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I.E.S LA ARBOLEDA (LEPE) DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

SOLUCIONESExamen de Matemáticas I (1º Bachillerato)

UNIDAD 10: INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES.

Notas: 1) El examen ha de hacerse limpio, ordenado y sin faltas de ortografía.2) El examen ha de realizarse en bolígrafo, evitando tachones en la medida de lo posible.3) Debe aparecer todas las operaciones, no vale con indicar el resultado.4) Los problemas deben contener: Datos, Planteamiento y Resolución, respondiendo a lo que se pregunte, no vale con indicar un número como solución del problema.

1. Realiza las siguientes derivadas y simplifica el resultado todo lo que sea posible. (2p)

a f x=2x−3 3 ·3x−12

b f x =x3−1x31

c f x =2· 8 x4−1d f x =ln1x22·arctgx

Solución:

a f 'x =6· 2x−32 · 3x−1· 5x−4

b f ' x = 6x 2

x312

c f 'x = x3

8x4−17=

x3 · 8 x 4−1x4−1

d f ' x =2x21x 2

2. Realiza las siguientes derivadas y simplifica el resultado todo lo que sea posible. (3p)

a f x=x3 · exx2 ·ex

c f x = senx1cosx

d f x =lnxx2−1e f x=x− 1−x2

2

Solución:

a f 'x =ex · x34x 22x

b f ' x = 11cosx

c f 'x = 1xx2−1

·1 2xx 2−1

= 1x 2−1

=x2−1x2−1

d f ' x =2 · x−1−x2 · 1 2x1−x 2

=4x2−21−x2

3. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f(x) = 3x2 + x −1 en el punto de abcisa x=1. Realiza la representación gráfica de la función y de la recta tangente en dicho punto. (1.5p)

Solución:

Cálculo de la ecuación de la recta tangente1) Función derivada

f '(x) = 6x + 1

2) Evaluamos la derivada en el punto, que será la pendiente de la recta tangente.

x0 = 1m = f '(1) = 6·1+1=7

3) Averiguamos la coordenada y del punto.

y0 = f (x0) = f (1) = 3

4) La ecuación punto-pendiente de la recta tangente vendrá dada por:

y - y0 = m · (x - x0)y – 3 = 7 · ( x – 1)y = 7x - 4

Representación gráfica de la función y de la recta tangente.

4. Halla los puntos donde la recta tangente a la función f(x) = x3 − 6x2 − 15 es paralela al eje OX y di si son máximos o mínimos. (1.5p)

Solución:

Antes de comenzar debemos leer el enunciado y recordar que:– El eje OX tiene pendiente igual a 0 y– Todas las rectas paralelas tienen la misma pendiente.

De lo anterior, podemos deducir que: los puntos buscados son aquellos en los que la recta tangente tiene pendiente 0, o lo que es lo mismo, los puntos en los que la derivada primera vale 0 ( f '(x) = 0)

Cálculo de los puntos cuya recta tangente es paralela al eje OX

1) Función derivadaf '(x) = 3x2 − 12x

2) Resolvemos la ecuación f ' (x) = 0 f '(x) = 03x2 − 12x = 0 → 3x · (x – 4) = 0 → (x = 0) o (x – 4 = 0) → (x = 0) o (x = 4)

3) De entre los valores obtenidos, calculamos sus coordenadas y correspondientes y, vemos, cual de ellas es mayor que la otra. De este modo, este punto será el máximo y otro el mínimo.

y0 = f (0) = - 15 y1 = f (4) = - 47

4) Máximos y mínimos.

Como y0 > y1

– Máximo (0, -15)– Máximo (4, -47)

Veámoslo gráficamente.

5. Calcula el punto de corte de las tangentes a las funciones g(x) = e2x y f(x) = ln(x + 1) en x = 0. (2p)

Solución:

( ) ( )( )

( ) ( )2' 2e ' 0 2

1 2 0 1 2 es la recta tangente a en 00 1

= → = → = + − → = + ==

xg x gy x y x g x x

g

( ) ( )( )

( )1' ' 0 1

1 0 es la recta tangente a en 0.0 1 0

f x fx y x y x f x x

f ln

= → = + → = + → = == =

Resolvemos el sistema:

1 21 2 1 1

y xx x x y

y x= +

→ = + → = − → = −=

Las dos rectas tangentes se cortan en el punto (−1, −1).



UNIDAD 9: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS.


1. Dada la siguiente gráfica de f(x), calcula los límites que se indican: (1p)

46

8

2

6 82− 4 − 2− 8 − 6− 2

− 4

− 6

4

Y

X

( )xflim x + ∞→

a)

( )xflimx − ∞→

b)

( )xflimx −→ 2

c)

( )xflimx +→ 2

d)

( )xflimx 0

e)→

Solución:

( ) − ∞=+ ∞→

xflimx

a)

( ) + ∞=− ∞→

xflimx

b)

( ) 2 c)2

=−→xflim

x

( ) 4 d)2

=+→xflim

x

( ) 0 e)0

=→

xflimx

2. Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x = 0: (1p)

xxxlim

x 212

20 ++

→

¿Qué significado tiene el límite anterior? Justifica tu respuesta.

Solución:

( )212

212

020 ++=

++

→→ xxxlim

xxxlim

xx

Calculamos los límites laterales:

+ ∞=+

+− ∞=+

++− →→ xx

xlimxx

xlimxx 2

12212

2020

3. Resuelve el siguiente límite e interprétalo gráficamente. (1.25p)

618122

2

2

3 −+++

−→ xxxxlim

x

Solución:

( )( ) ( )

( )( ) 0

232

2332

618122

3

2

32

2

3=

−+=

−++=

−+++

−→−→−→ xxlim

xxxlim

xxxxlim

xxx

− 3

4. Halla las asíntotas verticales de la siguiente función y sitúa la curva respecto a ellas: (1p)

( )112

2 −+=

xxxf

Solución:

2 1 0 1 ; 1.x x x• − = ⇒ = − =

Las asíntotas verticales son x = −1 y x = 1.

• Posición de la curva respecto a ellas:

( ) ( ) + ∞=−+− ∞=

+−+

+− −→−→ 112

1112

211 xxlim

xxxlim

xx

+ ∞=−+− ∞=

−+

+− →→ 112

112

2121 xxlim

xxlim

xx

1− 1

5. (1p)

los representa yfunciones siguientes las decuando infinitas, ramas las Halla ,x − ∞→

resultados que obtengas:

( ) ( ) 31a) −= xxf

( ) xxxf −= 2b)

Solución:

( ) − ∞=−− ∞→

31a) xlimx

( ) + ∞=−− ∞→

xxlimx

2b)

6. (1p)( ) :xf de gráfica la Dada

46

8

2

6 82 4− 4 − 2− 8 − 6− 2− 4− 6

Y

X

a) ¿Es continua en x = 1? ¿Por qué?b) ¿Y en x = 2? ¿Por qué?Si no es continua en alguno de los puntos, indica cuál es la razón de la discontinuidad e indica su nombre. Justifica tu respuesta.Solución:a) Sí es continua en x = 1.

b) No, en x = 2 es discontinua porque no está definida en ese punto. Como sí tiene límite en ese punto, es una discontinuidad evitable.

