66 Captulo 1 Introduccin al espacio IR" y al lgebra lineal

(usando el clculo que estudiaremos a partir del prximo captulo) como un problema de extremosde funciones de dos variables (ver seccin 6 del captulo 4, ejercicios 43-46). Ahora presentamos unargumento "sin clculo" que resuelve el problema. La idea general es "meter" la recta PI en un planon de modo que la recta P2 quede paralela a este plano; logrando esto, la distancia procurada no es msque la distancia de un punto (cualquiera) de la recta P2 al plano n. Los detalles son los siguientes:los vectores VI = (3,4, -2) Y V2 = (6, -4, -1) son paralelos a las rectas PI y P2 respectivamente.Procuramos un vector (a, b, e) que sea ortogonal a ambos. Se debe cumplir entonces que

3a + 4b - 2e = O6a - 4b - e = O

(este sistema tiene una infinidad de soluciones, lo cual, desde el punto de vista geomtrico resultaperfectamente explicable), de donde, por ejemplo el vector n (4,3, 12) es un vector como el queprocuramos. El plano que contiene a PI y tiene a n por vector normal es 4x + 3y + 12z + 76 = O.Es claro que P2 qued paralela a este plano. Tomando entonces un punto cualquiera de P2 , digamos(21, - 5, 2), Ycalculando la distancia de ste al plano obtenido (la frmula de la distancia de un puntoa un plano se obtiene en el ejercicio 34 al final de esta seccin) se llega a

d= 14(21) + 3(-5) + 12(2)1)(4)2 + (3)2 + (12)2

_ 1'1- lJ

Esta es la distancia procurada.Con las mismas ideas manejadas en este ejemplo, se puede demostrar que la distancia d entre dos

rectas no paralelas PI y P2 viene dada por

en donde PI y P2 son dos puntos cualesquiera sobre las rectas PI y E2 , respectivamente, y VI Y V2 sonvectores paralelos a estas rectas. Dejamos al lector como ejercicio que d el argumento que valideesta frmula. III

Ejercicios (Captulo SeccinEn los ejercicios 1-5, determine la ecuacin del plano que pasa por el punto p y tiene al vector ncomo vector normal.

1. p=(O,O,O),n=(1,l,l)2. p = (2, 1, 1), n = (1,0, O)3. P = (3,4,5), n = (0,2,3)4. p = (2, -1, O), n = (3, 2, 6)5. P = (O, 2, O), n = (-2, -7, 4)6. Hallar la ecuacin del plano que pasa por p = (xo, Yo, Zo) y tiene a p por vector normal.

1.6 Rectas y planos en ]R3 67

7. Considere los puntos p = (1, -1,3), q = (3,2, 1). Hallar la ecuacin del plano: a. que pasapor p y tiene a 11 = P - q por vector normal; b. que pasa por q y tiene a 11 = q - p por vectornormal.

8. Hallar la ecuacin del plano que pasa por el punto p = (5, 1, 1), si se sabe que los vectoresu = (2, 1,2), v = (-4, -5,7) son paralelos a l.

9. Hallar la ecuacin del plano que pasa por los dos puntos p = (1, 1, O), q = (3,2,4), si se sabeque el vector u = (7, -1, -3) es paralelo a l.

En los ejercicios 10-14, determine si los puntos p y q pertenecen al plano dado.10.3x-y+z=l,p=(0,O,I),q=(1,I,-I)11. z = 3, p = (3, 1,3), q = (3,3,5)12. x + y - 4z = O, P = (O, 0, O), q = (2, 2, 1)13. 3x - 2y = 0, P = (2, 1, 1), q = (-3,2,5)14. x + y - 2z = 10, p = (5,7,2), q = (5,7,1)

En los ejercicios 15-18, determine un punto por el que pasa el plano dado y un vector normal a l.15. 3x + z = 3

16. Y = 17. x - y - z = 5

18. 3x - 2y + 7z = 23

En los ejercicios 19-23, determine si los planos dados son paralelos, perpendiculares, o si no estn enninguno de estos dos casos. (r'''ota: dos planos son perpendiculares si sus vectores normales lo son).19. 3x + y z = 3, Z -- y = 8

20. x+4y-2z= 1,2x+8y-4z=7

21. y = 3, Y = 7

22. x = O, Z =

23. x - y + z = 1, x - y + z = 9

24. Hallar la ecuacin del plano que pasa por el punto p = (3, 2, 2) Y es paralelo al plano3x - 2y + z = 6.

25. Hallar la ecuacin del plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano4x - y + z = 9.

En los ejercicios 26-30, determine la ecuacin del plano que pasa por los tres puntos dados.26. P = (0,0, O), q = (3,1,1), r = (-1, 2,4)27. P = (2, 1, O), q = (0,0,7), r = (2, 1, 1)28. P = (1, -1, -1), q = (8,4,2), r = (2, 1, 5)

68 Captulo l Introduccin al espacio iR" y al lgebra lineal

29. p = (1,4,9), q = (-3, 1.5), r = (4.4. 11)30. p = (a, 0, O), q = (O. h, O), r = (0.0, c)31. Demuestre que la ecuacin de un plano que pasa por el punto p = (xo. Yo, zo), tal que los vectores

ti = (al, h l. CI), V = (a2, b2. C2) (no colineales) son paralelos a l, se puede escribir como

[

X + Xodet al

a2

z Zo]CI = C2

32. Demuestre que la ecuacin de un plano que pasa por los puntos p = (xo, Yo. Zo) y q = (XI. YI. Z1),tal que el vector u = (a. b, c) es un vector paralelo a l, se pude escribir como

[

X - Xo

det x: Xo y - YoY - Yoh

z - Zo ]Zl ~ Zo = O

Considere el plano que pasa por el origen Ax + By + Cz = 0, y sea p = (xo. Yo. Zo) un puntoque no pertenece al plano. Use la proyeccin del vector p sobre el vector (ortogonal al plano)Xl = (A, B, C), para demostrar que la distancia perpendicular del punto p al plano es

d _ lAxo + B.vo + Czol- -- J A2 + B2 --C2

Demuestre que la distancia (perpendicular) del punto p = (xo. Yo. 20) al plano Ax + By + Cz +D = 0, es

En los ejercicios 35-37, calcule la distancia del punto p al plano dado.= (5, 30, 426), x = 3

36. p'=(3.-2.5),2x-y+z=037. P =- (1, 1,5), 2x + 3y - 2z = 438. Habiendo verificado que los planos 2x + y - z = 4, 4x + 2y - 2z _. 5 = son paralelos, calcule

la distancia entre ellos.,/

39. SupongaquelosplanosAlx+Bly+C]z = D I,A2x+B2y+C2Z = D2 sonparalelos. Obtengauna frmula para calcular la distancia entre ellos.

