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Principios de oacuteptica y fiacutesica moderna
Mapa de contenidos
Principios de oacuteptica y fiacutesica moderna
Introduccioacuten del eBook
Desde la invencioacuten del transistor y el laacuteser tanto la oacuteptica como la electroacutenica han avan-zado de manera acelerada No podriacuteamos
concebir al mundo actual sin las computadoras los reproductores de CD los DVD las celdas so-lares y los televisores con pantalla plana de cristal liacutequido (LCD) y tecnologiacutea LED Todo esto ha sido posible gracias a los trabajos y esfuerzos tanto de cientiacuteficos como de ingenieros dedicados a estudiar y entender la forma como se propaga la radiacioacuten electromagneacutetica su interaccioacuten con la materia el comportamiento de los sistemas fiacutesicos a dimensio-nes comparables con las atoacutemicas y los fenoacuteme-nos asociados a estas dimensiones nanoscoacutepicas por mencionar algunos ejemplos
Tanto la electroacutenica moderna como la oacuteptica son campos multidisciplinarios relacionados con la me-caacutenica cuaacutentica la fiacutesica del estado soacutelido la fiacutesica de materiales y de superficies por lo que el objeti-vo central de este libro es presentar un panorama de las aacutereas de la fiacutesica el cual es necesario para entender el funcionamiento baacutesico de estos impor-tantes avances tecnoloacutegicos
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Organizador temaacutetico
Principios de oacuteptica y fiacutesica moderna
Capiacutetulo 1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagneacuteticas
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Principios de oacuteptica y fiacutesica moderna
1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagneacuteticas
iquestTe has preguntado coacutemo se propagan las sentildeales viacutea sateacutelite para poder presenciar eventos artiacutesticos y deportivos que se llevan a cabo en diferentes partes del mundo iquestcoacutemo funcionan los hornos
de microondas O acaso iquestpor queacute es dantildeino exponerse durante mucho
tiempo a los rayos del sol en una playa Para responder estas y otras pre-guntas la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas y sus caracteriacutesticas baacutesicas se presentan en este capiacutetulo a partir de las ecuaciones de Maxwell y los campos electromagneacuteticos
1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagneacuteticasIntroduccioacuten
Ecuaciones de Maxwell en forma
diferencial
Energiacutea almacenada en las ondas electromagneacuteticas
Superposicioacuten de las ondas electromagneacuteticas
La ecuacioacuten de onda sin fuentes
para E y B
Ondas electromagneacuteticas y la velocidad de la luz en
el vaciacuteo
Espectro electromagneacutetico
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Principios de oacuteptica y fiacutesica moderna
Onda electromagneacuteticaPerturbacioacuten que no requiere un medio de propagacioacuten y que viaja a la velocidad de la luz en el vaciacuteo
GLOSARIO1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagneacuteticas11 Ondas electromagneacuteticas y la velocidad de la luz en el vaciacuteo
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11 Ondas electromagneacuteticas y la velocidad de la luz en el vaciacuteo
111 Naturaleza de la luz y las ondas electromagneacuteticas (OEM)
Durante mucho tiempo el hombre se ha preguntado cuaacutel es la naturaleza de la luz Desde las primeras eras hasta la invencioacuten de lentes primitivas y espejos el comportamien-to de la luz siempre ha sido un misterio Entre los primeros intentos para entender estos fenoacutemenos Newton propuso que la luz estaba compuesta de partiacuteculas emitidas por la fuente luminosa que al chocar con el ojo estimulaban la percepcioacuten visual Esta descripcioacuten fue conocida como teo-riacutea corpuscular de la luz
