11

TEORÍA COULOMB - RANKINE (1857)

TEORIA DE RANKINE Y EQUILIBRIO PLASTICO

TEORÍA DE COULOMB (1776)

EFECTOS A CONSIDERAR

EJERCICIO

INDICE

Indice

22

• Seguridad ante el deslizamiento• Seguridad contra falla por vuelco • Factor de Seguridad respecto a la base (1/3 central)• Estructura segura contra asentamientos excesivo• Presión bajo la base no debe exceder la presión admisible

EMPUJE DE TIERRAS( Teoría Coulomb - Rankine 1857 )

Objetivo: Permite evaluar requisitos para el diseño de estructuras de contención

Teorías: Las mas empleadas son las de Coulomb y Rankine. Sus resultados son conservadores ( permiten el cálculo de estructuras decontención hasta 5 ó 6 m ).

Hipótesis de cálculo :• Suelo homogéneo• Posibilidad de desplazamiento del muro• Superficie de rotura del suelo es plana• Empuje es normal al muro ( pared lisa y

vertical)• Coronamiento horizontal

θθθθEa

δ = 0δ = 0δ = 0δ = 0

EMPUJE DE TIERRAS

ESTADO EN REPOSO :• Estado de equilibrio elástico• La deformación vertical por efecto de la carga, es sin

expansión lateral debido al confinamiento del suelo.• Empuje en reposo : σσσσh ‘ ==== Ko * σ σ σ σ v’• En muros impedidos de deformación y movimiento :

Eo =� σh·dz = �Κο (γz) dz

ΕοΕοΕοΕο = 0.5 γ = 0.5 γ = 0.5 γ = 0.5 γ H2 Ko

Η Eo2H3

Ko = coef. de distribución de carga en reposoKo = 1 - sen φ => φ = φ => φ = φ => φ = φ => φ = ángulo de roce internoKo = µ / ( 1 µ / ( 1 µ / ( 1 µ / ( 1 −−−− µ ) => µ = µ ) => µ = µ ) => µ = µ ) => µ = coeficiente de Poisson

Ko = 0,5 Arena naturalKo = 0,8 Arena compactadaKo = 0,7 Arcilla

Empíricamente :

33

ESTADO EN REPOSO :

• Estado de equilibrio elástico• La deformación vertical por efecto de la carga, es sin expansión

lateral debido al confinamiento del suelo.• Empuje en reposo : σσσσh ‘ ==== Ko * σ σ σ σ v’• En muros impedidos de deformación y movimiento :

Eo =� σh·dz = �Κο (γz) dz

ΕοΕοΕοΕο = 0.5 γ = 0.5 γ = 0.5 γ = 0.5 γ H2 Ko

Η Eo2H3

Ko = coef. de distribución de carga en reposoKo = 1 - sen φ => φ = φ => φ = φ => φ = φ => φ = ángulo de roce internoKo = µ / ( 1 µ / ( 1 µ / ( 1 µ / ( 1 −−−− µ ) => µ = µ ) => µ = µ ) => µ = µ ) => µ = coeficiente de Poisson

Ko = 0,5 Arena naturalKo = 0,8 Arena compactadaKo = 0,7 Arcilla

Empíricamente :

K a = σ σ σ σ Η Η Η Η = 1 1 1 1 = 1 = = 1 = = 1 = = 1 = 1 - sen φ φ φ φ σ σ σ σ V tg2( π / 4 + φ / 2 ) ( π / 4 + φ / 2 ) ( π / 4 + φ / 2 ) ( π / 4 + φ / 2 ) Ν φ Ν φ Ν φ Ν φ 1 + sen φ φ φ φ

ESTADO ACTIVO :

• El muro se mueve•Los elementos de suelo se expanden •El esfuerzo vertical permanece constante, pero esfuerzo lateral se reduce•Se alcanza la falla por corte o equilibrio plástico.•K no disminuye más => K = Ka

