efecto, en muchas ocasiones ha estado conformadopor figuras meramente metafísicas o teológicas in-capaces no solo de ayudar al primero, sino consti-tuyendo un auténtico obstáculo intelectual.

La especulación fllosófíca ha representado unintento de los hombres por aprehender por la víadel pensamiento una realidad que se le opone co-mo objeto, de la que es parte, pero que, por laslimitaciones de su propia evolución cultural, es in-capaz de poseer el grado de evidencia empíricaque poseen las ciencias. En este sentido está máscerca de la opinión que estos últimos, aunque sinllegar totalmente a ella. Sus criterios no son tantode verdad o falsedad, sino tal vez de convenienciao no, de utilidad, aunque dentro de una visión quebusca la mejor aproximación a la realidad.

En el último siglo algunas corrientes filosóficashan intentado desestimar el valor de la especula-ción fllosófíca en beneficio de un "científicismo"que hace de la especulación filosófica metafísica,palabra sin contenido real. Esta actitud parte de unradicalismo inadecuado entre la relación de cienciay especulación, que nace en la historia moderna dela ciencia. A partir de Galileo se inició una etapacuantitativa de la ciencia: las magnitudes, las leyesnuméricas, la expresión matemática ... han sido pri-vilegiadas frente a las nociones cualitativas, especu-lativas, de la antigüedad y del medievo. Esta reac-ción, que va a enfatizar el qué frente al por qué,implicó un extraordinario avance en el conoci-miento. La indagación teórica por las causas fmalesplanteaba dificultades diversas social y analítica-mente. La visión cuantitativa era necesaria. Peroesta larga fase histórica de la ciencia moderna queha sido contrapuesta a la filosofía (que también

Angel Ruiz Zúñiga

IMPLICACIONES TEORICO-FILOSOFICAS DEL TEOREMADE GOEDEL EN EL PARADIGMA RACIONALISTA DE LA

REFLEXION SOBRE LAS MATEMATICAS

Surnrnary: [Theoretico-philosophical implica-tions of Godel's Theorem on rationalist paradigmin reflection about Mathematics]. In this article weseek to establish an historical and philosophicalinterpretation of some main characteristics ofmodem reflection about Mathematics related torationalist paradigm in knowledge theory. Weanalize mathematical foundations clasic problem-atic and intend to delineate a philosophical assess-ment of Rationalism from godelian results, weshow therefore the neea of a theoretical revolutionin Philosophy of Mathematics and modern Episte-mology.

Resumen: En este trabajo se busca estableceruna interpretación histórico-filosófica de algunasde las características centrales de la reflexión mo-derna sobre las matemáticas en relación con el pa-radigma racionalista en la teoría del conocimiento.Se incide en la problemática de los Fundamentosde las Matemáticas y se delinea un balance filosófi-co del Racionaiismo a partir de los resultadosgOdelianos, se señala la necesidad entonces de unarevolución teórica en la Filosofía de las Matemáti-casy en la Epistemología moderna.

Introducción

A la par del llamado "conocimiento positivo"de las ciencias siempre ha estado presente unacomponente especulativa-metodológica, filoséfica,no "demostrable" por la vía de la evidencia experi-mental. En el decurso histórico siempre se ha di-cho que el conocimiento positivo ha ido "robandoterreno" a la componente especulativa, que, en

Rev. Fil. Univ. Costa Rica, XXIII (58),183-194,1985

184 ANGEL RUIZ

elaboró su propia visión filosófica), no puede im-plicar la negación de la especulación fílosóflca enel devenir positivo del conocimiento. El análisiscualitativo, metodológico, filosófico, puede permi-tir la apertura de mejores derroteros por los quefluya más fácihnente la ciencia. Más aún, es posiblepensar que la historia de la ciencia reclama ennuestros tiempos enfatizar nuevamente los aspec-tos cualitativos, solo que esta vez en una síntesisextraordinaria de los cuantitativos.

En ciertas circunstancias, cuando la elección deun paradigma no se puede realizar debido a la au-sencia de suficientes elementos fácticos, la discu-sión metodológica es esencial. Sobre muchos as-pectos centrales del conocimiento esta es la situa-ción planteada.

Los resultados de Gódel dieron una importanteinformación que debe procesarse filosóficamente.A partir de ellos los matemáticos y pensadores rea-justaron los esquemas que poseían desde un princi-pio, en algunos casos abriendo terrenos teóricos degran trascendencia científica. Pero no empujaronen la conciencia teórica hacia una auténtica "rup-tura epistemológica". Soy de la opinión que esosresultados no han encontrado la mejor compren-sión, y que esta exige introducirlas en el estrato dela filosofía.

La crítica gódeliana recae sobre los aspectosformales y axiomáticos pretendidos absolutos delconocimiento matemático, y su influencia indiscu-tible en las ciencias (no solo la matemática ha sidovista como "ciencia de los sistemas formales"). Laconexión íntima que poseen estos aspectos con elracionalismo moderno, hacen que la crítica recaigatambién sobre este.

En los tiempos modernos el racionalismo inte-gró constitutivamente el reduccionismo axiomáti-co y formal, de una u otra forma. Enfrentado conel empirismo, había perdido terreno salvo en lasmatemáticas. Es en esta última trinchera que Gó-del introduce nuevos elementos decisivos.

Algunos autores recientes (por ejemplo IrnreLakatos) sugieren que los resultados de las crisis delos Fundamentos de la Matemática y de los resulta-dos güdelianos abrieron curso a un renacer empiris-ta. Pero esto es muy difícil de precisar. La realidades, tal vez, que ni el racionalismo ni el empirismo(tal y como lo hemos conocido hasta ahora) pare-cen satisfacer la mejor comprensión de la ciencia yel conocimiento. Las dos tradiciones están en losorígenes de la sociedad moderna. Sus categorías,métodos y principios han dominado hasta ahora el

horizonte epistemológico. En este trabajo, quere-mos hacer manifiesta la opinión de que losresultados gódelianos no solo afectan la reflexiónde las matemáticas sino también la filosofía de lasciencias, la epistemología en general; abren curso aun replanteamiento de la esfera teórica metodoló-gica que arrastramos en la fílosofía occidental. Es-to que todavía no ha sido totalmente comprendidodebe permitirnos iniciar la búsqueda de una visiónfilosófico-metodológica menos unilateral, menosrígida, más totalizan te, que establezca el sentidofilosófico que requiere el desarrollo moderno delconocimiento positivo. El debate sobre esto no esun problema ajeno a la vida y a la historia.

En este trabajo describimos brevemente las ca-racterísticas de la reflexión moderna sobre lasma-temáticas desde Descartes, como prolegómenos ala discusión de los Fundamentos de la Matemática,que es a su vez una introducción a las condicionesbásicas en las que emergen los resultados gódelia-nos. No se pretende aquí un desarrollo técnico,sino filosófico (tampoco exhaustivo). No se pre-tende tampoco definlr los elementos de una nuevavisión filosófico-metodológica. Nuestro objetivo esapenas la descripción de una situación histórica yfilosófica, en donde prevalece siempre, eso sí, unainterpretación teórica.

