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a大於b，會滿足a b。李同學和林同學，李同學坐在林同學右邊，假設以傳統邏輯來看，你會看成是他本身有一個性質，這個性質叫做在林同學的右邊，可是我們都知道把這個性質看成是內在性質是說不通的，因為只要他換個位置，這個性質就不見了。比如說李同學皮膚是黃色的，這個才能算是他的內在性質。傳統邏輯無法處理，除非這世界所有性質都是內在性質。基本上用關係來讀的話，我們會說 a 跟 b 會滿足這個關係，而不是 a 具有大於 b 這個性質。

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傳統邏輯把句子拆成兩部分，一邊叫主詞，一邊叫述詞，進一步，我們需要有關係的語句，這些句子必須可以容許有二位以上的述詞進來。所以我們的語言大概分成這幾個，第一個是單稱詞，為了避免爭議，在這裡我們通常把他當是成名詞符號。你會看到有些邏輯書會把它寫成Individual constant ，Individual constant 指涉特定的對象，比如說我用 a 來指林同學，那我說 a 過了，就是林同學過了嘛，所以它代表特定的對象。再來是變量，變量就是用來指不特定的東西。

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再來是述詞符號，他可以表示到 n 個對象，一元述詞，譬如說，「x是帥的」應該是一元述詞，我們可以說「林同學是帥的」，「李同學是帥的」，「孫同學是帥的」，「傅老師當然也是帥的」。二元述詞則是必須放兩個東西進來，才能形成完整的語句。如果只放一個東西會覺得很怪，就是語句不完整的感覺。譬如說，林同學在右邊，這句話很怪，感覺就是話沒說完的意思。應該說林同學在誰的右邊，像這種誰在誰右邊叫二元述詞。我們有n元述詞，我們來做個小練習，有誰知道什麼是三元述詞的？很好，誰在誰跟誰的中間嘛。日常生活中頂多用到三元述詞，思考可以延伸到n元，但很少聽到會用四元以上。注意Pab Pba，我們來看看這個例子，譬如說，傅老師是林同學的老師，我是 a 他是 b，那反過來說，林同學是傅老師的老師，這兩句話雖然都對，但這兩句話是不一樣的。

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再來我們看到量詞，全稱量號 就是 A 倒過來，而這個 A 就是for all中的All取第一個字母的意思，存在量詞 則是存在 Exist 取第一個字母，這個符號就是for something的意思。

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初階邏輯語言，包括了符號和形構規則。我們需要的符號包括了名稱符號、變量、n元述詞符號、量詞、連接詞、等同符號和輔助符號。在述詞邏輯系統裡面，等同符號並不是必要的，所以在有些邏輯系統裡面會沒有等同符號的出現，那也是OK的。

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形構規則分成兩個原子語句和複合語句。原子語句基本上就是，第一個就是等同號，譬如說a=b。再來，P如果是個n元述詞，就表示P(a1,a2,…,an)為原子語句。

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接下來是複合語句，我們來看第三個，如果如果 φ 是一個句式，那麼(x)φ(x)和(x)φ(x)也是句式。當然這裡面會有很多的討論，我們在這門課沒辦法給各位做詳細的討論，舉個例子，假設我們前面用了x，後面的句子裡面卻沒有任何X的變量，那這個我們就會說他是多餘的。或者後面有X，前面沒有x 或 x，就代表他沒有被任何的量詞所綁住。在這門課裡所學的語句，為了方便起見，我把多餘的討論都去掉了。再來，除了規則(a)跟(b)之外就沒有其他的formula，這是我們的一個規定。

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如果a代表蘇格拉底，Px代表x是哲學家，那Pa就代表蘇格拉底是哲學家。再來是Px代表x是哲學家，則(x)Px是指所有的x都是哲學家。

第三個，Px代表x是哲學家，則(x)Px是指有些x是哲學家。

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接下來來看邏輯語言，如果以 a 代表蘇格拉底，b代表柏拉圖，Pxy代表x是y的老師，那Pab就代表a是b的老師。如果以 Pxy 代表 x 是 y 的老師，則(x)(y)Pxy 代表所有的 x 都是任意 y 的老師。如果以 Pxy 代表 x 是 y 的老師，則(x)(y)Pxy 代表有些 x 是有些 y的老師。

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各位要小心，如果量詞位置不一樣，句子的意思也不一樣。(x)(y)Pxy 表示任何 x 都是某些 y 的老師。如果把(y)放前面，(y)(x)Pxy 代表對某些 y 而言，所有的 x 都是 y 的老師。各位可以告訴我這兩句話的差別嗎？邱同學請說，差很多？太好了。可以請你說說嗎？好她的意思是，第一個的意思說，所有 x 都是某些y的老師，也就是說，各位都是某些人的老師，以我們四個人做標準，我是孫同學的老師，孫同學是李同學的老師，李同學是林同學的老師，林同學是傅老師的老師，所以對我們來講所有的人都是某些人的老師。第二句，他講得很好，有個人去修某個老師的課，唯一可以確定的是，所有人都是他的老師。再來這兩句話呢？(x)(y)Pxy 代表有些 x 是所有 y 的老師。(y)(x)Pxy 代表對所有的 y 而言，都有一些 x 是 y 的老師。這兩句話差別在哪裡？跟剛剛一樣嘛。假設以我們班級做為討論範圍的話，我說有這樣一個人他是所有人的老師，這就符合第一句話的意思。第二句話的情況是，當我走出這個教室之後，沒有那樣一個人是所有人的老師了，所以對所有人來講，只要他有老師這樣就OK，並不一定要是同一個人。當他出現有全稱量詞、存在量詞的時候，他語法表達的內容就完全不一樣了。

