II Unidad: Relaciones y Funciones

INSTITUTO SAN LORENZO.

MATEMÁTICA IIº AÑO MEDIO

DOCENTES: Isaías Correa M.

Rodrigo González P.

“Conceptos básicos”

APRENDIZAJES ESPERADOS

• Definir relación y función, estableciendo las diferencias entre un concepto y otro.

• Determinar si una relación es función.

• Determinar el Dominio y Recorrido de una Relación

• Determinar el Dominio y Recorrido de una Función.

• Determinar si una función es inyectiva, epiyectiva o biyectiva.

• Representar información cuantitativa a través de gráficos y esquemas.

Contenidos

1. Nociones de teoría de conjuntos

2. Relaciones

3. Funcionesa) Definición

b) Evaluación de funciones

d) Clasificación: Inyectivas; Epiyectivas; Biyectivas.

a) Definición

b) Dominio, Codominio y Recorrido

a) Definiciones

b) Producto Cartesiano

c) Dominio y recorrido de una función

1. Nociones de Conjuntos a) Definiciones

Conjunto: Es una colección de objetos bien definidos,

considerados como una sola unidad.

Pertenencia (Є) : Si un objeto “p” es elemento de un conjunto

C, entonces p pertenece a C y su notación es: p Є C.Si p no pertenece a C, se denota: p Є C

Conjunto vacío (Ø): Es aquel conjunto que no posee

elementos. También se denota como: { }

Subconjunto ( ): Un conjunto A es “subconjunto” de otro

conjunto B si todos los elementos que pertenecen a A, son también elementos de B.

b)Producto Cartesiano

Dados los conjuntos A y B , su producto cartesiano ( A × B ) está formado por cada uno de los pares ordenados donde el primer elemento pertenece a A y el segundo a B :

A x B = { (a,b) / a Є A y b Є B }

Ejemplo:

Si A = { a, b, c } y B = { 1, 2 } , entonces:

A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}

a b c

1

2 ..

.

...

A

B

Gráficamente:

2.Relaciones a) Definición:

Ejemplo:

Si A = {2, 3, 7} y B = {4, 5, 6} y R una relación de A en B tal que:

R = { (a,b) Є A x B / b es múltiplo de a}

A x B = {(2,4); (2,5); (2,6); (3,4); (3,5); (3,6); (7,4); (7,5); (7,6)}

R = {(2,4); (2,6); (3,6)} A x B

entonces:

Una “relación R” de un conjunto A a un conjunto B (R: A B), es un subconjunto del producto cartesiano entre A y B (A x B), determinado por una, o más condiciones.

El conjunto A se denomina “Conjunto de Salida” o “Conjunto de Partida”; y el conjunto B, “Conjunto de Llegada” de la relación.

2 3 7

4

5 ..

.

...

A

BGráficamente:

6 . . .

R

El par (2,4) pertenece a la relación R, ya que 4 es múltiplo de 2.Los pares (2,6) y (3,6), también están relacionados, ya que 6 es múltiplo de 2 y de 3.

(2,4) Є R ó 2 R 4

Notación:

ó R (2) = 4

(2,6) Є R ó 2 R 6 ó R (2) = 6

(3,6) Є R ó 3 R 6 ó R (3) = 6

Además de estos elementos podemos agregar que:

b) Dominio, Recorrido y Codominio :

Dominio:

Es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de partida que son pre-imagen de algún elemento del conjunto de llegada.

Recorrido:

Es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de llegada que son imagen de algún elemento del conjunto de partida.

Codominio:

Es otra manera de denominar al conjunto de llegada de la relación.