1. Mientras que en el mundo filosófico aristotéli-co-escolástíco las ideas corresponden de algunaforma al ser, a las cosas, con Descartes el problemaepistemol6gico de la verdad adquiere una dimen-sión diferente. Los criterios de verdad van a apare-cer no en la "correspondencia" con el mundo, sinoen condiciones interiores al estrato de las ideas: elrigor, la claridad y la distinción la sustituyen. Lasideas "innatas" son el fin que a través de una intui-ción racional busca ser aprehendido, al margen deuna práctica empírica. El idealismo cartesiano par-te de la deducción y la intuición como sus meca-nismos instrumentales. El modelo del análisis ma-temático (especialmente geométrico) es la referen-cia subyacente. Este reduccionismo a verdadesirmatas es una relación axiomática.

La connexíón de las revoluciones cartesianascosmológica y geométrica es también la axiomati-zación, el modelo de la mathesis universalis. Lareforma cosmológica parte de la hipótesis de laexistencia de un método universal en el conoci-miento (1), cuya universalidad viene dada como

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consecuencia de una unidad racional; es decir, esuniversal porque es racional. El sujeto determina elcarácter del método. La reforma cosmol6gica redu-ce todo a la noción de "extensión", pero además ala de "orden". Esta última y la "medida" determi-nan -para Descartes- lo que es la matemática.También debe añadirse en el marco conceptual lanoción de "movimiento". La reducción cosmológi-ea a la extensión no es en Descartes una mera ob-servación empírica. Se trata de una premisa meta-física. A través del cristal de lo "extenso" el mun-do va a poder ser desentrañado teóricamente porlas reglas de la geometría. Se trata de hacer encajarel mundo en el esquema a priori cartesiano (que esgeométrico) .

La preocupación principal de la Géometríe de1637 no va a recaer en la geometrización de lafísica, sino, como señala Brunschvicg en Les étapesde la philosophie mathématique, " ...opera unatransformación de métodos técnicos de la geome-tría y del álgebra" (2). Una preocupación ajena alas de la Regulae. Es a propósito de un problemageométrico planteado por Pappus que Descartesmuestra las ventajas de su método abstracto. Paraeste ya no se trata de aquellos objetos sensibles osuceptibles de una intuición empírica, se trata deuna relación interna abstracta, de una concatena-ción cuyo contenido es en el fondo lógica. Lo ab-soluto en la geometría sintética de los antiguos es,como diría Spengler, "apolínea", en la geometríaanalítica es "fáustica". Lo absoluto no es lo apa-rente, trasciende este plano hacia lo más general yabstracto. No se trata ya de líneas sino de medidas,de valores abstractos suceptibles de ser tratadoscomo objetos aritméticos o algebraicos. Las coor-denadas rectangulares son las que enlazan las rela-ciones geométricas y las algebraicas. En estas últi-mas se expresa lo que es esencial, la magnitud. ParaDescartes la longitud es la unidad básica, la medi-ción de la realidad espacial. Este es un supuestoteórico cartesiano que permite la aritmetizacióngeométrica, y a partir de ella la descripción analíti-ca del espacio geometrizado.

En el antiguo mundo griego la axiomática eramás que nada una forma de sistematización y ex-presión de las verdades matemáticas. Esta aparecíatambién como un elemento de las visiones filosófi-cas clásicas racionalistas griegas. En el racionalismomoderno la axiomática es retornada y potenciadacomo un elemento central constitutivo de su fílo-sofía. Las implicaciones epistemológicas y ontoló-gicas que esto va a suponer son extraordinarias. El

axiomatismo ya no va a ser simplemente un mode-lo de ordenación cognoscitiva sino la forma de laestructura misma del conocimiento. Racionalismoy axiomática aparecen como elementos imbricadosen la definición del paradigma sobre el conoci-miento que más ha influido en la filosoffa de lasmatemáticas. La visión que apuntala el papel men-tal del sujeto, y hace de condiciones internas almundo de las ideas criterios de verdad, se estableceen los tiempos modernos en estrecha relación conlas matemáticas. Va a existir siempre una conexióninterna entre la discusión sobre la epistemología engeneral y la reflexión sobre las matemáticas. Elparadigma racionalista se va a nutrir del desarrolloabstracto de las matemáticas y el carácter de esteva a ser condicionado, en cierta medida, por elprimero.

La quintaesencia del racionalismo "euclidiano"(al decir de Lakatos), que es la obtención-produc-ción de verdades a priori sin relación con el mundosensible, también aparece desde Descartes conecta-da con una visión platónica * , es decir una en don-de los objetos de la matemática pertenecen a unmundo inmaterial independiente de la creación in-dividual. En la "Meditación Quinta" de las Medita-ciones Metafísicas dice Descartes:

"Y lo que aquí encuentro más digno de consideración esque hallo en mí una infinidad de ideas de ciertas cosas,que no pueden estimarse como pura nada, aunque quizáno tenga existencia alguna fuera de mi pensamiento, y queno han sido fingidas por mí, aun cuando tenga yo libertadde pensarlas o no pensarlas, sino que tienen sus verdades einmutables naturalezas. Como por ejemplo, cuando imagi-no un triángulo, aun cuando quizá no haya en ningunaparte del mundo, fuera de mi pensamiento, una figura talcomo esa, ni la haya habido jamás, sin embargo, no dejade haber cierta naturaleza o forma o esencia determinadade esa figura la cual es inmutable y eterna, y yo no heinventado, y no depende en manera alguna de mi espíri-tu; lo cual se ve bien, porque se pueden demostrar variaspropiedades de ese triángulo, a saber: que sus tres ángulosson iguales a dos rectas, que el ángulo mayor se opone almayor lado y otros semejantes, los cuales, ahora, quiéraloo no, reconozco muy clara y muy evidentemente queestán en él, aun cuando anteriormente no haya pensadode ningún modo en ellos, al imaginar por vez primera untriángulo; por lo tanto, no puede decirse que yo las hayafingido ni inventado" (3).

Y, Descartes, concluye con lo que sería el co-razón de su argumentación clásica ontológica:

* En su versión agustiniana.

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" ...esas propiedades deben ciertamente ser todas verdade-ras, ya que las concibo claramente; y por ende son algo yno una mera nada; pues es bien evidente que todo lo quees verdadero es algo, siendo la verdad y el ser una mismacosa; y he demostrado ampliamente más arriba que todolo que conozco clara y distintamente es verdadero"(subrayado añadido) (4).

Racionalismo, axiomatismo, platonismo e idea-lismo aparecen juntos en los orígenes de lafllosofía moderna continental europea.

Para Leibniz ya no se trata de una axiomáticacon un cuerpo deductivo basado en una intuiciónracional, la intuición ya no es la evidencia interiorsino que lo son las condiciones internas. Las pro-posiciones de la matemática "son ciertas porque sunegación sería lógicamente imposible". (5). EnLeibniz el sujeto siempre contiene al predicado. Sesepara de Descartes, pero, al igual que en Descar-tes, se sigue afirmando la axiomática, y se siguesosteniendo el platonismo. De igual forma, esta vi-sión conecta íntimamente con la metafísica, la"monadología", que es un atomismo ontológicoreduccionista; si se quiere, una ontología que re-produce la forma axiomática.

