Implementación de control PI para un motor de cd y demostración del uso del observador lungerber...
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INSTITUTO TECNOLOGICO DE ORIZABA MIE
Matemáticas avanzadas
21/sept/2011
1
DR. ALBINO MARTINEZ SIBAJA Elaboro: MAURICIO CHAVEZ GAMBOA
APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y SUS DIFERENCIAS 21/sept/20111
Mauricio Chávez Gamboa
IMPLEMENTACIÓN DE CONTROL PI PARA UN MOTOR DE CD Y
DEMOSTRACIÓN DEL USO DEL OBSERVADOR LUNGERBER USANDO
MATLAB.
INTRODUCCION
El control automático desempeña un papel importante en los procesos de
manufactura, industriales, navales, aeroespaciales, robótica, etc.
Este documento ha sido desarrollado de tal manera que se vea la construcción de
un controlador PI por medio de Matlab sin que sea necesario tener conocimientos
previos en electrónica.
Con la ayuda del software MATLAB ayudara a crear el sistema necesario para el
Lugar de las Raíces por medio de del sistema, el cual le dará información
importante sobre la dinámica del mismo. El conocimiento del funcionamiento del
sistema junto con el análisis de la función de transferencia de lazo abierto y del
Lugar de las Raíces darán las bases necesarias para seleccionar el controlador,
así aplicar posteriormente
En principio se mostrara el modelado de un motor de CD y a continuación se
aplicara por medio de matlab
MODELADO DE UN MOTOR DE DC
En el proceso de diseño para el control PI de un motor de CD para mantener las
revoluciones por minuto constantes sin importar las perturbaciones en la carga es
necesario tomar en cuenta varios aspectos que se plantean en la siguiente
descripción donde se muestra el modelo matemático de un motor de CD, los
parámetros requeridos para su interpretación y las variables de estado con sus
respectivas ecuaciones.
Modelo matemático de un motor de CD
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Mauricio Chávez Gamboa
Dónde:
Resistencia de la bobina… (Ra) = 1.64Ω.
Inductancia del bobinado… (La) = 0.00676H.
Flujo Magnético… (Fl)= 0.345Vs.
Coeficiente de inercia… (J) = 0.0009335 kgm.
Coeficiente de fricción… (Mfl) = 0.00172 Nms.
Características nominales del motor son las siguientes:
Potencia = 1.2KW.
Velocidad (w) = 314.16
= 300
Corriente (Ia) = 10A.
Voltaje (Ua) = 110Vcd.
[
]
[
] [
]
[
]
[
] [
] [
]
Una vez definidos todos los parámetros y el comportamiento de forma matemática
se recurre a introducir los parámetros del sistema como se muestra en la
APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y SUS DIFERENCIAS 21/sept/20111
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ilustración 1, creando un codigo en MATLAB en donde se teclea el siguiente
código:
Ilustración 1 Código añadido en el editor de Matlab
Con los parámetros ya cargados se puede proceder a la simulación del motor
mediante MATLAB, para lo cual se diseñó el motor de acuerdo a las ecuaciones
características del mismo implementándolo mediante SIMULINK, el sistema que
se obtuvo se muestra en la ilustración 2 en la cual se simula al motor con las
corrientes nominales y en la ilustración 3 con una carga donde se muestra al
motor con una carga mayor a 0 , para la cual la corriente y la revolución se
modifican debido a la carga añadida que en este caso particular puede ser algo
normal dependiendo a lo que consideremos como carga solo así sea el peso de la
misma flecha o una carga añadida el resultado fue el siguiente:
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Ilustración 2 motor sin carga
Ilustración 3 Motor con carga
Con una carga igual a
cero la corriente y las
revoluciones del motor
son las nominales
Con un factor de 13 en
la carga la corriente se
dispara con un pico de
salida y la revolución
disminuye
drásticamente
Velocidad angular=
Corriente=
Velocidad angular=
Corriente=
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SIMULACIÓN EN LAZO CERRADO.
Los sistemas de control en lazo cerrado se definen como aquellos en los que
existe una realimentación de la señal de salida, o dicho de otra forma, aquellos en
los que la señal de salida tiene efecto sobre la acción de control. En algunas
ocasiones, la señal controlada y la señal de referencia no son de la misma
naturaleza, por ejemplo, la señal controlada puede ser una velocidad, y la señal de
referencia una tensión. El instrumento encargado de detectar la señal de salida
para utilizarla de nuevo en el captador. Este elemento mide la señal controlada y
la transforma en una señal que puedan entender los demás componentes del
sistema del controlador.
Ilustración 4 esquema de lazo cerrado
Observando detenidamente en la ilustración 4, que el proceso en nuestro lazo
cerrado es la planta del motor, en este caso el elemento de control es el P.I. y el
sensor un acondicionador de señal (el tacogenerador para checar las
revoluciones del motor), para tener solo como a señal de entrada a el voltaje
aplicado al motor y metiendo una perturbación como si consideráramos una carga
acoplada al motor para poder observar el trabajo del elemento del control que en
este caso es el Pi.