40. Dos caras de un cubo se encuentran en los planos 3x - Y + 2z = 5, 3x - y + 2z = 7. Calculeel volumen del cubo.

41. Demuestre que los planos paralelos al plano Ax + By + Cz = D que distan de ste r unidades,son Ax + By + Cz = D rJA2 + B2 + C2.

42. Suponga que los planos perpendiculares x + Y - 2z = 2, 2x + z = 5 dividen a un cubo devolumen 64 en cuatro paraleleppedos. Si el centro del cubo se encuentra en el punto (2.2, 1),determine las ecuaciones de los planos en donde se encuentran las caras del cubo.

1.6 Rectas y planos en IR3 69

43. Los vectores u. = (1,2,1), v (-3,1,1), W = (1, -4,7) determinan 3 de las aristas de unparaleleppedo. Halle las ecuaciones de los planos en que se encuentran sus caras.

44. Hallar un punto en el eje x que equidiste de los dos planos paralelos 3x - y + 22 = 6,3x - y +22 = 13.

45. Hallar un punto en el eje y que equidiste de los dos planos 2x + 2y + 2 = 0, 4x - 3y = 2.46. Demuestre que los tres planos x + y + z = 6, x - y - z = 0, 2x - 3y + 2 = 1 se cortan en un

solo punto. Determine este punto.

47. Determine los puntos donde se encuentran los vrtices del cubo del ejercicio 42.48. Determine los puntos en que se encuentran los vrtices del paraleleppedo del ejercicio 43.

En cada uno de los ejercicios 49-51, determine la ecuacin de la recta que pasa por el punto p dadoy tiene al vector v como vector paralelo.

49. p = (0,0, O), v = (1, 1, 1)50. P = (O, 1, O), v = (O, 1, O)51. p = (2, -4, -7), v = (3, 1,2)52. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto p = (2, 1, 1) Yes paralela al vector que une

p con el punto q = (2, -3, -5).53. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto p = O, 4, 7) Yes perpendicular al plano

3x - 2y +z = 9.

54. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto pparalelo.

(xo, Yo, zo) y tiene a p por vector

p = (5, -4, 1), q = (-1, 5, O)

En los ejercicios 55-57, determine la ecuacin de la recta que pasa por los dos puntos dados.55. p = (3,9, 7), q = (-1,2,5)56. p = (2,1,6), q = (-2, 3, 2)57. P = (0,0, O), q = (2, 6, 5)58. Determine las ecuaciones de las rectas donde se encuentran las diagonales del cubo del

ejercicio 42. Halle el punto donde stas se cruzan.59. Determine las ecuaciones de las rectas en quee se encuentran las diagonales del paraleleppedo

del ejercicio 43. Halle el punto donde stas se cruzan.

En los ejercicios 60-62, determine si los puntos p y q se encuentnrn en la recta dada.

{X=2+t

60. y = -3t p = (2, O, O), q = (3, 1, 1)2 = t

{X=1+2t

61. y = 2 - 3tz=l+t

p = (0,0, O), q (2, 1, 1)

70 Captulo I Introduccin al espacio IR" y al lgebra lineal

{

X 2+,t63. y = -3t

2 = t

63. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por p = (2, 1, 4) Y que es paralela a la recta x = 3t,Y = -2 + 4t, 2 = -t.

64. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el origen y es perpendicular a la recta x = 3 - 2t,Y = 3 + 4t, 2 = -St.

65. Los puntos A = (2, 1,3), B = (-2,7, S), e = (2,3,2) son los vrtices de un tringulo. Hallarlas ecuaciones de las rectas donde se encuentran las medianas de este tringulo (es decir, lasrectas que salen de uno de los vrtices hacia el punto medio del lado opuesto de l). Constateque estas tres rectas se cruzan en un punto.

66. Hallar los puntos de interseccin de la recta x = 3 + t, y = 2 - t, 2 = 4 - St, con los planoscoordenados.

67. Hallar el punto de interseccin de la recta X 23 = v~ I = 2, con el plano 2x + y - 2 = l.68. Verifique que la recta x22 = v; = ~ se encuentra contenida en el plano x 2y + 32 - 4 = O.69. Compruebe que la recta ~5 = W= z;:/ seencuentracontenidatantoenelplano.sx-+-Y+2 = 0,

como en el plano 2x + 3y - 22 = -5.

En cada uno de los ejercicios 70-73, determine las ecuaciones paramtricas de las rectas que resultande la interseccin de los planos dados.

70. 2x + 3y - 2 - 4 = O, 3x + y - 2 = O.

71. 3x + y - 42 = 0, 5x + 2 = 2.

72. x + y -+ 2 = 2, x - y-+- z = 3.

73. x = 0, y = O.

74. Verifique que las dos rectas L = {x = 3t, Y = 2t,2 = 1,1 E IR}, L 2 {x = --3/, Y -t,2 = t, / E IR} se cortan en un punto. Determine la ecuacin de! plano en el que stas seencuentran.

75. El punto p = (2, 1, -1) se encuentra en el plano x - y + z= O. Determine la forma general delas ecuaciones de las rectas que pasan por p y que se encuentran sobre el plano dado.

76. El punto p = (1,3,2) se encuentra en el plano x + y - 2z = O. Determine la forma general delas ecuaciones de las rectas que pasan por p y que se encuentran sobre el plano dado.

