I. RESUMEN - Universidad Nacional del Callao · de soluciones y los estimados de Bona-Smith...

1

I. RESUMEN

En este trabajo consideramos la ecuación de Korteweg-de Vries generalizada

(KdVg).

3 0pt x xu u u u

Donde ( , )u u x t para , 0x t y p Z . La ecuación de KdVg al igual que la

ecuación de Korteweg-de Vries describe en una dimensión espacial, la

propagación de ondas de longitud de onda larga en medios dispersivos no

lineales.

El objetivo en el presente trabajo consiste en demostrar la buena formulación

localdel problema de valor inicialen el sentido de Hadamard

3

0

0

( ,0)

pt x xu u u u

u x u

cuando el dato inicial 0u pertenece a los espacios de Sobolev sH con 3 / 2s .

A fin de probar la existencia y unicidad de solución local se utiliza el método de

regularización parabólica y para probar la dependencia continua de la solución

respecto del dato inicial son utilizados los estimados de Bona-Smith.

2

II. INTRODUCCIÓN

Para un problema de valor inicial asociado con una ecuación en derivadas

parciales de evolución, se tienen tres cuestiones fundamentales: existencia de

soluciones, unicidad de solución y dependencia continua de la solución en los

datos iniciales. Para discutir la existencia de soluciones es necesario

especificar, no solamente la clase de funciones donde buscamos la solución,

sino también en qué sentido las condiciones iniciales son satisfechas. Una vez

garantizada la existencia de una solución, se debe garantizar también la

unicidad de ésta y así mismo la dependencia de la solución en los datos

iniciales. Debemos recordar que los datos de un problema físico son datos

experimentales que necesariamente contienen errores de medida, es, por

tanto, natural preguntarse si pequeñas variaciones en los datos conllevan

pequeñas variaciones en la solución; es decir se debe garantizar que si la

condición inicial sufre una pequeña variación, es natural esperar que la

solución del problema de valor inicial también varía continuamente en alguna

topología. Un problema de valor inicial para el cual se satisfacen la existencia,

unicidad y dependencia continua en los datos iniciales es llamado problema

bien formulado, en caso contrario se dice que el problema es mal formulado.

La ecuación de Korteweg-de Vries modificada (KdVm)

3 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0t x xu x t u x t u x t u x t

Dondeu es una función real con x y 0t , es una ecuación en derivadas

parciales que incluye efectos de no linealidad y dispersión a la vez. El primer

término de la ecuación denota la evolución temporal de una perturbación u (se

3

puede considerar como la elevación de la superficie del agua relativa a su

posición de equilibrio), el segundo término es el dispersivo debido a la tercera

derivada parcial espacial de u y el tercer término es considerado el término no

lineal debido a la multiplicación de 2u y la primera derivada parcial respecto al

espacio xu . Al igual que la ecuación de Korteweg-de Vries

3( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0t x xu x t u x t u x t u x t

la ecuación de KdVm es un modelo que describe en una dimensión espacial, la

propagación de ondas de longitud de onda larga en medios dispersivos no

lineales. La propagación de ondas solitarias en la superficie del agua en

canales poco profundos, es un ejemplo de medio dispersivo en el que se

pueden hallar este tipo de ondas. En la física matemática representa el

prototipo de un sistema no lineal completamente integrable.

Kato en 11 y 13 demostró que el problema de valor inicial (PVI) asociado a

la ecuación de KdV generalizada

( ) ( ) ( ) ( ) 0 ,pt x xu t u t u t u t p Z

está bien formulado localmente en sH para 3 / 2s , para ello usó la teoría

cuasi-lineal por él desarrollada. Por otro lado, Nunes demostró que el PVI

asociado a la ecuación de KdV con coeficientes variables

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0t x xu t a t u t u t u t

está bien formulado localmente en ( )sH para 3 / 2s . Para ello usó el

método de Regularización Parabólica como en 6 para mostrar la existencia

de soluciones y los estimados de Bona-Smith 3 para probar la dependencia

continua de la solución respecto de los datos iniciales.

4

El requisito 3 / 2s no es posible mejorarlo usando los métodos anteriores,

pues una propiedad usada en los pasos críticos de las demostraciones de Kato

y Nunes, es la que caracteriza a los espacios de Sobolev sH como un álgebra

de Banach. Por ello, con el fin obtener mejores resultados ( 3 / 2s ), es

necesario prescindir de tal prioridad o buscar un método que utiliza otras

herramientas, como los estimados lineales. Esto fue hecho por Kenig, Ponce y

Vega 14 , 15 y 15 . Ellos demostraron que el PVI asociado a la ecuación

de KdVm es bien formulado localmente en sH para 1 / 4s . Para ello usaron

algunas propiedades de la integral oscilatoria definida por el PVI asociado con

la ecuación KdVm lineal con el fin de obtener estimados lineales, que les

permitieron utilizar el teorema de contracción y aplicar el método de punto fijo

para resolver la ecuación integral equivalente al PVI asociado a la ecuación de

KdVm.

En el trabajo proponemos estudiar el método de regularización parabólica, los

estimados de Bona-Smith y la teoría cuasi-lineal, y utilizarlos para demostrar la

buena formulación local del PVI

3

0

( ) ( ) ( ) ( ) 0

(0)

pt x xu t u t u t u t

u u

Para ello nos planteamos el siguiente objetivo: Demostrar la buena formulación

local del PVI asociado con la ecuación de KdVg en los espacios de Sobolev

clásicos ( )sH cuando 3 / 2s . Para lograr el objetivo propuesto, dividimos

nuestro trabajo en varias partes necesarias. En el apéndice, son presentados

los conceptos y propiedades de algunos temas de análisis funcional e

integración vectorial, transformada de Fourier, espacios de Sobolev del tipo 2L

5

y semigrupos de operadores lineales, así como algunas desigualdades que

serán utilizadas en el trabajo posterior.

En el marco teórico estudiamos los PVI asociados con la ecuación lineal

regularizada, la ecuación no lineal y la ecuación de KdVg(3.1). Los principales

resultados son los teoremas 3.6, 3.10, 3.11, y 3.12. En el tercer capítulo se

estudia la dependencia continua de KdVg y se justifica que ante la dificultad de

probar la dependencia continua de la KdVg usando el método de regularización

parabólica, usamos los estimados de Bona-Smith (ver apéndice 8.4); los cuales

serán usados para estudiar que el comportamiento de la distancia de dos

elementos cualquiera de una sucesión de soluciones, es controlado por el

comportamiento de la distancia entre sus estimados de Bona-Smith

respectivamente, quienes a su vez son controlados por el comportamiento de la

distancia entre sus datos iniciales correspondientes como será visto en los

teoremas 5.3, 5.5 y 5.6.

6

III. MARCO TEÓRICO

PROBLEMA DE VALOR INICIAL ASOCIADO A LA ECUACIÓN DE

KORTEWEG-DE VRIES GENERALIZADA: EXISTENCIA Y UNICIDAD

En este capítulo se estudiará el problema de valor inicial (PVI) asociado

con la ecuación de Korteweg-de Vries generalizada (3.1)

3

0

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 (3.1)

( , 0) ( )

pt x xu x t u x t u x t u x t

u x u x

Dondeues una función real con , 0 .x t y p

Para el desarrollo de este capítulo, en la primera sección consideramos el

problema lineal determinado por (3.1) y demostraremos que el operador

3x genera un semigrupo de contracciones sobre sH que se extiende a un

grupo de operadores unitarios en sH . En la segunda sección estudiamos

el problema lineal regularizado, para esto introducimos una viscosidad

artificial 0 y resolvemos el problema de valor inicial (3.6).

3.1. Problema lineal

En esta sección consideramos el problema lineal determinado por (3.1)

3

0

( , ) ( , ) 0 3.2

( ,0) ( )t xu x t u x t

u x u x

Donde ues una función real con , 0.x t

Definición 3.1. Definimos el operador –A por

3

3

( ) , 3.3

( , ) ( , )

s

x

D A H s

Au x t u x t

Así el problema lineal (3.2) puede escribirse de la forma

7

0

( , ) ( , ) 0; 3.4

( ,0) ( )tu x t Au x t t

u x u x

Sea el operador –A definido por (3.3), es claro que

3 3 3ˆ ˆ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )t xu t u t i u t i u t

para cualquier 3su H

Proposición 3.2. – A es lineal, tiene dominio denso, es m-disipativo y

antiadjunto en sH , para cualquier s

Demostración. Sea –Ael operador,

3

3

: s s s

x

A H H H

u u

La linealidad del operador A y la densidad son inmediatas. Además, si

3su H , por definición de sH y la desigualdad 3

3s ssxH HH

Au u u

de donde sAu H . Por lo tanto, ( ) sRan A H cualquiera sea 3su H .

Probaremos que A es un m-disipativo en sH . En efecto:

1. A es negativo. Sea 3su H , entonces

33 3 3, , 1 , , ,s ss s sx x xH HH H HAu u u u u u u u u Au

Luego , 0sHAu u

2. A es disipativo. En efecto, existe 0 0 , para todo sv H , existe

30( ) :su D A H u Au v . Tomemos 0 1 , entonces ( )I A u v ,

esto es u Au v , aplicando la transformada de Fourier en ambos

miembros de la igualdad y la definición del operador A , tenemos:

3 ˆ ˆ1 i u v

8

Despejando u y aplicando transformada inversa de Fourier se

tiene, 3

ˆ1

vv

ui

Luego dado sv H existe

3

ˆ1

vv

ui

tal que u A u v

Además su H , en efecto,

3

223 32 2 2

23 3

ˆˆ1 1

1 1s

s s

H

vvu d d

i i

32

2 221 132

1ˆ ˆ1

1

s

sC v d C v d

Pues sv H , luego 3su H

3. A es antisimétrico en sH . Para esto, basta probar que A es

antiadjunto en sH . En efecto, sean , su v H entonces

3 3, ,s s sx xH H HAu v u v u v ^

3 3 31 , ,s sx xH H

u v u v

3, , ssx HHu v u Av

Por lo tanto A es antiadjunto en sH

Teorema 3.3. El operador genera un semigrupo de contracciones

3

0 0( ) xt

t tW t e

sobre sH 0s , tal que

3

ˆi tW t u e u

9

Además, 0t

W t

se extiende a un grupo de operadores unitarios en sH

y cualquiera sea su H , la función : sW u H es la única solución del

problema de valor inicial (3.2).

Demostración. La primera afirmación es consecuencia del teorema

8.63. Para demostrar (3.5), resolveremos el problema del valor inicial

(3.2), tomando la transformada de Fourier en la variable espacial

obteniendo,

3ˆ ˆ, ,tu t i u t

3

0ˆ ˆLuego, , itu t e u

Definimos 3

0i tW t u e u obteniendo (3.5) y por el teorema 8.68

se cumple la última afirmación del teorema.

Este teorema nos permite observar que es imposible aplicar el teorema

del punto fijo de Banach para resolver el problema de valor inicial (3.1).

En efecto, al menos formalmente tenemos que el problema de valor

inicial (3.1) es equivalente a,

10 0

1

1

t pxu t W t u W t u d

p

en donde 0t

W t

es el semigrupo de contracciones sobre , 3/2sH s

generado por el operador m-disipativo A y .pxu u Si 0, : su C T H

entonces 1 110, :

1p p s

x xu u u C T Hp

. Como W t aplica 1sH en

sí mismo, la aplicación

10 0

1

1

t pxu t W t u t W t u d

p

10

Transforma 0, : sC T H en 10, : sC T H y no en 0, : sC T H , como se

necesita para aplicar el teorema de punto fijo.

Por lo expuesto anteriormente, en las próximas secciones introducimos

el método de regularización parabólica nos permite demostrar la

existencia y unicidad de la solución del problema de valor inicial (3.1).

3.2. Problema lineal regularizado

En esta sección consideramos el problema lineal regularizado

determinado por

3 2

0

, , , 0

,0

t x xu x t u x t u x t

u x u x

Donde 0 , , , 0, 0 1.u x t x t

Definición 3.4. Definamos el operador A por

3

3 2

s

x x

D A H

A u u u

De este modo, el problema lineal regularizado (2.6) puede escribirse de

la forma

0

, , 0, , 0

,0

tu x t A u x t x t

u x u x

Proposición 3.5. El operador lineal 3: s s sA H H H es m-

disipativo en , 0.sH s

Demostración. Notemos que 3 2x xA u u u Au B u donde

2

2

s

x

D B H

B u u

11

Para probar que A es m-disipativo, verificamos que es m-disipativo,

el cual ya fue probado en la proposición 3.2, y además B es disipativo

D A D B , en efecto:

3 2s sD A H H D B

Ahora probaremos que B es disipativo. En efecto, si 2su H

2

2ˆ ˆ, ,s xH

B u u B u u d u u d

22 2ˆ ˆ ˆ 0i u u d u d

Luego , ,B u u es negativo.

Por el teorema de perturbación de generadores probaremos que para

todo ( )u D A se cumple s ss H HHB u Au u

Donde 0 1, 0 . En efecto, sea 2su H , entonces

22 22 2 2 2 2 2 21

s s s

s

x x xH H HB u u u u d

2 222 2 2 2 4

22 2 4 22

2 22 2 6 2 2

2 23 22 2 2

2 22 2 3 2

22 3

ˆ ˆ1 1

1 ˆ1

ˆ ˆ1 1

ˆ ˆ1 1

1 1

s

s s

s

s s

s s

s s

x x

x H

i u d u d

u d

u d u d

i u d i u d

u d u d

u

22

sx Hu

Para todo 2su H ,

12

22 22 2 2ss sx x HH H

B u u u (3.5)

Usando la desigualdad de Gagliardo-Nirenberg con 2, 1, 1,p q r n j

13, , 0

3m C

2 2 2

1/3 2/33s s sx xL L LJ u C J u J u

entonces

2 22

1/3 2/33x xH HHu C u u (3.6)

usando la desigualdad de Youngcon 1 , tenemos

1/3 2 33 3s ss sx xH HH H

u û u C u

(3.7)

De (3.5), (3.6) y (3.7) tenemos:

22 22 2 3 2 3ss s sx x HH H H

B u u C u u

2 2 22 3 2 3 2

2 22 3 2

2 22 3

2 22 3 3

22 3

2 2

1 2 2

1 2 , ,

2

ss s

ss

ss

s ss s

ss

x x HH H

x HH

x HH

x x H HH H

x HH

u C u C u

C u C u

C u x t u x t

C u u u u

C u u

Luego, 3 ,ss sx HH HB u C u C u 0 1.

por lo tanto, ,s ss H HHB u Au u

donde C y 0 1; C y 0 , es decir, el operador

A A B es m-disipativo.