En la ilustración 5 siguiente se muestra como se complementa con un bloque de
PI y de acondicionamiento de la entrada nuestro diagrama de lazo abierto
simulando en el software de simulink.
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Ilustración 5 Planta del Motor con PI añadido
Después de haber identificado los cambios y las adecuaciones se diseñó un
controlador PI para cerrar el lazo de control. Ahora procederemos a diseñar
nuestro controlador para que el motor mantenga una velocidad angular de 300
RPM , para sintonizar los valores del PI se utilizó el primer método de Ziegler–
Nichols como se muestra en la ilustración 6,para lo cual se obtuvo la respuesta
transitoria del circuito en lazo abierto y con una entrada del 50% así para poder
cumplir con el primer método el cual consta en trazar una línea tangente en el
punto de inflexión de la curva que se obtiene a partir de una respuesta al escalón
como se muestra en la siguiente figura:
Ilustración 6 Método de Ziegler–Nichols
La respuesta de la planta a una entrada escalón unitario por medio de este
método se obtiene de manera experimental. Si la planta no contiene integradores
ni polos dominantes complejos conjugados, la curva de respuesta escalón unitario
puede tener forma que se observa en la figura anterior. Si la respuesta no exhibe
Bloques adicionales
Acondicionador de señal
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una curva de estas características, este método no el mejor. Donde se obtienen
los valores de T y L los cuales son:
T= 0.01987
L= 0.00125
Tabla 1 de Ziegler–Nichols
Con dichos valores se obtuvo el valor de la ganancia KP el cual es (T/L) y el valor
de I(s) se dejó con un valor muy grande pues en la tabla del método utilizado
indicaba que su valor era infinito. Una vez que obtuvimos estos valores se
introdujo en SIMULINK un bloque controlador PID además se una
retroalimentación y un sumador; en la ilustración 7 se muestra que para la
retroalimentación se puso una ganancia esto para adecuar las magnitudes de la
salida (velocidad) con la entrada (voltaje) para esto se multiplico la salida por
0.3492. Con estos valores se tiene el siguiente sistema:
Ilustración 7 sistema con ganancia de retro alimentación
De la simulación anterior se obtuvo la siguiente gráfica, se observa una entrada
escalón en la carga esto para verificar cómo se comporta el motor sin carga y
después al acoplarle una carga.
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Ilustración 8 demostración de lazo de control
Demostrando que el lazo de control cerrado y que el PI funciona correctamente
como se muestra en la ilustración 8 donde se puede observar una perturbación
después de un tiempo en la señal que genera el scope que observa la velocidad
nominal del motor, se procede a analizar el observador.
OBSERVADOR LUENBERGER
El observador de Luenberger es un estimador de estado, es decir, un algoritmo
que permite estimar el estado interno oculto (no medible) de un sistema dinámico
lineal a partir de las mediciones de la entrada y la salida de dicho sistema. [2]
Finalmente se realizó el observador de luenberger para el motor de CD el cual
quedo de la siguiente manera donde se para la ganancia de K se obtuvieron a
partir del comando PLACE en matlab donde se ubicaron los polos en [-100+100i; -
100-100i] esto es porque entre más alejados estén los polos del origen el sistema
se vuelve más rápido, y deben de estar de lado izquierdo del plano , ya que si está
en el lado derecho el sistema de vuelve completamente inestable.
Se diseñó un observador luenberger para el sistema y el diagrama es el siguiente:
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Ilustración 9 diagrama de planta en lazo abierto y observador
Para simular el diagrama anterior se introduce el siguiente comando en la consola
de MATLAB: k=place(A, B, P). Con esto se ejecuta y se simula teniendo las
siguientes salidas y en los parámetros de nuestro scrib se modifican:
Ilustración 10 Código con la instrucción PLACE
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En los parámetros anteriores se agregan tres parámetros más los cuales son el
lugar de los polos P y K que es un comando que se usa en matlab llamado place.
¿Qué es K y como usamos la función place para obtenerla?
Considere un sistema de control
en donde
Vector de estado
u = señal de control (escalar)
A = matriz de coeficientes constantes n X n
B = matriz de coeficientes constantes n X 1
Seleccionaremos la señal de control como
u=K*x
La matriz K de 1 = n se denomina matriz de ganancias de la realimentación del
estado. Esto significa que la señal de control se determina mediante un estado
instantáneo. Tal esquema se denomina realimentación del estado. La matriz K
de 1 X n se denomina matriz de ganancias de la realimentación del estado. En el
análisis siguiente suponemos que u no tiene restricciones.
Se muestra el sistema definido mediante la ecuación
Se trata de un sistema de control en lazo abierto, porque el estado x no se
realimenta a la señal de control u
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La figura anterior muestra el sistema con una realimentación del estado.
