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PRÁCTICA DE LABORATORIO NÚM 04

P-SLM-04

Página 1 de 15

Rev. nº 1.0

Fecha 28/10/2010

REDES DE DIFRACCIÓN CON UN SLM

Información de la práctica

Título: Redes de difracción con un SLM

Asignatura: Óptica - MicroÓptica

Autores: Luis Miguel Sánchez Brea

Horas: 3 horas

Conocimientos previos: Difracción en Campo cercano (Fresnel) y lejano (Fraunhofer), Redes de

difracción

MATERIAL

Material Ordenador, Banco óptico + modulador + piezas del esquema

Esquema

Campo lejano

Campo cercano

P-SLM-04 REDES DE DIFRACCIÓN Pág. 2 de 15

Control de versión y tareas realizadas

VERS. FECHA COMENTARIO Realización

1.0 01/09/2010 Diseño de práctica Luis Miguel Sánchez Brea

1.0 15/09/2010 Realización de las imágenes Luis Miguel Sánchez Brea

1.0 20/09/2010 Realización de la práctica Luis Miguel Sánchez Brea

Índice

INFORMACIÓN DE LA PRÁCTICA ............................................................................................................ 1

CONTROL DE VERSIÓN Y TAREAS REALIZADAS ....................................................................................... 2

ÍNDICE.................................................................................................................................................... 2

1 OBJETIVOS DE LA PRÁCTICA .......................................................................................................... 3

2 INTRODUCCIÓN TEÓRICA .............................................................................................................. 3

2.1 TIPOS DE REDES .................................................................................................................................. 4 2.2 CARACTERIZACIÓN DE LAS REDES DE DIFRACCIÓN; DESCOMPOSICIÓN DE FOURIER............................................. 5

2.2.1 Red de amplitud de Ronchi ................................................................................................... 5 2.2.2 Red de amplitud con factor de forma ................................................................................... 6 2.2.3 Red sinusodial de amplitud ................................................................................................... 6 2.2.4 Red binaria de fase ............................................................................................................... 7 2.2.5 Red blazed ............................................................................................................................ 7

2.3 DIFRACCIÓN EN CAMPO LEJANO: ÓRDENES DE DIFRACCIÓN .......................................................................... 8 2.3.1 Poder resolutivo de una red de difracción ............................. ¡Error! Marcador no definido. 2.3.2 Solapamiento de los espectros .............................................. ¡Error! Marcador no definido.

2.4 CAMPO CERCANO: EFECTO TALBOT ....................................................................................................... 11

3 DESARROLLO EXPERIMENTAL ..................................................................................................... 12

3.1 DIFRACCIÓN EN CAMPO LEJANO: ESQUEMA DE DISEÑO ............................................................................. 12 3.2 REALIZACIÓN PRÁCTICA ......................................................................... ¡ERROR! MARCADOR NO DEFINIDO.

3.2.1 Cálculo de las potencias ópticas de distintas redes de difracción ....................................... 12 3.2.2 Cálculo del periodo de la red .............................................................................................. 14 3.2.3 Red de difracción bidimensional ......................................................................................... 14

3.3 DIFRACCIÓN EN CAMPO CERCANO: ESQUEMA DE DISEÑO ........................................................................... 14 3.3.1 Observación de los planos de Talbot y cálculo del periodo de la red .................................. 15


Advertencias:

En esta práctica se emplea como fuente de luz un haz láser;

debe evitarse mirar directamente la luz que emite o cualquier

reflejo directo.

El modulador de luz es un sistema delicado. Si tocamos el

modulador con los dedos, etc. lo romperemos. Está

terminantemente prohibido tocar el modulador.

1 Objetivos de la práctica

El objetivo de la presente práctica es conocer cómo el comportamiento de las redes de difracción en

campo lejano y en campo cercano. Utilizaremos el modulador espacial de luz para generar redes de

difracción de distintas clases (amplitud y fase, binarias, sinusoidales, Blazed) y analizaremos su

comportamiento, comparándolo con los resultados teóricos expuestos en la práctica.