Teorema 3.6.Si 0 el operador A es el generador de un semigrupo

de contracciones 0t

W t sobre , 0sH s tal que

13

3 2

ˆ, ,i t

W t u t e u t

(3.8)

y cualquiera sea 0su H la función 3: 0, sW u H

es la

única solución del problema lineal regularizado en

1 30, : 0, :s sC H C H

Además, para cada 0t se tiene ,s s rW t L H H para todo

0r y

11

2ss r r r HH

W t u K ut

(3.9)

Demostración. La primera y tercera afirmación es consecuencia del

teorema de Lumer-Phillips (teorema 8.63) y del teorema de existencia y

solución para un problema lineal. Para demostrar (3.8) resolvemos el

problema lineal regularizado tomando la transformada de Fourier en la

variable espacial obteniendo

3 2 23 2 ˆ ˆt x xu u u i u i u

3 2 3 2ˆ ˆ ˆi u u i u (2.13)

Luego integrando de 0 a ,t 3 2

0ˆ ˆi tu e u

Definimos 3 2

0ˆ .i t

W t u e u

A continuación demostramos la afirmación (3.9). En efecto, sean 0r y

su H

3 2 2

2 2 ˆ1s r

s r i t

HW t u t e u d

14

3 2

3 2

2

2 2

2

22 2

2 22 2

22 2 2

2 22 2 2 2 2

2 22 2 2 2

ˆ1 1

ˆ1 1

ˆ1 1

ˆ ˆ1 1

ˆ ˆ1 1

r s i t

r s i t t

r s t

st r t

s sr t

e u d

C e e u d

C e u d

C e u d e u d

C u d e u d

Consideremos la desigualdad

22 2 1 1

2 2

rrr t

r r r

r re

ee t t

para todo 0, 0t y 0r entonces

2 2 22 2 2 21ˆ ˆ1 12

rs sr t

r

re u d u d

e t

221 ˆ1

2

s

r rC u dt

de este modo,

2 2 2

,2

s ss r rH HH

CrW t u t u t u t

t

donde

2 max 1,r rK C

2 22 1

1 ,2

ss r r r HHW t u t K u t

t

por lo tanto,

11

2ss r r r HH

W t u t K u tt

Notemos que toda solución de la ecuación KdVg regularizada en sH con

0s es solución de la ecuación integral

10 0

1

1


p

15

Para esto definimos la función g W t u donde u es la

solución de KdVgy W t es el semigrupo generado por A

(proposición 3.5)

Así, ,ut A

g e entonces 3 ,t A t A

x

dg e u e u

d

Despejando ,tu x t de la ecuación KdVgresulta

pt xu t A u t u t u t

Luego, derivando respecto de , se tiene

3 11

1t A t A p

x x

dg e A u e u u

d p

11

1

t A pxe u

p

Integrando de 0 a t se obtiene:

1

0

10

1

t At pxg t g e u d

p

Luego, 1

0

1, 0

1

t AttA pxu x t g t e u e u d

p

Por lo tanto, 10 0

1,

1

t At pxu x t W t u e u d

p

3.3. Existencia y unicidad de solución local del problema

regularizado

En esta sección aplicamos el método de regularización parabólica para

mostrar la existencia de la solución del problema de valor inicial

asociado con la ecuación de Korteweg-de Vries generalizada

regularizada (3.10)

16

3 2

0

, , , , , 0

(3.10)

,0

pt x x xu x t u x t u x t u x t u x t

u x u x

Para el desarrollo de esta sección demostramos primero que existe una

función u continua de 0,T en sH , solución única de (3.10), luego

demostramos que el intervalo de existencia de la solución del PVI

regularizado es independiente de .

Sea el problema de valor inicial (PVI) asociado con la ecuación de

(3.10). Notemos que si u es solución de (3.10), entonces

10 0

1, , 3.10.1

1

t pxu x t W t u W t u x d

p

Donde 0t

W t es generado por el operador A , de la definición (3.4).

A continuación mostramos que la ecuación (3.10) tiene solución única.

Para esto aplicaremos el teorema de punto fijo de Banach.

Supongamos que 0su H y 0 0u . Dado 0T , definimos

0 00, : : ss

ss HH

X T u C T H u t W t u u

y una métrica en sX T como ^0,0,

, sup sTH L

t T

d u v u v u v

, por lo

tanto ,sX T d es un espacio métrico completo.

Sobre sX T definimos la función u , como

10 0

1

1


p

y demostraremos algunas de sus propiedades.

17

Proposición3.7.Si 0 y 3

2s , entonces 0, : su C T H para

cualquier 0 .T

Demostración.Para cualquier 0 : sT u t H , 0,t T .

En efecto, para todo 0, ,T su H entonces 1 1, ,p s p sxu H u H

1p sxW t u H , por tanto su H .

Supongamos que 0 0,t T y sea 00 t t , demostraremos que u es

continua en 0,T .

Para esto,

0

0

0

0

0

1 10 0 0 00 0

1 10 0 0 00

1

10 0 0 00

1

1

1

1

1

1

1

1

s

s

ss

s

s s

H

t tp px x

H

t p px xH

H

t pxt H

t pxH H

u t u t

W t u W t u W t u d W t u dp

W t u W t u W t u W t u dp

W t u dp

W t u W t u W t W t u dp

0

11

1 s

t px Ht

W t u dp

El primer y tercer sumandos tienden a cero cuando t tiende a 0t ya que

0,t TW t

es un semigrupo fuertemente continuo. El segundo sumando

tiende a cero como consecuencia del teorema de la convergencia

dominada de Lebesgue. Por lo tanto u es continua en 0t

18

Proposición 3.8. Si 0 y 0su H , 3

2s ,existe 0 , , 0,sH

T T u s T

tal que : s sX T X T es una contracción.

Demostración. Se hará en dos etapas.

Primera Etapa: Probaremos que sR X T en efecto. Sea

1 ,su X T entonces

1

10 0

1

0

1

1

11

2

s s

s

t pxH H

t px H

u t W t u W t u dp

C u dt

Realizando el cambio de variable ' 2 t

1

1

2 10 0

2 1

0

1 '1 '

2 ' 2

1 '1 '

2 ' 2

s

s

t px

H

t p

H

Cu t W t u u t d

Cu t d

12

0

21

0 0

2

0 00

1 '1 '

2 ' 2

11

11

s

s

s s

pt

H

tp

H

tp

H H

Cu t d

C u d

C u d u

Como2

0 00

1lim 1 0s

tp

HtC u d

, tenemos que dado 1 , existe

1 10, : 0T T t T entonces2

0 0

11 1s

tp

HC u d

19

Luego, 0 0 sHu t W t u u . Por lo tanto su X T .

Segunda Etapa: Sea 10, ; , .st T u v H es una contracción, es decir,

dado 1, su v X T demostraremos que , , ; 0 1d u v d u v .

En efecto, para todo 10,t T

1

1 1

0

1 1

0

1

1

1 11

1 2

s s

s

t p pxH H

t p px

H

u t v t W t u v dp

u v dp t

(3.11)

Donde,

1

1 1 1 1

0

0

0 00

00

0

0

2 2

2

2 1

ss

s

s ss

s ss

ss

ss

ss

p p p px HH

pp j j

j H

pp j j

H HHj

pp j j

H HHj

ppp

HHj

pp

HH

p

p HH

u v u v

u v u v

u v u v

u v u u

u v u

p u v u

C u v u

En la inecuación (3.11) tenemos

1

0 0

0 00,

0 0

11

2

11 sup

2

11 ,

2

ss s

s s

s

tp

HH H

tp

H HT

tp

H

u t v t C u u v dt

C u u v dt

C u d d u vt

20

Donde1

pCC

p

Pero 0

11

2

td

t

tiende a cero si t tiende a 0, en efecto:

0 0

1 1 21 1

2 2

t t td d t

t t

entonces si t tiende a 0, 0

11

2

td

t

tiende a cero para todo

10,t T ,Luego 0 0

11 1

2s

tp

HC u d

t

Por tanto, , ; 0 1sHu t v t d u v

Teorema 3.9. Si 0 y 0su H , 3

2s entonces existen 0 , ,sH

T T u s

y una función 0, : su C T H solución única del problema lineal

regularizado.

Demostración.Por el teorema de contracción existe un único su X T

tal que

10 0

1

1

t pxu t u t W t u W t u d

p

Demostraremos la unicidad en 0, : sC T H

Sean , 0, : su v C T H soluciones de la ecuación integral (3.10.1).

Para 0,t T cualquiera tenemos,

21

1

1

1 1

0

1 11

0

1 11

0

1

1

11

1 2

11

1 2

s s

s

s

t p px xH H

t p px

H

t p p

H

u t v t W t u u dp

Ku v d

p t

Ku v d

p t

desde que 1 1

0

pp p p j j

j

u v u v u v

tenemos,

1

1

00

1

00

11

1 2

11

1 2

s

s

s

s

pt p j j

Hj H

pt p j j

Hj H

Ku t v t u v u v d

p t

Ku v u v d

p t

usando el teorema 8.39 en la norma de la suma, tenemos,

1

00

1

00

11

1 2

11

1 2

s s s s

s s s

pt p j j

H H H Hj

pt jp j j

H H Hj

Ku t v t u v u v d

p t

Ku v u v d

p t

acotando cada uno de los factores de la suma, tenemos

11 20

0

1 0

11

1 2

11

2

s s

s

pt p j j

H Hj

tp

H

Ku t v t u v m m d

p t

K N u v dt

donde 1 20, 0,

sup , sups sH H

T T

u t m v t m

y 1 2,N máx m m . Luego

22

21

00,

1

0,

0,

1sup 1

sup 2

sup

s s

s

s

tp

H Ht

p

Ht

Ht

Ku t v t N u v d

KN u v t t

K t u v

Siendo 1 2pKK t N t t

una función no negativa, continua y

estrictamente creciente. Entonces

0,

sups sH Ht

u v K t u v

Por el teorema del valor intermedio, existe un único 1 0,T tal que

1 12K T y para todo 10,t T se cumple que 1 1

2K t K T . Por

lo tanto, dado 10,t T cualquiera,

1 10, 0,

1sup sup

2s s sH H HT T

u v K t u v u v

entonces

1 1 1

1

0, 0, 0,

0,

1sup sup sup

2

1 sup 0

2

s s

s

H HT T T

HT

u v u v

u v

Así u t v t para cualquier 10,T

Si 1T T se terminó la demostración.

23

Si 1T T definimos 2 12 ,T mín T T , entonces 1 2T T . Sea

1 2,t T T , luego

1

1

1

1

1

0

2

0 0,

1 10

,

1

,

11

2

1sup 1

2 sup

sup

ss s

s s

s s

s

tp

HH HT

t Tp

H HT t

p

H HT t

HT t

u t v t C u u v dt

Cu u v d

Cu t T t T u v

K t T u v

Por tanto, para todo 1 2,t T T

2 2

1 2 1

0, 0,

sup sups s sH H H

T T

u t v t K t T u v K T T u v

Vemos que 2 12T T y 1 2 1K t T K T T 2 1 1K T T K T

Luego

2 1 2 1 2 10

1 1 1 10

1 10

1

2

2 2 2

2

1

2

s

s

s

p

H

p

H

p

H

CK T T u T T T T

Cu T T T T

Cu T T

K T

24

Luego, en 1 2,T T , se tiene

2

12

0,

sups sH H

T

u t v t u t v t

,

entonces 20; 0,sH

u t v t t T .

Por lo tanto, para todo 20,t T se tiene u t v t . Si 2T T

concluimos la demostración.

Si 2T T , construimos una sucesión nT estrictamente creciente y

acotada tal que 0 nT T , para todo 1: 2 ;n nn T mín T T , se

cumple para 1n . Asumimos que se cumple para n h es decir,

1, ,h hu t v t t T T , h . Por lo tanto,

1, 0, hu t v t t T

Desde que n

nT

es una sucesión estrictamente creciente, acotada en

el compacto 0,T entonces existe supremo de nT , es decir

sup lim .n n

nn

T T T

Por lo tanto, , 0,u t v t t T

Teorema 3.10. Sean 0 y 0su H con 3

2s . La función u del

teorema 3.9 satisface 0, : s ru C T H , para todo 0r .

Demostración. Veremos que 0, , s ru C T H , para todo 0,1r .

Para esto, demostraremos que : 0, s ru T H . En efecto, sabemos

que, 10 0

1

1


p

25

Donde 0 : 0, s rW u T H es continua. Entonces, probaremos

solamente la continuidad para 1

0

t pxG t W t u d

Sea 0,t T

1

0

11 10

11 10

1

1 10

11

2

11

2

11

2

s r s r

s r

s

s

t pxH H

t pr xr H

t pr r H

t p

r r H

G t W t u d

K u dt

K u dt

K u dt

Haciendo cambio de variable 2 't y tomando

0,sup sH

T

u t m

,

tenemos

12

21110

2 1 / 211

0

211

0

11

1

2

s r

r

prrH

rpr

pr

KG t m d

Km d

Km d

la integral impropia converge si 11

2

r , entonces s rG t H . En

segundo lugar, probaremos que : 0, s ru T H es continua. En efecto,

sea h tal que , 0,t t h T , luego

26

1 1

0 0s r

s r

t h tp px xH

H

G t h G t W t h u d W t u d

usando propiedades convenientes de la integral tenemos,

usando la desigualdad triangular para la norma y la propiedad de mayor

con la integral de una norma, tenemos,

1

0

1

1

0

1

1

0

1

s r s r

s r

s r

s r

s r

s r

t pxH H

t h pxt H

t px

H

t h pxt H

t px

H

t h pxt H

G t h G t W t h W t u d

W t h u d

W h I W t u d

W t h u d

W t W h I u d

W t h u d

usando el teorema 3.6 en cada una de las integrales, tenemos,

1

1

110

11

11

2

1 1

2

s r s

s

t pr xrH H

t h pr xr Ht

G t h G t K W h I u dt

C u dt h

haciendo el cambio de variable antes indicado en la segunda integral y

acotando tenemos,

1 1

0s r

s r

t t hp px xH t H

G t h G t W t h W t u d W t h u d

27

1

1

1

110

1 1

110

1 1

011

2

2 2

011

2

2 2 ,

s r

s

s

s

t pr xrH

H

r pr

H

t pr xr

H

r pr

W h WG t h G t K h u d

ht

Ch h u d

W h WK h u d

ht

Ch h m

Luego

1

110

1 / 2 1

011

2

2 22

s r

s

t pr xrH

H

r pr

W h WG t h G t hK u d

ht

Ch h m

Por lo tanto G es continua para 0h

Análogamente se prueba queGes continua para 0h . Sea h tal

que , 0, .t t h T Luego:

1 1

0 0

1 1

0

s rs r

s r

t h tp px xH

H

t h tp px xt h H

G t h G t W t h u d W t u d

W t h W t u d W t h u d

Habiendo usado las propiedades convenientes de integración y la

desigualdad triangular de la norma, tenemos,

28

1

0

1

s r s r

s r

t h pxH H

t pxt h H

G t h G t W t h I W h u d

W t u d

de manera similar como se procedió antes, tenemos:

11 10

1

0

11 10

1

0

11 1

11 0

2

' ' '

011

2

011

2

s r

s r

s r

s r

s r

H

t h pxr H

t h px H

t h pxr

H

h px H

pxr

H

G t h G t

C W W h u dt h

W t h u h d

W W hC h u d

ht h

W h u t h d

W W hC u

ht h

0

1

0

11 10

12 10

11 10

011

2

11

2

011

2

s r

s r

s r

s r

s r

t h

h px H

t h pxr

H

h pxr H

t h pxr

H

d h

W h u t h d

W W hC u d h

ht h

C u t h dh

W W hC u d

ht h

1

1 / 22 1 22 2

1

pr

h

C mh h

r

Por tanto Ges continua para 0h . Finalmente u es continua en

0, .T

29

Usando el procedimiento anterior se prueba que 20, , s rG C T H y

por tanto 20, , s ru C T H . Por inducción se demuestra que para

cada n se cumple que 0, , s nrG C T H y por tanto

0, , s nru C T H

Este resultado será fundamental para demostrar que el intervalo de

existencia de la solución del sistema regularizado es independiente de

como veremos en el teorema 3.11.

