Sistemas de Inecuaciones

Prof: Pedro Santo Rguez.

Contenidos-Desigualdades. Propiedades.-Valor absoluto.-Intervalos. Clases.-Longitud y punto medio de un intervalo.-Concepto y resolución de inecuaciones lineales.-Inecuaciones lineales con valor absoluto.-Inecuaciones cuadráticas con una incógnita.

:

Desigualdades. Propiedades

Expresión que indica que una cantidad es mayor o menor

que otra, y sus signos son > que se lee mayor que, y < que

se lee menor que.

Por ejemplo:

5 > 3 se lee 5 mayor que 3; - 4 < - 2 se lee

- 4 menor que - 2.

Una cantidad a es mayor que otra cantidad b cuando la

diferencia a - b es positiva [(a – b) > 0 ]. Así, 4 es mayor que -

2 porque la diferencia 4 - (- 2) = 4 + 2 = 6 (> 0 ); - 1 es mayor

que - 3 porque - 1 - (- 3) = - 1 + 3 = 2 es una cantidad

positiva.

Del mismo modo, una cantidad a es menor que otra

cantidad b cuando la diferencia a - b es negativa.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES1) Dada la desigualdad a > b, se puede afirmar que:

a + c > b + c y a - c > b - c

5 > 2 ↔ 5 + 3 > 2 + 3 ↔ 8 > 5

2) Dada la desigualdad a > b y siendo c una cantidad positiva,

puede afirmarse que:

ac > bc y a/c > b/c

3) Si en la desigualdad a > b se multiplica ambos miembros

por - c , se tiene:

-ac < - bc

4) Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia

de signo. Si a > b es evidente que b < a

.

Valor AbsolutoRepresenta la distancia de un punto a al origen en la recta

real.

.

El valor absoluto de un número real, x, se define como:

Ejemplos:

INTERVALOS EN LA RECTA REAL

Dados dos números cualesquiera a y b, tales que a < b de la

recta real, se define intervalo de extremos a y b al conjunto de

todos los números reales comprendidos entre a y b.

El segmento se llama intervalo ab. Los puntos

a y b se llaman extremos del intervalo.

.

-∞ a b +∞

CLASIFICACIÓN DE LOS INTERVALOS

Abierto en ambos extremos:

=

Cerrado en ambos extremos:

=

- ∞ a b + ∞

- ∞ a b + ∞

Longitud y punto medio de un intervalo

La longitud de un intervalo ab está dada mediante la

expresión: L = , o bien b – a.

El punto medio de un intervalo ab es la media aritmetica entre

a y b, es decir:

Ej.: hallar la longitud y el punto medio del intervalo

representado por la gráfica

L = 1 – (- 5) = 6

Pm =

INECUACIONES

Son desigualdades en las que hay una o más

cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se

verifican (o demuestran) para determinados valores

de las incógnitas. Las inecuaciones también se

conocen como desigualdades de condición.

Al igual que las ecuaciones, pueden ser lineales

(primer grado) y no lineales (grado superior al 1ro).

La resolución de inecuaciones lineales y no lineales

se fundamenta en las propiedades de las

desigualdades.

Ejemplos: resolver las siguientes inecuaciones

lineales:

2) *Suprimiendo denominadores se tiene que:

42 - 3x > 10x - 36

*Sumando – 10x – 42 nos quedará:

-3x - 10x > - 36 - 42

-13x > - 78

*Dividiendo por – 13 tendremos:

1) 2x - 3 > x + 5

Sumando – x + 3 y reduciendo términos semejantes:

2x - x > 5 + 3

X > 8

3) Hallar el conjunto solución de la siguiente inecuación y

graficarlo.

Solución: Hallamos el mcm (2, 3,4)=12

Cuyo conjunto solución es entonces; S=

Gráficamente:

Inecuaciones lineales con valor absoluto

Sea . Se tiene entonces:

1)

2)

Ejemplos: Resolver las siguientes inecuaciones

a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface:

Y grafique.

b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface:

Y grafique.

o

Inecuaciones cuadráticas en una variable

Una inecuación de variable x se llama cuadrática cuando

la podemos escribir en la forma ax2+bx+c>0

en donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. Los métodos de

resolución de inecuaciones cuadráticas en una variable son el

analítico y el gráfico este ultimo también es llamado método

del cementerio.

Procedimiento para resolver inecuaciones cuadráticas de

forma analítica:

Primer Paso: Factorizar el polinomio.

Segundo Paso: Considerar los casos necesarios para que se

cumpla la inecuación.

Tercer Paso: Realice la intersección o unión de los conjuntos

solución de acuerdo al caso seleccionado.

Cuarto Paso: dar la solución en forma de intervalos y graficarla.

Ejemplo

Dada la siguiente inecuación halle el

conjunto solución y grafíquelo.

Primer paso: Factorizar el polinomio dado:

quedando una inecuación de la forma:

Segundo paso: Los casos que se deben considerar son los

siguientes:

Caso I: Cuando ambos binomios son positivos es decir:

y Cuyas soluciones respectivas son:

y

La solución del caso I es,

entonces:

Caso II: Cuando ambos binomios son negativos, es decir:

y Cuyas soluciones respectivas son:

y

La solución del caso II

es, entonces:

La solución general será la unión de y , es decir:

El método que acaba de estudiarse, para resolver

inecuaciones cuadráticas con una variable se llama método

analítico. Existe un método alternativo, el método gráfico,

que también se conoce como el método del Cementerio o

método de las cruces. El procedimiento a seguir es:

Primer Paso: Factorizar el polinomio.

Segundo Paso: Ubicar las raíces reales sobre una recta.

Tercer Paso: Determinar el signo de cada binomio en los

distintos intervalos que se originan; para ello se le asignará a

la variable un valor arbitrario que pertenezca a cada intervalo

que se esté analizando.

Cuarto Paso: Determinar qué signo le corresponde al

producto de los binomios en cada intervalo estudiado.

Quinto Paso: Seleccionar los intervalos para los cuales se

cumple la desigualdad. El conjunto solución es la unión de los

mismos.

Ejemplos:

1) Dada la siguiente inecuación halle el

conjunto solución y grafíquelo.

Factorizamos el polinomio dado:

quedando una inecuación de la forma

Las raíces que anulan son y

La solución será:

2) Dada la siguiente inecuación

halle el conjunto solución y grafique

Expresamos la inecuación en su forma estándar

Factorizamos el polinomio quedando:

Siendo las raíces de los factores 5 y - 3.

La sol. General es: