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IMPLEMENTACION DE UN RECUPERADOR DE SINCRONISMO EN UNA FPGA PARA UNA SEÑAL BPSK

(BIT SYNCHRONIZER)

Brac Ezequiel, Ferreyra Pablo, Ferreyra Ricardo, Marqués Carlos, Jorge Naguil

Departamento de Electrónica, Facultad de Ingeniería, Instiuto Universitario Aeronáutico

Fuerza Aérea Argentina

bracezequiel@hotmail.com, pferreyra@famaf.unc.edu.ar, rferrey@gtwing.efn.uncor.edu,

marques@famaf.unc.edu.ar, jnaguil@iua.edu.ar

RESUMEN

La Recuperación de Sincronismo o Sincronización de

Símbolos es una de las funciones del receptor más críticas

en los sistemas de comunicaciones sincrónicos.

El clock del receptor debe ser continuamente ajustado

en su frecuencia como en su fase para optimizar los

instantes de muestreos de la señal de datos recibida y para

compensar las derivas entre el oscilador usado en el

transmisor y los circuitos de clock del receptor. La

información de sincronismo es usualmente derivada desde

los datos mismos y basados en algoritmos específicos de

optimización, se determina el punto de estado estacionario

de los instantes de muestreo.

Este documento se basa en el estudio, simulación y

finalmente implementación física sobre una FPGA de un

Recuperador de Sincronismo o Bit Synchronizer para una

señal BPSK, el cual tiene su fundamento teórico a partir

del uso de los algoritmos de Kurt H. Müller & Markus

Mueller [1]. También se presentan los resultados obtenidos

de las simulaciones y las mediciones de desempeño finales

del sistema.

1. INTRODUCCION

En algún punto del receptor de comunicaciones digitales,

una forma de onda analógica o digital (señal en banda

base) debe ser muestreada. Muestrear en el momento

correcto es crítico para lograr un buen desempeño de todo

el sistema de recepción.

El propósito de la Recuperación de Sincronismo es

recuperar el clock a la frecuencia de símbolos o a múltiplos

de la frecuencia de símbolo a partir de la forma de onda

recibida. Esta señal de clock es requerida para convertir la

señal recibida continua en tiempo en una secuencia discreta

de símbolos de datos.

Muchos sistemas digitales trasmiten la señal de clock

separada de la secuencia de datos. Esto es comúnmente

hecho en sistemas cuyo alcance es del tamaño de un

circuito integrado hasta, tal vez, el tamaño de una

habitación. Para sistemas de comunicaciones digitales, sin

embargo, la transmisión de un clock separado sería

totalmente ineficiente, dado que requiere recursos

adicionales, tales como ancho de banda, potencia, etc. Por

ello, es más económico implementar circuitos adicionales

para derivar la señal de clock desde la misma señal que es

recibida.

Circuitos prácticos para la Recuperación de

Sincronismo no pueden duplicar perfectamente el clock

utilizado en el trasmisor remoto. Pero el requerimiento más

básico impuesto es que la frecuencia promedio de clock

derivada iguale exactamente la frecuencia promedio de la

señal transmitida. Obviamente, el receptor debe solamente

generar tantos bits como hayan sido transmitidos, sobre un

largo período.

La mejor fase de muestreo para un sistema dado

dependerá de la respuesta global al impulso y en

consecuencia a las características del canal de

comunicaciones. Esto no es solo debido al retraso

desconocido el cual es introducido por el canal. El

problema principal es causado por el ruido y la distorsión

lineal (interferencia entre símbolos); estas perturbaciones

pueden limitar severamente el desempeño del lazo de

recuperación de sincronismo.

En este trabajo, se usa un método adaptable para

recuperación de sincronismo en receptores digitales de

datos sincrónicos, conocido como los Algoritmos de

Mueller y Müller[1]. El muestreo se asume a la tasa de bits.

2

Fig. 1 Diagrama en bloques del Recuperador de Sincronismo

o Bit Synchronizer.

La información para el lazo de control es derivada de

las muestras y la estimación del valor de los datos se hace

simple y directamente sin la necesidad de otro tipo de

información. La discusión se limita a señales en banda

base. Esto es justificado porque el más importante método

de modulación lineal permite el concepto de un canal

equivalente de banda base para la modelación de sistemas.

Un diagrama general del Recuperador de Sincronismo

en presentado en la Figura 1.