Teorema 3.11. Sean 0 y 30 2,sH s entonces la función u del

teorema 3.9 satisface 1 30, : 0, :s su C T H C T H

y es la solución única de (3.10). Además, para todo 0r

1 30, : 0, :s r s ru C T H C T H

Demostración. Veamos la existencia de una solución. Del teorema 3.9 y

de la teoría de semigrupos tenemos 0 0tW t u A W t u

Para 0t en 3sH . Para 0 , consideramos

1

0

t pxG t W t u d

Para 0 t T y 0, 0,h t h T se sigue,

30

1 1

0 0

1 1

0 0

1

0

1 1

0 0

1

1

1

1

t h tp px x

t t hp px x

t px

t tp px x

ph x h

G t h G tW t h u d W t u d

h h

W t h u d W t h u dh

W t u d

W t h u d W t u dh

W t h C u C

en la última igualdad se ha usado el teorema de valor medio para

integrales en el intervalo , ,ht t h C t t h con ,hC t t h

1 1

0 0

1

1 1

0

1

1

t tp px x

ph x h

t p px h x h

G t h G tW t h W h u d W t u d

h h

W t h C u C

W h I W t u d W t h C u Ch

como A es el generador del semigrupo

0tW t

tenemos

1 1

0 00

1lim

t tp px x

hW h I W t u d A W t u d

h

además, ,hC t t h y si 0h entonces hC t , por tanto

1 1

0lim 0p p

h x h xh

W t h C u C W u t

Así obtenemos, 1 ,pt xG t A G t u t para 0 t T y

0, 0,h t h T . Haciendo un cambio de variable 0k h , se sigue

31

Como A es el generador del semigrupo 0t

W t tenemos

1 1

0 00lim

t k t kp px x

k

W k IW t k u d A W t k u d

k

Además ,kD t k t y si 0k entonces kD t , por tanto

1 1

0lim 0p p

k x k xk

W t D u D W u t

Luego, 1pt xG t A G t u t

Así tenemos, t t tG t G t G t y

1 1

0 0

1 1

0 0

1

1 1

0 0

1

1

1

1

t t kp px x

t k t kp px x

t pxt k

t k t kp px x

t pxt k

G t G t kW t u d W t k u d

k k

W t u d W t k u dk

W t u d

W t k k u d W t k u dk

W t u d

W k I

k

1 1

0

t k p px k x kW t k u d W t D u D

32

0

0

10

10

1

1

1

1

1 1

1 1

1 1

1 1

t t

t t

px

px

u t W t u G tp

W t u G tp

A W t u A G t u tp p

A W t u G t u tp p

Luego, 11 (3.12)

1p

t xu t A u t u tp

Por lo tanto, : 0, s ru T H satisface la ecuación (3.10).

Demostraremos que 1 30, : su t C T H . Primero veremos si tu t

es continua en 0,T . En efecto, de la ecuación (3.12) basta demostrar

que A es un operador lineal acotado para decir que es continuo (lo

mismo para x ).Luego demostramos que 3: 0, stu T H

.

En efecto, sea 0,t T

3

3

3 3

1

1

1

1

1

1

s

s

s s

pt xH

H

pxH H

u A u up

A u up

33

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

s s

s s

s s

p

H H

p

H H

p

H H

u up

u up

u up

Por lo tanto 1 30, : su C T H . Finalmente probaremos que u es la

solución única del problema lineal regularizado.

Sea 1 30, : 0, :s sv C T H C T H otra solución del problema

lineal regularizado, entonces la función v satisface (3.12), es decir,

11; 0

1p

t xv t A v t v t t Tp

1

1

1

1

1

1

1

1

1

px

px

px

W t v W t C W t v

W t A v v W t A vp

W t A v W t v W t A vp

W t vp

Integrando de 0 a t a ambos miembros de la igualdad

34

1

0 0

1

0

10 0

1

1

10 0

1

1

1

t t px

t px

t px

W t v d W t v dp

W v t W t v W t v dp

v t W t v W t v dp

Observemos que 1 30, : 0, :s sv C T H C T H es solución de la

ecuación integral y por la unicidad del teorema 3.9 deducimos que v u

en 0, .T

A continuación demostraremos un resultado que será útil para probar la

existencia de solución local del problema de valor inicial (3.1).

Teorema 3.12. Sean 0 , 30 2,su H s y sea u la solución del

problema lineal regularizado. Entonces existe 0 , 0 0,sHT T u s T tal

que u se puede extender a 0,T . Además existe 0, :C T tal que

2

0

,0

sup , ,

s

s

H

H

u t t t T

t C u s T

(3.13)

donde satisface

22

2

0

' 2 ,

0

p

s

s

H

t C t t T

u

(3.14)

También, si 0s ru H para 0r , entonces para cada 0 se tiene

2

00,

sup , , ,s rs r HHT

u C u s T (3.15)

donde .,.,.C es creciente en cada argumento.

35

Demostración. Sea 1 30, : 0, :s su C T H C T H la solución del

problema lineal regularizado dado por el teorema 3.11. Tenemos,

2

1

1

,

, ,

12 ,

1

12 , ,

1

s s

s s

s

s s

t tH H

t tH H

px

H

pxH H

u t u t u t

u t u t u t u t

u t A u t u tp

u t A u t u t u tp

El generador A es m-disipativo, sabemos que , 0s

p

Hu t A u t

luego

22 , 2 ,

s s s

p pt x xH H H

u t u t u t u t u t u t u t

Por la desigualdad de Kato, tenemos

1 1

2 2

2

2 2

2

2

2

2

4

s s s ss s

s s s s s

s s

s

p pt s x xH H H HH H

p p

s H H H H H

p p

s H H

p

s H

u t C u u u u u

C u u u u u

C u u

C u

por tanto 2

22 2 24 2 2

P

s s s

P

t s sH H Hu t C u C u

.

Consideremos 222

P

sC t

entonces

2 22

s st H Hu t u (3.16)

36

Al resolver la igualdad en (3.16) según la teoría de ecuaciones

diferenciales ordinarias, la solución maximal viene dada por,

2 22

s st H Hu t u o equivalentemente 2

2 2p

sd C dt

integrando y considerando la condición inicial 2

00 sHu , obtenemos

2

0

2/2

01

s

s

Hp

s H

ut

pC t u

Luego, 01/ 21/

01

s

s

Hpp

s H

ut

pC t u

definida en el intervalo ˆ0,T con0

1ˆs

p

s H

TpC u

.

Por lo tanto, 2 ˆ, 0, 0,sH

u t t t T T

Así,para 0 , u se puede extender al intervalo 0,T , donde

ˆ0, 0,T T T . Para todo 0 se tiene

2

2 0

2/

0

, 0,1 2

s

s

HpH p

s

uu t t t T

C pt u

Entonces,

22 0

2/0, 0,

0

sup sup1 2

s

s

s

HpH pt T t T

s H

uu t

C pT u

pero, dado que la expresión

2

0

2/

01 2

s

s

Hpp

s H

u

C pT ues creciente en 0,t T

Luego,

2 2

0 0

2/ 2/0,

0 0

sup1 2 1 2

s s

s s

H Hp pp pT

s sH H

u u

C pT u C pT u

37

por tanto,

22 0

2/0,

0

sup1 2

s

s

s

HpH pT

s H

uu t

C pT u

Así, para 0 , u se puede extender si fuera necesario a un intervalo

0,T . Esto prueba a (3.13) como queríamos.

Además, si 0r podemos concluir

22 0

02/0,

0

sup , ,1 2

s r

s rs r

s r

Hp HH pT

s H

uu t C u s T

C pT u

lo que completa la demostración.

38

IV. MATERIALES Y MÉTODOS

4.1. MATERIALES

Los materiales utilizados en el presente trabajo de investigación son:

1.- Material bibliográfico de bibliotecas visitadas.

2.- Revistas especializadas.

3.- Información especializada por internet.

4.- Los programas para editar MathType 5.0 y Word 2010.

5.- Una computadora Corel 2 Dúo.

4.2. MÉTODOS

El método utilizado en el presente trabajo de investigación es el

demostrativo inferencial.

De acuerdo a la naturaleza del trabajo, por ser de índole demostrativo, no

es necesaria técnica demostrativa alguna.

39

V.RESULTADOS

5.1. Existencia y unicidad de solución local de la KdVg

Demostraremos en el siguiente teorema la existencia y unicidad de la

solución de la ecuación (3.1)

Teorema 5.1. Sea 0su H y 3

2s entonces existen 0 ,sHT T u s y una

1 30, , 0, ,s su C T H C T H solución única de (3.1) y

2

00,

, 0

sup , ,

s

s

H

HT

u t t t T

t C u s T

(5.1)

donde satisface

22

2

0

' 2 ; 0

0

p

s

s

H

t C t t

u

yC(.,.,.) es creciente en cada uno de sus argumentos. Además si

0s ru H con 0r , entonces

0 0

0,sup , ,s s rs r H HH

T

u t C u s T u (5.2)

Demostración. Si para 0 , cada u es solución de (3.10) con dato

inicial 0u dado por los teoremas 3.10 y 3.11 en 0,T , afirmamos que

existe u tal que

2

0limu

u t u t en L (5.3)

uniformemente en 0,t T . Para esto, probaremos que 0

u es una

familia de Cauchy; en efecto, sean , 0v cualesquiera y vu la solución

de (3.10), con dato inicial 0 0vu u , esto es,

40

3 2

0

0

0

pt v x v x v xu t u t u t u t u t

u u

(5.4)

Sean 3 2 3 2x x x xA t u t u t u t y p

xF u t u t u t

entonces

0tu t A t u t F u t (5.5)

0tu t A t u t F u t (5.6)

Sumando y restando A t u t en (5.5)

0tu t A t u t A t u t A t u t F u t (5.7)

restando de la ecuación (5.7) la ecuación (5.6) y tomando en cuenta que

0 0 0u u , tenemos:

Si u t u t u t entonces u t satisface

0

0 0

tu t A u t A A u t F u t F u t

u

Donde, 3 2x xA u t u t ,

3 2 3 2

2 2

2 2

2

x x x x

x x

x x

x

A A u t u t u t u t u t

u t u t

u t

u t

Luego para 0,t T tenemos

0

0 0 0

t u t u t A u t u t A A u t F u t F u t

u u

41

22

2

2 2

2

2 2

22 ,

2 ,

2 , 2 ,

2 ,

2 , 2 ,

t t LL

L

L L

L

L L

u t u u

u t A u t A A u t F u t F u t

u t A u t u t A A u t

u t F u t F u t

u t A A u t u t F u t F u t

Además,

A continuación acotaremos cada uno de los productos internos del

segundo miembro.

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz

22

2

2 2

2, ,

,

,

s s

ss

s ss

x LL

x x L

x xL L

H H

HH

H HH

u t A A u t u t u t

u t u t

u t u t

C u t u t

C u t u t u t

C u t u t u t

C

Así, 2

, ,L

u t A A u t C (5.8)

donde en la penúltima desigualdad utilizamos (3.14) y 0 , ,sHC C u s T .

También, p px xF u t F u t u t u t u t u t

Luego, usando la fórmula de integración por partes, aplicando la

desigualdad de Cauchy-Schwarz y el teorema de inmersión de Sobolev,

obtenemos

2 2 2

22 , 2 ,t L L L

u t u t A A u t u t F u t F u t

42

22

2

2

2

2

2

1 1

1 1

0

0

0

, ,

1 1,

1 1

1,

1

1,

1

1,

1

1,

1

p px x LL

p px x

L

p px

L

pp j j

x vj L

pp j j

xj L

pp j j

xj L

u t F u t F u t u t u u u u

u t u up p

u t u up

u t u u u up

u t u t u up

u t u t u up

es decir,

22

2, (5.9)v s v LL

u t Fu t Fu t C u t u t

Por tanto, de (5.7), (5.8) y (5.9)

2 2

2 2

t sL Lu C v C u

Integrando de 0 a t se tiene

2 2

2 2

2 2

0 0 0

2 2

0

t t t

t sL L

t

sL L

u t C v d C u d

u C v T C u d

Aplicando la desigualdad de Gronwall, obtenemos

2

2sC T

Lu C v Te

Así obtenemos que 0

lim en (5.10)su t w u t H

uniformemente en 0, .t T

Por el teorema de representación de Riez-Fréchet, para todo : sf H

lineal y acotado, existe un único sH que cumple ,sH

f u u ,

43

luego por la densidad de 2 ens sH H , para cada 0 existe sH tal

que .sH

Sean , 0 y , vv u u como antes, usando (3.14) con 0 , ,sHC C u s T

tenemos

2 2

, ,

, ,

, ,

s s

s s

v vH H

v vH H

s s s sv vL L

s

u t u t u t u t

u t u t u t u t

J u t u t J J u t u t J

J u t

2 22

22

22

2,

<

s ss

s

s sv vL LL

v vH HH L

v HL

u t J u t u t J

u t u t u t u t

C u t u t

C

Así, , < (5.11)sv H

u t u t C

Entonces para todo 0, lim , =0sv f Hv

u t u t

para cada 0,t T

de(3.28), proposición 8.5 y (3.16) obtenemos (3.27).