77. Hallar la distancia entre los puntos de interseccin de la recta x = 3 - 2t, Y = 2 = t, con losplanos paralelos 2x + y + 2 = 3, 2x -+ y + 2 = 9. Es sta la distancia entre los dos planosparalelos dados?

78. Hallar la distancia entre los puntos de interseccin de la recta x = S + t, Y = 3 - 2t, Z = 4 + 31,con los planos paralelos x - 2y + 32 = 2, x - 2y + 32 = 6. Es sta la distancia entre los dosplanos paralelos dados?

En los ejercicios 79-82 compruebe que las rectas dadas son paralelas.

79.

80.

81.

82.

{

X = 5 + 3ty = -2 + 5t.Z = t

{X=3+ty = 4t .Z = 2 - 2t

{X=l-ty = 3 + 2t ,z=-2+5t

{2X+Y-Z=7x+y=6 '

{

X = 7 - 6tY = -lOtZ = 4 - 2t

{2X+Z=54x + y +4z = 7

{-X-3Y +Z=62x - 4y + 2z = 3

{X + 3y + 2z = 46x + 2y - 4z = 3

1.6 Rectas y planos en IR 3 71

En los ejercicios 83-85, verifique que las rectas dadas son perpendiculares (es decir, sus vectoresparalelos son perpendiculares).

83.

84.

85.

{

X = 2 - 3tY 3 - t ,z=l+t

(X=2-l~ y=3-t.lz=5+t

{2X v z=7x+y+z=6

{X=5+ty = 1 + tZ = 5 + 4t

{X+ Y -Z=52x - 4z = 7

{X+Y+Z=4x + 3y""':' 5z = 5

86. Demuestre que la distancia d entre el punto p = (Xl, YI. Z1) Yla recta x = Xo + at, y = Yo + bt,Z = Zo + el, est dada por

d = II(a. b, e) x (Xl - XO. YI - Yo, ZI - zo)11lI(a, b, e)1I

En los ejercicios 87-89, use el resultado del ejercicio anterior para calcular la distancia entre el puntop y la recta dada.

87. P = (1,2,3),

88. P = (-2, 4, 5),

89. p = (1, 1, 1),

{

X = 5 - 4tY = 1 + tZ = 3t

{X=I+ty = 2 + 3tZ -1 + 5t

{X + Y - 2z = 5x-y-z=13

x = Y = 2z

En los ejercicios 90-92, calcule la distancia entre las dos rectas dadas (ver ejemplo 9).

{

X = 1 + 2l90. Y = -1 + l,

Z = t

72 Captulo 1 Introduccin al espacio ]Rn y al lgebra lineal

92. x=y=z

{

X = 5 + 3t91. Y = 1 2t,

z=3

(*) 93.

{

X = 1Y = 5tz = 2 - t

{3X - y + z = 5x+y+z=4

(Planos en JRn). Dado un punto Po = (Xlo' x20' ... , xno ) E JRn y un vector no nulov = (al, a2,"" an ), el plano (o hiperplano) en JRn que pasa por Po Y tiene a v por vectornormal es el conjunto de puntos x = (Xl, X2, ... , Xn ) E JRn tales que v . (x - Po) = O, o bien,tales que

al (XI - Xl o) + a2(x2 - X2o) + ... + an(xn - xno ) = Oa. Concilie esta definicin con la dada en el texto.b. Encuentre la ecuacin del plano en JR4 que pase por el origen y tenga al vector v

(1, 1, -1, -1) por vector normal.c. Encuentre la ecuacin del plano en que pase por el punto Po = (1, 2, O, -1) Ytenga al vector

v = (O, 1, O, 1) por vector normal.d. Dos planos en JRn se dicen ser paralelos si sus vectores normales son linealmente

dependientes. Encuentre la ecuacin del plano en JR4 paralelo al plano X +3y - 6z + 5u 3que pase por el punto Po = (1, 1, 1, O).

e. Dos planos en JRM se dicen ser ortogonales si sus vectores normales lo son. Si denotamospor (x, y, z, u) los puntos de JR4, demuestre que los planos coordenados x = 0, y = 0,z = O, u = Oson ortogonales entre s. M,ls an, (demuestre que) los planos coordenadosdel espacio JRn, a saber Xl = O, X2 = O, ... , x" = O, son planos ortogonales entre s.

f. Considere los siguientes cuatro planos en JR4nI: pasa por Po = (1,2, O, 2) Ytiene a v (1,1, 1, 1) por vector normal.

pasa por 1)0 = (0,0,0, O) Ytiene a v = (2, -1, 1, 3) por vector normal.n3: pasa por Po = (3, O, -1) Ytiene a v = (-1,4, -2, -3) por vector normal.n4 : pasa por Po = (1, 1, -1, O) Ytiene a v = (1, -3, 1, 1) por vector normal.Demuestre que estos planos tienen un punto comn. Determnelo.

g. Detennine la ecuacin del plano en ~4 que pasa por el origen de coordenadas y por lospuntos A = (1,0,2, 1), B = (1, 1, O, O), e = (0,2, 1, 3).

h. Determipe la ecuacin del plano en JR5 que pasa por el origen de coordenadas y por lospuntos A = (1,0,1, O, O), B = (3,1,1, 2,1), e = (0,1, -1, 2, 3), D = (1,1, -1, -1, -1).

i. Determine la ecuacin del plano en JRn que pasa por los n puntos Pi = (O, ... ,0, ai, 0, ... , O)(el nmero Qi #- en la i-sima coordenada), i = 1,2, ... , n.

("') 94. (Rectas en ~n). Dado un punto Po = (Xl o' x20, ... , X"o) E JRn y un vector no nulov ,= (al, a2, ... , Gn ), la recta en JR" que pasa por Po Y tiene a v por vector paralelo es elconjunto de puntos x = (XI, X2, ... , x,,) E JRn tales que el vector x - Po es paralelo al vector v, obien, en forma ms explcita, tales que X; = Xio + a;t, donde tER i = 1,2, ... , n. Obsrveseque la ecuacin de una recta semejante se puede escribir como una serie de n - 1 igualdades dela siguiente manera

Xl - Xl o X2 - Xn - x no= ... = ----"-

al ~ ~

a. Determine la ecuacin de la recta en ~4 que pasa por el origen de coordenadas y tiene alvector v = (1, ], ], 1) por vector paralelo.

