I.E.S. Élaios Departamento de Física y Química Física y Química 4º ESO: guía interactiva para...

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Física y Química 4º ESO: guía interactiva para la resolución de ejercicios

FUERZAS Y MOVIMIENTO

Descripción del movimiento

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Departamento de Física y Química

Índice

Ejercicio 1 Ejercicio 2 Ejercicio 3 Ejercicio 4 Ejercicio 5 Ejercicio 6 Ejercicio 7 Ejercicio 8 Ejercicio 9 Ejercicio 10 Ejercicio 11 Ejercicio 12 Ejercicio 13 Ejercicio 14

Ejercicio 15 Ejercicio 16 Ejercicio 17 Ejercicio 18 Ejercicio 19 Ejercicio 20 Ejercicio 21 Ejercicio 22 Ejercicio 23 Ejercicio 24 Ejercicio 25 Ejercicio 26 Ejercicio 27

Posición, desplazamiento y distancia recorrida Velocidad media y aceleración media Gráficas x-t y v-t Movimiento rectilíneo uniforme Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado Caída libre y lanzamiento hacia arriba

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AyudaEn un movimiento rectilíneo, la posición (x) de un cuerpo se determina mediante su distanciaa otro cuerpo tomado arbitrariamente como sistema de referencia. En general, se utilizan lossignos + y – para diferenciar las posiciones situadas a la derecha y a la izquierda, respectiva-mente, del sistema de referencia.

El desplazamiento (x) se determina restando a la posición final (xf) la posición inicial (xi):(x) = xf – xi

El desplazamiento será positivo o negativo según el sentido del movimiento; en el primer casoel móvil avanza de posiciones negativas a posiciones positivas; en el segundo caso, el móvilse desplaza del lado positivo al lado negativo. Esto significa que el desplazamiento es una magnitud vectorial, pues para su determinación se requiere un número, una dirección y unsentido.

En el lenguaje ordinario, desplazamiento (x) es sinónimo de distancia recorrida (s), pero enFísica no siempre coinciden y esta es una de las dificultades añadidas que presenta el apren-dizaje de las ciencias. Así, un ciclista que sale de su casa y que, al cabo de cierto tiempo, vuelve al mismo sitio, tiene un desplazamiento cero, aunque su cansancio le indica que harecorrido unos cuantos kilómetros. El desplazamiento puede ser positivo, negativo o cero, pero la distancia recorrida siempre es positiva y nunca cero si ha habido movimiento. La dis-tancia recorrida se obtiene sumando todos los desplazamientos tomados en valor absoluto.Sólo en los movimientos sin cambio de sentido coinciden el módulo del desplazamiento y ladistancia recorrida.

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AyudaLa velocidad media de un móvil es el desplazamiento realizado en la unidad de tiempo. Secalcula dividiendo el desplazamiento (x) por el tiempo invertido (t):

t

xvm

En el S.I., la velocidad se mide en metros por segundo (m/s).

La aceleración media es la variación de la velocidad por unidad de tiempo. Se calcula divi-diendo la variación de la velocidad (v) por el tiempo invertido (t):

t

vam

En el S.I., la aceleración se mide en metros por segundo cada segundo, esto es, en metrospor segundo al cuadrado (m/s²).

En una gráfica posición-tiempo (x-t) podemos analizar los cambios de velocidad por mediode los cambios de pendiente de la recta tangente a la curva en cada uno de sus puntos.

En una gráfica velocidad-tiempo (v-t) podemos analizar los cambios de aceleración por me-dio de los cambios de pendiente de la recta tangente a la curva en cada uno de sus puntos.

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Ayuda Movimiento rectilíneo con velocidad constante (MRU)Es el movimiento de un objeto que, en intervalos de tiempo iguales, realiza desplazamientosiguales, es decir, su velocidad es constante. Este movimiento se califica como uniforme.La gráfica x-t para este tipo de movimiento es una línea recta (pendiente constante). La pendiente representa la velocidad del móvil.La gráfica v-t, al ser la velocidad constante, será una recta horizontal.

Movimiento rectilíneo con aceleración constante (MRUA)Es el movimiento de un cuerpo que, en intervalos de tiempo iguales, experimenta variacionesiguales de velocidad, esto es, su aceleración es constante. Este movimiento rectilíneo se llamauniformemente acelerado.La gráfica x-t para este tipo de movimiento es una línea curva (pendiente variable). Másconcretamente, dicha curva es una rama de parábola.La gráfica v-t ahora es una línea recta (pendiente constante). La pendiente representa laaceleración del móvil.La gráfica a-t, al ser la aceleración constante, será una recta horizontal.