Hacia 1678 Christian Huygens propone una teoriacutea al-ternativa en la cual la luz tiene una naturaleza ondulatoria y muestra que eacutesta puede describir de forma adecuada los fenoacutemenos oacutepticos de reflexioacuten refraccioacuten y superposicioacuten de la luz sin embargo su trabajo no recibe la aprobacioacuten del mundo cientiacutefico de la eacutepoca Luego en el siglo XIX los experimentos de Young Fresnel y Foucault muestran que bajo ciertas condiciones la luz se comporta como una onda Finalmente con el surgimiento de la teoriacutea electro-magneacutetica de Maxwell y Hertz la naturaleza ondulatoria de la luz queda plenamente demostrada y es aceptada de manera general
112 Las ecuaciones de Maxwell
A mediados del siglo XIX se teniacutea un gran conocimien-to acerca de los fenoacutemenos eleacutectricos y magneacuteticos en el vaciacuteo caracterizados por los campos E y B Gracias a los estudios de Coulomb Gauss Ampere Henry y Faraday se habiacutea establecido un conjunto de ecuaciones que sinte-tizaban el conocimiento adquirido hasta esos tiempos las leyes de Gauss para el campo eleacutectrico induccioacuten de Fa-raday Gauss para el campo magneacutetico y Ampere para el campo magneacutetico ademaacutes de las leyes operacionales de Coulomb y de Biot-Savart para calcular los campos eleacutec-tricos y magneacuteticos de distribuciones de carga y corriente arbitrarias
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1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagneacuteticas11 Ondas electromagneacuteticas y la velocidad de la luz en el vaciacuteo
Ecs (121-126)
Gracias a los trabajos de Maxwell sobre los fenoacutemenos de induccioacuten debidos a los campos eleacutectricos variables en el tiempo la ley de Ampere fue modificada para incluir el teacutermino correspondiente a la corriente de desplazamien-to De hecho a partir de esos estudios se le denomina la ley de Ampere-Maxwell En resumen a las primeras cuatro ecuaciones de la serie anterior se les llama Ecuaciones de Maxwell en forma integral (Cuadro 11)
Onda mecaacutenicaPerturbacioacuten mecaacutenica que necesa-riamente requiere un medio de pro-pagacioacuten por ejemplo en soacutelidos o fluidos
Ecuacioacuten de ondaEcuacioacuten diferencial parcial que des-cribe la evolucioacuten en el tiempo de una onda ya sea mecaacutenica o electromag-neacutetica
Visualiza aquiacute el proceso para expresar a las ecuaciones de Maxwell en un formato diferencial
GLOSARIO
RECURSOS
Por otro lado en ese tiempo se sabiacutea que todas las on-das mecaacutenicas satisfaciacutean una ecuacioacuten de onda claacutesica y una solucioacuten como las mostradas a continuacioacuten
Ecs (117-118)
La solucioacuten de esta ecuacioacuten diferencial (Ec (118)) describe a una onda propagaacutendose en el medio donde se produce dicha perturbacioacuten mecaacutenica De hecho la velocidad de propagacioacuten de la onda depende de las propiedades del medio
Por lo tanto para entender la naturaleza de la ra-diacioacuten electromagneacutetica y mostrar que en realidad los campos electromagneacuteticos se propagan como ondas debemos expresar a las ecuaciones de Maxwell en un formato diferencial
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Asiacute se obtiene
Aquiacute E y B son los campos eleacutectricos y magneacuteticos ρ es la densidad volumeacutetrica de carga J es la densidad superficial de corriente es la permitividad del vaciacuteo y es la per-meabilidad del vaciacuteo La divergencia y el rotacional de un campo vectorial son conceptos muy abstractos del caacutelculo vectorial sin embargo su naturaleza geomeacutetrica se pue-de visualizar con ayuda de las animaciones que aparecen en la liga de UPV en la seccioacuten de Recursos asiacute como los coacutedigos en MATLAB que te permiten insertar diferentes campos vectoriales y obtener la representacioacuten graacutefica de su gradiente divergencia y rotacional
En particular nos interesa la propagacioacuten de los campos electromagneacuteticos en el vaciacuteo por lo tanto en el conjunto anterior tomamos ρ=0 y J=0 De este modo las ecuacio-nes de Maxwell resultan
A partir de estas ecuaciones y tomando el rotacional de la segunda ecuacioacuten en combinacioacuten con la primera obtenemos la ecuacioacuten de onda para E y B (ver el cuadro 13) Al comparar con la ecuacioacuten de onda claacutesica nota-mos que las ondas electromagneacuteticas viajan con velocidad c=1(aring0igrave0)12=299x108ms esto es a la velocidad de la luz en el vaciacuteo
Visualiza las ecuaciones de onda y ondas electromag-neacuteticas en la seccioacuten de Recursos