Además de (3.27) sigue que 0, , ,swu C T H por la proposición (8.3) y

la desigualdad

2

00,T

sup , ,

s

s

H

H

u t

t C u s T

Tenemos, 12liminf , 0, .s sH Hx

u t u t t t T

44

por lo que u t satisface (3.14).

Probaremos que u t satisface el problema (2.15) c.e.t. 30, en .st T H

Para ello definamos

(5.12)E u t A u t F u t

Entonces, de (3.27) y porque la función,

:

,

s s sH H H

u v uv

es débilmente continua cuando 1,

2s sigue que

0 0 0lim lim limw E u t w A u t w F u t

Au t F u t

E u t

Así 3

0lim en (5.13)sw E u t E u t H

Uniformemente en 0,t T . Del teorema 3.11 y de (3.29) tenemos

, 0,tu t E u t t T

Integrando desde ' hasta , con 0 ' ,t t t t T obtenemos

'

' (5.14)t

tu t u t E u d

Como 0, , ,swu C T H de (3.27) y (3.28), la función

3. : 0, sE u T H

Es débilmente continua. Como las funciones débilmente continuas son

medibles (corolario 8.9) y por lo tanto integrables en el sentido de

45

Bochner (proposición 8.11), de (3.28), 3,s sA L H H con 3

2s , y el

teorema de convergencia dominada (corolario 8.12) tenemos que

' '0 0

' 0

'

'

lim lim

lim

t t

t t

t

t

t

t

t

t

w E u d w A u F u d

w A u F u d

A u F u d

E u d

en 3,sH para 0 ' .t t T

Tomando en (3.27) el límite débil cuando 0 , obtenemos

'

't

tu t u t E u d en 3,sH para ', 0,t t T

Entonces 30, , su AC T H y satisface (3.1) c.e.t. 0,t T

Probaremos la unicidad en 30, , 0, ,s swC T H AC T H

En efecto, si 3, 0, , 0, ,s swu v C T H AC T H satisfacen (3.1) c.e.t.

en el intervalo 0,T , definimos u u v tal que satisface

3

1 3

3

1 3

, , ,

1, ,

1

, , ,

1, ,

1

pt x x

px x

pt x x

px x

u t u x t u x t u x t

u x t u x tp

v t v x t v x t v x t

v x t v x tp

luego, 3

0

1

1

pp j j

t x xj

u t u u v up

usando integración por partes obtenemos

46

2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

3

0

3

0

0

2

0

2

0

, 2 ,

12 ,

1

12 , 2 ,

1

12 ,

1

12 ,

1

2,

1

t t tL L L

pp j j

x xj

L

pp j j

x x Lj L

pp j j

xj L

pp j j

xj L

pp j j

xj L

u t u t u t u t u t

u t u u v up

u t u u v u t up

u t u u vp

u t u vp

u t u vp

Como su H y 3stu H la desigualdad de Cauchy-Schwarz, el teorema

de inmersión de Sobolev y la desigualdad triangular, implican que

2

2

2 2

2

2 22

0 0

2 2

0 0

2

,

. . . 0,

S

p pp j j p j j

t x xLj jL

p pp j j p j j

x SL Lj jL H

L

u t C u t u v C u u v d

C u v u t C u v u t

C u t c e t t T

Así, 2 2

2 2. . . 0,t sL L

u t C u t c e t t T (5.15)

Integrando (5.15) de 0 a t tenemos

2 2 2

2 2 2

00 , 0,

t

sL L Lu t u C u d t T

de donde, utilizando la desigualdad de Gronwall, sigue que

2 2 2

2 2

2 2 2

0

2 2

0

0

0 exp

0

t

sL L L

t

sL L

u t u C u d

u C u d

Luego u t v t en 2L c.e.t. 0,t T

47

Sea ahora cualquier S entonces

, ,r rH Hu t u t v t para 0r

2

2

22

2

,

,

r

r r

L

r

L

HL

J u t v t J

u t v t J

u t v t

Luego la desigualdad de Cauchy-Schwarz implica

22, 0rr HH Lu t u t v t

Como S es denso en rH obtenemos u t v t en rH para

0,t T en particular, es válido si r = s y r = s - 3, y en consecuencia la

unicidad en la clase 30, , 0, ,s swC T H AC T H

Para completar la demostración de existencia debemos probar que

0, , su C T H

En efecto, en primer lugar veamos que u es continua a la derecha de 0

en sH . Como 0, , swu C T H es inmediato que

00

limt

w u t u

en sH (5.16)

y de (3.10.1)

1 1 12 2 2

000 0

lim sup lim sup lim 0 ss HH tt t

u t t t u

Así, 00

limsup ss HHt

u t u

(5.17)

y la afirmación sigue de (5.16), (5.17) y por la (proposición 8.3)

00

limt

u t u

Por lo tanto es continua a la derecha de 0.

48

En segundo lugar demostraremos que u es continua por la derecha en

0 0,t T .

En efecto, definimos, 0, ,v x t u x t t

Con 300, , 0, , 0, ,s swt T t u C T H AC T H

Entonces 30 00, , 0, ,s s

wv C T t H AC T t H y satisface (3.1)

3 10

0

10 . . . 0,

1

0

pt x xv t v t v t c e t t T t

p

v u t

v t es única y continua por la derecha a cero, es decir, u es continua a

la derecha de 0t

En tercer lugar demostraremos que u es continua a la izquierda en

0 0,t T . En efecto, definimos 0, , ,w x t u x t t con 00, ,t t

30, , 0, , ,s swu C T H AC T H entonces

30 00, , 0, ,s s

ww C t H AC t H

ysatisface(3.10)

3 1 20

0

1, 0 . . . 0,

1

0

pt x x xw t w t w t w x t c e t t t

p

w u t

w t es solución única y continua por la derecha de 0, es decir, es

continua a la izquierda de 0t

49

Por lo tanto 0, , su C T H ycomo satisface (3.10) entonces

1 30, , su C T H

Sabemos que, 2

s rHu t t para 0, ,t T

Luego

12

2 2

2

0

0

0 0

0

0

1

1 1

1

1

s r

s rs rp p

s s

s rp

s

H

HH p p

s sH H

Hp

s H

u tu t t u t

pC t u t pC t u t

u tpC T u

debido a que *0 t T T tenemos

2 2

0 0

1 10 1

1 1p p

s s

p p

s sH HpC t u pC T u

Luego, 0 0, , ,s s rs r H HHu t C u s T u

como consecuencia de las propiedades de convergencia débil y el

supremo, concluimos

0 0

0,sup , ,s s rs r H HH

T

u t C u s T u

De esta manera queda demostrado el teorema.

5.2 Problema de valor inicial asociado a la ecuación de KdVg:

Dependencia continua de la solución respecto del dato inicial

5.2.1. Dependencia continua de la solución del problema

regularizado respecto del dato inicial

Después de ver la existencia y unicidad de solución del problema (3.10),

a continuación estudiaremos el teorema (5.1) en el cual se garantiza la

50

dependencia continua de la solución respecto del dato inicial, es decir,

que pequeñas variaciones en los datos, conllevan pequeñas variaciones

en la solución.

Teorema 5.2. Sea 00, su H con 32s y 0, , su C T H solución

única de

3 2

0

, , , , , 0,

,0

pt x x xu x t u x t u x t u x t u x t p

u x u x

que satisface

Si 0 ,n

u n

convergente a 0su H y ,

nu n

sucesión de soluciones

de la ecuación (KdVg-r) con , ,00n nu u y , 0, : sn nu C T H para cada

1n . Entonces, para cualquier 0,T T existe 0n tal que si 0n N

No se cumple que ,nu está definida en 0, nT y

,

0,lim sup 0

sn Hn T

u t u t

Demostración. Sea 0,T T cualquiera. Para cada n

2

, , 0,sn n nH

u t t t T

donde n satisface,

22' *

2

0,

2 ; 0,

0

p

s

n s n n

n n H

t C t t T

u

y

2

00,

, 0

sup , ,

s

s

H

HT

u t t t T

t C u s T

51

* *

0,

1, 0,

s

n n np

s n H

T T TpC u

Por lo tanto, ,nu para 0n N se extiende a 0,T satisfaciendo

2

, 0 , ,ssn HHu t C u s T

En efecto, previamente demostraremos que

0,0,

sup , , sn n HT

t C T s u

tenemos que

12

1

0,

0,

,1_

s

p

s

n Hn

p

s n H

ut

pC t u

luego para cada n

12

1 1

0, 0, *

0, 0,

;01_ 1_

s s

p p

s s

n nH Hn

p p

s n s nH H

u ut t T T T

pC t u pC T u

(5.18)

desde que 0, 0

sH

nu u (por hipótesis), es decir, 0, 0 sn Hu u , se sigue

que

0, 0 0, 0ss sn nHH Hu u u u

entonces

0, 0 ssn HHu u (5.19)

De (5.18) y (5.19) se sigue,

1 1

0, 0

0, 0,

.1 1

s s

p p

s s

n H H

p p

s n s nH H

u u

pC T u pC T u

52

En consecuencia

12

1

0

01

s

p

s

Hn

p

s H

ut

pC T u

tomando supremo en 0,T

1

21

00

0, 0,

0

sup sup , ,1

s

sp

s

Hn HpT T

s H

ut C u s T

pC T u

entonces,

1

21

00

0,

0

sup , ,1

s

sp

s

Hn HpT

s H

ut C u s T

pC T u

ya que 0 ,s sHu C p y son constantes.

Luego, 2

, 0 , ,ssn HHu t C u s T

Para 0n N , definimos , , 0,nu t u t u t t T y observamos que

3 1 2, , , ,

10

1p

t n x n x n x nu t u t u t u tp

(5.20)

Además

3 1 2,

10

1p

t x x n xu t u t u t u tp

(5.21)

Restando (5.20) de (5.21), obtenemos

3 1 1 2, , , ,

10

1p p

t n x n x n x nu t u t u t u t u t u t u t u tp

desde que , ,nu t u t u t tenemos

3 2,

0

10

1

pp j j

t x n x xj

u t u t u t u t u t u tp

53

3 2,

0

1

1

pp j j

t x n x xj


Así

22 ,s st tH H

u t u t u t

3 2,

0

12 , , ,

1 s s

s

pp j j

x n x xH Hj H

u t u t u t u t u t u t u t u tp

2,

0

12 , 2 ,

1 s

s

pp j j

x n x Hj H


^

,0

2, 2 ,

1s

s

pp j j

x n x x Hj H


2

,0

2, 2

1s

s

pp j j

x n x Hj H

u t u t u t u t u tp

2

,0

22

1ss s

s

pp j j

x n xHH Hj H


2

,0

22

1ss s s

s

pp j j

x n xHH H Hj H


por la desigualdad triangular

2 2

,0

22

1s s s ss

pp j js

t x n xH H H HHj

Cu t u t u t u t u t u t

p

debido a que ,nu y uson soluciones de (3.10) y satisfacen (5.1)

2 22s s s st x xH H H H

u t C u t u t u t

54

Donde2

1sC C

Cp

. Por la desigualdad de Cauchy con (Teorema 8.43),

tenemos,

22

2 2 22

4

s

s s s

x Ht xH H H

C u tu t u t u t

Tomando2

8

C

se tiene

2

2 2

8s st H H

Cu t u t

integrando de 0 a t, tenemos

2

2 2 2

00

8s s s

t

H H H

Cu t u u

y usando la desigualdad de Gronwall, tenemos

2

2 2 20 exp 0

8s s sH H H

Cu t u T C u

Entonces, 2 2

, 0 , 0 0, .ssn n HHu t u t C u u t T

Así,

2

, 0, 00,

sup ,ssn n HHT

u t u t C u u

por lo tanto, ,0,

lim sup 0sn Hn T

u t u t

El propósito de haber involucrado a es para que finalmente sea

considerado como 0 lo cual nos dio buenos resultados y pudimos

probar la existencia y unicidad de solución local de la (3.10); pero al

probar la dependencia continua el valor de C cuando 0 , lo

cual hace imposible concluir la dependencia continua de la solución.

5.2.2. Dependencia continua del problema KdVg respecto del dato

inicial

55

En esta sección usamos los estimados de Bona-Smith presentados en el

teorema 5.2 para probar la dependencia continua de la solución local

respecto del dato inicial.

Teorema 5.3. Sean 32 ,0 1s y 0, , 0,u u H

aproximaciones de

Bona-Smith de 0u . Si u y u son soluciones de (5.1) con datos iniciales

0,u y 0,u respectivamente, entonces para cada 0,T T , existe

0 , , 0sHC C u s T tal que

0, 0,

0,sup ; 1

svp v

s sH HT

u t u t C u u v s r

Donde 320 v

Demostración. Probaremos este teorema en tres etapas. En la primera

etapa demostraremos, en caso sea necesario u y u pueden

extenderse al intervalo 0,T . En efecto, del teorema 5.2, tenemos

20,sH

u t t t T

y 2

sHu t t si 0,t T (5.22)

Si ,T T T de la definición de y del teorema 5.1, tenemos

0, 0, , , , ,ss HHt C u s T C u s T

y 0, 0, , , , ,ss HHt C u s T C u s T (5.23)

Luego, de (5.23), u y u ya pueden extenderse a 0,T

En la segunda etapa vamos a probar dos desigualdades

2 0 , ,s

s

HLw t C u s T

56

2

2 2

2 2 2

00

svp v

s

ts ss s HL L

D w t D w C C w d

donde w t u t u t . En efecto. 0, 0,0w u u , tomando en cuenta

las desigualdades de (5.23) tenemos

3 110

1p

t x xu u up

(5.24)

y

3 110

1p

t x xu u up

(5.25)

Restando (5.25) de (5.24)

3 1 110

1p p

t x xw t w t u up

(5.26)

1 1

11 1 1 1

1

1p p

kp p p k kx x

k

u u k u w w

(5.27)

Reemplazando (5.27) en (5.26) obtenemos,

1 1

13 1

1

11 0

1

p pk p k k

t x xk

w t w t k u wp

luego

2 2

22 ,t tL L

w t w t w t

2

2

1 113 1

1

12 , 2 , 1

1

p pk p k k

x xLk L

w t w t w t k u wp

2

1 11 1

1

2, 1

1

p pk p k k

xk L

w t k u wp

2

1 11 1

1

2, 1

1

p pk p k k

xk L

w t k u wp

57

2

2

2

1 11 1

1

1 11 1

1

1 11 1

1

2, 1

1

2, 1

1

2, 1

1

p pk p k k

xk L

p pk p k k

xk L

p pkk p k

xk L

w t k u wp

w t k u wp

w w t k up

Considerando que 11

1k k

x xw w wk

, tenemos

2

2

1 12 11 1

1

2 1, 1

1 1

p pkk p k

t xLk L

w t w t k up k

2

1 111 1

1

2 1, 1

1 1

p pkk p k

xk L

w t k up k

2

1 11 1

1

2 1,

1 1

p pk p k

x Lk

k w t up k

1

1 11 1

1

2 1

1 1

p pk p k

xL Lk

k w t up k

1

1 1 21 1

0,1

2 1sup

1 1

p pk p k

xL LTk

k w t w t up k

2

1 11 1

0,1

2 1sup

1 1 s

p pk p k

L HTk

k w t w t up k

2

1 12

1

2 1

1 1

p p

kLk

w k Cp k

2

2

p LC w

Por consiguiente, 22

2 2

t pLLw t w C

Luego, integrando de 0 a t,

2

2 2

0 0.