Ecuaciones del movimiento MRU MRUA

Posición x = xo + vt x = xo + vot + ½ at2

Desplazamiento x = vt x = vot + ½ at2

Velocidad Constante v = vo + at

Aceleración Nula Constante

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Ayuda

Para resolver los ejercicios de caída libre y, en general, cualquier ejercicio de Física, es conveniente disponer de algún procedimiento o algoritmo de resolución. El que sepresenta a continuación no debe entenderse como un conjunto de pasos que hay queseguir de manera estricta y rutinaria, sino como una serie de reglas orientativas:

Dibujar un esquema detallado de la situación descrita en el enunciado del ejercicio. Elegir un sistema de referencia y establecer, de acuerdo con el mismo, las condiciones iniciales. Esta elección es arbitraria: sólo depende del que está haciendo el ejercicio. Escribir las ecuaciones del MRUA para el caso particular que estamos estudiando. Hacer los cálculos pertinentes. Analizar los resultados obtenidos.

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Calcula el desplazamiento realizado por una bola que se mueve sobre el carril mostrado en la figura:a) al pasar del punto A al B;b) al pasar del punto B al D;c) al pasar del punto B al C;d) al pasar del punto D al A.

1

0 10 cm 20 cm 30 cm 40 cm 50 cm-50 cm -40 cm -30 cm -20 cm -10 cm

A D B C

# Recuerda la definición de desplazamiento.

cm80)50(30xxx ABAB a)

cm503020xxx BDBD b)

cm203050xxx BCBC c)

cm30)20(50xxx DADA d)

# Analiza los resultados obtenidos.

Vemos que el signo del desplazamiento (+ ó -)está relacionado con el sentido del movimiento(hacia la derecha o hacia la izquierda).Esto nos indica que el desplazamiento es unamagnitud vectorial.

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‚

Un profesor de guardia se mueve, arriba y abajo, a largo de un pasillo rectilíneo. A partir del aula de 6º G, recorre 10 m hacia la derecha, 15 m hacia la izquierda y 8 m hacia la derecha. Si la puerta de dicha aula se toma como sistema de referencia, halla el desplazamiento total y la distancia recorrida por el profesor.

2

‚# Dibuja un esquema con el movimiento del profesor.

‚‚ ‚6º G-10 m 5 m 10 m-5 m

# Calcula el desplazamiento total.

m30m3xxx if

# Calcula la distancia recorrida.

s = 10 m + 15 m + 8 m = 33 m

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3

a) Oímos por la radio que el AVE se ha detenido en el km 300 de su trazado ferroviario cerca de una dolina aparecida recientemente. ¿Nos están informando de la distancia recorrida por el AVE antes de pararse o del lugar exacto donde ha ocurrido el suceso?b) El cuentakilómetros del autobús urbano Almozara-Cementerio aumenta en 8 km en el recorrido deida y 10 km en el recorrido de vuelta. Halla el desplazamiento del autobús y la distancia recorridaen un trayecto completo.

# Antes de contestar al apartado a), ¿distingues entre posición, desplazamiento y distancia recorrida?

Nos están informando de la posición en la que se encuentra el AVE,independientemente de la distancia que haya podido recorrer.

# Contesta al apartado b).

El desplazamiento del autobús es cero, ya que vuelve al punto de partida.La distancia recorrida es de 18 km (8 km a la ida más 10 km a la vuelta).

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En algunos experimentos escolares, para estudiar el movimiento de un cuerpo se une al mismo una cinta de papel que pasa por un cronovibrador. El cronovibrador deja una marca en el papel a intervalos de tiempo iguales; como la cinta de papel está unida al móvil, el conjunto de marcas nos indica las posiciones sucesivas del móvil. Más abajo se muestra una de esas cintas, en la que sabemos que el tiempo transcurrido entre marca y marca es de 0,02 s y que la escala graduada puede estimar hasta 1 mm. Determina las posiciones del móvil y calcula su velocidad media en intervalos de 0,02 s.

4

t = 0 sx = 0 cm

1 cm

Tiempo: t (s) Posición: x (m)Desplazamiento:

x (m)Velocidad media:

vm (m/s)

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

1,00

0,000

0,012

0,032

0,060

0,082

0,118

0,012

0,020

0,028

0,022

0,036

0,6

1,0

1,4

1,1

1,8

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En los Campeonatos Mundiales de Atletismo de Tokio, celebrados en el verano de 1991, el atleta Carl Lewis ganó la prueba de 100 m. La tabla siguiente muestra los tiempos de Lewis cada 10 m. Completa la tabla y calcula la velocidad media cada 10 m de carrera. ¿En qué intervalo corrió más rápidamente?