1.7 Transformaciones lineales 73

b. Encuentre la ecuacin de la recta en JR4 que pasa por el punto Po = (2, 1, 1,4) Y tiene alvector v = (-1,1,3, -5) por vector paralelo.

c. Encuentre la ecuacin de la recta en JR4 que pasa por el punto Po (1, -1, 3, -4) Y esortogonal al plano 3x - 2y + 4z - 3u = 7 (es decir, los vectores paralelo a la recta y normalal plano, son paralelos).

d. Encuentre la ecuacin de la recta en JR" que pasa por el origen de coordenadas y tiene alvector v = (1, 1, ... , 1) por vector paralelo.

e. Determine la ecuacin de la recta en JR4 que pasa por los dos puntos p = (2, 1, 1, 3),q=(3,1,1,6).

f. Dos rectas en ]R" se dicen ser paralelas si sus vectores paralelos correspondientes lo son.Determine la ecuacin de la recta en JRs que pasa por el punto p = (1, 0, 0, 0, 1) Yes paralelaa la recta

XI - 23

X2 - 54

+4-3

X4 - 9l

Xs -77

g. Determine el punto donde la recta en JR4

XI - 3 X2 - 1 X3 - 2 X4- 5--=--=--=--10 10 -1 -1

intersecta al plano XI + 3X2 + 5X3 - 2X4 = 80.h. Demuestre que los siguientes tres planos en ]R4: x + y - 2z - u = 2, 3x - y + z + u = 1,

x-y-z+2u = 1, se intersectan enlos puntos de la recta en JR4 que pasa por (O, -10, -3, -6)Y tiene al vector (1, 17,4, 10) por vector paralelo.

i. Denmestre que las dos rectas en ]R4

( X = 2t

tY=t-3

L: '" 3 'z =:Jt-u = 2t 3

( x = 2t

t-y = -'-3t + 2 ,

z=t+2u = t

tE JR

se intersectan en un punto. Determnelo.j. Considere el tringulo en ]R4 cuyos vrtices son A = (l, 1, 2, 1), B = (3, 1, 3, -2),

e = (4, -3,2,2). Determine las ecuaciones de las medianas de este tringulo. Compruebeque stas se cortan en un punto.

1.7 Transformaciones linealesEn esta seccin vamos a recordar algunas de las definiciones y resultados bsicos que aparecenen el estudio de las transformaciones lineales, (tema que pertenece al mbito del lgebra Lineal).Comenzamos por dar la definicin de este tipo de funciones.

Definicin. Se dice que la funcin T: JR" ---> ]Rm es una transformacin lineal si:(1) T(x + y) = T(x) + T(y), x, y E JR"; (2) T(ex) = eT(x), e E JR, x E JR". El ncleode la transformacin T, denotado por Ker T, es el conjunto de los vectores x E JR" cuya imagen

Respuestas 1003

4. u x v = (O. -l. 1) = -v x u5. u x v = (O. O. O) = -,v x u6. u x (v x w) = (2S. -SO. -2), (u X v) x w = (-21. -91. 16)9. a. (O. -11, 11), b. (O, -11, 11), c. (O, O, O), d. -2(0. -11, 11), e. (O, 121, -121)14. 1/2,15. 15,16. 4V26,17. 4V26,18. 5629. No son coplanaJes.30. Son coplanares. Se encuentran en el plano -x + 6y - 4z = O31. Son coplanares, Se encuentran en el plano -x + 4y - z = O32. No son coplanares,33. 2x + 2y + z = 3,34. x + y + 2z = 4,35. x + y + z = I37. 12V2,38. /269,39. 5,40. 15,41. 103/242. 2051243. a. (vis, arctan(l /2), 1), b. (/10, - arctan 3,5) c. (1, O. O), d. (Vi3. arclan(3/2), -1)44. a. (2. O. 1), b. (-l. 0,3), c. (3/2, -3V3/2. -2), d. (Sv2. SV2, O)45. z = r,46. r 2 + Z2 = 147. a. Z = r2, b. z = r2(2 cos2 e+ 3 sen2 e)48. a. (1, O. 7T/2), b. (v'I1. arclan(l/3), arccos(-l/v'I1 c. (V2, 7T/2. 7T/4),

d. (.j38, arclan(3/2). arccos(-5/J3849. a. (O. 0.1), b. (O, 2. O), c. (v2/4. V6/4, -v2/2), d. (V30/2. -V30/2. 1)50. rsenep = 3,51. r = 2 sen ep cos e52. a. r = 2a sen '1> cos e, b. r = 2a sen ep sen e, c. r = 2a cos e53. ep = arclan a o ep = 7T - arctan aCaptulo 1, Seccin 6 (pgina 66)1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.

x + y + z = O,x - 2 = O,2y + 3z = 233x + 2y + 6z = 4,-2x - 7y + 4z, = -14

2 77xox + YoY + zoz = Xo + Yo + Zoa. - 2x - 3Y + 2z = 7; b. 2x + 3 y - 2z = 1017x - 22Y - 6z = 57,x + 34y - 9z = 35p Yq pertenecen al plano,p pertenece al plano, q no pertenece al plano

1004 Respuestas

48.

39.

40.

44.45.46.47.

