Centro de ciencias BásicasDepartamento de EstadísticaAcademia de Métodos Estadísticos Avanzados

Procesos EstocásticosExamen Parcial Practico II

Profesor:Dr. Netzahualcóyotl Castañeda Leyva

Alumnos:García Gallegos, Mónica del RocíoLuna Núñez, Erick David

Lic. En Matemáticas Aplicadas 5° semestre

Fecha de Entrega: 23 de noviembre 2015

Estudio de la llegada de pacientes al Centro de Rehabilitación Infantil Teletón Aguascalientes IntroducciónEl CRIT Aguascalientes (Centro de Rehabilitación Infantil Teletón) se encuentra ubicado en lo que eran los antiguos talleres ferroviarios, sobre la avenida Heroico Colegio Militar No. 600 en la colonia Ferronales. Fue inaugurado el 6 de diciembre de 2002, con la aportación que recolectada en el evento nacional del Teletón 2001; desde entonces ha atendido a más de 16 mil pacientes y 5 mil familias.Las instalaciones del CRIT están conformadas por la entrada principal, el área de vigilancia, después un pasillo que lleva a la recepción, donde los pacientes llegan y pasan lista, para recibir luego sus diferentes servicios.

MuestreoEn dicha entrada se tomó una bitácora de los tiempos de llegada al CRIT de los distintos pacientes en el lapso de una hora. La muestra se registró con la utilización de un dispositivo móvil Alcatel OneTouch alrededor de las 16:00 (evento 0 en ambos casos) del jueves 12 y viernes 13 de noviembre del año en curso; de la misma manera se tomó otra muestra el día viernes 13 de noviembre con el fin de comparar el tráfico de ingresos de personas diario del Centro de Rehabilitación.

En la bitácora, que se anexa a continuación, se registró el número de paciente llegado al CRIT a partir de la hora de inicio del muestreo, su tiempo de llegada así como el tiempo de llegada entre el individuo recién llegado y el anterior. El tiempo se registró en minutos y de manera decimal, i.e.

1 segundo= 160minuto

Hora de Inicio:

Muestra Jueves: 16:00Muestra Viernes: 16:00

Hora Final:

Muestra Jueves: 16:57:21Muestra Viernes: 16:39:01

Servidor y Sentido: Llegadas al CRIT Aguascalientes entrada Oriente

Tamaño del grupo: La muestra se registró de manera individual.

Encuestadores: Mónica García y Erick Luna

Fecha: Jueves 12 de Noviembre del 2015

Caso TiempoTiempo de

llegada(min)

Tiempo entre llegadas

(min)0 04:00:00 p.m. 0.00 0.001 04:00:06 p.m. 0.10 0.102 04:00:19 p.m. 0.32 0.223 04:00:21 p.m. 0.35 0.034 04:00:34 p.m. 0.57 0.225 04:00:45 p.m. 0.75 0.186 04:00:57 p.m. 0.95 0.207 04:01:03 p.m. 1.05 0.108 04:01:10 p.m. 1.17 0.129 04:01:14 p.m. 1.23 0.07

10 04:01:20 p.m. 1.33 0.1011 04:01:24 p.m. 1.40 0.0712 04:01:29 p.m. 1.48 0.0813 04:01:30 p.m. 1.50 0.0214 04:01:42 p.m. 1.70 0.2015 04:01:47 p.m. 1.78 0.0816 04:01:50 p.m. 1.83 0.0517 04:01:53 p.m. 1.88 0.0518 04:02:04 p.m. 2.07 0.1819 04:02:07 p.m. 2.12 0.0520 04:02:08 p.m. 2.13 0.0221 04:02:15 p.m. 2.25 0.1222 04:02:22 p.m. 2.37 0.1223 04:02:38 p.m. 2.63 0.2724 04:02:39 p.m. 2.65 0.0225 04:02:45 p.m. 2.75 0.1026 04:02:50 p.m. 2.83 0.0827 04:03:01 p.m. 3.02 0.1828 04:04:32 p.m. 4.53 1.5229 04:04:55 p.m. 4.92 0.3830 04:04:59 p.m. 4.98 0.0731 04:05:00 p.m. 5.00 0.0232 04:05:03 p.m. 5.05 0.0533 04:05:10 p.m. 5.17 0.1234 04:05:13 p.m. 5.22 0.0535 04:05:17 p.m. 5.28 0.0736 04:05:28 p.m. 5.47 0.1837 04:05:48 p.m. 5.80 0.3338 04:06:10 p.m. 6.17 0.3739 04:06:13 p.m. 6.22 0.0540 04:06:31 p.m. 6.52 0.3041 04:06:35 p.m. 6.58 0.0742 04:06:38 p.m. 6.63 0.0543 04:06:51 p.m. 6.85 0.2244 04:06:53 p.m. 6.88 0.0345 04:06:54 p.m. 6.90 0.0246 04:07:01 p.m. 7.02 0.1247 04:07:22 p.m. 7.37 0.35