7. (1p)

yfunción siguiente la decuando ycuando infinitas, ramas las Halla ,x x − ∞→+ ∞→representa los resultados que obtengas. ¿Qué puedes afirmar acerca de las asíntotas según los resultados obtenidos?

( )112

2

2

++=

xxxf

Solución:

2112

2112

2

2

2

2

=++

=++

− ∞→

+ ∞→

xxlim

xxlim

x

x

2

Con calculadora podemos comprobar que:

( )Dando valores muy grandes y positivos , la curva va por debajo de lax• → + ∞

asíntota y = 2.( )Dando valores muy grandes y negativos , la curva va por debajo de lax• → − ∞

asíntota y = 2.

8. Indica razonadamente si existe algún valor a para el cual la función (1.25p)

( )1 si 1

1 si 1

xf x x

a x

≠= − =

sea continua en x = 1.

Solución:

f (x) será continua en x = 1 si se cumple lo siguiente:

1. Existe f (1) = a( ) ( )

1 1

12. Existe 1x x

lim f x lim f x limx→ →

= =−

( ) ( )1

3. 1xlim f x f a

→= =

( )1

En este caso, no existe . Por tanto, no existe ningún valor que haga quexlim f x a

→

f (x) sea continua.

9. Los gastos mensuales de una familia en alimentación y ropa dependen de sus ingresos x. Así: (1.5p)

( )0,5 si 0 12001000 si 1200

300

x k xf x x x

x

+ ≤ ≤= > +

con x y f (x) dados en euros.

a) Calcula el valor de k para que los gastos sean continuos.

b) Calcula el límite de f (x) cuando x → +∞ y explica su significado.

Solución:

a) Para que los gastos sean continuos, f (x) ha de ser continua en x = 1 200, puesto que para el resto de valores tenemos asegurada la continuidad:

y = 0,5x + k es una función lineal → continua en el dominio dado 0 ≤ x = 1 200.

1000 es una función de proporcionalidad inversa, continua en el dominio300

dado 1200.

xyxx

=+

>

Imponemos la continuidad en x = 1 200 para calcular k :

( )( ) ( )

( )( ) ( )−

− +

+

→→

→ →

→→

= + + = += + = + → = → + = → =

= = +

1 2001 200

1 200 1 200

1 2001 200

1200 0,5 1200 6000,5 600

600 800 2001000 800

300

xx

x x

xx

f k klim f x lim f x k k

lim f x lim f x k kxlim f x lim

x

( )b) 1000 1000300xx

xlim f x limx→ + ∞→ + ∞

= =+

Los gastos mensuales de una familia, por muchos ingresos que tenga, son como máximo: 1 000 euros.


SOLUCIONESExamen de Matemáticas I (1º Bachillerato)UNIDAD 8: FUNCIONES ELEMENTALES.


1. Sea f la función definida mediante la ecuación: f x =x−1 (1p)a) Calcula f(1), f(5) y f(-1) c) Halla la anti-imagen de y=5d) ¿Cúal es el dominio de f?

Solución:

a) f(1) = 0f(5) = 2 f(-1) No, existe porque habría que calcular la raíz cuadrada de un número negativo, -2.

b) 5= x−1 52= x−12 25=x−1 x=26

c) Dom(f)=[1,+∞)

2.Halla el dominio de las funciones siguientes: (1p)

a) y= x1−x

b) y= 2x

x2−4

Solución:

a)( )b) 0 0 Dominio , 0x x− > ⇒ < → = − ∞

b) x2- 4 = 0 → x = 2 ó x = -2 → Dominio = R \ {-2,2}

3. Observando las gráficas, indica: (1.5p)- Dominio - Recorrido - Puntos de cortes con los ejes - Acotación, de estas funciones.

a) b)

Solución:

{ } { }a) Dominio 2 ; Recorrido 1= − − = −¡ ¡

Puntos de corte con los ejes: (-3,0) y (0,3/2)Aotación: No está acotada.

( ] [ )b) Dominio ,3 ; Recorrido 0,= − ∞ = + ∞

Puntos de corte con los ejes: (3,0) y (0,2)Aotación: Acotada superiormente por y=3 – Acotada inferiormente por y=0

4. Representa gráficamente la siguiente función: (2p)

( ) xxxf 42 2 +−=e indica:

a) Dominiob) Recorridoc) Máximos y mínimosd) Puntos de corte con los ejese) Simetría (Par, impar o ninguna)f) Crecimiento y decrecimiento.

Solución:

Representación gráfica.− El vértice de la parábola es:

( )2,1 Punto2144

2→=→=

−−=−= y

abx

− Elaboramos tabla de valores, tomando el vértice como centro de la misma. Cogemos dos puntos por debajo de él y dos puntos por arriba.

x -1 0 1 2 3 y -6 0 2 0 -6

− Ya tenemos información suficiente para pintar la gráfica:

Estudio de las características de la función

a) Dom(f)=[1,+∞)

b) Rec(f)=(-∞,2]

c) Máximo: Punto (1,2) - Mínimo: No tiene.

d) Puntos de corte con los ejes: Con el eje OX. y = 0 → −2x 2 + 4x = 0 → x(−2x + 4) = 0 → (x=0) o (-2x+4=0) → (x=0) o (x=2) → Punto (0,0) y Punto (2,0)

Con el eje OY x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0)

e) Simetría: No presenta simetría par (porque f(x) no es igual a f(-x)) ni simetría impar (porque f(x) no es igual a – f(–x)) .

f) Crecimiento y decrecimientoCrece en el intervalo (-∞,1)Decrece en el intervalo (1,+-∞)

5. (1p)( ) ( ) ,− += = +23 2Dadas las funciones y 1 halla :

4xf x g x x

( ) ( )xgf a)( ) ( )xgg b)

Solución:

( ) ( ) ( )[ ] [ ] ( )4

134

2334

2131a)222

2 −−=+−−=++−=+== xxxxfxgfxgf

( ) ( ) ( )[ ] [ ] ( ) 22112111 2424222b) ++=+++=++=+== xxxxxxgxggxgg

6. Obtén la función inversa de: (1p)

f x = 2−3x4 y comprueba que al componer a derecha e izquierda con f, da la función identidad.

Solución:

Cambiamos x por y y despejamos la y :

342423324

432 xyxyyxyx −=⇒−=⇒−=⇒−=

Por tanto:( )

3421 xxf −=−

Se prueba fácilmente que f compuesta con f-1 es igual a x y que f-1 compuesta con f también es igual a x.