Leibniz rompe con la intuición cartesiana, perola línea del racionalismo los unifica por encima deesa diferencia: la producción de las verdades apriori, la mente que genera la verdad infalible. Laconexión Descartes-Leibniz por la vía racionalistaes tal vez más estrecha que la que sugiereBeth, ensu libro Epistemología Matemática y Psicología,entre Descartes y Kant por la vía del intuicionis-mo (6). El reduccionismo cartesiano del conoci-miento a las verdades primarias "claras y distin-tas", "innatas", conecta con el del predicado alsujeto y a la ontología monadológica de Leibniz.

En ambas, por último, la mano divina tambiéntermina de resolver las dificultades metafísicas.

La tradición racionalista es enfrentada por elempirismo británico, que, con una ineludible refe-rencia en el desarrollo de las revoluciones científi-cas e industrial, y en la economía moderna, hacede la experiencia sensorial la única racionalidad vá-lida. La tradición de Bacon, Locke, Hume, etc ...,enfatiza no los aspectos cerrados (como señalaNoel Mouloud en Les structures, la recherche et lesavoir (7» sino los abiertos, orientados hacia lavariedad de la experiencia. En la reflexión sobre lasmatemáticas, sinembargo, no será sinohasta el sigloXIX (con Mill) que se establecerá la visión empiris-ta clásica, que identifica las nociones matemáticascon situaciones físicas materiales; que establece las

leyes matemáticas como inductivas, y su verdadcomo producto de la mera generalización empíri-ca. El impacto del empirismo (cuya radicalizaciónteórica es el inductivismo) alcanza a influir el de-curso racionalista ya en el sigloXVIII. La fllosofíade Kant va a tratar de sintetizar las dos tradiciones,aunque en beneficio del racionalismo.

Para Kant, la experiencia en el conocimiento esimportante. Comienza su Crítica de la Razón Puraasí:

"No se puede dudar que todos nuestros conocimientoscomienzan con la experiencia, porque, en efecto, ¿cómohabría de ejercitarse la facultad de conocer, si no fuerapor los objetos que, excitando nuestros sentidos de unaparte, producen por sí mismos representaciones, y de otraimpulsan nuestra inteligencia a compararlas entre sí, enla-zarlas o separarlas, y de esta suerte componer la materiainforme de las impresiones sensibles para formar ese cono-cimiento de las cosas que se llama experiencia? En eltiempo, pues, ninguno de nuestros conocimientos precedea la experiencia, y todos comienzan en ella" (8).

Sin embargo, continúa Kant:

"Pero si es verdad que todos nuestros conocimientos co-mienzan con la experiencia, todos, sin embargo, no proce-den de ella ... " (9).

El conocimiento a priori, las verdades a prioriproducidas por laRazón, esdecir "no aquellas quede un modo u otro dependen de la experiencia,sino las que son absolutamente independientes deella..." (la), son posibles para Kant. Más aun, alconocimiento a priori (especialmente el sintético)se refiere a la llamada "Crítica de la Razón pu-ra" (11), que ..... es la idea completa de la Filoso-fía Trascendental" (12).

El racionalismo kantfano, a su manera, integrala experiencia sensorial; la validez de la matemáticaya no viene dada por una intuición racional abs-tracta, ni tampoco por razones lógicas, sino poruna intuición espacio-temporal, por una "forma dela sensibilidad pura". No se trata de una intuiciónpropiamente sensorial, empírica: " ...lasproposicio-nes propiamente matemáticas son siempre juiciosempíricos ..." (13). Las proposiciones de la mate-mática no son analíticas, son sintéticas a priori.

Para Descartes, Spinoza, Leibniz o Kant, la Ra-zón genera verdades a priori infalibles. Se estableceen cadauno cierta combinación teórica a partir delidealismo, platonismo, axiomatismo, o intuícionis-mo. racional; para Kant el último, espacio-tempo-ralizado, es lo decisivo. Para todos la naturaleza delas matemáticas es a priori, sus verdades necesarias

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y absolutas. Mucho del carácter de la discusión enla ftlosofía moderna de las matemáticas (sobre to-do alrededor de los Fundamentos), ha girado entomo a la adopción y uso de estos elementos teóri-cos presentes en el racionalismo.

Los principios ftlos6ficos de la epistemologíamoderna empezaron a acuñarse en los siglos XVIIy XVIII; los conceptos, las categorías y divisionesen la determinaci6n de la verdad de las ideas yproposiciones entonces fueron establecidas preten-diendo dar cuenta de la estructura de todo el cono-cimiento. Las fronteras entre las dos tradicionesepistemológicas principales fueron delimitadas. Laftlosofía de la matemática moderna había sido es-tablecida. En el siglo XIX, el cambio radical en laevolución de las matemáticas, la reformulaci6nsimb6lica de la 16gica, y el empuje de las transfor-maciones en las ciencias y la técnica en la mentali-dad de la época, crearon las condiciones para unreplanteo de la ftlosofía de las matemáticas, y,muy ligada a ella, de la epistemología. Este replan-teo que no dio origen a una sola visión ftlosóficahomogénea, motiv6, en gran parte, las discusionessobre los Fundamentos de las Matemáticas.

2. Gottlob Frege partió de las discusiones sobrela naturaleza de la matemática de los siglos XVII YXVIII y, con base en el proceso de abstracci6n yrigorizaci6n en las matemáticas del XIX (que apun-taló los aspectos deductivos y lógicos), retornó lateoría de la evidencia lógica en la aritmética. Sinromper definitivamente con el marco epístemoló-gico kantiano, adjudicó a la aritmética un carácteranalítico (contrapuesto al sintético a priori]. Fregereformuló la noción de analítico en términos lógi-cos. En su Grundlagen des Arthmetik señalaba:

"El problema es el de encontrar su prueba y seguirla hastalas verdades primitivas. Si en este camino sólo se encuen-tran definiciones y leyes lógicas generales entonces se tra-ta de una verdad analítica" (14).

La lógica ocupa un papel privilegiado en Frege;está conectada, en cierta medida como en Boole, alas leyes profundas del pensamiento. La aritméticaestá por encima del resto de la matemática, es lógi-ca. En el mismo libro esto es evidente, pregunta:

"¿No yace la base de la aritmética a mayor profun-didad que la de cualquier conocimiento empírico, a mayorprofundidad que la de la misma geometría? Las verdadesaritméticas gobiernan el campo de lo numerable. Este es elmás comprehensivo, puesto que a él pertenece no solo loreal, no solo lo intuitivo sino todo lo pensable. Las leyes

de los números, así, no deberían estar en íntima unióncon las del pensamiento? " (15).