Para estos algoritmos se destaca que la información de

sincronismo es derivada de las muestras de la respuesta al

impulso. Dado que estas muestras no están disponibles

durante la transmisión, la técnica de Mueller y Müller

obtiene estimaciones directamente de las muestras de la

señal, en donde se deriva el límite para mínima varianza de

estas estimaciones. Finalmente, se presentarán

simulaciones por computadora que confirman la rápida

convergencia, incluso con decisor directo al comienzo (sin

fase de entrenamiento) y la implementación física del

recuperador de sincronismo en una FPGA, también con sus

respectivos resultados.

2. DETALLES DE LA CONFORMACION DE PULSOS

Antes de indagar en los detalles de la conformación del

pulso, es importante entender que los pulsos son enviados

por un transmisor y finalmente detectados por un receptor

en cualquier sistema de transmisión de datos. En el

receptor, la meta es muestrear la señal recibida en un punto

óptimo en el intervalo de pulso para maximizar la

probabilidad de una decisión binaria correcta. Esto implica

que la conformación fundamental del pulso tiene que ser

tal que no interfieran unos con otros en el punto de

muestreo.

Hay dos criterios que aseguran la no interferencia. El

Criterio Uno es que la forma del pulso exhiba un cruce por

cero en los puntos de muestreo de todos los intervalos del

pulso excepto en si mismo. El Criterio Dos es que la forma

del pulso sea tal que la amplitud decaiga rápidamente fuera

del intervalo del pulso.

Esto es importante porque cualquier sistema real

contendrá inestabilidades temporales, lo que significa que

Fig. 2 Forma espectral y la transformada inversa de Fourier

del pulso Raised Cosine.

el punto actual de muestreo del receptor no será siempre

óptimo para cada uno de los pulsos. Por lo tanto, aun si la

forma del pulso provee cruces por cero en los puntos

óptimos de muestreo de los intervalos de otros pulsos, las

inestabilidades temporales en el receptor pueden causar

que el instante de muestreo se mueva, y por ello, perder el

punto de cruce por cero.

Esto, también, introduce error en el proceso de realizar

la decisión. De esta manera, mientras mas rápido decaiga el

pulso fuera de su intervalo de pulso, menos probable será

que las inestabilidades de tiempo introduzcan errores al

momento de muestrear. Mas aún, en adición al criterio de

no interferencia, siempre está presente la necesidad de

limitar el ancho de banda del pulso, por razones ya

explicadas.

2.1. El pulso rectangular y el pulso Raised Cosine

El pulso rectangular, por definición, cumple con el criterio

“uno” porque es cero en todos los puntos fuera del presente

intervalo de pulso. Claramente no puede causar

interferencia durante el tiempo de muestreo de otros

pulsos. El problema con el pulso rectangular, sin embargo,

es que tiene significante energía sobre un gran ancho de

banda como lo indica su transformada de Fourier. De

hecho, debido a que el espectro del pulso está dado por la

familiar respuesta ( ) xxsen ππ / , su ancho de banda se

extiende infinitamente. Esta respuesta en frecuencia no

limitada del pulso rectangular da su inconveniente para los

sistemas de transmisión modernos. He aquí donde los

filtros de conformación de pulsos entran en juego.

El Pulso de Coseno Realzado o Raised Cosine Pulse es

usado en una variedad de sistemas de transmisión de datos

modernos. La magnitud del espectro, ( )ωP , del pulso

Raised Cosine está dada por:

(1)

( )

( )

( )

( )( )

( ) ( )

+<<−

−−+

−>

−<

=

αωωαωαω

αωωπ

αωω

αωω

112

2

1cos1

10

11

cc

c

c

c

c

wF

3

Fig. 3 Interacción de los pulsos Raised Cosine cuando el

tiempo entre los pulsos coincide con el Data Rate.

La forma espectral del pulso raised cosine se muestra en

la Figura 2.