48 04:07:25 p.m. 7.42 0.0549 04:08:11 p.m. 8.18 0.7750 04:08:28 p.m. 8.47 0.2851 04:09:31 p.m. 9.52 1.0552 04:10:07 p.m. 10.12 0.6053 04:10:32 p.m. 10.53 0.4254 04:10:51 p.m. 10.85 0.3255 04:10:52 p.m. 10.87 0.0256 04:11:44 p.m. 11.73 0.8757 04:12:03 p.m. 12.05 0.3258 04:12:12 p.m. 12.20 0.1559 04:12:24 p.m. 12.40 0.2060 04:12:28 p.m. 12.47 0.0761 04:12:56 p.m. 12.93 0.4762 04:13:21 p.m. 13.35 0.4263 04:13:24 p.m. 13.40 0.0564 04:13:25 p.m. 13.42 0.0265 04:13:26 p.m. 13.43 0.0266 04:13:39 p.m. 13.65 0.2267 04:13:56 p.m. 13.93 0.2868 04:14:24 p.m. 14.40 0.4769 04:14:38 p.m. 14.63 0.2370 04:14:57 p.m. 14.95 0.3271 04:15:22 p.m. 15.37 0.4272 04:15:25 p.m. 15.42 0.0573 04:16:39 p.m. 16.65 1.2374 04:18:34 p.m. 18.57 1.9275 04:19:02 p.m. 19.03 0.4776 04:19:33 p.m. 19.55 0.5277 04:20:12 p.m. 20.20 0.6578 04:21:03 p.m. 21.05 0.8579 04:22:14 p.m. 22.23 1.1880 04:24:26 p.m. 24.43 2.2081 04:24:40 p.m. 24.67 0.2382 04:25:33 p.m. 25.55 0.8883 04:25:34 p.m. 25.57 0.0284 04:25:40 p.m. 25.67 0.1085 04:25:54 p.m. 25.90 0.2386 04:26:44 p.m. 26.73 0.8387 04:27:05 p.m. 27.08 0.3588 04:27:06 p.m. 27.10 0.0289 04:27:08 p.m. 27.13 0.0390 04:27:09 p.m. 27.15 0.0291 04:28:11 p.m. 28.18 1.0392 04:28:15 p.m. 28.25 0.0793 04:28:22 p.m. 28.37 0.1294 04:29:14 p.m. 29.23 0.8795 04:29:18 p.m. 29.30 0.0796 04:29:33 p.m. 29.55 0.2597 04:29:45 p.m. 29.75 0.2098 04:29:46 p.m. 29.77 0.0299 04:29:58 p.m. 29.97 0.20

100 04:29:59 p.m. 29.98 0.02101 04:30:21 p.m. 30.35 0.37102 04:30:22 p.m. 30.37 0.02

