S E S I N 5 : C I N T I C A D E U N A P A R T C U L A

Lic. Fs. Javier Pulido Villanueva

Introduccin

Impulso y cantidad de movimiento angular

El impulso angular de una fuerza respecto a un punto O durante el intervalo de tiempo de 1 a 2 se define como

Impulso angular = 2

1

= 2

1

IMPULSO ANGULAR DE UNA FUERZA

---------- (1)

donde = es el momento de una fuerza respecto al punto O.

La unidades del impulso angular en el SI es y en el sistema ingles es

La formulacin vectorial cartesiana del momento de una fuerza

respecto al punto O se escribe como = + + , entonces

las componentes rectangulares de la ecuacin (1) son

Impulso angular =

2

1

Impulso angular =

2

1

Impulso angular =

2

1

Si la direccin de es constante en el intervalo de tiempo de 1 a 2,

entonces y el impulso angular tienen la misma direccin.

Si la magnitud y direccin de son constantes, el impulso angular es

Impulso angular = 2 1 ------------------- (3)

------------------- (2)

Considrese una partcula P de masa m que se mueve respecto a un sistema de referencia coordenado rectangular.

CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR

Se define la cantidad de movimiento angular de una partcula respecto a un punto O como

=

donde denota el vector de posicin de la partcula P. El vector es perpendicular al plano sombreado que contiene a y .

------------------------------ (4)

De las propiedades del producto vector, se define que la cantidad de

movimiento angular es un vector de magnitud

Las unidades en el SI es 2/ y en el sistema ingles 2/.

= sen

donde es el ngulo entre a y

. El sentido de puede determinarse a partir del sentido de

aplicando la regla de la mano derecha.

-------------- (5)

Al expresar los vectores y componentes rectangulares, la ecuacin (4) es determinado evaluando el determinante, se escribe

=

Las componentes de se obtienen desarrollando la determinante y se escribe

=

=

=

------------------------- (6)

---------------------------- (7)

Las componentes , y representan los momentos de la cantidad

de movimiento lineal alrededor de los ejes coordenados.

RELACIN ENTRE MOMENTO DE UNA FUERZA Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR

Al derivar la cantidad de movimiento angular de la partcula respecto al

tiempo, se obtiene

=

= +

donde el trmino = = 0, ya que el producto vector de un

vector consigo mismo es cero; adems =

. Por tanto

= +

=

donde = .

Esta ecuacin establece que la suma de los momentos de O de las fuerzas que actan sobre la partcula es igual a la razn de cambio de la cantidad de movimiento angular, de la partcula alrededor de O.

--------------------------------- (8)

Principio del impulso y cantidad de movimiento angular

Integrando la ecuacin (8) en el intervalo de tiempo de 1 a 2, tenemos

2

1

= 2 1

o, al transponer el ltimo trmino

1 +

2

1

= 2 --------------------- (9)

A esta ecuacin se le conoce principio del impulso angular y cantidad de movimiento angular.

Las componentes rectangulares de la ecuacin (9) son

1 +

2

1

= 2

1 +

2

1

= 2

1 +

2

1

= 2

-------------------- (10)

El termino es la integracin respecto al tiempo de los momentos de todas las fuerzas que actan sobre la partcula en el

periodo de 1 a 2.

PROBLEMA EJEMPLO 1

Las esferas A y B pesan 4 lb cada una y estn soldadas en las barras que estn rgidamente conectadas a una flecha como se muestra. Si la

flecha se somete a un momento de par = 42 + 2 lbpie, donde t est en segundos, determine la velocidad de A y B cuando = 3 s. El sistema comienza a moverse a partir del punto de reposo. Ignore el

tamao de las esferas.

PROBLEMA EJEMPLO 2

El bloque de 10 lb est en reposo sobre la superficie lisa. En l actan una fuerza radial de 2 lb y una fuerza horizontal de 7 lb, siempre dirigida a 30 de la tangente a la trayectoria, como se muestra.

Determine cunto tiempo necesita para romper la cuerda, la cual

requiere una tensin de = 30 lb. Cul es la rapidez del bloque cuando esto ocurre? Para efectos de calculo, ignore el tamao del

bloque.

Conservacin de la cantidad de movimiento angular

Si los impulsos angulares que acta sobre una partcula es cero durante

el tiempo de 1 a 2, la cantidad de movimiento angular se conserva. En consecuencia la ecuacin (9) se reduce a

---------------------------- (11)

Esta ecuacin se conoce como el principio de conservacin de la cantidad de movimiento angular.

1 = 2

La ecuacin (11) establece que de 1 a 2 la cantidad de movimiento angular permanece constante.

PROBLEMA EJEMPLO 3

El carro de 150 lb de un juego mecnico est conectado a una plataforma telescpica giratoria. Cuando = 15 pies, el carro se desplaza en una trayectoria circular horizontal a una rapidez de

30 pies/s. Si la pluma se acorta a razn de 3 pies/s, determine la rapidez del carro cuando = 10 pies. Ignore el tamao del carro y la masa de la pluma.

PROBLEMA EJEMPLO 4

Un juego mecnico consta de un carro sujeto al cable OA. El carro gira en una trayectoria circular horizontal y alcanza una rapidez 1 = 4 pies/s cuando = 12 pies. Luego se tira del cable a una velocidad constante de 0,5 pies/s. Determine la rapidez del carro en 3 s.