La transformada inversa de Fourier de ( )ωP entrega la

respuesta en el dominio del tiempo, ( )tp , del pulso raised

cosine. Esto también es llamado la respuesta al impulso y

está dado por

(2)

Al contrario del pulso rectangular, el pulso Raised

Cosine toma la forma del pulso sinc como se indica en el

término izquierdo de ( )tp . La forma precisa del espectro

del Raised Cosine está determinada por el parámetro, α ,

donde 10 ≤≤α . Específicamente, α gobierna el ancho

de banda ocupado por el pulso y la tasa a la cual las colas

del pulso decaen. Un valor de 0=α ofrece un ancho de

banda angosto, pero tasa de decaimiento mucho mas lenta

en el dominio del tiempo. Cuando 1=α , el ancho de

banda es τ/1 , pero las colas en el dominio temporal

decaen rápidamente. La Figura 3 muestra un tren de pulsos

raised cosine interactuando unos con otros cuando el

tiempo entre pulsos coincide con la tasa de datos. Note

como los cruces por cero son coincidentes con los centros

de los pulsos como se desea (instantes de muestreo).

Entonces, estamos en presencia de los puntos donde el

recuperador de sincronismo tendrá que hallar su estado

Fig. 4 Señal binaria PAM hecha con 50% de exceso de ancho

de banda para un pulso raised cosine. Un segmento de

longitud 2T es mostrado con detalle en (a). Los círculos

pequeños indican los instantes de muestreo donde los

símbolos no están perturbados por los símbolos

vecinos. En (b), un diagrama de ojo es hecho al solapar

secciones de longitud 2T. La componente de la parte

(a) es mostrada en negro. Este gráfico de la señal es

típico de una pantalla de osciloscopio, donde el

osciloscopio es disparado (trigger) a la tasa de

símbolos.

Fig. 5 Diagrama de ojo para excesos de ancho de banda de (a)

25% y (b) 100% para un pulso raised cosine. Las líneas

verticales indican el alcance de las posibles fases de

sincronismo (instantes de muestreo) tal que pulsos

positivos y negativos pueden ser distinguidos. En cada

caso, la fase óptima de sincronismo está en el centro

donde la apertura del ojo es mayor.

estable para muestrear la señal en banda base (pulsos

raised cosine) en sus picos y así, maximizar la probabilidad

de realizar una correcta recuperación del símbolo

transmitido.

Con respecto a la recuperación del clock sincrónico a

los mencionados datos, se desprende de la Figura 3, que el

periodo del clock recuperado debe ser igual a la inversa de

la tasa de datos (data rate) y sus flancos ascendentes o

descendentes deben coincidir con el instante de muestreo.

2.2. Diagrama de ojo e Interferencia entre símbolos

Con el filtrado subóptimo, es útil cuantificar la

degradación de la señal. Una ilustración gráfica muy útil de

la degradación es el Diagrama de Ojo, así llamado porque

( )2

21

cossin

−

=

τα

ταπ

τt

ttc

tp

4

( ) ( )

1

2 1

2 1

2

0 0

0

0

0 0

3

: 5 3

k

k k

k k k k

k k

k

a

a a

A a a a

a a

a

m

tamaño

−

− −

− −

−

=

=

⋅

su forma es similar al ojo humano. Un diagrama de ojo

consiste en muchos trazos superpuestos de pequeñas

secciones de la señal como se muestra en la Figura 4. Si los

símbolos de datos son aleatorios e independientes, se

resume visualmente toda posible interferencia entre

símbolos de la forma de onda. Esto resume importantes

características de la señal, como se muestra en la Figura 5.

En la presencia de interferencia entre símbolos, cuando la

forma del pulso no satisface el criterio de Nyquist, el

diagrama de ojo se cerrará verticalmente. Para una

transmisión libre de errores en la ausencia de ruido, el ojo

debe mantener algo de apertura vertical, sino de otro modo

habría formas de onda con interferencia entre símbolos que

causarían error al detectar la señal.

Cuando la apertura vertical está incompleta (muy

cercana), la interferencia entre símbolos reducirá la

cantidad de ruido aditivo el cual introducirá errores. Sin

embargo, mientras más sea la apertura vertical mayor será

la inmunidad al ruido. El instante ideal de muestreo es

aquel punto donde se encuentra la máxima apertura de ojo

(vertical), pero esto nunca puede se logrado con precisión

por los circuitos recuperadores de sincronismo. Por lo

tanto, la apertura de ojo horizontal es también de

importancia práctica, dado que mientras más chica sea esta

apertura mayor será la sensibilidad a errores por fase de

sincronismo (el instante en el cual la señal es muestreada).

