Inferencias Acerca de Varianzas Poblacionales

7/25/2019 Inferencias Acerca de Varianzas Poblacionales

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Inferencias acerca

de varianzaspoblacionales

CAPTULO 10


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Ejemplo

se llenan recipientes con un detergente lquido. La mquina de llenajusta de manera que logre un llenado medio de 1 on!as por en"ala media de llenado es importante# la "arian!a en los pesos de llenatam$i%n es rele"ante.

&s decir# aun cuando la mquina de llenado tenga un ajuste adecuauna media de llenado de 1 on!as# no es de esperar que todos los etengan e'actamente 1 on!as. Para calcular la "arian!a muestral dcantidad de on!as en cada en"ase se toma una muestra de en"ase"alor de la "arian!a muestral sir"e como estimaci(n de la "arian!a po$laci(n de en"ases que estn siendo llenados en el proceso de p)i la "arian!a muestral es moderada# el proceso contin*a. Pero# si lamuestral es grande# puede estar ocurriendo por e'ceso o de+ecto daunque la media sea la correcta. &n este caso ,a$r que reajustar lde llenado con o$jeto de reducir la "arian!a de los en"ases.


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Inferencias acerca de unavarianza poblacional

La "arian!a muestral es el estimador puntual de la "ariapo$lacional -.

S2 /xix23-4n 13

&n realidad la distri$uci(n ji5cuadrada es la distri$uci(nde s-. O sea que si se e'traen todas las muestras posi$una po$laci(n normal 6 a cada muestra se le calcula su"arian!a# se o$tendr la distri$uci(n muestral de "arian


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Prueba de Hiptesis para la varianza pobla

La "arian!a po$lacional tam$i%n puede ser estimada

su estimador que ser la "arian!a muestral s7.)ea 91# 9-# ...# 9nuna muestra aleatoria de tama:o n#de una po$laci(n normal ; s

entonces podemos de?nir la "aria$le aleatoria

tal que @c555 6 reali!ar prue$as de ,ip+orma

Caso I Caso II Caso III


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Propiedades de lasdistribuciones ji-cuadrada

Los "alores de 9-son ma6ores o iguales que 0. La +orma de una distri$uci(n 9-depende del gl

consecuencia# ,a6 un n*mero in?nito de distri$u9-.

&l rea $ajo una cur"a ji5cuadrada 6 so$re el eje

,ori!ontal es 1. Las distri$uciones 9-no son sim%tricas. Tienen c

estrec,as que se e'tienden a la derec,aF esto essesgadas a la derec,a.

Cuando n-# la media de una distri$uci(n 9-es

"arian!a es -n513.


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Tres distri$uciones 9-. ;ote que"alor modal aparece en el "alorG3 gl5-3.


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La funcin de densidad de ladistribucin X2

Para '0


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.

Para denotar el "alor crtico de una distri$uci(n 9grados de li$ertad se usa el sm$olo


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&jemplo

)uponga que los tiempos requeridos por un ciertauto$*s para alcan!ar un de sus destinos en unagrande +orman una distri$uci(n normal con unades"iaci(n estndar 1 minuto. )i se elige al amuestra de 1H tiempos# encuentre la pro$a$ilidaque la "arian!a muestral sea ma6or que -.

Solucin:

Primero se encontrar el "alor de ji5cuadradacorrespondiente a s-- como sigueI


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.

&l "alor de G- se $usca adentro de la ta$la en el rde 1 grados de li$ertad 6 se encuentra que a estle corresponde un rea a la derec,a de 0.01. &n

consecuencia# el "alor de la pro$a$ilidad es Ps-

0.01

y


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&jemplo

&ncuentre la pro$a$ilidad de que una muestra aleatoria de -Jo$ser"aciones# de una po$laci(n normal con "arian!a te"arian!a muestralI

a3Ka6or que .1

$3&ntre G.M- 6 10.HMJ Solucin.

a3Primero se proceder a calcular el "alor de la ji5cuadrada

Al $uscar este n*mero en el rengl(n de -M grados de li$ertad norea a la derec,a de 0.0J. Por lo que la Ps- .13 0.0J

$3)e calcularn dos "alores de ji5cuadrada

y


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.

Aqu se tienen que $uscar los dos "alores en el rede -M grados de li$ertad. Al $uscar el "alor de 1Gencuentra un rea a la derec,a de 0.J. &l "alor d

da un rea a la derec,a de 0.01. Como se est pidla pro$a$ilidad entre dos "alores se resta el rea menos 0.01 quedando 0.M . Por lo tanto la PG.M10.HMJ30.M


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Intervalo de conanza para varianza de una distribucinNormal ada una "aria$le aleatoria con distribucinNormal;QF R3# el o$jeti"o es la construcci(n de

inter"alo de con+ian!a para el parmetro R# $asauna muestra de tama:o nde la "aria$le.