t t

pLw d C w d

58

de donde 2 2

2 2 2

00 .

t

pL Lw t w C w d

o 2 2

2 2 2

00 .

t

pL Lw t w C w d

Aplicando la desigualdad de Gronwall

2 2 2

2 2 20 0p pC t C T

L L Lw t w e w e

2 2 2

22

0, 0, 0, 0 0, 0L L LC u u C u u u u

2 2 2 2

2 2

0, 0 0, 0 0, 0 0, 02L L L L

C u u u u u u u u

Utilizando(8.18) con 0

2

2 2 2 22 2 2 2 2 21 0 1 0 1 02s s s

s s s s

H H HLw t C C u C u C u

22 202 s

s s s s

HC u

2 2

0 ,s

s s

HC u

Como , 2

2 22 20 s

s s

HLw t C u C

Por lo tanto, 2 0 , ,s

s

HLw t C u s T

dondeC es una constante que depende de 0 ,sHu s y T , como puede

verse al acotar 2

2

t Lw t y 2

2

Lw t

Ahora demostraremos

2

2 2

2 2 2

00

svp v

s

ts ss s HL L

D w t D w C C w d (5.28)

Tenemos

2 2 2

22 , 2 ,s s s s s

t t tL L LD w t D w t D w t D w t D w t

59

2

1 113 1

1

12 , 1

1

p pks s p k k

x xk

L

D w t D w k u wp

2

2

1 113 1

1

22 , , 1

1

p pks s s s p k k

x xLk L

D w D w D w D k u wp

considerando que2

3, 0s sx L

D w D w según la proposición 3.2, tenemos,

2

2

1 12 1 1

1

2, 1

1

p pks s s p k k

t xLk L

D w t D w D k u wp

2

1 11

1

2,

1

p ps s p k k

xk L

D w D k u wp

2

1 11

1

2,

1

p ps s p k k

xk L

D w D k u wp

2 2

11 1

1

2, ,

1

p ps s p k k s s p

x xL Lk

k D w D u w D w D wp

22

11 1

1

2 2, ,

1 1

p ps s p k k s s p

x x LLk

k D w D u w D w D wp p

(5.29)

Llamamos, 2

1,s s p k kx

LI D w D u w

y2

1,s s px L

II D w D w

Desarrollando I:

2

2 2

2 2

22

1 1

1 1

1 1 1

1 1

1

, . .

, . , .

, . , .

, , .

, .

s s p k k s p k kx x

L

s s p k k s s p k kx x

L L

s s p k k p k s k s s p k kx x x

L L

s s p k k s p k s kx x LL

s s p k

I D w D u w D u w

D w D u w D w D u w

D w D u w u D w D w D u w

D w D u w D w u D w

D w D u

2

kx

Lw

60

Llamando,2

1,s s p k kx

LA D w D u w

, 2

1, .s p k s kx L

B D w u D w

y 2

1, .s s p k kx

LC D w D u w

Desarrollando A:

2 2

1, ,s s p k kxL L

A D w D u w

1

1 1s ss

p k k p ks x xH H HH H

C w u w w u w

11

1 1s s ss

p k p ks x xH H H HH H

C w u w w u w

1 2 1

1 1 1s s s s

p k p k p ks s xH H H H H H

C w u w C w u u w

Llamando, 1

1

1 ys s

p k

s H H HA C w u w

2 1

1

2 s s

p k

s H H HA C w u w

Desarrollando A1, usando el teorema 5.2 y la proposición 8.37, se

obtiene

2

111 ,s s

p ks H L H

A C w w w

donde 0,1 , 1 0 , 0 ,s s luego / s

/1 1 /1 s s

sp k s ss H H

A C w w

1 / 1s

s s p ks H

C w

escribimos r k p donde 1/ 2 , 1 ,r p k s p k s p k

Usando la proposición 8.49 en el tercer miembro de la última

desigualdad, tenemos, 2 1 2

12 2

1

s s r svp s r p v

s ss sH HA C w C w

donde

1v s r

61

Desarrollando A2, usando interpolación de 2H entre 2L y sH

proposición 8.33, tenemos, 2 2

1sH L H

u u u

Entonces, usando el estimado (8.14) y reemplazando en A2, tenemos

2 1

11

2 s s s

p k

s H L H HA C w u u w

donde 0,1 , 2 1 0 , 0 2 ,s s luego 2s

1

1 1

1 12

2 1

2 1 1

2 1 1

s s

s s s

s

s

s p ks H H

s s p ks H H H

s p ks H

s p ks H

A C w w

C w u u

C w

C w

escribimos 2

1

p k s r

p k , donde 11

2 , ,s sa a ar b b b , 1

1p ka y

2b p k s

2212

svp v

s s

s rs H H

A C w C w

donde 1v s r

Desarrollando B:

2 2 2

1 1, . .s p k s k s p k s kx xL L L

D w u D w D w u D w

2 2

1s p k s kxL L L

D w u D w

1 1s s s s

p k k ks sH H H H

w C u w C w

12 1 2s s s s s

kk

s sH H H H HC w w C w u u

22 2 svp v

s ss sH H

C w C w

62

Desarrollando C:

2 2

1 1 1, . , , . .s s p k k s s p k k p k s kx x

L LD w D u w D w D u xw u D w

2 2

1 1, , , .s s p k k s p k s kx

L LD w D u xw D w u D w

llamando2

11 , ,s s p k k

LC D w D u xw

y 2

12 , .s p k s k

xL

C D w u D w

Desarrollando C1:

2 2

11 ,s s p k k

xL LC D w D u w

1 1

1 1s s ss s

p k p kk kx xH H HH H

C w u w u w

1 1 02s s s s s s s

p k k p k k k

H H H H H H HC w u w u w C w w

1 2 1s s s

k k

H H HC w C w w

1 12 02s s s s

k k

H H H HC w u u C w

22 2 svp v

s sH Hw C w

donde 1v s r

Así 22

1

svp v

ss HC C w

Desarrollando C2:

2 22 , ,s p s p s sx xL L

C D w w D w w D w D w

63

2 2

22 1

11 1

2

1

11 2 2

12 20

2

, ,

2

s

s s s s

s s

s s s s s s

s s

svp v

s

p s s p s sx xL L

p s s p sx HLL H

pp s

H H H HH H

ps

H H

pp p

s s sH H H H H H

p

s sH H

s H

w D w D w w D w D w

w D w D w w D w w

w D w w w w w

w C w

C w C w w C w u u

C w C w

C w

Por lo tanto, 2 2 /5 s

sv p vs H

I C w (5.30)

Resolviendo II, tenemos

2 2

1, , 1s s p s s px xL L

II D w D w D w p D w w

2

1 , , ,s

s s p s p sx x LL

p D w D w w D w w D w

Tomando,21 ,s s p

xL

D D w D w w y 22 ,s p sx L

D D w w D w

Desarrollando D1:

22 21 , , ,s s p s s px xLL L

D D w D w w D w D w w

1 1

12s s s s ss s

pp px xH H H H HH H

w w w w w w w

2 2 2 2 02s s s s s s s

p pp p

s H H H H H H HC w C w w C w u u C w

22 2 svp v

s ss sH HC w C w

64

Desarrollando D2:

2 22 , ,s p s p s sx xL L

D D w w D w w D w D w

2 2, ,p s s p s s

x xL Lw D w D w w D w D w

22 1 s

p s s p sx HLL H

w D w D w w D w w

11 1 s s s s

pp s

H H H HH Hw D w w w w w

1s s

ps

H Hw C w

11 2 2s s s s s s

pp p

s s sH H H H H HC w C w w C w u u

12 202s s

p

s sH HC w C w

22 sv

p vss H

C w

Por lo tanto, 22 svp v

ss HII C w

Entonces, sustituyendo (I) y (II) en (5.29)

2 2

2

12 2 2

1

25 2

1

sv svp v p v

s s

p ps

t H HLk

CD w t k w w

p

2 22 222 2 1 5 2

1

sv svp v p v

s s

p

H H

Cw w

p

22

,

svp v

ss p HC w

donde 1v s r Integrando de 0 a t, tenemos

2

2 2

2 2 2

, 00

svp v

s

ts ss p HL L

D w t D w C w d

2

2

2 2

, , 00

svp v

s

tss p s p HL

D w C C w d

En la tercera y última etapa probaremos

0, 0,

0,sup

svp v

s sH HT

u t u t C u u , donde 0 3/ 2v

65

2 2

22 2

s

s

H L Lw t w t D w t

2

2

2 22, , , 0

0sv

p v

s

ts ss p s p s p HL

C D w C C w d

2 2 2

, , , 00

svp v

s s

t

s p s p s pH HC C w C w d

2 2 2

, , 0, 0, , 0

svp v

ss

t

s p s p s p HHC C u u C w d

Aplicando la desigualdad de Gronwall en el último miembro de las

desigualdades, tenemos

2,

22

, , 0, 0,

svp v s p

s s

C t

s p s pH Hu t u t C C u u e

2,

2

, 0, 0,

svp v s p

s

C T

s p HC u u e

Luego, 2

, 0, 0,

svp v

s ss pH Hu t u t C u u

y considerando el supremos sobre t, tenemos

, 0, 0,

0,sup

svp v

s ss pH HT

u t u t C u u

Teorema 5.4. Sean u y u las soluciones del problema (3.1) en 0,T

con datos iniciales 0,u y 0u para 1 como en el teorema 8.69.

Entonces0

lim u u

en 0, , .sC T H

Demostración. Por el teorema 5.2 y el teorema 5.1, 0u

es de

Cauchy en 0, , sC T H , luego existe 0, , sv C T H y 0v tal

que

0lim u v

Probaremos que satisface la ecuación integral asociada con el problema

66

(3.1).

Así, 10, 0

1

1

t pxu t W t u t W t u d

p

ya que u es solución de la (3.1) con 0,0u u

Tenemos que,

0, 0, 00 0

lim limW t u t W t u t W t u t

(5.31)

pues W t es un operador unitario fuertemente continuo y acotado sobre

H y 0,u converge a 0u cuando 0

Además 11 1

0 0 0lim lim lim

pp p

x x xu u u

es decir,

1 1 1

0lim p p s

x xu v H

(5.32)

para 0, t

1 1

0 0lim limp p

x xW t u W t u

Luego,

1 1

0lim p p

x xW t u W t v

(5.33)

para 0, t . Esto es como consecuencia de (5.32) y que

1sW t L H . Veamos que 1pxw t u es acotada en 1sH .

En efecto,

1 1

11 1 1ss s s

pp p px x HH H H

W t u u C u C u g

como 1

s

p

Hu

es una función integrable sobre 0,T , luego

1

1 1 0, ,s

px H

W t u g g L t

(5.34)

tenemos que,

67

0

limv t u

10, 00

1lim

1

t pxW t u t W t u d

p

10, 00 0

1lim lim

1

t pxW t u t W t u d

p

utilizando (5.31), (5.32), (5.33), (5.34) y el teorema de convergencia

dominada de Lebesgue, sigue que

10 0

1

1

t pxv t W t u t W t v d

p

con la igualdad en 1sH . Entonces v satisface el problema (5.1), y por la

unicidad probada en el teorema 5.1 tenemos que u v , además

0 0u v entonces 0u

Teorema 5.5. Sean 320,s y 0, 0lim n

nu u

en sH . Entonces, dado

0,T T existe 0 0N N T tal que las soluciones ,nu y u del problema

(3.1) en 0,T con datos iniciales 0, ,nu y 0,u respectivamente, están

definidas en 0,T si 0n N además cada vez que 0n N se cumple

, 0, , 0,0,

supsv

p v

s sn s nH Ht T

u t u t C u u

(5.35)

Demostración. Dado que ucumple las condiciones del teorema 5.2

puede ser definida en 0,T , satisface (5.14) y (5.15). Demostremos

que lo mismo sucede con ,nu

Consideremos

68

0, 0, 0,, 0s s sH H H

TT u u u

T (5.36)

Como, 0, , 0, 0, 0 ,s sn nH Hu u u u

del teorema 5.3, existe tal que

0, , 0, 0, , 0,s s sn nH H Hu u u u

(5.37)

entonces

0, , 0,s sn H Hu u siempre que 0n N (5.38)

de la definición de , ,n la desigualdad (5.38) y teorema 5.2, para

0n N T tenemos,

12

1 1

0, , 0,

,

0, , 0,1 1

s s

p p

s s

n H Hn

p p

s n sH H

u ut

pC t u pC t u

1

0

0

, 0,1

s

p

s

HTp

s H

C ut t T

pC t C u

así

12

, , 0,n Tt t t T (5.39)

Pues de (5.36), obtenemos

0, 0, 0, 1s s ss s sH H HC t u C T u C T u

esta última desigualdad es consecuencia de la elección de T en

teorema 3.13.