2 Introducción teórica

Podemos definir una red de difracción como un elemento óptico que modula de forma periódica alguna

propiedad de la luz. Normalmente existen redes de amplitud y de fase, aunque se puede modular de

forma periódica cualquier otra propiedad de la luz, tal como la polarización o la coherencia.

La red de difracción es uno de los instrumentos ópticos de mayor aplicabilidad tanto en la óptica como en

otras ciencias. Por ejemplo nos podemos encontrar redes de difracción en espectroscopía para el

análisis de espectros (análisis de transiciones atómicas), en astronomía (análisis de la evolución estelar)

y en metrología, siendo uno de los sistemas más robustos para la medida precisa de la posición, con

resoluciones estándar del orden de 1-5 micras y precisiones de hasta 10 nm.

Uno de los parámetros fundamentales en el diseño de redes de difracción es su periodo p , puesto que

cuanto menor sea la relación /p mayores serán los efectos difractivos que la red de difracción

produce.

Fig. 1. Ejemplo de dispersión de una red de difracción para el análisis de espectros (a) fuente con

espectro discreto, b) fuente con espectro continuo.


2.1 Tipos de redes

Las redes que vamos a estudiar son las redes de amplitud y de fase, en condiciones de transmisión y

reflexión. Utilizaremos la aproximación de elemento delgado (TEA, Thin Element Aproximation). Es por

ello (ver Tema 1) que la transmitancia (o reflectancia) de la red se modela matemáticamente mediante

( , )( , ) ( , ) it A e . (1)

donde ( , )A es la modulación en la amplitud y ( , ) es la modulación de la fase. Si consideramos

que el espesor máximo del elemento difractor es L , entonces el desfase producido por la red de

difracción es

,

00

0

, ( , , ) ,

h

Lk n z dz kn L h

. (2)

donde ( , , )n z es el índice de refracción dentro de la red de difracción y 0n es el índice de refracción

en que rodea al elemento difractivo. Normalmente dentro del material es constante, entonces

( , , )n z n , resultando que el desfase producido por la red de difracción es

00, ( ) ,

Lk n n h . (3)

donde hemos despreciado una fase constante kL pues es y no afecta a los fenómenos difractivos. Para

el caso de la red de difracción ( , )A y ( , ) son periódicos.

Una red de amplitud modula únicamente la amplitud de la onda incidente, es decir ( , )A , siendo el

desfase producido constante, ( , ) cte . Un ejemplo de este tipo de redes se muestra en la Fig. 2a.

La forma más sencilla de grabación de este tipo de redes es mediante fotolitografía (tema **) utilizando un

sustrato de vidrio y una capa de cromo de un espesor de unos 100 nm. La luz que llega al cromo es

reflejada, mientras que la luz atraviesa la máscara donde no hay cromo. Por supuesto, la luz reflejada

también presenta una modulación periódica, donde hay que tener en cuenta la reflectividad del cromo. En

todo el análisis de las redes de amplitud despreciaremos las reflectividades producidas sobre las caras de

vidrio.

Fig. 2.Ejemplos de redes de difracción a) de amplitud tanto en trasmisión como en reflexión (de cromo

sobre vidrio) b) de fase por transmisión (vidrio) y c) de fase por reflexión (cromo).


Para modular la fase se pueden utilizar redes de vidrio, como se muestra en Fig. 2b, y de cromo Fig. 2c.

La primeras actúan por transmisión siendo el desfase que produce igual a

( ) exp ( 1) ( )t x ik n h x , (4)

mientras que en el caso de la red de fase por reflexión, la luz pasa dos veces por la almena, por lo que la

función de transmitancia (en este caso reflectancia) resulta ser

( ) exp ( 1)2 ( )t x ik n h x . (5)

Cuadro la red es del tipo Fig. 2c en lugar de cromo se suele metalizar con aluminio pues sus propiedades

reflectoras son mucho mejores.