La reducción logicista de Frege es concebida co-mo el mejor mecanismo teórico para garantizar elrigor y la certeza de las proposiciones de las mate-máticas. Con ello se coloca en la tradici6n deCauchi, Weierstrass, Dedekind, Cantor, etc., quebuscan la solidificación de un edificio teórico cadavez menos vinculado a la intuición. En ellogicismode Frege hay esencialmente una motivaci6n episte-mol6gica. Los resultados de Boole también son in-tegrados en esta visi6n, solo que el objetivo no esla simbolizaci6n y la "matematización" de la lógi-ca, sino la redefinici6n de la noción de verdad. Losdesarrollos en la abstracción de la matemática delsiglo XIX empujaron hacia nuevos criterios de ver-dad en esta disciplina teórica. Las motivaciones deFrege son en gran medida filosóficas, Es posibleafirmar que los trabajos de Frege constituyen elprimer intento moderno por probar la consisten-cias de la aritmética; para Frege esto significabaexhibir "objetos" lógicos, objetivos, partícipes decierta realidad no física. Frege, siguiendo a Leibnizy Boole, construye en su Begriffsschrift un lengua-je simbólico capaz de mejorar el rigor en la expre-sión matemática, así como acortar las pruebas y"evitar el salto en las deducciones" (16). Este len-guaje, sin embargo, es un medio para la demostra-ción de su aproximación ftlosófica a la naturalezade las matemáticas. Con él contribuyó enormemen-te en el desarrollo de la lógica moderna.

A través de su Begriffsschrift, Grundlagen y elGrundgesetze der Arithmetik, trató de materializarel proyecto de la evidencia lógica en los fundamen-tos de las matemáticas. La combinación que hacede los elementos teóricos del racionalismo es sim-ple: privilegia la lógica (que es elevada a categoríacasi metafísica) y a la vez apuntala el axiomatismoy el platonismo; la intuición es erradicada de laaritmética aunque no de la geometría. Frege no vaa romper con el marco conceptual del racionalís-mo: las verdades a priori infalibles son además re-feridas a objetos matemáticos que viven en unm undo objetivo no material, independiente del su-jeto. La materialización de su aproximación a lanaturaleza de las matemáticas en el proyecto logi-cista (que es tal vez más importante y original quesu misma ftlosofía), encontró en su camino"paradojas" que debilitaron la credibilidad de la fi-losofía de la evidencia lógica en matemáticas. Laparadoja de Russell puso de manifiesto que el

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axioma V de los Grundgesetze engendraba contra-dicciones (los intentos fregeanos posteriores de re-formulación del axioma han conducido también acontradicciones). (17).

Russell adoptó también el punto de vista logi-cista (aunque para toda la matemática) y concen-tró su atención en la resolución de las paradojas.Inició una nueva etapa en el logicismo que resultótambién infructuosa debido a la introducción ine-vitable en su trabajo de axiomas no lógicos (infini-to, elección, ...). Frente al fracaso de la filosofíalogicista con Frege y Russell, que había parecidocorresponder naturalmente al desarrollo abstractono intuitivo de la matemática moderna, se buscóencontrar otra evidencia (no lógica) en las matemá-ticas. La vuelta a la filosofía de Kant parecía razo-nable, pero no se podía hacer directamente sin in-cidir sobre los resultados matemáticos y lógicos delXIX (geometrías no euclidianas, cuaterniones, cla-ses, etc.) .:

El intuicionismo asumió como suyas las críticasy reacciones anteriores que se desarrollaron frenteal carácter abstracto de las matemáticas. ConBrouwer se estructuró una tradición presente entrelos matemáticos decimonónicos: Krñnecker, Baire,etc ...

Para el intuicionismo había que volver a unaintuición, pero esta vez no espacial y temporal co-mo en Kant. Las proposiciones de la matemática,según ellos, aparecen como el producto de unaconstrucción solo en la intuición temporal. Es elmovimiento que en la mente hace pasar del 1 al 2lo que determina las matemáticas. La evidencia es-tá en la intuición, por eso las proposiciones de lamatemática son sintéticas a priori. Para los intui-cionistas no se trata tanto de fundamentar sino dehacer matemáticas. Las paradojas y demás proble-mas son producto de los abusos y extralimitacio-nes de lenguaje y la lógica (que son instrumentosaccesorios en la construcción matemática) cuandoesos han dejado de corresponder a la verdaderamatemática.

De la evidencia lógica a la evidencia intuitivatemporal existe un salto epistemológico, pero nouna ruptura radical con el racionalismo. Se buscóen el baúl de la tradición racionalista los viejostrastos, se desempolvaron un poco, se añadió unpar de naciones, yeso fue todo. El modelo de lamente generadora de verdades a priori infaliblesno desaparece. No es exacto, entonces, que los in-tuicionistas no se preocupan por los fundamentos.Es solo que los buscan en la filosofía de la in-

tución; una filosofía que además tiene tremendosflancos teóricos: ¿cómo garantizar laintersubjetividad a partir de una intuición subjetivaindividual? Con esta filosofía como fundamentointentaron u proyecto centrado en la noción deconstructibilidad: la verdad y la existencia en ma-temáticas coinciden en la posibilidad de la cons-tructibilidad. Ahora bien, ¿cuáles métodos y no-ciones en ella son admitidos? Las opciones puedenser muchas, como consecuencia existen, varios in-tuicionismos.

La evidencia que buscaron los formalistas tam-bién la creyeron encontrar en Kant. Para ellos lamatemática no es reducible a nociones y princi-pios lógicos, sino que posee objetos que describe, yque están ligados a una percepción interior "enforma de experiencia inmediata y se hallan en labase de todo pensamiento" (18). La evidencia for-malista es el signo. Señala Hilbert en 1922:

"Para mí -y en esto me opongo totalmente a Frege y aDedekind- los objetos de la teoría de números son lossignos mismos, de los cuales podemos reconocer la formaen toda su generalidad y con toda seguridad, independien-temente de las circunstancias de lugar y tiempo, de lascondiciones particulares de su presentación y de las dife-rencias insignificantes que pueden afectar a su trazado. Elpunto de vista filosófico sólido que considero como indis-pensable para el fundamento de las matemáticas puras-como para cuaiq-uer tipo de pensamiento, de com-prensión y de comunicación científicas -se puede resumirde esta forma: en el principio -y así nos expresaremosaquí - era el signo" (19).

Para Hilbert el fracaso del logicismo es el fraca-so de los intentos por eliminar las intuiciones y lasevidencias previas a los procesos lógicos. No se tra-ta de eliminados, se trata de explicar en concretocuáles son y cómo actúan. La exhibición de estosobjetos es, para Hilbert, la base de la posibilidad dela consistencia de las matemáticas. Esta evidenciaintuitiva de nuevo tipo hace de las matemáticasproposiciones sintéticas a priori o incluso a poste-riori (los signos son objetos físicos).