103 04:30:23 p.m. 30.38 0.02104 04:30:25 p.m. 30.42 0.03105 04:31:11 p.m. 31.18 0.77106 04:31:32 p.m. 31.53 0.35107 04:31:41 p.m. 31.68 0.15108 04:31:56 p.m. 31.93 0.25109 04:32:25 p.m. 32.42 0.48110 04:33:34 p.m. 33.57 1.15111 04:34:19 p.m. 34.32 0.75112 04:34:22 p.m. 34.37 0.05113 04:34:27 p.m. 34.45 0.08114 04:35:31 p.m. 35.52 1.07115 04:36:23 p.m. 36.38 0.87116 04:36:24 p.m. 36.40 0.02117 04:36:26 p.m. 36.43 0.03118 04:37:03 p.m. 37.05 0.62119 04:37:22 p.m. 37.37 0.32120 04:38:04 p.m. 38.07 0.70121 04:39:33 p.m. 39.55 1.48122 04:39:54 p.m. 39.90 0.35123 04:40:11 p.m. 40.18 0.28124 04:40:34 p.m. 40.57 0.38125 04:40:41 p.m. 40.68 0.12126 04:40:52 p.m. 40.87 0.18127 04:40:58 p.m. 40.97 0.10128 04:41:32 p.m. 41.53 0.57129 04:41:45 p.m. 41.75 0.22130 04:41:46 p.m. 41.77 0.02131 04:41:47 p.m. 41.78 0.02132 04:41:56 p.m. 41.93 0.15133 04:42:04 p.m. 42.07 0.13134 04:42:07 p.m. 42.12 0.05135 04:42:09 p.m. 42.15 0.03136 04:42:10 p.m. 42.17 0.02137 04:42:14 p.m. 42.23 0.07138 04:42:15 p.m. 42.25 0.02139 04:42:53 p.m. 42.88 0.63140 04:43:19 p.m. 43.32 0.43141 04:43:27 p.m. 43.45 0.13142 04:43:49 p.m. 43.82 0.37143 04:44:53 p.m. 44.88 1.07144 04:44:56 p.m. 44.93 0.05145 04:44:59 p.m. 44.98 0.05146 04:45:00 p.m. 45.00 0.02147 04:45:02 p.m. 45.03 0.03148 04:45:07 p.m. 45.12 0.08149 04:45:09 p.m. 45.15 0.03150 04:45:14 p.m. 45.23 0.08151 04:45:33 p.m. 45.55 0.32152 04:45:35 p.m. 45.58 0.03153 04:45:36 p.m. 45.60 0.02154 04:45:56 p.m. 45.93 0.33155 04:45:59 p.m. 45.98 0.05156 04:46:02 p.m. 46.03 0.05157 04:46:23 p.m. 46.38 0.35

158 04:46:28 p.m. 46.47 0.08159 04:46:37 p.m. 46.62 0.15160 04:46:41 p.m. 46.68 0.07161 04:46:49 p.m. 46.82 0.13162 04:47:22 p.m. 47.37 0.55163 04:47:34 p.m. 47.57 0.20164 04:47:57 p.m. 47.95 0.38165 04:48:39 p.m. 48.65 0.70166 04:48:48 p.m. 48.80 0.15167 04:48:53 p.m. 48.88 0.08168 04:48:57 p.m. 48.95 0.07169 04:49:21 p.m. 49.35 0.40170 04:49:24 p.m. 49.40 0.05171 04:49:44 p.m. 49.73 0.33172 04:49:58 p.m. 49.97 0.23173 04:50:53 p.m. 50.88 0.92174 04:50:56 p.m. 50.93 0.05175 04:51:11 p.m. 51.18 0.25176 04:51:18 p.m. 51.30 0.12177 04:51:21 p.m. 51.35 0.05178 04:51:28 p.m. 51.47 0.12179 04:52:03 p.m. 52.05 0.58180 04:52:07 p.m. 52.12 0.07181 04:52:13 p.m. 52.22 0.10182 04:52:37 p.m. 52.62 0.40183 04:52:41 p.m. 52.68 0.07184 04:52:55 p.m. 52.92 0.23185 04:53:07 p.m. 53.12 0.20186 04:53:49 p.m. 53.82 0.70187 04:53:56 p.m. 53.93 0.12188 04:54:39 p.m. 54.65 0.72189 04:55:01 p.m. 55.02 0.37190 04:55:14 p.m. 55.23 0.22191 04:55:19 p.m. 55.32 0.08192 04:55:38 p.m. 55.63 0.32193 04:56:12 p.m. 56.20 0.57194 04:56:18 p.m. 56.30 0.10195 04:56:23 p.m. 56.38 0.08196 04:56:42 p.m. 56.70 0.32197 04:57:21 p.m. 57.35 0.65

Fecha: Viernes 13 de Noviembre 2015

Caso Tiempo Tiempo de llegadas (min)

Tiempo entre llegadas (min)