σ σ σ σ 1111 = σ = σ = σ = σ V = σ = σ = σ = σ 3333 Ν φ + 2 Ν φ + 2 Ν φ + 2 Ν φ + 2 c √√√√ N φ = φ = φ = φ = σσσσH Ν φ + 2 Ν φ + 2 Ν φ + 2 Ν φ + 2 c √√√√ N φ φ φ φ Si c = 0

Relleno: c , φ, γ

Eas

qs

Ea q Ea c

44

entonces, σσσσh = Ka σσσσ v −−−− 2 2 2 2 c √√√√ Ka y Ea = ���� σσσσh dz

Ea = 1/2 γ γ γ γ H2 Ka - 2 c H Ka + qs H Ka

Finalmente el caso general con sobrecarga y cohesión es:

σσσσh = Ka ( γ γ γ γ z + qs ) −−−− 2 2 2 2 c √√√√ Ka 0

H

σσσσ1 = σσσσ3 Nφφφφ + 2c NφφφφSi σσσσ v >>>> σσσσh = > σσσσ v ==== σσσσh Nφφφφ + 2c NφφφφPor lo tanto , σσσσh = σσσσ v //// Nφφφφ −−−− 2 2 2 2 c / / / / Nφφφφ

pero ,,,, Ka = 1 / N φφφφ

EMPUJE PASIVO

• Empuje es máximo contra el muro cuando se alcanza la falla por corte

• El depósito se comprime horizontalmente σ σ σ σ h = σ 1 ; σ = σ 1 ; σ = σ 1 ; σ = σ 1 ; σ v = σ 3 = σ 3 = σ 3 = σ 3

• K aumenta hasta el valor crítico => K = Kp •

Ep = 1/2 γ γ γ γ H2 Kp + 2 c H Kp + qs H Kp

Kp = 1 + sen φφφφ1 - sen φ φ φ φ

EpsEpq Epc

qs

K a = σ σ σ σ Η Η Η Η //// σ σ σ σ V = tg2( π / 4 + φ / 2 ) = Ν φ ( π / 4 + φ / 2 ) = Ν φ ( π / 4 + φ / 2 ) = Ν φ ( π / 4 + φ / 2 ) = Ν φ

55

Según lo analizado, se presentan tres estados en la masa de suelo :

ΚΚΚΚpσσσσvKaσσσσv σvσ

τ

Koσσσσv

σ σ σ σ h activo < σ σ σ σ h reposo < σσσσ h pasivoLos dos últimos son estados de tensión en situaciones extremas

4Estado de Reposo

4Estado Activo4Estado Pasivo

EMPUJE DE TIERRASTeoría de Coulomb (1776)

Esta teoría de empuje de tierras, incluye el efecto de fricción del suelo con el muro; es aplicable a cualquier inclinación de muro y a rellenos inclinados

Condiciones :•La superficie de deslizamiento es plana•Existen fuerzas que producen el equilibrio de la cuña

Cuña plana soportada por la reacción del muro R y la del suelo W.

cos ( β − φ ) / cos βKa =

cos ( β + δ ) + sen ( φ + δ ) sen ( φ - i )cos ( β − i )

2

i

δ = 2/3 − 3/4 φ

β

EaW

H

δ = 1/3 − 2/3 φ

θ

W = f ( γ )

R = f (φ)E = f (δ)

66

EMPUJE DE TIERRASEfectos a considerar

• Disminuye el empuje activo , por lo tanto, es favorable económicamente ( menor dimensión de la estructura )

• La cohesión se opone a la extensión, por lo que se generan esfuerzos de tracción que se traducen en grietas hasta Zc, llevando el empuje activo casi al valor nulo

• Efecto Hidrostático : Empuje del agua ( γ γ γ γ w )• Efecto del suelo : Empuje sólo de las partículas del

suelo, independiente del efecto del agua ( γ γ γ γ b )