Éste es un sistema de control en lazo cerrado, porque el estado x se realimenta a
la señal de control u.
Sustituir la ecuación u=K*x en la ecuación anterior produce
K(t) = (A - BK)x(t)
Los valores característicos de la matriz A - BK se denominan polos
reguladores.
Si éstos se ubican en el semiplano izquierdo del plano s, entonces x(t) tiende a 0
conforme t tiende a infinito. El problema de ubicar los polos en lazo cerrado en las
posiciones deseadas se denomina problema de ubicación de polos.
Es importante señalar que la matriz K no es única para un sistema
determinado, sino que depende de las ubicaciones de los polos en lazo cerrado
deseados (los cuales determinan la velocidad y el amortiguamiento de la
respuesta).
La selección de los polos en lazo cerrado deseados, o de la ecuación
característica deseada, es un compromiso entre la rapidez de la respuesta del
vector de error y la sensibilidad ante perturbaciones y el ruido en la medición. Es
decir, si incrementamos la velocidad de la respuesta de error, por lo general
se incrementan los efectos adversos de las perturbaciones y el ruido en la
medición. Si el sistema es de segundo orden, su dinámica (las características de
respuesta) se correlaciona precisamente con la ubicación de los polos en lazo
cerrado deseados y los ceros de la planta. Para sistema de orden superior, la
ubicación de los polos en lazo cerrado y la dinámica del sistema (las
características de respuesta) no se correlacionan fácilmente. Por tanto, al
determinar la matriz de ganancias de realimentación del estado K para un sistema
determinado, es conveniente examinar mediante simulaciones de
computadora las características de respuesta del sistema para varias matrices
K diferentes.
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En matlab utilizamos la función place que es place donde nos indica la situación
los polos dominantes, K = place (A,B,P) la cual Calcula la matriz o vector K de
tal forma que los autovalores de A – B*K (matriz de transición de estados del
sistema en bucle cerrado) sean los especificados en el vector P donde se
propones los valores para P en ubicaciones imaginarias y alejadas de los ejes
según sea el orden del sistema analizado.
Ilustración 11 efecto sobre la respuesta transitoria de los polos de lazo cerrado
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Bueno al verificar el comportamiento del observador en lazo abierto de nuestro
sistema del motor de cd sin la implementación del PI nos damos cuenta que
conforme tú des el cambio en los valores de carga y la salida del motor afecte en
su rendimiento el observador de luenberger en cuanto a la variación de
revoluciones de ser de él orden de 300rpm disminuye drásticamente por el efecto
de la carga.
Ilustración 12 señales comparadas de observador con el motor
Para observar más detalladamente el funcionamiento del observador se tiene el
siguiente diagrama en el que se toman dos retroalimentaciones, una a la salida del
motor y otra a la salida del observador así se pondría el observador con el
diagrama a lazo cerrado y así poder interactuar para usar y demostrar entre la
retroalimentación y el observador el comportamiento del diseño
Salida del motor con el observador
acoplado Salida del Observador.
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Ilustración 13 implementación de observador con planta del motor
La finalidad del diagrama anterior es dar a conocer las características principales
de un observador, considerando en cuenta que la señal de retroalimentación que
tiene el PI es considerada un sensor cuando haces el cambio con el switch
manual absolutamente no tiene variaciones en el comportamiento por que la
finalidad es compensar en este caso los transductores o parámetros que pueden
afectar el desempeño del sistema si este se deja sin supervisión.
Las salidas del sistema son las siguientes, esto al tener seleccionada la
retroalimentación de la salida del motor:
Switch para simular las
condiciones del observador
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Ilustración 14 salida del motor con perturbacion
Ilustración 15 salida con retroalimentación y la perturbación.
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Enseguida se mostrara lo que es capaz de hacer el observador:
Después se cambió el interruptor esto para seleccionar la retroalimentación que
viene de la salida del observador, y se muestra lo siguiente.
Ilustración 16 comportamiento de señales
La ilustración 16, tiene las mismas propiedades tanto para la salida del motor y la
salida del observador
Al introducir una perturbación en el comportamiento del motor, la única salida que
se mantiene es la del observador cuando esta seleccionada esta misma como
retroalimentación, entonces lo que se necesita es un sistema que detecte
variaciones en el sensor (tacómetro=, y que active la salida del observador como
retroalimentación.
Lo anterior para garantizar que el sistema seguirá funcionando aunque el sensor
(tacómetro) se encuentre dañado ya que el observador cumple con la condición
exactamente de observar el acontecimiento del motor y las características
dependiendo no del sensor mismo si no de los parámetros de entrada que tiene el
observador .
Velocidad angular=
Corriente=
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Bibliografía.
Control de sistemas lineales, Gabriela Peretti[1]
TUTORIAL DE ANÁLISIS Y CONTROL DE SISTEMAS USANDO MATLAB., Manuel
Vargas Villanueva[2]
Ingeniería de Control Moderna, Katsuhiko Ogata[3]