0 04:00:00 p.m. 0 0.281 04:00:17 p.m. 0.28 0.072 04:00:21 p.m. 0.35 0.033 04:00:23 p.m. 0.38 0.54 04:00:53 p.m. 0.88 0.055 04:00:56 p.m. 0.93 0.226 04:01:09 p.m. 1.15 0.027 04:01:10 p.m. 1.17 0.058 04:01:13 p.m. 1.22 0.36

9 04:01:35 p.m. 1.58 0.1210 04:01:42 p.m. 1.7 0.0211 04:01:43 p.m. 1.72 0.0512 04:01:46 p.m. 1.77 0.4813 04:02:15 p.m. 2.25 0.0314 04:02:17 p.m. 2.28 0.0915 04:02:22 p.m. 2.37 0.2616 04:02:38 p.m. 2.63 0.3417 04:02:58 p.m. 2.97 0.4118 04:03:23 p.m. 3.38 0.0419 04:03:25 p.m. 3.42 0.0620 04:03:29 p.m. 3.48 0.721 04:04:11 p.m. 4.18 0.4722 04:04:39 p.m. 4.65 0.3723 04:05:01 p.m. 5.02 0.6624 04:05:41 p.m. 5.68 0.2725 04:05:57 p.m. 5.95 0.4526 04:06:24 p.m. 6.4 1.4227 04:07:49 p.m. 7.82 0.0828 04:07:54 p.m. 7.9 0.3229 04:08:13 p.m. 8.22 0.3630 04:08:35 p.m. 8.58 0.3531 04:08:56 p.m. 8.93 0.0232 04:08:57 p.m. 8.95 0.0233 04:08:58 p.m. 8.97 0.0134 04:08:59 p.m. 8.98 0.0235 04:09:00 p.m. 9 0.2836 04:09:17 p.m. 9.28 0.1237 04:09:24 p.m. 9.4 0.1338 04:09:32 p.m. 9.53 0.2539 04:09:47 p.m. 9.78 0.2540 04:10:02 p.m. 10.03 0.7541 04:10:47 p.m. 10.78 0.1542 04:10:56 p.m. 10.93 0.7943 04:11:43 p.m. 11.72 0.2644 04:11:59 p.m. 11.98 0.3245 04:12:18 p.m. 12.3 0.1846 04:12:29 p.m. 12.48 0.1547 04:12:38 p.m. 12.63 0.2948 04:12:55 p.m. 12.92 0.4649 04:13:23 p.m. 13.38 0.1450 04:13:31 p.m. 13.52 0.1651 04:13:41 p.m. 13.68 0.0452 04:13:43 p.m. 13.72 0.0153 04:13:44 p.m. 13.73 0.1254 04:13:51 p.m. 13.85 0.0255 04:13:52 p.m. 13.87 0.1556 04:14:01 p.m. 14.02 0.5357 04:14:33 p.m. 14.55 0.2558 04:14:48 p.m. 14.8 0.2359 04:15:02 p.m. 15.03 0.3260 04:15:21 p.m. 15.35 0.2261 04:15:34 p.m. 15.57 0.262 04:15:46 p.m. 15.77 0.1863 04:15:57 p.m. 15.95 0.57

64 04:16:31 p.m. 16.52 0.3565 04:16:52 p.m. 16.87 0.2866 04:17:09 p.m. 17.15 0.0367 04:17:11 p.m. 17.18 0.5268 04:17:42 p.m. 17.7 0.2269 04:17:55 p.m. 17.92 0.670 04:18:31 p.m. 18.52 0.471 04:18:55 p.m. 18.92 0.2672 04:19:11 p.m. 19.18 0.4573 04:19:38 p.m. 19.63 0.2574 04:19:53 p.m. 19.88 0.0775 04:19:57 p.m. 19.95 0.676 04:20:33 p.m. 20.55 0.0777 04:20:37 p.m. 20.62 0.2578 04:20:52 p.m. 20.87 0.0679 04:20:56 p.m. 20.93 0.2280 04:21:09 p.m. 21.15 0.181 04:21:15 p.m. 21.25 0.5282 04:21:46 p.m. 21.77 0.2583 04:22:01 p.m. 22.02 0.0384 04:22:03 p.m. 22.05 0.4785 04:22:31 p.m. 22.52 0.2386 04:22:45 p.m. 22.75 0.2387 04:22:59 p.m. 22.98 0.0288 04:23:00 p.m. 23 0.0289 04:23:01 p.m. 23.02 0.490 04:23:25 p.m. 23.42 0.2891 04:23:42 p.m. 23.7 0.4892 04:24:11 p.m. 24.18 0.0593 04:24:14 p.m. 24.23 0.3594 04:24:35 p.m. 24.58 0.195 04:24:41 p.m. 24.68 0.0496 04:24:43 p.m. 24.72 0.2197 04:24:56 p.m. 24.93 0.0998 04:25:01 p.m. 25.02 0.0899 04:25:06 p.m. 25.1 0.13

