II. RESULTANTES DE LOS SISTEMAS DE FUERZAS...

II. RESULTANTES DE LOS SISTEMAS

DE FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE

LA PARTÍCULA

En este capítulo y el siguiente estudiaremos exclusivamente sistemas

de fuerzas en el plano, es decir, en dos dimensiones. Una vez comprendido

cabalmente será muy fácil entender los sistemas de fuerzas en tres

dimensiones, llamadas también fuerzas en el espacio. Seguiremos la divi-

sión que señalamos en el capítulo anterior: fuerzas colineales y fuerzas

concurrentes en este capítulo, y fuerzas paralelas y fuerzas no concu-rrentes

ni paralelas, en el siguiente

Resultantes de los sistemas de fuerzas colineales

Consideremos dos fuerzas concurrentes en el punto A. Por la ley del

paralelogramo sabemos que su resultante se encuentra en la diagonal del

paralelogramo formado por ellas.

Si el ángulo que forman dichas ac-

ciones es muy pequeño, la magnitud

de la diagonal se aproxima a la suma

de los lados. Podemos deducir que si

dos fuerzas son colineales, la resul-

tante es otra fuerza colineal cuya mag-

F2

F1

R

Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula

20

15°

x

nitud es igual a la suma de las mag-

nitudes de las dos fuerzas.

En el caso en que las dos fuerzas

colineales tengan sentidos contrarios,

el razonamiento anterior nos lleva a

concluir que entonces la resultante

tiene el sentido de la fuerza más

grande y su magnitud es la diferencia

entre las magnitudes de las dos fuer-

zas.

Si un sistema, en vez de ser de dos fuerzas, está formado por mil, el

procedimiento se podría repetir mil veces para obtener la magnitud y el

sentido de la resultante. O sea, que podemos generalizar y afirmar que la

obtención de la resultante de un sistema de fuerzas colineales se logra

mediante la siguiente ecuación:

𝑅 = ∑ 𝐹

es decir, que la magnitud es la resultante es igual a la suma algebraica de

las fuerzas del sistema, su sentido queda determinado por el signo de esa

suma, y su línea de acción es la misma que la de las fuerzas del sistema.

Elegimos un sistema de referencia así

15°

28 kg 16 kg

10 kg 24 kg

Ejemplo. Determine la magnitud y la

dirección de la resultante de las cuatro

fuerzas que actúan sobre la argolla de la

figura.

R

F2 F1

F2

F1

R


21

R = ∑ 𝐹𝑥

R = 10 + 24 − 28 − 16 = −10 El signo negativo significa que la fuerza resultante tiene sentido con-

trario del eje de las equis

R = 10 kg 15°

Resultantes de los sistemas de fuerzas concurrentes

Dividiremos nuestro estudio en dos casos: resultante de sólo dos fuer-

zas concurrentes, y resultantes de más de dos fuerzas concurrentes.

A) Dos fuerzas concurrentes

La ley del paralelogramo establece claramente como hallar gráfica-

mente la magnitud y la dirección de la resultante de dos fuerzas que con-

curren en un punto.

Dibujamos un paralelogramo cuyos lados

sean proporcionales a las magnitudes de las

fuerzas. Por cada 10 kg daremos a los lados una

longitud de 1 cm y con el transportador medimos

los ángulos que los lados forman con la

horizontal. Una vez dibujado el cuadrilátero,

trazamos la diagonal que pasa por el punto de

concurrencia de las fuerzas y medimos tanto su

30°

45°

40 kg

50 kg

Ejemplo. Determine gráficamente la

resultante de las dos tensiones que jalan la

argolla de la figura.

40

50 R

75° θ


22

longitud como el ángulo que forma con la horizontal. Como a cada cm co-

rrespondieron 10 kg, la resultante de estas dos fuerzas es

R = 71 kg 12°

Puesto que el método gráfico es poco preciso e impráctico, intentare-

mos deducir un método analítico o trigonométrico.