2.2 Caracterización de las redes de difracción;

descomposición de Fourier

Tanto en redes de amplitud como de fase, la modulación se produce de forma periódica. Por ello

podemos el análisis de cómo se comporta la red se puede realizar mediante un análisis de Fourier, de

forma que la transmitancia se puede describir matemáticamente mediante

2

( ) exp

l

l

ilxt x a

p. (6)

donde p es el periodo y na son los coeficientes de Fourier, que se obtienen mediante

/2

/2

1( )exp 2

p

l

p

xa t x il dx

p p. (7)

En los siguientes apartados calcularemos los coeficientes de Fourier de algunas redes de difracción muy

utilizadas.

2.2.1 Red de amplitud de Ronchi

Sea la red de difracción que se muestra Fig. 3. Una red de difracción de Ronchi es una red de difracción

de amplitud donde la parte opaca y transparente tienen el mismo tamaño. Utilizando (7) los coeficientes

de Fourier resultan

Fig. 3. Parámetros para calcular los coeficientes de Fourier de una red de Ronchi.

/4

/4

1exp 2

1sinc( / 2)

2

p

l

p

xa il dx

p p

l

. (8)


El valor de los coeficientes resulta ser, entonces,

1/ 2 0

0 par

11,5,9,...

-13,7,11,...

l

l

l

a ll

ll

. (9)

2.2.2 Red de amplitud con factor de forma

Este caso es muy similar al anterior, aunque la parte opaca y transparente cambia. La relación entre

ambos se muestra en la Fig. 4. Para generalizar el caso anterior tambien supondremos que las

transmitancias no son 0 y 1, sino que tienen dos valores a (parte transparente) y b (parte opaca).

Fig. 4. Parámetros para calcular los coeficientes de Fourier de una red binaria de amplitud.

Calculemos a continuacion los coeficientes de Fourier

/4 /4 /2

/2 /4 /4

exp 2 exp 2 exp 2

p p p

l

p p p

b x a x b xa il dx il dx il dx

p p p p p p (10)

que resultan

0

sinc( )

l

a a b b

a a b l (11)

2.2.3 Red sinusodial de amplitud

Aunque las redes binarias son las más utilizadas por su facilidad de fabricacion tambien son de interés

otro tipo de redes, como la red de transmitancia sinusoidal, fabricable mediante técnicas interferométricas

y holográficas. Su transmitancia tien la forma

Fig. 5. Parámetros para calcular los coeficientes de Fourier de una red sinusoidal de amplitud.

2 2

( ) 1 cos(2 )

1 11

2 2

x xi i

p p

xt x

p

e e

(12)

y, por consiguiente los coeficientes de Fourier son 1 0 11/ 2 1 1/ 2a a a .


2.2.4 Red binaria de fase

Las redes binarias de fase son preferibles, siempre que sea posible su utilización puesto que los órdenes

de difracción distintos al orden cero son mucho mayores Supongamos que el índice de refracción es n y

presenta una altura de almenas h El coeficiente de llenado (fill factor) es el mismo que el descrito

anteriormente. Los coeficientes de Fourier de esta red resultan ser

Fig. 6. Parámetros para calcular los coeficientes de Fourier de una red binaria de fase.

0 1 1

1 sinc( )

i

i

l

a e

a e l (13)

donde el desfase resulta ser 2

( 1)

n h para el caso de transmisión y 4

( 1)

n h para el

caso de reflexión. Estudiemos distintos caso de interés, según el desfase. De (13) se obtiene para anular

el coeficiente de orden 0, 0 0a entonces es necesario que 1/ 2 y 1 ie , es decir . Bajo

estas condiciones los coeficientes de Fourier resultan

0 0

sinc( )

l

a

a l (14)

que son justamente el doble que para el caso de la red de amplitud, excepto para 0 0a . Es por ello que

esta red es mucho más eficiente.

Para el caso de que el desfase producido por la red sea 2 , los coeficientes resultan

0 1

0

l

a

a (15)

para cualquier factor de forma . Esto es así es debido a la aproximación utilizada de elemento delgado,

pero veremos que existen aproximaciones más rigurosas en las cuales este resultado no siempre es

cierto.