100 04:25:14 p.m. 25.23 0.17101 04:25:24 p.m. 25.4 0.25102 04:25:39 p.m. 25.65 0.23103 04:25:53 p.m. 25.88 0.29104 04:26:10 p.m. 26.17 0.11105 04:26:17 p.m. 26.28 0.25106 04:26:32 p.m. 26.53 0.42107 04:26:57 p.m. 26.95 0.7108 04:27:39 p.m. 27.65 0.03109 04:27:41 p.m. 27.68 0.02110 04:27:42 p.m. 27.7 0.28111 04:27:59 p.m. 27.98 0.22112 04:28:12 p.m. 28.2 0.17113 04:28:22 p.m. 28.37 0.55114 04:28:55 p.m. 28.92 0.26115 04:29:11 p.m. 29.18 1.22116 04:30:24 p.m. 30.4 0.03117 04:30:26 p.m. 30.43 0.22118 04:30:39 p.m. 30.65 0.02

119 04:30:40 p.m. 30.67 0.11120 04:30:47 p.m. 30.78 0.17121 04:30:57 p.m. 30.95 0.02122 04:30:58 p.m. 30.97 0.01123 04:30:59 p.m. 30.98 0.25124 04:31:14 p.m. 31.23 0.07125 04:31:18 p.m. 31.3 0.12126 04:31:25 p.m. 31.42 0.13127 04:31:33 p.m. 31.55 0.03128 04:31:35 p.m. 31.58 0.2129 04:31:47 p.m. 31.78 0.24130 04:32:01 p.m. 32.02 0.35131 04:32:22 p.m. 32.37 0.06132 04:32:26 p.m. 32.43 0.32133 04:32:45 p.m. 32.75 0.3134 04:33:03 p.m. 33.05 0.3135 04:33:21 p.m. 33.35 0.18136 04:33:32 p.m. 33.53 0.24137 04:33:46 p.m. 33.77 0.03138 04:33:48 p.m. 33.8 0.15139 04:33:57 p.m. 33.95 0.58140 04:34:32 p.m. 34.53 0.37141 04:34:54 p.m. 34.9 0.12142 04:35:01 p.m. 35.02 0.16143 04:35:11 p.m. 35.18 0.05144 04:35:14 p.m. 35.23 0.45145 04:35:41 p.m. 35.68 0.19146 04:35:52 p.m. 35.87 0.7147 04:36:34 p.m. 36.57 1.11148 04:37:41 p.m. 37.68 0.84149 04:38:31 p.m. 38.52 0.5150 04:39:01 p.m. 39.02

El esquema de muestreo utilizado fue de observación a tiempo continuo, pues el proceso de llegadas al CRIT se observó continuamente en el intervalo de tiempo (0,T=57.35o39.01respectivamente], esto pudo ser realizado gracias a que contábamos con un instrumento practico de registro: aun cuando el tiempo entre llegadas era de unos cuantos segundos, logramos notar con una buena precisión el tiempo de cada evento. La muestra fue elaborad de tal manera que T=t n, i.e. de tal manera que el tiempo de llegada del evento n fuera el tiempo T , adaptándolo así al esquema de muestreo general, con lo que tenemos los tiempos de observación:

0=t 0< t1<⋯<t n−1< tn=T

Parámetro de Tasa λAhora realizamos la inferencia del parámetro de tasa λ por medio del estimador de máxima verosimilitud, que para el caso de un proceso de Poisson Homogéneo está dado por:

λ̂=XTT

= 19757.35

≈3.435047

Dicho parámetro nos indica que al CRIT Aguascalientes llegaron el jueves 12 de noviembre aproximadamente 3 visitantes por minuto entre las 16:00 y 17:00.