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1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagneacuteticas11 Ondas electromagneacuteticas y la velocidad de la luz en el vaciacuteo
Ecs (119-1112)
Ecs (1113-1116)
En la siguiente liga encontraraacutes una serie de problemas resueltos sobre ondas electromagneacuteticas y su propa-gacioacuten mismas que te seraacuten de utili-dad para profundizar en varios de los conceptos hasta aquiacute expuestos
Problemas de Ondas Electromagneacute-ticas
Divergencia de un campo vectorial espacial en un punto a elegir
Coacutedigos MATLAB de gradiente diver-gencia y rotacional
Ecuaciones de onda y ondas electro-magneacuteticas
RECURSOS
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La solucioacuten de dicha ecuacioacuten de onda para E es una funcioacuten perioacutedica que oscila de forma perpendicular a la direccioacuten de propagacioacuten de la onda dada por el vector de onda k
Como es usual
Por otro lado la solucioacuten para B puede establecerse similarmente
Sin embargo las amplitudes vectoriales E0 y B0 no son independientes entre siacute dado que deben satisfacer la Ley de Faraday (ec 1113) Asiacute puede mostrarse que
Con lo cual es evidente que el campo magneacutetico B es perpendicular tanto al vector de onda como al campo eleacutec-trico Esto demuestra la transversalidad de las ondas elec-tromagneacuteticas en el vaciacuteo (Cuadro 14)
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1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagneacuteticas11 Ondas electromagneacuteticas y la velocidad de la luz en el vaciacuteo
Vector de onda (k)Es el vector que indica la direccioacuten de propagacioacuten de la onda Su magnitud es igual a 2πλ
En la siguiente liga se presenta una animacioacuten de la propagacioacuten de las ondas electromagneacuteticas en el vaciacuteo donde se pone de relieve la naturale-za transversal de las mismas
Propagacioacuten de las ondas electro-magneacuteticas
GLOSARIO
RECURSOS
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1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagneacuteticas11 Ondas electromagneacuteticas y la velocidad de la luz en el vaciacuteo
De este modo se demuestra que la luz estaacute formada por campos electromagneacuteticos y que se propagan a la velocidad de la luz en el vaciacuteo En general la radiacioacuten electromagneacutetica se propaga como onda En la siguiente seccioacuten discutire-mos algunas de sus caracteriacutesticas
Problemas resueltos de las ecuaciones de Maxwell
1) En una regioacuten del espacio libre se encuentra una densidad volumeacutetrica de carga dada por
a) Calcular la carga total encerrada en una superficie esfeacuterica de radio r=1mm b) Por medio de la Ley de Gauss obtener el campo eleacutectrico a esa misma distancia medida desde el centro de la distribucioacuten de carga
2) En un cascaroacuten esfeacuterico de radios R1=6mm R2=8mm existe una densidad volumeacutetrica de car-ga uniforme de 8 C m3 Si 120588=0 para rlt R1 calcu-lar la carga total dentro del cascaroacuten esfeacuterico
3) Para el mismo cascaroacuten del problema anterior obtener el campo eleacutectrico a r=7mm del centro de la distribucioacuten esfeacuterica
4) Una densidad superficial de corriente estaacute dada por siendo 120588 la distancia desde el
eje del cilindro al punto en coordenadas ciliacutendri-cas Con esta informacioacuten calcular la corriente que atraviesa un conductor ciliacutendrico de radios R y 2R
RECURSOS
Te sugerimos correr los siguientes coacutedigos en MATLAB para modificar los paraacutemetros de una onda EM y observar coacutemo se manifiestan estos cambios en la apariencia de la onda
Coacutedigos MATLAB para paraacutemetros de una onda EM
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1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagneacuteticas11 Ondas electromagneacuteticas y la velocidad de la luz en el vaciacuteo
Solucioacuten La corriente eleacutectrica y la densidad superficial de corriente estaacuten rela-cionadas mediante De este modo debemos expresar
el diferencial de superficie dS (para la superficie lateral del cilindro) en coordenadas ciliacutendricas
