INDICE INTRODUCCION ...ensech.edu.mx/documentos/antologias/par/SEMESTRE PAR2-12/10se… · El...

INDICE INTRODUCCION…………………………………………………………………………….………………………………….……...2 ORIENTACIONES DIDACTICAS GENERALES…………………………………………………………………………...3 ORIENTACIONES DIDÁCTICAS PARA LA EVALUACION DEL CURSO……………………………………..5 PROPOSITOS GENERALES…………………………………………………………………………………………………………8 BLOQUE I LA VISION GENERAL DE LA INVESTIGACION EN DIDACTICA DE LA MATEMATICA……………………………………………………………………………………………………………………..…9 BLOQUE II ALGUNOS APORTES EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA PARA EL NIVEL DE SECUNDARIA SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN LA EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS…………………..…………………………………………………………………..12 BLOQUE III ANÁLISIS, EXPERIMENTACION Y OBSERVACION DE ACTIVIDADES DE ESTUDIO……………............................................................................................….19

MATERIAL DE APOYO

BLOQUE I LA VISION GENERAL DE LA INVESTIGACION EN DIDACTICA DE LA MATEMATICA………………24 INVESTIGACIONES EN MATEMATICA EDUCATIVA II………………………………….………………………..…24 FERNANDO HITT ESPINOZA CONTEXTO EDUCATIVO MEXICANO DURANTE LA DECADA 1982-1992…………….……………..38 BLOQUE II ALGUNOS APORTES EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA PARA EL NIVEL DE SECUNDARIA…...41 SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN LA EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO. PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS………………………………………………………………………..……………...41 LAS FRACCIONES Y DIVISIONES EN LA ESCUELA PRIMARIA: ANÁLISIS DIDACTICO DE UN VÍNCULO……………………………………………………………………………………………………………….………………....57 EXPERIENCIA DIDACTICA.”LOS INTERCAMBIOS”.ESTUDIO DE LA NOCION DE LA RAZON COMO PRECURSOR DEL OPERADOR MULTIPLICATIVO NATURAL………………………………………………………………………………………………………………………..….……..81 DAVID FRANCISCO BLOCK S. BLOQUE III ANÁLISIS, EXPERIMENTACION Y OBSERVACION DE ACTIVIDADES DE ESTUDIO……..………89 DIDACTICA DE LAS MATEMÁTICAS Y FORMACION DE LOS PROFESORES……………………………89 GUÍA PARA LA OBSERVACION DE UNA CLASE DE MATEMÁTICAS…………………….

2

INTRODUCCIÓN La realización de este seminario puede verse como un complemento a la formación de los

profesores de secundaria en tres aspectos fundamentales. El conocimiento general sobre el estado

de investigación que se realiza en México; el análisis particular de algunas investigaciones

realizadas con las matemáticas de la educación secundaria y llevar a cabo un proceso de análisis-

experimentación-análisis de algunas actividades de estudio con alumnos de secundaria.

En el primer caso, se trata de recurrir a fuentes que nos permitan averiguar dónde se hacen

investigaciones, quiénes las hacen y cómo las hacen. En el segundo caso se espera que los

estudiantes analicen algunos artículos o reportes breves de investigación con la finalidad de

entender cuáles son los temas de mayor interés para los investigadores y vislumbrar algunos

aportes de la investigación al trabajo que se realiza en las aulas. En el tercer caso pone se

manifiesto un particular interés en el sentido de que los estudiantes fortalezcan sus herramientas

de análisis de actividades antes y después de llevarlas a cabo con los alumnos, asumiendo que el

trabajo docente cotidiano se da en condiciones menos favorables, sin que signifique que por ello

deja de ser importante el conocimiento previo de las actividades que se plantean a los alumnos y

la observación de los procedimientos que usan para resolverlas.

Los profesores encargados de coordinar este Seminario deben ser conscientes de que los

estudiantes no van a realizar trabajos de investigación y en función de esto procurar que esta

actividad no se desvíe de las intenciones del programa mediado por unos propósitos. En cambio, si

se puede explorar en ella y los resultados pueden ser de mucho provecho para el desempeño

docente, sobre todo si el análisis de la experimentación se hace de manera crítica en cuanto a la

manera de cuestionar a los alumnos y la forma de ayudarlos a aclarar sus ideas.

El programa está dividido en tres bloques cuyos temas se pueden abordar de manera alternada

con el fin de complementar entre uno y otro para evitar el riesgo de dejar fuera el último bloque

por falta de tiempo. De esta manera, el Bloque No. 1, cuyo nombre se titula “La visión general de

la investigación en didáctica de la matemática”, amalgama algunos temas de importancia como:

los orígenes de la educación matemática en México, la investigación en educación matemática en

México durante la década de los 80’ y la didáctica de la matemática y formación de profesores; en

el Bloque No. 2, que lleva el nombre de “Algunas aportaciones de la investigación en educación

matemática para el nivel de secundaria”, se analizan tres temas de importancia: de un lado, las

fracciones y proporcionalidad del otro el razonamiento probabilista y finalmente los referentes del

álgebra; en el Bloque No. 3, que lleva el nombre de “Análisis, experimentación y observación de

actividades de estudio”, analiza dos temas igualmente importantes, se trata de la observación en

la clase de matemáticas y las variables didácticas.

3

ORIENTACIONES DIDÁCTICAS GENERALES

El seminario, en la opinión de algunos teóricos como Gustavo F. J. Cirigiliano y Anibal Villaverde,

tiene por objeto la investigación o estudio intensivo de un tema en reuniones de trabajo

debidamente fincadas. Puede decirse que constituye un verdadero grupo de aprendizaje activo,

pues los miembros no reciben la información ya elaborada, sino que la indagan por sus propios

medios en un clima de colaboración recíproca, aunque, en la organización social del grupo de

trabajo, las orientaciones quedan sujetas al campo del estudio de los temas propuestos.

El grupo del seminario está integrado por lo menos con 5 integrantes, aunque existen

recomendaciones que pueden ser de hasta de 12 miembros, estos grupos grandes, por ejemplo,

una clase que desee trabajar en forma de Seminario, es subdividida en grupos pequeños para

realizar una determinada tarea.

El Seminario posee ciertas características, tales como:

1. Los miembros tienen intereses comunes en cuanto al tema, y un nivel semejante de

información acerca del mismo.

2. El tema o materia del Seminario exige la investigación o búsqueda específica en diversas

fuentes. Un tema ya elaborado y expuesto en un libro no justifica el trabajo del Seminario.

3. El desarrollo de las tareas, así como los temas y subtemas, por tratarse, son planificados

por todos los miembros en la primera sesión del grupo.

4. Los resultados o conclusiones son responsabilidad de todo el grupo de Seminario. El

director (asesor) es un miembro más que coordina la labor pero no resuelve de todo por

sí.

5. Todo seminario concluye con una sesión de resumen y evaluación del trabajo realizado.

6. El seminario puede trabajarse durante varios días hasta dar término a su labor. Las

sesiones suelen durar de dos a tres horas de trabajo.

Tratándose de un ambiente educacional, los Seminarios serán organizados y supervisados por el

profesor titular, el cual actúa, generalmente, como asesor. Podría darse el caso de que la iniciativa

partiera de los propios alumnos, lo cual sería muy favorable, y que ellos se manejaran con

bastante autonomía, requiriendo una limitada ayuda del profesor en calidad de asesoramiento. En

cualquiera de los casos habrá un organizador encargado de reunir a los grupos, seleccionar los

temas o áreas de interés en que se desea trabajar, preparar un temario provisorio “agenda

previa”, ubicar elementos y fuentes de consulta, disponer de locales y elementos de trabajo,

horarios para cuando sea necesario establecerlos, es decir, fuera de un sistema escolarizado o

mixto, etcétera.

Es recomendable que quien o quienes asuman el rol de asesores del Seminario, tomen en cuenta

las siguientes indicaciones:

4

1. En la primera sesión deberán estar presentes todos los participantes que se dividirán luego

en subgrupos del Seminario. El organizador, después de las palabras iniciales, formulará a

título de sugerencia la agenda previa que ha preparado, la cual será discutida por todo el

grupo, modificada o no dicha agenda por el acuerdo del grupo, queda convertida en

agenda definitiva sobre la cual han de trabajar los distintos subgrupos.

2. El grupo grande, en caso de existir, se subdivide en grupos de 5 miembros a voluntad de

los mismos, es decir, por voluntad propia; no obstante, en un sistema escolarizado o

semiescolarizado, se recomienda que el asesor sea quien determine la forma de

integración social del grupo; estos pequeños grupos se instalan en los locales previstos,

preferentemente tranquilos y con los elementos de trabajo necesarios.

3. Cada grupo designa a su director para coordinar las tareas, y un secretario que tomará

nota de las conclusiones parciales y finales.

4. La tarea específica del seminario consistirá en:

a) indagar,

b) buscar información,

c) consultar fuentes bibliográficas y documentales,

d) recurrir a expertos,

e) analizar a fondo datos e informaciones,

f) relacionar aportes

g) confrontar puntos de vista, hasta llegar a formular las conclusiones del grupo

sobre el tema.

Todo ello siguiendo el plan de trabajo formulado en la agenda aprobada por el grupo general.

5. Al concluir las reuniones de Seminario debe haberse logrado en mayor o menor medida el

propósito buscado. El grupo redactará las conclusiones de los estudios realizados, las

cuales serán registradas por el secretario para ser presentadas ante el resto del grupo.

6. Terminada la labor de los subgrupos, todos ellos se reúnen nuevamente con la

coordinación del organizador, para dar a conocer sus conclusiones. Éstas se debaten hasta

lograr un acuerdo y resumen general de las conclusiones del Seminario.

7. Finalmente, se llevará a cabo la evaluación de la tarea realizada, mediante las técnicas

que el grupo considere más apropiadas, no obstante, es recomendable que tome las

sugerencias propuestas en este programa de trabajo.

5

SUGERENCIAS PARA LA EVALUACIÓN DEL CURSO

Sabiendo que las formas que se adoptan como parte del proceso de evaluación son y han sido

muy diversas, además de los debates que existen en cuanto a la integración de los elementos que

la componen y, por otro lado, que cada uno de las características de los grupos definen el cómo y

cuándo evaluar, así como los rasgos deseables desde la perspectiva del grupo y de la metodología

del profesor, por tanto esta es solo una propuesta que aglutina varias formas de llevarlo a cabo, y

si bien es cierto, que algunas de ellas han sido experimentadas, también es cierto que otras tantas

solo forman parte del acervo cultural de los proceso evaluativos en cuanto a la persecución de los

propósitos del Seminario.

El encuadre del seminario tendrá una importancia fundamental, ya que se hará una organización

completa de equipos que trabajarán de una manera muy independiente; uno de los propósitos del

encuadre, además de hacer la organización operativa de los equipos, resulta conveniente

sensibilizar al grupo acerca de la necesidad de aprovechar las potencialidades en ellos como

grupo, y de superar, así, el obstáculo que implica el individualismo, pues debemos tomar en

cuenta que la característica principal de esta modalidad de trabajo pone de relieve el trabajo

colaborativo, como consecuencia, es importante señalar que una de las fallas más comunes

cuando se realiza un trabajo grupal durante un curso, lo constituye únicamente los productos

elaborados en equipo, en estos casos, las evidencias dejan ver que únicamente uno o dos de los

integrantes del grupo de trabajo resuelve las tareas y que el resto disfrute inmerecidamente de la

calificación obtenida por éstos, en este sentido, la calificación se irá construyendo de la siguiente

manera:

a) Cada grupo de trabajo colaborativo irá elaborando, a lo largo del semestre, un proyecto

completo de inversión, para un área específica de las matemáticas (Aritmética, Álgebra,

Geometría, Presentación y Tratamiento de la Información y Nociones de Probabilidad para

el primer y segundo grado, y Probabilidad para el tercero, considerando que la Geometría

para el tercer grado lleva la definición de los elementos trigonométricos), ya sea que se

considere como propuesta o bien que tenga su origen en la práctica docente, desde la

perspectiva de la titularidad1. Este estudio será presentado al final del semestre y

constituirá el 30 % de la calificación final de Seminario. El responsable de llevar los

trabajos del Seminario definirá los criterios según los cuales calificará estos trabajos,

pueden ser: el esquema general, el manejo de procedimientos, resultados alcanzados,

presentación, ortografía, entre otros. Esta calificación será la misma para todos

integrantes del grupo de trabajo colaborativo.

b) Así mismo, al final del semestre, cada círculo del Seminario presentará la bitácora que

haya elaborado, en ella irá reseñando las actividades realizadas en cada una de sus

1 No se recomienda, puesto que el enfoque del Plan 1999 de la Licenciatura en Educación Secundaria en la especialidad de Matemáticas considera al profesor estudiante como un estudiante, no obstante la experiencia titular de algunos de ellos

6

sesiones de trabajo. Esta bitácora valdrá para todo el grupo de trabajo colaborativo el 10

% de la calificación final. El responsable de los trabajos del Seminario indicará los criterios

con base en los cuales calificará dicha bitácora como: el esquema de la presentación,

redacción y ortografía, puntos tratados en la sesión, aportaciones de cada uno de los

integrantes, entre otros, serán los que definan la proporción del 10 % alcanzado.

c) A lo largo del semestre se abordan el análisis de texto de algunas posturas teóricas y otras

de investigación como obligatorias. Cada no de los integrantes debe entregar el reporte de

cada una de dichas posturas en las fechas indicadas por el coordinador de los trabajos de

los grupos colaborativos. Estos reportes aportarán el 10 % de la calificación final. Los

criterios para calificarlos pueden ser los siguientes: una extensión de cinco a seis cuartillas

como mínimo, dependiendo del contenido analizado2, una parte (la mitad) puede ser el

cabildeo del contenido del texto y la otra las opiniones personales de quien analiza

(profesor estudiante) sobre el autor leído. Los criterios que se sugieren pueden ser los

siguientes: la presentación, la redacción y la ortografía, la congruencia entre el contenido

del texto y las ideas que expone el estudiante, entre otras. Esta calificación es por

eminencia individual, puesto que se espera que refleje la formación y el proceso cognitivo

y cambio conceptual en las ciencias, aún cuando las evidencias ponen de relieve la

extraordinaria capacidad del estudiante para evidenciar ideas acartonadas, es decir, dejar

ver el cambio conceptual que se espera, en tanto sus prácticas siguen bajo el viejo debate

de la práctica docente, por eminencia discursiva y demostrativa, de ahí la importancia de

esta parte del Seminario.

d) Se proponen al menos tres momentos de evaluación escrita, dos de ellos en forma parcial

y uno al final del camino. Cada uno de estos momentos tendrá un valor acumulado del 10

% de la calificación final para, en su conjunto, aportar el 30 % de esa calificación final. Al

igual que el rasgo anterior, esta calificación es por eminencia individual y refleja, como

consecuencia del análisis de texto, el proceso cognitivo y cambio conceptual en la ciencias.

e) El encargado de coordinar los trabajos de cada uno de los grupos colaborativos lleva un

registro de las participaciones y aportaciones, tanto individuales como de los grupos de

trabajo colaborativo a lo largo de las sesiones plenarias y de las sesiones de los círculos

del seminario. Esto implica, por parte del coordinador, una constante observación del

trabajo que cada círculo lleve a lo largo de todo el semestre. Esta calificación constituye el

10 % de la calificación final y podrá no ser la misma para todos los miembros de un

mismo grupos de trabajo colaborativo.

f) Por último, durante la evaluación final del Seminario, cada uno de los participantes se

autoevaluará en función de ciertos criterios definidos por el coordinador del Seminario,

como asistencia al Seminario (al menos el 85 % de las 38 sesiones presenciales), reportes

de lectura realizada, aportaciones al trabajo grupal en los círculos del Seminario,

aprendizajes logrados, entre otros. Esta parte constituirá el 10 % de la calificación final

(tome en cuenta, que por lo regular, los estudiantes sobreestiman el trabajo realizado, de

2 No valen extractos de ideas principales, solamente vale el esquema de reporte de una postura teórica bajo la dimensión de análisis de texto

7

modo que si durante el desarrollo del Seminario se manifestaron actitudes de descanso,

esta parte puede elevar la calificación del estudiante, según evidencias muy generalizadas

en todos los niveles de formación académica); no obstante, es bueno señalar que si el

titular de la materia de estudio advierte esta asunción actitudinal de los participantes, las

recomendaciones dejan ver la necesidad de omitir la auto evaluación.

Finalmente, toda esta organización debe quedar completamente clara para todos y cada uno de

los integrantes del grupo de trabajo colaborativo, antes de empezar formalmente las sesiones del

Seminario. Por eso, es importante dedicarle uno, y si en necesario dos sesiones completas al

encuadre. Es importante destacar que en la medida en que se logre que todos los integrantes de

involucren en esta organización y se comprometan con ella, se asegurará el éxito del Seminario.

8

PROPÓSITOS GENERALES

Al concluir las actividades propuestas en el curso se espera que los estudiantes normalistas:

1. Reconocer la Instituciones que posibilitaron el proceso de investigación en educación

Matemática en México a partir de la década de los 70’

2. Reconocer las dificultades que se manifestaron en la constitución teórica y metodológica

para el establecimiento, tanto de las instituciones como de la formación que se requería

para la investigación en educación matemática en México a partir de la década de los 70’

3. Reconocer otras instituciones que aportaron investigación en educación matemática en

México a partir de la década de los 70’

4. Reconocer la metodología que se implementó de parte de las instituciones y el cuerpo de

investigadores mexicanos y extranjeros, así como las aportaciones de cada uno

5. Reconocer que los resultados de las diferentes investigaciones dieron origen a los

programas y enfoques propuestos a partir de la mitad de la década de los 80’ y la

procuración metodológica del programa oficial de 1993

6. Reconocer que los procesos de investigación en educación matemática en México a partir

de la década de los 70’ desentraman el enfoque propuesto, tanto en el programa oficial y

asentado en el Libro para Maestro como un recurso bibliográfico que deja ver la diversidad

de elementos que se pueden utilizar para la persecución de los contenidos curriculares del

programa oficial de Matemáticas para la educación secundaria.

9

BBllooqquuee II LA VISIÓN GENERAL DE LA INVESTIGACIÓN EN DIDÁCTICA DE LA

MATEMÁTICA

TEMAS

a) Los orígenes de la educación matemática en México

b) La investigación en educación matemática en México durante la década de los 80’

c) La didáctica de la matemática y formación de profesores

PROPÓSITOS

Al concluir las actividades que se proponen en el presente programa, los profesores estudiantes

serán capaces de:

1. Alcanzar niveles de indagación en el trabajo de investigación diversificadas en países e

investigadores mexicanos

2. Analizar las investigaciones realizadas por Instituciones acreditadas y los criterios para su

realización, así mismo los resultados alcanzados

3. Precisar la consistencia de la didáctica de las matemáticas y lo que se espera de los

estudiantes profesores a partir de haber analizado el origen de la educación matemática y

los procesos investigativos realizados

ACTIVIDADES QUE SE SUGIEREN

Reunidos en los grupos colaborativos para el trabajo del Seminario: 1. Discutan las posturas que dieron origen a la Educación Matemática en México, la definición de

las características y cómo éstas dieron paso a la integración de las instituciones a las que se

encomendaron la tarea de sentar las bases para la operatividad de las reformas educativas de

1984, 1993 y la de 2005 que entrará en vigor a partir del ciclo escolar 2005 – 2006.

2. Presente las conclusiones de cada grupo de trabajo al resto del grupo en la que se deje ver el

derecho de réplica para dejar por escrito las conclusiones finales de las indagaciones y

discusiones generadas.

3. Indaguen cuáles fueron las investigaciones en educación matemática en México durante la

década de los 80’, los autores, las bases de cada proceso, la metodología que establecieron y

los resultados obtenidos en cada una.

10

4. Discutan con sus compañeros de grupo la concordancia que existe en cuanto a las bases que

sustenta cada proceso, la metodología y proponga una secuencia de actividades didácticas

para el nivel, en la que refleje el alcance de las propuestas de investigación y los resultados

obtenidos por el grupo de investigadores.

5. Presente al resto de grupo el reflejo de las discusiones y diseño de la secuencia de actividades

didácticas en cada uno de los contenidos que propone para el diseño de la secuencia de

actividades mediados por unos propósitos; es recomendable que el titular de la materia de

Taller de Diseño de Propuestas Didácticas apoye, mediante el análisis de la práctica docente a

partir del área de acercamiento a la práctica docente, con algunas sugerencias metodológicas,

tanto a nivel enciclopédico como aquellas que concuerden con el enfoque para la enseñanza

de la matemática del nivel de secundaria.

6. Analice la postura de Guy Brousseau y G. Glasser para pone de manifiesto ante los

investigadores mexicanos el enfoque de la educación matemática en Francia durante la década

de los 70’, la concordancia que propone el Dr. Filloy comparada con la educación

estadounidense, en especial con el enfoque de J. Taylor y las bases en se fundamenta.

7. Analice y discuta con sus compañeros de grupo de trabajo del seminario las dos vertientes en

que se promulgó la Sección de Matemática educativa del Cinvestav, en tanto la convocatoria

para la formación de investigadores en las Universidades estatales, Institutos Tecnológicos,

Escuelas Normales y la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM).

8. Analice, como es que esta convocatoria a las Instituciones dieron lugar a los estudios de

postrado (Doctorado), y cómo es que el número reducido de investigadores franquearon los

obstáculos que representaba la investigación

9. Discutan cómo en qué sentido, los investigadores mexicanos franquearon los obstáculos en el

sentido del, desarrollo curricular y lo que se entiende como “desarrollo curricular”, la

experimentación educativa de materiales didácticos para la enseñanza media básica y el

sentido que le dieron a estos materiales; en qué consiste el análisis exploratorio de datos, las

formas de recuperación de los mismos para el análisis exploratoria; pero sobre, todo, por qué

se le reconoce como “análisis exploratorio de datos”, cuál es el sentido que le dieron al análisis

epistemológico y en qué consiste; cuál es el carácter que le dieron a la observación clínica y

las bases en que la implementaron; cómo fue que establecieron la metodología para la

observación en el aula y situaciones didácticas, resaltando los resultados que se obtuvieron

durante esta fase de las investigaciones; cómo establecieron la convocatoria para la prueba

operativa en el campo de la experimentación educativa entre profesores de matemáticas para

la detección de obstáculos epistemológicos y qué encontraron de modo tal que pudieran

establecer los nuevos métodos de enseñanza y uso de tecnología, en la que sin duda de

ubican los programas alternos reconocidos como EMAT, EFIT, ECAM y EQUIM, sobre todo,

resalte el uso de la tecnología y la didáctica de las matemáticas con el uso del computador

(Cabrí Geométré II para el trabajo de la geometría interactiva, la hoja de Cálculo electrónica

para la modelación matemática, Power Point para la presentación de los resultados) y la

calculadora científica (TI – 92 o TI – 92PLUS)

11

BIBLIOGRAFÍA

Block, D., Waldegg, G. (et al) 1995: Matemáticas. En; Procesos de enseñanza y aprendizaje II,

Volumen 2. Consejo Mexicano de Investigación Educativa, A. C. pp 23 – 72.

Michéle Artigue (1995) “El lugar de didáctica en la formación de profesores” en “Ingeniería

didáctica en educación Matemática”. Grupo Eitorial Iberoamérica, pp 7 – 23.

Moreno, L. (1995) La educación Matemática en México” en “ingeniería didáctica en educación

matemática”. Grupo Editorial Iberoamérica, pp 23 – 31.

Hitt, Fernando (1998) “Matemática Educativa”: Investigación y desarrollo 1975 – 1997” en:

“Investigaciones en Matemática Educativa II”. Grupo Editorial Iberoamérica. Pp 41 – 65.

Sainz, I. (1990) “Guía Para la observación de una clase de matemáticas”

Block, D. y solares, D. (2000) “Las fracciones y la división en la escuela primaria: análisis didáctico

de un vínculo” en: Educación matemática, Volumen 13 No. 2. Agosto 2001, pp 5 – 30.

Block, Sevilla David. (2000) “Los intercambios de la noción de razón como precursora del operador

multiplicativo natural” en: “Memorias del VII congreso Nacional de Investigación Educativa”.

Manzanillo, Colima.

Alarcón, J. (1996)”Sobre el uso de ciertos problemas en la exploración del razonamiento

probabilista de los alumnos” en: Investigaciones en educación Matemática. Grupo Editorial

Iberoamérica. pp 111 – 130.

Gallardo, A. (1996) “El paradigma cualitativo en matemática educativa. Elementos teóricos

metodológicos de un estudio sobre números negativos” en: Investigaciones en Matemática

Educativa. Grupo Editorial Iberoamérica. pp 197 – 222.

Antigue, M. (2000) “Didáctica De las matemáticas y formación de profesores” Conferencia dictada

en el Instituto Superior del Profesorado Joaquín V. González, Buenos aires, Argentina, Mayo

de 2000.

12

BBllooqquuee IIII

ALGUNAS APORTACIONES DE LA INVESTIGACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

PARA EL NIVEL DE SECUNDARIA

TEMAS

a) Las fracciones y proporcionalidad

b) El razonamiento probabilista

c) Los referentes del álgebra

PROPÓSITOS

Al concluir las actividades que se proponen en el presente programa, los profesores estudiantes

serán capaces de:

1. Fundamentar los 4 contextos de la fracción: como reparto – todo; cociente; razón y

operador

2. Establecer las bases fundamentales de la proporcionalidad

3. Desentramar el dilema de la probabilidad en la escuela secundaria

4. Conceptuar los 3 usos de la variable

ACTIVIDADES QUE SE SUGIEREN:

1. Luego de haber analizado diferentes posturas teóricas que ponen de relieve el tratamiento

de las fracciones (comunes y decimales), discutan las propuestas que existen en cuanto al

tratamiento de las mismas, de acuerdo a los logros alcanzados por el grupo de

investigadores encargados de averiguar los obstáculos endógenos, epistemológicos y

didácticos para el tratamiento de las fracciones (quebrados y decimales), tome en cuenta

el planteamiento que hacen Chamorro, Cid, Brousseau, Glasser, entre otros, para analizar

los obstáculos endógenos, epistemológicos y didácticos para el tratamiento de los

contenidos de la matemática del nivel de secundaria.

2. Discutan, con sus compañeros de grupo de trabajo, ¿en qué consiste el dilema del

tratamiento de la probabilidad?, desde la perspectiva de “las nociones…, para el primero y

segundo grado y, probabilidad para el tercer grado de educación secundaria (es

importante que se remitan a los obstáculos encontrados desde el ejercicio de la práctica

docente en la dimensión del área de acercamiento a la práctica docente que antecede al

presente curso)

13

3. Analicen, en conjunto la propuesta de investigación de Bartolussi en cuanto a los ejemplos

que señala para derivar los obstáculos en el tratamiento de la probabilidad

4. Presenten al grupo las conclusiones que se obtuvieron a partir de las discusiones

generadas en el grupo de trabajo, recuerden que tienen derecho de réplica, de este modo,

en general, habrá de surgir una sola conclusión.

5. Elaboren, con el antecedente de Bartolussi y el análisis realizado, en grupo de trabajo

colaborativo, una secuencia de actividades factible de poner en marcha con alumnos de

secundaria, puede ser en el marco del primero, segundo o tercer grado de educación

secundaria, respectivamente.

6. Presenten al resto de grupo esta secuencia de actividades didácticas a fin de enriquecer,

de un lado, al resto del grupo y del otro a los integrantes de grupo de trabajo

colaborativo.

7. Presente al Asesor un reporte que deje ver, de un lado, las conclusiones obtenidas a partir

del ejercicio desde la perspectiva del área de acercamiento a la práctica docente y del

otro, el cambio conceptual que se espera como parte del perfil de egreso que supone el

plan 1999 en la Licenciatura en Educación Secundaria en la especialidad de Matemáticas.

8. Analicen los argumentos teóricos de… en el sentido de revisar los cuatro contextos de

trabajo (la fracción como “relación parte – todo; cociente; razón y operador) para

plantear a los alumnos de secundaria una secuencia de actividades que distinga este

planteamiento y mejore los resultados que hasta hoy se han obtenido (SEP, 2004;

www.sep.gob.mx).

9. Presente al asesor de la materia un reporte de lectura que deje ver otra postura teórica a

la que tienen actualmente respecto del tratamiento de las fracciones (quebrado y

división), recuerden que las bases las deben adquirir a partir de la concepción del autor

analizado.

10. Analicen la postura de los investigadores Block y Solares, desde los hallazgos encontrados

como parte del antecedente para poner en marcha una secuencia de actividades que

permitan, elaborarla y por otro lado, ponerla en marcha.

11. Analice con cuidado, de ser posible, lleven a la mesa de la discusión y puesta en marcha la

propuesta de la secuencia de actividades, la que hacen los autores para ver la factibilidad

de llevarla a término con los alumnos, es importante que vayan registrando los obstáculos

a los que se enfrenten para la revisión de ésta.

12. Presenten al resto del grupo, a partir de las discusiones generadas en el grupo de trabajo

colaborativo, las conclusiones que se pueden obtener luego de haber practicado el trabajo

de los autores analizados, recuerden que tienen derecho de réplica y a partir de éste, las

conclusiones finales del grupo en su totalidad.

13. Como parte del trabajo de grupo colaborativo, es importante que, después de analizar

estas posturas y las reflexiones derivadas de la misma, elaboren una secuencia de

actividades que deje ver, de un lado, el cambio conceptual que se espera lograr y del otro

el contexto del planteamiento de la propuesta didáctica para abordar un problema en el

salón de clase.

14

14. Analice la problemática que presenta Alarcón (1992) en función del razonamiento

probabilista en el sentido de desentramar la dificultad que plantea el razonamiento

probabilista y que dan lugar a respuestas inexactas.