12. P y q pertenecen al plano.13. Ninguno de los dos puntos pertenecen al plano.14. P no pertenece al plano, q pertenece al plano.15. Pasa por puntos del tipo (t, s, 3 - 3t), t, s E lR Vector normal (3,0, 1)16. Pasa por puntos del tipo (t, 0, 5), t, 5 E R Vector normal (O, 1, O)17. Pasa por puntos del tipo (t, 5, t - s - 5), t, 5 E JR Vector normal (1, -1, -1)

(23 - 3t + 25)18. Pasa por puntos del tipo t, s, 23 ., t, 5 E R Vector normal (3, -2,7)

19. Ninguno de los dos ..20. Son paralelos.21. Son paralelos.22. Son perpendiculares .. ,23. Son paralelos ..24.3x-2y+z=725. 4x - y + z = 26. 2x - 13y + 7z = 27. 2y -- x = 28. 8x - 13y + 3z = 1829. 6x + 4y _. 9z = -5930. x / a + y/ b + z/ e = I35. d = 536. d = 13/V1637. d = 14/V1738. d = 3/V24

d = ID) - D11J A~ + B~ + C~

8v=--

14y1442. x+ y - 2z = 2 2)6, 2x + z =.5 2V5, x - 5y - 2z = -10 2J3Q43. x - 4y + 7z = 0, x- 4y + 7z = 66, -3x + y + z = 0, -3x + y + z = 11, x + 2y + z = 0,

x + 2y + z = 6..P = (19/6,0,0)PI = (O, -6/13, O), Pl = (0,6/7, O)P = (3,2,1)PI = (4.9705,0 ..99075, -0.46886), P2 = (42402,4 ..64224,0 ..99173),P3 = (1.39279,0.99075, -225772), P4 = (0.6625,4.64224, -0.79712),Ps = (-0.9705, 3.. 00925,2.46886), P6 = (2.6072,3.00925,4.25772),P7 = (-02402, -0.64224, 100827), Ps = (3.3375, -064224,2.79712)PI = (0,0, O), Pl = (1,2,1), P3 = (-3,1,1), P4 = (1, -4,7) Ps = (-2,3,2),P6 = (-1, -1,9), P7 = (-2, --3,8), P8 = (2, -2,8)

49. x = y = z50. x = 0, y = 1+ t, Z = O, t E JR51. x = 2 + 3t, y = -4 + t, Z = -7 + 2t, t E JR52. x = 2, Y = I - 4t, Z = I - 6t, t E JR53. x = 3 + 3t, y = 4 - 2t, Z = 7 + t, tE lR54. x = xot, y = yot, Z = zot, tE JR

ss. .x = 3 + 4t, y= 9 + 7t, Z = 7 + 2t, tE lR56. x = 2 + 4t, Y = 1 _. 2t, Z = 6 + 4t, t E lR57. x = 2t, Y = 6t, Z = 5t, t E lR58. L I : x = 2 - 2.9705t, y = 2 + 1..oo925t, Z = 1+ 1.46886t, t E lR

L2: x = 2 _. 2.2402t, Y = 2 - 2..64224t, Z = 1+ 0..o082t, t E lRL,: x = 2 + 0.6072lt, y = 2 + l00925t, Z = I + 325772t, tE lRL4 : x = 2 + 13375t, y = 2 - 2..64224t, Z = 1 + 17971t, tE lR

59. L 1:x=-t,y=-t,z=9t,tElRL2:X = -1/2 - 3t/2, Y = -1/2 - 5t/2, z = 9/2 +7t/2, tE lRL 3: x = -1/2 + 5t/2, y = -1/2 - 3t/2, z = 9/2 +7t/2, t E lRL4 : x = -1/2 - 3t/2, Y = -1/2 + 7t/2, z = 9/2- 5t/2, t E lRSe intersectan en (-1/2, -1/2, 9/2)

60. P pertenece a la recta, q no pertenece a la recta.61. p no pertenece a la recta, q pertenece a la recta62. p no pertenece a la recta, q pertenece a la recta63. x = 2 + 3t, y = 1+ 4t, z = 4 - t, tE lR64. x = 2t, Y = t, Z = O, t E lR65. Mediana por A: x = 2 _. 4t, Y = I + 8t, Z = 3 + t, tE lR

Mediana por B:x = -2 + 8t, y = 7 - IOt, Z. = 5- 5t, tE lRMediana por e: x = 2 - 2t, Y = 3 + t, Z = 2 + t, t E lRSe cortan en (2/3.11/3. 10/3)

66. Interseccin con el plano xy: (19/5,6/5. O)Interseccin con el plano xz: (5,0.-6)Interseccin con el plano yz: (O. 5. 19)

67. P = (1, - 2.- 1)70. x = -4/7 + 2t, y = 12/7 + t, Z = 7t, tE lR71. x = 2/5 - t, Y = -6/5 + 23t, Z = 5t, tE lR72. x=5/2--t,y=-1/2,z=t,tElR73. x = y = O, z = t, t E lR74. x - 2y + z = O

x-2 y-I z+175. Son rectas del tipo -'- = -- = --, donde a - b + e = O

a b ex-I y-3 z-2

76. Son rectas del tipo _.- = -- = --, donde a + b - 2e = Oa b e

77. d = V54 .. No es la distancia entre los planos78. d = .[56/7. S es la distancia entre los planos87. d = O88. d = J2l91O/3589. d = vfl3594/1490. d = 1/V591. d= 13J238/11992. d = 7JTI4/ll4

Respuestas 1005

1006 Respuestas

93. b. x + y - z - u = O; c. y + u = 1; d. x + 3y - 6z + 5u + 2 = O; f. (1,2,3, -1);g. x - y - z + u = O; h. -6x + 11y + 6z + 2u - 3v = O; i. xl/al + X2/a2 +. + xn/an = 1

94. a. x = y = Z = u; b. x = 2 - t, Y = 1 + t, Z = 1 + 3t, u = 4 - 5t, t E IR; c. x = 1 + 3t,y = -1 - 2t, Z = 3 + 4t, u = -4 - 3t, t E IR; d. XI = X2 = = Xn; e. x = 2 + t,y = Z = 1, u = 3 + 3t, t E IR; f. xl = 1 + 3t, x2 = 4t, x, = -3t,X4 = t, x5 = 1 + 7t, t E IR;g. (23,21,0,3); i. (2, -1, 3, l);j. Mediana por A:x = 1 - 5t/2, Y = 1 + 2t, Z = 2 - t/2,u = 1 + t; Mediana por B: x = 3 - 3t/2, Y = 1 + 2t, Z = 3, u = -2 - t/2; Mediana porc: x = 4 - t, Y = -3, z = 2 - t/2, u = 2 + 3t/2. Punto comn de las tres medianas:(6, -,3,3, -1) ..

