IAT Practicas 2015

Introduccin al anlisis tensorial Facultad de Ingeniera, UBA

Dra. M.B. Goldschmit 2015

Serie de Ejercicios 1

Repaso de Matrices y Determinantes

Nota: Realizar todos los problemas sin uso de computadoras y/o calculadoras programables.

Problema 1 : Para las siguientes matrices hallar la matriz R

221

102;021;

154

387

121

;

270

834

012

DCBA

a) BAR ; b) BAR ; c) TCAR

d) BCR ; e) ADR ; f) TCDR

Problema 2 : Demostrar para las matrices del ejercicio 1, las siguientes igualdades o desigualdades.

a) TTT BABA ; b) TTT ABBA

c) ABBA ; d) BBAABABA

Problema 3 : Demostrar que la suma y el producto de matrices diagonales son nuevamente matrices

diagonales

Problema 4 : Calcular el Adet

a)

34

51A ; b)

412

158

342

A ; c)

2011

1012

1111

2101

A

Problema 5: Demostrar para las siguientes matrices

154

381

121

;

270

834

012

BA

a) BABA detdetdet ; b) TAA detdet c) Si es un escalar AA detdet 3 ;

d) BABA detdetdet ; e) ABBA detdet



Problema 6 : Demostrar que si la matriz A es antisimtrica, la matriz 2A es simtrica.

Problema 7 : Verificar que la inversa de

dc

ba es

ac

bd

bcad

1

Problema 8 : Calcular la inversa de las siguientes matrices:

a)

45

23A ; b)

211

112

111

A

Problema 9 : Demostrar que la matriz

434

321

212

A carece de inversa

Problema 10 : Demostrar para las matrices

211

112

111

A ;

210

130

001

B

a) A

Adet

1det

1

; b) 11 TT AA

c) 111 ABBA ; d) TTTT BABABA 11

Problema 11 :

a) Defina que es el polinomio caracterstico de una matriz

b) Demostrar que A y TA tienen el mismo polinomio caracterstico P() y por lo tanto los mismos autovalores.

Problema 12 : Determinar los valores de los autovalores de:

a)

13

12A ; b)

211

112

111

A




Operaciones con vectores y tensores

Problema 1 : Demostrar en el sistema de coordenadas Cartesianas las siguientes expresiones

a) bbaabababa 2 b)

dbda

cbcadcba det

c) CABACBA

Problema 2 : Demostrar :

a) !3 ee ; b) 321det aaaea

Problema 3 : Demuestre para una sistema de coordenadas Generalizadas las siguientes expresiones:

a) abba b) cabacba

c) aBBa T

Problema 4 : Demuestre para un sistema de coordenadas Generalizadas que 0 cba si 2 de los tres vectores son proporcionales uno al otro.

Problema 5 : Demostrar para un sistema de coordenadas Generalizadas en el espacio 3

a) 3ii b) jskrksjrirsijk

Problema 6 : Probar usando la regla del cociente que ijk son las componentes de un tensor de tercer orden.




Sistemas de coordenadas Generalizadas ortogonales

Problema 1 : Sea el sistema de coordenadas Cilndricas Parablicas zvu ,, ;

222

1vux ; vuy ; zz

u ; 0v ; z

a) dibuje en el plano (x,y, z = 0):

las lneas de nivel cteu ,

las lneas de nivel ctev ,

los vectores base covariantes en el punto u = 2 , v = 1 , z = 0

los vectores base contravariantes en el punto u = -2 , v = 3 , z = 0

b) Calcule la matriz Jacobiana de la transformacin de coordenadas

c) Calcule la mtrica covariante del sistema de coordenadas

d) Calcule la mtrica contravariante del sistema de coordenadas

e) Sea el vector en coordenadas cartesianas zxyx eea 35 . Escriba el vector en coordenadas

Cilndricas Parablicas

e-1) con vectores base covariantes

e-2) con vectores base contravariantes

f) Sea el vector en coordenadas Cilndricas Parablicas zv

z ggb 310 2 escriba el vector en

coordenadas Cartesianas

g) Sea el vector en coordenadas Cilndricas Parablicas zv

z ggb 310 2 escriba el vector en

coordenadas Cartesianas

h) Demuestre que 11

1

1 ii gg

i) Encuentre la ley de transformacin en coordenadas Cilndricas Parablicas a coordenadas Cilndricas

zr ,,

j) Calcule el ds2 del sistema de coordenadas




Operaciones con el operador

Problema 1: Demuestre en el sistema de coordenadas Cartesianas las siguientes expresiones:

a) vAvAvA : ; b) vvv 2

Problema 2 : Sea el vector zyx zyzyxyx eeea423 22 en coordenadas Cartesianas,

hallar en el punto (1, -1, 1) : a) a ; b) a ; c) a ; d) a2

Problema 3 : Demuestre en un sistema de coordenadas Generalizado las siguientes expresiones:

a) vvv b) abbaba

Problema 4 : Deduzca las siguientes expresiones en coordenadas Generalizadas i

a) 0| kijg b) mrmmrmnmmnr abbabag ||

c) 0| rijk

Problema 5 : Para el sistema de coordenadas Cilndricas Parablicas utilizada en la serie de ejercicios

