Imp Newton

CAPTULO

3Aplicaciones de primer orden

3.4 Ley de Enfriamiento de Newton

Si un cuerpo u objeto que tiene una temperatura T0 es depositado en un medio ambiente que se mantiene auna temperatura Ta constante, con Ta T0, la experiencia nos dice que, al paso del tiempo, la temperaturadel cuerpo tiende a ser igual a la del medio circundante. Es decir, si T .t/ es la temperatura del cuerpo en eltiempo t , entonces T .t/! Ta cuando t crece. Es posible representar esto en un diagrama como sigue:

En t D 0

Ta

T0

En t > 0

Ta

T .t/

En t D periodo largo

Ta

T .t/ Ta

Para modelar la temperatura del objeto utilizamos la ley de Enfriamiento de Newton; sta afirma que larapidez de cambio de la temperatura de un cuerpo es directamente proporcional a la diferencia de tempera-turas entre el cuerpo y el medio circundante. Esto es,

T 0.t/ D kT .t/ TaI

donde k es la constante de proporcionalidad.Notemos aqu dos situaciones:

1. Cuando T0 > Ta , y por lo mismo T .t/ > Ta , en el cuerpo ocurre un enfriamiento y se tiene que T .t/

decrece y que T .t/Ta > 0, es decir,d

dtT .t/ < 0 y T .t/Ta > 0, por lo que

d

dtT .t/ D kT .t/Ta )

k < 0.

1. canek.azc.uam.mx: 22/ 9/ 2010

1

2 Ecuaciones diferenciales ordinarias

2. Cuando T0 < Ta, y por lo mismo T .t/ < Ta, en el cuerpo ocurre un calentamiento y se tiene que T .t/

crece y que T .t/ Ta < 0, es decir,d

dtT .t/ > 0 y T .t/ Ta < 0, por lo que

d

dtT .t/ D kT .t/ Ta )

k < 0.

Concretando: sea enfriamiento o calentamiento, la ecuacin diferenciald

dtT .t/ D kT .t/Ta tiene sentido

siempre y cuando k sea negativa (k < 0).Tenemos entonces que la temperatura T .t/ del cuerpo en el instante t 0 est determinada por el PVI:

T 0.t/ D kT .t/ Ta; con la condicin inicial T .0/ D T0:

Resolvemos la ecuacin diferencial, que es claramente de variables separables:

dT

T TaD kdt )

)

dT

T TaD k

dt )

) ln jT Ta j D kt C C1 )

) jT Ta j D ektCC1 D ekteC1 D Cekt )

) jT Ta j D Cekt )

) T Ta D Cekt )

) T .t/ D Ta C Cekt

T > Ta ) T Ta > 0 )

) jT Ta j D T Ta:

Obtenemos lo mismo si:

T < Ta ) T Ta < 0 )

) jT Ta j D Cekt )

) .T Ta/ D Cekt )

) T Ta D Cekt ) T Ta D Ce

kt :

que es la temperatura del cuerpo en el instante t 0.Para tener bien determinada la temperatura T .t/, son necesarias dos condiciones adicionales que permitancalcular valores nicos para las constantesC y k. Estas condiciones podran ser las temperaturas del cuerpoen dos instantes cualesquiera y una de ellas podra ser la temperatura inicial T0.

Ejemplo 3.4.1 Un cuerpo que tiene una temperatura de 70 F es depositado (en el tiempo t D 0) en un lugar dondela temperatura se mantiene a 40 F. Despus de 3 min, la temperatura del cuerpo ha disminuido a 60 F.

1. Cal es la temperatura del cuerpo despus de 5 min?

2. Cunto tiempo pasar para que el cuerpo tenga 50 F?

H Si T .t/ es la temperatura del cuerpo en F despus de t minutos, entonces la ecuacin diferencial quemodela a T .t/ es

T 0.t/ D kT .t/ Ta;

donde Ta D 40 F es la temperatura fija del medio circundante.Las condiciones adicionales son T .0/ D 70 y T .3/ D 60.Luego, la temperatura T .t/ est dada por la solucin del PVI:

T 0.t/ D kT .t/ 40; con T .0/ D 70 y adems T .3/ D 60:

Resolvamos este problema:

dT

dtD k.T 40/ )

dT

T 40D kdt )

dT

T 40D k

dt ) ln.T 40/ D kt C C )

) T 40 D ektCC ) T .t/ D Cekt C 40:

Ahora,T .0/ D 70 , T .0/ D Cek0 C 40 D 70 , C C 40 D 70 , C D 30I

3.4 Ley de Enfriamiento de Newton 3

por lo que, T .t/ D 30ekt C 40, entonces:

T .3/ D 60 ) 30ek3 C 40 D 60 ) e3k D60 40

30D

20

30D

2

3)

) ln e3k D 3k D ln(2

3

)) k D

1

3ln(2

3

) 0:1352 :

Luego,T .t/ D 30e0:1352t C 40:

1. Cul es la temperatura del cuerpo despus de 5min?

T .5/ D 30e0:1352.5/ C 40 D 55:2594 ) T .5/ 55:26 F.