5

Posición: x (m) Tiempo: t (s)Variación

temporal: t (s)Velocidad media:

vm (m/s)

10 1,88

20 2,96

30 3,88

40 4,77

50 5,61

60 6,46

70 7,30

80 8,13

90 9,00

100 9,86

9,26

10,87

11,24

11,90

11,76

11,90

12,05

11,49

11,63

5,32

Se movió más deprisaen el intervalo 70-80 m.

1,08

0,92

0,89

0,84

0,85

0,84

0,83

0,87

0,86

1,88

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Durante un viaje a Teruel por una carretera rectilínea el cuentakilómetros de un coche marca las velocidades indicadas más abajo. Calcula el valor de la aceleración media en intervalos de 0,2 h. ¿En qué intervalo temporal la aceleración media es negativa? ¿Qué significa?

2mh

km100

2,0

120100

2,0

)6,0(v)8,0(v)h8,06,0(a

2mh

km0

2,0

125125

2,0

)0,1(v)2,1(v)h2,10,1(a

6

Tiempo:t (h)

Velocidad: v (km/h)

0,0 0

0,2 40

0,4 72

0,6 120

0,8 100

1,0 125

1,2 125

# Recuerda, antes de contestar, cómo se calcula la aceleración media.

2mh

km200

2,0

040

2,0

)0(v)2,0(v)h2,00(a

2mh

km160

2,0

4072

2,0

)2,0(v)4,0(v)h4,02,0(a

2mh

km240

2,0

72120

2,0

)4,0(v)6,0(v)h6,04,0(a

2mh

km125

2,0

100125

2,0

)8,0(v)0,1(v)h0,18,0(a

Significa que en

dicho intervaloel valor de lavelocidad hadisminuido.

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En una competición de atletismo, una estudiante del Instituto obtuvo, en el transcurso de una carrera de 100 m, los resultados indicados en la siguiente gráfica posición-tiempo. a) Determina en qué intervalo temporal la velocidad es menor.b) ¿En qué intervalo espacial se mueve más deprisa?

7

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

t (s)

x (m)# Recuerda cuál es el significado de la pendiente de la tangente a la curva en un gráfico x-t y contesta al apartado a).

I

II

III

IV

Si trazamos las tangentes a la curva en loscuatro tramos que podemos distinguir en la misma, vemos que tiene menos inclinación (pendiente) la correspondiente al tramo I;por tanto, en ese tramo, de 0 a 3 s, la velo-cidad es menor.


La tangente del tramo III es la que tiene lamayor pendiente; por consiguiente, de 8,4 a 9 ses cuando la estudiante se mueve más rápi-damente.

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Indica de manera razonada cómo varía, a medida que transcurre el tiempo, la velocidad de tres móviles cuyas gráficas posición-tiempo (x-t) se muestran a continuación.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 1 2 3 4 5 6

t (s)

x (m)

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 1 2 3 4 5 6

t (s)

x (m)

8

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 1 2 3 4 5

t (s)

x (m)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 1 2 3 4 5

t (s)

x (m)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 2 4 6 8 10 12t (s)

x (m)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 2 4 6 8 10 12

t (s)

x (m)

Hemos trazado las tangentes a la curva en los instantes 1, 2 y 3 s. Vemos que sus pendientes son cada vez mayores; por lo tanto, la velocidad está aumentando.

En este caso, hemos trazado las tangentes a la curva en los instantes 0’1, 0’5 y 1 s. Vemos que sus pendientes son cada vez menores; por lo tanto, la velocidad está disminuyendo.

Ahora la tangente a la “curva” coincide con la propia recta. Como su pendiente es constante, la velocidad también es constante.

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La siguiente gráfica velocidad-tiempo (v-t) corresponde al viaje a Teruel citado en un ejercicio anterior.a) ¿En qué tramo la aceleración es máxima?b) ¿Cuándo la aceleración es negativa?c) ¿Existe algún tramo en el que la aceleración sea nula? ¿Cuál?

9

# Recuerda cuál es el significado de la pendiente de la tangente a la curva en un gráfico v-t y contesta al apartado a).

0

20

40

60

80

100

120

140

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

t (h)

v (km/h)

I

II

III

IV

VI

Si trazamos las tangentes a la curva en losseis tramos que podemos distinguir en la misma, vemos que tiene más inclinación (pendiente) la correspondiente al tramo III;por tanto, en ese tramo, de 0,4 a 0,6 h, la aceleración es máxima.

V


La aceleración será negativa cuando lo seala pendiente de la tangente; eso ocurre en eltramo IV: de 0,6 a 0,8 h, aproximadamente.

# Contesta al apartado c).

La aceleración es nula en el tramo VI: de 1,2 a 1,4 h, ya que entonces la tangente es horizontal y su pendiente nula.