COHESION

AGUA

Zc

Ea = γ (z -Zc)KaC

T

γω Η γ b Η Κa γ ω(Η−h) (γ Η+γb (H-h))Ka

EJERCICIO : EMPUJE DE TIERRAS

Un muro de 5m de altura cuyo paramento interior es vertical y liso, sostiene un terraplén sin cohesión , cuyo ángulo de roce interno es 32

�� ��

, índice de vacíos de 0,53 , peso específico del sólido de 2,70 T/m3 y humedad de saturación de 19,6%.Calcular el empuje activo para los siguientes casos :

γd = γs /( 1 + e ) = 1,76 T/m3Ka = (1 - sen φ ) /( 1 + sen φ) = 0,31

Ea = 1/2 γd H2 KaEa = 1/2·1,76·25·0,31 = 6,82 T/ml

B. El terraplén está sumergido

γ sat = 2,1 T/m3Ea = 1/2 γ b H2 KaEa = 1/2·( 2,1 - 1,0 )·25·0,31 = 4,28 T/ml

A. El terraplén está seco

Es

ΕωEsΕω

77

C. Sólo el terraplén está sumergido

Ea = 1/2 γb H2 Ka + 1/2 γw H2

Ea = 1/2·1,1·25·0,31 + 1/2·1·25 = 16,78 T/ml

D. El nivel freático se encuentra a - 2,00 m en la zona del terraplén y sobre éste el suelo está saturado por capilaridad

Ea = 1/2·γsat·H2·Ka + 1/2·γb·H2·Ka + 1/2·γw·H2 + q·H·KaEa = 1/2·2,1·4·0,31 + 1/2·1,1·9·0,31+ 1/2·1·9 + (2,1·2 )·3·0,31Ea = 11,24 T/ml

ΕωEs

ΕωEs

Es

Eq

EJERCICIO : EMPUJE DE TIERRAS

PRINCIPALES FUERZAS SOBRE EL MURO

TIPOS DE ESTRUCTURAS DE CONTENCION

REQUISITOS

ETAPAS Y RECOMENDACIONES

EMPUJES SISMICOS

CONTROL DE CALIDAD

Indice

88

ESTRUCTURAS DE CONTENCION

�Empuje activo y pasivo�Peso propio del muro�Rozamiento suelo-muro en trasdos y base del muro (Si δ δ δ δ = 0 =>Mayor FS )�Fuerzas dinámicas�Napa freática�Sobrecargas�Fuerzas de expansión del suelo

El método de diseño de estructuras de contención consiste en estudiar lasituación en el momento de falla, a través de teorías de estado límite, y luego introducir un FS para evitar el colapso.PRINCIPALES FUERZAS QUE ACTUAN SOBRE LA ESTRUCTURA DE CONTENCION :

δ base - suelo

W

Ea sísmico

Ea sueloEpw

Eps

EpsEqs

δ trasdos

TIPOS DE ESTRUCTURAS DE CONTENCION

Tipos de estructuras de contención

Rígidas: muros Flexibles

HormigónMampostería Especiales TablestacadosPantallas

In situ

Continuas

En masa o de gravedad

Armado

• En L• En T• De contrafuerte• Aligerado

DiscontinuasPilotes independientes

Micropilotes

De pilotesIndependientes

SecantesTangentes

De panelesArmados

Pretensados

Entibaciones con varios niveles de

apoyo

De paneles prefabricados

Tierra armadamuros jaula o cribaSuelos reforzados

99

TIPOS DE ESTRUCTURAS DE CONTENCIONEstructuras Rígidas

Mampostería Hgón en masa En “ T “ En “ L “

Contrafuerte Muro jaula Tierra Armada

ArmaduraMetálica

Suelo Reforzado

Geosintéticos

Hormigón

TIPOS DE ESTRUCTURAS DE CONTENCIONEstructuras Flexibles

Tablaestaca anclada

Pantalla in situarmada y anclada

Pantalla in situpretensada

MicropilotesPaneles

prefabricadosPilotes

independientesPilotes

tangentes

Tablaestacadoen voladizo

Bentonitay cemento

1010

ESTRUCTURAS DE CONTENCION FLEXIBLES

Muro de mamposteria

Muro jaula

ESTRUCTURAS DE CONTENCION FLEXIBLESMuros Pantalla

1111

ESTRUCTURAS DE CONTENCION

ESTRUCTURAS DE CONTENCION

1212

• Factor de seguridad al deslizamientoFSD = Fuerzas resistentes = Ep + W tg δ δ δ δ > 1,0