3. LOS ALGORITMOS DE MÜLLER & MUELLER

Los algoritmos para la Recuperación de Sincronismo de

Müller & Mueller [1], se construyen a partir de la

determinación del vector de pesos. El procedimiento de

determinar el vector de pesos va de acuerdo con un vector

u (es decir, una función de sincronismo) y una memoria

de longitud específica “m” que se desee utilizar. Para el

presente Recuperador de Sincronismo, se propone utilizar

un esquema Tipo A [1], basados en la ecuación

(3)

y una memoria de longitud m = 3. Con los datos

anteriores, se reemplaza el valor de m escogido en la

matriz kA , y se obtiene:

(4)

Fig. 6 Diagrama de bloques a implementar para el Detector de

Error de Sincronismo de M&M (con m=3).

Obtenida esta matriz, se reemplaza en la ecuación para

la obtención del vector de pesos

(5)

(6)

Despejando el vector de pesos kg de la ecuación

anterior, hallamos

(7)

3.1. Diagrama de bloques del Detector de Error de Sincronismo TED de M&M

La ecuación (7), nos permite modificar el diagrama de

bloques general y construirlo para m = 3, obteniendo el

Detector de Error de Sincronismo de M&M (T.E.D.

Timing Error Detector) como se muestra en la Figura 6.

Finalmente, con este vector se obtiene la función de error

para el TED al colocar el vector de pesos en la siguiente

ecuación

(8)

3 3 3 3

k k k= +A g u d

1

2 1

2 1

2

0 0 1/ 2

0 0

0

0 0

0 0 1/ 2

0

k

k k

k k k

k k

k

k

a

a a

a a a

a a

a

con d para transmisión binaria

−

− −

− −

−

− ⋅ =

=

kg

1 1 2

2

1 1 2

21

23

k k k k

k k

k k k k

a a a a

a a

a a a a

− − −

−

− − −

− − = + −

kg

( ) ( ) ( ) ( )1 1

1 1

2 2f h h h T h Tτ τ τ−= − = + − −

T

kz = ⋅k kg x

5

Fig. 7 Diagrama final a implementar para el Detector de Error

de Sincronismo de M&M, TED (con m=3).

Fig. 8 Diagrama final a implementar para el Bit Synchronizer

Operando

(9)

Con el resultado anterior, se permite hallar la versión

final para el TED de M&M. Un diagrama en bloques de la

Ecuación (11) se presenta en la Figura 7.

Nótese que la Figura 6 y la Figura 7 son exactamente

iguales. Dicha igualdad se observará al reemplazar la

Ecuación (7) en su bloque correspondiente de la Figura 6 y

al operar se llegará al resultado mostrado en la Figura 7.

Este proceso se demuestra en las ecuaciones (8,9,10 y 11).

3.2. Diagrama del Recuperador de Sincronismo de Müller & Mueller

Remitiéndose a la Figura 1, reemplazamos el Estimador de

Error de Sincronismo por el Detector de Error de

Sincronismo TED de M&M planteado en la Figura (7). El

resultado final se muestra en la Figura (8).

Fig. 9 Diagrama en bloques de Recuperador de Sincronismo a

simular en Matlab.

Fig. 10 Resultados de la simulación del Recuperador de

Sincronismo, en azul se muestra la señal banda base

recibida y en verde los instantes de muestreo decididos

por el algoritmos M&M una vez que el lazo ha

convergido.

4. SIMULACIONES EN MATLAB(SIMULINK)

Con el objeto de comprobar la teoría de los algoritmos de

M&M, se implementó en el programa Matlab (Simulink) el

diagrama propuesto en la Figura 8, al cual se le han

agregado los bloques para generar la señal en Banda Base

(Raw Data) y algunos visualizadores de forma de onda,

también llamados “Scope” para observar las señales de

salida de dato y clock. Con respecto a la señal excitadora,

se eligió una tasa de 2000 símbolos/s, la cual es luego

pasada por un mapeador para luego ser acondicionada por

un filtro Raised Cosine; con la lo que se obtiene la señal

Banda Base BPSK. Esta disposición se muestra en la

Figura 9.

Una vez corrida la simulación y esperado el tiempo de

convergencia del lazo de control, se superpuso la señal

banda base de entrada al sistema con el reloj recuperado

por el mismo. Los resultados pueden ser observados en la

Figura 10, allí se puede constatar que los flancos

ascendentes del reloj coinciden con los picos de la señal de

entrada; esta, por supuesto, era la cualidad buscada ya que

los símbolos transmitidos son recuperados con el flanco

ascendente del oscilador local. Al tomarse el símbolo en el

pico de la señal entrante se maximiza la probabilidad de

una correcta detección del símbolo transmitido ya que nos

encontramos en la máxima apertura del diagrama de ojo.