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Un coche, que se está moviendo por una carretera rectilínea con una velocidad de 80 km/h, está dando alcance a una motocicleta que se mueve en el mismo sentido a 40 km/h. Los dos móviles están inicialmente separados una distancia de 60 km.a) Escribe las ecuaciones posición-tiempo de ambos móviles.b) Dibuja, en el mismo sistema de ejes, las dos gráficas x-t.c) ¿En qué posición y en qué instante el coche alcanzará a la motocicleta?

10

# Elige un sistema de referencia y contesta al apartado a).

Si tomamos como referencia la posición inicial del coche, las ecuaciones son:

Coche: xC = 80tMotocicleta: xM = 60 + 40t


020406080

100120140160180

0 0,5 1 1,5 2 2,5

t (h)

x (k

m)

Coche Motocicleta


Del análisis de las gráficas x-t se deduce que el coche alcanza a la motocicleta en la posición 120 km, 1,5 h después de que el coche inicie su movimiento.

A este resultado también se llega resolviendo el sistema formado por las ecuaciones: xC = 80t ; xM = 60 + 40t. Cuando el coche alcanza a la motocicleta se cumple que xC = xM, es decir, 80t = 60 + 40t; 40t = 60; t = 60/40 = 1,5 h. Sustituyendo este valor en una de las ecuaciones anteriores, se obtiene: xC = xM = 120 km.

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La posición, en función del tiempo, de un cuerpo que se mueve en línea recta está dada por la siguiente gráfica.a) ¿En qué intervalo de tiempo se desplazó el cuerpo en el sentido positivo del eje X, es decir, de izquierda a derecha? ¿Y en el sentido negativo del eje X, esto es, de derecha a izquierda?b) ¿En qué instantes, además del t = 0, pasa el móvil por la posición x = 0? ¿En qué sentido se está moviendo en dichos instantes?

11

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

t (s)

x (m

)

# Para contestar al apartado a) analiza los cinco tramos de la gráfica x-t.

De 0 a 1 s: el valor de la posición está aumentando; el cuerpo se mueve de izquierda a derecha.De 1 a 3 s: el cuerpo está parado en la posición x = 10 m.De 3 a 6 s: la posición pasa de x = 10 m a x = -5 m; el cuerpo se mueve de derecha a izquierda.De 6 a 11 s: el cuerpo está parado en la posición x = -5 m.De 11 a 12 s: la posición pasa de x = -5 m a x = 0; el cuerpo se mueve de izquierda a derecha.# Contesta al apartado b).

El cuerpo pasa por x = 0 en los instantest = 5 s (de derecha a izquierda ) y t = 12 s(de izquierda a derecha)

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-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

t (s)

x (m

)

Elabora la gráfica “posición-tiempo” correspondiente al movimiento descrito en la siguiente historieta:Pedro sale de su casa en bicicleta en dirección al huerto del tío Jorge con el propósito de merendar gratis. Manteniendo una velocidad constante de 6 m/s llega al huerto en 50 s; los siguientes 60 s los emplea en coger fruta. Al sentirse sorprendido, toma de nuevo la bicicleta e inicia el movimiento de regreso con una velocidad constante de 10 m/s e, intencionadamente, se pasa de su casa 100 m; deja la “bici” y se oculta tras unos matorrales, donde permanece escondido 40 s. Al ver que no le persiguen, vuelve a su casa con una velocidad de 8 m/s.

12

# Analiza cada uno de los tramos y realiza los cálculos pertinentes.

Durante los primeros 50 s la posi-ción pasa de x = 0 a x = 300 m.

Permanece 60 s, hasta el instantet = 110 s, en x = 300 m.

Recorre 400 m de “vuelta” a 10m/s, por lo que invierte 40 s más,hasta la posición x = -100 m.

Permanece 40 s, hasta el instantet = 190 s, en x = -100 m.

Recorre los últimos 100 m, hastala posición x = 0, a 8 m/s, por loque invierte 12,5 s.

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a) Describe los movimientos cuyas gráficas posición-tiempo se muestran a continuación. La descripción debe ser cualitativa y cuantitativa.b) Elabora las gráficas velocidad-tiempo asociadas a dichos movimientos.

13

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5

t (s)

x (m

)

05

10152025303540

0 1 2 3 4 5 6

t (s)

x (m

)

El móvil se encuentra inicialmente en laposición x = 0 y, durante 2,5 s, se muevea 10 m/s hasta llegar a la posición x = 25 m.Después, durante 1 s, permanece en dichaposición. Finalmente, durante 1 s más, vuelve al punto de partida con una velocidadde -25 m/s.