Por lo tanto la corriente eleacutectrica se calcula por medio de la siguiente integral
Como puede notarse la corriente depende tanto de su direccioacuten en la que viaja como de la geometriacutea del conductor por el cual circula Esto se manifiesta dado que para un conductor ciliacutendrico tenemos otro diferencial de superficie dado por sin embargo
Asiacute que esa contribucioacuten a la corriente eleacutectrica es nula
1) Sea en el vaciacuteo Obtener
a) direccioacuten de propagacioacuten
b) longitud de onda
c) frecuencia
d) vector campo magneacutetico
Solucioacuten
Dado que entonces y la direccioacuten de propagacioacuten de la onda es en +x
b) como entonces
c) dado que asiacute
d)
Problemas resueltos de ondas electromagneacuteticas
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Principios de oacuteptica y fiacutesica moderna
2) El campo eleacutectrico estaacute dado por
Obtener el campo magneacutetico
Solucioacuten
Como se habiacutea establecido antes
Asiacute
Con lo que queda de manifiesto la transversalidad de los campos electro-magneacuteticos con respecto a la direccioacuten de propagacioacuten de la onda y la va-lidez de la regla de la mano derecha esto para determinar la direccioacuten de un vector conociendo las direcciones de los otros dos
3) Una onda plana se propaga en el vaciacuteo de modo tal que la amplitud del campo eleacutectrico es de 240Vm y oscila en la direccioacuten z Ademaacutes sabemos que la onda EM se propaga en la direccioacuten +x y que Con estos datos calcular a) la frecuencia de oscilacioacuten f b) el periodo c) la longitud de onda d) la magnitud del campo magneacutetico y e) la di-reccioacuten de oscilacioacuten de este campo
Solucioacuten
a)
b)
c)
d)
e) Por la regla de la mano derecha la direccioacuten de oscilacioacuten de B es ndashj
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1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagneacuteticas11 Ondas electromagneacuteticas y la velocidad de la luz en el vaciacuteo
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1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagneacuteticas11 Ondas electromagneacuteticas y la velocidad de la luz en el vaciacuteo
CUADROS
Cuadro 11 Las ecuaciones de Maxwell en forma integral para los campos eleacutectricos y magneacuteticos
Cuadro 13 Ecuaciones de onda para E y B en el espacio vaciacuteo
Cuadro 12 Las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial para los campos eleacutectricos y magneacuteticos
Cuadro 14 Funciones de onda para los campos eleacutectricos y magneacuteticos
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12 Espectro electromagneacutetico
121 Naturaleza de la luz y las ondas electromagneacuteticas (OEM)
Dado que la onda viaja en el vaciacuteo su velocidad es la de la luz (c = 3x108ms) y como es usual para cualquier onda la velocidad de propagacioacuten c la longitud de onda y la frecuencia se relacionan mediante
De aquiacute es evidente que frecuencia y longitud de onda son inversamente proporcionales a mayor frecuencia me-nor longitud de onda Este hecho es fundamental para comprender por queacute algunas radiaciones electromagneacuteti-cas son maacutes penetrantes que otras Por ejemplo un ope-rario de un equipo de rayos X debe protegerse de la radia-cioacuten usando capas de plomo en tanto que para evitar que la luz visible entre en una habitacioacuten basta con cerrar las persianas
La representacioacuten graacutefica de las distintas radiaciones electromagneacuteticas de acuerdo con su longitud de onda o frecuencia recibe el nombre de espectro electromagneacuteti-co Este diagrama presenta la totalidad de las radiaciones electromagneacuteticas desde ondas con longitud de onda ex-tremadamente muy corta (rayos rayos X) corta (ultra-violeta (UV)) de rango intermedio (visible (VIS) infrarrojo (IR) microondas) hasta muy grandes (ondas de radio)