Observemos que el paralelogramo del ejemplo está contiene dos tri-

ángulos, dos de cuyos lados son las fuerzas y el tercero, la resultante. Por

tanto, en vez de construir un paralelogramo, dibujaremos una fuerza a

continuación de la otra; y la resultante unirá el origen de la primera con la

punta de la segunda. Del triángulo conocemos, por tanto, dos lados y el

ángulo que forman entre sí. Y mediante cualquier ley del triángulo

podemos hallar la magnitud de R y su dirección.

Dibujamos esquemáticamente una fuerza a continuación de la otra y

unimos el origen de la primera con la punta de la segunda: este lado co-

rresponde a la resultante. Tenemos, pues, un triángulo del que conocemos

dos lados y el ángulo que forman entre sí. Conforme la ley de cosenos,

𝑅2 = 𝐹12 + 𝐹1

2 − 2𝐹1𝐹2 cos 𝛳

𝑅2 = 402 + 502 − 2(40)50 cos 105° = 71.7

30°

45°

40 kg

50 kg

Ejemplo. Halle analíticamente, me-

diante la ley del triángulo, la magnitud y

la dirección de la resultante de las dos

fuerzas que actúan sobre la argolla de la

figura.

50 40

R

105°

θ


23

y, por la ley de senos,

sen 𝛳

40=

sen 105°

71.7

por tanto = 32.6°. Y el ángulo que R forma con la horizontal es 45 – 32.6

= 12.4. Por fin

R = 71.7 kg 12.4°

Resolución de fuerzas

Una vez que sabemos cómo hallar la resultante de dos fuerzas concu-

rrentes, trataremos de realizar el proceso contrario, es decir, resolver o

descomponer una fuerza dada en dos componentes que constituyan un sis-

tema equivalente. Ilustraremos el procedimiento de los tres casos princi-

pales mediante cuatro ejemplos. El primer caso consiste en resolver una

fuerza en dos componentes que tengan ciertas direcciones; el segundo,

descomponer la fuerza en dos componentes de cierta magnitud; y el últi-

mo, en resolver la fuerza en una componente en cierta dirección y otra de

cierta magnitud.

Comenzamos dibujando la fuerza que ha de descomponerse, y en ca-

da uno de sus extremos líneas paralelas a las direcciones de las compo-

nentes

B

A

75°

60°

120 kg

Ejemplo. Resuelva la tensión hori-

zontal de 120 kg en dos componentes: C1

en la dirección de las barra AB, y C2, en la

dirección de la barra BC.


24

60°

120

75°

15° 30°

135°

120

C1 C2

Ley de senos:

120

sen 135°=

𝐶1

sen 30°=

𝐶2

sen 15°

𝐶1 =120

sen 135°(sen 30°)

𝐶2 =120

sen 135°(sen 15°)

𝐶1 = 84.9 kg

𝐶2 = 43.9 kg

Dibujamos la fuerza que deseamos descomponer y, con centro en sus

extremos, trazamos dos arcos de circunferencia correspondientes a las

fuerzas de 600 y 500 lb.

Ley de cosenos

5002 = 7502 + 6002 − 2(750)600 cos 𝛼

cos 𝛼 =7502 + 6002 − 5002

2(750)600

𝛼 = 41.6

Ejemplo. Diga cuáles deben ser las

direcciones 1 y 2 de modo que la resul-

tante de las dos tensiones ejercidas sobre

la argolla sea una fuerza vertical de 750

lb.