Para 0n N T se tiene,

, 0,0,

sup , ,sn HT

t C u s T

(5.40)

69

luego del teorema 5.1, si 0n N T entonces ,nu puede ser definida en

0,T y satisface

2

, ,sn nHu t para 0,t T (5.41)

veamos ahora que (5.28) se cumple. En efecto, recordemos (5.16),

(5.17) y (5.18) y que, , 0, 0, ,, 0n nw t u t u t w u u

2

2

1 12 1 1

1

2, 1

1

p pk p k k

t xLk L

w t w t k u wp

2

12

1

12 1

1 1

p

kLk

p

w k Cp k

2

2

p LC w

por lo tanto

2 2

2 2,t pL L

w t C w t (5.42)

integrando de 0 a t

2 2 2

2 2 2

00 ,

t

pL L Lw t w C w d

Entonces,

2 2 2

2 2 2

00

t

pL L Lw t w C w d (5.43)

Usando la desigualdad de Gronwall en (5.39), se obtiene

2 2 2

2 2 20 0 ,p pC t C T

L L Lw t w e w e

entonces obtenemos

2 2

2 20pL L

w t C w para 0,t T

70

Luego, 2 2

2 2

0,

sup 0pL LT

w t C w

, es decir,

2 22 2, 0, 0, ,0, 0,

sup sup 0n p p nL LL LT T

u t u t w t C w C u u

Además, sabiendo que 0, 0, ,0 nw u u y del resultado obtenido en el

teorema 5.3, se tiene

2

22

2 2,

svp vs

t s HLD w t C w t

Integrando de 0 a t

2

22 2

2 2 2

00

svp v

ts ss HL L

D w t D w C w d

2

22 2

2 2 2

00

svp v

ts ss HL L

D w t D w C w d

Sumando a ambos miembros 2

2

Lw t , se obtiene

2

2 22 2

2 22 2 2

00

svp v

s

ts ssL L HL L

w t D w t w t D w C w d

es decir,

2

2 2

22 2 2

00

svp v

s s

tssH L HL

w t w t D w C w d

2

2 2

22 2

00

svp v

s

tss sL HL

w t D w C t C w d

2

2 2

22 2

00 0

svp v

s

tss s sL HL

C w D w C t C w d

22 2 2

00 0

svp v

s s s

t

s s s sH H HC w C w C T C w d

2 22

0 0

svp v

s s

t

s sH HC w C w d

2 2 2

0 0

svp v

s s

t

s sH HC w C w d

Luego, 22 2

0 0,

svp v

ss s

t

s sHH Hw t C w C w d

71

usando la desigualdad de Gronwall, tenemos

22

0

svp v

ss s HHw t C w para 0,t T donde 0, , sH

C C s T u

Entonces

2

, 0, 0, ,

svp v

s sn nH Hu t u t C u u para 0,t T

de donde

, 0, 0, ,0,

supsv

p v

s sn nH HT

u t u t C u u

para 0,t T

Teorema 5.6. Sean 0su H con 3

2s y 0, , su C T H la solución del

problema de valor inicial (3.1) que satisface el teorema 3.13. Si 0, 1n nu

es una sucesión en sH convergente a 0u en sH y 1n nu

una sucesión

en 0, , snC T H de soluciones de (3.1) con 0,0n nu u . Entonces para

todo 0,T T existe 0 0N N T tal que para 0n N está definida en

0,T y

0,

lim sup 0sn Hn T

u t u t

(5.44)

Demostración. Como los estimados para sn Hu t son los mismos que

para , sn Hu t , la existencia de 0 0N N T tal que 0n N implica que

está definida en 0,T , según como el teorema 5.3, sea 0,1 ,

entonces tenemos,

, , 0, , 0, ,0,

supsv

p v

s sn n n nH HT

u t u t C u u

72

con 320 v y 0, sH

C C s T u .

Por tanto, , , 0, , 0, ,0 00,

lim sup limsv

p v

s sn n n nH HT

u t u t C u u

Así, , 0, 0, ,0,

supsv

p v

s sn n n nH HT

u t u t C u u

pero tenemos que 0, , 0, ,0

lim n nu u

en sH , uniformemente en n. Luego,

, ,0 00, 0, 0,

lim sup sup lim sup 0ss sn n n n n n HH HT T T

u t u t u t u t u t u t

es decir, ,0 0,

lim sup 0sn n HT

u t u t

uniformemente en n. Entonces para 0n N se tiene que

, ,s sn n n nH Hu t u t u t u t u t u t u t u t

, , ss sn n n HH Hu t u t u t u t u t u t

Del teorema 5.5 sigue que,

, ,0,

sups ss sn n n nH HH HT

u t u t u t u t u t u t u t u t

, 0, , 0, ,sv

p v

ss sn n s n n HH Hu t u t C u u u t u t

tomando el límite cuando 0 a ambos miembros de la desigualdad,

, 0, , 0,0lim

svp v

s ss sn n n s nH HH Hu t u t u t u t C u u u t u t

0, 0s ssn n s nH HHu t u t C u u u t u t

Luego, 0, 0s sn s nH Hu t u t C u u

Considerando el supremo en 0,t T

0, 00,

sup s sn s nH HT

u t u t C u u

73

y tomando límite cuando n

0, 0 0 00,

lim sup lim 0ss sn s n s HH Hn nT

u t u t C u u C u u

Por lo tanto, 0,

lim sup 0sn Hn T

u t u t

.

74

VI. DISCUSIÓN

Como consecuencia de la utilización principal del teorema del punto fijo,

la teoría de semigrupo de operadores y el estudio de los espacios de

Sobolev, los cuales se exponen en este trabajo, podemos concluir que:

6.1. Probar la existencia y unicidad de solución de la ecuación de KdV

lineal regularizado.

6.2. Que en base a la solución de la ecuación de KdV regularizado es

posible probar la existencia y unicidad de la ecuación KdV lineal.

6.3. Que como consecuencia de probar la existencia y unicidad de la

ecuación KdV lineal, se hace posible probar la existencia y unicidad

y unicidad de la ecuación KdV generalizada.

6.4. Que ante la imposibilidad de probar la dependencia continua de la

solución por técnicas clásicas y haciendo un buen uso de los

estimados de Bona – Smith, hacen posible probar la dependencia

continua de la solución de la ecuación KdV generalizada. Ver [3].

6.5. Que esta única solución de la ecuación de la KdV generalizada

tiene dos grandes limitaciones; que su tiempo de vida se restringe

a un intervalo finito y que los espacios de Sobolev Hs a los cuales

pertenece es solo si s>3/2. Ver Kato en [11] y [13].

6.6. Que es posible incluir otras condiciones y considerar teorías

adicionales para hacer que el tiempo de vida sea mayor e inclusive

hacerlo infinito; asimismo con la teoría de los estimados lineales

romper la barrera de s>3/2 y así conseguir que la solución

75

pertenezca a espacios de Sobolev mas grandes. Ver Kenig, Ponce

y Vega en 14 , 15 y 15 .

76

VII. REFERENCIALES

[1] Arbogast T., Bona J. Method of Applied Mathematics. Texas:

Departament of Mathematics the University of Texas at Austin, 2nd ed. 2001.

[2] Bergh H., Lofsrom J. Interpolation Spaces. New York: Springer-Verlag,

1º Ed. 1970.

[3] Bona J., Smith R. The initial-value problem for the Korteweg-de Vries

equation. Philos. Trans Roy. Soc. London. Ser. A 278,555-601, 1º Ed. 1975.

[4] Cazenave T., Haraux A. An introduction to semilinear evolution

equations. New York: Oxford University Press, 1º Ed. 1998.

[5] Cazenave T. An introduccion to nonlinear Schrödinger equations. Textos

de métodos matemáticos 26. Río de Janeiro: Universidade Federal de Rio de

Janeiro, Tercera Ed.1989.

[6] Debnath L., Mikusinski P. Introduction to Hilbert Spaces with

Applications. USA: Elsevier Academic Press. 3er Edition. 2005.

[7] Evans L. Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics.

Volume 19. Berkeley: American Mathematical Society. 1º Ed. 1997.

[8] Folland G. Real Analysis. Modern Techniques and their applications.

New York: Pure and Applied Mathematics (New York). A Wiley-Interscience

Publication. John Wiley & Sons, Inc. New York, Second Edition. 1999.

368pp. ISBN: 0-471-316-0.

[9] Iorio R. J. Jr. On the Cauchy problem for the Benjamin-Ono equation. Rio

de Janeiro: IMPA Comn. PDE. 11, 1031-1081. 1º Ed. 1986.

[10] Iorio R. J., W. Nunes. Introdução à Equações de Evolução não Lineares.

Rio de Janeiro: IMPA 18º Coloquio Brasileiro de Matematica, 1º Ed. 1991.

77

[11]Iorio R. J. Jr., V. Iório. Fourier Analysis and partial differential equations.

New York: Cambridge University Press, 1º Ed. 2001.

[12]Iorio R. J. Jr., F. Linares y M.A.G. Scialom. KdV and BD equations with

bore-like data Differential and Integral Equations 11, 895-915.1998.

[13]Iorio R. J. Jr., V de Magalhães. Equações diferenciais parciais: Una

introdução. Rio de Janeiro: IMPA, 1º Ed. 1988.

[14]Kato K., G. Ponce. Conmutator Estimates and Euler and Navier-Stokes

equations. Comm. Pure appl. Math., 41, 891-907, 1988.

[15]Kato T. On the Kortewg - de Vries equations. Manuscripta Math., 28, 89-

99, 1979.

[16]Kato T. On the Cauchy problem for the (Generalized) KdV equations

Studies in Applied Mathematics, Advances in Mathematics Supplementary

Studies, 8, 93-128, 1983.

[17]Kenig C. E., G. Ponce, L. Vega. Oscillatory integrals and regularity of

dispersive equations. Indiana U. Math. J., 40, 33-69. 1991.

[18]Kenig C. E., G. Ponce, L. Vega. Well-posedness and scattering result for

the generalized Korteweg - de Vries equation via contraction principle.

Comm. Pure Appl. Math. 46, 527-620. 1993.

[19]Kenig C. E., G. Ponce, L. Vega. On the (generalized) Korteweg - de

Vries equation. Duke Math. J., 59, 585-610. 1989.

[20]Kreyszig E. Introductory functional Analysis with applicationes. Canada:

John Wiley & Sons. University of Windsor, 1º Ed. 1978.

[21]Linares F., G. Ponce. Introduction to nonlinear dispersive equations. Rio

de Janeiro: IMPA, 2º Ed. 2006.

78

[22]M. Martins dos Santos. A versao de Kato-Lai do método de Galerkin e a

equaçao de Korteweg-de Vries (KdV). Tesis de maestria. Rio de Janeiro:

1987.

[23]Mendoza A., J. Montealegre. La ecuación de onda lineal. 20º Coloquio

de Matemática de la Sociedad Matemática Peruana, Lima: PUCP, 2002.

[24]Mendoza A. Estudio local del problema de calor inicial asociado con la

ecuación de Korteweg-de Vries. Tesis de Maestría en Matemáticas, Lima:

PUCP, 2003.

[25]Montealegre J., S. Petrozzi. Semigrupos de operadores lineales y

ecuaciones de evolución semilineales. Informe de Investigación Nº 6 Serie B.

Lima: PUCP, 1999.

[26]Montealegre J., S. Petrozzi. Operadores disipativos maximales. Informe

de Investigación, Nº 02 serie B. Lima: PUCP, 1998.

[27]Nunes W. O problema de Cauchy global para equaçoes dispersivas com

coeficientes dependientes do Tempo. Río de Janeiro: Tesis de Doutorado,

IMPA, 1991.

[28]Pazy A. Semigrupos of linear operators and applications to partial

differential equations. Applied Mathematica Sciencies, 44, New York: 279pp.

ISBN: 0-387-90845-5. Springer-Verlag, 1983.

[29]Saut J. C., R. Teman. Remarks on the Korteweg-de Vries Equations.

Israel: J. of Math. 24, 78-87, 1976.

79

VIII. APÉNDICE

En este capítulo presentamos los conceptos y resultados que serán

utilizados en los capítulos posteriores. Las demostraciones serán

omitidas, sin embargo una referencia será dada para cada una de ellas.

8.1. TEMAS DE ANÁLISIS FUNCIONAL E INTEGRACIÓN VECTORIAL

Teorema 8.1. (Punto Fijo de Banach). Sea (X,d)un espacio métrico

completo y sea :f X X una contracción, es decir, existe 0,1k tal

que ( ( ), ( )) ( , )d f x f y kd x y para cada , .x y X Entonces, existe un único

punto 0x X tal que 0 0( )f x x

Sean X un espacio normado y n nx

una sucesión en X . Decimos que nx

converge fuertemente a x en X , se escribe lím nn

x x

en X , si

lím 0n xnx x

. También decimos que la sucesión nx converge débilmente

a x en X , se escribe lím nn

x x

en X , si para todo 'f X se cumple

que lím ( ) ( )nn

f x f x

Proposición 8.2. Sean X un espacio de Banach y n nx

una sucesión

en X . Entonces,

i) Si lím nn

x x

en X , entonces lím nn

x x

en X

ii) Si lím nn

x x

en X , entonces n Xx está acotada y

lím ínf nX Xnx x

en X .

80

Proposición 8.3. Sean X e Y espacios de Banach tales que X Y , y

consideramos x X y una sucesión n nx X

. Si lím n

nx x

en X ,

entonces lím nn

x x

en Y .

Definición 8.4. Se dice que un espacio de Banach X es uniformemente

convexo si para todo 0 existe 0 tal que

1, [0] 12 X

x yx y B x y x

Los espacios de Hilbert son uniformemente convexos, así como los

espacios ( )pL para1 p .Por el contrario 1( ), ( ), ( )L L C ( compacto

en el último caso) no son uniformemente convexos.

Proposición 8.5. Sea X un espacio de Banach uniformemente convexo.

Si n nx

es una sucesión en X tal que lím n

nx x

en X y

lím sup ,n X Xnx x

entonces lím .n

nx x

Definición 8.6. Sea X un espacio de Banach. Una función valor vectorial

definida sobre I es una aplicación :f I X

1. Decimos que f es fuertemente continua en 0t si0

0lím ( ) ( ) 0.Xt t

f t f t

2. Decimos que f es débilmente continua en 0t si0

0lím ', ( ) ( ) 0t t

f f t f t

para todo ' 'f X

3. Decimos que f es uniformemente continua en I , si para todo 0

existe ( ) 0 tal que 1 2t t implica 1 2( ) ( )X

f t f t para todo

1 2,t t I

FUNCIONES MEDIBLES

81

En esta sección consideremos un intervalo abierto I y un espacio de

Banach X equipado con la normaX

Definición 8.7. Una función :u I X es “fuertemente medible” o

“medible” simplemente si existe E I de medida cero y una sucesión de

funciones n nu

en 0( , )C I X tal que

lím ( ) ( )nn

u t u t

, para todo \t I E

Sigue fácilmente de la definición que sí la función vectorial :u I X es

medible, entonces la función real :X

u I también es medible. Si

:u I X es medible y si Y es un espacio de Banach tal que X Y ,

entonces :u I Y es medible.

Recordemos que un espacio métrico X es llamado separable si existe un

subconjunto D X numerable y denso.

Proposición 8.8. (Teorema de Pettis). Una función :u I X es medible

si y solamente si u es débilmente medible (i.e. para todo ' 'x X , la

función ', ( )t x u t es medible) y existe E I de medida cero tal que

( \ )u I E es separable.

Corolario 8.9. Sea :u I X es una función débilmente continua,

entonces u es medible.

FUNCIONES INTEGRABLES

Definición 8.10. Una función medible :u I X es integrable en I si existe

una sucesión n nu

en 0( , )C I X tal que

lim ( ) ( ) 0nIn Xu t u t dt

82

Si :u I X es integrable, entonces existe ( )x u X tal que para toda

sucesión n nu

en 0( , )C I X que verifica (1.1), tenemos que

lim ( ) ( )nInu t dt x u

,

en la topología fuerte de X .