El móvil se encuentra inicialmente en laposición x = 10 m y, durante 2 s, se muevea 5 m/s hasta llegar a la posición x = 20 m.Cambia bruscamente su velocidad a 15 m/s,velocidad que mantiene durante 1 s, hastala posición x = 35 m. Finalmente, permaneceen reposo en dicha posición.

# Contesta al apartado a).# Contesta al apartado b).

-30-25-20-15-10-505

1015

0 1 2 3 4 5

t (s)

v (m

/s)

02468

10121416

0 1 2 3 4 5

t (s)v

(m/s

)

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Un móvil, que se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme, ocupa las posiciones x1 = 5 m y x2 = 17 m en los instantes t1 = 4 s y t2 = 10 s, respectivamente. Determina:a) la velocidad del móvil;b) la ecuación de la posición;c) la posición en el instante t = 5 s.

14

# Contesta al apartado a).

Teniendo en cuenta que, en este movimiento,la velocidad media coincide con la velocidad instantánea,

sm26

12

410

517

t

xvv m


La ecuación de la posición tiene la forma:x = xo + vt, en la que hay que determinar los valores de xo y de v. Como v = 2 m/s,sólo hemos de calcular el valor de la posi-ción inicial; para ello, se dispone de dos parejas de datos. De la primera de ellas:5 = xo + 2·4, xo = -3 m. Puedes compro-bar que se obtiene el mismo resultado con la otra pareja de datos. Por lo tanto, la ecuación de la posición es:

x = -3 + 2t


Al sustituir en la ecuación de la posición el valor del tiempo se obtiene: x = -3+2·5= 7 m.

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-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6

t (s)

x (m)

La gráfica x-t de un móvil es la que se muestra más abajo.a) Determina las posiciones del móvil en los instantes t1 = 1 s y t2 = 4 s.b) Calcula su velocidad.c) Determina la ecuación de la posición.

15


La velocidad coincide con pendiente de la recta en la gráfica x-t. Para su cálculo podemos utilizar los puntos citados en el apartado anterior:

sm63

18

14

)4(14

t

xv

En la gráfica x-t observamos que, en los instantes1 y 4 s, las posiciones son -4 m y 14 m, respecti-vamente.



La ecuación de la posición tiene la forma: x = xo + vt, en la que hay que determinar los valores de xo y de v. Como v = 6 m/s y el valor de la posición inicial es: xo = -10 m, la ecuación de la posición es: x = -10 + 6t.

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El tío Juan sale de su pueblo, a las 8 horas de la mañana, con una velocidad constante de 9 km/h. Dos horas después, y del mismo pueblo, su cuñado sale con una velocidad constante de 11 km/h con el propósito de alcanzarlo. ¿A qué hora y a qué distancia del pueblo lo logrará?

16

# Lo primero que puedes hacer es transformar la diferencia en el tiempo que tienen los dos movimientos en una diferencia espacial. Al mismo tiempo debes elegir un sistema de referencia y escribir las ecuaciones de la posición de los dos “atletas”.

Cuando el cuñado inicia su movimiento, a las 10 horas de la mañana, el tío Juan ha recorrido ya 18 km. Si tomamos como referencia el pueblo y suponemos que el tiempo empieza a contar a las 10 h, las ecuaciones de la posición son:

Tío Juan: xJ = 18 + 9tCuñado: xC = 11t

# Realiza ahora los cálculos pertinentes.

Cuando el cuñado alcanza al tío Juan se cumple que sus posiciones coinciden: x J = xC; por lo tanto, 18 + 9t = 11t; 18 = 2t y t = 18/2 = 9 horas. El encuentro tiene lugar 9 horas después de haber salido el cuñado, es decir, a las 7 horas de la tarde.Para hallar la distancia al pueblo, sustituimos el valor de t en cualquiera de las ecuaciones de laposición: xJ = xC = 99 km.

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La gráfica representa la posición, en función del tiempo, de los cuerpos A y B que llevan movimientos rectilíneos.a) Describe de la forma más completa posible –esto es, incluyendo datos numéricos- cada uno de los movimientos.b) Indica en qué instante ambos cuerpos coinciden en la misma posición. Utiliza dos procedimientos: algebraico y gráfico.

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

0 2 4 6 8 10

t (s)

x (m

)

Móvil A Móvil B

17


El cuerpo A, que se encuentra inicialmente en la posición -25 m, se está moviendo con una velocidadde 12,5 m/s (pendiente de la recta azul).El cuerpo B, inicialmente situado en la posición40 m, lleva una velocidad de -3,75 m/s (pendientede la recta magenta).


