Inferencias estadísticas acerca de las medias

y de proporciones con dos poblaciones

Estimación

Esquema de criterios a

considerar

Conocida σ

Desconocida σ

AmbasMuestras

DiferenciaDe Medias

Curva normal estandarizada

Curva normal estandarizadaDesconocida σ

Muestrasn≥30

n<30

Diferencia deProporciones

Curva normal estandarizada

Distribución t-Student

Curva normal estandarizada

Estimación de la diferencia de dos

medias conocidas σ1 y σ2

Estimación puntual

2121 xx −=− µµ

Estimación por intervalo

Exx ±−=− 2121 µµ

2

2

2

1

2

1

2

21

21

nn

zE

xx

xx

σσσ

σα

+=

=

−

−

Estimación de la diferencia de dos

medias conocido σ

• Se esperaba que el día de San Valentín el desembolso promedio fuera $100.89. ¿Hay diferencia en las cantidades que gastan los hombres y las mujeres? El gasto promedio en una muestra de 40 hombres fue de 135.67 el gasto promedio en una muestra de 30 mujeres fue de $68.64. Por estudios anteriores se sabe que la desviación estándar poblacional en el gasto de los hombres es de $35 y en el gasto de las mujeres es de $20.gasto de las mujeres es de $20.

a. ¿Cuál es la estimación puntual de la diferencia entre el gasto medio poblacional de los hombres y el gasto medio poblacional de las mujeres?

b. Con 99% de confianza, ¿cuál es el error de estimación?c. Elabore un intervalo de confianza de 99% para la

diferencia entre las dos medias poblacionales.

a. Estimación puntual de la diferencia del gasto promedio de las dos poblaciones:

µ1= Gasto promedio de hombres

µ2= Gasto promedio de mujeres

b. Error de estimación de la diferencia del gasto promedio

03.67

64.6867.135

21

21

2121

=−

−=−

−=−

µµ

µµ

µµ xx

b. Error de estimación de la diferencia del gasto promedio entre las dos poblaciones con 99% de confianza:

63.6

30

20

40

35

21

21

21

22

2

2

2

1

2

1

=

+=

+=

−

−

−

xx

xx

xxnn

σ

σ

σσσ

106.17)63.6)(58.2(

58.22

221

==

=

= −

E

z

zExx

α

α σ

c. Intervalo de confianza de 99%

Se estima que la diferencia del gasto promedio

136.84924.49

106.1703.67

21

21

2121

≤−≤

±=−

±−=−

µµ

µµ

µµ Exx

Se estima que la diferencia del gasto promedio entre hombres y mujeres el día de San Valentín se encuentra entre $49.92 y $84.14 con un 99% de confianza.

Estimación de la diferencia de dos

medias desconocidas σ1 y σ2

Estimación puntual

2121 xx −=− µµ

Estimación por intervalo

3030 21 ≥≥ nynCualquiera de las muestras,o ambas menores a 30 datos

2

2

2

1

2

1

2

21

21

nn

zE

xx

xx

σσσ

σα

+=

=

−

−

Exx ±−=− 2121 µµ

21

Exx ±−=− 2121 µµ

221 −+= nnυ

2

)1()1(

21

2

22

2

112

−+−+−

=nn

snsns p

Suponiendo varianzas iguales

+=

=

−

−

21

2

2

1121

21

nns

tE

pxx

xx

σ

σα

• El Departamento de Transporte de EU informa sobre la cantidad de millas que recorren en automóvil los habitantes de las 75 principales áreas metropolitanas de ese país. Suponga que en una muestra aleatoria simple de 50 habitantes de Buffalo, la media es de 22.5 millas por día y la desviación estándar es 8.4 millas por día y que en una muestra aleatoria simple independiente de 40 habitantes de

Estimación de la diferencia de dos medias con σ desconocido

muestra aleatoria simple independiente de 40 habitantes de Boston la media es 18.6 millas por día y la desviación estándar es 7.4 millas por día.

a. ¿Cuál es la estimación puntual de la diferencia entre la media de las millas por día que recorre un habitante de Buffalo y la media de las millas por día que recorre un habitante de Boston?

b. B. Dé un intervalo de confianza de 95% para la diferencia de las dos medias poblacionales.

a. Estimación puntual de la diferencia de las millas recorridas en las dos ciudades:

µ1= Millas promedio recorridas en Buffalo

µ2= Millas promedio recorridas en Boston

b. Intervalo de confianza de 95% para la diferencia de las medias:

Como ambas muestras son mayores a 30 datos empleamos z:

9.3

6.185.22

21

21

2121

=−

−=−

−=−

µµ

µµ

µµ xx

22ss = σzE

Se estima que la diferencia de la millas por día recorridas en Buffalo y Boston se encuentra entre 0.63 y 7.17 millas con un 95% de confianza

67.1

40

4.7

50

4.8

21

21

21

22

2

2

2

1

2

1

=

+=

+=

−

−

−

xx

xx

xxn

s

n

s

σ

σ

σ

17.763.0

27.3)67.1)(96.1(

96.1

21

2

221

≤−≤

==

=

= −

µµ

σ

α

α

E

z

zExx

• Merrill Lynch solicita periódicamente a sus clientes evaluaciones sobre asesoría financiera y los servicios que les presta. Puntuaciones más altas indican mejor servicio, 7 es la puntuación más alta. A continuación se presentan en forma resumida las puntuaciones dadas a dos consultores financieros por los miembros de dos muestras aleatorias independientes. El consultor A tiene 10 años de experiencia, mientras que el consultor B tiene 1 año de experiencia.

a. ¿Cuál es la estimación puntual de la diferencia de puntuación de los dos consultores?

Estimación de la diferencia de dos medias con σ desconocido y n<30

a. ¿Cuál es la estimación puntual de la diferencia de puntuación de los dos consultores?

b. Dé una estimación por intervalo de 95% de confianza de la diferencia entre las puntuaciones de los dos consultores.

Consultor A Consultor B

n1= 16 n2= 10

s1=0.64 s2=0.75

82.61 =x 25.61 =x

a. Estimación puntual de la diferencia puntuación de los dos consultores:

µ1= Puntuación media consultor A

µ2= Puntuación media consultor B

b. Intervalo de confianza de 95% para la diferencia de las medias:

Como ambas muestras son menores a 30 datos empleamos t:

57.0

25.682.6

21

21

2121

=−

−=−

−=−

µµ

µµ

µµ xx

Se estima que la diferencia de las puntuaciones promedio entre los consultores A y B se encuentra entre 0.0024 y 1.1376 puntos con 95% de confianza.

275.010

1

16

1)4669.0(

4669.021016

)75.0)(110()64.0)(116(

21

222

=

+=

=−+−+−

=

− xx

ps

σ

1376.10024.0

5676.0)275.0)(064.2(

064.2

2421016

21

2

221

≤−≤

==

=

=−+== −

µµ

υσ

α

α

E

t

tExx

Estimación de la diferencia de dos

proporciones

Estimación puntual

2121 pp −=− ππ

Estimación por intervalo

Epp ±−=− 2121 ππ

2

22

1

11

2

21

21

n

qp

n

qp

zE

pp

pp

+=

=

−

−

σ

σα

• En una encuesta se pidió a los ejecutivos de empresas grandes su opinión acerca de sus perspectivas económicas para el futuro. Una de las preguntas era: ¿Piensa usted que en los próximos 12 meses aumentará en un empresa el número de empleados de tiempo completo? En esa encuesta

Estimación de la diferencia de dos proporciones

empleados de tiempo completo? En esa encuesta 220 de 400 ejecutivos contestaron sí, mientras que en la encuesta realizada el año anterior, 192 de 400 respondieron sí.

a. ¿Cuál es el estimador puntual de la diferencia de proporciones de las dos encuestas?

b. Encuentre un intervalo de confianza de 98% para estimar la diferencia entre la proporciones en estas dos encuestas.

a. Estimación puntual de la diferencia de las proporciones de las encuestas:

π1= Proporción encuesta actual

π2= Proporción encuesta anterior

b. Intervalo de confianza de 95% para la diferencia de las proporciones:

07.0

48.055.0400

192

400

220

21

21

2121

=−

−=−=−

−=−

ππ

ππ

ππ pp

0353.0400

)52.0)(48.0(

400

)45.0)(55.0(21

=+=−σpp

Se estima que la diferencia de las proporciones de las encuestas realizadas sobre perspectivas económicas de los ejecutivos se encuentra entre 0.8% y 13.92% con 95% de confianza

1392.0008.0

0692.0)0353.0)(96.1(

96.1

400400

21

2

2

21

≤−≤

===

=

−

ππ

σα

α

ppzE

z