15. Analice las dos situaciones de aprendizaje y las consecuencias que trae una y otra e tanto

incorrecta en la primera y correcta en la segunda; de ser posible, se recomienda que la

practique como parte de la actividad con los miembros del grupo de trabajo, registre en su

cuaderno las dificultades encontradas así como los posibles aciertos; tome en cuenta los

contenidos vistos en la materia de La predicción y el azar; esta, puede contribuir a

desentramar el problema planteado.

16. Presenta al resto de sus compañeros las conclusiones a las que haya llegado; asimismo,

presente al asesor de la materia un reporte que deje ver cómo desentrama el problema de

las urnas.

17. Conviene que se discuta el significado que encierra el término “heurística” y cómo es que

opera a partir del razonamiento probabilística en función de la heurística de la

representatividad y de la disponibilidad.

18. Discuta con sus compañeros de grupo de trabajo a que se refiere el autor cuando señala la

limitación desde el punto de vista de la didáctica de la probabilidad cuando se solicita una

predicción o una decisión y la poca atención que se presta a la modelación y otros tipos de

de tareas.

19. Analice el problema No. 3 y 4, re3spectivamente; de ser posible, se recomienda que

intentes resolverlos antes de seguir avanzando en el análisis del dilema del razonamiento

probabilístico.

20. Señale cuál es el distractor que se introduce en uno de los problemas planteados para

contestar el por qué afirma el autor de lo ingenioso del planteamiento para producir una

respuesta inexacta, mientras que en el problema No. 4 la redacción supone una respuesta

de ½ y no 1/3 como debiera ser, precisando los elementos que dan lugar a la respuesta

1/3.

21. Señalen, luego de haber discutido y resuelto el problema, las razones que sostiene el

autor para afirmar que cuando el planteamiento no es claro, las interpretaciones aparecen

de inmediato.

22. Contesten, con el apoyo del asesor y las conclusiones obtenidas a partir de las discusiones

las siguientes preguntas:

a) ¿En qué casos es legítimo suponer que se llega a una determinada situación o

resultado a través de una elección aleatoria? (por ejemplo, en el problema 1,

discutido en esta parte del material del apoyo para el estudio de la materia y

b) ¿sería válido suponer que la urna de composición desconocida fue llenada al azar,

cualquier cosa que esto quiera significar?

23. Lleve al salón de clase diferentes libros de texto que circundan la educación matemática

en la escuela secundaria, en particular, se recomienda que recupere aquellos con los que

trabaja el titula de secundaria, busque los problemas que se plantea en el área de las

nociones de la probabilidad para el primero y segundo grado y probabilidad para el tercer

15

grado, respectivamente a fin de encontrar los señalamientos que hace Falk en el sentido

de plantear situaciones que no se relacionan con la realidad del estudiante de secundaria

24. Analice los problemas 5, 6 y 7, respectivamente en el contexto de los profesores a nivel

de estudios probabilísticas de maestría; es recomendable, que con el apoyo de los

conocimientos adquiridos en la materia de “la predicción y el azar” los resuelva, antes de

seguir avanzando en el análisis del dilema que presentan los problemas planteados.

Constraste sus respuestas con las que encontró el autor para señalar las dificultades que

ofrece el tratamiento de los contenidos de la probabilidad de la educación matemática en

la escuela secundaria.

25. Advierta las dificultades que encontró el autor en función de los estudiantes de ingeniería

y aquellos que todavía no habían llevado el curso de probabilidad; se recomienda que, de

acuerdo con los problemas planteados conteste las preguntas registradas en el

cuestionario y las contraste en función de ser un estudiante que ha llevado el curso de “La

predicción y el azar” y las contraste con quienes se recuperó información que precisa los

resultados de la resolución del problema.

26. Obtenga algunas conclusiones y las presente ante el resto del grupo a fin de seguir

avanzando en el mejoramiento de la enseñanza de la matemática de la escuela secundaria

y la suya propia; asimismo, deje por escrito en un reporte presentado al asesor de la

materia las conclusiones obtenidas y los retos a los que está comprometido como futuro

licenciado en educación secundaria en la especialidad de matemáticas.

27. Analice , con el apoyo de los contenidos vistos en la materia de “La predicción y el azar”, y

el apoyo del asesor de la materia, el problema que refiere al modelo de ocupación que

utiliza el principio fundamental de conteo para determinar r-ada y la i-ésima de las

distribuciones posibles de los objetos que ocupan las urnas, asimismo, señale en qué

consiste la dificultad que presenta este tipo de problemas que se plantean.

28. Conteste, en conjunto con los compañeros de grupo de trabajo el cuestionario que plantea

el autor y contraste sus respuestas con las encontradas en los contextos de estudiantes

que llevaron el curso de probabilidad y los que aún no lo llevaban, en particular con los

que lo llevaron para registrar las dificultades que plantea el autor y lo poco claro que

resultan para el tratamiento de la probabilidad en la escuela secundaria.

29. Analice la postura que plantea Aurora Gallardo Cabello para señalar el “Paradigma

cualitativo en matemática educativa. Elementos teóricos-metodológicos de un estudio

sobre números negativos” en el sentido de advertir el “problema” objeto de estudio;

discuta con el grupo de trabajo del seminario los tres elementos que tomó en cuenta e

intente recuperar información sobre los autores en que se basaran cada una.

30. Redacte un informe en el que deje ver el sentido de las investigaciones que cada autor le

da a los tres elementos en que Gallardo Cabello fundamentó su investigación.

31. Discuta el sentido de dirección que esperaba la señora Gallardo Cabello para el inicio de su

investigación.

32. Discuta con el grupo de trabajo en qué consistió el método histórico – crítico y las áreas

que identifica para la recuperación de datos que permitan interpretar los hallazgos.

16

33. Discuta con los miembros del grupo de trabajo los planteamientos de las diferentes

culturas e que la autora basa su investigación (Matemáticas chinas, Matemáticas griegas,

Matemáticas hindúes, Matemáticas árabes y la primera etapa del renacimiento).

34. Redacte un reporte que deje ver la congruencia de cada uno de los enfoques culturales

analizadas y discutidos conforme a la educación matemática actual que se pone de

manifiesto en la educación secundaria desde la perspectiva de los profesores y la suya

propia; se sugiere que contraste los símiles existentes o bien el planteamiento cultural

analizado para derivar en el tipo de procesamiento de información para el alcance de unos

contenidos mediados por unos propósitos.

35. Analice el apartado de la operatividad de los números con signo que plantea Gallardo

Cabello, se recomienda que el análisis deje ver las categorías de análisis, en tanto

primeras soluciones asociadas a la parte negativa (solución negativa de las ecuaciones y

su interpretación).

36. De acuerdo con las primeras discusiones generadas y conclusiones obtenidas en el primer

bloque de esta materia, el método clínico deja ver los fundamentos en que se basa el

análisis de la información en tanto investigación, por ello, se recomienda que discuta de

nueva cuenta con el grupo de trabajo la dirección que plantea Gallardo Cabello para el

establecimiento del método clínico en función del tamaño de la muestra y edades con que

se llevó a cabo; asimismo la relación de las componentes del estudio a partir de plantear

problemas que tienen que ver con las edades.

37. Discuta con el grupo de trabajo las categorías de análisis que se plantean desde el plano

didáctico plantear a un grupo de 35 estudiantes problemas que ponen de relieve el cálculo

de edades y las formas metodológicas en que el grupo de estudiantes resuelve el

problema.

38. Redacte un reporte para discutir en forma general con el grupo de compañeros los

diferentes métodos que emplearon los estudiantes para resolver el problema planteado,

resaltando en las discusiones, tanto el nombre que la autora le otorga a cada forma

metodológica empleada y en qué consiste.

39. Discuta con el grupo de trabajo en qué consisten las dificultades sintácticas en la

operatividad con números negativos en el marco del segundo uso de la variable (el

número como incógnita Ursini, 2001), el propósito de esta parte del programa de

actividades pone de manifiesto el uso indiscriminado tanto de las leyes que regulan al

segundo uso de la variable como las formas metodológicas de resolverlo en función de las

soluciones negativas que se obtienen del planteamiento y resolución de problemas en el

marco de la ecuación de primer grado con una incógnita (segundo uso de la variable,

Ursini, 2001)

40. Analice y discuta la propuesta sugerida por Gallardo Cabello del uso de un modelo de

enseñanza resaltando la pertinencia que tiene el “Modelo Chino” para resolver problemas

algebraicos en el marco del segundo uso de la variable, sus beneficios y consecuencias

que, desde la perspectiva de los futuros estudiantes de la Licenciatura en educación

Secundaria en la especialidad de Matemáticas y la propia de Gallardo Cabello.

17

41. Finalmente, discuta con el grupo de trabajo la constrastación de la información que

presenta Gallardo Cabello en tanto La resolución de problemas verbales, las

dificultades sintácticas en la operatividad con negativos y el Modelo Chino, en

cuanto a:

a) Las tres componentes de análisis en a población estudiantil elegida.

b) Estatus del número negativo en la población elegida

c) Perfiles del estudiante en cuanto al dominio numérico restringido a los números

naturales y la extensión del dominio numérico de los números naturales a los

enteros

18

BIBLIOGRAFÍA






matemática”. Grupo Editorial Iberamérica, pp 23 – 31.




Block, D. y Solares, D. (2000) “Las fracciones y la división en la escuela primaria: análisis

didáctico de un vínculo” en: Educación matemática, Volumen 13 No. 2. Agosto 2001, pp 5 –

30.

Block, D. (2000) “Los intercambios de la noción de razón como precursora del operador


Manzanillo, Colima.







Antigue, M. (2000) “Didáctica De las matemáticas y formación de profesores” Conferencia dictada

en el Instituto Superior del Profesorado Joaquín V. González, Buenos Aires, Argentina, Mayo

de 2000.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA ADDA, J. (1975) L’incompreéhension en mathématiques et les malentendus. Edcational Studies in

Mathematics 6, p. 311 – 326. Reideel Publishing Compañy, Dordrecht, Holland. BARTOLINI, P. (1976). Adition and sustraction of directed numbers. Mathematics Teaching, pág.

34 – 41, Vol 74 (March)

19

BBllooqquuee IIIIII ANÁLISIS, EXPERIMENTACIÓN Y OBSERVACIÓN DE ACTIVIDADES DE ESTUDIO

TEMAS

a) La observación en la clase de matemáticas

b) Las variables didácticas.

PROPÓSITOS

Al término de las actividades propuestas el profesor estudiante será capaz de:

1. Diferenciar los elementos cualitativos de una clase de matemáticas y las conclusiones que

se pueden obtener de la misma.

2. Diferencias los elementos cualitativos de la didáctica de las matemáticas desde la

perspectiva de la formación de los futuros licenciados en educación secundaria en la

especialidad de matemáticas

3. Analizar los elementos metodológicos para el registro de la observación de una clase de

matemáticas

ACTIVIDADES QUE SE SUGIEREN3:

1. Discuta la importancia que tiene el establecimiento de los propósitos y la diversificación con

que deben plantearse (conceptuales, procedimientales y actitudinales), resaltando cuál es la

idea que debe plantearse en cada uno de ellos, hacia dónde se dirige y como éstos aportan

elementos para el diseño de la secuencia de actividades encadenadas de modo que se logren

os mismos.

2. Discuta la importancia que tiene el propósito o los propósitos para la recuperación de de los

contenidos aprendidos, así como las formas metodológicas de recuperar un proceso de

evaluación que de cuenta de la apropiación del concepto aprendido.

3. Discuta con sus compañeros de grupo de trabajo la necesidad de estructurar y buscar nuevas

formas de lograr que los estudiantes de secundaria se relacionen en forma estructurada para

el alcance de los contenidos que marca el programa oficial mediados por unos propósitos,

como parte fundamental de la organización social del grupo (trabajo individual, por grupo

colaborativo, autónomo o del grupo en general; asimismo, es conveniente que centren la

3 Las actividades propuestas en este bloque, tienen la referencia de la ficha de observación basada en una antología elaborada en el IREM de París VII, corrientes, junio de 1990

20

atención en la pertinencia de cada uno resaltando si esta forma de organización social del

grupo puede o no ser generalizada para todos los contenidos del programa oficial

4. Discuta con sus compañeros de grupo de trabajo del seminario la apropiación del contenido

que marca el programa, objeto del diseño de las actividades secuencias o actividades

encadenas, se recomienda que resalte si estos propósitos se alcanzan a mediano, corto o largo

plazo y la conveniencia que tiene cada uno de estos; asimismo, es conveniente que se apoye

en los siguientes planteamientos:

a) ¿Cuál es el proceso previsto para elaborar y hacer funcionar el conocimiento involucrado?

b) ¿Cuáles son las etapas principales del proceso y cómo rearticulan entre ellas?

c) ¿Cuál es la evolución constatada de las concepciones de los alumnos?

d) ¿Se han previsto las concepciones durante el desarrollo de la clase?

5. Discuta con sus compañeros de grupo de trabajo del seminaria cuáles son los nuevos roles

que se espera, tanto del profesor como del estudiante, es conveniente que se apoye en los

siguientes cuestionamientos:

a) ¿En qué consiste el trabajo del estudiante?

b) ¿Cuál es la consigna de trabajo?, resaltando si se discute con el grupo de estudiantes de la

escuela secundaria para precisarla o no

c) ¿Se negocia esta consigna? Esa discusión o negociación desemboca sobre la tarea prevista

o sobre otra, conviene que se precise la congruencia que tiene a negociación o discusión

respecto del contenido a tratar y si responde al diseño del propósito previamente diseñado

d) ¿El estudiante está involucrado en una actividad previamente diseñada?

e) ¿Cuál es la actitud que asume el titular de la materia frente a los obstáculos de la

situación?

f) ¿El estudiante puede volver hacia atrás durante el trabajo?, ¿es o no recomendable?

g) La toma de decisiones respecto al conocimiento, al deseo o insinuaciones de titular de la

materia.

h) ¿Cuáles son las negociaciones que tiene lugar entre el titular y los alumnos para la

producción de lo que espera el maestro?

i) ¿Cuáles son los medios de control y regulación que manifiesta el estudiante de la escuela

secundaria sobre la validación de lo que hace?

j) ¿Cuál es el rol del profesor de la escuela secundaria en la validación del trabajo que realiza

el estudiante de la escuela secundaria?

k) ¿Representa la realización un progreso del conocimiento desde el punto de vista del

profesor responsable de la dirección de la materia?

l) ¿Cuáles son las oportunidades de los estudiantes para trabajar en una situación de

formulación de conocimientos?

m) ¿Cuáles son las características del lenguaje que utiliza el estudiante?

n) ¿Tiene sentido para el estudiante la formulación de sus conocimientos cuando llega a

ellos?

21

6. Discuta con sus compañeros de grupo de trabajo del seminario la necesidad de controlar la

gestión del tiempo, es conveniente que se apoye en los siguientes planteamientos:

a) ¿Cómo se distribuye el tiempo para la consecución de unas actividades encadenadas?

b) ¿Cómo ocupa este tiempo el profesor titular?

c) ¿Cómo distribuye el estudiante el tiempo para la consecución de las actividades que

realiza y cómo lo ocupa?

d) ¿Cómo se distribuye el tiempo colectivo, de qué se ocupa la organización social del grupo?

BIBLIOGRAFÍA






matemática”. Grupo Editorial Iberamérica, pp 23 – 31.




Block, D. y solares, D. (2000) “Las fracciones y la división en la escuela primaria: análisis didáctico

de un vínculo” en: Educación matemática, Volumen 13 No. 2. Agosto 2001, pp 5 – 30.

Block, D. (2000) “Los intercambios de la noción de razón como precursora del operador


Manzanillo, Colima.







22

Antigue, M. (2000) “Didáctica De las matemáticas y formación de profesores” Conferencia

dicatada en el Instituto Superior del Profesorado Joaquín V. González, Buenos aires, Argentina,

Mayo de 2000.

23

MATERIAL DE APOYO

INVESTIGACIONES EN MATEMATICAS EDUCATIVAS II___________________________

BLOQUE I

VISION GENERAL DE LA INVESTIGACION EN DIDACTICA

DE LAS MATEMATICAS

La crisis generada por la llamada reforma de

las matemáticas modernas (1960 – 70)

impulsó una mayor reflexión sobre los

problemas de aprendizaje de la matemática.

Es en esta época que empiezan a crearse

institutos de investigación sobre la

problemática del procesos de enseñanza –

aprendizaje d la matemática y se forman

grupos interdisciplinarios de investigación en

diferentes países; muchos de ellos dirigen

sus indagaciones hacia el estudio de

fenómenos ligados al aprendizaje de la

matemática.

En México, las autoridades en funciones de la

Secretaría de Educación Pública (SEP)

solicitaron a un grupo de matemáticos del

Departamento de Matemáticas del Centro de

Investigación y Estudios Avanzados

(CINVESTAV) del Instituto Politécnico

Nacional (DEM del CINVESTAV - IPN) un

trabajo relacionado con el proyecto

denominado Reforma Educativa (Principios

de los 70s’) para el ciclo escolar de la

primaria (edades de niños de 6 a 11 años),

que incluyó:

a) un currículum nacional para la

enseñanza del área de las

matemáticas,

b) Los planes y programas del ciclo

educativo y cada uno de los grados

y,

c) La escritura de los textos para los

niños

Este grupo estaba en contra de la llamada

matemática moderna, y, aunque se

experiencia docente era principalmente la

enseñanza en el nivel universitario, aceptó el

reto de elaborar los planes y programas de

estudio y los textos gratuitos de matemáticas

(1972 – 1975). La producción de los libros

para la escuela primaria resultó de suma

importancia para un cambio de la enseñanza

de la matemática en el país. Por primera vez

aparecieron temas totalmente nuevos para

los profesores como contenidos de la

enseñanza elemental, por ejemplo, se

incluyeron nociones y procedimientos de la

probabilidad y de la estadística. 1HItt Fernando

(1988).Matemática Educativa :investigación y

desarrollo 1975-1997.En investigación en

matemáticas educativa II, México

Los investigadores concientes de que los

profesores de primaria estaban preparados

de manera deficiente, solicitaron a la SEP loa

publicación de una serie de libros como

apoyo al profesor y la implementación de un

programa de capacitación. Un punto crucial

era la actualización de profesores, la cual n o

se implementó a tiempo y cuando se hizo, se

orientó hacia la normatividad y objetivos de

la educación pero poco hacia el estudio y

INVESTIGACIONES EN MATEMÁTICA EDUCATIVA II1

Fernando Hitt Espinosa

25

profundización de los contenidos. El

resultado fue que el profesor de primaria se

enfrentó al cambio con el conocimiento y

experiencia que el tenía.

Algunos de los investigadores comprometidos

en el proyecto antes mencionado

incursionaron en el estudio de la historia de

las matemáticas y el diseño curricular

(período 1972 – 75). Las reflexiones de estos

matemáticos empiezan a consolidarse en los

primeros artículos de divulgación en la

Revista Matemáticas y enseñanza (ver Filloy,

1974; Alarcón, 1974; Gorostiza y Hernández,

1974 y Rodríguez, 1974) y en los libros de

texto gratuito en el área de las matemáticas

(1972 – 75). Esta tendencia continuó

reflejándose en algunos artículos posteriores

(ver Alarcón, 1979, Rivaud, 1976, 1996 y

Riviera, 1996).

El proyecto del DM del CINVESTAV con la

SEP fue crucial para el grupo de

matemáticos, produjo una reflexión y una

toma de conciencia de que no bastaba saber

matemáticas para resolver los problemas

educativos, era imperativa la búsqueda de

nuevas alternativas. Parte de ese grupo,

comprometido con la tarea de encontrar

soluciones a problemas sobre la enseñanza y

el aprendizaje de las matemáticas, concluyó

que era necesario crear (1974 – 1975) un

Departamento de matemática Educativa en

el Cinvestav. En abril de 1975 se concedió la

creación de la Sección de Matemática

Educativa (SME), la cual en 1993 se convirtió

en Departamento. La SME desde sus inicios

se abocó al estudio de esa problemática, y,

al mismo tiempo, a promover grupos

similares en el resto de la República

Mexicana.

Una vez constituido el grupo de investigación

en el área de Matemática Educativa, este

inició sus actividades de docencia con un

programa de estudios de maestría en

ciencias, especialidad en matemática

educativa (septiembre de 1975).

Los cursos tenían un contenido matemático e

histórico, con un fuerte énfasis sobre la

fundamentación de la matemática. Dentro

del curso de Análisis, además de los aspectos

anteriores, se integró el uso de la calculadora

programable HP- 65, esta parte del curso de

abandonó posteriormente, lo cual desde un

análisis retrospectivo se considera un error.

Algo parecido sucedió con los cursos de

historia y Fundamentos de la Matemática y

Matemáticas y conocimiento científico y

técnico, todos ellos fueron pilares de la

Maestría empero se omitieron en los

posteriores planes de estudios; los análisis

que en ellos se hacías, así como contenidos

importantes sobre aspectos específicos de la

problemática educativa y d la matemática se

perdieron en el tiempo.

Los profesores de la SME empezaron a tener

relaciones más estrechas con investigadores

de otras instituciones interesados en

problemáticas similares, primer, de manera

particular, por ejemplo, con Brousseau y

Glasser, posteriormente con grupos de

trabajo como el de los Institutes de

Researche sur 1’ enseignment des

Mathématiques (IREM) de Burdeos y de

Estaburgo (Francia), respectivamente.

Esta interacción trajo consigo el enfoque de

la didáctica francesa (ver por ejemplo,

Brousseau, 1976; Glasser, 1978), centrada

26

en aquel entonces en el estudio de

fenómenos ligados al aprendizaje de las

matemáticas. Además de esta influencia

francesa en el trabajo de los investigadores

mexicanos se pueden apreciar otras; tal

como lo menciona Filloy (1981) se aparecía

una tendencia por tomar en cuenta marcos

referenciales de investigadores

estadounidenses, por ejemplo: los trabajos

de Tyler (1949) sobre currículum, de Bruner

(1960) acerca de educación, de Skinner

(1972) con su tecnología educacional y

Bloom (1975) en relación a los objetivos

educativos. Por otra parte, el grupo

mexicano tuvo acceso a la literatura soviética

con la obra de Krutetski (1976) y de la serie

soviet Studies In Thpychology of Learnig and

tehachin Mathematics (introducida al inglés

por Kiltatrick & Wirsur, 1971). Ello

proporcionó un abanico amplio pero difícil de

conciliar. A esta gama de diferentes

perspectivas se añadieron aspectos que

provienen de trabajos como los de

Brunschivig (1912), Piaget (1960) y Piaget y

García (1982).

Resumiendo, en la primera etapa de la SME

de 1975 a 1979, podemos señalar que la

orientación de sus investigadores se

plasmaba en los programas de estudio de su

maestría en ciencias y en los cursos que

dictaban. Por un lado, había una fuerte

tendencia a resolver un problema de

enseñanza estudiando la historia y los

fundamentos de la matemática; por el otro,

se analizaban fenómenos ligados al

aprendizaje de la matemática con marcos de

referencia teóricos como los señalados en las

párrafos anteriores. Al mismo tiempo, se

fueron desarrollando programas de

actualización de profesores y realizando

experimentación educativa en la escuela

secundaria.

Una nueva etapa de este grupo se inició a

principios de los 80’ con dos proyectos que

tuvieron que ver con la creación de dos áreas

diferentes de las que había hasta el

momento: el proyecto del Departamento de

audiovisuales de Matemática Educativa

(DAME) y el Departamento de Máquinas y

enseñanza (DEMEN); ambos formados

dentro de la SME. Los académicos que

trabajaron en esos proyectos tenías como

propósitos central el estudio de nuevos

métodos de enseñanza.

La SME tuvo dos grandes momentos en

relación a sus proyectos de formación de

investigadores y de actualización de

profesores de matemáticas en las

Universidades estatales, Institutos

Tecnológicos, Escuelas Normales y la

Universidad Nacional Autónoma de México

(UNAM). Un primer momento es aquel

relacionado a las actividades que se hacen en

torno a su programa de maestría semi-

escolarizada, desarrollado principalmente en

la década de los 80’. En realidad tuvo su

inicio formal en el verano de 1979, aunque

ya había experiencias con profesores de la

universidad michoacana desde 1977, y con

docentes d la Universidad de Guerrero a

partir de 1978. el segundo momento se ubica

al iniciarse al programa nacional de

formación y actualización de profesores de

matemáticas de 1984. Este proyecto logró

mostrar la factibilidad de trabajo conjunto

entre investigadores y profesores de

matemáticas en forma masiva. La producción

de materiales por investigadores en

formación fue muy fructífera, pero faltó un

27

programa sólido de edición que hubiese

impulsado la elaboración de esos materiales

con mejores niveles de calidad.

Otro programa paralelo fue el de promover

conferencias, seminarios nacionales,

simposios y reuniones centro americanas y

del Caribe con la finalidad de difundir la

problemática de la matemática educativa, así

como la apertura de foros de discusión entre

profesores e investigadores.

Hacia el año de 1982, se inició un programa

de estudios de doctorado que en su primer

etapa fue interno. Es decir, la preocupación

era la de impulsar una parte del grupo de

investigadores de la SME en su formación

académico formal; los colegas que no

tuvieran el grado de doctor serían los

candidatos para ese doctorado. Este

programa, en sus primeros años, no

demandaba de la atención de todos sus

miembros doctores, posteriormente, como

era natural, dada la gran cantidad de la

maestría y el avance académico de la SME,

este postgrado cobró fuerza dando pie a un

programa de doctorado que ya no estaba

totalmente dirigido a sus miembros sin el

grado. Una política de impulsar a realizar

estudios de doctorado en el extranjero

también se llevó a cabo de forma paralela,

ello ampliaría el horizonte académico de la

SME. En la actualidad, el programa de

doctorado exige mucho esfuerzo de los

miembros del Departamento, así como de los

profesores invitados para apoyo del mismo.

A principios d los 90’ se acentúa una crisis

dentro del grupo, se contaba con una planta

de investigadores que llevó a contar en algún

momento con 35 miembros. Pocos se

dedicaban al programa de doctorado interno,

y la mayoría se concentraban en el programa

de maestría y en actividades muy variadas.

La maestría no parecía satisfacer las

necesidades del grupo en términos de llevar

a la práctica sus conocimientos. Es así que

los investigadores se dividen en grupos cuyo

interés se engloban en aras del conocimiento

sobre problemáticas específicas asociadas a

niveles educativos: básico (primaria y

secundaria) medio superior, superior,

Ciencias de la cognición y tecnología aplicada

y microcomputadoras en educación.

Surgieron planes y programas de estudio

para 5 maestrías dependiendo de la

problemática y objetos de estudio. La

concentración por áreas del conocimiento fue

adecuada en un principio dado que permitió

una reorganización de las actividades de los

investigadores y propició el desarrollo de

investigaciones en los distintos niveles de

educación. Sin embargo, por ejemplo, el uso

cada vez mayor de nuevas tecnologías en el

aula, y las exigencias del programa de

doctorado, sugiere la integración en acciones

comunes a nivel del programa de maestría.

El doctorado del departamento ha ido

consolidándose conforme transcurre el

tiempo, cada vez demanda mayor

concentración de los investigadores y ello

limita las acciones en los programas de

estudio de las maestrías en ciencias. Estas

hacia futuro, para fortalecerse, debería de

integrase más y más alrededor de las

acciones del programa del doctorado.

El término de la producción académica de los

investigadores de matemática educativa

podemos identificar las siguientes líneas de

investigación:

28

a) Desarrollo curricular

b) Experimentación educativa de

materiales didácticos para la

enseñanza media básica

c) Análisis exploratorio de datos

d) Análisis epistemológico

e) Observación clínica

f) Observación en el aula y

situaciones didácticas

g) Experimentación educativa

entre profesores de

matemáticas para la

detección de obstáculos

epistemológicos

h) Nuevos métodos de

enseñanza y uso de

tecnología.

A continuación realizaremos una descripción

breve sobre las líneas de investigación e

intentaremos clasificar algunas de las

publicaciones de los investigadores de

acuerdo a su contenido. Es posible que

algunas de éstas se puedan clasificar en más

de una línea de investigación. Así mismo, es

probable que hayamos omitido algunas, pero

quisiéramos señalar que la intención es dar

una muestra, lo más amplia posible, de las

líneas de investigación y ejemplos de algunas

de ellas; no se pretende hace un recuento de

todos los trabajos realizados por los

miembros del departamento. Se expondrán

también brevemente algunos ejemplos

derivados de tesis de maestría o de

doctorado que puedan ayudar a ampliar el

panorama de acción académica del

Departamento de Matemática Educativa; de

la gran cantidad de egresados del DME, no

sería posible en este documento realizar un

análisis de los contenidos de las tesis para

clasificarlas.

29

DESARROLLO CURRICULAR

Filloy (1981, p. 240) señala que algunos

trabajos que corresponden al área de

desarrollo curricular, son:

a) Los textos para niños y maestros

para la educación primaria que

corresponden al currículum nacional

(1972 – 1975).

b) Los elaborados por el grupo del

Departamento de Investigaciones

Educativas del CINVESTAV (1979 –

1980) los cuales se produjeron con el

marco de referencia del trabajo de

Dienes.

c) Serie de libros para la enseñanza

media, Alarcón et al (1979 -82.

1991. 1994, 1995), y Figueras et al

(1980).

El diseño y elaboración de planes, programas

y libros de texto gratuitos (1972 – 75) así

como los programas paralelos a actualización

de profesores de primaria podemos

clasificarlos dentro del rubro diseño

curricular.

Es conveniente mencionar que en México,

para el nivel primaria (6 – 11 años) existen

los libros gratuitos (desde principios del

siglo) y obligatorios con un programa único

(en la década de los 60’ hasta la fecha).

El área de matemáticas del Departamento de

Investigaciones Educativas tuvo una fuerte

interacción con los miembros de de

Matemática Educativa hacia finales de los

setentas. Parte de los fundadores de esta

área, nombrada inicialmente

psicomatemática, se habían formado en el

programa de estudios de maestría de

Matemática Educativa. Este grupo se centró

desde sus inicios en la problemática de la

educación primaria, produciendo

posteriormente, en 1993, uno de los libros

de texto gratuito (todavía vigente); los

materiales bibliográficos que han elaborado

para este nivel han representando un fuerte

apoyo en la educación primaria (ver, por

ejemplo, Block et al, 1994 – 96).