El elemento ( )x u X es llamado la integral de u sobre I, y escribimos

( ) ( )I I

I u u u t dt

Si ( , )I a b , también escribimos ( ) ( )b b

a ax u u u t dt

Como para las funciones con valores reales, es conveniente escribir

( ) ( )b a

a bu t dt u t dt si a b

Proposición 8.11. (Teorema de Bochner). Si :u I X medible, entonces

u es integrable si y solamente si ( ) :X

u I es integrable.

Además, tenemos ( ) ( ) .I I XXu t dt u t dt

El teorema de Bochner permite tratar las funciones integrables con

valores vectoriales como se trata las funciones integrables con valores

reales. Es suficiente, en general, aplicar los teoremas de convergencia

usuales para ( )X

u . Por ejemplo, podemos establecer fácilmente el

siguiente resultado.

Corolario 8.12. (Teorema de la convergencia dominada). Sean n nu

una sucesión de funciones integrables de I en X, :v I una función

integrable y :u I X .

Asumamos que

83

i) ( ) ( )n Xu t v t , para casi todo t I y todo n

ii) ( ) ( )nu t u t para casi todo t I . Entonces u es integrable y

( ) lim ( )nI Inu t dt u t dt

Para 1,p , denotamos por ( , )PL I X el conjunto de (clases de)

funciones medibles :u I X tales que la función ( )X

t u t pertenece a

( )PL I . Para ( , )pu L I X definimos

1/

( , )

( ) , si 1

inf : ( ) c.e.t. , si

dt

P

pp

XI

L I X

X

u t p

u

C u t C I p

Cuando no hay peligro de confusión, denotamos( , )pL I X

por( )pL I

óp

Los espacios ( , )PL I X tienen muchas de las propiedades de los espacios

( ) ( , )P pL I L I R , son esencialmente las mismas pruebas.

Proposición 8.13.El espacio ( , )PL I X con la norma pL es un espacio de

Banachsi 1,p . Cuando 1 p el espacio ( , )D I X es denso en

( , )pL I X .

Definición 8.14. Sea 1 p . Denotamos 1, ( , )pW I X el conjunto de

(clases de) funciones ( , )pf L I X tales que ' ( , )pf L I X en el sentido de

( , )D I X . Para 1, ( , )pf W I X denotamos 1, 'p p pW L Lf f f

Proposición 8.15. 1,1,( ( , ), )p

p

WW I X es un espacio de Banach.

84

Teorema 8.16. Sea 1 p y ( , )pf L I X . Luego las propiedades

siguientes son equivalentes:

i) 1, ( , )pf W I X

ii) existe ( , )pg L I X tal que, para casi todos 0,t t I , se tiene

00( ) ( ) ( )

t

tf t f t g s ds

iii) existe ( , )pg L I X , 0 0,x X t I tales que

00( ) ( )

t

tf t x g s ds para casi todo t I

iv) f es absolutamente continua, derivable . . . enc e t I y 'f (en el sentido

casi por todas partes) está en ( , )pL I X

v) f es débilmente absoluta continua, débilmente derivable casi por

todas partes y 'f (en el sentido casi por todas partes) está en

( , )pL I X

8.2. TEMAS DE ANÁLISIS ARMÓNICO

En esta sección presentamos la transformada de Fourier en 2( )L , las

distribuciones temperadas y los espacios de Sobolev del tipo 2( ).L

LA TRANSFORMADA DE FOURIER

Definición 8.17. Sea 1( )u L . La función u definida por

1ˆ( ) ( ) ,2

ixu e u x dx

es llamada transformada de Fourier de u . Definimos la transformada

inversa de Fourier por

1( ) ;

2i xu x e u d x

85

En algunos libros la Transformada de Fourier es definida sin el factor

1/ 2 en la integral.

Otra variación es la definición sin el signo “menos” en el exponente, es

decir ( ) .ixe u x dx

Esos detalles no cambian la teoría de la transformada de Fourier.

En vez de u la notación F u x también se puede usar. La última es

conveniente si en lugar de la letra u queremos usar la expresión que

describa a la función, por ejemplo, xF e .

La relación entre la operación de diferenciación y la transformada de

Fourier, viene dada en la siguiente proposición.

Proposición 8.18. Sea 1( )f L y g la derivada de f con respecto a su

variable en la norma de 1 ( )L , entonces ˆ( ) ( )g i f donde,

1 ( )L

f f x dx

Observemos que si 1( )u L y mD u es la derivada de orden m de u con

respecto de x en la norma de 1( )L , entonces ˆ( ) ( ) ( ).m mD u i u

El teorema se puede extender a derivadas de orden superior sin entrar en

detalles, la fórmula general es ˆ( ( ) ( )P D u P i u

donde P es un polinomio de una variable y P D representa al operador

diferencial asociado al polinomio P .

Teorema 8.19. Sea 1( )f L . Entonces,

1. f f define una transformación lineal de 1( )L sobre L con

1

1ˆ2L L

u u

86

2. f es continua

3. 0f cuando

Del teorema 8.19 se concluye que la transformada de Fourier es un

operador lineal continuo de 1( )L en ( ).C

Además de las operaciones de espacio vectorial, 1( )L tiene una

multiplicación que lo convierte en un álgebra de Banach. Esta operación

es la convolución, y se define como sigue:

Definición 8.20. Si 1, ( )u v L , definimos la convolución por

1, ( )

2u v x u x t v t dt x

La convolución es conmutativa y asociativa. Además tiene las siguientes

propiedades.

Proposición 8.21.

1. (Desigualdad de Young). Si ( ),0pu L p y 1( )v L , entonces

( )pu v L y 1P pL L Lu v u v

2. (Desigualdad de Young Generalizada). Si ( )pu L y ( )qv L con

, , 1,p q r tal que1 1 1

1p q r , entonces ( )ru v L y

r p qL L Lu v u v

3. Si 1, ( )u v L , entonces ˆ ˆ2u v u v .

Ahora discutiremos la extensión de la transformada de Fourier.

Teorema 8.22. Sea 20 ( ) ( )u C L entonces 2ˆ ( )u L y 2 2ˆ

L Lu u

El teorema anterior muestra que 20: ( ) ( )F C L es continua. Como la

aplicación es lineal, tiene una extensión única a una aplicación lineal de

87

2( )L en sí mismo. Esta extensión será llamada la transformada de

Fourier en 2( )L .

Definición 8.23. Sean 2( )u L y n nu

una sucesión en 0( )C

convergente a u en 2( )L , es decir 2lim 0n Lnu u

. La transformada de

Fourier de u se define por

ˆ ˆlim nn

u u

donde el límite es con respecto a la norma en 2( )L

El teorema 8.22 asegura que el límite existe y es independiente de una

elección particular de la sucesión aproximadamente a u .

Si 1 2( ) ( )u L L , entonces la transformada de Fourier definida por (8.2)

y la definida por (8.3) son iguales así, usaremos el mismo símbolo para

denotar ambas transformadas.

El siguiente teorema es una consecuencia inmediata de la definición 8.23

y del teorema 8.22.

Teorema 8.24. (Igualdad de Plancherel). Si 2( )u L , entonces 2ˆ ( )u L y

2 2ˆL L

u u

Teorema 8.25. (Transformada de Fourier en 2L ). Sea 2( )u L . Entonces

1ˆ lim ,2

n i x

nnu e u x dx

donde la convergencia es respecto a la norma en 2( )L .

Un operador lineal 2 2: L L que es una isometría y que es

sobreyectiva es llamado un operador unitario en 2( )L . Como

88

consecuencia del teorema 8.24, la transformada de Fourier es una

isometría. Más aún tenemos que es sobreyectiva.

Teorema 8.26. La función 2 2: ( ) ( )F L L definido por ˆF u u es un

operador unitario en 2( )L .

Teorema 8.27. (Inversión de la transformada de Fourier). Sea 2( )u L .

Entonces 1 ˆlim ,2

n i x

nuu x e u d

donde la convergencia es con respecto a la norma en 2( )L .

DISTRIBUCIONES TEMPERADAS

Introducimos en esta sección una clase de funciones generalizadas en el

espacio de Schwartz. Para este propósito, primero necesitamos la

siguiente familia de seminormas.

Para cada 2, denotamos la seminorma ,

definida como

,sup .x xx

u x u x u x

Ahora podemos definir el espacio de Schwartz ( )S , como el espacio de

las funciones ( )C de rápido decrecimiento, es decir,

,( ) ( ) : para todo ,S u C u

Así 0C S . La topología en ( )S es dada por la familia de

seminormas , . Además, ( )S con esta topología es metrizable. Una

distancia conveniente es dada por

,

, 21

u vd u v

u v

89

Se debe observar que esta distancia no proviene de una norma.

Observemos que ( )S en relación a la métrica definida anteriormente es

un espacio métrico completo.

Definición 8.28. La sucesión n nu S

converge a u S si para

todo , se verifica que ,0nu u

cuando n

La relación entre la transformada de Fourier y el espacio de funciones

( )S está descrita en el siguiente resultado.

Teorema 8.29. La aplicación ˆu u es un isomorfismo de ( )S en sí

mismo.

Así, ( )S aparece naturalmente asociado a la transformada de Fourier.

Por dualidad podemos definir las distribuciones temperadas 'S .

Definición 8.30. Decimos que :T S define una distribución

temperada, es decir, 'T S si

1. T es lineal,

2. T es continua, esto es nu u en ( )S entonces nTu Tu en .

De este modo el espacio de las distribuciones temperadas, 'S es dual

topológico de ( )S provisto de la topología dada en la definición 8.30.

Es fácil ver que toda función acotada u define una distribución temperada

Tu ,donde

,Tu v u x v x v S

Esta identidad permite establecer que los espacios ( )pL con 1 p

están contenidos en 'S continuamente.

90

Dado 'T S , su transformada de Fourier puede ser definida de forma

natural.

Definición 8.31. La transformada de Fourier directa e inversa de

'T S son definidas respectivamente como

ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,u u uT v T v T v Tu v v S

y , , ,u u uT v T v T v Tu v v S

Observemos que para 1( )u L y ( )v S , tenemos

u uu

T v T v u v d u v d T v

Por lo tanto, para 1 2u L L tenemos que ˆu uT T . Así, la definición

8.27 es consistente con la teoría de la transformada de Fourier

desarrollada en la sección anterior.

La topología en 'S es descrita en la siguiente forma.

Definición 8.32. Sea n nT

una sucesión en 'S . Luego 0nT en

'S cuando n si para todo ( )u S tenemos,

0nT u cuando n

Como consecuencia de las definiciones 8.30 y 8.31 tenemos la siguiente

extensión del teorema 8.29.

Proposición 8.33. La aplicación : ' 'F S S es un isomorfismo de

'S en sí mismo.

Proposición 8.34. Sea f S . Entonces f S , para todo

y ˆ ,f i f

91

ESPACIOS DE SOBOLEV sH

En esta sección presentaremos brevemente a los espacios de Sobolev

sH del tipo 2( )L . Ellos miden la diferenciabilidad de funciones en

2( )L y son una herramienta fundamental en el estudio de las ecuaciones

en derivadas parciales.

Definición 8.35.Para s sea : ' 'sJ S S definido por

/ 22 ˆ1 ,ssJ u u Llamamos a sJ el potencial de Bessel de ordens.

Para todo , : ' 'ss J S S es una aplicación lineal, continua y

biyectiva. Además,s t s tJ J J y 1s sJ J

Definición 8.36. Sea s . Se define el espacio de Sobolev de orden s,

denotado por sH como

2' : ,s sH û S J u L

con la norma sH definida como

2s

s

H Lu J u

De la definición de espacios de Sobolev deducimos las siguientes

propiedades.

Proposición 8.37.

1. Si 0 ',s s entonces 's sH H , con la inclusión continua y densa.

Además, s

sH H

es denso en sH cualquiera sea .s

2. sH es un espacio de Hilbert con respecto al producto interno definido

por 2

2 ˆ ˆ, , 1 ,s

ss s

H Lu v J u J v u v d , su v H .

3. Para todo s , el espacio de Schwartz ( )S es denso en sH

92

4. Si s , para cualesquiera , su v H , tenemos , , ,s sH Hu v u v

es decir , sHu v es real.

5. Si 1 2s s s con 1 21 ,0 1s s s , entonces1 2

1s ssH H H

u u u

Esta notación se lee: interpolación de sH entre 1sH y 2sH .

El siguiente teorema permite relacionar “derivadas débiles” en 2( )L con

derivadas en el sentido clásico.

Teorema 8.38. (Teorema de Inmersión de Sobolev). Si 1/ 2 ,s k k ,

entonces sH está contenido continuamente en el espacio kC de las

funciones con k derivadas continuas que se anulan en el infinito, y

,k ssC Hu C u

en donde

0maxk xC Lk

u u

Teorema 8.39. Si 1/ 2s , entonces sH es un álgebra conmutativa con

respecto a la multiplicación de funciones, es decir, suv H si

, su v H y

s s ssH H Huv C u v (8.1)

Además, si n nu

y n n

v

son sucesiones débilmente convergentes a

uyv en sH respectivamente, entonces lim .n nn

w u v uv

Es importante hacer notar que tenemos una desigualdad más fuerte que

la descrita en (8.1).

Esto es si 1/ 2s entonces para todo 1/ 2, ,r s

s s s r ssH H H H Huv C u v u v

Estimados más finos muestran que,

s s ssH H L L Huv C u v u v siempre que , su v H con 0s

93

Proposición 8.40. Para todo k y para todo s , k es un operador

acotado sobre sH hacia s kH . Además,

ss k

k

HHu C u

De la desigualdad de la última proposición es claro que,

s ks

k

HHu C u para todo k y .s

Hemos visto que sH con 1/ 2s es un espacio de Hilbert cuyos elementos

son funciones continuas.