Fuerzas deslizantes Ea

•Factor de seguridad al volcamiento FSV = Momentos resistentes = M ( Ep) + M ( W ) > 1,0

Momentos volcantes M ( Ea )

•Resultante de las fuerzas debe pasar por el tercio central de la base del muro

•La estructura de fundación deberá ser resistente para evitar roturas o asentamientos del subsuelo

•Resistencia a fuerzas de origen sísmico

ESTRUCTURAS DE CONTENCIONRequisitos

1. PREDIMENSIONAMIENTO :

•Albañilería de piedra u hormigón . B = 0,4 - 0,5 H

•Muros en T : Parte del suelo contribuye a la estabilidad del murod1 = H/10 - H/8d2 = H/12 - H/10d3 = 15 a 30 cmB = 0,40 - 0,66 H

2. Cálculo del EMPUJE ACTIVO conociendo las propiedades del suelo enel trasdós ( γ , φ , σγ , φ , σγ , φ , σγ , φ , σ adm , c )

3. Cálculo del PESO del muro

4. Cálculo de la FUERZA RESULTANTE y la posición de su línea de acción x, la cual debe encontrarse en el 1/3 central de la base del muro

H

d3

d1 d2B

1313

5. Cálculo de la CAPACIDAD DE SOPORTE del suelo, estática y dinámica, laque debe ser mayor o igual a las fatigas aplicadas por el muro al suelo.

6. Cálculo del FACTOR DE SEGURIDAD AL DESLIZAMIENTO.Valores recomendados : ( Dujisin y Rutllant, 1974 )

FS estático FS dinámicoRelleno cohesivo 1,8 1,4Relleno granular 1,4 1,2

7. Cálculo del FACTOR DE SEGURIDADCONTRA EL VOLCAMIENTO.Valores recomendados : ( Dujisin y Rutllant, 1974 )

FS estático FS dinámicoRelleno cohesivo 2,0 1,5Relleno granular 1,5 1,2

8. Cálculo del EMPUJE SÍSMICO , incluyendo fuerzas horizontales equivalentes, consistentes en un porcentaje del peso del muro

ESTRUCTURAS DE CONTENCIONEmpujes Sísmicos -Mononobe y Okabe

HIPÓTESIS:

• El muro se desplazará para producir presión activa• Al generarse la presión activa, se produce resistencia al corte máxima• La cuña se comporta como cuerpo rígido, por lo tanto, las fuerzas

actuantes se representan por :

Propuesta en Japón después del terremoto de 1923. Se desarrolla en una extensión pseudoestática de la solución de Coulomb, donde fuerzas estáticas horizontales y verticales actúan por sobre la cuña estática, generando el empuje total sísmico en el muro.

donde : W = peso de la cuñaKv, Kh = coeficientes sísmicos

horizontal y vertical

Fh = Kh · WFv = Kv · W

Τ

βδ

ΝW

Kv·W

Kh·W

i

1414

Ea = 1/2 γ γ γ γ H2 Ka=> ∆∆∆∆ Eas = 1/2 γ Ηγ Ηγ Ηγ Η2 2 2 2 ( Kas ( 1 - Kv) - Ka ))

La resultante de ∆∆∆∆ Eas actúa a 2/3 H medido desde la base

θ =θ =θ =θ = arctg ( Kh / ( 1 - Kv ) )Kh = 500 / S0.25 (e0,70250,70250,70250,7025 ΜΜΜΜ/ ( R + 60 ) 2,71 )