Otros egresados de Matemática Educativa

que también han tenido una fuerte influencia

relevante en el mismo nivel son los autores

de los libros de texto gratuitos de quinto y

sexto año (López et al, 1993 y Pérez et al,

1994). Estos nueve libros de texto gratuito

contienen elementos innovadores en relación

a las anteriores versiones. Se han

incorporado, posiblemente con timidez en

alguno de ellos, el uso de la calculadora y se

han incrustado ideas sobre la resolución de

problemas, todo ello en ambientes

educativos de corte constructivista.

Al inicio de las actividades de la Sección de

Matemática Educativa, algunos

investigadores se dieron a la tarea de

elaborar materiales que se integrarían en

varios volúmenes para la escuela secundaria

(alumnos de 12 a 14 años); realizaron

durante varios años experimentación

educativa de materiales didácticos para la

enseñanza de ese nivel, que poco a poco

fueron conformando la serie de libros

matemáticas 100 horas (Alarcón et al, 1979 -

82; Figueras et al, 1980). Estos trabajos

30

rompieron con la tradición de escribir

materiales didácticos guiados exclusivamente

por la experiencia sin considerar necesaria la

experimentación. Con estos productos de

investigación, se inicia una nueva época, la

cual tiene un énfasis marcado en la

experimentación en el aula. La tendencia de

los investigadores era la del constructivismo,

aunque cabe señalar que en esos tiempos la

teoría no se había desarrollado como en la

época actual.

El programa de estudios de la escuela

secundaria es único, como en la escuela

primaria, pero en este caso el texto no es

obligatorio, en consecuencia, hay una mayor

variedad de libros que cubren dicho

programa. Para este nivel se realizaron dos

estudios del programa oficial (Rojano, 1978;

Recio, 1980) utilizando elementos teóricos

proporcionados por la taxonomía de los

objetivos educativos (Bloom et al, 1972;

Bloom, 1975).

El desarrollo tecnológico trajo consigo nuevos

objetivos para el currículo de matemáticas.

Los estudiantes debían ser educados con la

finalidad de aprovechar las nuevas y

potentes herramientas. La rápida

proliferación de las microcomputadoras y el

diseño del software espectacular pero con

poco impacto en el aprendizaje, hizo la tarea

más difícil. Considerando esta problemática,

se inicia otra línea de investigación que

comprende el uso de esas nuevas

herramientas para la enseñanza y el

aprendizaje de conceptos matemáticos. En

particular, se realizaron investigaciones

respecto al uso del software comercial y

sobre diseño curricular (Turriza, 1990;

Riestra et al, 1990 y Chávez et al, 1993).

En la actualidad, las autoridades educativas

encargadas de la enseñanza media han

seguido los lineamientos de la corriente

sobre constructivismo y resolución de

problemas. Ha habido intentos para cambiar

los programas de estudio bajo esta filosofía,

sin percatarse que un nuevo diseño curricular

comprende la formación y actualización de

profesores, los sistemas de evaluación, los

métodos de enseñanza, etcétera.

31

ANÁLISIS EXPLORATORIO DE

DATOS (MÉTODOS CUANTITATIVOS

DE ANÁLISIS DE DATOS)

Quisiéramos señalar que lo que caracteriza a

los estudios que mencionaremos a

continuación es la metodología utilizada en la

investigación, en vez de asociarlos a una

línea de investigación. En la década de los

setentas y parte de los ochentas, los

métodos cuantitativos predominaban en la

investigación a nivel mundial e irrumpieron

también en el campo de la educación. En

México, se emplearon algunos métodos

desarrollados por Benzecri (1973) y

adaptados a la investigación en didáctica de

las matemáticas por Pluvinage (1977). Por

ejemplo, técnicas de análisis de

Correspondencias (análisis de datos

multidimensionales) se aplicaron para

analizar una población en la que s quería

detectar su sensibilidad a la contradicción en

matemáticas (Hitt, 1978).

Los métodos cuantitativos fueron cada vez

menos utilizados como lo señala Klipatrik

(1995, págs. 4 – 6). En particular, la

influencia de los trabajos de Piaget y de sus

colaboradores se dejó sentir en el tipo de

problemas planteados y en la manera de

considerarlos, dando lugar al uso de métodos

cualitativos para el análisis de la información.

El empleo de estos es una característica de

las investigaciones desarrolladas en

Matemática Educativa en la década de los

ochentas y lo que de los noventa.

Los miembros del Departamento de

Matemática Educativa han influido a través

de sus diferentes acciones académicas

(Maestría, Maestría semiescolarizada,

Doctorado, PNFAPM, etcétera) en la

formación de investigadores de las

universidades estatales, institutos

tecnológicos y escuelas normales superiores.

Por ejemplo, en la actualidad hay una

investigación en curso en la Universidad de

Morelos realizada por Hernández y De Mata,

con jóvenes de 15 a 18 años sobre la

estabilidad de los conocimientos algebraicos

y resolución de problemas utilizando ya sea

una estrategia aritmética o algebraica. En

este estudio se utilizan

complementariamente los dos acercamientos

cuantitativos y cualitativos. Aunque el

análisis no ha finalizado, se tiene ya

evidencia de que el avance en estos

conocimientos no es significativo después de

tres años de instrucción y que incluso en la

resolución de problemas los alumnos de 15

años utilizan acercamientos aritméticos y

tienen mayor éxito que los estudiantes de 18

años quienes usan procedimientos

algebraicos.

32

OBSERVACIÓN CLÍNICA

Hacia principios de los años ochenta, algunas

preguntas de investigación se centraron en la

emergencia de ideas matemáticas

particulares de niños y jóvenes, o en la

identificación de malentendidos y sus

fuentes, o bien en describir las estrategias de

los alumnos para resolver problemas. La

necesidad de obtener información sobre por

qué los sujetos se comportan de manera

particular cuando se enfrentan a preguntas

ligadas a conceptos matemáticos llevó a los

investigadores a una observación de corte

clínico. Sobre utilización de métodos

cualitativos podemos citar, por ejemplo, la

investigación de Lema Y Morfin (1981)

quienes realizaron su estudio sobre la

pertinencia de los resultados de Piaget e

Inhelder (1975) acerca de la idea de azar

haciendo entrevistas a niños.

Dificultades en el razonamiento de la

aritmética al álgebra, también fueron

investigadoras con niños de 12 a 13 años por

medio de entrevistas clínicas (Rojano, 1985).

Varios problemas fueron investigados y

analizados en este proyecto de investigación,

tales como los obstáculos que los estudiantes

tienen para entender lo que es una constante

y el papel que juega una variable en una

ecuación. También se investigaron algunos

errores sintácticos cuando resuelven

ecuaciones.

Con a finalidad de encontrar lineamientos

para diseñar estrategias didácticas para la

enseñanza de conceptos matemáticos en los

niveles básicos, otras investigaciones

apuntaron hacia la conveniencia de conocer

las redes semánticas de constructos sobre

los números racionales para la construcción

de estos conceptos por parte de los escolares

(Figueras, 1988, 1996). Una investigación

complementaria en esta línea fue

desarrollada por Valdomeros (1993, 1994,

1995) quien investiga el conocimiento

relacionado con el concepto de fracción.

Sobre la problemática del concepto de

número negativo se tienen los trabajos de

Gallardo y Rojano (1990) y Gallardo

(1993,1994), ellas combinan observación

clínica con un acercamiento histórico sobre la

noción de los números negativos. En relación

con procesos generalizadores para la

adquisición del concepto de variable tomando

en consideración aspectos del trabajo de

Vigotsky se cuenta con la investigación de

Ursini (1990,1991); acerca de errores

algebraicos y sobre el conocimiento

matemático en los procesos de resolución de

problemas de mecánica clásica ver Guzmán

(1995). La problemática sobre la

demostración en matemáticas en la

enseñanza media es estudiada por Acuña

(1996).

Investigaciones realizadas acerca de la

comprensión de ideas fundamentales de

estocásticos en el nivel preuniversitario

señalan dificultades de interpretación de la

probabilidad condicional cuando se cuestiona

sobre probabilidad de la intersección de

eventos, Ojeda (1990,1994 y 1996) en

relación con esta problemática nos muestra

la influencia de contexto y de las

representaciones gráficas en los procesos de

aprendizaje de la probabilidad condicional.

En Alarcón (1996) podemos encontrar un

análisis sobre el razonamiento probabilista de

33

los alumnos en paralelo a su idea de

proporción.

Santos (1993, 1994, 1995) ha desarrollado u

trabajo sobre resolución de problemas

empleando el marco teórico de Schoenfels

(1983). Recientemente, las ideas de Greeno

(1996) sobre transferencia del conocimiento

situado han permeado en sus estudios

complementado sus primeros acercamientos.

Santos (1996,1997) presenta ejemplos

donde ilustra que el contexto y el tipo de

problemas matemáticos contribuyen al

desarrollo de diferentes tipos de

conocimiento del estudiante ( inertesimplista,

ritual). Los cuales, en la mayoría de los

casos, bloquean la transferencia de los

contenidos matemáticos.

Un grupo de investigadores con los que

trabajó E. Filloy, iniciaron el proyecto

curricular para la educación media básica (12

a 14 años) que se conjunta con lo que se

observa en la entrevista individual y los

resultados del análisis de las respuestas a

cuestionarios diseñados ex profeso. Como

resultado de estas investigaciones (Filloy,

1990, 1991; Filloy y Hoyos, 1993; Filloy y

Rubio, 1993; Filloy, 1996; Kiren y Filloy,

1989) Filloy ha desarrollado lo que llama

modelo teórico local y sistemas matemáticos

de signos; Filloy er al., (1996, pág 59)

considera tres componentes para cualquier

modelo teórico en la investigación en

educación matemática: modelo de

enseñanza, modelo de procesos cognitivos y

modelo de competencia formal.

34

OBSERVACIÓN EN EL AULA Y

SITUACIONES DIDÁCTICAS

Este tipo de investigación se realiza en

ambientes naturales en el salón de clases,

por ejemplo, Fuenlabrada y Sainz (1979)

realizaron un estudio utilizando esta

metodología en el nivel primario. Los

conceptos que analizaron con mayor

detenimiento fueron los relativos al

aprendizaje de diferentes bases para

introducir posteriormente de manera que

pudiera entender mejor la base 10 del

sistema decimal. Un trabajo posterior del

grupo de psicomatemática creado por

Fuenlabrada, Galvez y Sainz, es el

realacionado con la producción de materiales

que sirvan para el estudio de fenómenos

ligados al aprendizaje y a la enseñanza, a

partir de un análisis preliminar de las

situaciones (lo que los franceses denominan

situaciones didácticas). Otra investigación

con una metodología similar es la

desarrollada por Garnica ( en proceso), quien

está estudiando los procesos de

comunicación en el aula en el nivel primario,

en donde se contextualizar tres campos, la

pragmática universal, la acción comunicativa

y la comunicación.

ANÁLISIS EPISTEMOLÓGICO

El análisis epistemológico realizado sobre

conceptos matemáticos ha demostrado ser

un magnifico referente para entender

algunos problemas de aprendizaje. La

detección de obstáculos epistemológicos fue

una de las primeras tareas que realizó el

grupo de investigadores en México (1974-

77). Esta línea de investigación se desarrolló

de manera natural dado que los matemáticos

fueron los primeros interesados en los

problemas de enseñanza y aprendizaje de las

matemáticas. El análisis de la historia de las

matemáticas proporcionó elementos para ser

considerados en el diseño de lecciones; estos

materiales didácticos fueron atractivos e

interesantes. Después, estos investigadores

preocupados por los fenómenos ligados al

aprendizaje incorporaron a su problemática

las idea de Bachelard (1971, 1977) sobre

epistemología. De 1978 a 1996 parte del

grupo se preocupó por la detección de

obstáculos epistemológicos por medio del

análisis histórico crítico, Podemos

ejemplificar la investigación que caracterizó

esta línea con algunos estudios considerando

diferentes rama de la matemática como la

geometría, precálculo, cálculo y análisis;

autores de trabajos relativos a este apartado

son; Antolín (1981, 1991), Ruíz (1986,

Waldegg (1978), Bromberg y Moreno (1990),

Moreno (1991, 1996), Moreno y Waldegg

(1995), Rigo (1994), Cantoral (1983), Farfán

(1986), Cordero (1986) y Quintero (1996).

EXPERIMENTACIÓN EDUCATIVA ENTRE

PROFESORES DE MATEMÁTICAS Y

DETECCIÓN DE OBSTÁCULOS

EPISTEMOLÓGICOS

A finales de la década de los setentas se

realizaron investigaciones donde el profesor

de matemáticas juega un papel importante

dentro de la experimentación. Podemos

señalar los trabajos de Filloy et al. (1977-

1979) con relación a que los profesores de

matemáticas son buenos predictores sobre el

conocimiento de sus alumnos en tareas

simples y no lo son cuando las tareas de los

alumnos son complejas. En esas

35

investigaciones se seguían esquemas de diseño experimental como el siguiente.

Problemas

Análisis de los problemas

Diseño del montajede la exper imentación Diseño del análisis estadístico

Preparación de lasexperiencias

de aprendizaje

Diseño del trabajocon profesores

Diseño d e los mecanismosde observación y medición

Diseño de la toma de datosy análisis estadísticos

Un acontecimiento como el anterior se siguió

también en el trabajo de Filloy et al. (1979)

sobre el conocimiento de los alumnos de

quinto grado de primaria sobre los números

decimales. Hitt (1980) en relación a la

misma investigación muestra un

acercamiento cuantitativo de los datos

recolectados. Cabe señalar que en estos

estudios había una preocupación e sobre el

diseño estadístico de la experimentación.

En 1984 la SEP inició un Programa Nacional

de Formación y Actualización de Profesores

de Matemáticas (PNFAPM); la SME junto con

16 universidades estatales y 7 institutos

tecnológicos diseñaron e implementaron

dicho programa a lo largo de más de un a

década. Ello permitió que de manera natural

se iniciara una línea de investigación con

relación a la detección de obstáculos sobre la

comprensión de conceptos matemáticos de

los profesores de esta disciplina. Los

estudiantes siguieron un plan de trabajo que

se pude resumir mediante las acciones

representadas en el esquema que aparece a

continuación; en estas indagaciones, el

diseño del análisis mediante técnicas

estadísticas ya no se consideraba un

elemento central como en los estudios

anteriores. La producción de textos de

PNFAPM fue muy extensa; sin embargo, la

falta de procesos de refinamiento hizo que

este gran esfuerzo en la producción de

materiales bibliográficos de textos educativos

no alcanzara una culminación que se

plasmara en libros que compitieran en el

mercado existente; lo único que se conservó

fue la revista Cuadernos de Investigación,

editada por el PNFAPM y el DME que continuó

impulsando la publicación de artículos y

memorias de los Seminarios nacionales e

internacionales (1987-97)

INVESTIGACIONES EN MATEMATICAS EDUCATIVAS II___________________________

Libros de texto

Historia de lasmatemáticas

Obstáculos epistemológicosen el profesor de

Matemáticas

Obstáculos epistemológicosen el alumno, p roducidosa) Por la manera como se enseña

b) Por la comp lejidad del concepto

En lo que se refiere a las investigaciones que

siguieron el esquema anterior, se realizaron

estudios de corte histórico, complementados

con la detección de obstáculos

epistemológicos que enfrentan los alumnos al

estudiar temas como precálculo, cálculo y

análisis (Arreguín, 1989; Cantoral, 1990;

Cordero, 1993; Resendiz y Cordero, 1993;

Sacristán, 1990; Zubieta y Moreno, 1996;

Zubieta, 1996) Otra área de interés fue la

detección de obstáculos epistemológicos de

profesores de matemáticas (Cambray, 1993;

Cordero, 1993; Farfán y Hitt, 1990; Farfán,

1997; Hitt, 1989,1994,1995,1996). Sánchez

(1996) analiza el concepto de independencia

en probabilidad e identifica obstáculos que

tienen profesores de matemáticas en relación

a este concepto; se pone de manifiesto que

la confusión que existe en la comprensión de

eventos independientes tiene sus raíces en

representaciones internas derivadas de sus

experiencias anteriores.

INVESTIGACIONES SOBRE NUEVOS

MÉTODOS DE ENSEÑANZA Y USO DE

TECNOLOGÍA

La investigación que se realiza en el DME con

relación a es línea intenta analizar procesos

de aprendizaje utilizando nuevos métodos de

enseñanza apoyada por medio de

audiovisuales, calculadoras y

microcomputadoras. Nuevamente, como en

el caso de análisis de datos, es la

metodología la que se ha seleccionado para

clasificar los trabajos correspondientes y no

por sus contenidos.

En la década de los ochentas, en la entonces

SME, se inició un proyecto sobre la

producción de audiovisuales para se

empleados en la enseñanza de las

matemáticas. La historia de la matemática

fue una componente muy importante en la

investigación y producción de materiales,

como ejemplo de esos trabajos en la serie de

geometría se tiene El Teorema de Cheva

(Figueras y Filoyy, 1984), en la de cálculo El

Método de Arquímides (Cantoral y Ojeda,

1985), en la de ciencia y arte se cuenta con

Dos problemas de matemáticas (Gallardo,

1981), en la de probabilidad, un ejemplo es

Génesis de una teoría (Ojeda, 1985) y en la

geometría no euclidiana, Expansión

identificada del universo (Ursini, 1983). Esta

producción no se prosiguió por lo costoso de

su producción y lo anacrónico del equipo

(audioviewer). Una nueva posibilidad que se

está explorando es la continuación de las

37

ideas del proyecto original usando la

computadora, digitalizando las imágenes.

Otro proyecto que tuvo lugar en esa misma

década, cuyo objetivo principal fue la

producción de software para la enseñanza de

las matemáticas. El acercamiento que se

propuso parte de un grupo de la SME para

diseñar los programas para la computadora,

era novedoso para su época. Por ejemplo, en

las lecciones pensadas como apoyo para un

curso de geometría analítica era posible con

software producido, solicitar la

representación algebraica de una cónica

dada su representación gráfica, si el alumno

cometía un error de sintaxis algebraica, la

computadora le señalaba el tipo de error

cometido; aún más, si el alumno proponía

una expresión diferente a la respuesta

correcta, el software le graficaba su

representación correspondiente (Riesta,

1991). En esta línea se ha continuado

produciendo software de matemáticas que,

sin ser muy espectacular, tiene elementos

didácticos significativos, producto de la

investigación en educación matemática; ver

por ejemplo, el programa diseñado sobre la

línea recta por Cuevas (1994) y Cortés

(1995), y el que ha elaborado Mejía (1996)

sobre evaluación de conceptos ligados a la

geometría analítica.

Considerando las ideas sobre los

micromundos computacionales (Hoyles y

Noss. 1989) se ha desarrollado software

como herramienta para ser usado en

ambientes de papel, lápiz y computadora

sobre los números poligonales (Hitt, 1994;

Hitt y Monzoy, 1996 y Moreno Y Sacristán,

1996). Hitt (1997) muestra un ejemplo

donde se conjuga la historia de una idea

matemática y el uso del software

Matemática.

En Rojano et al. (1996,1997) hay una

muestra de la factibilidad de modificar las

actuales prácticas matemáticas en el aula

sobre la enseñanza de las ciencias,

proponiendo actividades en ambientes

computacionales utilizándola hoja

electrónica.

Una línea de investigación que conjuga el

análisis epistemológico en relación a las

ecuaciones diferenciales y el uso de nuevas

tecnologías se pueden encontrar en

Hernández (1995). En éste, hay una

influencia marcada de la investigación

francesa, se trata de la ideas de

transposición didácticas (Chevalard, 1985),

juego de marcos (Duady, 1986) y marco

numérico, algebraico y gráfico (Artigue,

1989)

Las autoridades educativas le han dado

mayor importancia al uso de computadoras y

han descuidado la promoción de la

calculadora como una herramienta muy útil

en el salón de clases. La aparición de las

llamadas calculadoras graficadoras y las que

además incluyen tratamientos simbólicos han

llamado la atención del uso de estas

herramientas tecnológicas en el aula de

matemáticas.

Algunos productos de esta línea son los

Cuadernos Didácticos (Cantoral y Reséndiz,

1997; Cordero y Solís, 1997 y Farfán y

Albert, 1997) y tesis de maestría (ver por

ejemplo, Ruiz, 1997)

38

REFLEXIONES FINALES

En el pasado, se pensó que el problema de la

enseñanza de las matemáticas se podría

solucionar solamente con la escritura de

“buenos materiales” y no se reflexionaba

sobre la necesidad del estudio de fenómenos

ligados al aprendizaje. La problemática que

han abordado los investigadores del DME ha

ido evolucionando, los estudios de éstos han

mostrado a través de su producción

académica que el problema es más complejo

de lo que creía (ver por ejemplo la

publicación relativa al XX Aniversario del

DME: Investigaciones en Matemática

Educativa es joven y a través de él se busca

constituir una disciplina que caracterice con

cierto grado de precisión la actividad práctica

y teórica relativa a los procesos de

enseñanza y del aprendizaje de

matemática)ver ejemplo, Cantoral, 1996;

Garnica, 1988; Imaz, 1992 y Moreno, 1995)

Resolver un problema de enseñanza ha

conducido al estudio profundo sobre la

construcción del conocimiento. Ello ha

motivado a los investigadores a analizar las

diferentes variables que intervienen en los

procesos de construcción por parte de los

alumnos. Los resultados de investigación nos

muestran que la naturaleza de cada una de

esas variables pude ser muy diferente y el

entenderlas y controlarlas en el aula es una

tarea muy compleja. No se ve cercana una

solución, dado que ello tendría que ver

también con un conocimiento profundo del

funcionamiento del cerebro y del desarrollo

de la inteligencia del ser humano.

Los investigadores se cuestionan sobre la

concepción que tienen los estudiantes en

relación con los conceptos matemáticos, qué

representaciones mentales han construido

alrededor de un concepto, qué

representaciones semióticas han utilizado los

profesores de matemáticas y los autores de

libros de texto que han provocado la

construcción de tal o cual imagen mental,

qué cambios en la concepción del estudiante

se produce al utilizar tal o cual herramienta

tecnológica o una nueva propuesta de

enseñanza, qué representaciones semióticas

produce el estudio al explicar o al resolver un

problema.

Los altos índices de reprobación en nuestro

sistema educativo nos muestra que se está

muy lejos de resolver el problema. No sólo

hace falta la producción de materiales que

tomen en cuenta los aspectos antes

señalados, existe una gran preocupación de

los investigadores para que sus productos

puedan llamar la atención del profesor de

matemáticas con la intención de que él los

incorpore a su práctica educativa. Es

importante que los programas de

actualización de profesores sean

permanentes y también lo es la promoción

de una mayor interacción entre profesores e

investigadores.

CONTEXTO EDUCATIVO MEXICO DURANTE LA DECADA 1982-1992 _________________________

PROCESOS DE ENSEÑANZA Y

APRENDIZAJE II Block, David et. Al. (1995), en Guillermina Waldegg (coord.), Procesos de enseñanza y aprendizaje II, Vol. 2, México, Consejo Mexicano de Investigación Educativa/Fundación SNTE para la Cultura del Maestro Mexicano, pp. 23 – 72.

.

ANTECEDENTES

La preocupación por estudiar los problemas

de la enseñanza de la matemática en México

se remonta a los inicios de la Escuela

Normal. Sin embargo, los esfuerzos

realizados en estas épocas fueron poco

sistemáticos y no se les dio una difusión

amplia; fueron reflexiones acerca de la

enseñanza de esta ciencia sin ningún apoyo

propiamente en la investigación.

Ya como una disciplina autónoma, con

orientación sistemática hacia la

investigación, la educación matemática tiene

sus orígenes en el país en la década de los

setenta. El grupo que la impulsó propuso,

entre sus primeras acciones, la creación de

un programa de maestría en ciencias con la

especialidad de Matemática Educativa.

La maestría surgió en 1975, con auspicio del

Centro de Investigación y de Estudios

Avanzados (CINVESTAV), del Instituto

Politécnico Nacional (IPN), en la Sección de

Matemática Educativa (SEM) del

Departamento de Investigaciones Educativas

(DIE) del CINVESTAV. Desde sus inicios, la

SEM gozó de autonomía respecto del DIE,

tanto en lo académico como en lo

organizativo.

La necesidad de la creación de esta sección

estuvo justificada por la insuficiencia de

cuerpos de profesionales, en el campo de la

enseñanza de la matemática, que dieran

respuesta a las demandas del Sistema

Educativo Nacional (Avance y Perspectiva 1,

1981, pp. 9 – 13). Dichas demandas

apuntaban, casi exclusivamente, a la

necesidad de elaborar lineamientos y

programas para la enseñanza de la

matemática en los distintos niveles del

Sistema, ya que en el contexto de las

reformas educativas de ese momento se

había hecho patente la carencia – y las

deficiencias en la formación - de

profesionales que pudieran asumir dichas

funciones.

Todavía en 1978 (fecha en la que se graduó

el primer egresado del programa), las líneas

de investigación denotaban la preocupación y

el interés, casi exclusivo, en la elaboración

de textos y en la formación de profesores

(Anuario del CINVESTAV 1977 – 1978, pp.

183)

CONTEXTO EDUCATIVO MEXICANO DURANTE LA DÉCADA 1982 – 1992

40

Ese mismo año se decidió en el DIE un

proyecto de investigación sobre la enseñanza

de la matemática en la escuela primaria

(Ibid., pp 182 – 183). No fue sino hasta

1980 cuando, por primera vez, se propuso

como objetivo formal de la maestría en

matemática educativa la

Formación de profesores cuyo trabajo esté enfocado principalmente a la investigación sobre la problemática se la enseñanza-aprendizaje de la matemática, entendiendo esta problemática en toda su extensión, es decir, a cualquier nivel de escolaridad en general como el contexto específico de3 nuestro sistema educativo (Anuario del CINVESTAV 1979 – 1980, p. 281)

En un inicio este objetivo de investigación no

se logró cabalmente, puesto que el programa

de la maestría apuntaba en principio a

resolver las necesidades del docente – más

que a las del investigador – que se referían

a los contenidos matemáticos del currículo y

no a la profundización sobre procesos de

aprendizaje y de enseñanza. Sin embargo, a

lo largo de la década siguiente, tanto el

enfoque del programa como la actividad de

la planta docente de la SEM fueron

redireccionadas hacia labores

predominantemente investigativas. Hacia el

final de la década de los ochenta, con las

primeras tesis de doctorado (Cantoral, 1990;

Figueras, 1988; Rojano, 1985; Waldegg,

1987) se ve claramente esta tendencia.

SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________

41

BLOQUE II

ALGUNAS APORTACIONES

DE LA INVESTIGACION EN EDUCACION MATEMATICA

PARA EL NIVEL SECUNDAR

1. INTRODUCCIÓN: DOS EJEMPLOS.

Algo que ocurre con frecuencia en la

Probabilidad es que problemas

aparentemente sencillos, con enunciados

accesibles a cualquiera, incluso a alumnos

inexpertos de niveles elementales, dan lugar

a respuestas que no parecen respetar el

sencillo común y tienen un fuerte aire de

paradojas. Esto es parte del atractivo de la

Probabilidad, pero la realidad es que el

recurso al lenguaje de las situaciones

clásicas: volados, lanzamientos de dados,

resultado de un nacimiento, extracciones de

una urna, etcétera, en situaciones que

solicitan una predicción y una decisión,

permite elaborar problemas que ocultan su

verdadera dificultad y distraen de los

tratamientos adecuados, dando paso a

respuestas inexactas.

Como un ejemplo, examinaremos los

problemas 1 y 2 que aparecen a

continuación. El primer problema fue

elaborado para atraer la preferencia de los

alumnos hacia la urna de composición

conocida, mientras que el segundo buscaba

provocar el rechazo de la urna conocida y la

aceptación de aquella cuyo contenido se

ignora. Estas respuestas serían incorrecta en

el primer caso y admisible en el segundo.

Problema 1: se tienen dos urnas: la primera

contiene cuatro bolas blancas, la

otra es de contenido desconocido.

Se tomó una de ellas, sin saber

cuál, y se extrajeron al azar, una

tras otra, seis bolas de reemplazo:

El resultado fue 6 BLANCAS. ¿Cuál

urna se tomó para realizar la

extracción?

SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN LA EXPLORACIÓN DEL RAZONAMIENTO

PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS 4

CONTEXTO EDUCATIVO MEXICO DURANTE LA DECADA 1982-1992 _________________________

URNA 1 URNA 2CONTENIDO

DESCONOCIDO

Forzosamentede la Urna 1

De preferenciala Urna 1

No hay razónpara preferi r

la Urna 1


Forzosam entede la Urna 2

Problema 2: se tienen dos urnas: la primera

contiene una bola blanca y una bola

negra, la otra es de contenido

desconocido. Se tomó una de ellas,

sin saber cuál, y se extrajeron al

azar, una tras otra, seis bolas de reemplazo:

El resultado fue 6 NEGRAS. ¿Cuál

urna se tomó para realizar la

extracción?

URNA 1 URNA 2CONTENIDO

DESCONOCIDO

Forzosamentede la Urna 1


No hay razónpara preferi r

la Urna 1


Forzosam entede la Urna 2

Cuando preguntas similares a las anteriores

fueron presentadas a una muestra de

alumnos de secundaria y preparatoria (ver

Alarcón, 1982; Ávila, 1984) se obtuvieron las

respuestas siguientes:

- Para el problema 1, la mayoría de

los alumnos se inclinan por la urna

de composición conocida, donde

todas las bolas son blancas. Entre

ello, un número no despreciable,

más del 20 % utilizan la respuesta

“forzosamente…”, quizá porque el

resultado de las extracciones refleja

perfectamente la composición de

esa urna.