Por cierto la uacutenica regioacuten del espectro electromagneacute-tico a la cual es sensible el ojo humano es el rango visi-ble (f~1015Hz) La exposicioacuten prolongada a la radiacioacuten UV (f~1016Hz) en cambio tiene efectos potencialmente dantildei-nos por ejemplo provocar caacutencer en la piel La radiacioacuten IR (f~1013Hz) tiene muacuteltiples aplicaciones entre las que podemos mencionar su uso en sensores para detectar la presencia de seres vivos en condiciones de oscuridad ex-trema asiacute como sensores para abrir o cerrar las llaves de agua las microondas (f~1011Hz) se usan para cocinar ali-mentos o para comunicaciones por medio del radar final-mente las ondas de radio (f~107Hz) se utilizan ampliamen-te en la telefoniacutea asiacute como en la transmisioacuten de sentildeales de audio
1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagneacuteticas12 Espectro electromagneacutetico
Longitud de onda (λ)Es la distancia entre nodos o crestas sucesivas en una onda
Espectro electromagneacuteticoEs una representacioacuten graacutefica que permite ordenar las distintas radia-ciones electromagneacuteticas de acuerdo con su longitud de onda o frecuencia
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Los rayos X son ampliamente utilizados para llevar a cabo tanto estudios meacutedicos (radiografiacuteas) como investigacioacuten para caracterizar materiales (difrac-cioacuten de rayos X) o para realizar rutinarias revisiones de seguridad en aeropuertos y puertos comerciales
Figura 11 El espectro electromagneacutetico Se muestra la comparacioacuten con diversos objetos para apreciar el tamantildeo relativo de las ondas electromagneacuteticas
Cabe mencionar que como lo veremos maacutes adelante la energiacutea de la radiacioacuten electromagneacutetica es directamente proporcional a la frecuencia de la radia-cioacuten asiacute que otra forma de ordenar las distintas radiaciones es en base a su energiacutea tal y como se muestra en la escala inferior de la figura 11
1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagneacuteticas12 Espectro electromagneacutetico
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Problemas resueltos
1) Dos radiaciones electromagneacuteticas (REM) se propagan en el va-ciacuteo iquestCuaacutel de ellas es maacutes energeacutetica si 1=10-8m o f2=1x1012Hz
Para saber cuaacutel de las dos REM es maacutes energeacutetica debemos conver-tir la longitud de onda 1 en frecuencia Por lo tanto de acuerdo con la velocidad de propagacioacuten de la onda en el vaciacuteo obtenemos
Puesto que f1gtf2 y como la energiacutea es directamente proporcional a la frecuencia concluimos que E1gtE2
2) Una REM propagaacutendose en el vaciacuteo posee una frecuencia de 1010Hz Asiacute su longitud de onda es maacutes comparable con el tamantildeo de a) un sacapuntas escolar b) un auto c) una bacteria d) un campo de fuacutetbol
Para poder hacer una comparacioacuten debemos convertir la frecuencia en longitud de onda
Dado que
Entonces la longitud de onda es del orden de a) un sacapuntas es-colar
3) En un laboratorio se desea estudiar la estructura cristalina de un semiconductor Puesto que el espaciamiento entre aacutetomos es del orden de 10-10m entonces la REM apropiada para llevar a cabo este estudio es a) UV b) VIS c) Ondas de radio d) Rayos X
Dado que el espaciamiento promedio entre aacutetomos es 10-10m la REM que puede ser de utilidad para estudiar la estructura cristalina debe tener una longitud de onda similar Revisando la figura 11 encon-tramos que la radiacioacuten electromagneacutetica apropiada son los rayos X (inciso d)) De hecho la difraccioacuten de rayos X es una de las teacutecnicas maacutes exitosas para estudiar la estructura de los soacutelidos cristalinos
4) iquestCuaacutel REM podriacutea utilizarse para detectar a los virus de la influen-za a) UV b) VIS c) Ondas de radio d) Rayos X
Con el mismo razonamiento empleado en la pregunta anterior y de acuerdo con la figura 11 la radiacioacuten apropiada es la UV (inciso a))
1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagneacuteticas12 Espectro electromagneacutetico
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13 Energiacutea almacenada en las ondas electromagneacuteticas