A partir del estadstico o

la +(rmula para el inter"alo de con?an!a# con ni"con+ian!a 1 S es la siguiente

onde -4-es el "alor de una distri$uci(n ji5cuadrcon n S 1 grados de li$ertad que deja a su derec,pro$a$ilidad de 4-.


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&jemplo

Los pesos, en decagramos, de 10 paquetes de semillas de pasto distribuidas por cierta46.4, 46.1, 45., 4!.0, 46.1, 45.", 45., 46.", 45.# y 46. $ncuentre un inter%alo de con&ia

para la %arian'a de todos los paquetes de semillas de pasto que distribuye esta compa

una poblaci)n normal.

Solucin:

*rimero se calcula la des%iaci)n est+ndar de la muestra:

al ele"ar este resultado al cuadrado se o$tiene la "arian!a de la muestra s-Para o$tener un inter"alo de con+ian!a de JV se elige un 0.0J


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de la tabla con !rados de libertad se obtienen los valo

)e puede o$ser"ar en la gr?ca anterior que el "a9-corre en +orma normal# esto es de i!quierda a d

Por lo tanto# el inter"alo de con?an!a de JV para"arian!a esI


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Wr?camente

)e o$ser"a que la "arian!a corre en sentido contrario# pero esto es s(lgr?ca. La interpretaci(n quedara similar a nuestros temas anterioresa estimaci(n. Con un ni"el de con?an!a del JV se sa$e que la "arianpo$laci(n de los pesos de los paquetes de semillas de pasto esta entre0.GJ decagramos al cuadrado.


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&jemplo

$n trabao de laboratorio se desea lle%ar a cabo comprobaciones cuidadosas de la %ariabilid

que producen muestras est+ndar. $n un estudio de la cantidad de calcio en el agua potable

como parte del control de calidad, se anali') seis %eces la misma muestra en el laboratorio

aleatorios. Los seis resultados en partes por mill)n &ueron ".54, ".61, ".#, ".4, ".!0 y ".#6

%arian'a de los resultados de la poblaci)n para este est+ndar, usando un ni%el de con&ian'aSolucin:

Al calcular la "arian!a de la muestra se o$tiene un "alor de s- 0.0-NJ.

)e $usca en la ta$la los "alores correspondientes con J grados de li$ertad# o$tresultados. Para

9-0.J#J3 1.1MJ 6 para 9-0.0#J3 11.0H.&ntonces el inter"alo de con?an!a esta dado por


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Wr?ca


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Prueba de Homo!eneidad de varianzas

e manera que# si las "arian!as po$lacionales soniguales# dic,a ra!(n es 1 6 podramos a?rmar quepo$laciones tienen una distri$uci(n ,omog%neaF los datos se encuentran igualmente dispersos. Unclara de interpretaci(n de la importancia de la

,omogeneidad de "arian!as se puede apreciar ensiguiente ejemploI


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&jemplo

estamos comparando el rendimiento promedio dealumnos de una asignatura di"idida en dos secciocada una de las cuales estn asignadas a di+erent

pro+esores. Podra ocurrir que el rendimiento promam$as secciones sea la mismaF pero sin em$argonotas pueden tener di+erente "aria$ilidad. O$ser"e las dos cur"as en el siguiente gr?co. L

tienen el mismo promedio# pero# por la +orma de

campana# tienen di+erente "arian!a.


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.

&sto justi?ca la necesidad de esta$lecer una prue$a de ,ip(tesis para una ra!(n da ?n de compro$ar si ellas son ,omog%neas o no.

Una aplicaci(n de esta ra!(n podra ser $astante signi?cati"a en un caso en el queno son mu6 e'plicati"as.

Por otro lado# as como se reali!a in+erencia so$re la estimaci(n 6 prue$a de ,ip(tdi+erencia de medias o proporciones muestrales en el caso de dos po$laciones# aspodemos plantear el estudio de la ra!(n de las "arian!as de dos po$laciones de?n

parmetro = como6 su estimador


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&ste estudio lo ,aremos tomando en cuenta elinter"alo de con+ian!a 6 la prue$a de ,ip(tesis

Pues $ien. )ea 91# 9-# ...# 9n1una muestra aleatorie'trada a partir una po$laci(n ;m1# s173 6 se X1# Xn-una muestra aleatoria e'trada a partir una po;m-# s-73.