Captulo 1, Seccin 7 (pgina 78)1. Ker T = {(x, y)ly = -x}, 1m T = IR.2. KerT={(0,0)},lmT=IR2 .3. KerT = {(x, y, z)lx = t, Y = -t, Z = 3t, t E IR}, 1m T = IR24. Ker T = {(x, y, z)lx = y = z}, 1m T = {(x, y, z)lx + y + z = O}5. Ker T = {(x, y, z, u)lx = -t, y = t, z = -s, u = s, t, s E IR}, 1m r = IR2 .8. T(x, y) = (2x - 3y, 5x + 4y).9. T(x, y) = (x +2y, -5x +7y)10. El plano y = x18. [T] = [a], T-l(x) = a-Ix..19. [T]= [~ ~1],T-I(X,y)=(X/2+Y/2,X/2-Y/2)20. [T] = [\0 !3]' r-I(x, y) = (x/12 + y/6, x/36 -- 5x/18)

21. [T] = [~ ~ ~], T-l(x, y, z) = (x,-x + y, -y + z)1 1 1

22. [T]= [~ ~ ~],r--l(X'y,Z)=(y,Z'X)O 1 O

35. d. (-5,5,5, -5); e. x - y - z + u = O; f. (-6, 11,6,2, -3); g. -6x + 11 y + 6z +2u -- 3v = OCaptulo 1, Seccin 8 (pgina 88)1. polinomio caracterstico A2 - 5A + 6, valores propios 2, 3; vectores propios t(1, 5), t(2, 5)2. polinomio caracterstico A2 - 7A+ 6, valores propios 1, 6; vectores propios t(2, -1), t(3, 1)3. polinomio caracteristico A2 _. 8A + 15, valores propios 3, 5; vectores propios t(1, 1), t(2, 1)4. polinomio caracteristico A2_ 3A - 4, valores propios -1, 4; vectores propios t(2, - 1),

t(1, -3)5. polinomio caracterstico A2 - 12A + 27, valores propios 3, 9; vectores propios t(1, 5), t(7, 5)6. polinomio caracterstico A2 + 2A - 3, valores propios 1, -3; vectores propios t(1, 1), t(1, -1)7. polinomio caracterstico A2 - 12A + 35, valores propios 5, 7; vectores propios t(2, 1), t(4, 1)8. polinomio caracterstico A2 + 7A+ 12, valores propios -3, -4; vectores propios t(1, -2),

t(1,-l)9. polinomio caracterstico A2 - 4A + 3, valores propios 1,3; vectores propios t(O, 1), t(1, 1)10. polinomio caracterstico A2 - 13A + 42, valores propios 6, 7; vectores propios t(1, O), t(O, 1)11. polinomio caracterstico A2 - 5A + 4, valores propios 1,4; vectores propios t(1, O), t(l, 3)12. polinomio caracterstico A2 + 5A + 4, valores propios -1, -4; vectores propios t(l, 1),

t(2, --1)

2.2 Geometra de las funciones de varias variables 123

obtenemos la parbola z = -l, cuyo vrtice est en el origen y abre hacia abajo. Esta superficiepresenta pues un comportamiento interesante alrededor del origen. Su forma es la de una "silla demontar". Con este nombre nos referiremos a ella en adelante.

z

y

len:lcl~[}S (Captulo

Figura 20. Grfica de la funcin f(x, y) = x2 - l.

Seccin 2)1. Considere la funcin f: U

124 Captulo 2 Funciones de varias variables

c. cuyo nivel I sea {I :s; x :s; 3}d. cuyo nivel I sea {xix E Z}e. cuyo nivel 1 sea R

4. Verdadero o falso? La funcin f: J C;;; ]R -+ definida en J C;;; ]R es biyectiva si y slo si paracada e E ]R el nivel e de f consta de un solo punto.

5. En el texto se dijo que el nivel constante de una funcin de dos variables z = f(x, y) era "enmuchas ocasiones" una curva. Digamos que si e E rango de f, la curva sera f(x, y) = c. Dun ejemplo en el que f(x, y) = e no es una curva en el plano. Ahora bien, d un ejemplo deuna funcin z = f(x, y) y un valor e E rango de f, de modo que:a. f(x, y) = e sea un punto;b. f(x, y) = e sea el primer cuadrante del plano xy, sin incluir a los ejes.c. f(x, y) = e sea todo el plano ]R2.

6. Describa las curvas de nivel de una funcin lineal f(x, y) = ax + by + c.7. A la grfica de la funcin f(x, y) = ax2 + by2 se le llama "paraboloide elptico". Cmo son

las curvas de nivel de esta funcin?

8. Se define la funcin "mnimo de dos nmeros", mn: -+ IR, como

, (x si x < ymm(;: , = 'i -

. , lY siy y

mx(x, y) = . - .y SI Y > x

Obtenga mx(2 1f2,23/ 2 ), mx(2- 1/ 2,2-3/ 2 ). Demuestre que la grfica de esta funcin essimtrica respecto del plano y = x. Describa las curvas de nivel de esta funcin. A ques igual la funcin z = mn(mx(x, y), mn(x, y?

10. a. Describa las curvas de nivel de la funcin z = mn(lxl, Iyl).b. Describa las curvas de nivel de la funcin z = mx(lx, yi).c. Describa las curvas de nivel de la funcin z = mn(x2, y).

11. D un ejemplo de una funcin f: IR;2 --> IR;a. cuyo nivel I sea la curva y = sen x.b. cuyo nivel -7 sea la curva y = ';'x-6 -+-I-n-"'8-;:.

c. cuyo nivel 126 sea la curva lx + x3y - 5 = O.d. cuyo nivelO sea el conjunto de puntos del interior del crculo unitario x2 + l I (sin

incluir la frontera).