ESTRUCTURAS DE CONTENCIONEmpujes Sísmicos -Mononobe y Okabe

Eat = Ea + ∆ ∆ ∆ ∆ Eas

β

δ

i

H

∆EasEsa

( ) ( ) ( )( )

2

i�cosi�sen��sen��cos

cos ��)cos( �

Ka

����

�

�

����

�

�

−−−++

−

=

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

2

coscossensen

1coscoscos

cos

��

���

−++−−++++

−−=

βθβδθφδφθβδβθ

βθφ

ii

Kas

Eat = 1/2 γ γ γ γ H2 Kas ( 1 - Kv)

Según Saragoni et.al : a = 2300 e cm/seg2( R + 60 )

V = 4073,450 e cm / seg( R + 60 )

R = magnitud Richter del sismoM = distancia hipocentral del lugar en km.

1,6

0,71 M

0,34 M

3,02

ESTRUCTURAS DE CONTENCIONElección del coeficiente sísmico

Para elegir Kh y Kv, se deben suponer iguales a la máxima aceleración H y V , divididos por g ( aceleración de gravedad )Según Richards y Elms :

SAg

KhA

= �

���

��0,087·V2 - 4

S = desplazamiento del muro en pulgadasA = aceleración máxima del sismo / gV = velocidad máxima del sismoKh = coeficiente de empuje sísmico horizontal

1515

Kh = 500 e0,7025 M

S 1/4 ( R + 60 )2.7

Acelerógrafo

Kv = f ( Kh ) = Kh / 2

Estudios de sismos en Chile : Kh = Coeficiente Sísmico de diseño :

ESTRUCTURAS DE CONTENCIONElección del coeficiente sísmico

Zonificación Geotécnica de Chile (Nch 433)

1616

Clasificación Geotecnica (Nch 433)

Suelo Tipo I RocaSuelo Tipo II Suelo FirmeSuelo Tipo III Suelo Medio CompactoSuelo Tipo IV Suelo Blando

1717

1818

1919

Ao = aceleración efectiva máxima del suelo

Suelo CrDuros, Densos 0,45Suelos o Blandos 0,70Rellenos sueltos 0,58

Categoría del edificio IA 1.2B 1.2C 1.0D 1.6

���������������� ���

Zona sísimica Ao1 0,20 g2 0,30 g3 0,40 g

������������������������ ������

2020

Tipo To T´ c n pde suelo (segundo) (segundo)

I 0.15 0.25 2.5 1.00 2.0II 0.30 0.35 2.75 1.25 1.5III 0.75 0.80 2.75 2.00 1.0IV 1.20 1.50 2.75 2.00 1.0

������������������ � ��������������������� ������������������������������ � ��������������������� ������������������������������ � ��������������������� ������������������������������ � ��������������������� ������������

Empujes sísmicos geostaticos

σs = Cr·γ·H·Ao/g

σs : Presión sísmica uniformemente repartidaH : Altura del muroγ : Densidad naturalAo : Aceleración máxima efectivaCr : Coeficiente 0,45 para suelos duros, densos

0,58 para suelos de rellenos sueltos0,70 para suelos blandos

ESTRUCTURAS DE CONTENCIONControl de Calidad

RESPECTOAL

PROYECTO

• Correcta evaluación de los parámetros geotécnicos• Adopción de una teoría apropiada para el cálculo de

empujes (Rankine, Coulomb , etc ).• Evaluación correcta de empujes no debidos al terreno

(sobrecargas, móviles, cargas de fundación próximas )• Previsión de los empujes debidos al agua• Comprobación de la seguridad del muro y de su entorno• Previsión de troneras, drenes de trasdós y otros• Colocación de juntas de diseño adecuadas

RESPECTOA LA

EJECUCION

• Selección y control al material adecuado como relleno de trasdós (causa de muchos fallos )

• Control de calidad al hormigonado• Control de tolerancias geométricas y de la deformabilidad

de los encofrados• Control postconstructivo a troneras (posibles

alteraciones luego de hormigonado y relleno )

2121

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