- Para el problema 2 un poco más de

la mitad no se deciden por ninguna

de las urnas, mientras que el resto

se reparte, entre la preferencia por

la urna que contiene una blanca y

una negra y la urna de composición

desconocida.

Este último problema es admisible elegir la

urna de composición desconocida, ya que la

probabilidad de extraer, con reemplazo, seis

bolas negras seguidas d una urna donde sólo


43

hay una bola blanca y una negra es 641

,

menor que el 5 %. Por la misma razón, las

respuestas que favorecen esta última urna

no pueden justificarse, pero señalaremos que

aparecieron acompañadas por la respuesta

“no hay razón para preferir…” en otras

preguntas donde la composición de las dos

urnas era conocida y una urna era más

probable que otra. Es decir, una parte de los

alumnos interrogados se abstuvo de decidir

cuando el contenido de las dos urnas era

aparente y, si había una composición

desconocida, eligieron aquella cuyo

contenido conocían, aunque fuera muy poco

probable.

Más interesante de discutir era la preferencia

por la urna de composición conocida en el:

problema 1. Esta respuesta parece correcta,

pero no lo es tanto, ya que Una decisión a

favor de esta urna tiene que considerar la

posibilidad, el riesgo, podría decirse, de que

la seis bolas blancas provengan de la urna de

composición desconocida. Ahora bien, el

resultado de las seis extracciones, y lo

mismo sería si se hubiera extraído 10, 100 ó

1 000 bolas blancas, no permite ponderar

esta posibilidad y, por lo tanto, disminuirla

incertidumbre que acompaña la elección de

una u otra de las urnas, por lo que en este

problema lo mejor sería abstenerse de

cualquier preferencia. La situación es bien

distinta a la del problema 2, donde el

resultado de las extracciones hace “casi

imposible” la urna con una bola blanca y otra

negra y justifica, como ya se dijo, una

decisión a favor de la urna cuyo contenido de

desconoce.

El cruzamiento de las respuestas anteriores

con las obtenidas en otras preguntas

permitió tener una visión más fina de las

reacciones de los alumnos frente a las

situaciones propuestas. Una parte parece

proceder solo en función de la composición

de la urna conocida y lo que es probable

extraer de ella; aceptación si hay

concordancia y rechazo si no la hay. En un

tratamiento correcto, por el contrario, a toma

en cuenta de lo que puede extraerse de la

urna conocida suele subordinarse a la

consideración de las decisiones posible y la

ponderación de los riesgos que la

acompañan, ya que la pregunta no se refiere

a la composición, sino a la urna de la cual

fueron extraídas las bolas. Esta distinción

parece sutil, y hasta insustancial, pero puede

marcar la diferencia entre un tratamiento

correcto y otro inadecuado en situaciones

donde hay incertidumbre.

Como ya se indicó, otros alumnos parecen

razonar solamente en términos de la

probabilidad de que las extracciones hayan

sido realizadas en una u otra urna,

posibilidad que, en los casos en que se

desconoce la descomposición de una urna,

no es igualmente aparente para las dos

urnas.

Los problemas anteriores, el problema 1, en

particular, pone en evidencia cómo el

pensamiento de los alumnos, orientando

fuertemente hacia una predicción, contrasta

con los tratamientos adecuados de las

probabilidades. Pero también ilustran, en un

caso extremo quizás, cómo situaciones

planteadas en términos bastante sencillos

involucran conceptos delicados, que uno

pensaría difícilmente accesibles a un

razonamiento espontáneo. En términos


44

estrictos no se trata precisamente de dos

problemas de probabilidad, en la medida que

la consideración de la urna de composición

desconocida no da lugar a una distribución

de probabilidad.

2. IDEAS Y CONCEPCIONES

ESPONTÁNEAS DE PROBABILIDAD

La distancia que separa las respuestas

espontáneas de los alumnos de un

tratamiento adecuado de las probabilidades,

así como los mecanismos que las personas

utilizan para responder a situaciones donde

hay incertidumbre, o tienen que hacerse una

predicción o tomar una decisión con base en

información insuficiente, han atraído la

atención de numerosos investigadores, tanto

en psicología como en educación

matemática. Así, son clásicos los trabajos de

Ahneman y Tversky (1974) identifican una

serie de heurísticas que las personas utilizan

para enfrentar este tipo de situaciones, entre

otras:

- La heurística de las

representatividad: de acuerdo con

esta heurística, las personas estiman

la probabilidad de un evento o

resultado según lo bien que

representa algunos aspectos de la

población total, o el resultado

esperado de un experimento

aleatorio. Así, mucha gente piensa

que en una familia de seis hijos la

secuencia HMMHMH es más probable

que cualquiera de las dos secuencias

HHHHMH o HHHHMM, solamente

porque le parece que la primera es

más representativa de lo que puede

ocurrir en seis nacimientos, a pesar

de que, al nivel de eventos

elementos, las 64 secuencias

posibles tienen la misma probabilidad

de que ocurra.

- La heurística de las disponibilidad: la

gente está utilizando esta heurística

cuando estima la probabilidad de un

evento a partir de lo fácil o difícil que

resulta imaginar o exhibir instancias

particulares del evento. Por ejemplo,

sujetos inexpertos en las técnicas de

conteo responden con frecuencia que

en un grupo de 10 se pueden formar

más comités de 2 que comités de 8,

debido a que es más sencillo

construir ejemplos de comités de 2

que construirlos de comités de 8.

Una revisión crítica de los trabajos sobre

razonamientos probabilística de éstos y otros

investigadores en psicología y en educación

matemática puede encontrarse en

Shaughnessy (1992).

También han señalado algunas limitaciones

de los trabajos realizados, el mismo

Shaughnessy apunta que se trata por lo

general de estudios cuantitativos, apoyados

en cuestionarios de opción múltiple, y que

todavía son escasas las observaciones de

corte clínico que permitan profundizar en las

respuestas de los sujetos. Plavinage (1991)

hace notar la limitación que, desde el punto

de vista de la didáctica de la probabilidad,

constituye el predominio de preguntas que

solicitan una predicción o decisión y la poca

atención prestada a la modelación y otros

tipos de tareas. Sánchez (1996) discute

además del alcance de observaciones

dedicadas a contrastar la distancia existente

a priori entre las creencias y respuestas

espontáneas de las personas y tratamientos


45

matemáticos. Al mismo tiempo insiste sobre

la necesidad de investigaciones clínicas, en

situaciones que favorezcan con el estudio de

las interacciones entre las ideas espontáneas

de los alumnos y los conceptos, formas de

representación y tratamientos que se les

proporcionan en los cursos de probabilidad,

ya que numerosas observaciones muestran

la persistencia de concepciones incorrectas o

inadecuadas, incluso entre estudiantes con

estudios en la materia.

Por nuestra parte, señalaremos que en

algunos trabajos se recurre, de una manera

que no siempre parece justificarse, a

problemas cuyo alto grado de dificultad se

conoce de antemano. El uso de estos

problemas es útil para aislar algunas

relaciones de los alumnos, pero cuando se

acompaña de la observación y el análisis

sistemático de su complejidad, se limita la

información que puede extraerse de las

respuestas obtenidas y desde el punto de

vista de la enseñanza, oscurece la reflexión

sobre su significado. Consideremos, por

ejemplo, los siguientes problemas:

Problema 3: se tienen tres urnas que

contienen, respectivamente; dos bolas

blancas, una bola blanca y una negra

y dos bolas negras. Se toman al azar

una urna y una bola de su interior. Si

la bola extraída de la urna es blanca,

¿cuál es la probabilidad de que la bola

que queda dentro también es blanca?

Problema 4: El Sr. Smith es el padre de

dos, un día nos lo encontramos

caminando por la calle acompañado de

un joven varón que nos presenta

orgullosamente como uno de sus

hijos, ¿cuál es la probabilidad de que

el otro hijo del Sr. Smith también sea

varón? (Falck & Bar-Hillel, 1992)

Los dos problemas están planteados

ingeniosamente para producir una respuesta

inexacta y, en el segundo, al menos

discutible. El primer problema presenta una

situación cuya dificultad es conocida desde

hace tiempo en matemáticas (ver, por

ejemplo, Poncaré, 1896): se sabe que en

lugar de la respuesta correcta 32

, las

personas proporcionaban con frecuencia ½.

Detrás de esta última respuesta se encuentra

un razonamiento que, de entrada, reduce la

situación a la sola consideración de la

primera y segunda urnas, pues el color de la

bola extraída elimina la posibilidad de una

extracción realizada en la urna que contiene

dos negras. Entonces, la bola que queda en

la urna o bien es blanca (si se trata de la

primera urna) o bien es negra (si se trata de

la segunda urna), por lo que la respuesta

parece ser ½, sin tomar en cuenta que la

urna que contiene dos blancas debe contarse

dos veces, lo que llevaría a la respuesta

correcta, 32

. Observemos que desde un

punto de vista estrictamente matemático, el

problema sería el mismo si en lugar de

considerar tres urnas en el enunciado, se

dice desde el principio que solo se tienen dos

urnas; una con dos bolas blancas y la otra

con una bola blanca y una negra. Solamente

que al introducir la urna con dos bolas

negras, se agrega un elemento distractor que

al dotar, por ejemplo, a la situación de una

simetría aparente, busca esconder el

equilibrio entre las dos urnas y dificultar la

respuesta correcta. No insistiremos por el


46

momento en el análisis de este problema,

pero hay todavía otros factores que impiden

escapar de una organización inadecuada de

la situación y conducen, de manera casi

inexorable, a una respuesta incorrecta.

El problema 4, por su parte, está diseñado

para centrar la atención en el resultado de

un solo nacimiento y producir la respuesta

½. Este problema parece inspirado en un

comentario de Feller (1983, Pág. 130) Quien

señala que la pregunta: “dado que una

familia con (exactamente) dos hijos, tiene

uno varón, ¿cuál es la probabilidad de que

ambos hijos sean varones?”, da lugar en

muchas ocasiones a la respuesta falsa ½, y

no 1/3 como debería ser. Al interpretar el

problema como la pregunta de Feller, la

respuesta correcta puede obtenerse como

sigue: si denotamos por H y M un varón y

una niña y escribimos en primer lugar la

inicial del hijo mayor, tenemos cuatro

posibilidades que pueden considerarse

equiprobables: HH, HM, MH y MM, la

probabilidad MM tiene que eliminarse, pues

hay al menos un hijo varón, por lo que la

probabilidad de que el otro hijo sea varón, es

decir HH, es 31

.

Más formalmente, si se designa por A y B los

eventos:

A: el primer hijo es varón

B: El segundo hijo es varón

Se tiene:

31

4341

)( ==∪∩ BABAP

Pero Falk señala que en realidad la pregunta

de Feller y el problema 4 son distintos,

debido a que, a falta de información

específica sobre el experimento estadístico

que subyace a este último problema, es

natural suponer que el Sr. Smith eligió al

azar el hijo con quien saldría a pasear. Más

adelante indica que para resolverlo es

relevante considerar no solo la información

disponible, sino también la forma como se

obtuvo y añade, - en el intento de hacer

objetiva la distinción entre ambas

situaciones, - que debemos tener en cuenta

“la diferencia que existe entre saber que al

menos uno de dos objetos tiene una

propiedad dada en base a la observación de

ambos, o saberlo en base a la observación de

solo uno”.

Si se considera que el Sr. Smith escogió al

azar al hijo con quien saldría a pasear, la

respuesta ½ puede obtenerse utilizando el

siguiente diagrama de árbol:

HH HM MH MM

14 1

414

14

H H H M M H M M21

21

21

21

21

21

21

21

Encontramos al Sr. Smith con un varón en cuatro casos, de los cuales dosprovienen de una composición HH de la familia

Es cierto que cuando no resulta claro el

experimento estadístico al que se refiere la


47

situación de un problema, este puede

prestarse a diferentes interpretaciones. Esta

es, entre otras razones, una de las

dificultades que acompañan la elaboración de

un problema de probabilidad, donde con

frecuencia no parece disponerse de la

libertad, presente en otras partes de las

matemáticas elementales, de parafrasear un

enunciado, o de modificar ligeramente una

situación, sin correr el riesgo de

transformarla en un problema muy distinto al

que originalmente quería proponerse. Pero

los comentarios de Falk conducen también a

otras consideraciones: en primer lugar, ¿cuál

es el significado preciso de una expresión

como “observar solo uno de dos objetos”?

Tal tipo de observación supone algún

mecanismo qe decide o escoge el resultado

que se observa, que puede o no identificarse

con una elección aleatoria. Este comentario

destruir el intento de objetivación de la

diferencia entre la pregunta de Feller y el

problema 4 y regresarnos a la pregunta

original: ¿En qué casos es legítimo suponer

que se llega a una determinada situación o

resultado a través de una elección aleatoria?

(por ejemplo, en el problema 1, discutido en

esta parte del material del apoyo para el

estudio de la materia, ¿sería válido suponer

que la urna de composición desconocida fue

llenada al azar, cualquier cosa que esto

quiera significar?)

Por otro lado, Falk señala que la información

no puede ser divorciada de sus fuentes, y

que un tal divorcio sólo puede encontrarse

en los libros de texto y no en las aplicaciones

de la probabilidad a la realidad, lo que puede

interpretarse como un argumento adicional a

favor de la admisibilidad de la respuesta que

considera que el Sr. Smith tomó al azar el

hijo con quien pasearía. Pero si en algunas

situaciones uno puede preguntarse sobre la

forma como se obtuvo determinada

información, existen otras preguntas que

igualmente pueden plantearse; por ejemplo,

¿la pregunta se refiere específicamente a las

costumbres del Sr. Smith? ¿o a las de

cualquier padre de dios hijos que sale a

pasear con uno de ellos? También podemos

preguntarnos qué uso se hará de la

información obtenida. Supongamos, para

insistir en el mismo ejemplo, que el Sr.

Smith nos ha hecho un favor que queremos

reconocer con un presente que puedan

utilizar sus dos hijos: Si se trata de dos

varones, podríamos regalarle un tablero de

baloncesto, pero una enciclopedia escolar

parece más conveniente si se trata de un

varón y una niña. En este caso, resulta más

adecuado considerar que la probabilidad de

dos varones es 31

y no ½, pues el primer

valor permite juzgar mejor el riesgo que

corremos si decidimos regalarle un tablero de

baloncesto.

Antes de continuar, agregaremos dos

comentarios: el primero es que hay indicios

de que un cálculo de probabilidades

BABAP ∪∩ )( presenta fuertes

dificultades para los alumnos, e situaciones

que no presentan las ambigüedades del

problema que estamos discutiendo. El

segundo comentario es de orden

matemático: entre todas las respuestas que

pueden obtenerse al interpretar de distintas

formas el problema 4 y otros similares, la

probabilidad mínima se obtiene

interpretándolo como la pregunta de Feller.


48

El punto en esta discusión es que las

aplicaciones de la probabilidad a las

situaciones del mundo real no se resuelven

solamente a través de la búsqueda de un

modelo probabilista apropiado, sino que

involucra así mismo, un tratamiento del

significado de las probabilidades que se

obtienen. La idea de este doble tratamiento

de las probabilidades es importante y no

debe perderse tratando de recuperar para la

probabilidad situaciones donde no está claro

el experimento estadístico subyacente. Mejor

sería reconocer que el análisis de ciertas

situaciones de incertidumbre hace intervenir

conceptos que rebasan el marco clásico de la

probabilidad y pertenecen a otras disciplinas,

la estadística por ejemplo.

Después de las distracción que significaron

los últimos comentarios, volvemos a la

interpretación que pueden darse a las

respuestas ½ en el problema 4 y otros

construidos en forma similar. Esta respuesta

aparece con frecuencia entre personas

inexpertas en probabilidad y, por lo pronto,

sería arriesgado tratar de asimilarlas a un

razonamiento como el discutido en párrafos

anteriores, o a cualquier razonamiento que

intente poner en juego un uso consciente de

la noción de independencia. Por el contrario,

para comprender las dificultades que

encierran las posibilidades para los alumnos,

parece más fructífero considerar que, como

en el caso del Problema 3, corresponde a una

organización inadecuada que reduce la

situación del problema a los posibles

resultados de un solo nacimiento.

3. DIFICULTADES EN LA

ORGANIZACIÓN DE LAS

SITUACIONES PROBABILISTAS

Las dificultades de los alumnos para acceder

a una organización adecuada de las

situaciones probabilistas son observables aún

en situaciones que no parecen encerrar

ninguna paradoja. Los problemas 5, 6 y 7

que discutiremos a continuación fueron

tratados durante el desarrollo de un curso de

Probabilidad, ofrecido a profesores de

secundaria que seguían una maestría en

educación matemática.

Problema 5. Una secretaria escribió tres

cartas para tres personas

diferentes, pero se distrajo al

momento de introducirlas en los

sobres y no supo cuál carta metió

dentro de cada sobre, ¿cuál es la

probabilidad de que todas las cartas

hayan quedado en el sobre

correcto?

Y, para fines de comparación con el anterior,

consideremos también este otro problema:

Problema 6. Los tres tomos de un

diccionario se acomodaron al azar

en un librero, ¿cuál es la

probabilidad de que hayan quedado

en el orden correcto?

Por lo general, los alumnos del curso no

tuvieron dificultades para resolver este

último problema. Utilizaron los dígitos 1, 2 y

3 para indicar cada tomo del diccionario y

enumerar las distintas formas de colocarlos

en el librero:

123, 132, 213, 231, 312 y 321

y llegar a la respuesta correcta: 61


49

La situación del Problema 5 puede obtenerse

considerando las distintas formas de

permutar tres elementos: Si designamos los

sobres A, B y C, y por a, b y c las cartas

correspondientes, tenemos en la siguiente

tabla la lista de todas las posibles formas de

introducir las cartas en los sobres:

A B C a b c a c b b a c b c A c a B c b A

Nuevamente, la respuesta correcta es 61

. Sin

embargo, los maestros alumnos no llegaron

a resolver este problema. Al principio

trataron de indicar el número de casos que

pueden presentarse, proporcionado

respuestas como 32 ó 33.cuando se les pidió

escribirlos explícitamente, no encontraron la

forma de organizar adecuadamente la lista

de los casos posibles. Así, utilizaban las

letras A, B y C para los sobres y a, b, y c

para las cartas, pero al enumerar los casos

escribían, por ejemplo, AbBaCc para indicar

“carta b en sobre A, carta a en sobre B y

carta c en sobre C, y en la misma lista,

también escribían BaAbCc, sin darse cuenta

de que se trataba del mismo caso anterior, lo

que finalmente les impidió completar una

buena lista y llegar a la respuesta correcta.

La dificultad de este problema reside en que

tienen que aparearse dos listas de valores

cambiantes; las letras que designan los

sobres, por un lado, y las que designan las

cartas, por el otro. Como los alumnos no

alcanzaban a fijar un orden de una de estas

listas y utilizarlo para enumerar los casos

posibles, no se dan cuenta que la situación

se reduce a las permutaciones de tres

elementos y tienen la impresión, según

pudimos observar, que la lista de los casos

posibles es más grande y compleja de lo que

en realidad es.

Lo ocurrido con el problema anterior llamó

nuestra atención, por lo que nos pareció

interesante explorar las dificultades de los

alumnos para enfrentar adecuadamente las

situaciones donde intervienen dos series de

valores cambiantes. Para ellos propusimos a

291 estudiantes de ingeniería, 187 que

todavía no habían llevado su curso de

probabilidad y 104 que ya lo habían tomado,

las preguntas que aparecen a en la siguiente

página (ver Escobedo, 1992). En cada

pregunta, y al lado de cada opción, se indica

el número de alumnos que la dio como

pregunta:

- A la izquierda, entre los

alumnos que todavía no

habían llevado el curso de

Probabilidad. - A la derecha, entre quienes ya

lo habían tomado.


50

I. Imagine que juega una serie de volados con otra persona, la otra persona lanza los volados y Usted adivina, ¿con cuál de las siguientes estrategias tiene más oportunidades de ganar?

87 – 39 A ( ) Apostar siempre por águilas 41 – 19 B ( ) Apostar alternadamente por águilas y soles 59 – 46 C ( ) Ambas estrategias dan las mismas oportunidades de ganar

II. Imagine otra vez que juega a los volados, ¿con cuál de las siguientes estrategias tiene más oportunidades de ganar?

86 – 40 A ( ) Apostar siempre por águilas 52 - 22 B ( ) Apostar alternadamente por águilas y soles 49 - 42 C ( ) Ambas estrategias dan las mismas oportunidades de ganar

III. Nuevamente imagine que juega a los volados, ¿con cuál de las siguientes estrategias tiene más oportunidades de ganar?

19 – 11 A ( ) Apostar siempre por lo mismo que salió en el volado anterior. Así, si en el volado anterior salió águila, en este volado apuesta a que saldrá águila y salió sol, apuesta a que saldrá sol

39 – 14 B ( ) Apostar siempre por lo mismo que salió en el volado anterior. Así,

si en el volado anterior salió águila, en este volado apuesta a que saldrá sol y salió sol, apuesta a que saldrá águila

129 - 79 C ( ) Ambas estrategias dan las mismas oportunidades de ganar

Aunque el sentido común indica que en un

juego de volados ninguna estrategia es

mejor que otra, en las preguntas I y II la

mayoría de los alumnos, sobre todo los

inexpertos en probabilidad, escogió una

opción distinta a la C (que indicaba que las

dos estrategias presentadas eran igualmente

buenas). Tampoco fueron mayoritariamente,

aunque si con frecuencia, atraídos por la

semejanza que existe entre la redacción de

las opciones marcadas B y lo que sería una

descripción, no necesariamente válida, de lo

que puede presentarse al realizar una serie

de volados. En ambas preguntas, las

respuestas más numerosas se acumulaban

en la opción A: “Apostar siempre por

águilas”, a pesar de que con mucha

frecuencia esta pregunta no coincide con el

resultado del volado. La razón de estas

preguntas podría explicarse se la siguiente

manera: El valor constante de la apuesta, en

el caso de la opción “Apostar

siempre por águilas”, permite reducir la

situación a la consideración de los resultados


51

de una sola serie de volados. Las opciones

marcadas B, por el contrario, llevan a pensar

en las coincidencias que pueden pensarse

entre dos series de valores combinatorios:

Los que corresponden a la apuesta y los

posibles resultados de la serie de volados. La

situación se vuelve entonces más compleja y

conduce a los alumnos a creer que estas

estrategias son peores, sólo porque piensan

equivocadamente que “sería más difícil que

coincidan”. Esta interpretación parece

confirmarse con las respuestas obtenidas

para la pregunta III, donde tanto la

estrategia A como la B conducen a la

consideración de dos series de valores

cambiantes y, por lo tanto, las respuestas se

acumulan masivamente en la opción C, quizá

porque ambas estrategias les parecen

entonces igualmente malas. Cabe aclarar que

la comparación de una estrategia como

“Apostar alternadamente por águilas y soles”

con los posibles resultados de una serie de

volados no les impedirá necesariamente la

conclusión de que esta estrategia es

igualmente buena que “Apostar siempre por

águilas”, pero puede dificultarla mucho, pues

entonces los alumnos deberán pensar la

situación no en términos de dos series, sino

como una sola serie de “éxitos – fracasos”

(p. ej. EFEEEFFE…) donde ambas

posibilidades tienen las mismas

oportunidades de ocurrir, pues tanto la

probabilidad de “atinarle” a un volado como

la de “no atinarle” valen ½.

La interpretación anterior debe completarse;

en las preguntas I y II las estrategias a

comparar nos involucran de manera

diferente:”Apostar siempre por águilas”

significa apostar por el resultado global de

una serie de volados, aunque estemos

seguros de perder aproximadamente la

mitad de las veces. La opción B en ambas

preguntas parece, por el contrario, llevarnos

a apostar por el resultado de cada volado,

algo que no solo aumente la incertidumbre y

complica la situación en la mitad que puede

percibirse como apostar por, o por intentar

adivinar, el resultado particular de una serie

de volados, sino que parece poco razonable

dada la diversidad de resultados posibles.

Es probable que ninguna de las

interpretaciones anteriores describa

exactamente el modo como los alumnos

llegaron a sus respuestas, por lo que sólo

conservaremos el hecho de que tienen

dificultades para enfrentar adecuadamente

las situaciones donde intervienen dos series

de valores cambiantes.

El problema que veremos a continuación se

refiere al llamado Modelo de ocupación, es

decir, a las distintas formas de distribuir r

objetos en n urnas o lugares, sin la

restricción de que objetos diferentes ocupen

urnas distintas. Para mostrar que hay en

general nr formas de hacerlos, se utiliza el

llamado Principio Fundamental del Conteo: Si

se tienen 1, 2, 3… hasta s lugares distintos y

cada uno puede llenarse de a2, a3…as formas

respectivamente, entonces hay

a1xa2xa3x…xas formas diferentes de llenar los

S lugares:

1 2 3 S a1 a2 a3 … as

hay a1xa2xa3x…xas formas de llenar los S lugares

Ahora, para ver cuántas formas pueden

distribuirse r objetos en n urnas, se asocia a

cada distribución posible de r-ada ordenada,

donde la i-ésima componente indica el lugar


52

donde quedó el i-ésimo objeto y puede

tomar los valores 1, 2, 3, …hasta n. Por

ejemplo, (3,5…,2) indica que el primer objeto

queda en tercera urna, el segundo e la

quinta, … y finalmente, el r-ésimo objeto en

la segunda urna. Entonces, como cada r-ada

ordenada representa r lugares hay n formas

de llenar cada lugar, aplicando el principio

fundamental del conteo tenemos que hay nr

distribuciones posibles de los objetos de las

urnas.

Parece muy sencillo, pero presenta una

dificultad: en el enunciado del problema los

objetos y las urnas no están en la misma

relación contenido-continente que en la

demostración de la fórmula; en el enunciado,

las urnas representan los n lugares que van

a ocupar los r objetos. En la demostración,

esta relación se invierte y cada r-ada

representa r lugares (que corresponden a los

objetos) que pueden ser llenados de n

formas diferentes cada uno

(correspondientes a las n urnas o lugares

que pueden ocupar cada objeto). Todo esto

parece indicar que para los alumnos del

curso realizar esta inversión no fue sencillo y

siempre tuvieron dificultades para reproducir

el argumento de la demostración al resolver

problemas como el siguiente y otros

similares.

Problema 7. Tres personas se distribuyen al

azar en un tren de cinco vagones, ¿cuál es la

probabilidad de que todos vayan en el mismo

vagón?

Dificultades como las anteriores no son

privativas de los alumnos, nosotros mismos

titubeamos en comprender la solución

propuesta para el siguiente problema la

primera vez que la vimos en un manual para

alumnos de preparatoria:

Problema 8. Las banderas de Francia,

Alemania, Italia y España van a

ser izadas en l alto de cuatro astas

alineadas, en un orden elegido al

azar. ¿Cuál será la probabilidad de

que la bandera alemana quede

entre la francesa y la italiana?

Solución. Dibujamos el diagrama de árbol:

14

14

2

13

12

1

3

3

12

1 4

4

13

3

12

1

4

4

13

21

1

4

13

14

12

2

1

4

1

4

1

1

1

1

F

A

I

E

De donde, si llamamos p a la probabilidad

buscada, tenemos:

61

24141

21

31

414 ==⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛= xxxxxP

La solución nos pareció poco natural

solamente porque al leer el enunciado del

problema pensamos en llegar a la respuesta

enumerada primero “las banderas que

pueden pensarse estar en cada asta”,

mientras que el árbol fue considerando “las

astas que pueden ocupar cada bandera”


53

(más adelante, cuando releímos el enunciado

tratando simultáneamente de imaginar cómo

construir el árbol, entonces dejó de

parecernos artificial).

4. RESPUESTAS A UN CUESTIONARIO

Las preguntas discutidas hasta ahora

contenían siempre elementos de dificultad

que parecen hacerlas inaccesibles a un

razonamiento espontáneo, o que no son

explícitamente discutidas en los cursos de

probabilidad. Podemos preguntarnos

entonces qué se observará si se plantean

preguntas más sencillas, donde, si es

posible, se hayan minimizado el costo del

tratamiento matemático y se refieran a

situaciones usuales en un curso de

probabilidad. Buscar, de alguna manera, un

grado 0 de complejidad en situaciones

susceptibles todavía de producir una

organización inadecuada entre alumnos

inexpertos, pero accesibles para aquellos con

conocimientos elementales de probabilidad.

Con este objetivo se propuso un cuestionario

de 27 preguntas a 104 alumnos de ingeniería

que habían seguido ya un curso de

probabilidad relativamente avanzado, que

incluía, en su parte final, el estudio d las

principales distribuciones: Binomial, Poisson,

Normal, Gamma, Chi-cuadrada, etcétera (ver

Escobedo, 1992). Para fines comparativos, el

mismo cuestionario se aplicó a 187

estudiantes d la misma institución que

todavía no había llevado el curso. Una

muestra de las preguntas aplicadas aparece

en la página siguiente. Nuevamente, para

cada pregunta (ver cuadro en la siguiente

página) se ha indicado el número de alumnos

que prefirió cada opción: A la izquierda, los

alumnos que todavía no habían llevado el

curso de probabilidad; a la derecha, los

alumnos que ya lo habían llevado.

No discutiremos las hipótesis a partir de las

cuales fueron diseñadas las preguntas, pues

resultan evidentes de las mismas. Como

puede verse, incluso los alumnos que habían

tomado el curso de probabilidad se

equivocan con mucha frecuencia,

masivamente en algunos casos, a pesar de

que, según los maestros del curso, casi todas

las preguntas de la muestra se refieren a

situaciones vistas en clase. Además, salvo

quizá por la Pregunta 1, no hay diferencias

significativas entre sus respuestas y las de

los alumnos que todavía no habían llevado el

curso. La situación es completamente

similar para las otras preguntas del

cuestionario.


