II Seminario Internacional Cambio...

COMPROBACIÓN DE LA NECESIDAD DE

ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE

ANÁLISIS MULTIFRACTAL DE SERIES

TEMPORALES DE LLUVIA

Dra. Amanda García Marín

Universidad de Córdoba

II Seminario Internacional

Cambio Climático

CONTENIDOS

1. Introducción

2. Planteamiento del problema

3. Multifractalidad

3.1. Introducción

3.2. Descripción

3.3. Caracterización

4. Aplicación a una zona concreta

5. Actuación en escenario de cambio climático

1. INTRODUCCIÓN

ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE AMF

Desde finales del pasado siglo XX la preocupación por el cambio climático y su influencia

sobre distintos aspectos hidrológicos ha quedado patente en multitud de estudios científicos

repartidos por toda la geografía mundial:

Recarga de acuíferos

(Mileham L. et al., 2009) Valores de escorrentía

(Chiew FHS et al., 2003;

Nunes JP et al., 2009;

Mileham L et al., 2009)

Erosividad de la lluvia

(Nearing, MA, 2001;

Zhang GH et al., 2005;

Nunes JP et al., 2009)

Precipitación (Lucero OA, 1998; González-Rouco JF et al.,

2000; Sumner GN et al., 2003; Paeth H y Hense A, 2004;

Arnbjerg-Nielsen K, 2006; Huebener H et al., 2007; van

Wageningen A y du Plessis JA, 2007; Cheng KS et al., 2009;

Lumsden TG et al., 2009)

1. INTRODUCCIÓN


La lluvia

Fenómeno muy variable

Proceso complejo con una gran

variabilidad espacial y temporal

1. INTRODUCCIÓN


La lluvia

La alta variabilidad de la lluvia ha inducido al

estudio de sus diferentes escalas de forma

independiente, restringiendo así, y

complicando, el uso de los modelos

estocásticos de precipitación.

Por ello, al ser la lluvia un proceso no lineal

muy variable en un amplio intervalo de escalas

temporales, se justifica el uso de la

multifractalidad como teoría y herramienta

descriptiva de las series temporales de datos

de lluvia.

En las últimas décadas el proceso de la lluvia ha sido ampliamente analizado desde un punto de

vista multifractal (e.g. Schertzer y Lovejoy, 1987; Ladoy et al., 1993; Fraedrich y Larnder, 1993;

Over y Gupta, 1994; Svensson et al., 1996; Tessier et al., 1993, 1996; de Lima y Grasman, 1999;

Kiely e Ivanova, 1999; Sivakumar, 2001; Veneziano y Furcolo, 2002; Labat et al., 2002; Olsson y

Burlando, 2002; Garcia-Marin et al., 2008).

Parámetros independientes del número de datos disponibles

para las distintas escalas

No tiene que asumirse ninguna función de distribución para el

conjunto de datos.

Ventajas del

análisis multifractal

2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA


Series de datos

completas

Series de

máximos anuales Obtención de

cuantiles

mediante AF

(local o regional)

Obtención de

curvas IDF

IDF1 IDF2 IDF3… Caracterización

multifractal

1. Actualidad

2. Escenario cambio climático

Series de datos

completas Caracterización

multifractal

Mejor IDF Mismos

parámetros

Nuevos

valores

Actualización

parámetros

IDF

García-Marin et al., (2013)

3. MULTIFRACTALIDAD

Simplemente observando la naturaleza, sus formas y su

dinámica, es fácil reconocer en ella fractales y sistemas caóticos

Mecanismos

comunes de

simetría

Reflexión

Rotación

Traslación

Homotecia Al ampliar un objeto, la forma se mantiene inalterada

Los fractales exhiben este tipo de simetría

Fractales naturales

3.1. Introducción


Una condición necesaria es el

mantenimiento de la forma al

menos en tres etapas

3. MULTIFRACTALIDAD


3.1. Introducción

1

2

3

3. MULTIFRACTALIDAD


3.1. Introducción

3. MULTIFRACTALIDAD


3.1. Introducción

¿ Hay algo en esta imagen que permita conocer el tamaño de las nubes ?

En los fractales se mantiene la invarianza de escala

3. MULTIFRACTALIDAD


3.1. Introducción

http://www.photolib.noaa.gov/historic/nws/index.html

Sistemas fractales

Las cordilleras perioceánicas se forman cuando se produce una corriente de

convección descendente entre una placa de litosfera oceánica y una de litosfera

continental. La oceánica se introduce bajo la continental, generando una intensa

actividad volcánica y sísmica, y arrastrando sedimentos.

Cordillera de los Andes

Formación montañosa Terremotos

3. MULTIFRACTALIDAD


3.1. Introducción

Monte Aconcagua

Los sistemas montañosos pueden ser descritos mediante la teoría de los

fractales, buscando relaciones entre áreas y perímetros. De esta forma, se

obtienen relaciones de aproximadamente 1,2 (Turcotte, 1989).