7. Dadas las funciones: (2.5p)

f x = xx−4 y gx =x 2

Obtén:

a) (f + g)(x)b) (f · g) (x)c) (f / g) (x)d) El dominio de cada una de las funciones obtenidas en a), b) y c) d) Calcula (f · g)(4) y (f/g)(1)

Solución:

a) fgx =f xg x = xx−4x 2= x3−4x2x

x−4

b) f ·gx=f x · g x= xx−4 · x2= x3

x−4

c) f /g x= f xg x=

xx−4 : x2=

xx2 · x−4

d)El dominio de la función obtenida en a) → Dominio = R \ {4}El dominio de la función obtenida en b) → Dominio = R \ {4}El dominio de la función obtenida en c) → Dominio = R \ {0,4}

e) Calcula (f · g)(4) → No se puede calcular porque x=4 no pertenece al dominio de la función f·g(f/g)(1) = - 1/ 3



RECUPERACIÓN 2ª EVALUACIÓN


1. Demuestra que: tg (45º + α) - tg (45º - α) = 2 tg 2α (1p)

Solución:

Desarrollamos el primer miembro:

tg 45ºα= tg 45ºtg α1−tg 45º tg α=

1tg α1−tg α

tg 45º−α= tg 45º−tg α1tg 45º tg α

=1−tg α1tg α

Realizamos la resta, reduciendo previamente a común denominador. Posteriormente, simplificamos y queda:

4 tg α1−tg2α

=2 2 tgα1− tg2α

=2 tg 2α

Que es igual al segundo miembro.

2. Simplifica la siguiente expresión y, posteriormente, calcula su valor para x= π/4 (1p)

Solución:

Desarrollamos numerador y denominador, transformando sumas en productos. Así queda,

2sen 5x3x2 ·cos 5x−3x

2

2cos 5x3x2 ·cos 5x−3x

2

=2 sen 4xcos 4x

=2 tg 4x

Si x= π/4 → 2·tg (4·π/4) = 2 tg π = 2 · 0 = 0

3. Resuelve el siguiente sistema dando las soluciones correspondientes al primer cuadrante, en radianes. (1.5p)

Solución:

De la segunda ecuación obtenemos que:

2· cos xy2

· sen x−y2

=12

Como:

xy=120º 2cos60ºsen x−y2

=122· 1

2sen x−y

2= 1

2 sen x−y

2= 1

2

x−y2

=30º x−y=60º

De este modo, obtenemos que:

{xy=120ºx−y=60º

Aplicando el método de reducción, obtenemos que:

Sumando ambas ecuaciones: 2x = 180º y por tanto, x = 90º e y = 30º

La solución buscada a la ecuación, en el primer cuadrante es: (90º,30º)

4. (1p)( ) ( ). 21, y3,

51 de lineal ncombinació com 170,vector el Escribe b) −

→→→

cba

Solución:

Tenemos que encontrar dos números, m y n, tales que:

:decir es ,→→→

⋅+⋅= cnbma

( ) ( )

( ) ( )

( )

+−=

−+

=

−⋅+

⋅=

nmnm

nnmm

nm

23,5

17,0

2,3,5

17,0

2,13,5117,0

1171721517

52317

50

23175

0=→=→+=

=

+=−=

+=

−=nnnn

mnnm

nm

nm

nm

55 == nm

Por tanto:5 1 , es decir:a b c

→ → →= ⋅ + ⋅

( ) ( )2,13,51517,0 −+

=

5. (1.5p)( ) ( )1Dados los vectores 2, 1 , , 2 y 1, 3 , calcula:

3u v w − − r r

a) u vr rg

( )b) 2 3u v w+r r r

g

( )c) u w ur r rg g

Solución:

( ) ( )1 1 2 4a) 2, 1 , 2 2 1 2 23 3 3 3

u v = − = ⋅ + − ⋅ = − = − r rg g

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1b) 2 3 2 2, 1 3 , 2 1, 3 4, 2 1, 6 1, 33

u v w + = − + − = − + − =

r r rg g g

( ) ( ) ( )5, 4 1, 3 5 1 4 3 5 12 7= − = ⋅ − + ⋅ = − + =g

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )c) 2, 1 1, 3 2, 1 2 1 1 · 3 2, 1 2 3 2, 1u w u = − − − = ⋅ − + − − = − − − =rr r

g g

= -5 · (2, -1)= (-10, 5)

6. Halla:a) la ecuación general y la ecuación punto-pendiente de la recta cuyas ecuaciones paramétricas son (1p):

{y=−32ty= 1− 3t

b) la ecuación explícita de la recta paralela a r, que pasa por el punto (0,1). (1p)

Solución:a) - Un vector director de r es (2,-3). Su pendiente, por tanto vale, m = -3/2

Un punto de ella es el (-3,1). Así la ecuación punto-pendiente queda: y - 1 = - 3/2 · (x + 3) - La ecuación general, por tanto, es 3x + 2y + 7 = 0 b) La paralela a ella tendrá la misma pendiente, esto es: m = -3/2Como debe pasar por el punto (0,1) entonces la ecuación punto-pendiente quedará: y - 1 = - 3/2 · (x – 0) y por tanto, la ecuación explícita: y = -3/2 · x + 1

7. Dadas las rectas de ecuaciones: r : 3x + y + 4 = 0 , s : y - 2 = 0 y t : 6x - 5y - 20 = 0, averigua si están situadas de modo que forman un triángulo. En caso afirmativo, halla las coordenadas de sus vértices.Finalmente, efectua una representación gráfica que muestre la situación de las tres rectas. (2p)

Solución:

Basta resolver los sistemas de ecuaciones (r,s), (r,t) y (s,t).De cada uno de ellos, la solución representará el punto de corte de las rectas implicadas obteniendose así que, efectivamente, determinan un triángulo.

Intersección r y s (-2,2)Intersección r y t (0,-4)Intersección s y t (5,2)



UNIDAD 7: GEOMETRÍA ANALÍTICA. PROBLEMAS AFINES Y MÉTRICOS.


1. a ) Halla la ecuación general de la recta de la figura: (0.5p)

y responde de manera razonada a las siguientes cuestiones:

b) ¿Su pendiente es positiva? ¿Cual es su valor? (0.5p)c) ¿ El punto de coordenadas (20,-9) pertenece a la recta? (0.5p)d) ¿Cúal es el valor de la ordenada en el origen de esta recta? (0.5p)

Solución:Según la figura la pendiente será y por tanto, la ecuación punto-pendiente vale: de donde se obtiene la ecuación general: a) 3x + 5y - 15 = 0b) No puede ser positiva porque la recta es decreciente. Vale -3/5c) Si pertenece a la recta porque verifica la ecuación. Veámoslo: 3·20 + 5·(-9) – 15 = 0d) La ordenada en el origen es el valor de la coordenada y del punto de intersección de la recta con el eje yo. En este caso, el punto de corte, es C = (0,3) y su coordenada y vale 3.