Se cumple que: xA = -25 + 12,5t y xB = 40 – 3,75t.Coinciden en la misma posición cuando xA = xB, esdecir, -25 + 12,5t = 40 – 3,75t; 16,25t = 65; t = 4 s.Llevando este resultado a cualquiera de las ecuacionesde la posición, se obtiene que x = 25 m.

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En la figura observamos la gráfica posición-tiempo de un ciclista que se mueve en línea recta.a) Describe cómo varía la velocidad del ciclista a medida que transcurre el tiempo.b) ¿En qué intervalos de tiempo el movimiento es uniforme?c) Halla la velocidad máxima alcanzada por el ciclista.

18

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5

t (h)

x (km) # Contesta al apartado a).

Durante el cuarto de hora inicial, al ser la gráfica x-tuna curva, vemos que la velocidad está aumentando.En el siguiente cuarto de hora, al ser la gráfica x-tuna recta, la velocidad permanece constante. En lasiguiente media hora el ciclista está en reposo. En elúltimo cuarto hora el ciclista vuelve al punto de par-tida: durante 0,1 h con una velocidad constante ydurante 0,15 h con otra velocidad también constante.


El movimiento es uniforme en los intervalos: de 0,25 h a 0,5 h, de 1 h a 1,1 h y de 1,1 ha 1,25 h.


La velocidad será máxima en los instantes en los quela pendiente de la tangente a la gráfica también lo sea. Eso ocurre en el intervalo de 1,1 h a 1,25 h, donde lapendiente vale:

s/m3

50

1,125,1

5,20

t

xv

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En el estudio experimental de un movimiento rectilíneo se ha obtenido los resultados abajo indicados.a) Dibuja la gráfica velocidad-tiempo. ¿Se trata de un movimiento uniformemente acelerado? ¿Por qué?b) Determina, mediante las ecuaciones del movimiento, el desplazamiento realizado por el móvil a los 7 s de iniciado el movimiento.

19

t (s) v (m/s)

0 -12

2 -2

4 8

6 18

8 28

10 38

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

t (s)

v (m/s)


Se trata de un movimientouniformemente aceleradoya que la velocidad es di-rectamente proporcional altiempo y la gráfica v-t esuna recta.Vemos que vo = -12 m/s y que la aceleración (pendientede la recta) es: a = 50/10 = 5 m/s²;


La ecuación del desplazamiento es: x = vot + ½ at². Para t = 7 s, x = -12·7 + ½ 5·49 = 38,5 m.

I.E.S. Élaios


La gráfica v-t de la figura se refiere al movimiento de un cuerpo desde que se puso en marcha el cronómetro hasta que fue parado, instante en el que marcaba 10 s. Halla el desplazamiento del cuerpo en esos 10 s.

20

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11t (s)

v (m/s) # Analiza cuántos movimientos podemos distinguir en la gráfica v-t.

De 0 a 4 s: movimiento rectilíneo uniforme con v = 15 m/s.De 4 s a 5 s: movimiento rectilíneo uniformemente acelerado con vo = 15 m/s y a = -15 m/s².De 5 s a 10 s: movimiento rectilíneo uniformemente acelerado con vo = 0 y a = 2 m/s².

# Calcula ahora los desplazamientos en cada uno de los tramos de la gráfica v-t.

x1 = vt = 15·4 = 60 mx2 = vot +1/2 at² = 15·1 + ½ (-15)·1 = 7,5 mx3 = vot +1/2 at² = 0 + ½ 2·5² = 25 mEl desplazamiento total es la suma de estos tresdesplazamientos parciales: 92,5 m.

El desplazamiento también puede calcularse como el “área bajo la curva”en una gráfica v-t. En este caso, elvalor del desplazamiento coincide conla suma de las áreas de un trapecio(67,5 m) y de un triángulo (25 m).

5,67152

54A1

252

105A 2

I.E.S. Élaios


-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6 7

t (h)

v (km/h)

La siguiente gráfica velocidad-tiempo describe el movimiento rectilíneo de un ciclista. Interprétala. Halla el desplazamiento y la distancia recorrida en 6 h.

21

# Analiza en qué tramos el movimiento es uniforme (MRU) y en cuáles es uniformemente acelerado (MRUA).

MRU de 0,5 h a 1,5 h: v = 10 km/h de 3 h a 5,5 h: v = -5 km/hMRUA de 0 a 0,5 h: vo= 0 y a = 20 km/h² de 1,5 h a 3 h: vo = 10 km/h y a = -10 km/h² (en el instante t = 2,5 h, el ciclista invierte el sentido del movimiento) de 5,5 h s 6 h: vo = -5 km/h y a = 10 km/h²

# Calcula ahora los desplazamientos en cada uno de los tramos de la gráfica v-t.

xI = vot +1/2 at² = 0 + ½ (20)·0,5² = 2,5 kmxII = vt = 10·1 = 10 kmxIII = vot +1/2 at² = 10·1,5 + ½ (-10)·1,5² = 3,75 kmxIV = vt = -5·2,5 = -12,5 kmxV = vot +1/2 at² = -5·0,5 + ½ (10)·0,5² = -1,25 kmEl desplazamiento total es la suma de estos cincodesplazamientos parciales: 2,5 km.