θ2 θ1

600# 500# B A

600

500

750

β

α


25

Ley de senos

sen 𝛽

600=

sen 41.6°

500

sen 𝛽 =600 sen 41.6°

500

𝛽 = 52.9

Puesto que α y β son los ángulos complementarios de θ2 y θ 1, res-

pectivamente,

𝛳1 = 37.1°

𝛳2 = 48.4°

Dibujamos la fuerza vertical que vamos a descomponer. En un extre-

mo, una línea a 30°, y con centro en el otro, trazamos un arco de circun-

ferencia que corresponde a la fuerza de 110 N

θ

30°

C2=1100 N C1

2000 N

Ejemplo. Descomponga el peso de

2000 N en dos componentes: C1 que for-

me un ángulo de 30° con la vertical, y C2

cuya magnitud sea de 1100 N.

θ2

β

α

θ1

2000

30°

2000

30°

θ

α

1100

C1

θ’

α’ 2000

30°

1100

C1’


26

Como se pueden formar dos triángulos, hay dos soluciones.

Primera solución

Ley de senos

sen 𝛼

2000=

sen 30°

1100

sen 𝛼 =2000 sen 30°

1100=

10

11

𝛼 = 65.4

𝛳 = 180° − 30° − 65.4 = 84.6°

𝐶1

sen 84.6°=

1100

sen 30°

𝐶1 =1100 sen 84.6°

sen 30°= 2190

Las primeras respuestas son

𝐶1 = 2190 N

𝛳 = 84.6°

𝐶1′

sen 35.4°=

1100

sen 30°

𝐶1′ =

1100 sen 35.4°

sen 30°

Y las segundas respuestas son

𝐶1′ = 1274 N

𝛳′ = 35.4°

Ejemplo. Descomponga el peso de

240 lb en dos componentes: C1 en

dirección de la barra BC, y C2, cuya

magnitud sea la menor posible.

A

58°

240 #

C

B


27

Dibujamos la fuerza vertical de 240 lb, y una línea a 58°. El lado menor

con que se puede formar un triángulo es uno perpendicular a la línea de 58°

𝐶1 = 240 cos 58°

𝐶2 = 240 cos 32°

𝐶1 = 127.2 lb

𝐶2 = 204 lb

Componentes cartesianas

Un caso importante y frecuente de resolución de fuerzas es el que se

efectúa en dos direcciones perpendiculares entre sí para obtener compo-

nentes ortogonales. Más frecuente aún es la descomposición en las direc-

ciones de los ejes cartesianos: se trata de obtener las componentes ortogo-

nales y en el sentido de los ejes equis y ye.

Consideremos una fuerza 𝐹 y el sistema car-

tesiano que se muestra en la figura. Siguiendo el

procedimiento ilustrado con el primer ejemplo,

trazamos paralelas a las direcciones deseadas en

cada uno de los extremos de la fuerza. Como el

cos 𝛳 es igual a la razón de 𝐹𝑥 a 𝐹, y sen 𝛳, la

razón de 𝐹𝑦 a 𝐹, entonces, 𝐹𝑥 = 𝐹 cos 𝛳 y 𝐹𝑦 =

𝐹 sen 𝛳; con tales expresiones quedan de-

terminadas las magnitudes y los sentídos de las

componentes cartesianas (1).

(1) Aquí podría comenzarse a definir los vectores y emplear un lenguaje

vectorial, haciendo 𝑭 = 𝐹𝑥𝒊 + 𝐹𝑦𝒋; sin embargo, nos parece que no resul-

ta útil, sino hasta abordar el estudio de las fuerzas en el espacio, es decir,

en tres dimensiones.

y

x

F

θ

θ

Fy

Fx

F

32°

58°

240

C2

C1

58°

240


28

𝐹𝑥 = 56 sen 42°

𝐹𝑥 = 37.5 kg

𝐹𝑦 = 56 cos 42°

𝐹𝑦 = 41.6 kg

𝐹𝑥 = 80 (√3 2⁄ )

𝐹𝑥 = 69.3 lb

𝐹𝑦 = −80 (1 2⁄ )

𝐹𝑦 = −40 lb

𝐹𝑥 = −2400 (√2 2⁄ )

𝐹𝑥 = −1697 N

𝐹𝑦 = −240(√2 2⁄ )