Ejemplo:

Si A = {2, 3, 7} y B = {4, 5, 6} y R una relación de A en B tal que:

R = {(2,4); (2,6); (3,6)} A x B , entonces:

Dom(R): = {2,3}

Rec(R): = {4,6}

= {4,5,6} = BCodom(R):

Entonces, si R = {(2,4); (2,6); (3,6)} A x B

2

3

7

4

5

6

A B

R

Conj. de partida. {2,3,7}

Conj. de llegada (Codominio){4,5,6}

Pre-imágenes {2,3} Imágenes {4,6}

De acuerdo al diagrama, se puede afirmar que:

2 es “pre-imagen” de 4 y de 6, y 4 es “imagen” de 2

Este tipo de representación de relaciones se denomina “diagrama sagital” (sagita = flecha)

Relación InversaRelación Inversa

Una relación R tiene inversa y se escribe como Rˉ¹

Por ejemplo: Sí R={ (2,3), (4,5),(5,6)}

Entonces Rˉ¹ ={(3,2),(5,4),(6,5)}

3. Funciones

Una “función f” es una relación, tal que todo elemento delconjunto de partida tiene imagen, y ésta es única.

3.1. Definición

Ejemplos:

1. Determine si la siguiente relación R es función:

a

b

c

d

e

f

A B

R

La relación R NO es función, porque c tiene dos imágenes.

R (c)= e

R (c)= f

• Dom f = A• Ningún elemento del dominio tiene más de una imagen.

2. Determine si la siguiente relación R es función:

3

5

4

6

7

9

A B

R

R es función, ya que cada elemento del conjunto de partida tiene imagen y ésta es única.

f (3) = 6

f (5) = 6

f (4) = 7

Además: Dominio(f) = A Recorrido(f) = {6,7}

3

5

4

6

7

9

fA B

Sea f una función, definida en los reales como:

3.2. Evaluación de funciones

f(x) = 2x + 3.

a) f (1) =

Determinar:

IR IR

f

b) f (3) =

c) f (7) =

d) f (12) =

= 24 + 3

= 27

Ejemplo 1:

1

37

12…x

5

9

17

27…

f(x)

2·1 + 3 = 5

2·3 + 3 = 9

2·7 + 3 = 17

2·12 + 3

2·4 + 3 – 3(2·0 + 3)

2(-1) + 3

f (4) - 3·f (0)

f (-1)=

8 + 3 – 3(3)

1

2

11 – 9

=

=

=

e) Para f(x) = 2x + 3, determinar

Representación gráfica de: f(x) = 2x + 3.

f(x) = 2x + 3 es “función afín”, Dom(f)=IR y Rec(f)=IR

3.3. Dominio y Recorrido

Ejemplo 1:

Sea

¿Es siempre posible calcular este cuociente?

Como la división por 0 no está definida, x – 1 debe ser distinto de 0, es decir: x ≠ 1.

Luego, Dom(f) = IR – {1}

Respuesta:

IR IR

f

2

1

-1

…

f(x)

2

3

-1

x

1

f(x)= 2 x – 1

Ejemplo 2:

Dom(f) = [ -2, +∞ [

¿Por qué?

Seaf(x) = x + 2

Como la división por 0 no está definida, x – 3 debe ser distinto de 0, es decir: x ≠ 3.

Luego, Dom(f) = IR – {3}

Para determinar el recorrido de f(x), se debe despejar x.

y(x – 3)=x

yx – 3y=x

yx – x=3y

x(y – 1)=3y

Luego, Rec(f) = IR – {1}

y= x x – 3 x=

3y y – 1

Ejemplo 3:

f(x)= x x – 3

Indicar si los siguientes gráficos corresponden a funciones, determinando el dominio y recorrido de aquellos que representen una función.

Ejemplo 4:

Dom(f) = [-2,5 , 5]

Rec(f) = [-1,8 , 3,2]

Dom(f) = IR

Rec(f) = {2}

y = 2

Dom(f) = IR

Rec(f) = ]-∞ , 4]

No es función

x = 3

3.4. Clasificación Función inyectiva (uno a uno):

Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido, es imagen de exactamente un único elemento del dominio.

2

3

7

4

5

6

B

f

A

1. Determine si la siguiente función es inyectiva:

f NO es función inyectiva, porque 6 es imagen de 2 y de 3.

Ejemplo:

Dom(f) = A

Rec(f) = {5,6}

Función biyectiva:

Una función es biyectiva si es inyectiva y epiyectiva a la vez.

Ejemplos:

4

7

-4

A B

5

8

-3

f

f es biyectiva, ya que es inyectiva y epiyectiva a la vez.

Dom(f) = A

Rec(f) = {4, 7, -4} = B