II

III

IV V

I

# Determina la distancia recorrida.

El ciclista se mueve hacia la derecha durante2,5 h y hacia la izquierda durante las 3,5 hrestantes. En dichos intervalos de tiemporecorre 17,5 km y 15 km, respectivamente;en total, 32,5 km.

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Un motorista de tráfico circula con una velocidad de 20 m/s y observa que un conductor comete una infracción. Sale en su persecución, para lo cual acelera con un ritmo constante de 0,5 m/s².a) ¿Cuánto tiempo empleará el motorista en alcanzar una velocidad de 30 m/s?b) Halla el desplazamiento del motorista en ese tiempo.

A partir de la ecuación de la velocidad podemos escribir:

s20t 5,02030

avv o

22

# Recuerda las ecuaciones de este movimiento y contesta al apartado a).


m5004005,02

12020²at

2

1tvx o

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Desde lo alto de un campanario de 20 m de altura, se lanza verticalmente hacia arriba un objeto con una rapidez de 40 m/s. Se supone despreciable el rozamiento con el aire.a) Calcula la posición y la velocidad del objeto en el instante t = 6 s.b) ¿Qué altura máxima alcanza el objeto? ¿Qué tiempo emplea en lograrla?c) Halla la velocidad del objeto cuando vuelve a pasar por el punto de lanzamiento y el tiempo total empleado.

23

# Dibuja un esquema y escribe las ecuaciones del movimiento.

Y

X

yo = 20 mvo = 40 m/s

a = -9,8 m/s2

De acuerdo con el sistema de referencia, las magnitudes vecto-riales que apuntan hacia arriba setoman con signo + y las que se-ñalan hacia abajo con signo -. Lasecuaciones asociadas a este lan-zamiento son, entonces:

v = 40 – 9,8ty = 20 + 40t - 4,9t2


Sustituyendo en las ecuaciones delmovimiento t por 6,v(6) = 40 -9,8·6 = -18,8 m/sy(6) = 20 + 40·6 - 4,9·36 = 83,6 mEl signo – del primer resultadoindica que el objeto está bajando yel valor de la posición significa quese encuentra por encima del puntode lanzamiento.


Cuando se alcanza la altura máximase cumple que la velocidad es nula,cosa que sucede en un instante talque: 0 = 40 – 9,8t; t = 40/9,8 = 4,08 s;por lo tanto,ymax = 20 + 40·4,08 – 4,9·4,082 = 101,6 m


El punto de lanzamiento cumple la condición de que y = 20 m, por lo que:20 = 20 + 40t – 4,9t2; 0 = 40t – 4,9t2; 0 = t(40 -4,9t), ecuación que tienedos soluciones: la evidente t = 0 y la que interesa ahora: t = 40/4,9 = 8,16 s.La velocidad en dicho instante es: v = 40 – 9,8·8,16 = -40 m/s. Se concluyeque cuando el objeto vuelve al punto de lanzamiento se mueve con una velo-cidad de intensidad idéntica a la inicial, aunque de sentido contrario. Tambiénvemos que el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada.

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Se deja caer una piedra desde la boca de un pozo. Llega al fondo con una velocidad de 14,7 m/s de intensidad.a) ¿Cuál es la profundidad del pozo?b) ¿Cuánto tiempo tarda la piedra en llegar al fondo del pozo?

24


De acuerdo con el sistema de referencia, las magnitudes vecto-riales que apuntan hacia arriba setoman con signo + y las que se-ñalan hacia abajo con signo -. Lasecuaciones asociadas a este lan-zamiento son, entonces:

v = -9,8ty = yo - 4,9t2

Y

X

yo = ?vo = 0

a = -9,8 m/s2

v = -14,7 m/s

# De acuerdo con la información disponible, analiza qué apartado debes contestar primero.

De la ecuación de la velocidad deducimos que:-14,7 = -9,8t; t = 14,7/9,8 = 1,5 s, que es eltiempo que tarda la piedra en llegar al fondo delpozo.En ese instante la posición de la piedra es y = 0;por lo tanto, en la ecuación de la posición pode-mos escribir: 0 = yo – 4,9·1,52 = yo – 11, por loque la profundidad del pozo es: yo = 11 m.