𝐹𝑦 = −1697 N

𝐹𝑥 = 150 sen 68°

𝐹𝑥 = 139.1 kg

𝐹𝑦 = −150 cos 68°

𝐹𝑥 = −56.2 kg

Ejemplo. Obtenga las componentes cartesianas de cada una de las

siguientes fuerzas.

y

x

56 kg

42°

y

x

80#

30°

y x

45°

20°

2400 N

y

x

150 kg

68°

2 m


29

A

B 5

12

260

12

2

13

5

Fy

Fx

260

Es frecuente que la información acerca de

las fuerzas esté relacionada con las dimensiones

de los cuerpos y no con sus ángulos. Pensemos

por ejemplo, en el cable que sostiene un poste

de la figura. Si se sabe que la tensión del cable

es de 260 kg, podríamos establecer la siguiente

comparación de dos triángulos semejantes. Por

el teorema de Pitágoras se puede calcular la

longitud de la hipotenusa del primer triángulo y

entonces establecer las siguientes proporcio-

nes:

260

13=

𝐹𝑥

5=

𝐹𝑦

12

por tanto 𝐹𝑥 = 260 (5

13), y 𝐹𝑦 = −260 (

12

13), es decir, 𝐹𝑥 = 100 kg y 𝐹𝑦 =

−240 kg

𝐹𝑥 = 75 (4 5⁄ )

𝐹𝑥 = 60 kg

𝐹𝑦 = 75 (3 5⁄ )

𝐹𝑦 = −45 lb

𝐹𝑥 = 85 (15 17⁄ )

𝐹𝑥 = 75 lb

𝐹𝑦 = −85 (8 17⁄ )

𝐹𝑦 = −40 lb

Ejemplo. Diga cuáles son las componentes cartesianas de las fuer-

zas que se muestran a continuación.

y

x

75 kg

4 3

4

3 5

85 # y

x

8

15 8

15

17


30

B) Más de dos fuerzas concurrentes

Consideremos un cuerpo sujeto a la acción de mil fuerzas concu-

rrentes. Elijamos un sistema de referencia cartesiano, con un eje de las

equis horizontal con sentido hacia la derecha, y un eje de las yes vertical

cuyo sentido sea hacia arriba.

Cada una de las fuerzas puede descomponerse en sus componentes

cartesianas en esas direcciones, sin que se alteren los efectos externos; o

sea, que tenemos ahora un sistema equivalente de dos mil fuerzas, mil

horizontales y mil verticales. Cada uno de esos conjunto s de mil fuerzas

constituye un sistema de fuerzas colineales, cuyas resultantes son, respec-

tivamente, una fuerza horizontal y una fuerza vertical, que podemos re-

presentar como 𝑅𝑥 y 𝑅𝑦 y cuyos sentidos y magnitudes pueden deter-

minarse mediante las ecuaciones

𝑅𝑥 = ∑ 𝐹𝑥 y 𝑅𝑦 = ∑ 𝐹𝑦

Con este procedimiento hemos obtenido un nuevo sistema de fuerzas

equivalente al original formado por dos fuerzas concurrentes. Estas dos se

pueden componer en una sola mediante la ley del paralelogramo. Esta úl-

tima es la resultante del sistema y su línea de acción contiene el punto de

concurrencia de las fuerzas del sistema (2).

(2) Si empleáramos un lenguaje vectorial, diríamos que la resultante es

𝑹 = 𝑅𝑥𝒊 + 𝑅𝑦𝒋 (pues 𝑅𝑥 y 𝑅𝑦 son las componentes cartesianas de la re-

sultante); y que la resultante es la suma vectorial de las fuerzas del siste-

ma, es decir, 𝑹 = ∑ 𝑭. Pero, insistimos, no tiene ninguna ventaja en este

momento, pues lo que interesa es conocer la magnitud y la dirección de la

fuerza buscada


31

Elegimos un sistema de referencia cartesiano

𝑅𝑥 = ∑ 𝐹𝑥

𝑅𝑥 = 40 cos 30° + 60 + 120 cos 45°

𝑅𝑥 = 40√3 2⁄ + 60 + 120√2 2⁄

𝑅𝑥 = 20√3 + 60 + 60√2 = 179.5

𝑅𝑦 = ∑ 𝐹𝑦

𝑅𝑦 = 40 sen 30° − 120 sen 45°

𝑅𝑦 = 40(1 2⁄ ) − 120(√2 2⁄ )