3. MULTIFRACTALIDAD


3.1. Introducción

Terremotos

1861. Terremoto Magnitud 7. Mendoza

Región Andina

(año 2007)

Enero (28), Febrero (41), Marzo (9), Abril (8), Mayo (13), Junio (3),

Julio (19), Agosto (13), Septiembre (8), Octubre (25), Noviembre (4)

3. MULTIFRACTALIDAD


3.1. Introducción

Terremotos

Ley potencial Multifractalidad y Criticalidad autoorganizada

Allí donde un proceso caótico (terremotos) ha moldeado

un espacio (cordillera), hay una estructura fractal

Ley de Gutenberg - Richter

Varios niveles de

intensidad

3. MULTIFRACTALIDAD


3.1. Introducción

Modelo de la pila de arena

A medida que se añaden granos a la pila se producirán

deslizamientos que tenderán a reorganizarla. Al añadir más

granos, la pila aumenta de tamaño hasta alcanzar una pendiente

crítica. En ese punto, la adición de nuevos granos puede

provocar avalanchas de cualquier tamaño.

En el estado crítico la distribución frecuencia-magnitud de los

eventos se ajusta a una ley potencial, adquiriendo propiedades

fractales.

En el estado crítico no existen escalas características

3. MULTIFRACTALIDAD


3.1. Introducción

FRACTAL (del latín fractus). Concepto introducido por Mandelbrot (1975) para hacer referencia a

objetos demasiado irregulares como para ser descritos según la geometría tradicional

Característica fundamental Invarianza de escala (sus estadísticos

siguen leyes potenciales)

¿Cómo se caracteriza un fractal? Dimensión fractal: relación entre las

diversas estructuras observadas para

varios niveles de resolución

Supongamos un conjunto A definido en un espacio D-dimensional. Si Nλ,A es el número de

cubos de lado λ-1 necesarios para completar el conjunto A, se satisface

Λ = razón de escala DA es la dimensión fractal del conjunto

El conjunto A es fractal si DA no es un número entero

3. MULTIFRACTALIDAD


3.2. Descripción

MULTIFRACTAL . Concepto introducido por Frish y Parisi (1985) para describir sistemas en los que una

escala simple no es suficiente para describirlos, ya que se caracterizan por tener diferentes niveles de

intensidad

342 352332322

1

Día del año

30

40

20

10

0

Pre

cipi

taci

ón (

mm

/ dí

a)

Lluvia

Ocurrencia Cantidad

Monofractal

Proceso no lineal altamente variable

Se necesitan infinitas dimensiones fractales para describir el proceso

3. MULTIFRACTALIDAD


3.2. Descripción

La función exponente escaladora de momentos

K ( )q

0 1 q

A partir del método del escalado de momentos estadísticos se obtiene la función exponente escaladora

de momentos K(q) que satisface, ( )q K q

donde el primer miembro representa el momento conjunto de orden q para una razón de escala λ

Línea recta

Proceso monofractal

Curva convexa hacia abajo

Proceso multifractal

3. MULTIFRACTALIDAD



La función K(q) presenta un comportamiento lineal para valores q > qcrit

Esa discontinuidad es debida a la divergencia de momentos o al tamaño inadecuado de la muestra.

Método del escalado de momentos estadísticos

1) Dividir la serie temporal de datos en intervalos que no se solapen

Índice de escala = Twmax /Tw

Twmax = 22 Tw = 20, 21, 22 = 4, 2, 1

2) Para = 1, obtener R( ,i) (intensidad media para cada intervalo i)

1 2 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 2 4

R(1 ,1)=1.5

R(1 ,2)=2.5

R(1 ,3)=1.5

R(1 ,4)=0.5

3. MULTIFRACTALIDAD



4) Para = 2, calcular R(2 ,i) y dividir entre <R(1,i)>

3) Obtener la media para R(1 ,i)

(1, ) 1.5 2.5 1.5 0.5(1, ) 1.5

4

R iR i

i

1 2 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 2 4

(2, ) (1 2) / 21

(1, ) 1.5

R i

R i

5) Calcular los momentos variando los valores de q

1

( , ) ( , )N

q

i

M q i

1 1 1 1

1(2,1) 1 1 1 2.33 ...M M

Representar: - M(2,q)

3. MULTIFRACTALIDAD



6) Repetir para todos los valores de

7) Con todos los valores de M( ,q) representados frente a , obtener

K,

qM q

8) Representar q frente a K(q)

Línea recta

Proceso monofractal

Forma no lineal

Proceso multifractal

3. MULTIFRACTALIDAD



La función exponente escaladora de momentos

0 1 2 3 4

log[

0

5

10

15

20

log

[M(

,q)]

q

1.05

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

0 1 2 3 4 5 6 7

q

-1

0

1

2

3

4

5

K(q

)

empirical scaling moments function

max 0.85 (r2 = 0.99999)

min 0.59 (r2 = 0.99988)

qD 2.9

qmin 1.75

3. MULTIFRACTALIDAD



Objetivo Determinar el modelo de curva IDF más adecuado mediante análisis multifractal