Los sistemas formales son la pieza de toque deHilbert en la búsqueda de demostración de la con-sistencia de las matemáticas. Hilbert inicia un se-gundo intento por probar la consistencia absolutade la aritmética. Sus ideas pueden empezar a ras-trearse tal vez desde el Congreso Internacional deMatemáticos de 1904 en Heidelberg, en su trabajo"Ueber die G rundlagen der Logik un derArithmetik". La radicalización de esta visión es laque Curry manifiesta en Outlines of a fonnalist

DEL TEOREMA DE GOEDEL 189

phi/osophy of mathematics, cuando considera lasmatemáticas como "la ciencia de los sistemas for-males" (20). Para Hilbert el objeto de la matemáti-ca está en los trazos y sus relaciones, para Curry enlas fórmulas, los símbolos de estas y sus reglas. Enrealidad entre Curry y Hilbert no existe una sepa-ración radical. La acittud metodológica es la mis-ma. No se trata de buscar el objeto de la matemáti-ca por ejemplo en la realidad material propiamen-te, en ese devenir que fluye independientementede nosotros, pero que, de diversas formas, y, apartir de nuestros límites, aprehendemos por la víadel pensamiento. En el formalismo el objeto es olos trazos o las fórmulas. En aras de demostrar loque es una premisa, la posibilidad de la prueba de laconsistencia, la verdad, se busca una conexión arti-ficial, inadecuada, con la realidad. El método eserróneo. Confunde la simbolización y manejo deobjetos visibles con la matemática propiamente.Las matemáticas tienen como objetos partes de loreal determinadas por una relación material suje-to-objeto. Las simbolizaciones son representacio-nes visuales de las abstracciones hechas por la con-ciencia de los hombres. Las operaciones de símbo-los y trazos matemáticos están determinadas por elobjeto de la matemática, por las condiciones másgenerales de su naturaleza.

El formalismo reduce las matemáticas a la mani-pulación de símbolos. Sus premisas principales em-pujan también hacia el convencionalismo en lasmatemáticas, y a una evidencia, tal vez diferente,la sintáctica. El formalismo rompe con el logicis-mo, habla de intuición y de objetos de la matemá-tica, pareciera crear, además, la ilusión de que seescapa del paradigma racionalista clásico de las ma-temáticas, pero vuelve al mismo y lo reafirma entoda su extensión. Su punto de partida es la posibili-dad de la demostración de las verdades matemáti-cas a priori, infalibles: el conocimiento a priori.

En las discusiones más importantes de los fun-damentos de la matemática a principios de siglo nose logró escapar del mundo racionalista. Formalis-tas, intuicionistas y logicistas partían todos de lapremisa de que el objeto o el fundamento de lamatemática está separado del mundo material. Seenfatizó lenguaje, lógica o intuición en las matemá-ticas, pero nunca su contenido empírico. A pesarde los dos "desastres" históricos, al decir de Kline(las geometrías no euclidianas y las paradojas), elmodelo racionalista seguía sobre sus pies. En lasprimeras décadas del descrédito de los axiomas nológicos, el crédito todavía lo tenía el racionalismo

de las verdades absolutas e infalibles enmatemáticas, cuyos sólidos fundamentos queríandemostrar definitivamente todas estas escuelas.

Es necesario señalar que las filosofías de losFundamentos de las Matemáticas fueron muy po-bres; de alguna forma estaban contenidas en la filo-sofía de los siglos XVII y XVIII. La filosofía for-malista no añade tampoco una interpretación muyprofunda. Lo más importante de las elaboracionesteóricas de esta época debe medirse en la realiza-ción de proyectos concretos de fundamentación.El conjunto de nociones y resultados lógicos y ma-temáticos que aparece en Grundgesetze, PrincipiaMathematica, o en las obras de la metamatem áticahilbertiana, constituye un extraordinario edificioteórico. Algunos sectores nuevos en las matemáti-cas y en la lógica tuvieron su motivación en esostrabajos. En cierta medida, es entonces, convenien-te separar las visiones filosóficas de los proyectosconcretos en la fundamentación, Al mismo tiem-po, los resultados, en general adversos, de los pro-yectos pusieron de manifiesto la necesidad de unarenovación epistemológica y filosófica sobre lasmatemáticas.

En el combate entre racionalismo y empirismo,en el terreno de las ciencias naturales, este últimohabía robado gran terreno al primero. La principaly más evidente racionalidad de las ciencias es laexperiencia. Frente a las matemáticas las cosas noestaban tan claras, en general, en el empirismo. Latesis de MilI había sido abandonada, los resultadosde la matemática no correspondían a situacionesmateriales. No pudiendo tampoco ser verdades delmundo, todo condujo en esta tradición a hacer delas matemáticas proposiciones tautológicas útiles(Wittgenstein), o simplemente lenguaje separadocompletamente del mundo. El racionalismo comoparadigma sobre el conocimiento en general encon-traba su mejor sustento en las matemáticas, frentea esta concepción solo se podía aparentementeoponer otra que reducía estas a convenciones deltipo "tres pies hacen una yarda".

El énfasis en la sintaxis, en la morfología lin-güística, abriría una nueva tendencia en la refle-xión sobre las matemáticas, y la filosofía en gene-ral. El tema y los trabajos de los Fundamentos dela matemática retrotraían las viejas discusiones fi-losóficas y abría nuevas posibilidades teóricas; conalgunos énfasis y algunas nociones modificadas onuevas todo parecía claramente establecido sobrelas fronteras de las principales tradiciones filosófi-cas, y sobre las principales categorías epistemológí-

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caso Este edificio de supuestos teóricos, de una uotra tradición, empezó a temblar en los siguientesaños.

3. Para la historia de la reflexión sobre el conoci-miento, la década de los treinta va a ser extraordi-nariamente importante a partir de los resultados deGódel en la comprensión de las matemáticas. Lasgeometrías no euclidianas, los cuaterniones de Ha-milton o las .n-tuples de Grassmann, en efecto ha-bían generado una convulsión en la visión anteriorde las matemáticas. Estos podían no corresponderintuitivamente a la realidad. Todo se concentró enla lógica. Las paradojas demostraron en una nuevaconvulsión que la certeza lógica no era todo lo quese creía podía ser. Pero en ambas crisis nunca secuestionó la posibilidad de la fundamentación ra-cional misma, puesto que detrás se asumía comopunto filosófico de partida válido un paradigmaepistemológico. Tal vez fue Hilbert quién expresómejor el optimismo racionalista en las primeras dé-cadas del siglo. En 1925 decía:

"Es también una placentera sorpresa descubrir que, al mis-mo tiempo, hemos resuelto un problema que ha plagado alos matemáticos por un largo tiempo, viz., el problema deprobar la consistencia de los axiomas de la aritméti-ca" (21).

y concluía entonces:

"Lo que hemos experimentado dos veces, una vez con lasparadojas del cálculo infinitesimal y otra con las paradojasde la teoría de conjuntos, no será experimentado una ter-cera vez, nunca jamás" (22).

A lo largo de los años veinte Hilbert y sus segui-dores siguieron intentando el proyecto de la con-sistencia absoluta de la aritmética. Algunos resulta-dos fueron publicados por Wilhelm Ackermann en1924 Von Newman en 1927 y Herbrand en 1930 y1931. Estos trabajos, que continuaban de hecholos de los logicistas, parecían no dejar duda aléxito del proyecto. Las cosas cambiarían muypronto.

