induccion completa

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    21-Jun-2015
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La demostracin por induccin completa es, en realidad, el desarrollo de un proceso de deduccin. El nombre que le damos se debe a una similitud aceptada con los procesos de induccin de las ciencias naturales.

INDUCCION MATEMATICA

INDUCCION MATEMATICACUESTIONARIO RESUELVE EL CUESTIONARIO CUANDO TERMINES EL TUTORIAL

FACULTAD DE INGENIERIA ESTRUCTURAS DISCRETASDEDUCCIN E INDUCCIN Este procedimiento de demostracin de frmulas cuantificadas universalmente, verifica primero que se cumple para los casos llamados bsicos, y despus, suponiendo que se cumple para los casos anteriores, se verifica para un elemento tpico x arbitrario. Este ltimo paso es llamado ``inductivo''. Se concluye entonces que la frmula vale para cualquier x. La induccin es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposicin que depende de un parametro n que toma una infinidad de valores, usualmente en el conjunto de los enteros naturales N. El esquema del razonamiento es el siguiente: Llamemos Pn la proposicin al rango n. Se demuestra que P0 es cierta (iniciacin de la induccin). Se demuestra que si se asume Pn como cierta, entonces Pn+1 lo es tambin, y esto sin condicin sobre el entero natural n. (relacin de induccin). En conclusin, se ha demostrado, por induccin, que Pn es cierto para todo natural n. La induccin puede empezar por otro trmino que P0, digamos por Pno. Entonces Pn ser vlido a partir del rango no, es decir, para todo natural n no.

Es un mt d sim le que c nst de t es pasos fundamentales en los cuales se debe demost ar la propiedad reemplazando su inc nita por 1, lue o por k y finalmente por k+1. Los pasos para desarrollar la Inducci n Matem tica se detallan en el contenido del presente trabajo de in esti aci n. Cuando emitimos una afirmaci n o proposici n podemos intentar clasificarla en el conjunto de las proposiciones generales, en donde interviene una afirmaci n del tipo de para todo elemento de ..., o bien en el conjunto de las proposiciones particulares en donde la afirmaci n se refiere al elemento tal de .... De la certeza de una proposici n general se puede pasar a la certeza de las correspondientes proposiciones particulares, y, al revs, de la certeza de una o varias proposiciones particulares se puede pasar a la certeza de la correspondiente proposici n general o generalizaci n. El paso de un tipo de proposici n a otra requiere un proceso de razonamiento l gico que en general se denomina deducci n si se trata del paso de una proposici n general a una o m s proposiciones particulares, o inducci n, cuando realizamos el paso de una o varias proposiciones particulares a una proposici n general. Si decimos que todos los nmeros enteros pares son divisibles por 2 estamos e poniendo una proposici n general, de la que es particularizaci n, por ejemplo, la proposici n el nmero 246 es divisible por 2. El proceso por el cual, conocida la verificaci n de la proposici n general, inferimos que se verifica la proposici n particular correspondiente, es lo que entendemos por deducci n o proceso deductivo. Por otra parte, cuando desde la verificaci n de una o varias proposiciones particulares inferimos que se verifica una proposici n general que las engloba, entendemos que estamos realizando un proceso de inducci n o proceso inductivo. LOS CONJ NTOS INDUCTIVOS En la Axiom tica de la Teora de Conjuntos, en particular en el Sistema Axiom tico de Neumann-Bernays-Godel-Quine (N-B-G-Q) se establece el Axioma de Infinitud Existe al menos un conjunto de clases inductivas, esto es, de clases tales que contener un elemento implica contener a su elemento siguiente. Tal familia es admitida, pues, como no vaca.

El inci i de nducci n M tem tic e un mt d que e utili dem t ied de , mul , lid l y b que n e d de

.

Los nmeros naturales pueden ser introducidos con un conjunto N de clase inductiva, como el mnimo conjunto inductivo. Se introduce el concepto de nmero ordinal y se prueba que cualquier nmero natural es un nmero ordinal. Peano (Giuseppe Peano, Cuneo-Piamonte, 1 5 Turn, 1932) introdujo los nmeros naturales mediante un sencillo teorema consistente en cinco afirmaciones denominadas Postulado de Peano o Axiomas de Peano para los nmeros naturales, que permiten, pues, estructurar algbricamente el conjunto N. As, puede definirse el conjunto N como un conjunto que ver ifica las siguientes condiciones axiom ticas: 1) Existe al menos un nmero natural, que llamaremos cero y designaremos por 0. 2) Existe una aplicaci n llamada aplicaci n siguiente que aplica todo elemento n de N en otro elemento n* de N, llamado sucesor o siguiente de n. 3) El cero no es sucesor de ningn otro elemento de N. 4) Dos elementos de N distintos no tienen igual sucesor, o sea, la aplicaci n siguiente es inyectiva. 5) Todo subconjunto N de N, para el cual se verifique que contenga a l cero, y que el sucesor de cualquier elemento de N est en N, coincide con N. (Axioma de la Inducci n Completa). EL METODO DE INDUCCIN La ltima afirmaci n del Teorema Peano, tambin llamada Axioma de la Inducci n Completa permite probar resultados con los nmeros naturales generalizando situaciones particulares. Si, en efecto, logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un nmero natural n se verifica tambin para su sucesor, s(n), cualquiera que sea n, entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito. Si sabemos, adem s, que se verifica para el cero, el primero de los nmeros naturales, que no es sucesor de ningn otro, entonces hay que concluir que la propiedad se verifica en todo N. Es decir, para probar que algo, una propiedad, se cumple en todos los nmeros naturales, basta comprobar primero que se cumple para el 0, y, a continuaci n, suponer que se cumple para un natural n, y, desde aqu, deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente, n+1. Una tcnica muy sencilla consiste en definir un conjunto N, subconjunto de N, formado por los elementos que verifican la propiedad a demostrar. Si logramos demostrar que para cualquier elemento a N se cumple que su sucesor, y que el cero, es decir, se cumple (en el argot del sistema N-B-G-Q) que N es inductivo, entonces habr de concluirse que se verifica la propiedad en todo N, esto es,

