) =

(xyx2+y2

si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

Probar que f (x, y) es una funcin continua y que existen las derivadas parciales en (0, 0) .Es f diferenciable en (0, 0)?

17. Existe la derivada direccional de f en la direccin de cualquier vector u en el punto(0, 0)?

(a) f (x, y) =

xy2

x2 + y4si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)


(b) f (x, y) =

( xyx4 + y4

si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

18. Son diferenciables las siguientes funciones? Razone la respuesta.

(a) f (x, y) = x7 + x4y3 + xy3 + 6xy 4x y(b) f (x, y) = ex+y2sen (x2 y2)

(c) f (x, y, z) =(x2 + y2)

32

z2 + 1

(d) f (x, y) =2 si x 6= y0 si x = y

19. La altura h (x, y) = 10000.01x20.05y5 de una montaa con respecto al nivel del mar,viene dada por la expresin donde x representa la direccion Este e y la direccion Norte.Un montaero esta en el punto de la montana de coordenadas (x, y) = (200, 100).

(a) Analizar si el montaero asciende o desciende cuando camina en las direccionesNorte, Noreste y Sur respectivamente.

(b) Hallar las direcciones de ascenso y descenso ms rpido.

(c) Hallar la direccin para la cual no cambia de altura.

20. Sea la funcin f : U R con U R2. Razone la veracidad o falsedad de las siguientesafirmaciones:

(a) Si f es continua en U , entonces f es diferenciable en U .

(b) Si f es continua en U , entonces existe f en U .(c) Si existe f en U , entonces f es diferenciable en U .(d) Si existe f en U , entonces f es continua en U .(e) Si f es diferenciable en U , entonces f es continua en U .

(f) Si f es diferenciable en U , entonces existe f en U .(g) Si f es diferenciable en U , entonces las derivadas parciales primeras de f son con-

tinuas en U .

(h) Si existe las derivadas parciales primeras de f y son continuas en U , entonces f esdiferenciable en U .

(i) Si existe las derivadas parciales primeras de f y son continuas en U , entonces f escontinua en U .

21. Calcular el plano tangente a la superficie determinada por la grfica de las siguientesfunciones en los puntos que se indican.


(a) f (x, y) = x2 y2 en el punto (2, 1, 3).(b) f (x, y) = exy en el punto (1, 1, 1)Sea la funcin f : U R con U R2 y el vector

v = (v1, v2) R2. Estudie la veracidad o falsedad de las siguientes frmulas:

(c) Dvf (x, y) = limt0

f (x+ tv1, y + tv2) f (x, y)t

(d) Dvf (x, y) = lim(x,y)(0,0)

f (x+ tv1, y + tv2) f (x, y)t

(e) Dvf (x, y) = f (x, y) v(f) Dvf (x, y) = f (x, y) vkvk(g) Dvf (x, y) = f (v1, v2) (x, y)(h) Dvf (x, y) = f (v1, v2) (x, y)k(x, y)k

22. Las funciones de utilidad de tres consumidores son

U (x, y) = xy, V (x, y) = (xy)2 + 2 W (x, y) = lnx+ ln y

(a) Calcular e interpretar el significado de las utilidades marginales. Si los tres individuosconsumen la misma cesta C = (1, 2) , a cul de los tres le reporta mayor utilidadun aumento infinitesimal en el consmo del bien y?

(b) Calcular las tasas de cambio de la utilidad marginal de un bien con respecto aun aumento infinitesimal en el consumo del otro bien. Verificar que, para los tresconsumidores, el cabio en la utilidad marginal de un bien debido a un aumentoinfinitesimal en el otro bien es el mismo, sin importar qu bien se elige primero.

23. Considere la funcin de prodccin Cobb-Douglas q = f (L,K) = LaK1a, donde 0 < a

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