En un artículo llamado "Sobre sentencias for-malmente indecidibles de Principia Mathematica ysistemas afines" de 1931, Gódel destruiría de unplumazo las ilusiones y seguridad de Hilbert, yabrirá un cuestionamiento sobre la reflexión entorno a la naturaleza de las matemáticas (que aúnno ha sido cerrado). En un pequeño resumen desus resultados, que aparece bajo el títuloDiskussion zur Grundlegung der Mathematik, y

que fue publicado en 1931, en la revistaErkenntnis, establece Gñdel:

"En el trabajo anteriormente citado se muestra que no hayningún sistema formal con un número finito de axiomasque sea completo ni siquiera respecto de las sentenciasaritméticas. Aquí entendemos por "sentencias aritméti-cas" aquellas en que no aparecen más que nociones que +,. , = (adición, multiplicación e identidad, referidas a nú-mero naturales), además de los conectores lógicos y loscuantificado res universal y existencial, aplicados solo avariables de números naturales (por lo cual en las senten-cias aritméticas no aparecen más variables que las de losnúmeros naturales). Incluso para los sistemas formales conun número infinito de axiomas hay sentencias aritméticasindecidibles, con tal de que su esquema axiomático cum-pla ciertas condiciones (muy generales). De lo dicho sesigue en todos los sistemas formales conocidos de la mate-mática -por ejemplo, en Principia Mathematica (con axio-ma de reducibiJidad, de elección y de infinito), en lateoría axiomática de conjuntos de Zermelo-Fraenkel y enla de Von Newmann, y en los sistemas formales de laescuela de Hilbert" (23).

Los resultados de Gódel se pueden sintetizar dela siguiente manera. En un sistema formal (adecua-do para contener la teoría elemental de números)existe una fórmula indecidible -es decir, que tantoella como su negación no son demostrables. Comocorolario de este teorema de incompletitud, se tie-ne que la consistencia de este sistema formal nopuede ser demostrada dentro del sistema.

Para demostrar estos teoremas Gódel introdujouna aritmetización de la meta-matemática (escogi-da), hace corresponder los signos primitivos a nú-meros naturales:

o 1S 3 (sucesor)

5V 71r 9( 11 (24)) 13

Esta correspondencia se completa así:

HA las variables de tipo n asignamos los números de laforma ",n (donde op es un número primo> 13). Medianteesta asignación a cada fila finita de signos primitivos (y enespecial a cada fórmula) corresponde biunívocamente unasecuencia finita de números naturales. Ahora asignamos(de nuevo biun ívocam ente) números naturales a lassecuencias finitas de números naturales haciendo. corres-ponder a la secuencia N¡, N2,'" NK el número 2N1, 3N2..op ¡tk, donde 'PIe denota el K-avo número primero (en or-den de magnitud creciente). Así asignaremos biunóvoca-mente número natural no solo a cada signo primitivo, sino

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también a cada secuencia finita de signos primitivos" (25).

Para seguir con la prueba, Gódel debe definir las"funciones recursivas primitivas". Luego pruebaque:

"Cada relaci6n recursiva primitiva es definible en el siste-ma P, que de ser expresado con precisi6n y sin referenciaa ninguna interpretación natural de las fórmulas de P,mediante el siguiente teorema:

Teorema V: Para cada relación recursiva primitiva n-aria Rhay un Sieno Relacional r (con las variables libresUI , U2, ... , Un) tal que para cada n-tuple de números natu-raies (Xl,"'Xn) vale: e U Ue RxI' .... ,Xn _ BeW(Sb(r

Zl, .. " n( »

(xl)' ... Z xn) (26)

• .,RxI, .... Xn-e Bew (Neg Sb (r UI,···, Un ) )Z(xl), .. ·, Z (xn)

Ahora defíne la otra noci6n clave de W -consisten-cia así:

"Decimos que K es W-consistente si no hay ningún signode clase a, tal que

J./n (Sb(a~(n» E FIg(K»i\(neg (J gen a» E FIg(K) donde..r es la variable libre del signo de clase a" (27).

Donde K es una clase de Fórmulas y Flg(K) "elmínimo conjunto de Fórmulas que contiene todaslas Fórmulas de K y todos los axiomas y está clau-surado respecto a la relaci6n de "inferencia inme-diata" (28).

A partir de estas defmiciones concluye el decisi-vo "Teorema VI":

''Para cada clase recursiva primitiva y W-consistente K deFónnulas hay un signo de clase r tal que ni v Gen r ni Neg(v Gen r) pertenecen a FI(K) donde v es la variable librede r" (29l.

Entonces la sentencia indecidible de Godel tie-ne la forma v Gen r, donde r es un signo de clasedecidible.

En la intepretación de Nagel y Newmann, enGodel's Proo[, la fórmula indecidible va a escribir-se como(X) - Dem (x, sub (n.l J,n) "(30), que es un casoparticular especial de la f6rmula:

"(X) Dern (x, Z), que representa dentro de la aritmética, elenunciado metamatemático: la f6rmula con número deGadel Z no es demostrable -o, en otras palabras: no pue-de representarse ninguna prueba de la fórmula con núme-ro de GlIdel Z•• (31).

Una vez que demuestra esto establece una rela-

ción de dependencia entre la oración metamatemá-tica "La aritmética es consistente" y la oraciónindecidible, en los siguientes términos: la primeraimplica la segunda. Si la primera es demostrable asílo es la segunda. Como la segunda es indecidibleentonces la primera es indemostrable.

Las consecuencias de los resultados de Gódelson extraordinarias. Por un lado, implican quecualquier formalismo.suficientemente fuerte paraexpresar partes básicas de la teoría elemental denúmeros, es incompleta. Las matemáticas no admi-ten entonces una formalización absoluta, y en laspartes formalizables no se puede garantizar consis-tencia. Por otro lado, los métodos fmitistas queusaba Hilbert podían ser codificados en una teoríaque daba lugar a los mismos resultados. Dice Go-del:

••...Una demostraci6n de la consistencia de uno de estossistemas S solo puede llevarse a cabo con ayuda de modosde inferencia que no son formalizables en S. Por tanto,sería completamente imposible obtener una prueba finita-ria de consistencia (como buscan los formalistas) para unsistema formal en el que estén formalizados todos los mo-dos finitarios (es decir, intuicionísticamente aceptables)de prueba" (32) .

Gódel demostró que las pretensiones hílbertia-nas no podían tener éxito, que la prueba de laconsistencia por los métodos hilbertianos no eraposible, y más aún, ponía en cuestión los verdade-ros límites de los sistemas formales en las matemá-ticas.

El objetivo de la formalización siempre fue eli-minar la intuición, cualquiera que esta fuese, ligadaa los procedimientos con los que el hombre se rela-ciona con las cosas materiales, o ligada a indeter-minadas "intuiciones" subjetivas innatas. Hilbertadmitía como premisa la intuición del signo, peroen la formalización radical ya ni esta podía ocuparun lugar. La noci6n de sistema formal correspondea la existencia de condiciones deductivas-formalesen las teorías matemáticas, a la racionalidad inte-rior de las mismas. En su apuntalamiento se busca-ba encontrar el sentido más profundo de la natura-leza de las matemáticas. En esta visi6n de las cosas,la pareja formalismo-intuición busca devenir soloel primer término, en un sistema cerrado, comple-to

Este énfasis es tal vez el más importante en elracionallsmo de las matemáticas, su elemento cons-titutivo más fundamental. Es decir el esquema deque a partir de unas cuantas verdades es posible

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derivar todas, presente en la filosofía griega, apun-talada a ultranza en la moderna, ha aparecidocomo el mecanismo epistemológico más coherentey esencial en el modelo de la producción de verda-des a priori.