2.2.5 Red blazed

Las redes con una almena triangular son de gran interés puesto que, bajo condiciones que analizaremos

seguidamente, generan únicamente un único orden de difracción.


p

N h

Fig. 7. Parámetros para calcular los coeficientes de Fourier de una red de blazed.

El esquema de esta red triangular se muestra en Fig. 7, siendo su transmitancia

( ) exp ( 1) tan t x ik n x (16)

Mediante (7) obtenemos que los coeficientes de Fourier resultan

sinc ( 1) tan / la p n l (17)

Cuando se cumple la siguiente condición

( 1) tan p n (18)

entonces

sin

(1 )

l

la

l (19)

y solamente se transmite el orden 1, puesto que

: 1 0 1 2

: 0 0 1 0

l

l

a (20)

2.3 Difracción en campo lejano: órdenes de difracción

Sea una red de difracción caracterizada mediante (6), es decir, ( ) exp 2 /

ll

t x a ilx p que

iluminamos con una onda plana contenida en el plano XZ, 0, siny xk k k . La red de difracción, o

el haz que la ilumina, no tiene una extensión infinita, sino que tiene una anchura w . Por ello el haz

incidente resulta ser

sin

0 0( / 2 ) ( / 2 ) xik ik

inc e rect w e rect wE E E (21)

Conocidos el haz incidente y la transmitancia de la red, la intensidad en campo lejano se puede obtener

de una forma sencilla utilizando la aproximación de Fraunhofer, ***, que para el caso de objetos con

invariancia en la dirección resulta

2 2

( )'2

0 ( ) ( )

x yik z

xz ikz

inc

eP t e d

i z

E E

resultando en este caso particular, y considerando

'

' sin 'x

z (22)


Fig. 8. Esquema para analizar el comportamiento de la luz en campo lejano dispersada por una red de

difracción.

2sin '

sin

0

2 sin sin ' /2 /

0

sin sin '2

0

2( / 2 ) exp

( / 2 )

iik

l

l

iil p

l

l

lw ip

l

l w

ilK rect w e a e d

p

K a rect w e e d

K a e d

E E

E

E

(23)

donde 2 2exp / 2 /

K ik z x y z i z . El resultado de esta integral es sencillo

obteniendose

0

sin sin '' sinc

l

l

lK a w

pE E (24)

con 'K Kw .


Fig. 9. El haz incidente se divide en distintos haces cuando atraviesa la red de difraccion

La intensidad se obtiene multiplicando el campo por su complejo conjugado

2 *

0 '

'

sin sin ' ' sin sin '' sinc sinc

l l

l l

l lI K a a w w

p pE (25)

Ahora bien, si la anchura de la zona iluminada por el haz w es suficientemente grande entonces los

picos son muy estrechos y no solapan. Entonces

sin sin ' ' sin sin 'sinc sinc

l lw w

p p es nulo a no ser que 'l l y no se

producen efectos interferenciales entre picos. La intensidad se simplifica a

2 2 2

0

sin sin '' sinc

l

l

lI K a w

pE (26)

Es decir, el haz incidente se divide en varios haces, que generan diversos picos de difracción en las

posiciones

sin ' sin lp l (27)

que es conocida como la ecuación de la red, donde ' / 2, / 2n .

Fig. 10. El haz se divide en ordenes de difracción de diversa potencia y cuya anchura depende de la

longitud de onda y la anchura iluminada de la red..

Cuando la zona iluminada es infinita, los picos se hace infinitamente estrechos

sin sin ' sin sin '

lim sincw

n nw

p p

(28)

siendo la intensidad

max

min

2 22

0

sin sin ''

N

n

n N

nI K a

p

E (29)

donde 2

na es la eficiencia relativa de cada uno de los haces difractados

max

min

N

n

n N

I I

(30)


Fig. 11. División del haz en varios mediante el uso de una red de difracción.