Como se hizo patente el campo electromagneacutetico se pro-paga como una onda transversal en el vaciacuteo a la velocidad de la luz Por otro lado sabemos que las ondas mecaacutenicas transportan energiacutea dado que por ejemplo las ondas siacutes-micas producen derrumbes en edificios y casas Depen-diendo de la amplitud de oscilacioacuten los dantildeos provocados se incrementan de acuerdo con esa caracteriacutestica ondu-latoria Sin embargo con respecto a la luz mediante ex-perimentos de absorcioacuten es como notamos que las ondas electromagneacuteticas transportan energiacutea por ejemplo con-sidera una superficie metaacutelica con una mitad negra y la otra blanca libre de rotar con respecto a un eje vertical que pasa por su parte media la parte blanca refleja la radiacioacuten incidente mientras que la parte oscura la absorbe dando
como resultado un par de fuerzas que hace girar a la su-perficie de metal
Asiacute el objetivo de esta seccioacuten es calcular la energiacutea que portan los campos electromagneacuteticos que se propagan en el vaciacuteo Para tal efecto tomemos el producto escalar de con la Ley de Faraday y el correspondiente pro-ducto escalar de E con la Ley de Ampere-Maxwell en el espacio vaciacuteo (esto es en ausencia de densidades super-ficiales de corriente)
Restando se obtiene
1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagneacuteticas13 Energiacutea almacenada en las ondas electromagneacuteticas
Ec (132)
Onda transversalEs una onda en la cual la perturba-cioacuten es perpendicular a la direccioacuten de propagacioacuten de la misma
GLOSARIO
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Principios de oacuteptica y fiacutesica moderna
Pero usando una tabla de identidades vectoriales podemos ver que
Asiacute que la ecuacioacuten (132) se transforma en
O sea
Definiendo el vector de Poynting S y las densidades de energiacutea del cam-po eleacutectrico y magneacutetico uE uB como
Entonces el Teorema de Poynting puede expresarse como
Claramente el segundo teacutermino de esta ecuacioacuten tiene unidades de Wm3 por lo que el vector de Poynting se expresa en Wm2 (esta cantidad fiacutesica se denomina la irradiancia) Ahora iquestcuaacutel es el significado fiacutesico del teorema anterior Para esclarecer un poco este punto consideremos una vez maacutes el Teorema de la divergencia de Gauss
1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagneacuteticas13 Energiacutea almacenada en las ondas electromagneacuteticas
Ec (133)
Ec (132)
Ec (136)
Ec (131)
Ec (134)
Ec (135)
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Analizando la ecuacioacuten anterior notamos que la integral de superficie representa el flujo de S a traveacutes de una su-perficie cerrada Por lo tanto si el flujo neto se dirige hacia fuera la ecuacioacuten (136) indica la tasa a la cual la energiacutea abandona la regioacuten de volumen V en caso contrario el flujo neto es igual a la tasa a la cual la energiacutea ingresa al volumen V En consecuencia de acuerdo con esta inter-pretacioacuten S describe el transporte de energiacutea a traveacutes del espacio mientras la onda se propaga
Finalmente recordemos que la energiacutea de la radiacioacuten EM es sumamente importante para la vida en la Tierra ya que gran parte de los procesos bioloacutegicos son alimentados por la energiacutea proveniente del sol De hecho puesto que los campos electromagneacuteticos portan energiacutea al interaccionar
y entrar en resonancia con las moleacuteculas que conforman a la materia orgaacutenica ellos realizan cambios en la composi-cioacuten quiacutemica de la misma
Como tema de investigacioacuten de este capiacutetulo debes investigar cuaacuteles son los principios baacutesicos que permiten operar al horno de microondas y coacutemo se logra preparar o calentar alimentos dentro de eacutel
1) Un campo eleacutectrico oscila en el vaciacuteo de acuerdo con v
Calcular la densidad de energiacutea en el campo eleacutectrico
Solucioacuten
1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagneacuteticas13 Energiacutea almacenada en las ondas electromagneacuteticas
En esta liga observamos una anima-cioacuten que muestra la representacioacuten graacutefica del Teorema de Poynting
Teorema de Poynting
RECURSOS
Problemas resueltos sobre la energiacutea almacenada en los campos electromagneacuteticos
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Principios de oacuteptica y fiacutesica moderna
14 Superposicioacuten de ondas electromagneacuteticas
141 Interferencia constructiva y destructiva