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a) Desde una altura de 45 m, respecto al suelo, se deja caer un libro de Física y Química. Se considera despreciable la influencia del aire. Halla la velocidad con que el libro llegará al suelo. ¿Cuánto tiempo invertirá en dicho recorrido?b) Repite el ejercicio suponiendo que el libro es lanzado verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 15 m/s.

25

# Dibuja un esquema, escribe las ecuaciones del movimiento y contesta al apartado a).

# Dibuja un esquema, escribe las ecuaciones del movimiento y contesta al apartado b).

De acuerdo con el sistema de referencia, las magnitudes vectoriales que apuntan hacia arriba se toman con signo + y las que señalan hacia abajo con signo -. Lasecuaciones asociadas a este lanzamiento son, entonces:

v = -9,8ty = 45 - 4,9t2

Y

a = -9,8 m/s2

X

yo = 45 mvo = 0

v = ?t = ?

Cuando el libro llega al suelo se cumple que y = 0, es decir,0 = 45 – 4,9t2;

La velocidad del libro en ese instante es:v = -9,8·3 = -29,4 m/s

s39,4

45t

De acuerdo con el sistema de referencia, las magnitudes vectoriales que apuntan hacia arriba se toman con signo + y las que señalan hacia abajo con signo -. Lasecuaciones asociadas a este lanzamiento son, entonces:

v = -15 - 9,8ty = 45 -15t - 4,9t2

a = -9,8 m/s2

X

yo = 45 mvo = -15 m/s

v = ?t = ?

Y

Cuando el libro llega al suelo se cumple que y = 0, es decir,0 = 45 – 15t - 4,9t2, ecuación de 2º grado completa, cuyas soluciones son:

La velocidad del libro en el instante válido es:v = -15 - 9,8·1,87 = -33,3 m/s

87,1

93,4

8,9

3,3315

8,9

45)9,4(422515t

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Desde una altura h se lanza verticalmente hacia abajo un cuerpo con una rapidez inicial de 5 m/s, invirtiéndose 6 s en llegar al suelo. Calcula el valor de h y la rapidez máxima que alcanzará el cuerpo.

26


De acuerdo con el sistema de referencia, las magnitudes vectoriales que apuntan hacia arriba se toman con signo + y las que señalan hacia abajo con signo -. Las ecuaciones asociadas a este lanzamiento son, entonces:

v = -5 - 9,8ty = h - 5t - 4,9t2

a = -9,8 m/s2

X

yo = h = ?vo = -5 m/s

v = ?t = 6 s

Y

Debes perder el miedo a lasexpresiones algebraicas y trabajar con “letricas” comosi fuesen números. Fíjate enlas condiciones que cumplela posición del cuerpo cuandot = 6 s.

Cuando t = 6 s, se cumple que y = 0; llevando estas condiciones a la ecuaciónde la posición, tenemos: 0 = h – 5·6 – 4,9·36; h = 206,4 m.

La rapidez máxima se alcanza cuando el cuerpo llega al suelo; por lo tanto, la velocidad es: v = -5 -9,8·6 = -63,8 m/s. La rapidez vale: 63,8 m/s.

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a) Galileo lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una rapidez inicial de 29,4 m/s ¿Qué altura alcanzará (la piedra)?b) ¿Experimentará la piedra el mismo desplazamiento en el primer segundo de subida que en el último segundo? ¿Por qué?

27


De acuerdo con el sistema de referencia, las magnitudes vectoriales que apuntan hacia arriba se toman con signo + y las que señalan hacia abajo con signo -. Las ecuaciones asociadas a este lanzamiento son, entonces:

v = 29,4 - 9,8ty = 29,4t - 4,9t2

a = -9,8 m/s2

Y

X

yo = 0vo = 29,4 m/s

v = 0y = h = ?


Calculamos, en primer lugar, el tiempoinvertido por la piedra en subir.En el punto más alto se cumple quev = 0; por lo tanto, 0 = 29,4 - 9,8t;t = 29,4/9,8 = 3 s.

Sustituyendo este valor en la ecuaciónde la posición, tenemos:h = 29,4·3 – 4,9·9 = 44,1 m


Debido a que, a medida que la piedra asciende, se está moviendo más lentamente,el desplazamiento en el primer segundo será mayor que en el último segundo desubida. En cualquier caso, se puede comprobar esto mediante los cálculos adecuados.

• En el primer segundo: y(de 0 a 1 s) = y(1) = 29,4·1 – 4,9·1 = 24,5 m• En el último segundo el desplazamiento será la diferencia entre las posiciones de la piedra en los instantes 3 s y 2 s: y(de 2 s a 3 s) = y(3) – y(2) = 44,1 – (29,4·2 – 4,9·4) = 44,1 – 39,2 = 4,9 m

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