54

1. Si lanzamos un par de dados y sumamos los puntos que aparecen en ambos dados, ¿qué es más probable: obtener una suma igual a dos puntos, obtener una suma igual a tres puntos o ambos resultados son igualmente probables? 2 – 2 A ( ) Obtener una suma igual a dos puntos 49 – 61 B ( ) Obtener una suma igual a tres puntos 136 – 41 C ( ) Ambos resultados son igualmente probable

2. ¿Qué es más probable; obtener un águila y un sol en dos volados, obtener dos águilas y dos soles en cuatro volados o ambos eventos son igualmente probables? 51 – 24 A ( ) Obtener una águila y un sol en dos volados 16 – 6 B ( ) Obtener dos águilas y dos soles en cuatro volados 119 – 74 C ( ) Ambos eventos son igualmente probables

3. Tenemos dos cajas, cada una con una figura circular y otra triangular. Si tomamos al azar una figura de cada caja, ¿qué es más probable: elegir dos círculos o elegir un círculo y un triángulo o los tres eventos anteriores son igualmente probables? 5 – 4 A ( ) Elegir dos círculos 2 – 0 B ( ) Elegir dos triángulos 34 – 18 C ( ) Elegir un círculo y un triángulo 146 – 86 D ( ) Los tres eventos anteriores son igualmente probables

11.1 Se tiene un grupo formado por 7 personas, entre los cuales hay cuatro hermanos y tres

personas sin ningún parentesco entre sí. Se forma un comité de dos personas elegidas al azar, sacando de una caja los nombres anotados en apellidos, ¿qué tiene mayor probabilidad de ocurrir?

139 – 77 A ( ) Elegir dos hermanos 25 – 18 B ( ) Elegir dos personas que no sean hermanos 23 – 9 C ( ) Ambos eventos son igualmente probables

11.2 Considere ahora el grupo formados por 10 personas 5 hermanos y 5 personas sin ningún

parentesco entre sí. Como antes, se forma un comité de dos personas elegidas al azar, ¿qué tiene mayor probabilidad de ocurrir?

6 – 1 A ( ) Elegir dos hermanos 28 – 15 B ( ) Elegir dos personas que no son hermanos 153 – 88 C ( ) Ambos eventos son igualmente probables

Como puede verse, al menos en esta

muestra de estudiantes y para las preguntas

planteadas en el cuestionario, no fue posible

encontrar el grado 0 de complejidad

buscado. Salvo por las consideraciones que

pudiera hacerse a propósito de las

organizaciones inadecuadas de una situación

que explicaría tal o cual respuesta, que ya

hemos discutido con amplitud en los párrafos

anteriores, este resultado debe, tomarse con

precaución. Parece, en efecto, que un


55

cuestionario con numerosas preguntas de

opción múltiple, que además solicitan una

predicción o una comparación de

probabilidades, no fue para los estudiantes la

mejor oportunidad de poner en juego lo

aprendido durante su curso de probabilidad.

Últimamente hemos obtenido, con

estudiantes de bachillerato, mejores

resultados en preguntas abiertas que

involucran un cálculo de probabilidades en la

situación de un doble sorteo (pero que no

contemplan todavía el cálculo de

probabilidades condicionales).

4. CONCLUSIONES

En los últimos años ha crecido fuertemente

entre los psicólogos e investigadores en

educación matemática el interés por el

razonamiento probabilista. Como resultado,

también ha crecido nuestro conocimiento

sobre las concepciones y creencias

espontáneas de probabilidad. Sin embargo,

todavía son escasos, y con frecuencia

inaccesibles, los estudios de corte didáctico,

pues la mayoría de las investigaciones

motivadas por la enseñanza tienen como

propósito explorar la forma de cómo la

instrucción modifica las concepciones

probabilistas de los alumnos.

El conocimiento de las ideas y concepciones

espontáneas de los alumnos es útil para el

educador matemático en la medida que, uno,

puede darse cuenta de la distancia que

separa estas ideas de los conceptos de

probabilidad que tratamos de transmitirles

en los cursos y, dos, le ayuda a preparar su

curso e imaginar actividades que animen la

discusión en clase y permitan la interacción

entre los tratamientos matemáticos y las

concepciones, con frecuencia equivocadas,

de sus pupilos, puede pensase, en efecto,

que el hecho observable de que muchos

alumnos pasan por un curso de probabilidad

sin modificar sensiblemente algunas de sus

ideas inexactas se debe, al menos en parte,

a que nuestros cursos les ofrecen pocas

oportunidades de reflexionar sobre sus

creencias y contrastarlas con los modelos

adecuados de probabilidad.

Pero desde el punto de vista didáctico, la

sola exploración de las concepciones

probabilistas espontáneas de los alumnos,

sin detenerse a observar o reflexionar sobre

las dificultades que acompañan el acceso a

los tratamientos matemáticos de las

probabilidades, presenta limitaciones que

vale la pena señalar, aunque solo sea

parcialmente. En primer lugar, privilegia

tareas y formas de preguntar que, si bien

puede servir para aislar las reacciones de los

alumnos y mostrar la existencia de ciertos

comportamientos, dejan fuera del campo de

observación aspectos importantes de la

enseñanza de la probabilidad. Así, en un

comentario sobre las situaciones de previsión

y de decisión construidas a partir del

esquema de urna, pero que puede

extenderse a otras situaciones y problemas

utilizados en los estudios sobre razonamiento

probabilista. Pluvinage y Zaky (1991)

señalan que, con frecuencia de la

observación se elimina la modelación

probabilista, que es la etapa fundamental y

específica de las probabilidades.

Mencionaremos también que, gran parte de

esta investigación se realiza desde una

perspectiva que tiende a identificar el

razonamiento combinatorio con las técnicas

de conteo y considera que aunque estas


56

técnicas son útiles en el cálculo de

probabilidades, los conceptos de probabilidad

tienen poca relación con la combinatoria (ver

p. ej. Shaughnessy, 1992; 481). Aunque

habría que analizar hasta qué punto esta

posición puede defenderse en el caso de los

estudios de corte psicológico, cuyo interés

principal parece centrarse en la descripción

del comportamiento espontáneo de personas

inexpertas en situaciones que no favorecen

los tratamientos matemáticos, resulta

discutible desde el punto de vista de la

investigación en la enseñanza de la

probabilidad. Considérese, a modo de

ejemplo, las respuestas de los alumnos a

algunas de las preguntas presentadas en la

sección anterior, en particular a las

Preguntas 11.1 y 11.2. Estos problemas

fueron diseñados bajo la hipótesis de que los

alumnos tenderían a ignorar la naturaleza

combinatoria de la tarea y dicotomizar la

situación, sin tomar en cuenta las relaciones

internas entre los datos. Es decir, que

transformarían el Problema 11.2, por

ejemplo, en una situación similar a la de la

pregunta “Se tiene una urna con 5 bolas

blancas y 5 negras y se escogen al azar dos

de ellas, ¿qué es más probable: obtener dos

blancas u obtener dos negras?”.

Por otro lado, la perspectiva descrita en los

párrafos anteriores no contempla

suficientemente el estudio sistemático de la

complejidad de las situaciones aleatorias, así

como de las dificultades para acceder a una

organización adecuada de las mismas.

Dificultades que están presentes en las

respuestas de los alumnos, aun en

problemas que no han sido elaborados para

producir “paradojas”, hacer intervenir sus

concepciones inexactas o poner en juego

conceptos delicados. Nosotros esperamos

que, sin abandonar el estudio de las ideas y

concepciones espontáneas de los alumnos, la

presencia daca vez mayor de la probabilidad

en los niveles elementales de la enseñanza

se traduzca en estudios didácticos que

involucren situaciones y tareas

eventualmente menos complejas para los

alumnos, y quizá menos atractivas para el

investigador, pero más cercanas a la

exploración de las dificultades que

acompañan la elección y gestión adecuada

de los modelos d probabilidad.

LAS FRACCIONES Y LA DIVISION EN LA ESCUELA PRIMARIA: ANALISIS DIDACTICO DE UN VINCULO_______________________________________________________________________

David Block, Departamento de investigaciones Educativas CINVESTAV, México y Diana Solares; Coordinación

Sectorial de Educación Primaria en el D. F. Educación Matemática Volumen 12 No. 2;

Agosto de 2001, Pp. 5 – 30

Hace ya más de dos década se empezó a

prestar atención a la diversidad de

significados que la noción de fracción asume

cuando se le considera en el contexto de los

problemas específicos que permite resolver

(Kieren, 1976; Kieren, 1988; Ohlsson, 1988;

Behr, ete al, 1992). Si bien desde entonces

se han utilizado distintos acercamientos a

esta polisemia, tiende a haber consenso en

cuanto a la pertinencia de distinguir cinco

significados (también llamados

“subconjuntos”, “interpretaciones” o

“concepciones” y dependiendo de los

acercamientos y de los autores), a saber:

parte-todo, cociente, razón, operador y

medida. También hay cierto nivel de

acercamiento en cuanto a la necesidad de

favorecer progresivamente la apropiación por

los alumnos de estos significados específicos,

en aras de lograr una comprensión cabal de

la noción de número racional.

Esta diferenciación de significados ha

permitido comprender mejor la complejidad

que subyace a este objeto de enseñanza, las

fracciones y, a la vez, ha motivado

numerosos preguntas más que están en

curso de ser estudiadas, por ejemplo, ¿cómo

se articulan estos significados en un proceso

de enseñanza? ¿Qué situaciones pueden

favorece su apropiación y vinculación por

parte de los alumnos?

El trabajo que presentamos a continuación

aborda algunos aspectos puntuales de esta

problemática.

1) MODALIDADES DE LA FRACCIÓN

COMO COCIENTE DE ENTEROS

En esta primera parte intentaremos mostrar

que en el nivel de los contextos, con

números expresan cantidades o medidas, el

significado de las fracciones como cocientes

puede asumir modalidades con niveles de

complejidad diversos, así como vínculos

específicos con los otros significados de las

fracciones y con otras nociones. Distinguir

estas modalidades, además de permitirnos

precisar la que asumimos en el estudio

experimental, puede ser útil para ayudar a

clasificar algunos aspectos de los

significados de las fracciones.

DOS DEFINICIONES DE LAS

FRACCIONES: COMO “QUEBRADOS” Y

COMO “COCIENTES”.

En la escuela primaria, cuando se pide a los

niños que iluminen 43

de un rectángulo, se

espera que dividan el rectángulo en cuatro

partes iguales e iluminen tres de éstas. Las

fracciones se construyen como sumas de

fracciones unitarias, 43

tiene el sentido de

partes de unidad: 41

+ 41

+ 41

. Este

significado es cercano alas primeras

construcciones conocidas en la historia de

las fracciones, las egipcias y también las

LAS FRACCIONES Y LA DIVISIÓN EN LA ESCUELA PRIMARIA: ANÁLISIS DIDÁCTICO DE UN VÍNCULO


58

babilónicas. En el sentido las difundido en la

vida cotidiana y también es el que se enseña

explícitamente en la primaria. Llamaremos a

estas fracciones “quebrados”.

Por otra parte, en la escuela secundaria, las

fracciones significan también cocientes:, una

escritura como 43

remite por igual a la idea

de parte de unidad: 41

+ 41

+ 41

, que a la

idea de cociente: 43

es el número que

multiplicado por 4 da 3, es 3:4.

Tenemos entonces dos significados de las

fracciones, cada una con una fuerte

presencia en la enseñanza escolar en

momentos distintos.

43

como partes de unidad: una unidad

partida en cuatro partes iguales, de las que

se toman tres.

L

0 34

43

como cociente: la medida que

multiplicada por 4 es igual a tres unidades:

L

134

2 3

LA CONSTRUCCIÓN DE LAS FRACCIONES

COMO COCIENTES

En la primaria, las fracciones no se

introducen con el significado de

subrepticiamente con fines prácticos. Por

ejemplo, para expresar una fracción como

53

en su notación decimal (0.6) se suele

enseñar a hacer la división 3 ÷ 5.

La división funge únicamente como el medio

que permite pasar de una expresión a otra

del mismo número, medio que queda por el

momento sin justificación y esto porque la

justificación (el hecho de que las fracciones

también significan cocientes) es demasiado

compleja como para introducirse en ese

momento. Otro ejemplo lo constituye la

forma de de denotar un cociente en el

contexto de la escritura de fórmulas en

geometría, por ejemplo: A = 2

hxb. En

este caso la idea de fracción (quebrado)

está totalmente ausente, la notación

fraccionaria se utiliza para indicar una

división.

Más allá de estas referencias fugaces al

cociente, cabe preguntarse si es posible

introducir las fracciones definidas como

cocientes en la escuela primaria y, en caso

de que lo fuera, si es conveniente

introducirlas de esta manera, si presenta

ventajas sobre el camino tradicional en el

que las fracciones se introducen como

quebrados, a partir del fraccionamiento de

unidades. A continuación haremos referencia

a dos estudios experimentales en los que

dicho camino fue explorado. Éstos permiten

entrever que dicha construcción es

efectivamente posible en condiciones de


59

trabajo muy particulares, dejan ver algunas

de las ventajas de esta opción, pero también

muestran sus limitaciones.

Brousseau (1989) diseñó una situación que

propicia la medición por conmensuración: los

alumnos tienen que comunicar la medida de

espesor de una hoja de papel. Para que otros

la clasifiquen entre varios tipos de hoja. La

imposibilidad de medir el espesor de una

hoja los lleva a la idea de proporcionar el

espesor de un paquete de hojas, por ejemplo

“8 mm, 100 hojas”. Estos pares, en realidad

razones, permiten identificar hojas de un

espesor determinado así como anticipar, a

partir de dos pares dados, qué hojas tienen

mayor espesor, o si tienen el mismo, por

ejemplo, las hojas corresponden a (8mm 100

hojas) tienen el mismo espesor que las que

corresponden a (15 mm, 100 hojas) y el

mismo espesor que las que corresponden a

(4 mm, 50 hojas).

En la medida que los alumnos manipulan

estos pares para expresar y comparar

medidas así como para sumar medidas, se

espera que les empiecen a dar, poco a poco,

el estatuto de números, esto implica pasar

de la relación “100 hojas miden 8 mm” a la

relación “una hoja mide 100

8 de mm, en

donde 100

8 de mm significa “el espesor de

una hoja tal que 100 hojas miden 8 mm”, es

decir, el cociente de 8 mm ÷ 100

Block (1987) y Balbuena (1989) realizaron

una secuencia que indica con problemas de

reparto (tiras que representan chocolates

entre diferentes cantidades de niños) y

continua con una situación en la que los

alumnos utilizan la relación de

conmensuración entre “chocolates enteros”

y “porciones de chocolate” para comunicar

el tamaño de las proporciones. Llegan

establecer del tipo (3 u, 5 l), cuyo

significado es “5 veces la tira l es igual a 3

veces la unidad”, como un medio para

comunicar la medida de l, posteriormente,

al igual que en el trabajo de Brousseau

(1989), se propician diversas anticipaciones

a partir de dichas expresiones de la medida.

L L L L LU U U

Una fracción 3/ 5, por ejemplo, en este contexto expresa la longitud deuna tira que iterada 5 veces es igual a 3 unida des, es deci r, expresa el

cociente 3 unidade s entre 5

En ambos trabajos, la noción de fracción se

construye directamente con el significado de

una razón primero, de un cociente después

sin asar por la noción de quebrado. No

obstante, si bien la construcción de la noción

de fracción que se logra mediante la fracción

– cociente es más amplia que la que se

construye con la de la fracción – quebrado,

aquella no queda exenta de dificultades de

distinto orden. Rajohn (1982) demuestra en

un estudio sobre estos dos significados de la

fracción (cociente quebrado) que éstos

constituyen dos concepciones del número

racional que se obstaculizan entre sí, en el

sentido de que la adquisición de una puede

dificulta a la otra. La cuestión de cómo

propiciar, en el nivel de la primaria, la

construcción de una de estas concepciones a

partir de la otra, constituye, hasta donde

sabemos, un problema didáctico aún no

resuelto.

Por otra parte, desde el punto de vista de la

enseñanza primaria actual, introducir las

fracciones como cocientes antes de

introducirlas como quebrados representaría

un cambio demasiado radical que


60

difícilmente podría ser conducido de manera

adecuada, por un lado, porque rompería con

una práctica muy arraigada en la enseñanza

(la introducción de fracciones como

quebrados), y por otro, porque situaciones

didácticas como las que anteriormente

presentamos son relativamente complejas.

DOS FORMAS DE “SER COCIENTES”

PARA LAS FRACCIONES

No obstante, las fracciones pueden jugar el

papel de cocientes d una división sin haber

sido definidas, o construidas con el

significado de un cociente.

Consideremos las siguientes divisiones 6 ÷ 2

= 3 y 3 ÷ 4 = 43

. Tanto el número natural 3

como la fracción 43

pueden ser, en

determinadas circunstancias, cocientes de

una división, como pueden ser también

productos de una multiplicación o sumas de

una adición, la diferencia esencial entre los

cocientes 3 y 43

radica en que el “3”, no es

un cociente por naturaleza, o por definición,

lo es solo circunstancialmente, mientras que

la fracción 43

puede ser definida

precisamente por el cociente de 3 entre 4, es

decir, como el número que multiplicado por 4

da 3.

Así, el vínculo conceptual entre las nociones

de fracción y de división de números

naturales puede enfocarse de dos maneras:

por un lado, la fracción puede definirse de

entrada como un cociente de dos naturales,

lo cual supone que construcción matemática

como la que mostramos anteriormente, muy

distinta a la que prevalece en la enseñanza

básica, la llamaremos “cociente por

definición”. Por otro lado, si la fracción no se

define de de entrada como un cociente, si es

un “quebrado” en el sentido que aquí le

hemos dado, puede de todas formas resultar

ser el cociente de una división de naturales,

al igual que puede serlo cualquier número,

la llamaremos, “cociente calculado”. En este

caso, la división no aparece como una

característica esencial, definitoria de la

fracción, sino como una fuente de

situaciones que implican la utilización de

quebrados.

Esto lleva a distinguir dos sentidos del signo

“=” en una igualdad como 3 ÷ 4 = 43

”;la

igualdad puede expresarse que la fracción

43

es lo que resulta de dividir tres entre

cuatro (cociente calculado), o bien, que la

escritura 3 ÷ 4 y la escritura 43

representan

al mismo número (cociente por definición).

El carácter de cociente calculado se hace

completamente explícito cuando el cociente

de la división se calcula mediante el

algoritmo de la división y se expresa con un

decimal, por ejemplo, 3 ÷ 4 = 0.75. Por lo

general lo que se expresa con esta igualdad

es el hecho de que 0.75 resulta de dividir 3

entre 4 y no porque 0.75 y 3 ÷ 4

representen al mismo número.

Vemos en una situación ya clásica, el

reparto de pasteles, la forma en que la


61

fracción quebrado, juega el papel de cociente

calculado.

EL QUEBRADO, COCIENTE CALCULADO

EN EL “REPARTO DE PASTELES”

Consideremos el siguiente problema de

división: 4 niños se repartieron 3 pasteles en

partes iguales, se quiere saber cuánto toca a

cada uno. Es perfectamente posible

encontrar el cociente solicitado (43

de pastel)

a partir de la interpretación de la fracción

como quebrado sin conocer la definición de

las fracciones como cocientes. De hecho esto

es lo que suelen hacer los niños cuando se

les plantea el problema:

12

14+

O bien:

14

14+ 1

4+

la fracción que resulta de la división sigue

siendo concebida como quebrado, como

suma de fracciones unitarias. El hecho de

que esta fracción tenga como numerador al

al dividendo de la división y como

denominador al divisor de algo, desde la

perspectiva de los niños que resuelven,

completamente casual que puede incluso

pasar inadvertido4.

Por ello, hasta este punto, el interés de la

situación de reparto radica en que propicia

una utilización de fracciones quebrado que

presenta ciertas propiedades didácticas: los

problemas ponen en juego varias unidades y

no una solo, permite que el resultado

fraccionario sea mayor o menor que la

unidad, permiten expresar el resultado con

escrituras aditivas diferentes, según se haya

hecho la partición y estudiar su

equivalencia, por ejemplo, 21

+ 41

= 41

+

41

+ 41

(Balbuena, H. et al., 1984), (Block,

1987), (Dávila, 1992)5

Por otra parte, aunque en estos problemas

nada obliga a introducir la noción de

fracción, tal y como lo hemos definido antes,

es posible ir un poco más lejos y plantear

como objetivo que los alumnos, además de

contrastar que la división a unidades entre b

arroja como cociente el quebrado ba

de

unidad, comprendan y anticipen la

4 De León y Feunlabrada (1996) plantearon a niños de distintos grados de la escuela primaria la situación de reparto de tres barras de chocolate entre 4 niños. observan que muy pocos niños, en

sexto grado, anticipan que el resultado es 4

3 de

barra. La mayoría se da a la tarea de realizar los repartos 5 Dávila (1992) entre otros investigadores, muestra que los repartos de pasteles implican, a cierta edad v dificultades anteriores al uso de fracciones, desde lograr hacer particiones equitativas y exhaustivas, hasta establecer equivalencias como las siguientes: una mitad obtenida partiendo un pastel rectangular en dirección vertical “tiene lo mismo” que una mitad obtenida partiendo el pastel en forma horizontal, o bien: una mitad de pastel y dos cuartos de pastel son partes iguales.


62

necesidad de dicho resultado. El lograr esta

anticipación, si bien no significaría que en

ese mismo momento los alumnos se

apropian del significado de las fracciones

como cocientes, si permitiría tender un

puente hacia dicha concepción.

Este objetivo ha sido asumido en mayor o

menor grado en los textos para la enseñanza

de las matemáticas dirigidos a primaria, por

lo menos desde mediados del siglo XX. A

continuación revisaremos res ejemplos

consecutivos.

2) PRESENCIA DE LA PROBLEMÁTICA

EN LA ENSEÑANZA

Revisamos algunos textos elaborados en

México a los largo de la segunda mitad del

siglo XX. En todos, la equivalencia entre la

fracción y el cociente de dos enteros ha sido

un problema de enseñanza más o menos

explícito: se trata siempre de mostrar que el

quebrado ba

, ya conocido, puede ser el

cociente de una división a ÷ b.

DOS TEXTOS DE LOS AÑOS 50

Los extractos que a continuación

presentamos, pertenecen a dos textos del

mismo autor, el Profr. Santiago Hernández

Ruiz, quien en los años 50’ se preocupó por

ofrecer información y orientación sobre la

enseñanza de la aritmética a maestros en

servicio. Varios de sus textos se encuentran

solo en la Biblioteca de la Escuela Nacional

de Maestros, son también en las bibliotecas

particulares de maestros y maestras. En su

libro “Aritmética y Nociones de la Geometría.

Tercer Ciclo (Hernández, 1954; 195), el

autor presenta las siguientes definiciones:

FRACCIÓN Y COCIENTE, TPERMINOS EQUIVLAENTES

Las expresiones 8 ÷ 5 y 58

son equivalentes. Una división puede indicarse en forma de fracción y a su vez, una fracción es un cociente indicado. Es frecuentísimo el uso alternativo de una y otra forma.

COCIENTE COMPLETO DE UNA DIVISIÓN INEXACTA

El cociente completo de una división inexacta es un número mixto que tiene por parte entera el cociente entero de la división y por parte fraccionaria un quebrado que tiene por numerador el residuo y por denominador el divisor, el cociente completo de

485 ÷ 7 = 7269 .

También puede escribirse 485 ÷ 7 =

7485

En esta breve presentación, el autor justifica

la fracción como cociente en el uso de

ciertos procedimientos o algoritmos, pero no

hay nada en la exposición del autor que de

cuenta de la forma en que pueden

vincularse.


63

En una obra anterior (Hernández, 1950;

216), en la parte titulada “El número

fraccionario como conjunto de unidades

fraccionarias y como consecuencia de la

división inexacta. Identidad original de

ambos conceptos”, el autor afirma que “una

vez que el alumnos a adquirido el concepto

de número fraccionario, estará listo para

usar la fracción en divisiones inexactas”.

Plantea la siguiente situación:

Si se repartieran ahora 8 tortas entre tres chicos (…) ¿Qué parte le toca, pues, de las 8 tortas?

Muy sencillo 38

. (…)

Podremos dar por lo pronto las dos tortas a cada uno y estudiar el modo de repartir las otras dos: pero entonces se trata de dividir dos tortas entre tres partes. Si una torta se puede dividir, como sabemos, entre tres niños,

tocando a cada uno 31

,

dos tortas también se podrán dividir, y la parte será justamente

el doble; 32

Tendremos pues: 8 ÷ 3 =

232

.

En este punto los caminos que van a Roma son diferentes, y todos hacederos. Solo uno excluimos inicialmente por su significación regresiva: repartir una torta entre tres niños, luego otro, luego

otra… y contar al fin 31

+

31

+ 31

+ 31

+ 31

+ 31

+ 31

+

31

= 38

(Hernández, 1950;

216)

El primer procedimiento consiste en repartir

primero unidades “completas”: 8 tortas

entre tres niños, toca a dos tortas y sobran

dos. El razonamiento que sigue es

interesante: si se reparte una torta entre

tres, cada uno recibe un tercio; si se

reparten dos, que es el doble de uno, pues

entonces también recibe el doble, dos

tercios. Este procedimiento consiste en

establecer una relación proporcional entre la

cantidad de dos tortas a repartir y la porción

de torta que toca a cada niño, con el

número de niños existente. Puede

esquematizarse como sigue:

a unidades entre b = a veces b1

de unidad

= ba

de unidad

Llamaremos a este procedimiento “La

conservación de las razones internas” una

pieza clave del procedimiento consiste en

pasar por una división cuyo dividendo es la

unidad (una torta entre tres niños). En este

caso, no hay ninguna dificultad en

establecer que el cociente de la división (1 ÷

3) es la fracción 31

.

El segundo procedimiento sugiere repartir

cada torta por separado de donde a cada

niño tocan 8 veces la torta. Este

procedimiento se traduce también en la

relación que hemos descrito arriba a


64

unidades entre b = a veces (1 unidad entre

b). la diferencia es que aquel, el factor “a

veces” expresa una razón que se conserva

en una relación proporcional, mientras que

en este, el factor “a veces” tiene un referente

más concreto, proviene de un conteo de las

veces que se reparte una torta. Claramente,

este último, es más fácil de comprender. Lo

llamaremos “la partición de cada unidad”

Finalmente, al plantear la “operación en

abstracto” Hernández propone obtener el

total de tercios contenidos en 8 enteros y

después dividirlos entre 3. Un procedimiento

como éste puede provenir de la búsqueda de

una partición tal que el número de partes

que se obtiene pueda dividirse entre 3, sin

residuo. Llamaremos a este procedimiento

“utilización del divisor como factor de

partición”.

Aunque es poco probable que con la sola

lectura que propone Hernández los alumnos

d primaria pudieran comprender el por qué

de la relación en juego (porque la fracción

que resulta de 8 ÷ 3 es 38

), el texto sugiere

caminos que parecen viables para lograr el

objetivo con un desarrollo didáctico más

amplio. Desde este punto de vista, en este

libro de mediados de siglo encontramos un

relativamente buen análisis del problema,

análisis que como veremos parece perderse

en textos de las décadas posteriores.

LA ÉPOCA DE LAS MATEMÁTICAS

MODERNAS. UNA RELACIÓN DE LOS

AÑOS 70’

El ejemplo que a continuación vamos a

presentar fue tomado del libro de

matemáticas para el alumno de 5° grado de

educación primaria de la década de los 70

(SEP, 1972), el cual estuvo vigente hasta

1992. el tema se denomina Producto de un

entero por una fracción y corresponde a

lección 55. en esta lección encontramos un

ejemplo de las dificultades que se

enfrentaron en esta década al intentar

“ilustrar” o “concienciar” conceptos

matemáticos.

Estos son los primeros ejercicios que

presenta la lección:

12

12 + = 2 x = 11

212

12

+ 12

+ 12+ 1

2+ 1

2= 5 x 5

2=

Dibujo 1

Expresa en forma de multipl icación y efectúa la operación

Notemos que hasta aquí, en las

multiplicaciones presentadas, el

multiplicador (número de veces) siempre ha

sido un número entero. La fracción juega el

papel de multiplicando (medida). En el

siguiente ejercicio se pretende que los

alumnos entiendan el significado de

multiplicar un número entero (medida) por

una fracción (multiplicador.

2 x = =

es la __________ de 2

12 3 x = =

es la __________ de 3

12

Dibujo 2

Expresa en forma de multiplicación y efectúala operación


65

El primer ejercicio supone la siguiente

respuesta:

“2 x 21

= 122

= (entonces) 1 es la mitad de

2”, y para el segundo ejercicio:

“3 x 21

= 23

22

= (entonces) 23

es la mitad

de 3”

Así, la forma de introducir a los niños es la

lección es primero a través de una suma

iterada de una fracción de naranja (21

+ 21

+ 21

) en la que la fracción expresa una

medida, se sustituye esta suma iterada por

una multiplicación (21

+ 21

+ 21

= 3 veces

21

= 3 x 21

) en la que el número entero (3)

es un escalar (un número de veces) que

multiplica a la fracción medida: 3 veces 21

naranja. Pero en la conclusión que se

“infiere” en el segundo renglón debajo de la

ilustración, ese 3 pasa a convertirse en

expresión de una medida (3 naranjas) y el

21

pasa ahora a ser el escalar: 23

es la

mitad de 3:

Es decir, se pasa de

3 (veces) (naranjas) = (de naranja)12

32

Escalar Medida Medida

a:

3 (veces) (naranjas) = (de naranja)12

32

Escalar Medida Medida

x

¿Qué noción es la que se intenta poner aquí

en juego? Precisamente la de fracción como

cociente de dos números enteros. Al

plantear, por ejemplo, que “23

es a mitad

de 3”, se está afirmando que 23

es el

cociente de 3 ÷ 2. Sin embargo, no se parte

de dicho cociente, en ningún memento

hubo, al inicio, 3 naranjas que fueran a ser

repartidas entre 2 (lo que hay es 3 veces 21

de naranja). Se llega a la afirmación 3 ÷ 2 =

23

a través de un malabarismo numérico

que pasa por encima del contexto (se

registra un intercambio de los papeles que

juegan la fracción y el entero). Los alumnos

no pueden deducir que “multiplicar cualquier

número entero por un medio equivale a

obtener la mitad de ese número” porque no

hay una justificación que les permita

vincular, en el contexto, 23

con la división 3

÷ 2.