Dos piedras caen a cierta distancia en un es-tanque de agua en reposo iquesthas notado que se forman ondulaciones en la superficie del agua y que eacutestas viajan hasta encontrarse iquestqueacute pasa entonces o cuando saltas en la superficie de un brincoliacuten iquestpor queacute a veces logras subir muy alto y en otras ocasiones no
En muchas situaciones fiacutesicas de intereacutes es necesario combinar varias ondas viajeras de caracteriacutesticas conocidas para describir ondas de naturaleza maacutes compleja A dicho proceso se le conoce como ldquosuperposicioacuten de ondasrdquo Por supuesto la funcioacuten de onda resultante es igual a la suma algebraica de las funciones de onda de las ondas originales
Asiacute en principio es posible que durante el proceso de superposicioacuten la onda resultante tenga en el mejor de los casos una amplitud igual al doble de la amplitud de las ondas originales o bien una amplitud nula Al pri-mer caso se le denomina ldquointerferenciardquo 100 ldquoconstructivardquo y al segundo ldquointerferencia destructivardquo A continuacioacuten analizaremos diversos casos de intereacutes donde se ponen de relieve las diversas teacutecnicas matemaacuteticas em-pleadas para obtener la resultante de una superposicioacuten de ondas
Figura 12 Ondulaciones en la superficie del agua
142 Interferencia de ondas viajeras con fases diferentes
Sean dos campos eleacutectricos con las mismas caracteriacutesticas ondulatorias (amplitud frecuencia longitud de onda) pero con fase diferente y movieacuten-dose ambos hacia la derecha Las ondas componentes pueden expresarse como
La onda resultante es la suma algebraica de E1 y E2
1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagneacuteticas14 Superposicioacuten de ondas electromagneacuteticas
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Principios de oacuteptica y fiacutesica moderna
Definiendo la diferencia de fase entonces lo anterior se puede compactar
Definiendo la amplitud de la onda resultante como
Obtenemos
Dependiendo de la fase podemos obtener los casos de interferencia constructiva y destructiva Como puede ver-se la interferencia constructiva se logra si
En tanto que la interferencia destructiva estaacute dada por
1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagneacuteticas14 Superposicioacuten de ondas electromagneacuteticas
Interferencia constructivaCaso de superposicioacuten de ondas donde las ondas que se superponen estaacuten completamente en fase
Interferencia destructivaCaso de superposicioacuten de ondas donde las ondas que se superponen estaacuten completamente fuera de fase
GLOSARIO
RECURSOS
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En esta liga encontraraacutes simulacio-nes para visualizar la superposicioacuten de ondas con fase diferente y sus principales caracteriacutesticas
Simulaciones ndash Superposicioacuten de ondas
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Principios de oacuteptica y fiacutesica moderna
143 Ondas estacionarias
Sean dos campos eleacutectricos propagaacutendose en direcciones opuestas
Superponiendo estas dos ondas
Obtenemos
Y definiendo la amplitud A(x)=2E0sinkx llegamos a
Esta es una onda estacionaria como en el caso de las ondas mecaacutenicas en las cuerdas de una guitarra fijas en ambos extremos De hecho se puede hacer la caracteriza-cioacuten usual de nodos (ceros de la funcioacuten A(x)) y antinodos (maacuteximos de A(x)) como en la fiacutesica de las ondas sonoras Asiacute podemos establecer que
La posicioacuten de los antinodos puede obtenerse mediante los maacuteximos de la funcioacuten A(x)
Antinodo si
De la misma manera los nodos corresponden a puntos miacutenimos de la funcioacuten A(x)
Nodo si
1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagneacuteticas14 Superposicioacuten de ondas electromagneacuteticas
Coacutedigos en MATLAB para visualizar la superposicioacuten de ondas
RECURSOS
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Principios de oacuteptica y fiacutesica moderna
Actividad integradora (Parte I)Instrucciones Resuelve los siguientes problemas
1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagneacuteticas
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