2. Cunto tiempo pasar para que el cuerpo tenga 50 F?

T .t/ D 50 ) 30e0:1352t C 40 D 50 ) e0:1352 t D50 40

30D

10

30D

1

3)

) 0:1352 t D ln(1

3

)D ln 3 ) t D

ln 30:1352

D1:0986

0:1352 8:1258min.

Entonces el cuerpo tendr una temperatura de 50 F despus de t 8minutos, 8 segundos.

Ejemplo 3.4.2 Un objeto que tiene una temperatura 50 F se coloca a las 10:00 horas en un horno que se mantiene a375 F. A las 11:15 horas su temperatura era 125 F. A qu hora estar el objeto a 150 F?

H La ecuacin diferencial que modela el problema es

d

dtT .t/ D kT .t/ TaI

donde Ta D 375 F es la temperatura constante del medio circundante.Puesto que de 10 am a 11:15 am transcurren 75 min, las condiciones adicionales son

T .0/ D 50 y T .75/ D 125:

Luego la temperatura T .t/ del objeto est dada por la solucin del PVI:

T 0.t/ D kT .t/ 375; con T .0/ D 50 y adems T .75/ D 125:

Sabemos que:T .t/ D Ta C Ce

kt ) T .t/ D 375C Cekt :

Ahora, usando la condicin inicial:

T .0/ D 50 ) 375C Ce0 D 50 ) C D 50 375 ) C D 325:

Por lo que,T .t/ D 375 325ekt:

Usando la segunda condicin:

T .75/ D 125 ) 375 325ek75 D 125 ) e75k D125 375

325D250

325D

10

13)

) 75k D ln(10

13

)) k D

1

75ln(10

13

)D 0:0034982 0:0035 :


Luego,T .t/ D 375 325e0:0035t :

El objeto alcanzar la temperatura de T D 150 F cuando:

T .t/ D 150 ) 375 325e0:0035t D 150 ) e0:0035t D150 375

325D225

325D

9

13)

) 0:0035t D ln(

9

13

)D 0:367725 ) t D

0:367725

0:0035 105:06min.

Es decir, la temperatura del objeto ser T D 150 F despus de t D 105min, a partir de las 10 de la maana.Por lo tanto, la temperatura ser 150 F aproximadamente a las 11:45 horas.

Ejemplo 3.4.3 Una taza de caf cuya temperatura es 190 F se coloca en un cuarto cuya temperatura es 65 F. Dosminutos ms tarde la temperatura del caf es 175 F. Despus de cunto tiempo la temperatura del caf ser 150 F?

H Sea T .t/ la temperatura (en F) del caf en el instante t 0min. Observamos que

T .0/ D 190; Ta D 65 y T .2/ D 175:

El PVI por resolver es

dT

dtD k.T 65/; con T .0/ D 190 y adems T .2/ D 175;

para determinar la temperatura del caf en cualquier instante t 0 min. Sabemos que

T .t/ D Ta C Cekt ) T D 65C Cekt :

Usando la condicin inicial, tenemos:

T .0/ D 190 ) T .0/ D 65CCek0 D 190 ) C D 125 ) T .t/ D 65C 125ekt:

Ahora usamos la segunda condicin:

T .2/ D 175 ) T .2/ D 65C 125ek2 D 175 ) e2k D110

125D

22

25) 2k D ln

(22

25

))

) k D1

2ln(22

25

) 0:0639 ) k 0:0639 :

Entonces:T .t/ D 65C 125e0:0639t;

que es la temperatura (en F) del caf en el minuto t 0.Sea t1 el instante en que T .t1/ D 150. Tenemos entonces:

T .t1/ D 65C 125e0:0639t1 D 150 ) e0:0639t1 D 0:68 ) 0:0639t1 D ln 0:68 )

) t1 Dln 0:680:0639

6:0354min.

Por lo tanto deben transcurrir t1 6min, 2 s para que la temperatura del caf sea de 150 F.


Ejemplo 3.4.4 Un termmetro en el que se lee 70 F se coloca en un lugar donde la temperatura es 10 F. Cincominutos ms tarde el termmetro marca 40 F. Qu tiempo debe transcurrir para que el termmetro marque mediogrado mas que la temperatura del medio ambiente?

H Sea T .t/ la temperatura (en F) del termmetro en el instante t 0 min. Observamos que

T .0/ D 70; Ta D 10 y T .5/ D 40:

El PVI por resolver es

dT

dtD k.T 10/; con T .0/ D 70 y adems T .5/ D 40:

La solucin esT .t/ D Ta C Ce


Utilizamos la condicin inicial:

T .0/ D 70 ) T .0/ D 10C Cek.0/ D 70 ) C D 60 ) T .t/ D 10C 60ekt:

La segunda condicin nos permite calcular k:

T .5/ D 40 ) T .5/ D 10C 60e5k D 40 ) e5k D 0:5 )D ln.0:5/ ) k Dln 0:55

0:1386 :

En conclusin:T .t/ D 10C 60e0:1386t :

Sea t1 el minuto en que T .t1/ D 10:5 F:

T .t1/ D 10C 60e0:1386t1 D 10:5 ) e0:1386t1 D

0:5

60)

) .0:1386/t1 D ln.0:0083/ ) t1 Dln 0:00830:1386

34:57min.

Por lo tanto, el tiempo que debe transcurrir para que el termmetro marque medio grado ms que la tem-peratura ambiente es t1 34minutos, 34 segundos.

Ejemplo 3.4.5 Un termmetro que est en el interior de una habitacin se lleva al exterior donde la temperatura es5 F. Despus de 1 min el termmetro marca 55 F y despus de 5 min marca 30 F. Cul era la temperatura deltermmetro en la habitacin?

H Sea T .t/ la temperatura (en F) del termmetro en el instante t 0 min. Tenemos:

Ta D 5; T .1/ D 55; T .5/ D 30& T .0/ D T0, que es la temperatura a determinar.

Al resolver la ED, resulta:T .t/ D Ta C Ce


Usando la condicin inicial:

T .0/ D T0 ) 5C Cek0 D T0 ) C D T0 5 ) T .t/ D 5C .T0 5/e

kt :

Usando ahora las dos condiciones dadas:

T .1/ D 55 ) 5C .T0 5/ek D 55 ) .T0 5/e

k D 50 ) T0 5 D 50ek: (3.1)

T .5/ D 30 ) 5C .T0 5/e5k D 30 ) .T0 5/e

5k D 25 ) T0 5 D 25e5k: (3.2)


Las expresiones (3.1) y (3.2) conforman un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas (T0 y k). Entonces,por igualacin:

50ek D 25e5k; (multiplicando por e5k) ) 50e4k D 25 ) e4k D 0:5 ) 4k D ln.0:5/ )

) k Dln.0:5/

4D 0:1733 ) k 0:1733 :

Utilizando el valor de k en (3.1):

T0 5 D 50ek ) T0 D 5C 50e

0:1733 ) T0 D 64:46F:

Es la temperatura que marcaba el termmetro en la habitacin.

Ejemplo 3.4.6 En una habitacin la temperatura que marca un termmetro clnico es 20 C. Para detectar si unpaciente tiene fiebre (definida como temperatura corporal de 38 C o ms) se coloca un termmetro en la axila delpaciente. Si al cabo de un minuto el termmetro marca 27 C en una persona sana (con temperatura de 36 C),cunto tiempo se debe dejar en una persona con fiebre para detectarla con un error no mayor que 0:2 C?

H Si T .t/ es la temperatura que marca el termmetro a los t minutos, entonces:

T .0/ D 20 C; T .1/ D 27 C & Ta D 36 C:

Con estos datos podemos obtener el valor de k, que en cierta forma mide la sensibilidad del termmetro.El PVI es

dT

dtD k.T 36/; con T .0/ D 20 y adems T .1/ D 27:

Sabemos queT .t/ D Ta C Ce


Usando la condicin inicial:

T .0/ D 20 D 36C Cek0 ) C D 20 36 D 16 ) T .t/ D 36 16ekt :

Usamos ahora la segunda condicin:

T .1/ D 27 D 36 16ek1 ) 16ek D 36 27 D 9 ) ek D9

16) k D ln

(9

16

)D 0:57536 :

Como se dijo, este valor de k es una constante del termmetro. Si ese mismo termmetro se usa en unpaciente que tal vez tenga fiebre (Ta 38 C ahora, con Ta no conocida), entonces resolvemos el PVI:

dT

dtD 0:57536.T Ta/; con T .0/ D 20;

y hallamos el valor de t de modo que T .t/ Ta 0:2. Tendremos T .t/ D Ta C Ce0:57536t , pero aqu

T .0/ D 20 ) Ta C C D 20 ) C D 20 Ta;

as que la temperatura marcada por el termmetro para el tiempo t 0 es

T .t/ D Ta C .20 Ta/e0:57536t :

Es preciso comparar esta expresin con Ta 0:2 y resolver para t :

T .t/ DTa C .20 Ta/e0:57536t Ta 0:2 ) .Ta 20/e

0:57536t 0:2 )

) e0:57536t 0:2

Ta 20) 0:57536t ln

(0:2

Ta 20

)) t

ln(

0:2

Ta 20

)

0:57536


(se invirti la desigualdad por dividir entre un nmero negativo). Es decir,

t ln 0:2

0:57536

ln.Ta 20/0:57536

D 2:7973Cln.Ta 20/0:57536

:

El ltimo trmino est en funcin de la temperatura Ta del paciente, que no se conoce en principio; sin em-bargo podemos hacer una estimacin, pues en seres humanos Ta es cuando mucho 42 C en casos extremos.

El valor del ltimo trmino sera entonces cuando mucholn 22

0:57536D 5:3724, y esto sumado al primer tr-

mino dara un total de t 8:17 min, alrededor 8 min 10 s. Por lo tanto, para detectar una Ta D 38 C se

requeriran 2:7973Cln 18

0:57536D 7:82min, o sea, alrededor de 7min 50 s.

Un caso de aplicacin de la ley de Enfriamiento de Newton en medicina, relacionado con lo anterior, con-siste en determinar la hora en que falleci una persona cuyo cadver se encuentra en un medio ambientefro. La homeostasis, o conjunto de funciones vitales de un individuo, regula su temperatura corporal (encondiciones normales, sin enfermedad) entre 36 y 36:5 C; sin embargo al morir, el cadver del individuo secomporta como un cuerpo caliente en un medio fro (puesto que su organismo ya no produce calor), comonos lo ilustra el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3.4.7 Un ganadero sali una tarde a cazar un lobo solitario que estaba diezmando su rebao. El cuerpo delganadero fue encontrado sin vida por un campesino, en un cerro cerca del rancho junto al animal cazado, a las 6:00 hdel da siguiente. Un mdico forense lleg a las 7:00 y tom la temperatura del cadver, a esa hora anot 23 C; unahora ms tarde, al darse cuenta de que en la noche, y an a esas horas, la temperatura ambiente era aproximadamentede 5 C, el mdico volvi a medir la temperatura corporal del cadver y observ que era de 18:5 C. A qu hora muriel ganadero aproximadamente?

H Podemos suponer por la informacin proporcionada, que la temperatura ambiente se mantuvo casiconstante como Ta D 5 C y tambin que hasta el instante de su muerte, cuyo momento desconocemos, latemperatura corporal del ganadero fue de 36 C.Tiene mucho sentido que el forense haya tomado dos mediciones de la temperatura del cuerpo, para deter-minar el valor de k. Podemos denotar por T .t/ la temperatura del cuerpo al tiempo t , medido en horas; porcomodidad, hagamos t D 0 a las 7:00 h y t D 1 a las 8:00 h, as que tenemos el PVI:

dT

dtD k.T Ta/; con T .0/ D 23 C y adems T .1/ D 18:5 C;

con Ta D 5 C. Se busca determinar el tiempo (negativo) t0 en el que T .t0/ D 36 C. Al resolver la EDsabemos que:

T .t/ D Ta C Cekt ) T D 5C Cekt ) T .t/ 5 D Cekt :

Al usar las condiciones resulta

T .0/ D 23 ) 23 5 D 18 D Cek0 ) C D 18 ) T 5 D 18ekt I

T .1/ D 18:5 ) 18:5 5 D 13:5 D 18ek ) ek D13:5

18) k D ln

(13:5

18

)D 0:2877:

En sntesis, por lo anterior: T .t/ D 5C 18e0:2877t es la solucin del PVI.Para determinar t0, consideramos T .t0/ D 36 y resolvemos:

36 D 5C 18e0:2877t0 ) 18e0:2877t0 D 36 5 ) e0:2877t0 D31

18)

) 0:2877t0 D ln(31

18

)) t0 D

ln.31=18/0:2877

D 1:8895 1 h 53min.

Comprobamos que el deceso ocurri aproximadamente 1 h y 53 min antes de las 7:00 (hora de la primertoma de temperatura), esto es, alrededor de las 5:07 horas.


Ejercicios 3.4.1 Ley de Enfriamiento de Newton. Soluciones en la pgina 9

1. La temperatura de un motor en el momento en que se apaga es de 200 C y la temperatura del aireque lo rodea es de 30 C. Despus de 10 min la temperatura del motor ha bajado a 180 C. Cuntotiempo transcurrir para que la temperatura del motor disminuya hasta 40 C?

2. Un recipiente con agua a una temperatura de 100 C se coloca en una habitacin que semantiene a unatemperatura constante de 25 C. Despus de 3 min la temperatura del agua es de 90 C. Determinar latemperatura del agua despus de 15min. Cunto tiempo deber transcurrir para que la temperaturadel agua sea de 40 C?

3. Un termmetro se saca de una habitacin donde la temperatura del aire es de 70F al exterior dondela temperatura es de 10 F. Despus de medio minuto el termmetro marca 50 F. Cunto marca eltermmetro cuando t D 1 min? Cunto tiempo deber transcurrir para que la temperatura marcadapor el termmetro sea de 15 F?

4. Una taza de caf caliente, inicialmente a 95 C, al estar en una habitacin que tiene una temperaturaconstante de 21 C, se enfra hasta 80 C en 5 min. Determinar la temperatura del caf despus de10min. Cunto tiempo deber transcurrir para que el caf tenga una temperatura de 50 C?

5. Una barra metlica, cuya temperatura inicial es de 20 C, se deja caer en un recipiente que contieneagua hirviendo (a 100 C) y su temperatura aumenta 2 C despus de 1 s. Determinar la temperaturade la barra metlica despus de 10 s. Cunto tiempo deber transcurrir para que la temperatura dela barra sea de 60 C?

6. Un termmetro que indica 70 F se coloca en un horno precalentado y mantenido a temperaturaconstante. A travs de una ventana de vidrio del horno, un observador registra que la temperaturamarcada por el termmetro es de 110 F despus de medio minuto y de 145 F despus de 1min. Aqu temperatura est el horno?

7. Un termmetro en el que se lee 80 F se lleva al exterior. Cinco minutos ms tarde el termmetroindica 60 F. Despus de otros 5min el termmetro seala 50 F. Cul es la temperatura del exterior?

8. Un material cermico se saca en cierto momento de un horno cuya temperatura es de 750 C, parallevarlo a una segunda etapa de un proceso que requiere que el material se encuentre a una tempera-tura de cuando mucho 200 C. Suponga que la temperatura de una sala de enfriamiento donde secolocar este cermico es de 5 C y que, despus de 15min, la temperatura del material es de 600 C.En cunto tiempo el material cermico estar listo para entrar a la segunda etapa de su proceso?

9. A las 13:00 horas un termmetro que indica 10 F se retira de un congelador y se coloca en un cuartocuya temperatura es de 66 F. A las 13:05, el termmetro indica 25 F. Ms tarde, el termmetro secoloca nuevamente en el congelador. A las 13:30 el termmetro da una lectura de 32 F. Cundo seregres el termmetro al congelador?; cul era la lectura del termmetro en ese momento?

10. Luis invit a Blanca a tomar caf en lamaana. l sirvi dos tazas de caf. Blanca le agreg crema sufi-ciente como para bajar la temperatura de su caf 1 F. Despus de 5min, Luis agreg suficiente cremaa su caf como para disminuir su temperatura en 1 F. Por fin, tanto Luis como Blanca empezaron atomar su caf. Quin tena el caf ms fro?


Ejercicios 3.4.1 Ley de Newton de cambio de temperaturas. Pgina 8

1. 3 h, 46min, 18 s.

2. 61:67 C; 33min, 44 s.

3. 36:7 F; 3min, 4 s.

4. 68 C; 20min, 41 s.

5. 37:9 C; 27:38 s.

6. 390 F.

7. 40 F.

8. 1 h, 29min, 22 s.

9. 13:20:19; 50:22 F.

10. Luis.

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