LOS LIBROS DE LOS 90

La reforma a los planes de matemáticas de

los años noventa se caracteriza, entre otras

cosas, por poner un mayor énfasis en la

diversidad de significados de las nociones


66

matemáticas y en el papel de los problemas

y de los conocimientos no formales en el

aprendizaje. En lo que corresponde a las

fracciones, puede observarse una tendencia

a posponer la introducción del cálculo formal,

en aras de proporcionar más experiencias a

los estudiantes: la introducción de fracciones

se aplaza de primer grado a tercero, la

multiplicación y la división con fracciones se

aplazan a la secundaria (séptimo grado).

En la revisión de los nuevos libros de texto

de 4º a 6º grados, centramos nuestra

atención en las situaciones en las que se

plantea la división a unidades ÷ b, cuando a

no es múltiplo de b. encontramos que ahora,

sobre todo en cuarto grado, se presentan

varias situaciones de reparto (de galletas,

papeles u hojas) en las que el resultado es

una fracción: se pide a los alumnos que

encuentren la fracción de unidad que resulta

de un reparto, que propongan formas

distintas de realizar los repartos y también

que comparen nuevos repartos (en qué

reparto tocan más, en cuál tocará menos),

por ejemplo, “En el equipo de Mario hay

cuatro niños y se repartieron 3 galletas. En el

equipo de Laura hay 5 niñas y también se

repartieron 3 galletas; a quién le tocó más

galleta, a Mario o a Laura” (SEP,

1994a:124). Estas situaciones no se

complejizan de un grado a otro, y en ninguno

de los libros se pretende que los niños

lleguen a establecer la relación “a unidades

entre b = ba

de unidades”, lo cual puede

deberse a la cautela asumida en estos libros

de texto con respecto a la formalización6

el …6 Llama la atención, sin embargo, en los problemas aparece explícitamente el conjunto de la fracción como cociente. Por ejemplo, en el

No obstante, en el libro de 5º grado

encontramos una situación distinta del

reparto en la que se utiliza, más no se

justifica, el vínculo entre la fracción y la

división (SEP, 1994a: 132 – 133).

Nuevamente a colación del algoritmo de la

división de naturales con cociente decimal,

se presenta una situación en la que es

necesario dividir el residuo:

7 2 15 1

Se da entonces la siguiente explicación: “Si

se reparte por igual el residuo 1 entre el

divisor 2, el resultado es un medio, esto es,

con números decimales 5,021

= ”.

Se ofrece la solución:

7.5 2 15.0 1.0 0

Inmediatamente se pide a los alumnos que

resuelvan las siguientes divisiones:

2 7 5 635 6 784

En la primera y segunda división, el residuo

es la unidad, en la tercera división el residuo

es cuatro. Esto marca una diferencia

importante: si se desea que el resultado se

exprese con fracciones; el residuo 1 facilita

la expresión, puesto que en este caso

particular las interpretaciones de la fracción

como quebrado y como cociente coinciden:

1 ÷2 = 21

; 1 ÷ 3 = 31

; 1 ÷ 5 = 51

, etcétera.

Pero cuando el residuo es 4 se presenta una

programa de matemáticas para 5º grado se señala como contenido


67

división más compleja; 4 ÷ 6 = 64

. No hay

ningún trabajo didáctico que permita

comprender por qué 4 ÷ 6 = 64

. La

ilustración de una regla general mediante la

utilización del caso particular en el que las

dificultades no se manifiestan, constituye

una de las maneras más frecuentes en la

enseñanza de las matemáticas de eludir las

dificultades.

COMENTARIO

Resulta sorprendente encontrar en el texto

más viejo, el de los años 50, las

explicaciones más variadas y claras de la

equivalencia que estudiamos, la fracción y el

cociente. El texto ofrece por lo menos tres

formas de justificar dicho vínculo sin

abandonar el contexto en el cual los

quebrados fueron definidos y cobran sentido.

Es cierto que, hoy en día, a u texto se le

exige mucho más que una “buena

explicación”, se espera de éste la sugerencia

situaciones que permitan al alumno

apropiarse de la noción, o de la relación en

juego, y esto representa una tarea más

compleja.

En el texto de los 70, el vínculo en cuestión

aparece en el tema de la multiplicación de

una medida fraccionaria por un operador

entero, multiplicación que subrepticiamente

se convierte en la de una medida entera por

un operador fraccionario. Este cambio implica

una ruptura con el contexto lo cual dificulta

seguir su hilo conductor. Finalmente, en los

libros de los años 90, el tema deja se ser

tratado explícitamente y en su lugar se

ofrecen experiencias de reparto.

El estudio experimental que presentamos a

continuación toma como punto de partida

esta última propuesta, intenta enriquecerla

al ampliar la gama de problemas

considerados mediante un cambio en el tipo

de magnitud considerada, e intenta a la vez

explorar, con los recursos didácticos con que

contamos hoy en día, la factibilidad de los

razonamientos descritos en el texto de los

año 50 para inferir explícitamente que el

cociente de la división a ÷ b es la fracción

ba

.

3) ESTUDIO EXPERIMENTAL

LOS QUEBRADOS EN EL PAPEL DE

“COCIENTES CALCULADOS”. EL

EFECTO DE UNA VARIABLE

DIDÁCTICA

Nos situaremos a continuación en la familia

de problemas que dan lugar a utilizar los

quebrados en tanto cocientes calculados. Se

trata de problemas en los que una cantidad

concreta (a unidades) es objeto de una

partición (entre b) cuyo cociente es otra

cantidad, como una fracción de unidad (ba

de unidad).

A esta familia de problemas pertenecen los

clásicos repartos de pasteles (o de barras de

chocolate, de tortas, o cualquier otra

colección de objetos fraccionables). En

ciertos repartos, aquello que es objeto de

partición es una colección de objetos y por

lo tanto es una magnitud discreta, aunque

los objetos, considerados individualmente

puedan ser fraccionados, y por lo tanto

constituyan e sí mismos una magnitud


68

continua (superficie, longitud, peso). Esto es

lo que permite realizar el reparto repartiendo

cada objeto por separado y con ello concluir

que a objetos entre b es igual a a veces un

objeto entre b (procedimiento “partición

unidad por unidad”).

En otro estudio (Block, 2001) hemos

observado ya la posibilidad de propiciar en

estudiantes de quinto grado, un

razonamiento como éste al plantear repartos

en los que el número de pasteles varía

mientras que el de niños es constante:

Si se reparte un pastel entre 7 niños,

a cada uno le toca 71

de pastel.

Si se reparte otro pastel más, les

toca otro 71

de pastel, es decir, 72

.

En general, si se reparte n pasteles,

como de cada pastel les toca 71

, tendrán 7n

…

El hecho de que el reparto a pasteles entre b

resulte la fracción ba

de pastel deja de ser

entonces casual para volverse necesario.

LA VARIABLE “MAGNITUD DISCRETA O

CONTINUA”

Nos interesamos ahora por el efecto de la

variable “tipo de magnitud”: ¿qué sucede

si la magnitud en juego es continua, si las

unidades no existen físicamente separadas,

por ejemplo el “reparto” de una longitud de 3

metros? Podría pensarse que la magnitud

longitud al expresarse mediante una medida

como “tres metros”, se ha “discretizado” y

que los metros pueden ser considerados

como los pasteles. Sin embargo, el contexto

suele tener un peso significativo, sobre todo

en las primeras experiencias. Si el problema

consiste, por ejemplo, en cortar un listón de

tres metros para obtener cuatro listones del

mismo tamaño, evidentemente no se va a

cortar cada metro de listón en cuatro para

después juntar tres pedazos de un cuarto.

En un problema como el del listón, a

diferencia de uno de reparto de pasteles, el

cálculo de la medida buscada mediante la

partición de cada unidad no corresponde con

las acciones que se llevarían a cabo

físicamente. Dicha resolución requiere

desprenderse del contexto y probablemente

por ello no es una solución inicial. Dos

experiencias puntuales en las que aplicamos

problemas como el del listón a grupos de

alumnos de quinto grado quienes ya habían

establecido el algoritmo “a pasteles entre b

personas es igual a ba

de pastel”, sugieren

efectivamente que ésta transferencia no es

espontánea.

La estrategia en el problema del listón se

corresponde más con las acciones físicas

que se realizan (tomar la longitud de tres

metros y partirla en cuatro) podría ser la de

dividir tres metros entre cuatro. Estaríamos

entonces frente a un problema trivial cuando

los niños ya saben realizar esta división con

cociente decimal; 3 metros entre cuatro es

igual 0.75 metros. Una solución aún más

simple podría consistir en aprovechar que la

medida se exprese en el sistema decimal

para cambiar la unidad de manera que el

cociente sea entero; 300 cm entre 47

7 Notemos que el problema de reparto de pasteles estas soluciones no suelen aparecer, por ejemplo.


69

Pero si dicha división se plantea antes de que

los niños dominen el algoritmo

correspondiente, y si además se utiliza una

unidad no convencional, por ejemplo,

”3 varas entre 4”, es probable que los niños

ya no piensen en recurrir al algoritmo de la

división, el problema deja entonces de ser

trivial. Cabe suponer que una estrategia

inicial para realizar la división será en este

caso la de la falsa posición, utilizando

medidas expresadas con fracciones, por

ejemplo: se estima que la medida resultante

puede ser 21

metro, se multiplica 21

por 4,

se obtienen dos metros, se concluye que el

cociente debe ser mayor, se vuelve a

estimar, etcétera.

Entonces el tipo de magnitud en juego podría

afectar la manera de resolver: mientras el

reparto de pasteles propicia la obtención

progresiva del cociente mediante la partición

de cada unidad, el problema de dividir una

longitud podría propiciar la búsqueda de una

medida que satisfaga la condición de que,

repetida cierto número de veces, sea igual a

otra medida.

Nos interesa estudiar si en este último

problema es posible propiciar que la

búsqueda de dicha medida se realice

mediante un procedimiento más sistemático

que el del ensayo y error, y, en particular, si

es posible, establecer, a partir de alguno de

los procedimientos de resolución, la relación

3p: pasteles entre 4 = 0.75 de pastel, o bien 300 centésimas de pastel entre 4 = 0.75 centésimos de pastel. Aunque en la práctica la utilización de decimales en lugar de fracciones abarca, por cierto pocos numerosos, sobre todo cuando las unidades no pertenecen a un sistema decimal establecido y cuando la fracción e juego es un simple medio

“a ÷ b debe ser igual a ba

”. Estas preguntas

más específicas orientaron la experiencia

que presentamos a continuación.

LA SITUACIÓN DIDÁCTICA

FUNDAMENTAL8

Se considera a un conjunto de “robots”, por

lo general cuatro, que al dar un número

determinado de pasos (todos al mismo

tiempo), avanzan cierta distancia (medida

de unidades arbitrarias). Se pregunta por el

tamaño de un paso de cada robot. Por

ejemplo:

Robot Distancia recorrida en 5

pasos

Distancia recorrida en

un paso A 1 unidad B 2 unidades C 3 unidades D 4 unidades

En algunas situaciones se pide únicamente

que construyan físicamente la longitud del

paso (se utilizan tiras de cartoncillo para

representar la longitud) y en otras se pide

además que determinen la medida. La

primera opción no requiere del uso de

fracciones, pero permite comprender la

consigna e incorporar recursos que después

puedan facilitar la obtención de la medida.

El tamaño del paso de cada robot está

determinado por la división “distancia en b

pasos entre b”. la división (÷b) juega el

papel de operador constante en la relación

8 El término es propio de la Ingeniería Didáctica y se refiere a la situación a partir de la cual se genera un campo de problemas al modificar ciertas variables. “Una situación es fundamental respecto al conocimiento que interesa hacer funcionar, cuando es posible, mediante el juego de las variables presentes en ella, hacerla coincidir con cualquier situación en la cual intervenga ese conocimiento (Galvez, 1994: 451)


70

proporcional entre el recorrido en b pasos y

el tamaño del paso.

Materiales: cada equipo recibe una ficha de

trabajo en la que se presenta la información

en una tabla como la anterior. Además,

reciben las siguientes tiras de cartoncillo:

Tira numerada (tira amarilla)

0 1 2 3 4 5

Tira unidad de la misma longitud que las

unidades de la tira numerada:

Tira para “construir” el “paso”

EL PROCEDIMIENTO QUE SE QUISO

PROPICIAR

Entre los procedimientos de resolución previa

(los veremos más adelante al analizar lo que

hicieron los alumnos) explicaremos aquí

únicamente el procedimiento que

trataremos de propiciar con las sucesivas

aplicaciones de situación fundamental, por

considerarlo el más económico y adecuado

para que los alumnos establecieran y

comprendieran la relación a ÷ b = ba

.

La medida del paso de un robot que en b

pasos avanza a unidades puede obtenerse a

partir de alguna de las medidas ya

calculadas, en particular, a partir de la del

paso del robot que en ese mismo número de

pasos avanza solo una unidad. Por ejemplo,

avanza una unidad en 5 pasos, el tamaño de

su paso es fácil de determinar: 51

de

unidad. U robot que recorre, en ese mismo

número de pasos 3 unidades, debe tener un

paso tres veces mayor. Su paso mide

entonces 3 veces de unidad.

Robot

A

C

Distancia recorrida Distancia recorrida en 5 pasos en 1 Paso

1 unidad

3 unidades

de un idad

de unidad

1535

X 3 X 3

Ya habíamos visto este procedimiento en el

texto del maestro Hernández Ruiz. Se trata

de aplicar la conservación de las razones

internas: en el mismo número de pasos, a un

recorrido 3 veces mayor, corresponde un

paso 3 veces mayor. Este procedimiento

permite establecer la siguiente relación:

A unidades ÷ b = a veces (1ª ÷ b) = a veces

b1

= ba

.

Para propiciar que se consideren estas

razones internas, en la situación

fundamental se presentan sistemáticamente

varios robots

que dan un mismo número de pasos.

Además, en la primera aplicación de esta


71

situación y en algunas más se incluyó entre

los robots al que avanza una sola unidad.

Cuando el robot que avanza una unidad no

se incluye, recurrir al procedimiento en

cuestión implica la dificultad adicional, nada

pequeña, de proponer su existencia como un

medio que facilita los cálculos.

LA SECUENCIA DE SITUACIONES

La decencia comprende ocho situaciones. Las

tres primeras fueron el antecedente de la

situación fundamental (cuarta situación) y

tuvieron el propósito de permitir a los

alumnos familiarizarse con las relaciones en

juego, tamaño de un paso, número de pasos

y distancia total. En estas situaciones

establecieron relaciones como: si el número

de pasos es el mismo, entre más grande es

el tamaño de un paso, más grande es el

recorrido.

Las situaciones posteriores a la situación

fundamental tuvieron los siguientes

propósitos: brindar experiencias similares

para permitir a los alumnos mejorar sus

procedimientos; difundir los procedimientos

de resolución y propiciar si discusión;

estudiar la aplicación de relaciones y

procedimientos a situaciones con la misma

estructura pero en diferente contexto9

LA EXPERIMENTACIÓN Y EL ANÁLISIS

Para cada situación se desarrollaron las

siguientes tareas:

9 La descripción detallada y el análisis previo de cada situación pueden consultarse en Solares (1999)

Análisis previo. En este análisis señalamos

las características generales de la situación,

los objetivos, los momentos de la clase, su

organización y las consignas. Expusimos las

hipótesis referentes a los razonamientos y

procedimientos que esperábamos de los

alumnos, así como los posibles errores.

Experimentación y registro. La secuencia se

aplicó a un grupo de 5º grado de educación

primaria con 36 alumnos10. Los alumnos han

estudiado las fracciones desde tercer grado,

en tanto quebrados, la equivalencia de las

fracciones, la suma y la resta con distinto

denominados, así mismo, han empezado a

estudiar la notación decimal de las

fracciones.

Las sesiones fueron dirigidas por la maestra

del grupo, a quien previamente se explicó el

objetivo y las fases de cada sesión. Se

realizaron de una o dos sesiones a la

semana con una duración de 60 a 90

minutos.

Cada sesión fue observada y registrada por

dos observadores (en algunas sesiones)

quienes observaron a dos o tres equipos.

Los protocolos de las sesiones se realizaron

además con el apoyo de las grabaciones y

de las fichas de trabajo de los alumnos.

Análisis posterior a cada sesión. Al término

de cada sesión se realizó un primer análisis

de lo ocurrido con la finalidad de tomar

decisiones sobre la comunicación de la

secuencia. Efectivamente, en función de lo

que sucedió en una clase, se hicieron

modificaciones a las clases siguientes.

10 La escuela primaria es de nivel socioeconómico heterogéneo y se caracteriza por un buen nivel.


72

Análisis final. En éste se hizo un análisis

global del proceso, principalmente

contrastando las hipótesis planteadas en el

análisis previo con los procedimientos,

argumentos y errores observados durante la

secuencia.

RESULTADOS: DIVERSIDAD DE

PROCEDIMIENTOS

Los niños del grupo desarrollaron una

diversidad considerable de procedimientos

para resolver la situación fundamental. Los

organismos en dos grupos: procedimientos

de ensayo y error, que la mayoría de los

alumnos utilizó en la primera aplicación de la

situación, y procedimientos más

sistemáticos, que algunos desarrollaron

desde la primera aplicación, y otros más

adelante.

PROCEDIMIENTOS DE ENSAYO Y ERROR

a) Obtener físicamente “el paso” por

ensayo y error. Por ejemplo, para un

robot que avanza 3 unidades en 5

pasos, algunos alumnos cortaron un

pedazo de la tira y la y la iteraron

sobre la tira numerada para ver si

llegaban a o no a la meta. De

acuerdo al resultado obtenido,

cortaron un pedazo más grande o

más pequeño al anterior.

0 1 2 3 4 5

b) Obtener físicamente el tamaño del

paso formando una longitud igual al

recorrido total y partiéndolo entre el

número de pasos.

Para el mismo ejemplo (tres

unidades en cinco pasos), los niños

cortaron una tira de longitud igual a

3 unidades, y la partieron en 5

partes iguales.

En los procedimientos a) y b), una vez

que se tuvo el paso, algunos intentaron

asignar una medida comparando el paso

con la unidad, por diferentes medio.

• Estimando: “un poco más de

la mitad”, como un tercio

(de la unidad)…

• Doblando la tira unidad en

medios, en cuartos, y,

finalmente, aproximando

con octavos.

En este último procedimiento podemos

ver la puesta en marcha de un sistema

de medición binario basado en el mismo

principio que el decimal: así como en el

sistema decimal cualquier medida puede

ser aproximada mediante fracciones

decimales (del tipo m

n10

, en este, las

medidas de aproximan mediante

fracciones del tipomn

2


73

c) Sin utilización del material, estimaron

una fracción de unidad, la verificaron

multiplicándola por el número de

pasos (o sumándola iteradamente) y

la ajustaron progresivamente. Por

ejemplo, para un robot C, que

avanza 9 unidades en 7 pasos, se

presentó el siguiente diálogo en un

equipo11:

Ismael a Juan. Es menos de uno y medios

(…)

Alejandro Va a llegar al nueve y se a pasar

por un medio. Vean (prueban sobre la tira

amarilla y se pasan sobre lo previsto)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

(…)

Alejandro. (…) tiene que ser entre uno y

uno y medio

Ismael. Tendría que ser entre uno y un

cuarto

(prueban con 1 ¼ pero les falta un

poco para llegar a 9, llegan a 83/4

Alejandro. Un tercio es más de un cuarto

pero menos de un medio

Ismael. Sí, un tercio

Alejandro. Un quinto es más chico que un

cuarto, un tercio es más grande. Uno y un

tercio (intentan con un entero y un tercio,

pero al avanzar 6 pasos llegan ya a 8

unidades (…)

Obs. Entonces, si es un paso y un cuarto, le

falta, si es un paso y un tercio, le sobra,

¿cuánto tendría que ser? (…)

Juan. Un paso un quinto (…)

11 Las abreviaturas de los registros se refieren a lo siguiente: Obs: Observadora; Ao. Alumno; Aos, alumnos; M maestra; Mo. maestro

Alejandro. Pero es que mira, un quinto es

más chico que un cuarto, y si con un cuarto

no se pudo, con un quinto menos.

Ismael. Un octavo.

Alejandro. ¡Ay! (risas)

La búsqueda de una medida x que satisfaga

la condición 7 veces x = 9 unidades, lleva a

los niños a estimar varias medidas, a

iterarlas y ajustarlas hasta encontrar una

buena acotación entre números formados

con fracciones unitarias: 1¼ < x < 1. Cabe

señalar que cuando los alumnos estimaron

medidas fraccionarias, casi siempre fueron

unitarias. Este podría haber sido un buen

momento para preguntar y estudiar si

existen o no fracciones mayores que ¼ pero

menores que 1/3.

PROCEDIMIENTOS MÁS SISTEMÁTICOS

LA BÚSQUEDA DE UNA PARTICIÓN

CÓMODA DE LA UNIDAD

Varios alumnos tenías claro que el problema

se resolvía con una división, pero se

encontraban con una división “difícil” de

realizar, ya que el dividendo no era múltiplo

del divisor y generalmente era menor que el

divisor. Por tal razón, optaron por partir

cada unidad en determinado número de

partes para después dividir el total de partes

entre el número de pasos. El problema a

resolver ahora era ¿en cuántas partes

conviene partir cada unidad? Aquí tenemos

un ejemplo de esta búsqueda, nuevamente

para el Robot C que avanza 9 unidades en

7 pasos


74

Alejandro. (…) Miren, necesitamos cuarenta

y cinco quintos para llegar aquí (a 9

unidades) cuarenta y siete quintos entre

siete.

Obs. ¿Por qué cuarenta y cinco?

Alejandro. Por que de aquí al nueve

necesitamos cuarenta y cinco quintos

Obs. Pero, ¿por qué quintos?

Alejandro. ¡Ah! Pues es lo que yo saqué (…)

Ismael. Séptimos, serán séptimos

Sin embargo, Ismael sigue probando con 1 +

½ + ¼ (…)

Alejandro. De allá a acá (del 0 al 9) en

sextos serian cincuenta y cuatro sextos.

Obs. ¿Por qué sextos?

Alejandro. No sé (a Ismael) ¿por qué me

dijiste sextos?

Ismael. ¡Séptimos!

En cada uno de sus intentos, Alejandro logra

una medida aproximada pero no se

conforma, desea la medida exacta y se

encuentra con un problema: e queda un

residuo. Más adelante veremos cómo

resuelve su problema, por ahora, veamos

ahora dos tipos particulares de partición.

• Partir cada unidad en décimos (para

un Robot que avanza 2 unidades en

5 pasos)

Rolando. Nosotros le pusimos un cero al 2,

tengo 20, vi entre 5 cuando me sale y saqué

el cuatro… y ya para ponerlo normal le puse

un 10 y le puse104

Obs. Repite la explicación de Rolando

escribiendo en el pizarrón la división descrita

por Rolando:

4 5 20

Obs. ¿Cuatro décimos cuántos se escribe?

Ao. Un cuatro y abajo el diez

(…)

Rolando. Hay que multiplicar cinco veces y

ya sale

Obs. Pero este cuatro décimos, ¿qué

representa? El tamaño del paso, el número

de pasos…

Rolando. Un paso. Y cinco veces llegaría a

dos unidades

Obs. ¿Lo sumo? ¿Cómo le hago?

Rolando. Los sumas

Obs. ¿Cuántas veces?

Rolando. Cinco veces

Obs. (Escribe la suma en el pizarrón y

obtiene 1020

). ¿Y cuánto da eso?

Rolando. Dos unidades, dos enteros

La partición de la unidad en décimos (y

centésimos, si es físicamente posible)

constituye la forma instituida de aproximar

una medida fraccionaria con decimales. El

procedimiento de Rolando es de hecho el

principio del algoritmo de la división con

cociente decimal. Aunque en este caso

particular el procedimiento se facilitó por el

divisor 5 (al dividir el total de décimos entre

cinco no hay residuo) la idea de “partir las

unidades” en décimos proporciona una

buena entrada para el estudio de dicho

algoritmo.

• Partir cada unidad en el número de

pasos

Al partir cada unidad en el número de pasos

se obtiene ya no un resultado aproximado,

sino exacto, pues el número de total de

partes que se obtiene es múltiplo del divisor

(número de pasos). Volvamos al equipo de

Alejandro: los alumnos han estado buscando


75

un factor de partición que les permitiera

dividir el total de partes entre el número de

pasos sin que haya residuo. De una manera

que no logramos identificar, Alejandro

descubre que el número de pasos

proporciona la partición deseada. Trabaja con

el robot que avanza 4 unidades en 5 pasos:

(…)

Alejandro. En cinco partes (unidades) hay

20 quintos

Ismael. Son dos cuartos y un cachito (no

atiende a la idea de Alejandro, siguen

buscando por ensayo y error).

Alejandro. Sí, pero ese cachito ¿cómo lo vas

a sacar?... cuatro por cinco serían los veinte.

Ismael. En cuartos sería en los que se

divide…

Alejandro. No, porque mira, esto (la

unidad) lo vamos a partir en quintos. Lo que

tenemos que hacer es cómo llegar en cinco

pasos a veinte quintos.

Obs. ¿Cómo distribuyes los veinte quintos en

cinco pasos?

Alejandro. ¡Cuatro quintos!

(Ismael le pide que lo compruebe. Alejandro

divide con dificultad la unidad en quintos.

Finalmente obtiene los cuatro quintos y

comprueba sobre la recta que,

efectivamente, llega a las 4 unidades en 5

pasos)

Más adelante, frente a otro problema, Ismael

y Alejandro muestran que han podido

generalizar su procedimiento. Para un robot

que avanza 9 unidades en 7 pasos:

Alejandro. Ya pudimos. Primero hicimos lo

que nos dijo Ismael, de acá al nueve hay

sesenta y tres unidades (séptimos) lo

dividimos entre siete y nos dio nueve,

entonces… de acá a acá hay 63 séptimos

entonces lo dividimos eso entre siete,

porque eran 7 pasos y nos dio…

Ismael. De nueve no sobra nada. Nos dio a

nueve y no sobra nada

Alejandro. Con nueve séptimos llega acá

(Al número 9)

(…)

Obs. ¿Y cómo sacaron los 63 séptimos)

Alejandro. Multiplicamos siete por nueve

Este procedimiento se difundirá rápidamente

entre varios miembros del grupo. Es,

efectivamente, un procedimiento accesible y

eficiente que permite encontrar que a

unidades entre b es igual a ba

de unidad.

Notemos sin embargo que no permite, en

cambio, comprende por qué resulta

precisamente la fracción cuyo numerado es

el dividendo y cuyo denominador es el

divisor. El recorrido, compuesto de varias

operaciones, es demasiado largo, y la

explicación es de índole algebraica:

ba

bbabb

babba =÷=÷=÷

No obstante, independientemente de la

explicación anterior, la cual deberá esperar

todavía algunos años, el procedimiento

constituye un logro importante en los niños,

representa el nivel de sistematización más

alto que se encontró en esta experiencia.

b) El algoritmo de la división con

cociente decimal

Vimos anteriormente que en un equipo

optaron por partir la unidad en décimos,

procedimiento que está en el origen de la

división con cociente decimal. Otros alumnos

(pocos) intentaron aplicar de entrada el


76

algoritmo para dividir el número de unidades

del recorrido entre el número de pasos. Se

toparon con dos tipos de dificultad: la falta

de dominio de dicho algoritmo y la dificultad

para interpretar un decimal aplicado a la

unidad “tira”: los centésimos no representan

centímetros, entonces ¿qué representan? A

continuación presentamos un ejemplo cuyo

interés radica en que los alumnos solo

lograron obtener la primera cifra decimal del

cociente, y, a partir de esa aproximación

intentan acercarse más al cociente exacto

mediante un proceso de sumas itreradas.

Primero aparece la siguiente división:

1.1 6 7.0 10

Y después las sumas

1.1 1.2 1.1 1.2 1.1 1.2 1.1 1.2 1.1 1.2 1.1 1.2 6.6 7.2

En esta búsqueda surgen dos problemas que

podrían ser objeto de un estudio específico:

primero, nuevamente aparece el problema

de la densidad: ¿hay o no un número

comprendido entre 1.1 y 1.2? Por otra parte

cabe preguntar si en algún lugar momento

debe quedar un resultado de cero, es decir,

si el cociente de dos números naturales debe

poderse expresarse siempre de manera

exacta mediante un decimal. La búsqueda

de los alumnos parece indicar que ellos

piensan que así es.

c) Identificar las relaciones internas.

Este fue el procedimiento que se quiso

propiciar en la secuencia. No obstante, muy

pocos alumnos la desarrollaron. Veamos

primero un ejemplo en que entre los robots

figuraba el que recorre una sola unidad.

Erick. Primero dividimos la unidad de

medida en cinco partes, que es el robot A (el

robot A avanza 1 unidad en 5 pasos), y

después como son unidades (robot B), es el

doble de A.

M. ¿Cómo escribieron su mensaje?

Erick. Igual (al equipo anterior: “Haz robot

que dé un paso de 52

”) (…)

M. ¿Y cómo podríamos saber que realmente

es el paso exacto?

(Erick explica dibujando en el pizarrón)

Erick. Como esto es una unidad entera

(señala del 0 al 1 en la recta), lo dividimos

en cinco partes, que es el robot A: entonces

como ese robot es una unidad y éste es dos

unidades (B), ocupamos dos (dos unidades

de la recta, del 0 al 2) (dibuja en el pizarrón

una tira unidad y la divide en cinco partes

iguales): Como el A tiene solo este (señala

51

de la unidad que dibujó) y el B tiene dos,

agarramos dos.