( )( )( )

−

++

+−−

=

−−−−

−−

−−−

2211

12

211

2

2

3

1

kkkkk

kkk

kkkkk

k

xaaaa

xaa

xaaaa

z

6

Fig. 11 Resultados de simulación para el Recuperador de

Sincronismo, se observa la señal de error a la salida de

Filtro de Lazo, en donde el sistema rastrea la frecuencia

de datos de la señal banda base.

En la Figura 11 se muestra la señal de error del lazo de

control cuando el mismo se encuentra rastreando una tasa

de datos específica.

Mas concretamente, esta prueba se realizó iniciando el

oscilador local 1995Hz y recibiendo una tasa de datos de

2000 símbolos/s. La señal muestra como el oscilador es

corrido de su frecuencia natural de oscilación para igualar

la tasa de entrada de símbolos.

5. SIMULACION EN FPGA CON EL PROGRAMA ALDEC ACTIVE-HDL

Como paso final para la comprobación de los Algoritmos

de M&M se implementó el Bit Synchronizer en una FPGA

Xilinx Virtex XVC300. Esta tarea demandó discretizar

cada uno de los bloques que se usaron en Simulink para

poder escribirlos en el lenguaje de programación VHDL

(Very High Speed Integrated Circuits Hardware

Description Lenguage). En las Figuras 12 y 13, se muestran los resultados de

las simulaciones llevadas a cabo. En la primera se ellas se

muestra la señal banda base, seguido por la señal banda

base contaminada por ruido aleatorio y finalmente la señal

de error del lazo, la cual muestra que el lazo en

convergente nuevamente. La figura siguiente es una

ampliación, en donde se observa con detalle la señal banda

base, luego contaminada por ruido y se agrega el reloj

recuperado (señal del oscilador local) y el símbolo

recuperado. En este punto, hay que destacar que otra vez, y

como era de esperarse, los flancos ascendentes de la señal

del reloj coinciden con los picos de la señal y con el

cambio del símbolo recuperado.

Fig. 12 Resultado de simulación, tiempo de convergencia en

aprox. 100ms. En la primer fila se observa la señal en

banda base a la salida del filtro Raised Cosine, la

segunda fila muestra la señal banda base contamina con

ruido, la tercer fila muestra el clock recuperado, la

cuarta muestra el dato recuperado y la quinta fila

muestra la señal de convergencia.

Fig. 13 Resultado de simulación una vez que el sistema ha

convergido, aquí se puede observar que el dato es

tomado con el pulso ascendente del clock recuperado el

cual coincide con los picos de la señal de banda base.

En la primera fila se muestra nuevamente la señal

banda base a la salida del filtro RC, la segunda fila

muestra la señal banda base contaminada y en la tercer

y cuarta fila, el clock y dato recuperados.

6. IMPLEMENTACION EN FPGA Y MEDICIONES DE DESEMPEÑO

Con las simulaciones funcionales y simulaciones de Timing

completadas para la FPGA, la misma fue grabada con

programa realizado.

A este sistema se la practicaron las mediciones de

comparación de señal de banda base contra reloj y datos

recuperados; así como la construcción del diagrama de ojo,

el cual es la comprobación final de la estabilidad del

sistema y del lugar donde los datos son recuperados.

data_out

Dataout1

clk

DataSalida

tk2

ms20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380

data_out

Dataout1

clk

DataSalida

ms508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519

7

Fig. 14 Resultado de las mediciones del Recuperador de

Sincronismo, tasa de datos en 2kbits/s, se observa en el

Canal 1 (señal en color amarilla) la señal banda base

recibida, en el Canal 2 (señal en color celeste) el clock

recuperado y en el Canal 3 (señal en color violeta) los

datos recuperados.

Fig. 15 Resultado de las mediciones del Recuperador de

Sincronismo, tasa de datos en 2kbits/s, se observa en el

Canal 1 (señal en color amarilla) el diagrama de ojo de

la señal banda base recibida, en el Canal 2 (señal en

color celeste) el clock recuperado y en el Canal 3 (señal

en color violeta) la transición de los datos recuperados.

