Ilustrar las Matemáticas usando impresoras 3D Oliver Knill, Elizabeth Slavkovsky

Departmento de Matemáticas, Harvard University, Cambridge, MA, USA knill@math.harvard.edu, writetoliz@yahoo.com

Visualización La visualización siempre ha sido un ingrediente

importante para la comunicación de las matemáticas. Las figuras y los modelos han ayudado a expresar las ideas, incluso antes de que el lenguaje matemático formal fuese capaz de describir las estructuras. Los números han sido registrados como marcas hechas sobre huesos, representados con guijarros, y luego pintados en piedra, inscritos en arcilla, tejidos en nudos que hablan, escritos en papiro o papel y después impresos en papel o mostrados en las pantallas del computador. Si bien las figuras amplían el lenguaje y las imágenes permiten visualizar conceptos, realizar los objetos en el espacio ha mantenido su valor. Ya en la antigua Grecia se utilizaron modelos de madera de los conos de Apolonio para enseñar las secciones cónicas. La investigación inicial en matemáticas era a menudo visual: hay figuras sobre tablillas de arcilla babilónicas que se usaron para ilustrar las ternas pitagóricas; el papiro matemático de Moscú presenta una imagen que ayuda a obtener la fórmula del volumen del tronco de una pirámide. Al- Khwarizmi dibujó figuras para resolver la ecuación cuadrática. La visualización no es sólo ilustrativa, educativa o heurística, sino que tiene valor práctico: triángulos pitagóricos hechos con cuerdas

ayudaron a medir y dividir la tierra en Babilonia. Regla y compás, introducidos para hacer matemáticas en el papel se pueden utilizar para construir planos de máquinas. Los matemáticos griegos como Apolonio, Aristarco, Euclides o Arquímedes dominaban el arte de representar las matemáticas con figuras. (1)

Mientras que los dibujos no sustituyen las ideas –Kline (2) da una prueba visual convincente de que todos los triángulos son equiláteros– sí nos ayudan a transmitir intuiciones sobre resultados e ideas (3 4).   La visualización es especialmente crucial para la educación y puede llevar a nuevos enfoques. Hay muchos ejemplos de naturaleza mecánica que se encuentran en el libro de texto "La Mecánica Matemática " (The Mathematical Mechanic)(5). Como una herramienta pedagógica, ayuda a los maestros en todos los niveles de las matemáticas, desde la escuela primaria y secundaria, pasando por la educación superior hasta la investigación moderna (6 7 8). Una tesis de Slavkovsky (9) ha explorado la viabilidad del uso de la tecnología en el aula. Nos inspiramos en el trabajo de Arquímedes (10) con el uso de esta tecnología .

La visualización también ayuda a exhibir la belleza de las matemáticas y a promover este campo ante un público más amplio. Las figuras pueden inspirar nuevas ideas, generar nuevos teoremas o ayudar en los cálculos; hay ejemplos como los diagramas de Feynman o Dynkin, o una tabla de Young. La mayoría de los matemáticos extraen ideas creativas e intuiciones a partir de imágenes, incluso si estas imágenes no se publican nunca en artículos o libros de texto. Artistas, arquitectos, cineastas, ingenieros y diseñadores se inspiran en las matemáticas visuales. Libros bien ilustrados como (11 12 13 14 15 16) promocionan las matemáticas con figuras e ilustraciones. Estos libros ayudan a contrarrestar la impresión de

que es difícil explicar las matemáticas a los no matemáticos. Las exposiciones sobre matemáticas como la del Museo de la Ciencia de Boston o el Museo de Matemáticas de Nueva York tienen un papel importante en la presentación accesible de las matemáticas. Todas ellas hacen presentaciones visuales o prácticas de las matemáticas. Mientras que hay varias tecnologías que permiten mostrar contenidos espaciales y dinámicos en la web, como Javascript, Java, Flash, WRML, SVG ó WebGL, la posibilidad de manipular un objeto directamente con las manos es todavía inigualable. Las impresoras 3D nos permiten hacerlo con relativamente poco esfuerzo.

Impresión 3D

La industria del prototipado rápido y la impresión 3D en particular surgió hace unos 30 años (17 18 19 20 21) y es considerada por algunos como parte de una revolución industrial en la cual la fabricación se ha vuelto digital, personal y asequible (22 23 24). Esta tecnología que se hizo comercial en 1994 con materiales impresos de cera, se ha movido hacia otros materiales como acrilatos fotopolímeros o metales y ahora está entrando en el rango de tecnología de consumo. Los servicios de impresión pueden imprimir en color, con diversos materiales y en alta calidad. El desarrollo de la impresión en 3D es la última pieza de una cadena de técnicas de visualización. Vivimos un momento emocionante porque experimentamos no sólo una, sino dos revoluciones a la vez: una revolución de la información y una revolución industrial. Estos cambios también afectan la enseñanza de la matemática (25). La impresión 3D se utiliza ahora en el campo de la medicina y la industria aeronáutica, para crear prototipos de robots, para crear arte y joyas, para construir nanoestructuras, bicicletas, barcos, circuitos, para producir arte, robots, armas, casas, e incluso se

utiliza para decorar tortas. Su uso en la educación se ha investigado en (9). Dado que los modelos físicos son importantes en el aprendizaje práctico, activo, la tecnología de impresión 3D en la educación se ha utilizado desde hace ya tiempo (26) y se ha considerado para (27) el desarrollo sostenible, para la educación K-12 (desde el kínder hasta la secundaria), en proyectos STEM (28) (ciencia, tecnología, ingeniería y matemáticas), así como en educación matemáticas en primaria (29). No hay duda de que tendrá un gran impacto en la educación (30 31).

Los modelos impresos permiten ilustrar conceptos en varios campos matemáticos como cálculo, geometría o topología. Ya ha dado lugar a nuevas perspectivas en la educación matemática. La bibliografía sobre 3D ha hecho explosión de manera similar a la de computación cuando el PC entró al mercado de consumo. Algunos ejemplos de estos libros son (32 33 34). Como para cualquier tecnología emergente, estas publicaciones pueden caducar rápidamente, pero seguirá siendo un valioso testimonio del emocionante momento en que vivimos

Dándole vida a la matemática

Para ilustrar visualizaciones utilizando impresoras 3D nos enfocamos en modelos matemáticos generados con la ayuda de los sistemas de álgebra computacional. A diferencia de los modeladores de 3D, el software de matemáticas tiene la ventaja de que el código fuente es corto y de que los programas que se usan para hacer investigación matemática en el salón de clase pueden se reutilizados. Muchos de los ejemplos que damos aquí han sido desarrollados para clases o proyectos y redibujados para que puedan ser impresos. En contraste con modeladores, un software que genera una larga lista de

triángulos, os sistemas de álgebra computacional describen y exhiben matemáticamente objetos tridimensionales. Mientras experimentamos también con otro tipo de software como “123D Design” de Autodesk, “Sketchup” de Trimble, el modelador “Free CAD”, “Blender”, o “Rhinoceros” de McNeel Associates, trabajamos más que todo con sistemas de álgebra computacional, en particular con Mathematica (35 36 37 38 39). Para explicar esto con un ejemplo concreto, examinemos el teorema de Newton sobre el empaquetamiento de esferas que nos dice que el número de osculación de esferas (kissing number) en un espacio tridimensional es de 12. EL teorema dice que el número máximo de esferas que pueden colocarse alrededor de una esfera dada es de doce, si todas las esferas tienen el mismo radio, tocan la esfera central y no se sobreponen.

Mientras que Gregory, contemporáneo de Newton, pensaba que se puede apilar una treceava esfera, Newton creía que el número de osculación de las esferas era 12. El teorema fue demostrado en 1953 (40). Para mostrar que este número es de por lo menos 12, se toma un icosaedro con una longitud de lado 2 y se colocan esferas unitarias en cada uno de los doce vértices de manera que rocen la esfera unitaria centrada en el origen. La prueba de que es imposible colocar 13 esferas (41) usa un estimado elemental (42) para el área de un triángulo esférico, la fórmula del poliedro de Euler, el teorema discreto Gauss-Bonnet que asegura que la suma de las curvaturas es 2 y algunas combinatorias para chequear todos los casos de poliedros que están permitidos por estas limitaciones. Para visualizar el uso de Matemathica, se plotearon 12 esferas que rozan una esfera central. Mientras que el objeto consiste de 13 esferas solamente, el sólido completo está hecho de 8640 triángulos. El código de Mathematica es muy corto porque sólo

necesitamos computar las coordenadas del vértice del icosaedro, generar el objeto y luego exportar el archivo STL. Exhibiendo el código fuente hemos ilustrado la visualización, algo semejante a presentar la prueba. Si se carga en un computador, el código genera un archivo imprimible STL:

Consideraciones sobre sostenibilidad

Los modelos físicos son importantes para el aprendizaje práctico interactivo. Ya han surgido repositorios de modelos 3D imprimibles para la educación (26). La tecnología 3D ha sido utilizada para la educación K-12 en proyectos STEM (28) y en educación de matemáticas elementales. Hay mucho optimismo de que tenga un gran impacto en la educación. La nueva tecnología permite, en principio, que cualquier persona construya modelos para el salón de clases. Para hacerlo más accesible, todavía hay que vencer muchos obstáculos. Hay buenas noticias, sin embargo: los archivos STL se pueden generar fácilmente porque el formato es sencillo y abierto. Los archivos STL también pueden exportarse a otros formatos. Mathematica, por ejemplo, permite su importación y conversión a otras formas. Programas como “Meshlab” pueden manipularlos. Conversiones terminales como “admesh” permiten manejar archivos STL desde la línea de comando. Otros programas independientes (stand-alone) como “stl2pov” permite convertirlos en una forma que puede ser pasada a un trazador de rayos como Povray. Un punto importante es que el software bueno para generar los objetos no es barato. El uso de un sistema comercial de álgebra computacional como Mathematica puede ser muy costoso, sobre todo si se requiere de una licencia del sitio. No hay software libre de álgebra computacional en este momento que sea capaz de exportar

archivos STL, 2DS o WRL con rutinas embebidas. EL sistema de álgebra computacional SAGE, que es el sistema más sofisticado de fuente abierta, exporta solamente en fase experimental (43). Parece que falta mucho trabajo por hacer en este campo.

Sin embargo, muchas fuentes están disponibles (44 45). Las siguientes ilustraciones consisten en gráficos de Mathematica que pueden imprimirse. Estas a menudo necesita adaptaciones porque una impresora no puede imprimir objetos de grosor cero.

Ilustraciones

Esta figura permite visualizar que el número de osculación de una esfera es ≥ 12. El código de Mathematica que produce este objeto se proporciona en el texto. Produce un archivo que contiene miles de triángulos que una impresora 3D sabe como darles vida. El objeto impreso muestra visualmente que todavía queda un poco de espacio en la esfera. Newton y su

contemporáneo Gregory tenían un desacuerdo sobre si este espacio era suficiente para contener una treceava esfera.

Un toro Dehn trenzado (twisted) y otro no trenzado (untwisted). Las figuras derecha e izquierda muestran dos gráficos no-isomórficos pero que tienen las mismas propiedades topológicas y que son isoespectrales para los operadores de Laplace y de Dirac. Es el ejemplo más fácil de un par de gráficos no isométricos pero sí isoespectrales de Dirac.

Todos los 26 sólidos de Arquímedes y Catalan reunidos en

una “gema” con forma de Dodecaedro de Disdyakis. La figura de la derecha muestra un Rombicosidodecaefro con 30 puntos de curvatura de 1/3 y doce puntos de curvatura de -2/3. La curvatura total es 2 y concuerda con la característica de Euler. Esto ilustra un teorema discreto de Gauss-Bonnet (46).

El collar de Antoine es un Cantor en el espacio cuyo complemento no está conectado simplemente. La esfera

Alexander que se ve a la derecha es una bola topológica 3 que está simplemente conectada pero cuyo exterior no está conectado simplemente. Las esferas Alexander impresas pueden ser atractivos pendientes.

Dos pruebas tipo de Arquímedes de que el volumen de la esfera es 4π/3 (47 48 49). La primera presupone que el área de la superficie A es conocida. La fórmula V = Ar/3 puede mostrarse cortando la esfera en muchos tetraedros pequeños de volumen dAr/3. La segunda prueba compara el volumen de media esfera con el complemento de un cono en un cilindro.

El casco de Arquímedes y el domo de Arquímedes; la intersección de cilindros son sólidos para los que Arquímedes podía calcular los volúmenes usando métodos de integración comparativos (50). El casco es también un objeto para el que Arquímedes tuvo que usar una suma límite, probablemente la primera en la historia de la humanidad (51).

Dos de los 6 politopos regulares convexos en 4 dimensiones. El color es la altura en el espacio de cuatro

dimensiones. Vemos las celdas 120 y 600.

Otro par de los 6 politopos regulares convexos en 4 dimensiones. EL color es la altura en el espacio tetradimensional. Vemos la celda 16 (análoga del octaedro) y la celda 24. Esta última permite la teselación del espacio tetradimensional euclidiano.

El de cinco celdas, es el gráfico completo con 5 vértices y el politopo tetradimensional más simple. El de 8 celdas a la derecha se llama también tesaracto. Es el análogo tetradimensional del cubo.

Los domos de Arquímedes son la mitad de las esferas de Arquímedes. Tienen un volumen igual a 2/3 del prisma en el cual se inscriben. Sólo más tarde se descubrió que para los globos de Arquímedes el área de la superficie es 2/3 del área de la superficie de un prisma que los circunscribe. (50)

Un cono de Apolonio, así denominado por Apolonio de Perga se utiliza para visualizar las secciones cónicas. Los modelos de Wooden aparecen en los salones de clase. La figura de la derecha muestra un icono de Chaos, el atractor de Lorenz (52). Se cree que es un fractal. La dinámica en este conjunto es caótica para varios parámetros.

La cinta de Möbius se engrosó para poder imprimirla. La imagen de la derecha es una cinta de Möbius con auto-

intersecciones. Esta es una situación donde el sistema de álgebra computacional se luce. Para hacer que una superficie sea más gruesa tenemos que computar el vector normal en cada punto de la superficie.

El teorema de nueve puntos de Feuerbach realizado en 3D. La figura de la derecha ilustra el teorema de Hipócrates, un intento de cuadratura del círculo. El triángulo tiene la misma área que las dos figuras en forma de luna juntas.

La figura de la izquierda muestra el Hexlet de Soddy. Se

necesitan transformaciones conformes, específicamente transformaciones de Möbius para construir este sólido. La figura de la derecha pretende ilustrar que existen empaquetamientos infinitamente más densos en el espacio. Si bien existe un empaquetamiento cúbico denso y un empaquetamiento hexagonal denso, estos pueden mezclarse.

El gráfico de 1/|ζ(x+iy)| muestra los ceros de la función zeta ζ(z) como picos. La conjetura de Riemann es que todas estas raíces están en la línea x = 1⁄2. La figura de la derecha muestra la función Gamma que extiende la función factorial desde los íntegros positivos hasta el plano complejo Г(x) = (x - 1)! para x positiva. Estos gráficos se producen de manera que pueden imprimirse.

Dos figuras de diferentes áreas de la geometría. La primera permite la impresión de una teselación de Penrose aperiódica que consiste de flechas y cometas. Para construir primero la teselación en 2D, usamos el código (37) que se encuentra en 10.2. La segunda figura es la tercera etapa de la curva de Peano definida recursivamente; una curva de espacios rellenos.

Una ilustración del teorema en cálculo multivariable donde el gradiente es perpendicular a la superficie de nivel. La

segunda figura muestra el mapa exponencial en la geometría de Rieman donde vemos ondas frontales en el punto de curvatura positiva y en el punto de curvatura negativa. Las ecuaciones diferenciales son complicadas, pero Mathematica se encarga.

Impresión del triángulo de Penrose. El sólido fue creado por Oscar Reutersvard y popularizado por Roger Penrose (53). Una implementación de Mathematica apareció por primera vez en (36).

Impresión de una versión simplificada de las escaleras de Escher. Si el objeto se gira en el ángulo adecuado se hace visible una escalera imposible. Cuando se imprime, este objeto muestra visualmente la geometría de las figuras imposibles.

El paraguas de Whitney es un icono de la teoría de la catástrofe. Esta es la forma típica de la cáustica de un frente de

onda que se mueve en el espacio. A la izquierda vemos como la superficie se ha engrosado para hacer posible su impresión. A la derecha, las curvas de la rejilla se muestran como tubos. También es una técnica para permitir la impresión.

La figura de la izquierda muestra el poliedro de Steffen,

una superficie flexible. Puede deformarse sin que las distancias entre los puntos cambien. Esto es una sorpresa, puesto que un teorema de Cauchy dice que esto no es posible para sólidos convexos (54). La figura de la derecha ilustra como se pueden construir cáusticas en superficies que tiene la forma prescrita.

La primera figura ilustra un palo que cae y rebota en una mesa. Vemos una instantánea estroboscópica de la trayectoria. L segunda ilustra la órbita de un billar en una mesa de billar tridimensional (55).

La figura de la izquierda muestra dos tambores isoespectrales descubiertos por Gordon-Webb. La de la derecha es una versión imprimible de un operador de Dirac de una

gráfica (56).

La figura izquierda ilustra una cáustica de una taza de

café. Es un icono de la teoría de la catástrofe. La de la derecha muestra la superficie mínima de Costa usando una parametrización de Gray (57).

La izquierda muestra el gráfico de un toro; a la derecha, el

conjunto de Mandelbrot en 3D. Hay fantásticas imágenes generadas por computadora del paisaje fractal producidas ya hace 25 años (58).

La figura izquierda ilustra el espectro de una matriz donde las entradas son aleatorias pero correlacionadas. Las entradas son dadas por los valores de una función casi periódica. Hemos observado experimentalmente que el espectro es de naturaleza fractal en el plano complejo. La figura es imprimible. EL ejemplo de la derecha es una superficie décica (Barth decic), el locus cero f(x, y, z) = 0 de un polinomio de grado 10 en tres variables. Mostramos la región (x, y, z) ≤ 0.

La figura izquierda muestra el flujo geodésico de una elipsoide sin simetría rotacional. El último teorema de Jacobi – todavía un problema abierto – afirma que todas las cáusticas tienen 4 cúspides. La derecha ilustra algunas geodésicas que comienzan en un punto de una superficie de revolución.

Un frente de onda en un cubo. A pesar de la simplicidad

de la disposición, los frentes de onda se vuelven complicados. La derecha muestra una aproximación a la esponja de Menger, un fractal en un espacio tridimensional. Es importante en topología porque contiene cualquier espacio métrico compacto de dimensión topológica.

La figura de la izquierda presenta un ladrillo o caja de

Euler. Se desconoce si existe un cuboide para el cual todas las longitudes de sus lados son enteras y para el cual también todas las caras y diagonales espaciales sean también enteras. Si todas las caras tienen longitudes enteras, se llama ladrillo o caja de Euler. Si también la diagonal espacial es entera, tenemos el ladrillo de Euler perfecto. La figura de la derecha muestra cómo se puede hacer la multiplicación de números usando una parábola.

La figura izquierda ilustra la prueba del teorema de Pitágoras (59). La derecha es una prueba de que una pirámide tiene un volumen que es un tercio del área de la base por la altura.

Un tema del teorema de Pappus a la izquierda, y una ilustración del teorema de Morley que dice que los ángulos

trisectores de un triángulo cualquiera se reúnen en un triángulo equilátero.

La figura izquierda muestra un fractal llamado “el árbol de Pitágoras”. La figura de la derecha muestra el paseo aleatorio en tres dimensiones. A diferencia de lo que pasa en una dimensión o dos, el caminante aleatorio en tres dimensiones no se devuelve con posibilidad de 1 (60).

Tablas y fragmentos de código A) Revoluciones. La primera tabla resume la información y las

revoluciones industriales.

Para las revoluciones industriales ver (61) página 3; para la segunda revolución industrial (62) página 2; para la tercera (21) página 34 (23).

B) Cambio en la comunicación, la percepción y salón de clases.

Esta tabla da ejemplos de avances en la comunicación y en el salón de clases. Los número indican cuántos años hace que ocurrió el evento.

Los primeros sistemas de álgebra computacional (CAS) en los años 60 fueron Mathlab, Cayley, Schoonship, Reduce, Axiom and Macsyma (63). El primer autor (de este artículo) estuvo expuesto de estudiante a Macsyma, Cayley (que luego se transformó en Magma) y Reduce. Vivimos en un tiempo en que incluso las tres categorías comienzan a desvanecerse: los celulares con sensores visuales y de audio, que tal vez se usan como anteojos, se conectan a la red. En las aulas, hoy en día, los profesores registran los trabajos de los estudiantes en sus celulares y los califican automáticamente. Los estudiantes escriben en papel inteligente y hay software que conecta el audio grabado con el texto escrito. Y vendrá la época en que los estudiantes impriman un experimento físico y trabajen con él.

C) Código fuente para exportar un archivo STL. Las siguientes líneas de Mathematica generan un objeto con 13 esferas osculantes.

D) El formato STL. Aquí se presenta el comienzo del archivo kissing.stl convertido a través de “admesh” en el formato ASCII legible por humanos. El archivo completo tiene 104.000 líneas y contiene 14.640 facetas. La línea “normal” contiene un vector que indica la orientación de la faceta triangular.

E) Ejemplos de Mathematica. Aquí damos ejemplos de “programas miniatura” básicos que pueden usarse para producir formas:

• E1) Adición de algunos nudos:

• E2) Gráfico de una región:

• E3) Una superficie de Scherk-Collins (64) que es próxima a

una superficie mínima:

• E4) Teselación poliédrica: por ahora, las instrucciones de Mathematica “Translate” , “Rotate” o “Scale” producen archivos STL que no son imprimibles. Esto hace que haya

que desarmar los objetos y reconstruirlos de nuevo. Aquí hay un ejemplo, que es una prueba visual de que se puede teselar el espacio con octaedros truncados

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