𝑅𝑦 = 20 − 60√2 = −64.9

𝑅 = √1792 + 642

tan 𝛳 =64.9

179.5

𝑅 = 190.8 kg 19.9°

120 kg

40 kg

45° 60 kg

30° Ejemplo. La argolla de la figura está

sujeta a las tres fuerzas que se muestran.

Determine la resultante de esas fuerzas.

Ejemplo. La figura representa un

poste soportado por tres cables coplana-

res. Las tensiones en los cables AB, AC y

CD son, respectivamente, 150, 260 y 170

lb. Sustituya las tres tensiones que actúan

en el extremo A por una sola que produz-

ca los mismos efectos externos sobre el

poste.

35´ 10´ 18´

C D

24´

B

A

30°

40

45°

120

60 x

y

y

179.5

θ

R

x 64.9


32

Además de escoger un sistema de referencia, trabajamos con las

pendientes de las fuerzas.


𝑅𝑥 = −150(3 5⁄ ) + 260(5 13⁄ ) + 170(15 17⁄ )

𝑅𝑥 = −90 + 100 + 150 = 160

𝑅𝑦 = ∑ 𝐹𝑦

𝑅𝑦 = −150(4 5⁄ ) − 260(12 13⁄ ) + 170(8 17⁄ )

𝑅𝑦 = −120 − 240 − 80 = 440

𝑅 = √1602 + 4402

tan 𝛳 =440

160

𝑅 = 468 lb 70°

Dibujemos las fuerzas en su sistema de referencia

Ejemplo. Tres remolcadores empu-

jan una embarcación durante sus manio-

bras en un puerto. Cada remolcador ejer-

ce una fuerza de 2 kN. Diga cuál debe ser

el valor del ángulo , de modo que la

resultante de los tres empujes tenga la

dirección del eje longitudinal del buque.

Diga también cuál es la magnitud de la

resultante.

15°

15°

θ

x

150

y

170

0

260

3 4

5

8

15

12

3

4

5

8

15 12

5 13

17

y

x

160

440

R

θ


33

Como 𝑅 es horizontal, 𝑅𝑦 = 0

∑ 𝐹𝑦 = 0

2 sen 𝛳 − 2 sen 15° − 2 sen 30° = 0

sen 𝛳 = sen 15° − sen 30°

𝛳 = 49.4°


𝑅𝑥 = 2(cos 49.4° + cos 15° + cos 30°)

𝑅 = 4.97 kN

15°

15°

θ

2

2

2

x

y


34

Serie de ejercicios de Estática

RESULTANTES DE LOS SISTEMAS DE FUERZAS

QUE ACTÚAN SOBRE LA PARTÍCULA

1 y 2. Halle gráficamente la magnitud y la

dirección de las resultantes de los dos sistemas

de fuerzas de las figuras. Utilice una escala tal,

que permita resolver los problemas ocupando

una hoja tamaño carta.

3 y 4. Resuelva analíticamente los dos

problemas anteriores.

(Sol. 533 kg 10.8º; 5.69 N 6.6º)

5. El cable AB ejerce una tensión de 120

kips y el AC otra de 80. Determine la magni-

tud y la dirección de la fuerza única que es ca-

paz de producir los mismos efectos externos

sobre la argolla.

(Sol. 188.4 kip 9.2º)

6. Se desea sostener el cuerpo de 140 lb que

se muestra en la figura. Diga qué tensión T

deberá aplicarse para lograrlo y cuál debe ser el

ángulo.