2. Halla:a) la ecuación general y la ecuación punto-pendiente de la recta cuyas ecuaciones paramétricas son (1p):

{y=−32ty= 1− 3t

b) la ecuación explícita de la recta paralela a r, que pasa por el punto (0,1). (1p)

Solución:a) - Un vector director de r es (2,-3). Su pendiente, por tanto vale, m = -3/2 Un punto de ella es el (-3,1). Así la ecuación punto-pendiente queda: y - 1 = - 3/2 · (x + 3) - La ecuación general, por tanto, es 3x + 2y + 7 = 0 b) La paralela a ella tendrá la misma pendiente, esto es: m = -3/2Como debe pasar por el punto (0,1) entonces la ecuación punto-pendiente quedará: y - 1 = - 3/2 · (x – 0) y por tanto, la ecuación explícita: y = -3/2 · x + 1

3. Dadas las rectas r ≡ 2x+3y-5=0 y s ≡ 4x-ky+h=0, indica cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas y cuales son falsas justificando, en cada caso, la respuesta. (2.5p) a)Secantes con k=-6 y h= 5

b)Secantes con k=-5 y h=-9

c)Paralelas con k=-6 y h cualquier valor forman un haz de rectas paralelas.

d)Coincidentes con k=-6 y h= -10

e)Paralelas si k=6 y h=10

Solución:

a) No son secantes. Son paralelas.

b) Sí. Se cortan en el punto (1,1)

c) Sí, porque son proporcionales los coeficientes de x e y, pero no son proporcionales las ecuaciones completas. Así que tenemos un haz de rectas paralelas.

d) Sí, porque las ecuaciones son proporcionales. e) No, porque las pendientes son distintas (Pendiente de r = 3/2 distinta de Pendiente de s = -6/4)

4. Halla las ecuaciones de los lados r, s y t del triángulo de la figura (1.5p)

Solución:Recta rLa recta que contiene al lado r pasa por los puntos (1,1) y (5,4). Un vector director de r es (4,3).Su pendiente es: m=3/4Ecuación: y-1=3/4(x-1) → 3x-4y+1=0Recta sLa recta del lado s es vertical y pasa por (5,1) → Ecuación: x=5 Recta tLa recta del lado t es horizontal y pasa por (1,1) → Ecuación: y=1

5. Dadas las rectas de ecuaciones: r : 3x + y + 4 = 0 , s : y - 2 = 0 y t : 6x - 5y - 20 = 0, averigua si están situadas de modo que forman un triángulo. En caso afirmativo, halla las coordenadas de sus vértices.Finalmente, efectua una representación gráfica que muestre la situación de las tres rectas. (2p)

Solución:

Basta resolver los sistemas de ecuaciones (r,s), (r,t) y (s,t).De cada uno de ellos, la solución representará el punto de corte de las rectas implicadas obteniendose así que, efectivamente, determinan un triángulo.

Intersección r y s (-2,2)Intersección r y t (0,-4)Intersección s y t (5,2)



UNIDAD 6: VECTORES


1. (2p)a) A la vista de la siguiente figura, dibuja los vectores:

→→→→→→−++− vu;vu;vu 2

212

( ) :de scoordenada las obtén ,22, y2,43vectores los Dados b) −

− →→

ba

→→→→→→+−+−− ba;ba;ba 42

21

Solución:a)

( ) ( )

−=−−

−=−−

−=−

→→3,

471,12,

432,2

212,

43

21 b) ba

( ) ( )

−=−+

−=−+

−−=+−

→→6,

272,24,

232,22,

4322 ba

( ) ( ) ( ) ( )10,52,28,32,22,4344 −=−+−=−+

−−=+−

→→ba

2. (1p)( ) ( ). 21, y3,

51 de lineal ncombinació com 170,vector el Escribe b) −

→→→

cba

Solución:

Tenemos que encontrar dos números, m y n, tales que:

:decir es ,→→→

⋅+⋅= cnbma

( ) ( )

( ) ( )

( )

+−=

−+

=

−⋅+

⋅=

nmnm

nnmm

nm

23,5

17,0

2,3,5

17,0

2,13,5117,0

1171721517

52317

50

23175

0=→=→+=

=

+=−=

+=

−=nnnn

mnnm

nm

nm

nm

55 == nm

Por tanto:5 1 , es decir:a b c

→ → →= ⋅ + ⋅

( ) ( )2,13,51517,0 −+

=

3. (1.5p)( ) ( )1Dados los vectores 2, 1 , , 2 y 1, 3 , calcula:

3u v w − − r r

a) u vr rg

( )b) 2 3u v w+r r r

g

( )c) u w ur r rg g

Solución:

( ) ( )1 1 2 4a) 2, 1 , 2 2 1 2 23 3 3 3

u v = − = ⋅ + − ⋅ = − = − r rg g

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1b) 2 3 2 2, 1 3 , 2 1, 3 4, 2 1, 6 1, 33

u v w + = − + − = − + − =

r r rg g g

( ) ( ) ( )5, 4 1, 3 5 1 4 3 5 12 7= − = ⋅ − + ⋅ = − + =g

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )c) 2, 1 1, 3 2, 1 2 1 1 · 3 2, 1 2 3 2, 1u w u = − − − = ⋅ − + − − = − − − =rr r

g g

= -5 · (2, -1)= (-10, 5)

4. (1.5p)( ) 5Si 2, 4 e 3, . Calcula:

2x y − r r

a) Un vector unitario con la misma dirección y el mismo sentido que .xr

b) El ángulo formado por e .x yr r

Solución:

a) Hallamos el módulo de :xr

( ) 222 4 4 16 20 2 5x = + − = + = =r

El vector unitario con la misma dirección y sentido que será:xr

2 4 1 2, ,2 5 2 5 5 5

− −=

·( )( ) 52, 4 3,

6 10 4 42b) , 0,2325 61 2 5 61 3052 5 9 2 54 4 2

x ycos x yx y

− − − − = = = = = ≈ −⋅ ⋅⋅ + ⋅

gr rr r gr r

·( )Luego , 103,24 .x y ≈ °r r

5. Sabiendo que: | | = 4, | | = 2 y ^ = 150º, calcula: (1.5p) a) · (2 )b) · (-3 )c) (- ) · (-2 )

Nota: Para ver el ángulo que forman los vectores, ayúdate de un dibujo, utilizando el papel cuadriculado que se te ha proporcionado.

6. Obten dos vectores perpendiculares unitarios para cada uno de los siguientes vectores: (1p)= (-3,-1) = (0,-3)

7. Dadas las siguientes parejas de vectores,

= (3,0) y = (0,-2) = (5,3) y = (-5,-3)

a) Calcula el ángulo que forman los vectores de cada pareja. (1p)b) ¿Observas alguna relación especial en cada una de las parejas? ¿Cuál? Razona tu respuesta. (0.5p)



UNIDAD 4: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Fecha: 15/12/2009


1. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 4,8 cm y el ángulo opuesto a este cateto mide 54º. Halla la medida del resto de los lados y de los ángulos del triángulo. (1.25p)

Solución:Como el triángulo es rectángulo, los ángulos son:

90

36549090

=

=−=−=

C

BA

Hallamos los lados:

cm 93554848454 ,

sen,c

c,sen

cbBsen ==→=→=

cm 49354848454 ,

tg,a

a,tg

abBtg ==→=→=

Por tanto:

90ˆ cm; 93,554ˆ cm; 8,4

36ˆ cm; 49,3

====

==

CcBbAa

2. Un mástil de 5 metros se ha sujetado al suelo con un cable como muestra la figura: (1.5p)

Halla el valor de c y la longitud del cable.