2.4 Campo cercano: efecto Talbot

Es importante conocer qué es lo que le ocurre a la luz en campo cercano cuando atraviesa una red de

difracción. Para ello utilizaremos la aproximacíon de Fresnel, considerando la invariancia de la red de

difracción en el eje . entonces el campo difractado se puede calcular a partir de ***

2( )

20, ( )

k

i xikz z

ix z e e d

zE E

Supongamos que el haz incidente es una onda plana en dirección normal a la red, 0( )inc E E , por lo

que el campo se calcula mediante

2

2( )

20,

il k

i xp z

n

l

x z K a e e dE E (31)

donde / ikzK i ze Debido a la lnealidad, los operadores integral y suma se pueden intercambiar y

considerando la siguiente integral

2

2

4

bcax bx c

ae dx ea

(32)

El campo resultante es

2

0 2, exp 2 exp

l

l

xx z K a il i l z

p pE E (33)

y por ello la intensidad

2 * 2 2

0 ' 2'

, exp 2 ' exp '

l l

l l

xI x z K a a i l l i l l z

p pE (34)

El primer término exponencial tiene dependencia en x , por lo que el periodo de las franjas resulta ser p

para el orden fundamental.


Fig. 12. Intensidad después de la red de difracción, mostrando los planos de Talbot y la inversión del

contraste (resultado experimental) y b) Contraste para el primer plano de Talbot.

El segundo término produce el fenómeno de las autoimágenes, al ser periódico en el eje z. Se forman

réplicas de la red a distancias conocidas como distancia de Talbot, que resulta ser

22 /Tz p (35)

3 Desarrollo experimental

3.1 Difracción en campo lejano: esquema de diseño

Figura 1: Esquemas del montaje

3.2 Cálculo de las potencias ópticas de los órdenes de

difracción para distintas redes de difracción

En esta parte de la práctica se implementarán en el modulador distintos tipos de redes de difracción y se

analizará la potencia de los órdenes de difracción generados con la red. Se compararán los valores

obtenidos con los resultados teóricos.

Debido al pixelado del modulador de la red se escogerán periodos múltiplos del tamaño del pixel, pues

sino, los resultados no serían aceptables.


Figura 2. Red binaria.

Figura 3: Red sinusoidal diseñada, imagen de la red sinusoidal generada en el modulador (amplitud), y

órdenes de difracción en campo lejano para esta red.


Figura 4. Red Blazed diseñada (fase) y órdenes de difracción obtenidos.

3.3 Cálculo del periodo de la red

En este caso se implementarán en el modulador una red de difracción problema, de la cual

desconocemos su periodo. Conocida la focal de la lente y la longitud de onda del haz incidente, el

objetivo de esta parte el calcular el periodo de dicha red a partir de la distancia entre los órdenes de

difracción.

3.4 Red de difracción bidimensional

En esta parte de la práctica se implementará una red de difracción binaria y se observará la figura de

difracción en campo lejano. Se analizará la potencia de los distintos órdenes. Se calculará teóricamente

dicha potencia y se comparará con los resultados obtenidos.

Figura 5. Red de difracción binaria bidimensional.

3.5 Difracción en campo cercano: esquema de diseño

El esquema para campo cercano es similar al de campo lejano (presenta un láser, un colimador, un

modulador, un filtro 4-f y cámara CCD) donde se ha eliminado la lente focalizadora sobra la cámara CCD.


Figura 6. Esquema de configuración para campo cercano.

3.6 Observación de los planos de Talbot y cálculo del periodo

de la red

Figura 7. Máscara binaria para el cálculo de los planos de Talbot e imagen experimental de dichos planos de Talbot..

En este caso se implementarán en el modulador una red de difracción problema, de la cual

desconocemos su periodo. Se moverá la cámara hacia para buscar posiciones de máximo de contraste y

se calculará la distancia entre planos de Talbot.

Descríbase la forma de las franjas en las distintas posiciones dentro de un plano de Talbot.

A partir de la distancia de los planos de Talbot, calcúlese el periodo de la red. También se puede calcular

directamente a partir de la distancia entre mínimos de intensidad en una de las imágenes. Calcúlese de

este procedimiento.

Hágase un análisis de errores y decida cuál de los métodos es más exacto para el cálculo del periodo.

Compárese los resultados experimentales obtenidos con aquellos de la práctica P00 “Simulación

mediante Rayleigh-Sommerfeld”.

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