identidades_leySinCos

7/23/2019 identidades_leySinCos

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Identidades trigonomtricasLey de senos y cosenos

Trigonometra

Identidades Trigonomtricas y leyesde senos y cosenos

Curso de Nivelacin 2014 Ciencias Bsicas UPQ

Septiembre 2014Curso de Nivelacin 2014, Ciencias Bsicas UPQ Identidades Trigonomtricas
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Identidades pitagricasIdentidades de Suma y resta de ngulosOtras identidades

Identidades trigonomtricas

DenicinLas identidades trigonomtricas son relaciones entre las funcionestrigonomtricas, se usan para simplicar y son vlidas para cualquiervalor permitido de x

Cuando tomamos un punto P (x,y) sobre la circunferencia unitaria, ladenicin de funciones trigonomtricas es:

sin = y csc = 1

y

(para y 6=0)

cos = x sec = 1

x (para x 6=0)

tan = y

x (para x 6= 0) cot =

x

y (para y 6=0)

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De la denicin se tienen las siguientes relaciones

Denicin

sin = 1

csc csc =

1

sin

cos = 1sec

sec = 1cos

tan = 1

cot =

sin

cos cot =

1

tan =

cos

sin

Siempre y cuando ninguno de los denominadores sea cero.

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Por otra parte, Las coordenadasde cualquier punto P(x,y) en elplano pueden expresarse entrminos de la distancia entre elpunto y origen, y el ngulo quehace el rayoOP con el eje xpositivo. Como

x

r = cos , y

y

r = sin ,

tenemos

x=r cos , y=r sin


Id id d i i
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Identidades pitagricas

Cuando r= 1 podemos aplicar el teorema de Pitgoras al tringulo

rectngulo de referencia en la gura y obtener la ecuacin

sin2 +cos2 =1

Si sin2 6= 0, dividimos la ecuacin entre sin2 para obtener

sin2

sin2

+ cos2

sin2

= 1sin2

1+tan2 = sec2

Si cos2 6= 0, dividimos la

ecuacin entre cos2

paraobtener

sin2

cos2 +

cos2

cos2 =

1

cos2

1+cot2 = csc2

Estas identidades son llamadasCurso de Nivelacin 2014, Ciencias Bsicas UPQ Identidades Trigonomtricas

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Identidades Pitagricas

Las identidades pitagoricas son:

sin2 +cos2 = 1

1+tan2 = sec2

1+cot2 = csc2


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Identidades de suma y resta

Las Identidades siguientes se satisfacen para todos los ngulos A y B

sin (A+B) = sinA cos B+cosA sin B

sin (A B) = sinA cos B cosA sin B

cos (A+B) = cosA cos B sinA sin B

cos (A B) = cosA cos B+sinA sin B

tan (A+B) = tanA+tan B

1 tanA tan B

tan (A B) = tanA tan B1+tanA tan B


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IDentidades para el doble de un ngulo

Identidades de ngulo doble

sin 2 = 2 sin cos

cos 2 = cos2 sin2 = 2 cos2 1= 1 2sin2

tan 2 = 2 tan

1 tan2

De la segunda se obtiene

cos2 = 1+cos 22

sin2 =

1 cos 2

2


Id id d i iIdentidades pitagricas
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IDentidades de funciones pares e impares

Identidades de funciones pares e impares

Si una funcin f satisface que f(x) = f(x) para cada nmero x en sudominio, entonces fes llamada funcin par.

cos ()= cos

sec ()= sec

Si una funcin f satisface que f(x) = f(x) para cada nmero x ensu dominio, entonces f es llamada funcin impar.

sin ()= sin

tan ()= tancot ()= cot

csc ()= csc


Identidades trigonomtricasIdentidades pitagricas
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p gIdentidades de Suma y resta de ngulosOtras identidades

IDentidades periodicas

Identidades periodicas

Periodo = 2

sin= sin (+2n), sin ( )= sincos= cos (+2n), cos ( )= cossec= sec (+2n), sec ( )= seccsc= csc (+2n), csc ( )= csc

Periodo =

tan= tan (+n)cot= cot (+n)


Identidades trigonomtricas Ley de senos
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Ley de senosLey de cosenos

Ley de senos

DenicinSi a, b, y c son las longitudes de los lados de un tringulo y , , y sonlos ngulos opuestos a estos lados, entonces

a

sin

= b

sin

= c

sin


Identidades trigonomtricas Ley de senos
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Ley de senosLey de cosenos

Ley de cosenos

Denicin

Si a, b, and c son las longitudes de los lados de un tringulo y es elngulo entre a and b, entonces

c2 =a2 +b2 2ab cos

De la misma forma

a2 = b2 +c2 2bc cos

b2 = a2 +c2 2ac cos

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