N 3 (Nota: no repita los clculos ya realizados en la Serie 3)

a) Encuentre los smbolos de Christoffel de segunda especie, ijk

b) Sea el vector zvu

zvvuvu ggga 42 22 , hallar en el punto (1,0,1): a

c) Calcule el dV del sistema de coordenadas

Problema 6 : Si r es el vector posicin probar en coordenadas generalizadas:

a) 3 r ; b) 0r




Tensor de Riemmann - Christoffel

Problema 1 : Indique en palabras qu significa el tensor de Riemann Christoffel

Problema 2: Para el sistema de coordenadas Cilndricas Parablicas, definidas en las Series 4 y 5

(Nota: no repita los clculos ya hechos)

a) Encuentre los smbolos de Christoffel de primera especie, ijk

b) Compruebe que se cumple la siguiente expresin zvuslig

l

siilssli ,,,,

f) Calcule uuuvR , utilizando la siguiente expresin del tensor de Riemann Christoffel

tjk

s

tl

t

jl

s

tkl

s

jk

k

s

jl

siijkl gR

h) Calcule uuuvR , utilizando la siguiente expresin del tensor de Riemann Christoffel

kisjlalisjka

sa

lj

ki

ki

jl

li

jk

kj

liijkl g

ggggR

2222

2

1

Problema 3: Demuestre en un sistema de coordenadas Generalizado que se cumple la siguiente

relacin: 0 pkijpjkipijk RRR




Componentes fsicas

Problema 1 : Indique en palabras qu son y para qu sirven las componentes fsicas de un sistema de

coordenadas.

Problema 2 : Calcule los valores de los factores de escala 321 ,, hhh en el sistema de coordenadas

Cilndricas Parablicas definida en las series de ejercicios anteriores (Nota: no repita las

demostraciones anteriores).

Problema 3 : Sea el sistema de coordenadas Cilndricas Parablicas, definidas en las Series de

Ejercicios anteriores (Nota: no repita las demostraciones anteriores), calcule las componentes fsicas

de:

a) zvu

ggga 3105 d) v

v

z

u

v

uggggggT 352

Problema 4 : Exprese para el sistema de coordenadas Cilndricas Parablicas en trmino de las

componentes fsicas: a

Problema 5 : Exprese la ecuacin de conservacin de cantidad de movimiento (o ecuacin de

equilibrio), en el sistema de coordenadas Cilndricas Parablicas en componentes fsicas:

ba

Donde : es la densidad (tensor de orden cero) ; a es la aceleracin (tensor de orden uno) ; es

el tensor de tensiones de Cauchy (tensor de segundo orden) ; b es el vector de fuerzas volumtricas

(tensor de orden uno).




Longitud del arco, normal y tangentes a una curva, integrales de lnea, superficie y volumen

Problema 1 : Usando el sistema de coordenadas polares, evaluar S dydxyxf ),(

donde 0,9:;2),( 22 xyxSyxyxf . Describir la regin de integracin.

Problema 2 : En el sistema de coordenadas Cartesianas la proyeccin sobre el plano x,y de la

superficie z = f(x,y) es la regin S. Demostrar que el rea est dada por:

dydxy

f

x

f

S

2/122

1

Problema 3 : Calcule la normal unitaria en el sistema de coordenadas Cartesianas a las siguientes

superficies:

a) del plano : 2 x + 3 y + 6 z = 12 ; b) del cilindro x2 + y

2 = 16 ; z = -5 y z = 5

c) Calcule la tangencial unitaria a la curva que intersecta el cilindro b) con el plano a).

Problema 4 : En el sistema de coordenadas Cartesianas, calcular la integral de circulacin de

zy zy eev 22 , a lo largo del tringulo que une los puntos (0,0,0) ; (0,1,0) y (0,1,1).




Tipos de campos vectoriales e integracin vectorial

Problema 1 : Si f1 y f2 son campos escalares, muestre que:

a) en coordenadas generalizadas 21 ff es un campo solenoidal

b) en coordenadas cartesianas 12212

1ffff es el vector potencial del campo

Problema 2 : Determinar la constante a de forma que el vector zvu

zauvu gggv 23 (sistema

de coordenadas Cilndricas Parablicas) sea:

a) un campo solenoidal ; b) un campo laminar complejo

Problema 3 : Determinar las constantes a , b , c de forma que el vector en el sistema de coordenadas

cilndricas Parablicas , zvu

zvcvubvua gggv 22 32 sea :

a) un campo irrotacional ; b) un campo de Beltrami

Problema 4 : Determinar las constantes a , b, c , d de forma que el vector en el sistema de

coordenadas Cartesianas, zyx zdxcybybxa eeev 22 sea:

a) un campo Beltrami solenoidal ; b) un campo Laplaciano

Problema 5 : : Use el teorema del rotor, aplicado al campo vectorial con componentes Cartesianas :

yxxa

x

xa

yeev

22

2

22

2

, para evaluar la integral:

SdS

xa

yxyxa222

22

, donde S es la

regin sobre el cuadrante x , y 0 de la elipse 0;12

2

2

2

zb

y

a

x

Problema 6 : Si S es una superficie abierta simple, limitada por una curva C correspondiente orientada

y , son campos escalares continuamente diferenciables, demostrar :

dSdS

C

nr

Problema 7 : Demostrar en coordenadas generalizadas VdSS

3 nr ; donde r es el vector posicin y V es el volumen encerrado por S

Problema 8 : Pruebe la generalizacin de Kelvin, de la frmula de Green

VSVSV dVdSdVdSdV nn

donde son campos escalares

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