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1128b     00:10:47

接下來我們來看一元述詞的翻譯，第一個我告訴你，所有的人都是理性的，那我們就要先寫這樣，譬如說Mx：x是人，Rx：x是理性的，那所有的人就是x，所以就是(x)(Mx Rx)。各位會不會疑惑為什麼這邊要用conditional？因為他是充分條件，所以他要先滿足人的條件，才去決定他是有理性的。

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1128b     00:12:40

那E語句：所有人都不是理性的。那當然加個negation就好，所以如果Mx：x 是人，Rx：x 是理性的，就會得到 (x)(Mx Rx)。

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1128b     00:12:55

I句型：有些人是理性的。那我們就翻譯成這樣，對某些人來講，他既是人又是有理性的，所以就會得到 (x)(Mx Rx)。

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O句型：有些人是不理性的。對某些人來講，x是人，且x是不理性的，所以就可以寫成 (x)(Mx Rx)。

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1128b     00:13:34

我們說過由於 A 句型與 O 句型是矛盾的，因此 A 句型的否定和 O 句型是等值的，(QN) ⊢(x)φ(x) (x)φ(x) ，這兩個句子是等值的。

簡單的判斷方式是說，你就把這個讓他秋風掃落葉掃過去，這個就會變成，反過來說，如果是就會變成。接下來這個是證明，如果我把A句型加否定(x)(Mx Rx) ，然後去做推論，你會發現 (x)(Mx Rx) (by QN) (x)(Mx Rx) (Impl) (x)( Mx Rx) (DeM) (x)(Mx Rx) (DN)因此 A 句型的否定和 O 句型是等值的。

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1128b     00:15:54

再來這個是進一步的練習，我們去證明O 句型的否定和 A 句型也是等值的。

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這個E語句跟I語句也是一樣的證明，E 句型的否定和 I 句型是等值的。

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再來是 I 句型的否定和 E 句型也是等值的。

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1128b     00:16:38

什麼叫對稱關係，如果 x 對 y 滿足關係 R 時，y 對 x 也滿足關係 R，則關係 R 是對稱的。各位想想什麼關係是對稱的，最簡單的就是等於嘛，a如果等於b，b就會等於a。那我們一般有什麼關係是對稱的？同學是吧，你是我的同學我就是你的同學，親戚是不是？兄弟姊妹是不是，兄弟和姊妹不一定吧，但兄弟姊妹是，那朋友是不是？不一定嘛，你把我當朋友，我不一定嘛。

所以對稱關係是這樣，如果x等於y，那y也等於x。那麼它的式子是這樣，(x)(y)(Rxy Ryx)

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什麼是反對稱，如果 x 對 y 這個關係成立，那麼 y 對 x 一定不成立。譬如說父親，a 如果是 b 的父親，那 b 就一定不會是 a 的父親。所以反對稱的formula就是(x)(y)(Rxy Ryx)。

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1128b     00:21:40

再來是非對稱關係。如果對稱關係不成立，反對稱關係也不成立，那這個關係就是非對稱關係。譬如說朋友就是，你把一個人當朋友，但他不一定會把你當朋友，這就是非對稱關係。

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1128b     00:23:16

接下來是傳遞關係。如果x 對 y 滿足關係 R ，而且 y 對 z 也滿足關係 R 的情況下，x 對 z 同時滿足關係R，則關係 R 是傳遞的。也就是說x到y畫個箭頭，再從y到z畫個箭頭，然後任意的x畫個箭頭到z，那這個關係就是傳遞關係。譬如說大於會是個傳遞關係，4>3，3>2，那一定4>2。所以我們就會得到 (x)(y)(z)((Rxy Ryz) Rxz)。

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1128b     00:26:33

當然也有反傳遞關係，就是x跟y滿足關係R，y跟z滿足關係R，但是x跟z一定不滿足關係R。譬如說父子關係，a是b的父親，b是c的父親，那a可以是c的父親嗎？一定不行嘛。所以得到關係是這樣(x)(y)(z)((Rxy Ryz)Rxz)。

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1128b     00:27:35

再來是非傳遞關係，當某個關係 R 非傳遞關係，亦非反傳遞關係，則關係 R 是非傳遞的。

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1128b     00:28:05

接下來是全自反關係，他其實是有兩個不同的關係，我們先來看第一個，當每個 x 均對 x 自身滿足關係 R 時，則關係 R 是全自反的。所以我們以這樣表示(x)Rxx 。

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1128b     00:29:31

自反關係是這樣，當 x 對 y 滿足關係 R 時，同時 x 和 y 對其自身均滿足關係 R，則關係 R 是自反的。

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1128b     00:30:28

再來是反自反關係，就是沒有任何的圖是從自己出發，然後回到自己的，也就是當每個 x 均對 x 自身不滿足關係 R 時，則關係 R 是反自反的。所以關係是這樣 (x)Rxx 。

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接下來是非自反關係，當某個關係 R 既非自反關係，亦非反自反關係，則關係 R是非自反的。就是有些圖會回到他自身，但有些不會，這樣我們就說他是非自反關係。

這裡面到底有什麼關鍵性的東西呢？這裡面會不會有些關係的推論？譬如說，有一個關係是全自反且是對稱的，請問是不是一定是傳遞的呢？或者是說，如果有個關係是反對稱且反傳遞的，那是不是一定是反自反的呢？類似像這樣的問題，我們可以去思考各式各樣的關係，這就是我們這裡的重點。

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