Los resultados de Gódel establecen que la intui-ción se niega a ser desterrada, hasta en lo que pare-cía más propio de lo formal. La intuición no pue-de, entonces, desaparecer, pero esta necesidad obli-ga a incidir en el esclarecimiento de esta noción, yen un nuevo planteamiento teórico-filosófico sobreel carácter de las teorías matemáticas. Gódel con-duce a romper el esquema del sistema absoluto ycerrado para todo discurso, conduce a romper lacontínua pretensión del racionalismo de dar cuen-ta a partir de la razón de toda la realidad. Ningúnsistema racional puede comprehender la totalidadde lo real. Esto establece una verdad epistemológi-ea, la recurrencia inevitable a la intuición no es laapelación a la interioridad subjetiva en sí, manifies-ta la necesidad del contacto material del sujeto conel objeto material. Las condiciones básicas de laintuición residen en aquellas de lo sensible. Loslímites de los sistemas formales son los lim ites delo "racional" en el conocimiento, es el reclamo dela práctica empírica, de la vida. Los resultados deGüdel representan (bien entendidos) un duro golpea la visión racionalista del conocimiento, que habíahecho de las matemáticas su reducto principal(33).

Con Gñdel los razonamientos en contra de losintentos por la demostración de la consistencia ab-soluta encuentran un extraordinario asidero teóri-co. Si la consistencia no es posible de probar estoimplica la posibilidad de. la existencia de proposi-ciones p y p' contradictorias. Como una de ellasdebe ser falsa, en el sistema axiomático existe unaproposición de la que se puede, por la validez de laimplicación material, deducir cualquier otra propo-sición. Esto solo puede abrir paso al caos. Unosaños después de los resultados de Gódel, Gentzenen 1936 (vDíe Widers pruchs freiheit der reinenZahlentheorie") probó la consistencia para los en-teros y algunas partes del análisis, pero a costa deintroducir una inducción transfinita indeseada(34). Alonso Church en 1936 echó carbón al fuegocuando probó que no es posible en general garanti-zar "procesos efectivos" en la metamatemática. En1963 Paul Cohen probó que la hipótesis del con-tínuo y el axioma de escogencia son independien-tes del sistema axiomático más usado, de Zerme-lo-Fraenkel; lo que es equivalente a decir que sonproposiciones indecidibles. Cualquier opción en

torno al uso de estos axiomas es entonces posible,y en cada una, axiomáticas matemáticas diferentes.Para terminar de completar el cuadro "apocalípti-co", apareció el teorema de Skolem-Lówenheirn,señalando que los axiomas de un sistema no limitanlos modelos posibles. Este se trata de más que uncorolario de los resultados gódelianos. Señala Klineen Mathematics: The loss of certainty:

"Pero el teorema de Skolem-Lñwenheirn niega la categora-lidad en un sentido más fuerte o de una manera más radi-cal. Establece la existencia de interpretaciones o modelosde un sistema axiomático dado, sin añadir ningún nuevoaxioma, son radicalmente diferentes" (35).

La crisis que es posible señalar en el racionalis-mo formalista pone de manifiesto que la matemáti-ca no es un cuerpo sólido, seguro, único, absolutoy verdadero, sino que abre la posibilidad, para em-pezar, de varias matemáticas. La noción clásica deuna matemática, en la que se metía en el mismosaco a la geometría, a la aritmética, etc ... , partía dela estructura axiomática como criterio definitoriode la "unidad". Gódel destruye esto, puesto queningún sistema formal puede dar cuenta de la es-tructura de la mayoría de partes de las matemáti-cas; se requieren varios sistemas formales, y estono basta aún. Pero, además, porSkolem-Lówenheirn, no podemos saber hasta dón-de llega cada modelo. Pero hay más, según se acep-te o no el axioma de escogencia, o se acepte o nola hipótesis del contínuo, por el resultado deCohen, cada opción nos brinda una estructuraaxiomática diferente. Una característica central dela matemática moderna es su diversidad. Existenvarias matemáticas. En realidad, siempre han exis-tido varios cuerpos teóricos diferentes a los que seles ha asignado el término englobalizador de "rna-temática". Esto corresponde a las condiciones delobjeto propio de las matemáticas, a la naturalezaúltima de estas. Esta diversidad esencial, que tieneun origen explicable epistemológicamente, es elsustrato último de la diversidad que ahora aparecea partir de los resultados axiomáticos. No se tratade una característica que nace de la evolución his-tórica de las matemáticas, se trata de su esenciamisma. No se trata tampoco de la visión historicis-ta en la que hablamos de matemáticas diferentesen correspondencia con situaciones históricas dis-tintas, como establece por ejemplo Spengler consus números "faüsticos" o "apolíneos" (36). Losreferentes concretos de las matemáticas son dife-rentes; esta es la fuente de su diversidad intrínseca.

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El teorema de Gódel y los resultados posterio-res, a pesar de su golpeteo sobre la visión forma-lista de las matemáticas, no generaron ni un aban-dono de la misma ni a la larga un empuje renova-dor del intuicionismo o del empirismo. Los mate-máticos han sacado las lecciones mínimas sobre susresultados: Lo único que Gódel ponía en cuestiónera "un formalismo absoluto"; modelos semi for-malistas siguen siendo válidos. El cisma que abreGOdel no ha sido todavía comprendido cabalmen-te. Se generó un desajuste y un desconcierto formi-dables con el paradigma racionalista, que ya habíasido golpeado con las paradojas, sin embargo, no sehizo y no se ha hecho el salto hacia un nuevoparadigma. Se han apenas añadido unos cuantos"epiciclos" al modelo anterior, eso ha sido todo.

El impacto de los resultados gódelíanos en elstatus del racionalismo (bien entendidos) es enor-me. Se trata no solo del cuestionamiento del alcan-ce de los sistemas formales, sino de los alcances dela razón. Las discusiones hasta Gódel de los funda-mentos de la matemática no habían salido en reali-dad del marco clásico del racionalismo. Las intui-ciones del formalismo y del intuicionismo no deja-ban de ser subjetivas y a priori, desconectadas deuna relación empírica auténtica. La respuesta a la"crisis" gódelíana no supone apenas un pequeñoreajuste dentro de una línea de interpretación teó-rica; implica, si se entiende adecuadamente, la ne-cesidad de una interpretación epistemológica radi-calmente diferente al paradigma dominante, unarevolución en la filosofía de las matemáticas. Yano es posible afirmar que los teoremas de las mate-máticas son verdaderos en el mundo real y queestas verdades infalibles son simplemente accesi-bles al pensamiento humano. El replanteo teóricoes necesario. No es raro, entonces, que Lakatosinsista aunque un poco optimistamente (desde ladécada de los 60) en un "renacimiento del ernpiris-mo en la reciente ñlosofía de la matemática" (37).