Para la muestra 2

λ̂=XTT

= 15039.01

≈3.8451379

Dicho parámetro nos indica que al CRIT Aguascalientes llegaron el viernes 13 de noviembre aproximadamente 3 visitantes por minuto entre las 16:00 y 16:40.

Comparando el estimador de máxima verosimilitud de ambas muestras notamos que en ambos casos el promedio de ingresos al CRIT por la puerta oriente es de 3 personas por minuto entre las 16:00 y 17:00, sin embargo la tasa estimada de la segunda muestra es mayor y esto lo atribuimos a que en estos horarios se realizan programas de visitas a teletón por lo cual se ve en algunos intervalos de tiempo una mayor demanda en la entrada.

Trayectoria del Proceso con y sin ajuste de media estimadaFecha: Jueves 12 de Noviembre del 2015

Nótese que la gráfica se aproxima bien a una recta de pendiente 3.4 (tasa de esta muestra) sin embargo se puede apreciar cómo, al principio de la muestra se registró un congestionamiento de llegadas a CRIT lo cual se refleja en la desviación de la tendencia lineal al inicio de la trayectoria. Por otro lado notamos la existencia de intervalos de tiempo en el cual ocurre mayor número de llegadas, aproximadamente cada 15 minutos.

Fecha: Viernes 13 de Noviembre del 2015

M

Con respecto a la muestra 2, podemos apreciar que la trayectoria se ajusta muy bien a una recta de pendiente 3.8 (tasa de llegada de esta muestra), de hecho se nota un mejor ajuste que la muestra anterior, pues, desde el principio se ajusta bien; esto lo relacionamos con el hecho de que el día jueves -a diferencia del resto de la semana- el transporte encargado de recoger a los pacientes tuvo un retraso por lo cual entro como parte del registro al inicio de la muestra.

Similar a la otra muestra, este también muestra la existencia de los intervalos cada 15 minutos en los que llegan más personas. Después de investigar las actividades de CRIT nos dimos cuenta que esto puede atribuirse a que las actividades de CRIT se inician cada cuarto de hora.

Histograma, papel P-P y Q-Q con y sin ajusteHistogramas

En el histograma se graficaron los distintos tiempos entre llegada y su frecuencia, podemos notar como estas se acumulan entre 0 y 0.5, lo cual concuerda con el hecho de la tasa estimada sea para ambas muestras un valor cercano a 3.5, pues esto nos dice entonces que

Jueves 12 de Noviembre Viernes 13 de Noviembre

μ̂ ≈ 1λ̂≈ 13.5≈ .2857

Es decir, el promedio de tiempo entre llegadas de los visitantes es de .2857 minutos para ambos casos.

Por otro lado, se observa que en la primera muestra los tiempos de llegada presentan mayor dispersión después de 0.5 a comparación de la segundo muestra; podemos atribuir este fenómeno al hecho de que durante el muestro del día viernes 13 presenciamos la llegada de un camión de visitas externas al CRIT, para su ingreso todos los individuos tuvieron que ingresar al centro en intervalos de tiempo similar para poder llevar a cabo su registro por el personal del CRIT.

Papel P-P y Q-Q Exponencial

Al analizar las gráficas de papel P-P notamos que se ajusta bien a una recta en su forma, sin embargo al inicio presenta una forma escalonada, esto se debe al instrumento de medición; recordemos que el jueves 12 se presentaron más llegadas de los normal debido al retraso del camión, esto generó que el tiempo entre llegadas al inicio del muestro fuera muy pequeño, y debido a que el instrumento no posee la capacidad de medir fracciones de segundo, se registra un mismo tiempo entre llegadas a pesar de que estos difieran.

Jueves 12 de Noviembre

Con respecto al papel Q-Q, la gráfica se ajusta bien a una recta, exceptuando la cola derecha de la distribución, pues como podemos ver el valor observado es más pequeño que el esperado, lo cual nos indica que la cola derecha es más ligera de lo normal.

Jueves 12 de Noviembre

En el caso de la muestra 2, en el papel P-P se puede observar que sea aproxima bastante bien a una recta, excepto por una especie de concavidad en el centro de la gráfica, esto se puede atribuir, tanto al instrumento de medición, como a que por el camión de visitas y la forma en que entraron estas personas se generó un aumento en el registro en este intervalo de tiempos.