2.2 Geometra de las funciones de varias variables 125

12. Sea 4>: 1 ~ JR. -> JR. una funcin real de una variable real, con rango J ~ R D una funcinf: U ~ JR.2 -> JR. cuyo nivel e sea la grfica de la funcin 4>. Dnde se define la funcin f?

13. Considere la funcin f: U ~ JR.2 ....... JR., Y sean a y {3 dos nmeros de su rango (a i= (3). SeanC l = f- l (a), C2 = f-l({3) los niveles constantes correspondientes a a y {J. Viendo a C l ye2como subconjuntos del plano xy, demuestre que stos tienen interseccin vaca (es decir, doscurvas de nivel de una funcin de dos variables no se pueden intersectar).

14. Sea f(x, y) = (y-x2 + l)(y +x2 -1). Demuestre que el nivel cero de esta funcin est fonnadopor las curvas y= x 2 - 1, Y = 1 - x2, las cuales se cortan en (1, O) Yen ( -1, O). Contradiceesto el resultado del ejercicio anterior? Explique.

15. Discuta la siguiente afirmacin: el nivel cero de una funcin z = f(x, y) es "la manera" comodicha superficie "pasa por el plano xy".

En los ejercicios 16-24, describa las curvas de nivel de las funciones indicadas. Haga una grficamostrando algunas de estas curvas.

16. f(x, y) = Ixl - y17. f(x, y) = x - Iyl18. f(x, y) = Ix - yl19. f(x, y) = .ftY

x20. f(x, y) = -

y2xf(x, y) = ~+~

. 2v22. f(x, y) = ,..2 ~ ,,2

""'1 J

23. f(x, y) = (sgnx)y24. f(x, y) = arcsen(x + y)25. En el texto se dijo que el nivel constante de una funcin de tres variables u = f(x, y, z) era

"en muchas ocasiones" una superficie. Digamos que si e E rango de 1, la superficie seraf(x, y, z) = c. D un ejemplo en el que f(x, y, z) = e no es una superficie en el espacio. Msan, d un ejemplo de una funcin u = f(x, y, z) y un valor e E rango de f, tal que:a. f(x, y, z) = e sea un punto;b. f(x, y, z) = e sea la lnea x = y = z;c. f(x, y, z) = c sea el primer octante del espacio xyz, sin incluir los planos coordenados.

26. Describa las superficies de nivel de la funcin lineal f: JR.3 --> JR., f(x, y, z) = ax + by + ez + d.27. D una funcin f: JR.3 ....... JR.

a. cuyo nivel 1 sea la superficie z = x2 + l.b. cuyo nivel -7 sea la superficie z = ln2(sen4(x + yS) + 7).c. cuyo nivel 126 sea la superficie xz3 + x2y5z2 - 23yz + 128 = O.d. cuyo nivelO sea el conjunto de puntos del interior de la esfera unitaria x2 + l + Z2 =

(sin incluir la frontera).

126 Captulo 2 Funciones de varias variables

28. Sea

2.3 Lmites y continuidad 127

38. (Ms superficies de revolucin...)a. Suponga que la grfica de la funci6n y = fez), dibujada sobre el plano zy, gira alrededor

del eje y. Demuestre que se obtiene as una superficie de revolucin cuya ecuaci6n esy = f(v'Z2 + x2 ).

b. Suponga que la grfica de la funcin x = fez), dibujada sobre el plano zx, gira alrededordel eje x. Demuestre que se obtiene as una superficie de revolucin cuya ecuacin esx = f( j z2 + y2).

c. Las superficies descritas en los incisos a y b pueden ser grficas de una funcin z = cP(x, y)?Explique.

d. Las superficies descritas en los incisos a y b pueden ser superficies de nivel de una funci6nu = !J(x, y, z)? Explique.

2.3 Lmites y continuidadPara poder abordar adecuadamente el estudio de la diferenciabilidad de funciones de varias variableses necesario tener algunos conceptos sobre limites y continuidad de estas funciones. No es objetode esta obra un acercamiento riguroso y exhaustivo de esta parte de la teora. Por una parte,establecer "rigurosamente" los resultados que, sobre limites y continuidad, aparecen en el estudiode las funciones de varias variables, requiere un trabajo previo con la topologa del espacio lRn , locual no debe interesar demasiado en un primer curso de clculo (si el objetivo del curso fuera hacer"anlisis", la historia sera otra). Por otra parte, el estudio de los lmites y la continuidad poco ayuda,a posteriori, a entender las tcnicas del clculo en el espacio lRn , siendo stas lino de los objetivosimportantes en un primer curso sobre esta materia.

La exposicin que se presenta a continuacin puede parecer poco ambiciosa para algunos, o quizdemasiado pretenciosa para otros. Para los ltimos dejamos al profesor la decisin de tomar s610alguna parte de este material, o sugerir la profundidad con que se debe estudiar. Para los primerospresentamos algunas demostraciones opcionales de varios resultados que aparecen en esta parte dela teora, al mismo tiempo que se recomienda estudiar algunos de los excelentes libros de anlisismatemtico que existen actualmente en el mercado.

Al encontrarnos con el estudio de los lmites de las funciones de varias variables, se ponen aldescubierto las grandes dificultades de pasar del clculo de una al de varias variables: para funcionesde una variable sus dominios son "pedazos de la recta", muchas veces intervalos, cuyas descripcionesson en general fciles de entender. Para una funci6n de n variables, su dominio es un "pedazo delRn", y... aqu empiezan los problemas. Cmo son los subconjuntos de IRn "equivalentes" a lossubconjuntos de lR? Esta es una pregunta cuya respuesta puede ser muy complicada, y pertenece ala parte de la matemtica llamada "topologa". Lo que a continuaci6n haremos es estudiar solamenteaquellos conceptos "topoI6gicos" que nos hagan lo ms eficiente posible el camino para comprenderlos conceptos de lmite y continuidad para una funcin f: U ~ lRn --lo IR.