Solución:

m 77560

5560 ,sen

aa

sen ==→=

m 892605560 ,

tgx

xtg ==→=

Por otra parte, si consideramos el otro triángulo:

m 78740

5540 ,sen

bb

sen ==→=

m 965405540 ,

tgy

ytg ==→=

Por tanto:

La longitud del cable es a + b = 5,77 + 7,78 = 13,55 metros.El valor de c es x + y = 2,89 + 5,96 = 8,85 metros.

3. Sabiendo que sen 25º = 0,42, cos 25º = 0,91 y tag 25º = 0,47, halla: sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora, las razones trigonométricas de 155º y de 205º. Describe el proceso seguido, justificando así tu respuesta. (1p)

Solución:

:entonces ,25180205 y 25180155 Como +=−=

47025155

91025155

42025155

,tgtg

,coscos

,sensen

−=−=

−=−=

==

47025205

91025205

42025205

,tgtg

,coscos

,sensen

==

−=−=

−=−=

4. Halla los lados y los ángulos del triángulo: (1.25p)

Solución:

Hallamos el lado b con el teorema del coseno:

2 2 2

2 2 2

2

ˆ215 12 2 15 12 35225 144 294,89

b a c accosBb cosb

= + −= + − ⋅ ⋅ ⋅

= + −

o

cm 61811742 ,b,b =→=

Como conocemos los tres lados, la solución es única.

: ángulo el Hallamos C

6183512

3561812

,senCsen

sen,

CsenBsenb

Csenc

=→=→=

"26'4537990 =→= C,Csen

: ángulo el hallamos último, Por A

( ) "34'5591180 =+−= CBA

Por tanto:

"26'453ˆ cm; 1235ˆ cm; 61,8

"34'5591ˆ cm; 15

====

==

CcBbAa

5. Dos de los lados, a y b, de una finca de forma triangular miden 20 m y 15 m, respectivamente. El ángulo comprendido entre estos dos lados es de 70º.Si deseáramos vallar la finca, ¿cuántos metros de valla necesitaríamos? (1p)Si el metro lineal de valla cuesta 20 €, ¿tendremos suficiente con 1000 €? Razona tu respuesta. (0.5p)

Solución:

Hallamos el lado c aplicando el teorema del coseno:

Ccosabbac 2222 −+=

70600225400

1520215202

222

cosc

Ccosc

⋅−+=

⋅⋅⋅−+=

m 492079419

212052254002

2

,c,c

,c

=→=

−+=

Los metros de valla necesarios serían:

m 49,5549,201520 =++=++ cba

Con 1000 euros tendríamos para 1000 euros : 20 euros/m = 50 metros. Como nuestra finca tiene 55,49 m, no podremos vallarla de momento, hasta que no reunamos más dinero.

6. (1.5p)

°ˆa) En un triángulo se conoce 5 cm, 3 cm y 85 . ¿Cuántos triángulos hay con estos datos?

a b A= = =

°ˆb) Comprueba que no hay ningún triángulo que cumpla 5,8 cm, 5 cm y 110 .b c C= = =

Solución:a)

ˆCalculamos aplicando el teorema del seno:ˆ 3 85ˆ 0,5977ˆ ˆ 5

B

a b b sen A sensenBasen A senB

°= → = = ≈

ˆHay dos soluciones para :ˆ ˆ ˆ ˆ36 42' 24 '' y 143 17 ' 36 '' (esta no es válida pues 180 )

B

B B A B= ° = ° + > °

Por tanto, solo hay un triángulo con los datos dados.

b)

ˆCalculamos aplicando el teorema del seno:ˆ 5,8 110ˆ 1,09 1ˆ ˆ 5

B

b c b senC sensenBcsenB senC

°= → = = ≈ >

No existe ningún triángulo con esos datos.

7. Queremos calcular la distancia entre dos montañas separadas por un lago. Desde los puntos C y D, situados en una explanada cercana, se han tomado los siguientes datos: (2p)

° ° ° °= = = = =ˆ ˆ ˆ ˆ200 m, 35 , 50 , 55 , 34 . Calcula .CD ACB BCD ADC BDA AB

Solución:Vayamos por partes:

Primero:

Calculamos .AD

En el triángulo ADC:

ˆ 180 85 55 40Por el teorema del seno:

200 200 85 309,96 m40 85 40

A

AD senADsen sen sen

= ° − ° − ° = °

⋅ °= → = ≈° ° °

Segundo:

Calculamos .BD

En el triángulo BCD:

ˆ 180 89 50 41Por el teorema del seno:

200 200 50 233,53 m41 50 41

B

BD senBDsen sen sen

= ° − ° − ° = °

⋅ °= → = ≈° ° °

Para terminar: Consideramos el triángulo ABD y aplicamos el teorema del coseno:

2 2 2

2 2 2

2 34

309,96 233,53 2 309,96 233,53 34

AB AD BD AD BD cos

AB cos

= + − ⋅ ⋅ ⋅ ° →

→ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° →2

30591,76 174,91 mAB AB→ ≈ → ≈



UNIDAD 5: FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS


1. a) Escribe la expresión analítica de la función cuya gráfica es la siguiente: (0.5p)

b) Representa en estos ejes la siguiente función: y = sen (x − π) (1p)

Solución:a) La gráfica corresponde a la función y = cos x.

b) Elaboramos una tabla de valores:x − 2π − 3π / 2 − π − π / 2 0 π / 2 π 3π / 2 2π

x − π − 3π − 5π / 2 − 2π − 3π / 2 − π − π / 2 0 π / 2 π

y = sen( x − π ) 0 − 1 0 1 0 − 1 0 1 0

La gráfica sería:

2. Demuestra que: tg (45º + α) - tg (45º - α) = 2 tg 2α (1p)

Solución:

Desarrollamos el primer miembro:

tg 45ºα= tg 45ºtg α1−tg 45º tg α=

1tg α1−tg α

tg 45º−α= tg 45º−tg α1tg 45º tg α

=1−tg α1tg α

Realizamos la resta, reduciendo previamente a común denominador. Posteriormente, simplificamos y queda:

4 tg α1−tg2α

=2 2 tg α1− tg2α

=2 tg 2α

Que es igual al segundo miembro.