El siguiente conjunto de mediciones fueron realizadas

con un osciloscopio Tektronik TDS7104. El la Figura 14,

se observa en amarillo la señal banda base recibida, en

celeste la señal del oscilador local y en violeta los datos

recuperados. Como se muestra con los dos cursores

amarrillos, los flancos ascendentes del reloj coinciden los

picos de la señal banda base, el cual es el punto donde no

hay interferencia entre símbolos.

Fig. 16 Diagrama de ojo de la Figura 15 ampliado, en amarillo

el diagrama de ojo y en celeste la señal del oscilador

local.

Fig. 17 Resultado de las mediciones del Recuperador de

Sincronismo, comparando los datos de entrada (señal

en color celeste) con los datos de salida (señal en color

violeta).

En la Figura 15, se muestra en amarillo la construcción

del diagrama de ojo de la señal recibida, en celeste la señal

del oscilador local y en violeta los símbolos recuperados.

En este punto, es muy importante tener en cuenta las Figura

4 y 5, ya estas figuras eran las predicciones teóricas del

comportamiento del Recuperador de Sincronismo y se

puede ver claramente que son iguales a las Figuras 14 y 15.

Para realizar la comprobación de la estabilidad del lazo

de control, se practicaron medidas de Tasa de Error de

Datos o BER (Bit Error Rate). Para dichas mediciones se

utilizaron los equipos Analizadores de Transmisión Digital,

Anritsu Receiver ME502B y Anritsu Transmitter ME502B.

8

Sobre una medición de 10 horas, se obtuvieron 5 errores,

lo que da el resultado

(10)

En la Figura 17 se puede observar un instante en la

comparación de los datos de entrada (señal en color

celeste) con los datos recuperados (señal en color violeta),

como se observa, a pesar del desfasaje por procesamiento,

los datos son coincidentes.

7. CONCLUSION

Se observó que los algoritmos de Müller y Mueller

implementados en una FPGA tienen una enorme

potencialidad para realizar la recuperación del sincronismo

en Receptores Digitales a partir de una señal banda base

recibida; siendo rápidamente convergentes y capaces de

soportar importantes cantidades de ruido en la señal

recibida.

Como punto destacable, se puede mencionar que este

proyecto será aplicado al Transmisor-Receptor de

Telemetría de 2kbits para el satélite SAOCOM 1A de la

Comisión Nacional de Actividades Espacial (C.O.N.A.E.).

8. AGRADECIMIENTOS

A la Empresa Consulfem S.A., por proveer los equipos y

kits de desarrollo necesarios, en especial al Ingeniero

Leonardo Villanueva, Fabrizio Barbero y Javier Siman por

su colaboración desinteresada.

9. REFERENCIAS [1] Kurt H.Mueller and Markus Müller, “Timing Recovery

in Digital Synchronous Data Receivers,” IEEE Trans.

On Communications COM-24 pp. 516-531 (May,

1976).

[2] B. R. SaltzBerg, “Timing Recovery for synchronous

binary data transmission,” Bell Syst. Tech. J., vol. 46,

pp. 593-622, March 1967.

[3] R. W. Chang, “Joint equalization, carrier acquisition,

and timing recovery for data communication,” in Conf.

Rec., Int. Conf. Commun., 1970.

[4] R . D. Gitlin and J. Salz, “Timing recovery in PAM-

systems,’’ Bell Syst. Tech. J., vol. 50, pp. 1645-1669,

May-June 1971.

[5] Edward A. Lee, David G. Messerschmitt, “Digital

Communications”, © 1988 by Kluwer Academic

Publishers, Boston.

[6] John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis, “Digital

Signal Processing”, © 1992 by Macmillan Publishing

Company.

[7] Ingle, Proakis, “Digital Signal Processing using Matlab

V.4”, © 1997 by PWS Publishing Company.

[8] Louis Litwin, “Matched filtering and Timing Recovery

in digital receivers,” RF time and frequency, RF Design

(September 2001), www.rfdesign.com.

[9] Ken Gentile, “The Care and feeding of digital, pulse

shaping filters,” RF Mixed Signal, RF Design (April

2002) .

[10] Kevin Skahill on Cypress Semiconductor, “VHDL for

Programmable Logic,” © 1996 by Addison-Wesley

Publishing., Inc.

[11] Jan Van der Spiegel, “VHDL Tutorial,” University of

Pennsylvania, Copyright 2001, Sept. 28,2001; Updated

November 18,2001.

7101 −⋅≈BER