Inercia y perfiles comerciales - Resistencia de materiales 2016

7/26/2019 Inercia y perfiles comerciales - Resistencia de materiales 2016

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Gua: Inercia y Perfiles ComercialesResistencia de Materiales - Ayudante: Aldo Abarca O.

Las propiedades geometricas de ciertas figuras a analizar implican el analisis de sus com-ponentes en base a los ejes (o coordinadas a utilizar). En el primer punto se dispondran aanalizar los centroides de area, ya sean simples o compuestos. Posteriormente se estudiara elconcepto de Inercia y su aplicacion a la resistencia de materiales, para finalizar con el estudiode los perfiles comerciales dados por tabla.

Centroides de area

El centroide de area se refiere al punto que define el centro geometrico del area. Si el area

tiene una forma arbitraria, como se muestra en la figura 1, las coordenadas x y y que definenla ubicacion del centroide C se determinan mediante las formulas:

x=

A

xdAA

dA(1)

y=

A

y dAA

dA(2)

Los numeradores de estas ecuaciones son formulaciones del primer momentodel elementode areadA respecto a los ejes y yx, respectivamente. Los denominadores representan el areatotal A de la figura 1.

Figura 1: Centroide (a) y area diferencial (b).

La ubicacion del centroide para algunas areas puede especificarse parcial o totalmentemediante el uso de las condiciones de simetra. En los casos donde el area tiene un eje desimetra, el centroide del area se encuentra a lo largo de este eje. Por ejemplo, el centroide Cdel area que se muestra en la figura 2 debe encontrarse a lo largo del eje y, puesto que paracada area elemental dA a una distancia +x hacia la derecha del eje y, existe un elementoidentico a una distancia x hacia la izquierda.

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Figura 2: Centroide para areas simetricas.

Centroide de areas compuestas

Generalmente, un area puede seccionarse o dividirse en varias partes que tienen figurasmas simples. Siempre que se conozca el area y la ubicacion del centroide de cada una de estasfiguras compuestas, es posible evitar la necesidad de integrar para determinar el centroidede toda el area. As, la forma de calcular el centroide del area se puede discretizar:

x=

xAA

(3)

y=

yAA

(4)

Aqu x y y representan las distancias algebraicas o coordenadas (x, y) para el centroidede cada parte compuesta y

A representa la suma de las areas de las partes compuestas o

simplemente el area total de la figura. En particular, si un orificio se considera comoparte compuesta adicional que tiene un area negativa. Ademas, como se menciono

anteriormente, si el area simetrica respecto a un eje, el centroide del area se encuentra en eleje.

-Los contenidos de esta seccion fueron extrados de [1] y [2].-

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Ejemplo

Calcule el centroide de area de la figura 3, donde todas las dimensiones son en milmetros:

Figura 3: Figura simetrica.

Solucion: Se sabe, debido a tratarse a una figura simetrica, que el centroide de areadebe estar justo al medio de ambos ejes de simetra. Sin embargo, debido a la naturaleza delproblema, procedamos a calcularlo analizandola como un area compuesta.

x=

xA

A=

2(100)(200)(20) + 100(260)(20)

2(200)(20) + (260)(20) x= 100mm

y=

yAA

=(10)(200)(20) + (150)(260)(20) + (290)(20)(200)

2(200)(20) + (260)(20) y= 150mm

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Momento de Inercia

Es una propiedad geometrica que se calcula respecto a un eje, y para los ejes x y ymostrados en la figura 4, se define como:

Ix=

A

y2A (5)

Iy =

A

x2A (6)

Figura 4: Ejes de calculo de inercia.

En estricto rigor, las integrales anteriores no tienen sentido fsico, pero se llaman asporque tienen una formulacion semejante a la del momento de inercia de una masa, que es

una propiedad dinamica de la materia. Tambien es posible calcular el momento de inercia deun area respecto al polo O o al eje z de la figura 4. Esto se conoce como el momento polar deinercia:

JO =

A

r2A =Ix+ Iy (7)

Aqur es la distancia perpendicular desde el polo (eje z) hasta el elemento dA. Es posiblerelacionar JO con Ix, Iy puesto que r

2 = x2 +y2. El momento polar de inercia para unacircunferencia, debido a su simetra a cualquier eje es:

J= 2I=4

32

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Donde es el diametro de la misma.

Las unidades para el momento de inercia implican longitud elevada a la cuarta potencia,por ejemplo,m4, mm4, etc. Comercialmente, las inercias se expresan por 106[mm4].

Teorema de los ejes paralelos para un area.

Tambien llamado Teorema de Steiner, establece que el momento de inercia de un arearespecto a un eje es igual al momento de inercia del area alrededor de un eje paralelo que pasa

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por el centroide mas el producto del area y el cuadrado de la distancia perpendicular entre

los ejes.Para obtener este teorema, se considera la determinacion del momento de inercia delarea de color gris oscuro que se muestra en la figura 5 respecto al eje x.

Figura 5: Ejes paralelos para calculo de inercia.

En este caso, el elemento diferencial dA se encuentra a una distancia y arbitraria del ejecentroidalx, mientras que la distancia fija entre los ejes paralelos x y x es dy. Asumiendolos respectivos calculos se llega a que:

Ix= Ix + Ad2

y (9)

Iy =Iy + Ad2x (10)

JO =JC+ Ad2 (11)

Areas compuestas

Muchas areas transversales consisten en una serie de figuras simples conectadas, tales comorectangulos, triangulos y semicrculos. Con el fin de determinar adecuadamente el momentode inercia de esa area respecto a un eje determinado, primero es necesario dividir el area ensus partes componentes e indicar la distancia perpendicular del eje al eje centroidal paralelopara cada parte. El momento de inercia de cada parte se determina respecto al eje centroidal

con base en la tabla que se encuentra en la parte interior de la contraportada de este libro. Sieste eje no coincide con el eje especificado, debe usarse el teorema de los ejes paralelos, a finde determinar el momento de inercia de la parte respecto al eje especificado. El momento deinercia de toda el area alrededor de este eje se determina mediante la suma de los resultados desus partes componentes. En particular, si una parte compuesta tiene un orificio, el momentode inercia para el area compuesta se encuentra al restar el momento de inercia para el orificiodel momento de inercia de toda el area incluyendo al orificio.