3. Simplifica la siguiente expresión y, posteriormente, calcula su valor para x= π/4 (1p)

Solución:

Desarrollamos numerador y denominador, transformando sumas en productos. Así queda,

2sen 5x3x2 ·cos 5x−3x

2

2cos 5x3x2 ·cos 5x−3x

2

=2 sen 4xcos 4x

=2 tg 4x

Si x= π/4 → 2·tg (4·π/4) = 2 tg π = 2 · 0 = 0

4. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: (2.5p)

a)xsenxcosxcosxsen 22122 −=−+

b)xsenxcosxcosxcos 333 =−

Solución:

a)xsenxcosxcosxsen 22122 −=−+

xsenxcosxsenxcosxcosxsen 222 212 −=−−+0212 222 =+−−−+ xsenxcosxsenxcosxcosxsen

012 22 =−−++ xcosxsenxcosxcosxsen0112 =−−+ xcosxcosxsen

02 =− xcosxcosxsen( ) 012 =−xsenxcos

+=+=→=→=−

∈

+=+=→=

kxkxxx

kkx

kxx

36015036030

21sen01sen2

siendo 360270

360900cos

Z

b)xsenxcosxcosxcos 333 =−

0333 =−− xsenxcosxcosxcos( ) 0332 =−− xsenxcosxcos

( ) 0331 2 =−−− xsenxsenxcos

( ) 0232 =−−− xsenxsenxcos

( ) 0232 =++− xsenxsenxcos

=++

+=+=→=

023360270

360900

2 xsenxsenkx

kxxcos

−

−→=±−=

±−=

−±−=

vale) (no 2

1

213

213

2893

xsen

kxxsen 3602701 +=→−=

Por tanto las soluciones son:

∈+=

+=Z siendo

360270

36090k

kx

kx

5. Establece una relación entre las razones trigonométricas de los ángulos que miden 8π/9 y 17π/9. Justifica tu respuesta, basándote en la posición que ocupa cada uno de los ángulos sobre la circunferencia goniométrica. (1p)

Solución:

17 8 9 son ángulos que difieren en 9 9 9

π π π− = = π → π

17 8 89 9 9

17 89 9

17 89 9

sen sen sen

cos cos

tg tg

π π π = π + = − π π= −

π π=

6. Expresa A(x) en función de sen x y cos x: (1p)

Solución:

0 1

3 3 3 2 2 2

cos x cos x cos sen x sen sen x

−

π π π + = ⋅ − = 14243 14243

7. Resuelve el siguiente sistema dando las soluciones correspondientes al primer cuadrante, en radianes. (2p)

Solución:

De la segunda ecuación obtenemos que:

2· cos xy2

· sen x−y2

=12

Como:

xy=120º 2cos60ºsen x−y2

=122· 1

2sen x−y

2= 1

2 sen x−y

2= 1

2

x−y2

=30º x−y=60º

De este modo, obtenemos que:

{xy=120ºx−y=60º

Aplicando el método de reducción, obtenemos que:

Sumando ambas ecuaciones: 2x = 180º y por tanto, x = 90º e y = 30º

La solución buscada a la ecuación, en el primer cuadrante es: (90º,30º)



RECUPERACIÓN 1ª EVALUACIÓN Fecha: 20/01/2010


1. Opera y simplifica al máximo las expresiones: (1.5p)

45805a) ⋅

182128b) +

255c)−

Solución:

3545

34

53525

45805

45805a) 2

4

==⋅

⋅⋅=⋅=⋅

21426283222182128b) 27 =+=⋅+=+

( )( ) ( )

52545525

2525

25525

5c) +=−

+=+−

+=−

2. Halla la suma de todos los términos de la progresión: (1p)

,812,

272,

92,

32,2

Solución:

326

322

311

21

:será suma la tanto, Por131y 2 que la en geométrica progresión una Es

1

1

===−

=−

=

<==

raS

.ra

3. Halla las soluciones del sistema: (1.25p)

=−=−

19

ylogxlogyx

Solución:

=

+=

=

+=

=

+=

=−

=−

yx

yx

yx

yx

yxlog

yx

ylogxlog

yx

10

9

10

9

1

9

1

9

10199109 =→=→=→=+ xyyyy

1;10 :solución unaHay == yx

4. Resuelve, utilizando el método de Gauss: (1.5p)

=+−=−+

=+−

13232222

zyxzyxzyx

Solución:

2 2 2 2 3 2 22ª 1ª 1ª

2 3 1ª 2 2 2 2ª 2 1ª 5 4 4 2ª 3ª3ª 3ª 2 1ª 3ª:( 5)

2 3 1 2 3 1 5 5 5

2 3 1

1 1 0

1 3 2 2

x y z x y z x y z

x y z x y z y z

x y z x y z y z

x y z z

z y z

y z x y z

− + = + − = + − = + − = → − + = − ⋅ → − + = − − → − ⋅ −

− + = − + = − + = −

+ − = = − → − = → = + =

− = = − + =

201

xyz

=== −

5. Un grupo de amigos va a cenar a un restaurante. Cuando van a pagar observan que, si cada uno pone 20 euros, sobran 5 euros; y si cada uno pone 15 euros, faltan 20 euros. ¿Cuántos amigos son y cuál es el precio total que tienen que pagar? (1.25p)

Solución:

Llamamos x al número de amigos e y al precio total de la cena.Si cada uno pone 20 euros, sobran 5 euros, es decir:

20x - 5 = y

Si cada uno pone 15 euros, faltan 20 euros, es decir:

15x + 20 = y

Resolvemos el sistema de ecuaciones:

52552015520

2015520

=→=+=−

=+=−

xxxx

yxyx

955100520 =−=−= xy

Son 5 amigos y el precio total es de 95 euros.

6. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 4,8 cm y el ángulo opuesto a este cateto mide 54º. Halla la medida del resto de los lados y de los ángulos del triángulo. (1.25p)

Solución:Como el triángulo es rectángulo, los ángulos son:

90

36549090

=

=−=−=

C

BA

Hallamos los lados:

cm 93554848454 ,

sen,c

c,sen

cbBsen ==→=→=

cm 49354848454 ,

tg,a

a,tg

abBtg ==→=→=

Por tanto:

90ˆ cm; 93,554ˆ cm; 8,4

36ˆ cm; 49,3

====

==

CcBbAa

7. (1p) = 1Si y es un ángulo que está en el primer cuadrante, calcula (sin hallar ):

3tg α α α

( ) ( ) ( ) ( )− + − +o o o oa) 180 b) 180 c) 360 d) 360tg tg tg tgα α α α

Solución:

( ) 1a) 1803

tg tg− α = − α = −o

( ) 1b) 1803

tg tg+ α = α =o

( ) 1c) 3603

tg tg− α = − α = −o

( ) 1d) 3603

tg tg+ α = α =o

8. Se desea unir tres puntos, A, B y C, mediante caminos rectos que unan A con B, B con C y C con A. La distancia de A a B es de 100 metros, el ángulo correspondiente a B es de 50º, y el ángulo en A es de 75º. ¿Cuál es la distancia entre B y C ? ¿Y entre A y C ? (1.25p)

Solución:

: ángulo el Hallamos C

( ) 55180 =+−= BAC

Calculamos a y b aplicando el teorema de los senos:

m 9211755

7510055

10075

,sensena

sensena =⋅=→=

m 529355

5010055

10050

,sensenb

sensenb =⋅=→=

Por tanto, la distancia entre B y C es de 117,92 m y la distancia entre A y C es de 93,52 m.