Se puede observar en el papel Q-Q de esta muestra, que se ajusta muy bien a la recta. Esto puede ser debido a que hubo un mayor control en el ingreso de las personas con respecto al día anterior.

Papel P-P y Q-Q Normales

Viernes 13 de Noviembre

Viernes 13 de Noviembre

Viernes 13 de Noviembre

Jueves 12 de Noviembre

Jueves 12 de Noviembre

Con respecto al papel P-P y Q-Q con ajuste normal de la muestra 1, podemos notar que en ningún caso la gráfica se aproxima a una recta, lo cual descarta la posibilidad de que las llegadas tengan una distribución normal.

Por otra parte con respecto a la muestra 2 el papel Q-Q cumple lo mismo que la muestra 1, sin embargo, podría pensarse que la gráfica del papel P-P se aproxima “bien” a una recta, pero notar que en comparación del ajuste, los datos observados se encuentran por encima de los esperados al principio de la gráfica, lo cual indica que la cola izquierda esta recortada, pero, recordemos que la cola derecha de una normal se asemeja a una exponencial y esto, junto con el buen ajuste del papel P-P con ajuste exponencial nos lleva a concluir que el tiempo entre llegadas se ajusta bien a una distribución exponencial.

Función de verosimilitud Relativa

Para ambas muestras la función de verosimilitud relativa del parámetro de tasa λ tiene forma de campana y tienen su máximo en su respectiva tasa estimada. Nótese que ambas graficas tiene exactamente la misma forma, solamente la gráfica la segunda muestra esta recorrida aproximadamente .4 unidades a la derecha, que coincide con la diferencia entre la medias estimadas (3.845-3.435=0.41). Esto se debe a que ambas pertenecen a la misma familia de funciones dadas por la fórmula:

L ( λ )= λXT e− λT

Viernes 13 de NoviembreJueves 12 de Noviembre

FVR* muestra 2

FVR* muestra 1

Comparación entre las funciones de

verosimilitud relativa (FVR) de ambas

muestras

Función de verosimilitud Logarítmica

Con respecto a las funciones log verosimilitud relativa, observamos que su forma es cóncava y al igual que la función de verosimilitud relativa tiene su máximo en su respectivo parámetro de tasa estimado λ, esto debido a que puesto que tanto logaritmos como su inversa son crecientes, lo que implica que maximizar una equivale a maximizar a la otra. Al igual que en el inciso anterior, ambas graficas tienen la misma forma, a excepción de que una está recorrida .41 unidades a la derecha, en este caso, ambas pertenecen a la familia de funciones

l ( λ )=XT log ( λ )−λT

Intervalo de verosimilitudQueremos calcular ahora la región más verosímil de λ̂ para los valores de c=0.1465 ,0.2585, para ello utilizamos la fórmula:

λ∈ λ̂ ±√−2 λ̂T

log (c )

Para la muestra 1 tenemos:

Muestra 1 c=0.1465

λ∈ (3.435047 )±√−2 (3.435047 )57.35

log (0.1465 )=(3.435047 )± .316111=[3.1189 ,3.7511]

c=0.2585

λ∈ (3.435047 )±√−2 (3.435047 )57.35

log (0.2585 )=(3.435047 )± .265297=[3.16975,3.7003]

Muestra 2 c=0.1465

λ∈ (3.8451379 )±√−2 (3.8451379 )39.02

log (0.1465 )=(3.8451379 )± .65152625316=[3.193611647 ,4.496664153]

c=0.2585

LFVR* muestra 1 LFVR*

muestra 2Comparación entre las funciones de log

verosimilitud relativa (LFVR) de ambas

muestras

λ∈ (3.8451379 )±√−2(3.8451379)39.02

log (0.2585 )=(3.8451379 )± .5163613013=[3.328776599 ,4.361499201]

Notemos que tanto para la muestra 1 como la muestra 2 los intervalos de verosimilitud con nivel significancia c=0.1465 son mas grandes que los de nivele de significancia c=0.2585 y esto es porque por la forma de campana de la función de verosimilitud, es más pequeño el intervalo mientras c se acerque a 1. Ahora entre la muestra 1 y 2, se puede notar que el intervalo de la muestra 1 es más pequeño en ambos niveles, comparado con el de la muestra 2, esto se atribuye a que la muestra 2 se llevó a cabo en menos tiempo y

llegaron más personas, el cociente λ̂T

es el que afecta en dicho cálculo:

(3.8451379)39.02

=.09854>.059896= (3.435047 )57.35

Intervalo de confianzaAhora deseamos calcular el intervalo aproximado 100×(1−∝)% de confianza de λ̂ para valores de α = 0.05, 0.1, esto está dado por la formula

λ∈ λ̂ ± z α2 √ λ̂T

Donde z α2 es el α2 – cuantil superior de la distribución normal estándar, y

Muestra 1 ∝=0.05

El α2 – cuantil superior es z α2

=1.96, luego

λ∈ λ̂ ± z α2 √ λ̂T= (3.435047 )±1.96√ (3.435047 )

57.35=¿ (3.435047 )± .479684 ¿

2.95536248≤λ≤3.914730482

∝=0.1

El α2 – cuantil superior es z α2

=1.6449, luego

λ∈ λ̂ ± z α2 √ λ̂T= (3.435047 )±1.6449√ (3.435047 )

57.35=¿ (3.435047 )±0.40256789¿

3.03247911≤ λ≤3.83761489

Muestra 2 ∝=0.05

El α2 – cuantil superior es z α2

=1.96, luego

λ∈ λ̂ ± z α2 √ λ̂T= (3.8451379 )±1.96√ (3.8451379 )

39.02=¿ (3.8451379 )±0.6152737669 ¿

3.229785≤ λ≤ 4.460491

∝=0.1

El α2 – cuantil superior es z α2

=1.6449, luego

λ∈ λ̂ ± z α2 √ λ̂T= (3.8451379 )±1.6449√ (3.8451379 )

39.02=¿ (3.8451379 )±0.5163590914 ¿

3.32871≤λ≤4.36156

Notemos que en estos intervalos, se presentan los mismos fenómenos de comparación entre ellos que en los de verosimilitud ya calculados (es decir, los intervalos de la muestra 2 son más grandes que los de la muestra 1 por el argumento anteriormente dado); De hecho, estos intervalos son los mismos excepto un error de redondeo en el orden del cálculo.

Graficas de intervalos de confianza y de verosimilitud en L(λ) y l(λ)Intervalo de confianza

Muestra 1

∝=0.05

∝=0.1

Muestra 2

∝=0.05

∝=0.1

Intervalo de verosimilitudMuestra 1

c=0.1465

c=0.2585

Muestra 2 c=0.1465

c=0.2585

Se puede notar que aunque la forma de las gráficas sea bastante parecida excepto por una transformación de localización, la amplitud del intervalo en la muestra 2 es mayor con respecto al de la muestra 1.

Pruebas de ajuste de bondadPrueba Muestra α Intervalo de confianza Estadístico

de prueba∝2 -Cuantil (1−∝

2)-Cuantil

Decisión

Laplace(Comparación

con cuantiles de la distribución

N(0,1))

1 0.05 2.95536248≤λ≤3.914730482 -0.541 -1.96 1.96 No rechazar0.1 3.03247911≤ λ≤3.83761489 -0.541 -1.64 1.64 No rechazar

2 0.05 3.229785≤ λ≤ 4.460491 -0.386 -1.96 1.96 No rechazar0.1 3.32871≤λ≤4.36156 -0.386 -1.64 1.64 No rechazar

Manual Militar(Comparación

con cuantiles de la distribución χ ²(2n))

1 0.05 2.95536248≤λ≤3.914730482 469.145 341 451 Rechazar0.1 3.03247911≤ λ≤3.83761489 469.145 349 441 Rechazar

2 0.05 3.229785≤ λ≤ 4.460491 312.867 254 350 No rechazar0.1 3.32871≤λ≤4.36156 312.867 254 350 No rechazar

En general podemos concluir que el fenómeno de estudio se comporta como un P.P.H. pues las pruebas apoyan la hipótesis H 0=Esun P .P . H . en ambas muestras, excepto en la prueba de Manual Militar para la muestra 1, esto lo atribuimos al comportamiento extraño del proceso al inicio de la muestra, la trayectoria del proceso al inicio del muestreo, la forma escalonada del papel Q-Q al inicio de la muestra, así como a que su intervalo de confianza es más pequeño respecto al de la muestra 2.