A

B


77

Es decir:

Distancia en 5 pasos

Distancia en un paso

Robot A

1 U

51

de Un

x 2

x 2

Robot B

2 U

52

de U

Veamos ahora un ejemplo en el que el robot

que avanza una unidad no figuraba entre los

robots de la lista.

(Para un robot que avanza 5 unidades en 7

pasos)

Raúl. Primero dividimos entre siete, de esos

siete solo tomamos cinco.

Mo. ¿Pero por que agarramos cinco?

Raúl. Porque nada más eran cinco unidades

Mo. (…) nos deja medio desconcertados,

parece magia. Porque eran cinco unidades

siete pasos, ustedes nada más agarraron la

unidad la dividieron en siete y tomaron cinco.

¿Cómo supieron que si les iba a salir? (…)

Maltos. Si quisiéramos llegar a la unidad en

siete pasos nada más necesitaríamos un

séptimo y si quisiéramos llegar a dos

unidades serían dos séptimos y así va

aumentando hasta llegar al cinco y cinco

séptimos y llegaríamos a la quinta unidad.

La utilización de esta relación de escala, a un

recorrido n veces mayor corresponde al paso

n veces mayor, como recurso para resolver

el problema se reveló aún difícil para la

mayoría de los niños de quinto grado de

primaria.

d) Indicación de la medida de un paso

como fracción unitaria del recorrido

total.

Vimos anteriormente que algunos alumnos

construyeron físicamente la tira que

representa un paso uniendo el número de

tiras del recorrido total y partiendo esta

unión en un número de partes igual al

número de pasos.

En un equipo derivaron de este

procedimiento una forma de proporcionar la

medida del paso. Por ejemplo, para el robot

que recorre 3 unidades en siete pasos:

“Divide 3 unidades entre 7 pasos, el

resultado va a ser el tamaño del paso”. O

bien, “31

de 7 unidades”.

Esta forma de indicar la medida fue

cuestionada por otros alumnos, quienes

argumentaban que se dejaba al constructor

de robots el trabajo de calcular la parte de

la unidad. No obstante, dio lugar a analizar

la equivalencia entre esta forma de expresar

la medida y la y la que otros encontraron.

Veamos la discusión acerca de si 32

de

unidad es lo mismo o no que 51

de 2

unidades.

Mariel y Erick argumentan contra dicha

equivalencia en buena parte porque no


78

consideran la “nueva unidad” (2 unidades” y

se siguen centrando en una sola unidad:

Mariel. Partieron una unidad en cinco

partes, pero tenían que haber partido a las 2

unidades en quintos para que puedan sumar

los dos quintos… pero ellos nada más

tomaron un quinto de una unidad.

(…)

Erick... Con un quinto de dos unidades está

mal, porque en todo caso serían dos quintos

de dos unidades.

Este es un diálogo entre alumnos que están

de acuerdo con la equivalencia entre ambas

expresiones:

Ao1. Entonces sería así: agarraríamos una

unidad, dos unidades, las pegaríamos y

después las dividimos en quintos.

Ao2. Es lo mismo (que 52

de unidad)

Ao1. Sí, pero con palabras diferentes… Sí

está bien, porque si las juntas, lo partes en

quintos, serían dos quintos de unidad… ¡de

una de esas unidades!, Bueno los juntas y

tienes dos unidades Un quinto serían dos

unidades porque tendrías diez quintos,

bueno… tendrías… tendrías un quinto de las

dos unidades. Sería igual a dos quintos.

Por otra parte, notemos que la información

que los alumnos proporcionan en esta

modalidad, “51

de dos unidades”, ó “2

unidades entre 5” da cuenta perfectamente

de la medida del paso. De hecho, todas la

medidas en juego podrían expresarse

mediante esta relación de conmensuración

entre unidades y pasos lo cual permite no

solo reproducir el paso dada la unidad, sino

también comparar el tamaño de dos pasos y

encontrar expresiones equivalentes para un

mismo tamaño de paso. Si e algún momento

se propusiera la escritura 52

para denotar el

tamaño del paso que en 5 pasos llega a dos

unidades, tendríamos una construcción de

las fracciones definidas como cocientes. No

obstante, éste no fue el camino que nos

propusimos explorar con esta secuencia.

EL PAPEL DE LA VERIFICACIÓN

La verificación, en sus distintas

modalidades, permitió a los alumnos poner

a prueba, una y a la vez, el grado de

exactitud de sus resultados, y con ello, la

pertinencia de sus procedimientos. Además

de esta función, la verificación favoreció el

que los alumnos establecieran una relación

multiplicativa entre los datos: si a ÷ b = x

entonces b veces x = a. por ejemplo, para

un robot que avanza 3 unidades en 7 pasos.

Zulu. Los tres séptimos es la medida del

paso y dice la distancia recorrida en siete

pasos, entonces la podemos multiplicar por

7.

Joel. Yo creo tres séptimos de las tres

unidades es una fracción (de una unidad), y

multiplicándolo 7 veces porque son 7 pasos,

eso me da tres, tres unidades.

(Para un robot que avanza 5 unidades en 7

pasos)

Alejandro. Mira el paso de cinco séptimos,

lo multiplicas por 7 porque son 7 pasos y me

da 35 séptimos. O sea del cero al cinco hay

treinta y cinco séptimos y luego lo divido

eso entre 7


79

Este papel de la verificación aritmética en el

aprendizaje de la división para establecer

una relación multiplicativa ya fue señalado

por Moreno (1996) en un estudio sobre la

noción de división en la escuela primaria12

Conclusiones:

El análisis del conjunto de procedimientos

que los niños desarrollaron a los largo de las

aplicaciones de la situación fundamental

permite concluir lo siguiente:

Primero, efectivamente la variable “tipo de

magnitud” influyó de manera determinante

en la forma de abordar el problema se

generó una diversidad de procedimientos que

se ponen en juego en los problemas clásicos

de reparto.

Segundo, el procedimiento que se quiso

propiciar (el recurso de las razones internas)

fue puesta en marcha por muy pocos niños

de manera que no podemos afirmar que la

secuencia la propicie, no por lo menos en el

nivel escolar con el que trabajamos.

Tercero, no obstante lo anterior, varios niños

lograron establecer la relación a ÷ b = ba

,

pocos a partir del procedimiento de las

razones internas, la mayoría a partir del

procedimiento de partición de la unidad entre

el número de pasos. Lograron también, en

una de las últimas situaciones, establecer la

12 Moreno afirma: “Dividir partiendo de un cociente hipotético. Ubicados en este punto final, el problema que los niños enfrentan aplica ahora multiplican (…) puede decirnos entonces. Que es en el momento de la verificación (espontánea o propiciada). De la acción inversa del reparto, cuando se produjeron los primeros procedimientos numéricos formales para resolver divisiones, y cuando se estableció la relación multiplicativa entre los datos de un problema de reparto (Moreno, 1996; 206)

relación recíproca, dada una fracción de

unidades, encontraron un número de

unidades del recorrido (numerador) y un

número de pasos (denominador) que arroja

este tamaño de pasos.

Desde el punto de vista de la comprensión

del vínculo entre la división a ÷ b y la

fracción que resulta, ba

necesitamos

distinguir dos niveles: la mayoría de los

niños, quienes utilizaron el procedimiento de

partición de las unidades en el número de

pasos pudo constatar, que un contexto

distinto al reparto de pasteles, que el

resultado de una división a ÷ b es la

fracción ba

. Pero muy pocos pudieron

comprender el por qué de la relación en

cuestión, posiblemente sólo aquellos que

utilizaron el procedimiento de las razones

internas.

Por último, independientemente del

propósito de establecer una relación entre la

división, el problema que hemos estudiado,

calcular la medida fraccionaria que resulta

de dividir otra medida, se reveló adecuado

para propiciar la utilización de los

“quebrados” que los niños están en proceso

de aprender. El problema brinda la

posibilidad, además, de propiciar el estudio

por parte de los niños de aspectos de las

fracciones que normalmente no se

problematizan, entre los que destacan la

densidad del orden y la relación con los

decimales.

Cabe decir también que las situaciones que

hemos analizado no agotan la problemática

de este vínculo. En los problemas que


80

hemos considerado hasta ahora, la división

en juego ha sido siempre una división de una

medida entre un escalar, y por lo tanto el

cociente también es una medida; tres

pasteles (medida) entre cuatro (escalar) es

igual a 43

de pastel (medida). Recordemos,

sin embargo, que en el trabajo con

cantidades hay otros tipos de división, entre

los cuales está la división “comparación” (o

“agrupamiento”, en ciertos casos). Es la

división que se establece entre cantidades de

la misma especie para determinar cuántas

veces una es la otra, por ejemplo ¿cuántas

veces 3cm es igual a 4 cm? El cociente en

estos casos no expresa una medida sino un

número sin dimensión, un escalar.

Esta división es más compleja que la que

vimos antes puesto que ahora no se trata de

“partir” una cantidad en partes iguales, sino

de encontrar “un número de veces”, (un

operador multiplicativo fraccionario13). El

hecho mismo de plantear la división es ya

muy complejo puesto que requiere concebir

de antemano que pueden existir un número

que, por ejemplo, multiplicado por 3 dé 4,

requiere de una concepción de la

multiplicación distinta, más amplia, que la

de suma repetida que se adquirió en los

naturales.

Así, “cociente medida”, o “cociente escalar”,

“cociente por definición” o “cociente

calculado” constituyen modalidades del

significado de la fracción como cociente con

niveles de complejidad muy distintos (Block,

2001).

13 En Behr. et. at. (1992; 308) se distinguen estas dos modalidades de la fracción cociente se analiza cada una desde la perspectiva de los procesos de redefinición de la unidad

Señalemos, para terminar, que la

importancia del conocimiento que aquí fue

objeto de estudio, el vínculo entre la división

y la fracción, no radica tanto en la

posibilidad de resolver problemas cuyo

contexto es extramatemático, pues en los

problemas de este tipo que implican una

partición, por ejemplo, dividir una cantidad

de litros o de kilogramos, se recurre

frecuentemente a una herramienta más

práctica que la fracción; la división como

cociente decimal. La importancia de este

conocimiento radica más en la posibilidad de

articular nociones, concepciones que los

alumnos están en proceso de aprender

(división y fracción) y cuya integración, en

un futuro, se da por adquirida.

EXPERIENCIA DIDACTICA__________________________________________________________

CINVESTAV

La experiencia didáctica que se presenta a

continuación forma parte de un estudio sobre

las formas en que la noción de razón

interviene en la construcción de diversos

conocimientos matemáticos que se estudian

en la escuela primaria (Block, 2001).

Esta noción, la razón se encuentra en la

intersección de dos temas que han sido muy

estudiados, la proporcionalidad, sobre todo

desde la perspectiva del desarrollo cognitivo

(e.g. Inhelder y Piaget, 1955; Noelthing,

1981ª y 1981b; Karplus et. Al ., 1983) y los

números racionales, desde una perspectiva

didáctica (e.g. Kieren, 1988 Behr et. Al.,

1990).

Una tendencia relativamente reciente,

apuntalada en gran medida por los trabajos

de Vergnaud (1988) sobre las estructuras

multiplicativas, han consistido en integrar el

estudio de estas des problemáticas; se

considera que la adquisición de aspectos

fundamentales de la noción de número

racional se registra en el marco de las

relaciones de proporcionalidad, a la vez que

la capacidad para resolver problemas de

proporcionalidad supone la incorporación de

herramientas aritméticas, en particular, el

cálculo con fracciones y decimales.

La noción de razón constituye un ejemplo

claro de esta articulación. En la perspectiva

que se asume en este estudio, la razón es

enfocada como un conocimiento implícito

que se pone en juego en la resolución de

determinados problemas y que procede a la

construcción de los números en su función

de expresar medidas y operaciones.

En la experiencia didáctica que se presenta

aquí, se analiza el uso de noción de razón

como la forma implícita de un operador

multiplicativo constante natural entre

conjuntos de cantidades.

. Un ejemplo:

El siguiente es uno de los problemas que se

presentaron a un grupo de 13 alumnos de

4º. A 6º. De primaria bajo la forma de

entrevistas individuales (Block, 2001).

Laura quiere cambiar sus estampas nuevas

por estampas viejas, Miguel le ofrece 6

estampas viejas por cada 2 nuevas;

Armando le ofrece 10 estampas viejas por

cada 5 nuevas. ¿Con quien le conviene a

Laura hacer el cambio?

La mayor parte de los alumnos, incluyendo

los de sexto, resolvieron el problema

generando, otras parejas de cantidades, con

la idea de igualar un término, por ejemplo,

EXPERIENCIA DIDÁCTICA

“LOS INTERCAMBIOS” ESTUDIO DE LA NOCIÓN DE RAZÓN COMO PRECURSORA DEL

OPERADOR MULTIPLICATIVO NATURAL

David Francisco Block Sevilla


“Miguel a 30 estampas viejas por 10 nuevas.

Mientras que Armando da 20 viejas por 10

nuevas”.

Pocos alumnos cuantifican la relación en

juego con un factor: en un caso se da el

doble mientras que en el otro se da el triple.

Veamos un ejemplo:

. Itzel (4º. Grado) empieza haciendo una

estimación correcta, considerando las dos

variables. Es cuando cuestionamos su

argumento que termina por determinar los

dos operadores doble y triple. Estos emergen

con dificultad, como un hallazgo que aclara

de una vez por todas la situación.

It: (Se queda un rato pensando en silencio y

después escribe el resultado) Miguel (...)

porque con Miguel no tiene que perder tantas

estampas y le dan 6 y aquí (Armando) sí

tiene que perder más estampas y le dan 10

(...)

E: Y sí aquí (señala en la redacción del

problema el trato con Miguel le dijeran por

cada 2 de tus estampas nuevas te doy 4 en

vez de 6 ¿le seguiría conviniendo más?

(tacha el 6 y escribe 4)

It: ¡No!

E: Igual sigue perdiendo menos, ¿no?

It: ¡Sí, pero no le darían más!

E: Y si fuera aquí 4, ¿cuál le convendría más?

It: Armando (10,5)

E: ¿por qué?

It: Porque aquí le dan más estampas

E: Pero ella da poquitas, y aquí (Armando)

ella da más.

It: (Se queda un rato pensativo) ¡No!, aquí,

si le dieran 4 sería lo mismo porque en las

dos le dan el doble (...)It: (vuelve al

problema original)”le conviene más aquí

(Miguel) porque le dan el triple y aquí

(Armando ) le dan el doble”.

Así, no importa cuántas estampas se estén

intercambiando, 2 nuevas por 4 viejas, o 5

nuevas, por 10 viejas, en todos esos tratos

se está dando el doble. La cuantificación de

la relación con “el doble”, al dejar de lado

las cantidades específicas de estampas,

hace explícita la idea de razón constante.

La dificultad que mostraron los alumnos

para determinar y utilizar estos operadores

constantes muy simples, doble y triple,

sugiere una dificultad conceptual en la

aceptación de la multiplicación como

expresión de una razón constante. Esta

observación junto con otras similares motivó

la experiencia didáctica que se presenta a

continuación.

LA EXPERIENCIA DIDÁCTICA “LOS

INTERCAMBIOS”

El propósito general de la secuencia que se

presenta a continuación fue propiciar el

desarrollo de procedimientos de resolución

para comparar razones, de manera


integrada al estudio de la multiplicación y la

división de números naturales. Se consideró

que el desarrollo de estos procedimientos

permitiría enriquecer la significación de la

operación de multiplicación.

Los propósitos más específicos son:

• Propiciar el paso de la

comparación de cantidades a la

comparación de razones entre

cantidades, expresadas como

reglas de cambio.

• Propiciar el desarrollo de dos

procedimientos para comparar

razones: 1) la obtención de pares

equivalentes mediante

conservación de la suma y la

sustitución de ésta por la

conservación de las razones

internas, y, la razón externa

mediante un operador o “numero

de veces”

METODOLOGÍA

Se trata de una experiencia de micro

ingeniería didáctica (corta duración, para

abordar aspectos puntuales de una noción).

El análisis de los resultados se realiza

mediante su confrontación con los análisis

previos en los que se precisan las variables

en juego y la forma en que se espera que

estas incidan en las conductas de los

alumnos (Artigue, 1995; Brousseau, 1998;

Block, 2002).

La secuencia se aplicó en un grupo de 24

alumnos de tercer grado de una escuela

pública vespertina. El nivel de desempeño del

grupo es heterogéneo. La conducción de las

sesiones estuvo a cargo de una maestra con

experiencia amplia en la aplicación de

situaciones experimentales con el mismo

enfoque que caracteriza el presente estudio.

En las sesiones participaron tres

observadores, Cada uno estuvo a cargo del

registro (con apoyo de grabadora) de un

equipo de cuatro niños. Una de las

observadoras registró además los momentos

de interacción colectiva (consignas y

confrontaciones). Con esta organización

logramos tener información precisa del

trabajo de alrededor de 10 niños e

información más puntual de los demás.

LA SITUACIÓN:

Se explica a los alumnos que:

• Van a recibir todos una misma

cantidad de fichas y las van a

cambiar por estampas

• Deben escoger una regla de

cambio. ANTES de recibir las

fichas

Ejemplo de un conjunto de reglas:

a) Se cambia cada ficha con 4

estampas

b) Se cambian cada 2 fichas por 4

estampas

c) Se cambian cada 4 fichas por 8

estampas

d) Se cambian cada 8 fichas por 24

estampas

• Ganan los que obtienen

más estampas después del

cambio,


•

• Cuando ya escogieron la

regla, se dice la cantidad de

fichas que van a recibir:

deben calcular las estampas

que les corresponden

• Se anota en el pizarrón las

reglas escogidas y las

cantidades calculadas.

• Finalmente, se les dan las

fichas y se organizan los

intercambios. Esto permite

verificar.

La mejor regla no es necesariamente la que

se formula con más estampas, ni con menos

fichas, sino la que de más estampas en

relación con la cantidad de fichas. Es decir, la

situación exige comparar razones. El valor de

las razones fue siempre un número entero.

Esta situación se aplicó seis veces a lo largo

de las cinco sesiones, variando las

cantidades.

EL PROCESO DE LOS ALUMNOS A LO

LARGO DE LAS 6 APLICACIONES:

a. La elección de la mejor regla

Todos los alumnos empezaron estimando en

base a la cantidad de estampas

Por ejemplo

Beth, “Porque con la D ganamos muchas más

estampas”

Después de la primera verificación, la

mayoría desechó este criterio.

• A partir de la segunda

explicación aparece un nuevo

criterio: conviene más la regla

en la que se expresa con menos

fichas:

Ismael,”La A, es la A”(...) porque en la A no

se acaban rápido las fichas,

Con la dificultad, porque ese criterio les

funcionó una vez, los alumnos constatan

que tampoco es seguro.

• A lo largo de las aplicaciones

sucesivas, cada vez más

alumnos intentan considerar la

relación entre los dos términos.

Hacen una primera elección de una o dos

reglas, basada en una estimación

cualitativa, dicen cosas como “me late ésta

porque nos dan 6 y sólo tenemos que dar 2”

Ya sea porque “les laten” dos reglas, o,

sobre todo, por las diferencias de opinión al

interior de los equipos, poco a poco,

empiezan a verificar sus corazonadas antes

de escoger una regla.

Las verificaciones consistieron siempre en

aplicar las reglas que eran objeto de la

discusión, por lo general dos, a veces tres, a

una cantidad de hipotética de fichas.

Se enfrentaron entonces a la dificultad de

escoger una cantidad hipotética de fichas

que fuera múltiplo de las cantidades de

fichas de las reglas, por ejemplo:


A(1 4) B (2 6) C(4 8) D (8 24)8 8 8 8

Aplican A, B y D a 12 fichas:

A: 12 8 48

B:12 8 36

D,12 8 24, pero les quedan 4 fichas por lo

que descartan la regla.

La dificultad no fue grave debido a que

tendieron a escoger las cantidades de fichas

que se dieron en la aplicación anterior y en

general, esto les permitió comparar.

Decidimos no abordar directamente el

problema de los múltiplos comunes debido a

que disponíamos de pocas sesiones. No

obstante, el problema constituye una buena

ocasión para hacerlo.

En la cuarta aplicación de la situación,

prácticamente en todos los equipos lograron

ya escoger y verificar la mejor regla (aunque

todavía no todos los alumnos) es decir,

lograron desechar los primeros criterios

centrados en una cantidad para considerar la

relación entre las cantidades.

• en la sexta aplicación empezaron

a aparecer formas de

verificación más independientes

de las cantidades fichas “que les

podíamos dar”.

• escoger una cantidad ad hoc que

facilite la comparación, por

ejemplo, para comparar 2 8 6,

con 4 8 8, usan 4 fichas, o

• igualan la cantidad de estampas,

no de fichas, para comparar

C(2 8 10) con D(10 8 20), una

•

• alumna obtiene C(2 8 19) =

(4 8 20), y (4 8 20) mejor que

10 8 20

B) EL CÁLCULO DE UN NÚMERO DE

ESTAMPAS:

La tarea consiste en aplicar las reglas a una

cantidad de fichas, por ejemplo:

2 fichas 10 estampas

12 fichas x estampas

Esto ocurrió en varios momentos:

• en el momento de probar reglas

antes de escoger una;

• después de elegida una regla,

cuando se dijo la cantidad de

fichas que habría y se les pidió

que anticiparan la cantidad de

estampas, antes del

intercambio;

• en una situación adicional que

consistió en aplicar varias reglas

a varias cantidades de fichas.

Sus procedimientos consistieron casi

siempre en lo siguiente:

1. determinar el número de agrupamientos

(2 fichas) que se forma con cantidad de

fichas (12) (es decir, 6 agrupamientos)

Está implicada una división “comparación” y


2. determina el número de estampas que se

obtiene al hacer ese mismo número de

agrupamientos pero de 10 estampas:

6 agrupamientos de 10 estampas = 60

estampas. Está implicada una multiplicación

Número de grupos de 2 fichas

2 f 8 10 e

6 6

Número de grupos

de 10 estampas

12f 8 x

Se trata de una tarea más simple

conceptualmente que la anterior. A lo largo

de la secuencia, los alumnos lograron

mejorar notablemente sus técnicas como se

muestra en el siguiente esquema:

12f : 2f = 6 10e X 6 = 60 e

Dibujar 12 f y agruparlas de 2 en 2

Formar 6 grupos de 10 y contar

Sumar de 2 en 2

2f 8 10e Sumar 6 veces 10 e

6 6

Sumas de sumas

12f 8 x Sumas de sumas

Dividir 12 f entre 2

Multiplicar 10 e X 6

Sólo dos alumnos no pudieron abandonar el

dibujo y el conteo.

En el otro extremo, un alumno propuso un

algoritmo:” se divide la cantidad total de

fichas entre el número de fichas de la regla

y se multiplica por el número de estampas”.

Cabe señalar que la mayoría de los alumnos

manifestó tener un conocimiento de la

técnica para multiplicar. No obstante, no fue

sino poco a poco que lograron utilizarla en

tanto razón interna.

C) DOS ASPECTOS MÁS COMPLEJOS

Veamos los resultados desde el punto de

vista de dos aspectos más complejos:

La noción de equivalencia y la noción de

operador multiplicativo externo.

• La noción de equivalencia

A lo largo de las seis aplicaciones, los

alumnos constataron, a veces con mucha

sorpresa, que dos reglas arrojaban la misma

cantidad de estampas, por ejemplo, 1 3 y

3 9.

No obstante, nunca pudieron explicarlo, se

limitaron a decir “sale lo mismo”

Hacia el final, se plantearon dos situaciones

sobre la equivalencia. En una tenían que

identificar reglas equivalentes. Sólo seis

alumnos (de 24) lograron identificar

equivalencia, usando el mismo

procedimiento: aplicar las reglas a

cantidades de fichas.

En la otra situación, debían escribir tres

reglas, una mejor, una menos buena y una

equivalencia a la regla 2 10, usando

números hasta 10: La mayoría pudo escribir


reglas mejores y menos buenas; pero muy

pocos lograron escribir una regla

equivalencia 1 5.

Estos resultados permiten distinguir dos

niveles en el proceso de comprensión de la

noción de “regla de cambio” uno que se

manifiesta en la capacidad de considerar la

relación entre los dos términos al comparar

reglas, y en el desarrollo de procedimientos

como los que ya vimos para hacer la

comparación. Esto lo logró la mayoría de los

alumnos a lo largo de las 5 sesiones.

El otro nivel se manifiesta en la capacidad de

prever que una misma regla puede

expresarse mediante distintas parejas de

cantidades. La comprensión de esta

característica esencial, se reveló mucho más

difícil para los niños. Cinco sesiones fue muy

poco tiempo para la mayoría.

• El operador multiplicativo.

Una forma notable más económica de

comparar las reglas y aplicarlas a cantidades

de estampas consiste en identificar los

operadores externos que subyacen a las

razones:

A. Se cambia cada ficha por 4

estampas

B. Se da 4 veces la cantidad

C. Se cambian cada 2 fichas por 6

estampas

D. Se da 3 veces la cantidad, etc.

Los operadores constituyen una expresión de

las razones que ya es totalmente

independiente de las cantidades.

Notamos también que, una vez que se

identifican los operadores, la idea de “reglas

equivalentes” se vuelve completamente

transparente: las reglas “por cada 2,6”.

“por cada 8,24, “por uno,3” son

equivalentes en virtud de que todas triplican

la cantidad.

Sin embargo, en el breve lapso de la

experimentación, los alumnos no lograron

identificar estos operadores para

compararlos.

En las dos últimas aplicaciones de la

situación “Elegir la mejor regla”, se

introdujo, entre las reglas de cambio, una

regla en la que el operador es explícito, por

ejemplo:

“Se da una cantidad de estampas igual a

tres veces la cantidad de fichas”

Con cierta dificultad, la mayoría de los

alumnos logró aplicar la regla a cantidades

de fichas, logró comparar la regla con otras.

Sin embargo, la introducción de este tipo de

regla no desencadenó la identificación de los

operadores en las otras reglas.

CONCLUSIONES

Esta breve experiencia muestra que es

posible propiciar, desde tercer grado y de

manera integrada el estudio de la

multiplicación y la división, un trabajo más

amplio sobre la noción de razón, con dos

beneficios: el desarrollo de la noción misma

de relación multiplicativa y un

enriquecimiento del sentido de las


operaciones de multiplicación y de la

división.

Más específicamente, la situación “elegir la

mejor regla” permitió a los alumnos de tercer

grado:

• Desechar criterios centrados en

una sola variable e intentar

considerarla relación entre las

dos variables

• Desarrollar un procedimiento

para comparar que consiste en

aplicar las reglas a una misma

cantidad de estampas

• Mejorar en poco tiempo la

eficiencia de este procedimiento,

sobre todo al incorporar el uso de

la multiplicación en el papel de

operador interno, para calcular

un número de estampas. Desde

el punto de vista de este

procedimiento, el valor de las

razones podría haber sido no

entero sin que esto afectara el

nivel de dificultad (por ejemplo,

“por cada 2 fichas se dan 3

estampas”)

Por otra parte, la experiencia puso en

evidencia otra aceptación de la

multiplicación, como operador externo

constante, la cual se manifiesta como una

construcción conceptualmente más compleja.

El que los alumnos no hayan identificado a

estos operadores puede deberse en parte, en

este caso particular, al hecho de que las

magnitudes en juego no son iguales, unas

son fichas, las otras son estampas, el cambio

no es sólo cuantitativo sino también

cualitativo ( un contexto como el de los

intereses de un banco podría ser más

favorable). Pero, más allá de esta dificultad,

es probable que la identificación de los

operadores requiera de un mayor nivel de

desarrollo de la noción de equivalencia de

razones: es la condición para que el

operador emerja con el sentido de “aquello

que tiene en común los conjuntos de

razones equivalentes”, es decir, con el

sentido de una razón constante.

DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS Y FORMACION DE LOS PROFESORES

BLOQUE III

ANÁLISIS

EXPERIMENTACIÓN Y

OBSERVACION DE

ACTIVIDADES DE

ESTUDIO

¿Qué puede ofrecer la didáctica a la

formación de los profesores? Esa es la difícil

cuestión que me plantearon los

organizadores de esta reunión. Es una

cuestión difícil pero también una cuestión

crucial para el campo didáctico, puesto que

el mejoramiento de la educación matemática

depende en gran medida de la formación

inicial y continua del profesorado. Se puede

aproximar de varias maneras. Lo voy a hacer

aquí apoyándome en mi experiencia personal

como investigadora en didáctica y como

profesor que ha sido implicado durante

muchos años en la formación del

profesorado. No dudo que mi reflexión no

pretende la universalidad, puesto que está

fuertemente marcada por mi propia

experiencia y por los contextos y la cultura

en que encuentro estos problemas. Por eso,

sus cuestiones, sus comentarios serán

particularmente bienvenidos.

En Francia, la didáctica de las Matemáticas

se constituye primero como un campo de

investigación fundamental. Eso no significa

que no les importaba a los didactas mejorar

el funcionamiento de la enseñanza de las

matemáticas. Pero pensábamos que una

acción eficaz sobre la enseñanza necesitaba

más conocimiento de lo que teníamos, que

se debía dar la prioridad a la comprensión

del funcionamiento de los sistemas

didácticos en que se organizan las relaciones

entre la enseñanza y el aprendizaje. Esta

comprensión pasaba por la organización de

realizaciones en clase y una metodología

específica se constituyó para eso: la

metodología de ingeniería didáctica, con la

intención de abarcar mejor la complejidad

de la clase; pero no se pretendía que tales

ingenierías se podían importar sin más

trabajo en clases ordinarias o producir los

mismos efectos.

Incluso, si casi todos los didactas trataban

de utilizar su conocimiento didáctico para

mejorar localmente el funcionamiento del

sistema, se quedan muy prudentes en

cuanto a lo que pudiera resultar de una

transposición incontrolada de resultados

didácticos en decisiones pedagógicas. Los

problemas encontrados con la

reproductividad de ingenierías didácticas

muy bien mostraban la dificultad de tal

empresa.