UNIDAD 3: ÁLGEBRA Fecha: 27/11/2009


1. Resuelve estas ecuaciones: (1p)

224123b) 12163a)xxx

xx +=+−=+

Solución:

12163a) −=+ xx

( ) 212163 −=+ xx

xxx 414163 2 −+=+

15740 2 −−= xx

−=−==

→±=±

=+±

=45

810

3

8177

82897

8240497

xx

x

Comprobación:

vale. sí 35253 =→=→= xx

vale. no 45

27

27

449

45 −=→−≠=→−= xx

Hay una solución: x = 3

22

4123b)xxx

+=+

22

2

22423xx

xxx

x +=+

423 2 +=+ xx

230 2 +−= xx

==

→±=−±

=12

213

2893

xx

x

2. Factoriza y resuelve: (1.5p)

a) 099 234 =−−+ xxxx b) x4 - 21x2 - 100 = 0 Solución:

a) Sacamos factor común:

( ) 09999 23234 =−−+=−−+ xxxxxxxx

: 99 osFactorizam 23 −−+ xxx

( ) ( ) ( )

−=→=+=→=−

−=→=+=

→=+−+=−−+

303303101

0

033199 234

xxxxxx

x

xxxxxxxx

Por tanto, las soluciones de la ecuación son:

3310 4321 −==−== x,x,x,x

010021 b) 24 =−− xx

242 :Cambio zxzx =→=

0100212 =−− zz

−=

±=→=→±=

±=

+±=

vale) (no 4

5 25

22921

284121

240044121

z

xzz

Dos soluciones: x1 = -5, x2 = 5

3. Resuelve las ecuaciones que se dan a continuación: (1p)

( ) ( )64213 b)9

7931

313 a) −+=−=−+ xlnlnxlnx

x

Solución:

1 1 79a) 33 93

xx+ − =

Hacemos el cambio de variable: 3x = y

yyy

yy 79399

979

311 2 =−+→=−+

09829 2 =+− yy

==

=→±=

±=

−±=

91

182

9

188082

18640082

18324672482

y

yy

9 3 9 2xy x• = → = → =1 13 29 9

xy x• = → = → = −

Hay dos soluciones: x1 = 2; x2 = -2

( ) ( )64213 b) −+=− xlnlnxln

( ) ( )[ ]64213 −=− xlnxln

( ) 1281364213 −=−→−=− xxxx

511511 =→= xx

511 :solución única unaHay =x

4. Problema. Un grupo de amigos tiene que pagar una factura de 500 euros. Si fueran dos amigos más, cada uno de ellos tendría que pagar 12,5 euros menos. ¿Cuántos amigos son? (1.5p)

Solución:

euros. 500 pagar que tiene uno Cada amigos. de número al x Llamamosx

Si fueran x + 2 amigos (dos amigos más), cada uno tendría que pagar:

menos) euros 12,5 ( euros 512500 ,x

−

( ) 5005125002 euros, 500 son total en Como =

−+ ,x

x

Resolvemos la ecuación:

5002500015,12500 =−+−x

x

02500015,12 =−+−x

x

02500015,12 2 =−+− xx

00001255,12 2 =−+ xx

−=

=→±−=

±−=

+±−=

vale) (no 10

8

2522525

255062525

255000062525

x

xx

Son, por tanto, 8 amigos.

5. Halla las soluciones de este sistema: (1.25p)

−=++

+=

xyyx

xy

4

13

Solución:

xxxxxy

xyyx

xy

−+=++++=

−=++

+=

1341313

4

13

( ) 21254;1254 +=++=+ xxxx

1;44;41454 222 ==++=+ xxxxx

( ) ( ) ( )1 no válida, porque 1 3 1 1 4 1 1 3 1 1 1 1

11 4

x

xx y

= − → − + ⋅ − + + = = ≠ ⋅ − + − − = −= ± → = → =

Hay una solución: x = 1; y = 4

6. Resuelve: (1.25p)

=

=−+ 82

022xy

ylogxlog

Solución:

=+=

==

==−

++ 32228202 2

32

2

2 xyyxylogxlogylogxlog

xyxy

0322323

222

=−+→−=

−== xxxx

xyyx

( )

1 12 4 12 2 16 2 4

2 2 23 (No válida, porque no existe 3 )

x yx

x log

= → =− ± + − ± − ±= = = →

= − −

Hay una única solución: x = 1, y = 1

7. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método de Gauss: (1.25p)

=+−=−+=+−

627362

zyxzyxzyx

Solución:

→⋅−

=+

−=−

=+−

→

−

⋅−

=+−

=−+

=+−

ª

ªª

ª

zy

zy

zyx

ªª

ªª

ª

zyx

zyx

zyx

3

372

1

0

1147

62

13

132

1

62

73

62

113 :

312626

1

11111

0

1111

62

=−==

=−−=−+=

−=−=

=−−=

→

=+

−=−

=+−

→ z,y,xSolución

zyx

zy

z

zy

z

zyx

8. Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: (1.25p)

−>+<−

162423xx

x

Solución:

72

763

162423

−><

−><

−>+<−

xx

xx

xxx

Las soluciones del sistema son las soluciones comunes a las dos inecuaciones, es decir:

{x < 2 y x > -7} = {x / -7 < x < 2} = (-7, 2)



UNIDAD 2: SUCESIONES Fecha: 03-11-2009


1. Obtén el término general de las sucesiones siguientes: (2p)

a) 2, -8, -18, -28, ... b) -3, 1, 5, 9, 13, ...

− − −1 1 1c) 2, 1, , , , d) 1, 2, 4, 8, 16,2 4 8

K K

Solución:

a) Es una progresión aritmética con a1 = 2 y d = -10. Por tanto:

( ) ( ) nanna nn 1012101021012 −=→+−=−⋅−+=

b) Es una progresión aritmética con a1 = -3 y d = 4. Así:

( ) 74443413 −=→−+−=⋅−+−= nanna nn

:tanto Por .21 y 2 con geométrica progresión una Es c) 1 == ra

2211

1

21

21

22

212

212

−−−−

−

=→==⋅=

⋅=

nnnnn

n

n aa

d) Es una progresión geométrica con a1 = -1 y r = -2. Así:

( ) ( ) 121 −−⋅−= nna

2. Averigua el término general de las siguientes sucesiones: (1p)

3 5 7 9 11a) 3, 6, 11, 18, 27, b) , , , , ,2 4 8 16 32

K K

Solución:

nnnnbna2

12 b)2 a) 2 +=+=

3. Halla el criterio de formación de la siguiente sucesión recurrente: (0.75p)

3, 4, 12, 48, 576, 27 648, ...