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Primeros momentos de areas

La integralxA se conoce como el primer momento del area A respecto al eje y y se

representa con Qy. En forma similar, la integralyA define el primer momento de A con

respecto al eje xy se representa con Qx. As se escribe:

Qy= A

xA (12)

Qx=

A

yA (13)

As mismo, se pueden expresar como los productos del area con las coordenadas de sucentroide:

Qy = xA (14)

Qx= yA (15)

De las ecuaciones anteriores, se concluye que las coordenadas del centroide de un area

pueden obtenerse al dividir los primeros momentos de dicha area entre el area misma. Lospimeros momentos de area son utiles para determinar los esfuerzos de corte por flexion envigas sujetas a cargas transversales, segun la ecuacion de Collignon-Jourawski. De la mismaforma, sobre el centroide de un cuerpo, se pueden calcular momentos de areas para distintassecciones segun sea el caso. El primer momento de area sera maximo al calcular el area sobrela seccion media del cuerpo.

El metodo de las areas compuestas tambien se puede aplicar aplica para el calculo de Q.

-Los contenidos de esta seccion fueron extrados de [1] y [3].-

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Perfiles comerciales: Metales y perfiles de acero

Las vigas metalicas son barras que son sometidas a flexion, por lo que experimentarandiferentes tipos de esfuerzos segun sea el punto a analizar. As, por ejemplo, en la figura ??se observa una viga siendo sometida a carga, deformandose, por lo que sus fibras superioressufriran compresion y sus inferiores traccion debido a los momentos flectores (Ecuacion deNavier). Por otro lado, tambien habran esfuerzos de cortes dados por la ecuacion de Collignon-

Jourawski.

Figura 6: Ejes paralelos para calculo de inercia.

Todos los esfuerzos dichos relacionaran las fuerzas o momentos sobre la viga con propie-dades geometricas de la misma, de la forma:

navier =Mc

I (16)

Jourawski=V Q

Ib (17)

Donde M es el momento flector sobre el punto a analizar que est a a una distancia c deleje neutro de la viga. I corresponde a la inercia del centroide sobre el eje que habr a giro odeformacion, en el caso anterior, eje horizontal.Ves la fuerza cortante (del punto de analisis),

Q el primer momento de area parcial, y b el ancho fsico del centroide de analisis.

Las tablas de perfiles comerciales proveen una gran informacion sobre el perfil geometricode las vigas comunmente utilizadas. Estas tablas se pueden encontrar, por ejemplo, en [2] enlas paginas 530 a 577. En ambito practico, se hara uso del perfil C380x74, ubicado en la pagina543 de [2]. Los datos del mismo son mostrados en la figura 7. En la figura 8 se muestran laspartes del perfil mostrado.

Figura 7: Datos perfil comercial C380x74, extraido de [2].

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Figura 8: Partes del perfil comercial C380x74

En la descripcion aparecen los datos de denominacion, masa, area transversal, ancho yespesor del ala y espesor del alma, ademas de la inercia, el modulo resistente de la secci on yel radio de giro en los ejes X-X y Y-Y (ejes centroidales). La denominaci on esta directamenterelacionada con las especificaciones del perfil, donde la letra delantera representa la forma,los siguientes 2 o 3 dgitos representan su altura en milmetros y luego del signox se muestra

la masa aproximada de la viga en kilogramos por metro. Los datos de los ejes X-X y Y-Y seocuparan segun sea el caso de deformacion (o giro) de la viga. As, por ejemplo, se suponeque la viga mostrada en la figura 6 tiene el perfil C380x74 en la disposicion mostrada en afigura 8, los esfuerzos de Navier y Jourawski, maximos, seran dados por:

N=Mc

I =

M (381mm/2)

168 106mm4 =

M

S =

M

881 103mm3 (18)

J=V Q

Ib =

V Q

(168 106mm4)(18, 2mm) (19)

Q esta dado por:

Qx= yA=

yAA

A=

yA (20)

yAAlma= (((381mm/2) 16, 5mm)/2)(18, 2mm ((381mm/2) 16, 5mm)) = 0, 0002755m3

(21)

yAAla= ((381mm/2) (16, 5mm/2))(94mm 16, 5mm) = 0,0002827m3 (22)

Finalmente

Qx= 0, 0005582m3 = 0, 558181 106mm3 (23)

Una correcta eleccion de perfil a utilizar tiene que ver con cumplir las especificacionesde inercia (segun los esfuerzos admisibles) al menor peso posible. Los perfiles comercialestambien se pueden acoplar unos a otros por medio de soldadura, pernos o remaches, y lasnuevas inercias deben ser calculadas segun el teorema de los ejes paralelos a un nuevo ejecentroidal.

-Los contenidos de esta seccion fueron extrados de [2].-

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Referencias

[1] Hibbeler, Russel C., Mecanica de materiales, Octava edicion, Prentice Hall.

[2] Pytel, Andrew y Singer, Ferdinand L., Resistencia de materiales, Cuarta edicion,Alfaomega.

[3]Beer, Ferdinand P.

,Jhonston, E.Russel

y Eisenberg, Elliot R.

,Mecanica vec-

torial para ingenieros, Octava edicion, McGraw-Hill.

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