(Sol. T = 81.2 lb; θ = 29.5º)


35

7. Descomponga la fuerza horizontal de

500 kg en dos componentes, en las direcciones

que se indican. Diga cuáles son las magnitudes

de las componentes C1 y C2.

(Sol. C1 = 543 kg, C2 = 442 kg)

8. Los tractores A y B remolcan una

embarcación a lo largo de un canal. La cuerda

jalada por el tractor A forma un ángulo ϴ = 25º

respecto al eje del canal; la cuerda que jala B

tiene una tensión de 3 kips y forma un ángulo

ϕ= 40º respecto al eje del canal. ¿Cuál es la

tensión en la cuerda de A? ¿Qué magnitud tiene

la resultante de las dos tensiones?

(Sol. TA = 4.56 kip; R = 6.43 kip)

9. Si la embarcación del problema anterior

produce una resistencia de 200 kN, y la cuerda

gobernada por el tractor A debe soportar la mí-

nima tensión posible, ¿qué ángulo ϴ deberá

formar con eje del canal, si ϕ= 40º? ¿Cuál es la

tensión de cada cuerda?

(Sol. θ= 50º; TA = 128.6 kN; TB = 153.2 kN)

10. Determine la magnitud de F y del án-

gulo ϴ para lograr que la resultante de las

compresiones ejercidas por los perfiles de la

figura sea horizontal y de 2.4 ton. La fuerza Q

es de 1.8 ton y el ángulo ϕ= 45º.

( Sol.F=2.30 ton, θ=64.5º;

F’=1.097 ton, θ’=25.5º)


36

11. Si la fuerza F del elemento estructural

del problema anterior es de 60 kips, Q de 75 y

su resultante debe ser horizontal y de 90 kips,

¿qué valores deben tener los ángulos ϴ y ϕ?

(Sol. θ =41.4º; ϕ=55.8º)

12. El cuerpo que sostiene la grúa de la

figura es de 800 kg. ¿Cuáles son las compo-

nentes de ese peso en las direcciones de las

barras AB y BC?

(Sol. CAB = 1200 kg; CBC = 1600 kg)

13. El cable en el que se aplica la tensión

de 750 kg tiene una pendiente de 4/3. Determi-

ne sus componentes cartesianas, conforme al

sistema mostrado en la figura.

(Sol. Fx = 628 kg; Fy = 410 kg)

14. Diga cuáles son la magnitud y la dire-

cción de la resultante de las tres tensiones que

las cuerdas ejercen sobre la argolla de la figu-

ra.

(Sol. 47.9 lb 38.8º)

15. Determine la magnitud y la dirección

de la resultante de las cuatro fuerzas que se re-

presentan en la figura.

(Sol. 325 N 24.6º)


37

16. ¿Por qué fuerza única habría que

cambiar las tres ejercidas por los perfiles so-bre

el elemento estructural mostrado, de modo que

se produjeran los mismos efectos externos

sobre éste?

(Sol. 2260 lb 16.7º)

17. En el centro de un hexágono regular

están aplicadas fuerzas de 1, 3, 5, 7, 9 y 11 N,

colocadas en ese mismo orden y dirigidas hacia

los vértices. Determine la magnitud de su

resultante y diga en la dirección de cuál de las

fuerzas actúa.

(Sol. 12 N en dirección de la fuerza de 9 N)

18. Además de las dos fuerzas mostradas,

sobre el poste de la figura actúa la tensión del

cable. Diga cuáles son las magnitudes de di-cha

tensión y de la resultante de las tres fuer-zas,

sabiendo que es vertical.

(Sol. T = 676 kg; R = 804 kg)

II. RESULTANTES DE LOS SISTEMAS DE FUERZAS...

Documents

Transcript of II. RESULTANTES DE LOS SISTEMAS DE FUERZAS...