15 Conferencia didáctica por Michelle Artigue en

el Instituto Superior del profesorado Joaquin V

gonzalez.

DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS Y FORMACIÓN DE LOS PROFESORES


La creación de los IUFM a principios de los

noventa modificó profundamente esta

situación. Con esta creación, se afirmó la

voluntad de quebrar con una formación

profesional del profesorado de secundaria

basada en la imitación de profesores

expertos: los consejeros pedagógicos que

acompañaban a los profesores

principalmente en la carrera. Se afirmó la

voluntad de construir para todos una

verdadera formación profesional basada en

una interacción positiva entre conocimientos

establecidos en varios campos de

investigación: didáctica, psicología,

sociología de la educación, y el mundo de la

práctica docente. La didáctica, que había ya

entrado en la formación de los maestros de

primaria, integrada a la formación

matemática, entró entonces en la formación

del profesorado de secundaria y se planteó el

problema de saber qué didáctica estudiar y

cómo hacerlo y luego tratar de medir los

efectos de tales formaciones. Se planteó el

problema de saber cómo los conocimientos

construidos por la didáctica podían ayudar al

profesorado principiante en su práctica

cotidiana en su clase. Este cambio tuvo

muchas consecuencias incluso al nivel de la

investigación fundamental. Volveré a este

punto al fin de la conferencia. Ahora,

después de esta breve introducción, quisiera

presentar la organización global de la

conferencia. Primero, trataré de apuntas qué

tipos de conocimientos producen la didáctica

de las matemáticas. Segundo, discutiré el

problema de su transposición didáctica en la

formación inicial del profesorado, antes de

volver a los desarrollos recientes de la

investigación didáctica inducidos por esta

transposición y los problemas que plantea.

II. ¿QUÉ TIPOS DE

CONOCIMIENTOS PRODUCE

LA DIDÁCTICA DE LAS

MATEMÁTICAS?

La didáctica produce conocimientos que se

sitúan a diferentes niveles y voy aquí a

distinguir tres tipos principales de

conocimientos:

- Conocimientos que se sitúan

al nivel de funcionamiento

cognitivo del alumno y del

aprendizaje.

- Conocimientos que se sitúan

al nivel del funcionamiento de

situaciones de clase.

- Conocimientos por fin que se

sitúan a un nivel macro-

didáctico y que se sitúan al

nivel del funcionamiento

institucional o de la ecología

de los saberes de enseñanza.

II.1 LOS CONOCIMIENTOS DE TIPO

COGNITIVO: UNA AYUDA PRECIOSA A

LA COMPRENSIÓN DE LOS PROCESOS

DE APRENDIZAJE.

Las aportaciones de la didáctica en este

dominio se basan generalmente en teorías

más generales del aprendizaje. Hemos

vivido y vivimos aun hoy bajo la dominación

de teorías dichas constructivistas, heredadas

más o menos directamente de la

epistemología de Piaget. En éstas como lo

saben bien, se modeliza el aprendizaje como

un proceso de adaptación biológica del ser

human a su entorno, incluyendo procesos de


asimilación y acomodación. La construcción

del conocimiento no se puede concebir como

algo continuo. Se hace de desequilibrios,

rupturas con conocimientos anteriores,

reconstrucciones. Veremos dentro de un

momento cómo se concretiza esto en un

dominio particular: el álgebra, pero antes

quisiera subrayar que, estos últimos años,

las limitaciones de la aproximación

constructivista han sido más y más

apuntadas, en particular en cuanto ala

dimensión social y cultural del aprendizaje.

Esto dio lugar a una gran diversidad de

aproximaciones teóricas, del socio-

constructivismo a aproximaciones de tipo

francamente cultural, subrayando el papel

jugado en el aprendizaje por procesos de

enculturación que no obedecen a la misma

dinámica que los procesos ya mencionados.

Vivimos de hecho aun, desde el punto de

vista del aprendizaje, en un paisaje teórico

por lo menos no unificado, pero donde

podemos vislumbrar unos puntos de

convergencia como los siguientes:

1. El aprendizaje de las

matemáticas es un proceso

complejo en el cual se

mezclan estrechamente el

individual, el social y el

cultural.


matemáticas no es un

proceso continuo. Necesita

reconstrucciones,

reorganizaciones e incluso, a

veces, verdaderas rupturas

con conocimientos y modos

de conocimiento anterior.


matemáticas no se puede

concebir como una simple

progresión entre niveles de

abstracción creciente. Es

tanto esencialmente

desarrollo de asociaciones,

articulaciones, flexibilidad

entre puntos de vista,

registros semióticos, marcos

matemáticos…


matemáticas depende

fuertemente, a la vez en sus

procesos y en su contenido

de los instrumentos

materiales y simbólicos del

trabajo matemático.

Además, los conocimientos

que desarrollamos son

fuertemente

contextualizados. Muy pocos

se transforman en

verdaderos saberes.

Todo esto puede parecer evidente, pero si

es evidente, se trata de una evidencia

tomada en cuenta muy poco por la

enseñanza. Para mostrarlo, es necesario

salir del registro de las generalidades y

examinar un dominio particular. Tomaré el

dominio del álgebra elemental.

Muchas investigaciones, internacionalmente,

se han dedicado a este dominio durante los

20 últimos años. Han demostrado, por

ejemplo el hecho de que la entrada en el

pensamiento algebraico necesita varias

rupturas con los modos de pensamiento

anterior heredados del trabajo numérico.


No puedo entrar en muchos detalles y solo

apuntaré unas rupturas esenciales:

- La ruptura entre resolución

aritmética y resolución

algebraica, la primera

perteneciendo al registro de

síntesis, donde se adelanta de

conocido en conocido hasta

obtener la respuesta buscada,

la segunda perteneciendo al

registro analítico donde se

ponen sobre el mismo pie

datos e incógnitas, se trabaja

con ellos, escribiendo y

transformando relaciones

hasta encontrar la solución.

- La reconstrucción necesaria

del sentido de la igualdad que

no se puede más concebir solo

con un punto de vista de señal

de producción y debe integrar

el punto de vista de

equivalencia.

- La evolución del estatuto de

las letras que de abreviaturas

de vuelven símbolos que

denotan números y que van a

tomar parte en las

computaciones.

- El pasaje de un control

esencialmente externo,

permitió por la resolución

aritmética a un control que se

vuelve parcialmente interno

basado en la legitimidad de las

transformaciones hechas,

deben conservar la denotación

de los objetos algebraicos, sin

referencia a lo que modelan

las expresiones manipuladas,

un cambio esencial difícil

aceptar que hace la fuerza del

trabajo algebraico.

Los resultados de las investigaciones han

también llamado la atención sobre el papel

jugado en el aprendizaje algebraico por el

desarrollo de articulaciones entre los

diferentes registros semióticos del trabajo

en álgebra: registro de las expresiones

algebraicas pero también el registro de la

lengua natural y el registro gráfico,

particularmente cuando se trabaja con

funciones. Han mostrado también las

dificultades introducidas por los cambios

sutiles que existen en las escrituras

simbólicas en aritmética y álgebra: implícito

de signos operatorios como la multiplicación,

de ciertos coeficientes, imposibilidad en

álgebra de finalizar todas las operaciones y

presentar resultados sin signos operatorios.

Han mostrado por fin la doble dimensión

sintáctica y semántica de las escrituras

algebraicas y el papel que jugaba en la

competencia algebraica la capacidad de

explotar la semántica interna de las

operaciones, lo que muchos llaman su

sentido.

Por otra parte, el trabajo con hojas de

cálculo y con programas de cálculo formal

han también mostrado cómo el uso de tales

instrumentos podía modificar el aprendizaje

del álgebra en sus formas y también en su

contenido.

Infortunadamente, las investigaciones

muestran también que los sistemas de

enseñanza son poco sensibles a estas

características del aprendizaje del álgebra.

Dejan la identificación de las rupturas al


trabajo privado de lo alumno, presentando el

álgebra como una aritmética simplemente

generalizada, y muchas veces como un

mundo sonde solo se funciona con reglas que

deben memorizar, y no se atiende al sentido.

Se encierra la entrada en este mundo en el

de la resolución de ecuaciones y del cálculo

formal y gratuito sobre expresiones,

olvidando el papel esencial que tiene el

álgebra incluso elemental en el acceso a la

generalidad y a la racionalidad matemática,

olvidando la necesidad de desarrollar una

inteligencia del cálculo algebraico.

Volveremos a este punto en la tercera parte

dedicada a la formación. Dado el tiempo que

tenemos, me voy a parar aquí en cuanto a la

parte “cognitiva” y hacer un salto en la

complejidad didáctica, abarcando el nivel de

las situaciones de clase.

II.2 LOS CONOCIMIENTOS DE TIPO

SITUACIONAL: DEL ALUMNO SUJETO

COGNITIVO AL ALUMNO SUJETO

INSTITUCIONAL.

Para abarcar este nivel de la “realidad

didáctica”, tenemos en Francia un apoyo

teórico bastante sólido: el de la teoría de las

situaciones didácticas iniciadas por G.

Brousseau. No tengo tiempo aquí para entrar

en los detalles de la teoría y espero que no

sea para ustedes una cos completamente

nueva. Pensando en el tema de hoy y en la

articulación con la parte procedente, quería

subrayar unas aportaciones esenciales de

esta teoría.

La teoría de las situaciones didácticas se

sitúa desde el punto de vista cognitivo en el

ambiente constructivista pero no se trata de

una teoría cognitiva.

Lo que se trata de entender y modelizar es

la situación social de clase en la que el

alumno va a encontrar y trabajar objetos

matemáticos.

Es la situación el objeto central de la teoría.

Y quisiera presentar esta modelización como

algo que tiene varios niveles, que permite

abarcar de modo progresivo la complejidad

del sistema de clase de hecho, voy a

introducir aquí dos niveles de modelización.

- El primero, el nivel a-

didáctico, se puede ver como

el nivel de la modelización

cognitiva con el sentido

amplio dado a este término

en la parte precedente. En

esta modelización, los

alumnos se modelizan como

sujetos cognitivos.

Interactúan con otros

alumnos en su medio que

ofrece posibilidades de acción

y de control. Los

conocimientos que elaboran

resultan de sus adaptaciones

individuales y sociales a este

“miles”. Vía la modelización,

se trata de entender las

posibilidades de acción,

control y validación ofrecidas

por la interacción con el miieu

asociado a la situación. Sin

este entendimiento, no se

comprende el sistema

dinámico que constituye la

situación y no se pueden

interpretar los

comportamientos observados.

- El segundo, el nivel didáctico,

se puede ver como el nivel en


- que se añade al modelo

precedente la dimensión

institucional del aprendizaje.

Los alumnos no se consideran

más como puros sujetos

cognitivos, sino que se toma

en cuenta el hecho de que son

también sujetos de una

institución, con sus normas,

valores, expectaciones

relativas al saber matemático.

El concepto de contrato

didáctico juega en este nivel

de modelización un papel

determinante.

Los procesos de adaptación desarrollados por

los alumnos son, de hecho, una mezcla sutil

de procesos a-didácticos. Entender esta

sutileza es algo esencial para entender lo que

se puede aprender, lo que se pretende en

una situación dada. En cada situación de

enseñanza, podemos ver una tensión entre

los dos tipos de adaptación que se puede

modelar como una dinámica entre los dos

niveles de modelización introducidos. Una

hipótesis fundamental de la teoría es que las

adaptaciones a-didácticas son necesarias

para aprender matemáticas. ¿Cómo se puede

conseguir esto cuando profesores y alumnos

saben que encuentran en una institución

didáctica con objetivos didácticos

específicos? La presión del contrato didáctico

se debe hacer lo más ligera posible, los

alumnos deben de olvidar, al menos

temporalmente, que su profesor tiene

intenciones precisas y renunciar a tratar de

adivinarlas.

Brousseau expresa esta necesidad en

términos de necesidad de un proceso de

devolución que transmita la responsabilidad

matemática de la situación a los alumnos.

Se trata de un proceso porque, a los largo

de la fase a-didáctica, el profesor debe

actuar para mantener esta transferencia de

responsabilidad que no es nada natural.

Las fases a-didácticas producen

conocimientos matemáticos, pero

conocimientos muy dependientes de las

acciones particulares y del contexto de la

situación. Otro papel esencial del profesor es

ayudar a los alumnos a relacionar estos

conocimientos locales con los conocimientos

institucionales que ambiciona la enseñanza.

Por eso, en la teoría, se oponen dos

procesos inversos: el proceso de devolución

y el proceso d institucionalización. Estos dos

procesos estructuran las relaciones entre los

dos niveles de monetización y mencionados:

al a-didáctico y el didáctico, como lo

muestra el esquema siguiente:


Conocimiento a-didáctico

Situación a-didáctica

Situación didáctica

Inst itucionalisación Devolución

Conocimiento institucional

Con este tipo de modelización y los

conceptos asociados, la teoría de las

situaciones didácticas nos provee de

instrumentos para analizar situaciones de

clase, no solo situaciones construidas en su

ambiente sino también situaciones

ordinarias, prever a priori sus

potencialidades en términos de aprendizaje,

identificar los procesos de adaptación de los

alumnos y no dejarse atrapar por la ilusión

de aprendizajes que pueden dar

funcionamientos dictados esencialmente por

el contrato didáctico. Nos da también

instrumentos para analizar las acciones y

mediaciones del profesor y prever sus

efectos posibles.

Hasta este punto, traté de explicar las

principales aportaciones de la teoría de las

situaciones didácticas. Antes de ilustrar estas

aportaciones con un ejemplo, yo quisiera

subrayar que los instrumentos de análisis al

nivel situacional, no se limitan a esta teoría,

incluso en Francia. Los conceptos y

construcciones ligados a la dialéctica

herramienta/objeto y los juegos de marcos

desarrollada por Douady, y más

recientemente las aportaciones a este nivel

de la teoría antropológica de didáctico

desarrollada por Chevelard: análisis de las

praxeologías matemáticas del estudio

matemático (momento de primer encuentro,

de trabajo de la técnica…), dan otras

perspectivas complementarias.

Generalmente, para mostrar las

aportaciones de la teoría, nos referimos a

situaciones elaboradas dentro de la teoría, y

que han hecho la prueba de sus

potencialidades. Aquí, me parece preferible

referirme a problemas y situaciones más

ordinarias. La ambición d la situación que

vamos a analizar es la de hacer encontrar a

los alumnos la funcionalidad del álgebra

para resolver problemas numéricos. No se

trata de un problema particular sino de un

tipo de problema dependiente de varias

variables. El modelo es el siguiente:

Dos alumnos tienen cada uno una

calculadora. Los dos eligen juntos un

número. Juan lo registra en la calculadora,

lo multiplica por… y añade… al resultado. El

segundo, Pedro, lo multiplica por… y añade…


al resultado. Los dos constatan que obtienen

los mismos resultados. ¿Es posible eso?

¿Puedes encontrar los números iniciales que

han elegido? ¿Estas seguro que fueron esos?

Claro que, para alumnos que no están

familiarizados con álgebra, o que solo utilizan

álgebra por razones de contrato didáctico,

este problema planteado en el plano

numérico, no va a inducir una resolución

algebraica. Claro también que, como no se

conoce el número de partida, ni el número

final, una resolución aritmética que

consistiría en invertir las transformaciones

sucesivas está fuera del alcance. En los

términos de la teoría, podemos anticipar

estrategias básicas hechas de ensayos

numéricos, tratando de reducir la distancia

de los resultados. Con ciertas variables, la

solución es accesible y aun la convicción de

que es la única solución, convicción ligada a

la aprehensión pragmática de la evolución de

la distancia cuando se cambian los números

iniciales. Este tipo de elección puede permitir

entrar en el problema y anticipar en el

proceso de devolución. Con otras elecciones

de las variables de la tarea, tal resolución por

ensayos controlados, se vuelve más difícil y

aun fuera del alcance (números decimales o

fraccionarios). El álgebra como la única

solución. Pero no podemos asegurar que esa

solución va a aparecer de modo espontáneo

en la clase y ese es el caso que más

frecuentemente encontramos, en particular

cuando se trata de matemática avanzada

respecto de la matemática de la primaria.

Podemos encontrar problemas cuya

resolución necesita los conocimientos que

queremos hacer construir a los alumnos, los

alumnos pueden trabajar con estas

situaciones, adelantar hasta cierto punto,

comprender las limitaciones de sus

herramientas usuales, pero no podemos

asegurar que van a construir en un

funcionamiento a-didáctico el conocimiento

ambicionado. Las intenciones con el

“milieu”, la exploración que pueden hacer

con sus conocimientos anteriores, la

distancia entre lo ya conocido y lo nuevo no

lo permiten. La mediación del profesor se

vuelve necesaria para ayudar a la evolución

cognitiva. Y con esta se introduce una

dinámica más compleja entre los dos niveles

de modelización y el riesgo de pasar de

adaptaciones a-didácticas a adaptaciones

puramente institucionales.

De hecho, lo que vemos aquí es que la

entrada en el modo de pensamiento

algebraico no es algo fácil, incluso si usamos

problemas que necesitan esta entrada. Se

puede ver como la entrada en otra cultura.

En la enseñanza, generalmente, esta

entrada se maneja de modo contracutual.

Se introducen las x, se muestra como

utilizarlas dentro de prácticas ostensivas de

enseñanza y luego se espera que los

alumnos se conformen a la nueva cultura.

Los problemas planteados les permiten

saber cuándo se deben utilizar letras y

aprender a jugar su papel de alumno

algebrista. El álgebra se vuelve rápidamente

un dominio de reglas y de legalidad, un

dominio en que no se necesita pensar, no se

puede dar sentido. Se debe solo tener un

comportamiento conforme a nuevas normas

institucionales.

Claro que se podría profundizar el análisis,

pero tenemos que adelantar.


II.3 CONOCIMIENTOS MACRO-

DIDÁCTICOS: UN APOYO ESENCIAL

PARA ENTENDER EL

FUNCIONAMIENTO INSTITUCIONAL

Y LA ECOLOGÍA DE LOS SABERES DE

ENSEÑANZA.

En este párrafo, quería apuntar otro nivel de

conocimiento ofrecido por la didáctica de las

matemáticas. Para mí, dado que mi cultura

aparece inseparable de las teorías

desarrolladas por Chevallard, sea la teoría de

la transposición didáctica, sea la teoría

antropológica. No voy a entrar aquí en

muchos detalles. Quería simplemente

subrayar lo que personalmente veo como

aportaciones esenciales de este enfoque.

- Primero, con la teoría de la

transposición didáctica, se ha podido

salir de una visión bastante ingenua

de los saberes enseñados, vistos

como puras simplificaciones a fines

de adaptarse a un público de

alumnos a saberes científicos o

técnicos de referencia. La teoría,

inicialmente basada en el análisis de

la reforma de las matemáticas

modernas, muestra que los saberes

enseñados obedecen a una

economía particular, inducida por

las características de los sistemas

didácticos, que una vez introducidos

en estos sistemas se adaptan a

estos sistemas y tienen en ellos su

propia vida que, a veces, tiene poco

que ver con las expectaciones de

sus promotores.

- Segundo, con la teoría

antropológica, se toma la medida

de la relatividad de los saberes, de

su dependencia de las instituciones

en que se desarrollan, se utilizan o

se enseñan, de las normas propias

a cada una. Nos ayuda la teoría a

tomar cierta distancia de una visión

conceptual idealizada de los objetos

matemáticos y a sacar las

consecuencias del hecho que, para

los matemáticos como para los

alumnos, estos objetos emergen de

prácticas y no existen por sí

mismos en absoluto.

Para ilustrar este punto, tomare sólo un

ejemplo, siempre ligado a álgebra, sacado

de la tesis de "una estudiante mía Grugeon.

El punto de partida de su trabajo de tesis

fue ciertas experiencias negativas que vivían

como profesor de clases de transición entre

la enseñanza profesional y la enseñanza

general. Alumnos seleccionados entraban en

estas clases, con gusto para la matemática

y una" fuerte 'motivación. Unos meses más

"tarde; "era un" fracaso" completo y álgebra

era causa esencial del fracaso. Los

profesores explicaban este fracaso

invocando el bajo nivel de estos alumnos'

que venían del profesional y sus limitadas

posibilidades matemáticas que ya habían

conducido a su orientación profesional. Se

aprecia una explicación plausible pero fácil.

Basándose en la teoría antropológica,

Grugreon hizo la hipótesis que

discontinuidades institucionales podían

desempeñar aquí un papel importante.


Incluso si se hablaba de los mismos objetos,

las relaciones institucionales a estos objetos

en los dos tipos de liceos eran

profundamente diferentes y, por eso, en la

transición institucional, los profesores del

general no eran capaces de identificar los

conocimientos de sus alumnos y apoyarse en

ellos, los alumnos no podían entender las

expectativas de sus nuevos profesores y

utilizar sus conocimientos anteriores para

adaptarse. El hecho ya mencionado que una

parte esencial de estos conocimientos se

quedaba contextualizada y movilizable sólo

para uno que podía evocar el contexto,

amplificaba el problema. Grugeon trabajó

con esta hipótesis, analizando con

programas, .libres de texto, 'cuadernos de

alumnos, textos de exámenes, las relaciones

institucionales, y mostrando las diferencias

sutiles que se escondían detrás de

programas que, a primera vista, parecían

muy próximos y hechos cortando y pegando.

Eso, con la construcción de un modelo

multidimensional de la competencia en

álgebra elemental, le permitió identificar el

real estado de los alumnos ingresando del

profesional y buscar en sus conocimientos los

gérmenes posibles de la entrada en el

pensamiento algebraico.

Hizo evidente la diversidad de los gérmenes

posibles, diferentes de un alumno a otro,

debido a la diversidad de las historias

individuales. Y con esto, construyó un

programa de ayuda individual izada para los

alumnos que permitió a la mayoría de estos

sobrepasar el fracaso inicial.

Frderic Praslon, en una tesis defendida en

enero, utilizó una problemática similar para

analizar las continuidades y rupturas en la

enseñanza de la derivada, en la transición

liceo universidad, mostrando que el

discurso común sobre la transición y el

conocimiento de los estudiantes cuando

ingresan a la universidad era por lo menos

ingenuo. Presentaré este trabajo en el

curso de análisis, la semana próxima.

Las aportaciones de la didáctica de las

matemáticas no se reducen a 10 que

presenté rápidamente en esta primera

parte, pero podemos considerarlo como un

punto de partida suficiente para discutir la

cuestión de lo que puede ofrecer la

didáctica a la formación del profesorado.

III. DIDÁCTICA Y FORMACIÓN

DE PROFESORES

Me limitaré aquÍ a la formación inicial de los

profesores. Plantea problemas diferentes de

la formación continua y, a lo que parece,

mucho más difíciles de resolver. Me limitaré

también a la enseñanza secundaria que

conozco mejor y que también plantea en

este dominio problemas más serios. Como lo

mencioné antes, la creación de los IUFM

hizo entrar la didáctica como materia en la

formación de los profesores de secundaria. Y

los didactas tuvieron que decidir qué

enseñar y cómo. Las opciones fueron muy

diversas, y la importancia dada a los

desarrollos teóricos bastante variada.

Aparecieron muchas dificultades que

condujeron a una reflexión más amplia

sobre la naturaleza de la profesionalidad

docente y sobre su formación.


Nuestros estudiantes, después de una

formación académica en matemáticas,

encontrándose inmediatamente con una

clase bajo su responsabilidad de seis horas

cada semana, buscaban antes que nada la

manera de asegurarse cierto nivel de

bienestar en la clase y un ambiente apacible.

Eso no es tan fácil ahora como era antes, la

escuela no pudiendo escapar a los problemas

de la crisis social y de manera general, una

evolución cultural de los sistemas de valores

donde la autoridad de los padres, el valor del

trabajo tienden a desmayarse.

Los problemas que encontraban tenían para

ellos poco que ver con la dimensión

didáctica de la reflexión profesional. No

percibían como sus elecciones didácticas,

como. su poco conocimiento del

funcionamiento del alumno, de las

dificultades del aprendizaje influían sobre

problemas vistos como de pura autoridad.

Peor, cuando se había establecido cierto

bienestar, se estimaban satisfechos y

cuestionarse sobre la realidad de la

actividad matemática de los alumnos no era

una tendencia espontánea.

Las situaciones propuestas en la formación

les parecían demasiado abiertas, demasiado

complejas para ser accesibles, reservadas a

profesores expertos.

Eso puede parecer una visión pesimista. No

lo es. Simplemente, muestra que, bajo las

coerciones que encuentra esta formación

profesional, concentrada casi en un año,

una integración eficaz de lo didáctico a la

formación no se finaliza fácilmente.

Una estudiante mía hace actualmente su

tesis sobre la evolución de la relación al

álgebra de estos profesores principiantes en

el segundo año del IUFM. Investiga esta

transición institucional de la posición de

estudiante a la posición de profesores,

analizando la evolución de unos profesores a

lo largo del año. La hipótesis que hace es

que esta evolución es algo sutil y

multidimensional, que se manifiesta de

forma diferente en las diferentes tareas

profesionales del profesor, dentro y fuera de

su clase, que presenta unas regularidades

pero también mucha diversidad

dependiendo de la historia matemática y

didáctica de cada profesor.

Lo que muestran los resultados obtenidos

hasta aquí en esta investigación, pero

también más generalmente, es una

diferencia de accesibilidad entre los

diferente tipos de conocimientos ya

mencionados. En primer lugar vienen los

conocimientos del primer tipo, concernientes

al alumno, sus dificultades, la coherencia

que se puede esconder tras respuestas

erróneas. A este nivel, al fin del año,

alcanzamos un nivel de análisis que parece

bastante bueno.

En lo que concierne a la construcción y el

análisis de situaciones didácticas, notamos

una gran distancia entre los análisis que

pueden hacer a posteriori los estudiantes de

situaciones, por ejemplo trabajando sobre


transcripciones o videos en formación, y lo

que ponen generalmente en jugo preparando

sus propias secuencias de clase o actuando

en la clase. Notamos también una gran

diferencia entre lo que producen

colectivamente en formación "y” sus

prácticas de clase. Entre los conceptos de la

teoría de las situaciones didácticas, los de

variable didáctica, los de contrato didáctico

parecen los más accesibles. Pero lo que

domina es la dificultad que tienen los

estudiantes para preguntarse sobre la

responsabilidad matemática que dan a sus

alumnos, la que podrían dar, cambiando las

tareas o su gestión, la dificultad también que

tienen a problematizar una situación. En

esto, se gana muy poco dentro de este

primer año de formación.

Durante muchos años, la investigación se

focalizó sobre el alumno, considerando el

profesor como un actor transparente de la

relación didáctica. Puso el énfasis sobre la

necesidad de lo a-didáctico, buscó

situaciones fundamentales para este tipo de

relación con el saber, consideró al profesor

como un partidario del investigador en el

diseño y experimentación de ingenierías

didácticas, todo eso contribuyó a hacer del

profesor una figura no problematizada de la

relación didáctica.

Hoy, somos muy conscientes de que falta

una teoría del profesor desarrollada al mismo

nivel que la teoría del alumno.

Las investigaciones en este dominio

empezaron con trabajos sobre sus creencias

pensando que, en estas, se tenía la llave de

los problemas encontrados en las dificultades

de transmisión del didáctico. Hoy en día,

hemos entendido que esta aproximación está

lejos de ser suficiente. Comprender las

decisiones que toman los profesores en la

clase, sus determinaciones y sus efectos,

.no se puede hacer tomando simplemente

en cuenta sus creencias, su conocimiento

matemático. Necesitamos más conocimiento

sobre lo que es- realmente el trabajo

profesional del profesor, un trabajo que

corresponde, como lo expresan los

ergónomos, al manejo de entornos

dinámicos y abiertos para poder pensar

cómo podemos ayudarle en su trabajo

gracias a nuestro conocimiento didáctico.

El problema planteado es el siguiente:

Un prestidigitador te propone el truco

siguiente: elige un número...

Siempre vas a obtener 7.

¿Qué te parece este truco?

En esta situación, el álgebra aparece

como un modo imprescindible Para

probar que cualquiera que sea el

número de entrada, la salida siempre

será 7. Es decir que el conocimiento

que se usa es necesario para la

solución del problema. Las variables

de la situación han sido elegidas para

que un razonamiento aritmético no

sea suficiente.

GUIA PARA LA OBSERVACION DE UNA CLASE DE MATEMATICAS___________________

1. ¿CUÁL ES EL OBJETIVO DE LA CLASE?

a) Objetivo de aprendizaje

- de una noción

- de un leguaje

- de una técnica

- de una forma de trabajo

2. OBJETIVO DE FAMILIARIZACIÓN

En función del objetivo. Cuál es la organización de la clase elegida por el maestro:

trabajo individual, trabajo de grupo o situaciones de comunicación; ¿es pertienente?

3. SITUACIÓN DE LA LECCIÓN DEN LA PROGRESIÓN A MEDIO PLAZO

- ¿Cuál es el proceso previsto para elaborar y hacer funcionar el conocimiento

involucrado?

- Cuáles son las etapas principales del proceso y cómo se articulan entre ellas

- Cuál es la evolución constatada de las concepciones de los alumnos

- Se han previsto rectificaciones durante el desarrollo de la clase

- Si la respuesta es sí, cuáles y por qué razón

- Si la respuesta es no, por qué, porque por ejemplo, las realizaciones están de

acuerdo a las previsiones o el maestro no sabe cómo tener en cuenta a los alumnos

4. TRABAJO DEL MAESTRO, TRABAJO DEL ALUMNO

5. GESTIÓN DEL

6. TIEMPO

GUÍA PARA LA OBSERVACIÓN DE UNA CLASE DE MATEMÁTICAS

INDICE INTRODUCCION ...ensech.edu.mx/documentos/antologias/par/SEMESTRE PAR2-12/10se… · El...

Documents

Transcript of INDICE INTRODUCCION ...ensech.edu.mx/documentos/antologias/par/SEMESTRE PAR2-12/10se… · El...