Málaga

IDF Modelo Parámetros

1 bi at 2

2 0.1 0.1(28 )2.5ti ab 2

3 ( ) bi a t c 3

4 ( ) / ( )b ci aT t d 4

4. APLICACIÓN A UNA ZONA CONCRETA


M A R C A N T Á B R I C O

O C

E A

N O

A T

L Á

N T

I C

O

N

M A R

M E

D I

T E

R R

Á N

E O

tiempo (desde sept/1980 hasta diciembre/2004)

0

20

40

60

80

100

lluvia

(m

m)

ALMERÍA

tiempo (desde enero/1982 hasta diciembre/2003)

0

20

40

60

80

100

lluvia

(m

m)

CÓRDOBA


0

20

40

60

80

100

lluvia

(m

m)

HUELVA


0

20

40

60

80

100

lluvia

(m

m)

MÁLAGA

Patrón Atlántico Patrón Sur

Patrón Levante

490 mm

536 mm

524 mm

196 mm

Relaciones Intensidad-Duración-Frecuencia



De las series completas disponibles, se extrajeron seis series de datos máximos anuales para duraciones

de 1 a 24 horas (1, 2, 3, 6, 12 y 24 horas).

Para la obtención de los cuantiles que permiten el ajuste de las curvas IDF se usó el método de los

momentos-L

Para seleccionar la mejor función de distribución, se utilizó el diagrama de momentos-L

Las series de datos máximos se

ajustaron a la función GPAR

Relaciones Intensidad-Duración-Frecuencia

1 10 100

Duration D (h)

1

10

100

Inte

nsity (

mm

/h)

I = a tb

T = 2

T = 3

T = 4

T = 5

T = 10

T = 15

T = 20

T = 25

T = 50

1 10 100

Duration D (h)

1

10

100

Inte

nsity (

mm

/h)

i = a b (280.1 + t0.1)2.5

T = 2

T = 3

T = 4

T = 5

T = 10

T = 15

T = 20

T = 25

T = 50

1 10 100

Duration D (h)

1

10

100

Inte

nsity (

mm

/h)

I = a/(t+c)b

T = 2

T = 3

T = 4

T = 5

T = 10

T = 15

T = 20

T = 25

T = 50

1 10 100Duration D (h)

1

10

100

Inte

nsity (

mm

/h)

i=(aTb)/(tc+d)T = 2

T = 3

T = 4

T = 5

T = 10

T = 15

T = 20

T = 25

T = 50



Objetivo Relacionar la multifractalidad de la lluvia con las propiedades

de escala simple de las curvas IDF

Veneziano y Furcolo (2002)

Pendiente de las curvas IDF ajustadas para duraciones

superiores a una hora y diversos períodos de retorno

Pendiente de la curva obtenida al representar en un gráfico

doblemente logarítmico la intensidad media de la lluvia para

un determinado valor de periodo de retorno

1 asociada a q1 en K(q)

1/ q1

Multifractalidad y curvas IDF



Multifractalidad de la lluvia en Málaga

Obtención de la función exponente

escaladora de momentos K(q)

Valores a comparar con los próximos

resultados de las curvas IDF:

q1 = 2,85

1 = 0,73


0 1 2 3 4

log[

0

5

10

15

20

log(

q

)

q1.05

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

(a)

21 days

0 1 2 3 4

log[

-2

-1.6

-1.2

-0.8

-0.4

0

log(

q

)

q0.05

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(b)



0 1 2 3 4 5

q

-1

0

1

2

3

4

K(q

)

Empirical K(q)

1 0.803 (r2 = 0.99919)

0 1 2 3 4 5

q

-1

0

1

2

3

4

K(q

)

Theoretical K(q)

1t 0.73 (r2 = 0.98224)

q1 2.9

q1t 2.85

(b)(a)

Comportamiento de escala de las curvas IDF


0 20 40 60

T [years]

0.2

0.4

0.6

0.8

IDF

slo

pe

curve 1

curve 2

curve 3

curve 4

Curva 2

1 it TSlopeIDF

1 0.1289

2 0.0537

3 0.0248

4 0.6561

1 10 100

T (yrs)

10

20

30

40

50

9

8

7

6

5

ave. in

tensity (

mm

/h)

curve 1

slope = 0.376

curve 2

slope = 0.374

curve 3

slope = 0.350

curve 4

slope = 0.344

Curve 11/curve tSlope q

1 0.025

2 0.023

3 0.001

4 0.007



5. ACTUACIÓN EN ESCENARIO DE CAMBIO CLIMÁTICO


Nuevas series de

datos

Caracterización

multifractal

Validez del

modelo IDF

Mismos

parámetros

Nuevos

valores

Actualización

parámetros

IDF


0

20

40

60

80

100

lluvia

(m

m)

ALMERÍA


0

20

40

60

80

100

lluvia

(m

m)

CÓRDOBA


0

20

40

60

80

100

lluvia

(m

m)

HUELVA


0

20

40

60

80

100

lluvia

(m

m)

MÁLAGA


0

20

40

60

80

100

lluvia

(m

m)

ALMERÍA


0

20

40

60

80

100

lluvia

(m

m)

CÓRDOBA


0

20

40

60

80

100

lluvia

(m

m)

HUELVA


0

20

40

60

80

100

lluvia

(m

m)

MÁLAGA

año horizonte

K ( )q

0 1 q

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