Solución:

A partir del tercero, cada término se obtiene multiplicando los dos anteriores:

2 para43 2121 >⋅=== −− naaa,a,a nnn

4. Halla la suma desde el término a20 hasta el a30 (ambos incluidos) en la progresión aritmética cuyo término general es an = 2n + 3. (1.5p)

Solución:

Calculamos a20 y a30 :

633603302433403202 3020 =+=+⋅==+=+⋅= a,a

El número de términos desde a20 hasta a30 (ambos incluídos) es 11. Por tanto, la suma pedida es:

( ) ( ) 5832

111062

1163432

113020 =⋅=⋅+=⋅+

=aa

S

5. Estudia si las siguientes sucesiones tienen límite. Si lo tienen, calcúlalo; si no, explica el porqué. Elabora una tabla de valores y realiza la representación gráfica en cada caso. (1.5p)

312b)

14a) +=

+= nbnna nn

Solución:

a) a10 = 3,6363... a100 = 3,96039... a1 000 = 3,996...a1 000 000 = 3,999996

4=nalím

b) b10 = 7... b100 = 67... b1 000 = 667... b1 000 000 = 666 667

+ ∞=nblím

6. Invéntate dos sucesiones cuyo límite sea 0 y tales que, al dividirlas, la sucesión que resulte tienda a infinito. (0.75p)

Solución:

2

2 1Por ejemplo, y . Comprobamos que su límite es 0.n na bn n

= =

a10 = 0,2 a100 = 0,02 a1000 = 0,002 → lim an = 0

b10 = 0,01 b100 = 0,0001 b1000 = 0,000001 → lim bn = 0

2

2

2 1 2Si hacemos : 2 , obtenemos una sucesión cuyo límite es infinito:nn

n

a nc nb n nn

= = = =

c10 = 20 c100 = 200 c1000 = 2 000 → lim cn = + ∞=nblím

7. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Si es falsa, indica un contra-ejemplo. (1p)

32 1

1 2

a) La sucesión es un progresión geométrica.n

n

aa aa a a

+= = =L

21b) La sucesión no tiene límite.na n

−=

c) Para que la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica no sea<infinitamente grande, ha de ser r 1.

d) La sucesión an = (-1)n ·2n no tiene límite.

Solución:

a) Verdadero.

En una progresión geométrica se cumple:

22 1

1

3 32 13 2

2 1 2

11

n

n

nn n

n

aa a r r

aa aa a

a a r ra a a aa

a a r ra

+

++

= → =

= → = = = =

= → =

K

b) Falso.

a10 = -0,01 a100 = –0,0001 a1000 = -0,000001 → lim an 0

c) Verdadero.

1Si 1, la suma de los infinitos términos es .1a

r Sr∞< =

−

d) Verdadero.

a1 = -2, a2 = 4, a3 = -6, a4 = 8, … Es decir, es una sucesión oscilante, luego no tiene límite.

8. En una progresión aritmética, la suma del quinto término con el décimo y el duodécimo es 54. Calcula el noveno término. (1.5p)

Solución:

5 15 10 12

10 11 1 1

12 1

454

94 9 11 54

11

a a da a a

a a da d a d a d

a a d

= + + + == + + + + + + == +

( )1 1 9

9

3 24 54 3 8 54 18a

a d a d a+ = → + = → =14243



UNIDAD 1: LOS NÚMEROS REALES Fecha: 13-10-2009


1. Clasifica los siguientes números como naturales, enteros, racionales o reales:

..020020002.1,9747372,3 3−

Solución:

Naturales: 4−

Enteros: 3; 4− −

3Racionales: 3; 2,7; ; 47

− −

Reales: Todos−

2. Expresa en forma de potencia los siguientes radicales y simplifica:

xxaa :b)a) 4 53 2 ⋅

Solución:

66 76721323 2a) aaaaaaaa ===⋅=⋅

4 34321454 5 ::b) xxxxxx ===

3. Utilizando la definición de logaritmo, calcula:

23

3218132e

lnloglog −+

Solución:( )

3252

3452

3453218132 234

35

223

32 =++=−−+=−+=−+ −elnlogloge

lnloglog

4. Escribe en forma de intervalos los valores de x que cumplen:

|x + 2| ≥ 3

Solución:

Son los números de (−∞, −5 ] ∪ [ 1, +∞).

5. Halla y simplifica al máximo:

1222

c) 2432147b) 1012

4530a)

+−

Solución:

552

52

52

525332532

10451230

1012

4530a)

2

2

2

===⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=

3113183732732432147b) 52 −=−=−⋅=−

( )( ) ( ) 7

241824

122122

1222

122

2c)

−=

−−

=−+

−=

+

6. Si sabemos que log x = 0,85, calcula:

1000100

3 xlogxlog −

Solución:

( ) =−−+=− 10001001000

100 33

logxlogxloglogx

logxlog

567,5385,03185,0210

3110 32 =+⋅−+=+−+= logxlogxloglog

7. Halla, utilizando la calculadora, el valor de:

−

⋅ + ⋅⋅

9 87

3125,25 10 2,32 10a) 16384 b) c) 58

2,5 10log

Solución:

a) 16 384 SHIFT [x1/y] 7 = 4

Por tanto:

4384167 =

b) (5.25 EXP 9 + 2.32 EXP 8) ÷ 2.5 EXP 12 +/- = 2.192821

Por tanto:

9 821

12

5,25 10 2,32 10 2,19 102,5 10−

⋅ + ⋅ ≈ ⋅⋅

c) log 58 ÷ log 3 = 3.695974506

Por tanto:

log3 58 ≈ 3,70

8. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Si es falsa, indica un contra-ejemplo.

a) Todo número real es racional.

b) Todo número decimal se puede expresar en forma de fracción.

c) Todo número racional es real.

d) Hay números irracionales que son naturales.

Solución:

a) Falso, 3 es real pero no es racional.

b) Falso, solo se pueden expresar en forman de fracción los números decimales exactos o periódicos.

c) Verdadero, el conjunto de los números reales lo forman los racionales y los irracionales.

0 1 2d) Falso, los naturales son 0, 1, 2, , que se pueden expresar en forma de fracción, , , ,1 1 1

K K

Luego son también racionales y, por tanto, no irracionales.

9. Simplifica aplicando las propiedades de las potencias:

( ) 534 3

3

27 9 3

81

⋅ ⋅

Solución:

34 34 427 3 3= =

23 23 39 3 3= =

( ) ( )55 53 6 63 3 3= =

4 26 43 6 381 3 3 3= = =

Por tanto:

( ) 52 5334 3

5 3 53 193 646 4 64 12

233

27 9 3 3 3 3 3 3 3 381 3

+⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = ⋅ = =

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