que N = N El mtodo, en definitiva, consta de dos partes o teoremas parciales: Teorema 1, o base de la demostraci n: es la demostraci n deductiva de que la proposici n se verifica para algn nmero natural dado a: Proposici n-> #61472;f(a) cierta Teorema 2, o paso de inducci n, que es la demostraci n, de carcter tambin deductivo, de que si la proposici n se supone cierta para un nmero natural n, tambin ha de ser cierta para el nmero sucesor de n, es decir, para el nmero n+1. Proposici n ->f(n) cierta f(n+1) cierta De lo cual se infiere que la proposici n es cierta para el nmero natural a y para todos los nmeros naturales siguientes al nmero a, es decir es cierta para el conjunto de los nmeros naturales [a, 734;). Evidentemente, si a es el primero de los nmeros naturales, la proposici n ser cierta para todo el conjunto N. Ambos pasos parciales son, en ltimo trmino, procesos deductivos, por lo que cabra decir que, realmente, el mtodo de inducci n matemtica es, en realidad, un proceso de deducci n. En realidad, el nombre que le damos de inducci n matemtica se debe simplemente a que lo asociamos en nuestra consciencia con los razonamientos inductivos basados en las experiencias de verosimilitud de las ciencias naturales y sociales, a pesar de que el paso inductivo de la demostraci n es una proposici n general que se demuestra como un riguroso proceso deductivo, sin necesidad de ninguna hiptesis particular. Es por esto por lo que tambin se le denomina induccin perfecta o induccin completa. Sea P(n) una proposicin que depende de la variable n, con n per teneciente a los Naturales. Si: - 1 satisface a P y, - k pertenece a los Naturales, k satisface P! (k+1) satisface P, entonces todos los nmeros naturales satisfacen P. Usaremos el Axioma de Induccin Matemtica para demostrar la validez, en los Nmeros Naturales, de ciertas proposiciones P que depende de una variable n, con n perteneciente a los Naturales. Procederemos de la siguiente manera: - Verificaremos la proposicin para el numero 1. - Supondremos que la proposicin es verdadera para un numero natural cualquiera k. (Hiptesis de induccin). - Demostraremos la proposicin para el numero natural (k+1). As, gracias al axioma de induccin Matemtica, podemos concluir que la

proposicin la satisfacen todos los nmeros naturales. EJEMPLO Demostraremos que: 1+2+3+............+n = n(n+1), " n perteneciente a los naturales (*) 2 1= 1(1+1). Por lo tanto 1 satisface la proposicin (*) 2 Supongamos valida la proposicin (*) para k perteneciente a los Naturales, es decir supongamos que: 1+2+3+.........+k = k(k+1). (Hiptesis de induccin). 2 Demostremos que k - 1 tambin satisface la proposicin (*), es decir, demostremos que: 1+2+3+.........+k+(k+1) = (k+1)(k+2). 2 Demostracin: (1+2+3+.......+k)+(k+1) = k(k+1) + (k+1) 2 = k(k+1)+2(k+1) 2 = (k+1)(k+2) 2 Luego la proposicin (*) es verdadera "n perteneciente a los naturales. En resumen, primero demuestras reemplazando el n por un 1, luego demuestras reemplazando el n por un k y finalmente lo demuestras reemplazando el n por (k+1) Ejemplo Demuestre usando Induccin Matemtica que: n " 13 = n2 (n+1)2 i=1 4 1 Usando n = 1 1 " i3 = 12 (1+1)2 i =1 4 1 " 1 = 1(4) i =1 4 1 "1=4=1 i=1 4 2 Supongamos valido para n = k k " i3 = k2 (k+1)2 i=1 4 3 Por demostrar valido para n = k+1 k+1 " i3 = (k+1)2 (k+1)2 se reemplaza termino igual al de arriba i=1 4

= (k+1)2 (k+2)2 esto se debe demostrar 4 k+1 k " i3 = " i3 + (k+1)3 i =1 i =1 = k2 (k+1)2 + (k+1)3 = k2 (k+1)2 + (k+1)3 = (k+1)2 ( k2 + (k+1) 444 = (k+1)2( k2 +4(k+1) = (k+1)2 (k2 +4k+4) 4 = (k+1)2 (k+2)2 4 Ejemplo Demuestre usando induccin que: 2 + 4+ 6 + 8+..........+ 2n = n(n+1) n 2 i = n(n+1) i =1 n=1 1