Recordemos primeramente el concepto de lmite para una funcin f: l ~ lR --lo lR definida en elintervalo abierto 1 de IR. Sea Xo E l. Aceptamos que f(xo) puede no existir, es decir que f estdefinida en l - {xo}. Decir que el lmite de f(x), cuando x tiende a xo, es L, significa que estandox cerca de Xo se tiene f(x) cerca de L. El concepto de "cercana" en la recta lo podemos establecerrigurosamente con la idea de "vecindad": una vecindad de centro Xo y radio r es el conjunto

{x E lR Ilx - xol < r} = {x E lRlxo - r < x < Xo + r}

1012 Respuestas

35. S.36. No.37. No38. S.39. S.40. S

41. (f + g)(x, y) = x2+l + 1, re; (jg)(x, y) = x2 + l + 1, R2; (~) (x, y) = x2 + l + 1, R2.. 2 2 2 2 (f) x + y42. (j + g)(x, y) = 2x, IR ; (fg)(x, y) = x - y , R; - (x, y) = --, {(x, y)[x =f: y}

g .x - y43. (f + g)(x, y) = JI + x + y + vx + -/y, {(x, y)[x 2': O, Y2': O};(jg)(x, y) = JI + x + y(vx + JY), {(x, y)[x 2': 0, y 2': O};(f) ,j1+x+y- (x, y) =. Iv--.-' {(x, y)[x 2': 0, y 2': (O, O)}.g yx+ VY44. (f + g)(x, y, z) = sen(x + y + z) + 2cos(x + y + z), R3 ;

(/g)(x, y) = sen(2x + 2y + 2z), R3;(1) 1 2k + Ig (x, y) = "2 tan (x + y + z), {(x, y, z)lx + y + z =f: -2-'ir, k E Z}

45. {e}46. No.47. S.Captulo 2, Seccin 2 (pgina 123)1. a. Dominio = U. Grfica de g igual a grfica de f, movida k unidades en el eje z; b. Dominio

= {(x, y)i(x - Xo, y - Yo) E U}. Grfica de g igual a grfica de f, movida Xo unidades en eleje x y Yo unidades en el eje y; c. Dominio = {(x, y)[(-x, - y) E U} Grfica de g igual agrfica de f, puesta simtricamente respecto del origen; d. Dominio = U. Grfica de g es lareflexin de la grfica de f en el plano xy

2. a. V = (3, -2, -1), P = (0,0,3); b. V = (-1, 1, -1), P = (0,0, -1); c. V = (1,0, -1),P = (O, O, O); d. V = (O, 1, -1), P = (O, O, O); e. V = (1,0, -1), P = (O, O, 7);f. V = (O, 0, -1), P = (O, O, 2)

fx si x < I3. a. f(x) = x; b. f(x) = (x - 2)2; C. f(x) = I si I ::; x ::; 3x _. 2 si x> 3d. f(x) = [x] - x + 1; e. f(x) = 1.4. Verdadero5. a. I(x, y) = x2 + l, e = O; b. I(x, y) = sgn(vx-/y), e = 1; c. I(x, y) = k, e = k ..6. Son lneas rectas paralelas al plano xy.7. Son elipses con ecuacin ax2 +bl = e.8. mn(-I, 1) = -1, mn(3, 'ir) = 3, mn(3, e) = e.9. mx(2 1/ 2, 23/ 2) = 23/ 2 , mx(r l / 2, r 3/ 2 ) = r l/ 2 , z = mn(x, y).10. a.lx[ = e, si Iyl 2': Ix[; Iyl = e, si [yl < Ixlb. Ixl = e, si Iy[ ::; Ixl; [yl = e, si Iyl > IxlC. x2 = c, si y 2': x2 ; y = e, si y < xl.11. a. f(x, y) = sen x - y + 1; b. f(x, y) = Jx6 + In8 x - y - 7; c. f(x, y) = lx + x3y + 121;f(x, y) = sgn (2 22 1 - 1) - 1x + y +

Respuestas 1013

12. f(x, y) = 4>(x) - y + e; U = 1 x R16. Y = Ixl- e17. Iyl =x-c18. y = x - e, e ~

c219. y = -, e ~

xx20. y = -

21. (x : ~)' + y' ~ G)'22. (y- ~y +x2 = (~y.

e23. y=--sgnx

24. y=senc-x,cE [--i.iJ25. a. f(x. y, z) = x2 + l + Z2, e = O; b. f(x, y, z) = (x _. y)2 + (x - d, e = O;c. f(x. y. z) = sgn(,x"(y,z), e = 1.26. Planos paralelos, con vector normal (a, b. e).27. a. f(x. y. z) = x 2 +l- z + 1; b. f(x. y. z) = ln2(sen4(x + i) + 7) -- 7 - z;

c. f(x. y. z) = xz3 + X 2 y SZ2 - 23yz + 254; d. f(x. y, z) = sgn (2 2 2 2 1 - 1) - 1.. x+y+z+

28. f(x. y, z) = 4>(x. y) - z + e, Dominio = U x ]R ~ ]R331. e = 0, es el cono Z2 = x2 + l; e =f. 0, son hiperboloides de una hoja32. e = 0, es el cono l = x2 + Z2; e =f. 0, son hiperboloides de una hoja.33. e = 0, es el cono x2 = l + Z2; e =f. O. son hiperboloides de dos hojas ..34. e = O. es el origen; e > 0, son elipsoides ..35. e = 0, es el eje z menos el origen; e =f. Oson paraboloides.Captulo 2, Seccin 3 (pgina 139)1. a. {x E ]Rllx - 31 < O.5}; b. {(x, y) E ]R211I(x. y) - (2, -3)11 < l};c. {(x, y, Z) E ]R3111(x, y,z) - (1,1,4)11 < 2};d. {(XI. X2, X3. X4. XS) E ]RSIII(xI, x2. x3. X4, XS) - (2, -1. 9, 3, 5)11 < l}5. Verdadero.10. Abierto11. Abierto.12. Abierto.13. Cenado.14. Abierto ..15. Cenado16. Abierto y cerrado (es el conjunto vaco).17. Abierto.18. Cenado19. Abierto.20. Ni abierto ni cerrado21. Abierto.22. Cerrado