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Estimacin puntual para 2 varianzas poblacion

)i son los estadsticos de la primeramuestra# de tama:o n1 6 son los estads

de la primera muestra# de tama:o n-onde

entonces diremos que es un estimador punpara la ra!(n o el cociente de las "arian!as po$laci


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Estimacin por intervalos pavarianzas pobLa "arian!a muestral es el estimador puntual de la "arian!a po$l

S2 /xix23-4n 13

Con el ?n de e'poner c(mo usar la distri$uci(n c,i5cuadrada paruna estimaci(n de la "arian!a po$lacional - mediante un inter"con?an!a# suponga que desea estimar la "arian!a po$lacional dede llenado citado al comien!o de este captulo. &n una muestra den"ases encuentra que la "arian!a muestral de las cantidades dees s- 0.00-J. )in em$argo# sa$e que no puede esperar que la "-0 en"ases corresponda al "alor e'acto de la "arian!a de toda lade en"ases que se llenan en este proceso de producci(n. As# deo$tener una estimaci(n por inter"alo para la "arian!a po$laciona


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Y(rmula

X en cuanto al Znter"alo de con?an!a del 15a3'10para

ser


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Pruebas de #iptesis para 2 varianzas poblacionales

de?niremos la "aria$le aleatoria

tal que Y 555 Yn1[ 1# n-[ 13

Por tanto las prue$as de ,ip(tesis a plantearse# usando el estadstico

con n1[ 1 grados de li$ertad en el numerador 6 n -[ 1 grados de li$ertad denominador# sern

)i YcBY# ec,a!ar D0 . ec,a!ar D0 si YcB Y4- o si Yc Y154-

)i Yc Y15 F rec,a!ar D0

Caso I Caso II Caso III


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$azn de varianzas en minitab

&l programa Kinita$ resuel"e pro$lemas de estimpor inter"alos 6 prue$as de ,ip(tesis como un p

de %n&lisis de 'arianza# pero en su +orma simcomo una comparaci(n de dos po$laciones. &sto se logra mediante la comparaci(n de media

po$lacionales 6 tam$i%n mediante la comparaci(sus "arian!asF esta *ltima a tra"%s de PU&\A)

DOKW&;&ZA & @AZA;]A). Para reali!ar una Prue$a de Domogeneidad de @de$emos ejecutar la siguiente secuenciaI

B)tat 5 B\asics )tatisticas 5 B- "ariances ^


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Tres +ormas

O$ser"e Ud. que se dispone de tres +ormas de ingresar los dato

los datos estn en una columna 6 otra contiene los su$ndices preconocer las dos muestrasF cuando en la ,oja de tra$ajo las mestn en dos columnas 6 cuando se dispone de datos resumido

La "entana de BOptions es mnimaI s(lo requiere del ni"el de

&sto signi?ca que en todas las prue$as# se asume que la ,ip(te

+ormula como igualdad de "arian!as o la a?rmaci(nI &'iste ,omentre las dos po$laciones. Tomaremos en cuenta estos criterios toda "e! que tengamos qu

inter"alo de con?an!a para una ra!(n de "arian!as o reali!ar pr,ip(tesis de las "arian!as po$lacionales.


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&jemploetermine si la "arian!a del rendimiento de los alumnos pro"enientes de colegioigual a la "arian!a del rendimiento de los alumnos pro"enientes de colegios p*$l

)oluci(n

&ste es un pro$lema de comparaci(n de "arian!as.Por la pregunta deducimos que el rendimiento ser `id%ntico o mejor I `Domog%cociente de la "aria$ilidad del rendimiento en cada tipo de colegio es apro'imada 1. &n Kinita$ de$emos usaremos la opci(n BA;O@A del comando B)tat. B )tat 5 B Ano"a 5 B Domogeneit6 o+ @ariance . A continuaci(n de$emos

los datos en la siguiente "entanaI

&n B esponse ingresaremos la "aria$le `Prom" (ral &n BYactors ingresaremos la "aria$le )ole!io. Los resultados o$tenidos son

; t C& P i ; t C& & t t l


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;otas C&.Pri". ;otas C&. &statal

11 1G

H 10

1- 1-J

1M 11

1H N

1G 1M1N 1

10 1-

&jemplo


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&jemplo

A ?n de medir el e+ecto de una campa:a de "entaartculos so$rantes# en toda la cadena de tiendas

o+recen el mismo producto# el Werente de Zn"estigde mercado tom( una muestra aleatoria de 1G patiendas que se ,icieron concordar seg*n el "olumsemanal promedio de "entas. Una tienda de cadagrupo e'perimental3 +ue e'puesta a la campa:a d

promoci(n# mientras que la otra no lo +ue. Los sigdatos muestran los resultados en un perodo sem

bLa promoci(n lograr aumentar las "entas_


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'arianzas poblacionales con E*cel

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