( 1) Cf. Brunschvicg Leon, Les étapes de la Philoso-phie Mathématique. Paris: A. Blanchard, 1981. p.l06.

( 2)lbid p.1l4.( 3) Descartes, René. Meditaciones Metaflsicas. Trad.

Manuel García Morente. Madrid: Espasa Calpe, 1968,p.129.

( 4) ldem."( 5) Kñrner, Stephen.lntroducción a la Filosofta de la

Matemática. Trad. Carlos Gerhard. Mexico: Siglo XXI,1969, p.23.

El paradigma de la inyección de verdad de la cúspi-de hacia la base hizo aguas con los resultados góde-lianos. Los intentos, que Lakatos llama "euclidía-nos", por asir a su esquema la naturaleza de lasmatemáticas han fracasado. Hasta qué punto la cri-sis del racionalismo ha fortalecido o va a fortalecerla tradición empirista es un misterio. Ni la visiónde Mili, que hace de las verdades matemáticas leyesinductivas, ni la visión sintáctica convencionalistadel empirismo lógico, frente al racionalismo puroparecen ser alternativas muy atractivas.

El esclarecimiento sobre la naturaleza de las ma-temáticas es un problema epistemológico de prime-ra magnitud. Los resultados que inicia GOdel obli-gan a un replanteo de las nociones clásicas de laepistemología. Las divisiones analítico-sintético, apriori-a posteriori, así como la dicotomía entre lastradiciones racionalista y empirista, no son sufi-cientes para dar cuenta de la estructura del conoci-miento. Una nueva esfera de categorías, métodos yprincipios teóricos debe ser encontrada. Ni los én-fasis unilaterales en el objeto o en el sujeto episté-micos, ni una dialéctica trivial, pueden ayudar ahacer entrar la luz. La comprensión de que estarevolución teórica es necesaria no es un problemameramente literario o metafísico. Los paradigmasaceptados sobre la naturaleza de las matemáticashan condicionado la forma y los contenidos deldesarrollo de las mismas. Y no solo eso. La concep-ción predominante sobre las matemáticas así comosu propia evolución han influido extraordinaria-mente en el decurso del conjunto de las ciencias(de una u otra forma).

Los resultados gódelíanos han creado las condi-ciones para una "ruptura epistemológica" esencialen la historia del conocimiento humano. Que estaposibilidad vaya a tomar realidad, adquirir un ros-tro y un cuerpo teóricos superiores dependerá demuchos factores. Es una tarea que en la filosofía ylas ciencias tenemos por delante.

NOTAS

( 6) Cfr. Beth, Evert W./piaget, JeanEpistemologlamatemática y psicologta. Trad. Victor Sánchez de Zavala.España: Editorial Crítica, 1980, p.24 y 25.

Mientras que para Descartes la intuición es de un tiporacional espiritual, para Kant es espacio-temporal, una re-ferencia de una u otra forma más vinculada al mundomaterial (aunque sin llegar a él). De hecho es la definiciónde una intuición en la que la influencia del empirismobritánico no se escapa.

( 7) Cfr. Maurice Caveing en "El proyecto racional de

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las ciencias contemporáneas" en Epistemologla y Marxis-mo. Barcelona: Ed. Martínez Roca, 1974, p.33.

( 8) Kant, Manuel. Crttica de la Razón pura, Trad.José del Perojo. Buenos Aires: Losada, 1973, p.14 7.

( 9)/dem.(lO)/bid, p.148.(11) /bid, p.162,163(12)/bid, p.165.(13)/bid, p.157.(14) Frege, Gottlob. Es en el libro de 1884: Los fun-

damentos de la antmética incluido en Conceptograf{a,Trad. Hugo Padilla. Mexico: UNAM, 1972, p.117.

(15)/bid, p.130.(16) /bid, p.194.(17) Cf. Quine W.V.O. "On Frege's Way out" en

Klemke, Ed (edit), Essays on Frege. Illinois: University ofIUinois Press, 1968, p.492.

(18) K~mer. op. cit., p.88.(19) Hilbert, David en Ladriére, Jean. Limitaciones in-

ternas de los formalismos. Trad. José Blasco. Madrid: Tec-nos, 1969, p.27.

(20) Curry, Haskell. Outlines of a formalist philosophyof mathematics. Amsterdam: North-Holland, 1970, p.56.

(21) Hilbert, David. ''On the infinite" en Putnam,Hilary/Benacerraf, Paul (edít). Philosopñy of Mathe-matics. Selected Readings. New Jersey: Prentice Hall,1964, p.149.

(22) Ibid, p.150.(23) Gadel, Kurt. Obras completas. Trad. Jesús

Mosterín. Madrid: Alianza, 1981, p.99(24) Ibid, p.63.(25)/dem.(26) Ibid. p.73. Bew K quiere decir que K es una fór-

mula decidible.(27) !bid. p.74. X Gen y es la gemralización de y res-

pecto a la variable X (suponiendo que X sea variable).(28) /dem.(29)/dem.(30) Nagel, Ernest/Newman, James. La prueba de Glj.

del. Trad. Ramón Xirau. Mexico: UNAM, 1959, p.64.

(31) /bid, p.63.(32) /bid, p.IOO.(33) A partir de los resultados de G5del se despert6 un

nuevo interés por los temas que abordaba, y se desarrollóun nuevo terreno en la lógica y la matemática. J.B. Rosseren "Extensions of Some Theorems of G~del and Church"reemplaz6 la suposición de la w-consistencia por la simpleconsistencia. Hilbert y Bernays realizaron otros intentos.En las notas de GOdel recogidas por Kleene y Rosser parapublicación se define la importante noción de funciónrecursiva. Poco después Kleene publica su "General Re-cursive Functions of Natural Numbers". Church publicasu famoso resultado en 1936 y en 1937 Turing da unavisi6n más general de sistema formal en "On ComputableNumbers, With an Aplication to the Entscheidungs pro-blem ". A. Tarski en Undecidable Theories establece unaaproximación muy desarrollada de la no decidibilidad enlos sistemas formales.

(34) Otras pruebas de consistencia de la aritmética fue-ron hechas por Ackermann en 1940, P.S. Novikov en1943, Lorentzen en 1951 y el mismo Gadel en 1958.Estas (y otras más que se presentaron) envolvían algo másque propiedades perceptuales (anschauliche) de combina-ciones simbólicas. El reduccionismo no encontraba salida.

(35) Kline, Morris. Mathematics: The Loss ofCertainty. New-York: Oxford University Press, 1980,p.272.

Es necesario recordar que ya el teorema de G~del im-plicaba la existencia de modelos no standard (diferentesno isom6rficos) de la aritmética a partir de la escogenciade las proposiciones indecidibles. S-L implica una pro-fundización mayor de esta diversidad.

(36) Cf. Spengler, Oscar. La decadencia de Occidente.Trad. Manuel García Morente. Madrid: Espasa-Calpe,1958, p.88 y ss.

(37) Cf. Lakatos, Imre. En el artículo ••¿Existe unrenacimiento del empirismo en la reciente filosofía de lamatemática?" en el libro Matem4ticas Ciencia y Episte-molog{a. Madrid: Alianza, 1981, p.42 y ss.