1Implementacion del Algoritmo Criptografico RSAen Lenguaje Python

Luis Alejandro Sosa B.1 - Sandra Ximena Rengifo A.1 - Esteban Andres Guerrero N.1

CriptografiaEspecializacion en Proyectos Informaticos

Facultad de IngenieraUniversidad Distrital Fancisco Jose de Caldas

Bogota D.C. , Colombiaing.ximenarengifo@gmail.com - lasosab@unal.edu.co - esteban point@hotmail.com

AbstractEl presente articulo detalla el analisis, diseno eimplementacion del algoritmo RSA sobre lenguaje python

Palabras clavesCifrado, RSA, algoritmo de Euclides,Euler, primos,coprimos, modulo, clave publica, clave pri-vada.

I. INTRODUCCION

Segun el Diccionario de la Real Academia, la palabraCriptografa proviene del griego y su definicion es: Artede escribir con clave secreta o de un modo enigmatico.Obviamente la Criptografa hace anos que dejo de ser un artepara convertirse en una tecnica, o mas bien un conglomeradode tecnicas, que tratan sobre la proteccion ocultamientofrente a observadores no autorizados de la informacion.Entre las disciplinas que engloba cabe destacar la Teora de laInformacion, la Teora de Numeros o Matematica Discreta,que estudia las propiedades de los numeros enteros, y laComplejidad Algortmica.

II. ANALISIS MATEMATICO

El algoritmo RSA va a permitir establecer una comunicacionsegura entre un emisor E y un receptor R. Cuando el emisorenvia un mensaje atraves del canal este no puede asegurarseque el mensaje no sea interceptado por lo que si sucediera elatacante no podra conocer el significado del mensaje ya queeste se encuentra cifrado y solo puede ser descifrado con lasclaves privadas del receptor R

El procedimiento matematico empleado para implementarel algoritmos RSA fue el siguiente.

A. Codificacion del mensaje

Debido a que el algoritmo RSA esta basado en la teoria dematematicas discretas y la factorizacion de numeros primos,este solomanete puede cifrar numeros, ya que para este casoen particular se debe cifrar un mensaje en texto plano estedebe ser traducido a numeros, es decir, debe ser codificado,para tal caso el algoritmo normalmente hace uso del codigoASCII

1Estudiantes Especializacion en Proyectos Informaticos

La lista contiene 26 elementos que indican las letrasdel abecedario, pero debido a que la posicion en una listacomienza en cero(0) la lista ira de la posicion 0 a la posicion25.

B. Definicion de n

Para definir n R debe escoger dos numeros primos py q lo suficientemente grandes para generar dificultad defactorizacion donde:

n = p q (1)

C. Definicion de la funcion multiplicativa de Euler (n)

El receptor R obtiene el valor de la funcion multiplicativade Euler (n) apartir de n calculado en el paso B, de talmanera que:

(n) = (pq) = (p)(q) (2)

y dado que p y q son primos entre s, y cada uno de ellos esprimo, entonces:

(n) = (p 1)(q 1) (3)

D. Definicion de claves publicas y privadas

El emisor E debe realizar el cifrado del mensaje con laclave publica e del receptor R y este a su vez lo descifra consu clave privada d.

Para generar e el receptor del mensaje debe escojer unnumero tal que:

1 < e < (n) (4)

de tal manera que esea primo relativo con (n)a partir de la porcion de la clave publica e calculamos la

porcion de clave privada d la cual representa el inverso de een modulo (n) quedando:

d = (e1)(n) (5)

2Calculados e y d las claves publicas y privadas quedarandefinidas por los pares de numeros (e, n) y (d, n) as:

ClavePublica = (e, n) (6)

ClavePrivada = (d, n) (7)

E. Cifrado con clave publica

Al tener definida la clave publica se puede pasar a realizar elcifrado del mensaje m que E le envia a R, para ello el mensajeluego de ser codificado se cifra elevandolo a la potencia e enmodulo n asi:

mcifrado = (me)n (8)

F. Descifrado con clave privada

Como lo indica la ecuacion (6) la porcion de la claveprivada d es el inverso de e, por eso cuando R recibe elmensaje cifrado de E, lo descifra utilizando el inverso d:

mdescifrado = ((mcifrado)d)n (9)

y reemplazando 9 :

mdescifrado = ((me)d)n = (m

ed)n (10)

y como e y d son inversos en modulo (n) entonces

mdescifrado = (med)n = (m)n (11)

En resumen R ya puede conocer el mensaje enviado por E

III. IMPLEMENTACION DEL ALGORITMO EN PYTHON

A. Codificacon de Texto plano

Para realizar la codificacion de la cadena de texto plano quese desea cifrar se utilizo la funcion ord(), la cual convierteun caracter unicode a su equivalente en ASCII, para realizarla codificacion del texto completo se creo una funcion querealiza el procedimiento recorriendo cada caracter de maneraque codifique el texto entero, esta funcion se definio comotext2ascii para luego de solicitar el texto llamarla y realizarla codificacion correspondiente

def text2ascii(Cadena):cod = for i in Cadena:

cod += str(ord(i)) + ,return cod

B. Definicion de Claves Publicas y privadas

Para la generacion de claves publicas y privadas se creo lafuncion genclaves(bitn) la cual ademas de calcular la claves

e y d, genera q y p apartir de la funcion propia de pythongenprime(bitn) la cual genera nuemeros primos de ciertotamano de bits,n ,(n) y la clave privada d apartir de lafuncion inversemod para obtener el inverso.

Todas estas funciones fueron generadas a partir de unallamada al modulo rsamath creado por un colaborador depython.

def genclaves(bitn):p = genprime(bitn)q = genprime(bitn)n = p * qphi = (p - 1) * (q - 1)\seleccionar ewhile (phi%e) == 0:e=genprime(17)

d = inverse_mod(e, phi)

public = (n, e)private = (n, d)return public, private

C. Procedimiento de cifrado

Para el procedimiento de cirfrado se creo la fun-cion cifrar(n, public) la cual hace uso de la funcionmodex(base, exponente,modulo) tambien llamada desde elmodulo rsamath.

def cifrar(m, public):c = modex(m, public[1], public[0])return c

D. Procedimiento de descifrado

Para el procedimiento de descifrado se utiliza la mismafuncion del paso anterior solamente que que se cambiandoa la clave privada:

def descifrar(c, private):p = modex(c, private[1], private[0])return p

E. Decodificacion a Texto Plano

Para realizar la decodificacion y poder tener el texto enclaro y entendible se hizo uso de la funcion chr() la cual esla inversa de la funcion ord() que se utilizo para codificarlaquedando:

def ascii2text(Cadena):decod = Cadena = Cadena.replace(","," ")for i in Cadena.split(): .

decod += chr(int(i))return decod

IntroduccinAnlisis MatemticoCodificacion del mensajeDefinicin de n Definicion de la funcion multiplicativa de Euler (n)Definicion de claves publicas y privadasCifrado con clave pblicaDescifrado con clave privada

Implementacion del Algoritmo en PythonCodificacon de Texto planoDefinicion de Claves Publicas y privadasProcedimiento de cifradoProcedimiento de descifradoDecodificacin a Texto Plano