Proposición 8.41. Para todo k y para todo , su v H se cumple que

, 1 ,s s

kk k

H Hu v u v

Teorema 8.42. (Desigualdad de Gronwall). Sean 1 , , 0k L a b k y

, ,f g C a b tales que ,t

af t g t k f d a t b , entonces,

exp ,t

a af t g t k k s ds g d a t b

si g t g es constante se tiene que, exp ,t

af t g k d a t b

Teorema 8.43. Si , 0a b son dados, entonces para todo 0 se cumple

la desigualdad de Young con

p qab a C b

Donde, /q pp

Cq

En particular, si 2p q se cumple la desigualdad de Cauchy con ,

22

4

bab a

94

Teorema 8.44. (Desigualdad de Gagliardo– Nirenberg). Sean1 , ,p q r

y sean ,j m dos enteros, 0 j m . Si

1 1 1,

j m aa

p n r n q

Para algún ,1 , 1 1 0j n

a a si r y m jm r

, entoncesexiste , , , , ,Cnmj aqr

talque, 1,qp r

a

LL Lj m

D u C D u u

para todo .nu D

Teorema 8.45. Sean ,f g S reales, 3/2 1s y t . Entonces existe

, 0C C s t tal que 2

1 1,

s t s tt tu f u C f u f u u

, donde

1

Teorema 8.46. Si ,f g S , 1s y 1/ 2r , entonces existe ,C C s r

tal que

1 12 s r r s

s

H H H HLD f g C f g f g (8.2)

Teorema 8.47. Sean ,f g S , 0, 0s p , entonces

1 432 8.3p pppp

s s s

L LL L LJ fg C f J g J f g

y 1 432

1, 8.4p pppp

s s s

L LL LLJ f g C f J g J f g

donde 2 3 1 4, , 1, ,p p y p p son tales que 1 2 3 4

1 1 1 1 1p p p p p

La desigualdad (8.4) también se cumple si 1 4p p y 2 3p p p

95

Teorema 8.48. Sea 0 1 0 11 , , , , 0 y .p p p s s S Si 0 11s s s

y0 1

1 1

p p p

donde 0 1 entonces existe 0 1 0 1, , , , 0C C s s p p tal

que

0 1

0 1

1 8.5

p p p

s ss

L LLJ C J J

Además, si 32,sH s tenemos

1 1

2 20 02 8.6

L H H

Por último tenemos la siguiente desigualdad algebraica que es

consecuencia de la convexidad de la función logaritmo en 0, .

Proposición 8.49.Si0 2 y >0 entonces dado 0 y tomando

2

,

2

2 2C

Tenemos, 2

2 2, , , 0x y x C y x y

8.3. SEMIGRUPO DE OPERADORES

Definición 8.50. Sean eX Yespacios normados y n nT

una sucesión

de operadores lineales en , .L X Y

1. Decimos que nT converge uniformemente a ,T LXY si

,lim 0.n L X Yn

T T

2. Decimos que la sucesión nT converge fuertemente a ,T LXY si

,lim 0n L X Yn

T x Tx

para todo .x X

96

Definición 8.51. Un semigrupo de operadores lineales acotados sobre un

espacio Banach X es una familia 0t

W t

tal que

i) Para cada 0,t el operador W t L X ,

ii) El operador 0W es el operador identidad sobre X ,

iii) para cualesquiera , 0,t s se cumple W s t W s W t y

iv) para todo x X fijo, la aplicación : 0,W X es continua, es

decir, 0

0limt t

W t x W t x

Las condiciones i) y iii) de la definición 8.51 dan la estructura de

semigrupo a la familia 0t

W t

, asegura que el semigrupo es

conmutativo y tiene un elemento identidad 0W . Si además cumple con

la condición iv) se le denomina semigrupo fuertemente continuo. Por la

definición 8.50 los “semigrupos fuertemente continuos de operadores

lineales acotados sobre un espacio de Banach X ” serán en adelante

llamados simplemente “semigrupos sobre X ”.

Teorema 8.52. Sea 0t

W t

un semigrupo sobre X . Entonces existen

0 y 1w C tales que

,, 0 (8.7)wt

L X YW t Ce t

Cuando un semigrupo sobre X satisface (1.12),decimos es de tipo , .C w

Definición 8.53. El generador de un semigrupo 0t

W t

sobre X es la

aplicación :A D A X X definida por

97

0

0

: lim existe

(8.8)

t

t t

W t x xD A x X

t

Ax W t x

Es inmediato de la definición 8.53 que D A es un subespacio vectorial

de yX A es un operador lineal no acotado.

Teorema 8.54. Si A es el generador de un semigrupo sobre X , entonces

D A es un subespacio denso en yX A es un operador lineal cerrado.

Veamos enseguida algunas propiedades importantes del generador de un

semigrupo.

Proposición 8.55. Si A es el generador de un semigrupo 0t

W t

sobre

,X entonces para todo x D A tenemos que W t x D A para todo

0,t es decir W t D A D A , para todo 0t y

(8.9)tW t x AW t x W t Ax

Además, para 0 yt s x D A

(8.10)t t

s sW t x W s x W r Axdr AW r xdr

Nuestro objetivo es aplicar la teoría de semigrupos para estudiar el

problema de Cauchy de la forma (8.16) donde el operador A no depende

de t ,así el siguiente teorema presenta condiciones que garantizan la

existencia de solución para este problema.

Teorema 8.56.Sea X un espacio de Banach. Si :A D A X X es el

generador del semigrupo 0t

W t

sobre X , entonces para todo 0u D A

98

la función : 0, ,u D A definida por 0 ,u t W t u es la única

solución del problema de Cauchy lineal

0

, 0

(8.11)

0

tu t Au t t

u u D A

Además, 10, : 0, : .u C D A C X

Un problema fundamental en la teoría de semigrupos de operadores

lineales fuertemente continuos es la caracterización del generador

infinitesimal de un semigrupo.

Existen varias de tales caracterizaciones: el teorema de Hille y Yosida

para los semigrupos de contracción y el teorema de Hille, Yosida y Phillips

que caracteriza a los semigrupos de tipo ,C w .

Otra caracterización presente en este trabajo es debido a Lumer y Phillips

([25], teorema 5.3), quienes demostraron que el generador de un

semigrupo de contracción es un operador disipativomaximal (o m-

disipativo) en un espacio de Banach, y es lo que nos interesará en este

trabajo.

Definición 8.57. Un operador A en el espacio de Banach X es llamado

disipativo si para todo 0 y para cada u D A se cumple

X Xu Au u

La disipatividad de A implica la inyectividad del operador

:I A D A X En efecto, si u Nu I A ,

0X X

u I A u

99

implica que 0 .Nu I A

Definición 8.58. Un operador A en el espacio de Banach X se denomina

m-disipativo si,

1. El operador A es disipativo.

2. Para todo 0 , para todo x X , existe ( )u D A tal que u Au x

La definición de m-disipatividad implica obviamente la sobreyectividad del

operador .I A Concluimos pues, si A es un operador m-disipativo

entonces el operador .I A es biyectivo. Esto nos dice que cualquiera

sea x X , la ecuación I A u x tiene solución única en ( )DA . Si

denotamos xu tal solución, por la disipatividad de A, tenemos

(8.12)x xX XXu I A u x

Como el operador : ( )I A DA X es lineal y biyectivo, entonces existe

el operador 1: ( )I A X D A . Este operador tiene una propiedad

importante, que no necesariamente la tienen los operadores y ;A I A

ella es la continuidad. En efecto

1

x X XXI A x u x

Según ha sido visto en (8.17)

Teorema 8.59. Si A es un operador disipativo en el espacio de Banach X

, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. El operador A es m-disipativo en X , y

2. Existe 0 0, para todo x X existe ( )u D A tal que 0u Au x

100

En adelante H denotará un espacio de Hilbert, con producto interno

, .H

Proposición 8.60. El operador A es disipativo en H si y sólo si

, 0,H

Au u para todo u H .

Proposición 8.61. Si A es un operador m-disipativo en el espacio de

HilbertH, entonces ( )D A es denso en H.

Teorema 8.62. Sea A operador lineal en el espacio de HilbertH, luego

1.- Si A es autoadjunto y negativo, es decir, , 0H

Au u para todo ( )u D A ,

entonces A es m-disipativo.

2.- Si *,D A H G A G A y A es negativo, entonces A es m-

disipativo si y sólo si A es autoadjunto.

3.- Si ( )D A es denso en H, entonces A y A son m-disipativos si y sólo si

A es antiadjunto.

Phillips caracterizó el generador de un semigrupo de contracciones sobre

un espacio de Hilbert, como un operador m-disipativo. Posteriormente

Lumer y Phillips ([25], Teorema 5.3) extendieron este resultado al caso

general de un semigrupo de contracciones sobre un espacio de Banach.

Teorema 8.63. (Lumer-Phillips). El operador : ( )A D A X X es

generador de un semigrupode contracciones en el espacio de Banach X

si y solamente si X es m-disipativo en X y D A es denso en X .

Proposición 8.64. Si : ( )A D A X X es un operador m-disipativo y

antisimétrico en el espacio de Hilbert X , entonces A es antiadjunto en X .

101

Teorema 8.65. (Perturbación de generadores de semigrupos de

contracción). Sean Ay B operadores lineales en el espacio de Banach X :

Si A es m-disipativo, B es disipativo, ( ) ( )D A D B y para cada x D A se

cumpleX X X

Bx Ax x en donde 0 1 y 0, entonces A+B es

m-disipativo.

Definición 8.66. Un grupo fuertemente continuo de operadores lineales

acotados sobre un espacio de BanachX es una familia ( )t

W t

tal que

i) Para todo : ( ) ( ) ,t W t L X

ii) (0) ,W I el operador identidad sobre X.

iii) Para todo , : ( ) ( ),s t W s t W s W t y

iv) Para cada x X fijo, ( ) :W x X es continua.

v) Para todo x X y para todo : ( )X X

t W t x x

Definición 8.67. El generador de un grupo de operadores unitarios

( )t

W t

sobre X es la aplicación : ( )A D A X X definida por

0

( )( ) :lim existe

t t

W t x xD A x X

t

0( )t t

Ax W t x

Teorema 8.68. Sean X e Y espacios de Hilbert. Si :A Y X X es un

operador m-disipativo y antiadjunto en X, entonces el semigrupo 0( )

tW t

generado por A se extiende a un grupo de operadores unitarios ( )t

W t

.

Además, para todo 0u Y la función :u Y definida por 0( ) ( )u t W t u es la

única solución del PVI lineal

102

0

( ) ( ),

(0)tu t Au t t

u u

Además, 1( : ) ( : ).u C Y C X

8.4. ESTIMADOS DE BONA-SMITH

Los estimados de Bona-Smith serán usados para estudiar que el

comportamiento de la distancia de dos elementos cualquiera de una

sucesión de soluciones, es controlado por el comportamiento de la

distancia entre sus estimados de Bona-Smith respectivamente, quienes

a su vez son controlados por el comportamiento de la distancia entre sus

datos iniciales correspondientes, como será visto en los teoremas 5.3,

5.5 y 5.6.

En esta sección se considera 0, ,nu y 0,u las aproximaciones de Bona-

Smith asociadas a 0,u y 0u , respectivamente, y las soluciones ,nu y u

del problema (3.1) con datos iniciales y respectivamente.

Teorema 8.69. Sea 0C , 0 1x tal que 1,1sop y

1 0 0k k .

Para cada 0 cualquiera y 0 ,su H 0s definimos

0, 0ˆ ˆ ,u u s (8.13)

103

Entonces 0,0

s

su H H

y para 0 1 existe , , 0C C s tal

que

0, 0 ,ss HHu C u

(8.14)

0, 0 0 ss HHu u C u

(8.15)

y 0, 00lim u u

en sH . Además, si 0, 0lim nn

u u

en sH entonces

0, , 0,0lim 0sn n H

u u (8.16)

uniformemente en .

Demostración. Usando (8.13), tenemos

2 220, 0 ,ˆ1s

s

Hu u d

220 ,ˆ1

su d

2 22 20ˆ1 1

su d

2 22 20ˆsup 1 1

su d

haciendo , tenemos

2 2 2

22 2

1 1

luego

2 222 2 20, 0sup ss HH

u u

221 0 sH

C u

Por consiguiente

2

0, 0 ss HHu C u

(8.17)

104

Del mismo modo

2 220 , 0 0 , 0ˆ ˆ1s

s

Hu u u u d

220 0ˆ ˆ1

su u d

220ˆ1 1

su d

2 220ˆ1 1

su d

2 22 20ˆ1 1 1

s su d

2 22 20ˆsup 1 1 1

su d

2 22 2 20sup 1 sH

u

222 0 sH

C u

Por consiguiente

2 00, 0 0 ss HH

u u C u

(8.18)

Por otro lado, si entonces

2 220 , 0 0 , 0ˆ ˆ1s

s

Hu u u u d

2 220ˆ1 1

su d

sabemos que 0

lim 1 1 0 1 1 1

, además

2 2 22 20 0ˆ ˆ1 1 1 ,

s su d u d

de aquí, por el teorema de la convergencia dominada de Lebesgue

2 220

0ˆlim 1 1 0 0

su d d

105

es decir, 0, 00

lim 0sHu u

(8.19)

Finalmente, demostraremos que si 0, 0limn

u u en sH entonces

0, , 0,0

lim 0sn Hu u

uniformemente en .n

En efecto

Para suficientemente grande y para suficientemente pequeño,

afirmamos para todo , existe tal que si

Entonces, .

Por consiguiente,

uniformemente.

2 220, , 0 , 0, , 0 ,ˆ ˆ1s

s

n nHu u u u d

220, 0

2220, 0

220, 0

2

0, 0

ˆ ˆ1

ˆ ˆ1 1

ˆ ˆ1

ˆ ˆs

s

n

s

n

s

n

n H

u u d

u u d

u u d

u u

0, , 0, 0, , 0, 0, 0 0 0,s sn n n nH Hu u u u u u u u

0, , 0, 0, 0 0 0,

0, 0 0, 0 0, 0

s s s

s s s

n nH H H

n nH H H

u u u u u u

u u u u u u

n N 0

0 0 0 t

0, , 0, / 3 / 3 / 3sn n Hu u

0, , 0,0

lim 0sn n Hu u

106

NOTACIONES

,X Y espacios de Banach.

', 'X Y espacios duales de los espacios de Banach X e Y .

( , )L X Y espacio de operadores lineales acotados de X en Y .

( ) ( , )L X L X X

0, :C T X espacio de funciones continuas de 0,T en X

1 0, :C T X espacio de funciones continuamente diferenciables de 0,T en X

( )D A dominio del operador lineal

( )R A rango del operador lineal

1( ) ( )

2i xû e u x dx

transformada de Fourier de u

1( ) ( )

2i xu x e u d

transformada inversa de Fourier de u

( )kC espacio de las funciones continuamente diferenciables hasta el orden k

sobre

0( ) ( )k

kC C

espacio de las funciones infinitamente diferenciables en

107

0 ( )kC espacio de funciones de clase kC con soporte compacto.

( )C espacio de funciones u de clase kC tales que u y sus derivadas hasta el

orden k tienden a cero en el infinito.

( )S espacio de schwartz en

'( )S espacio de las distribuciones temperadas en

( )pL espacio de Lebesgue en de orden , 1p p

1/

( )p

ppu L u x dx

, norma de u en ( )pL

( )L espacio de las funciones medibles esencialmente acotadas en

sup ( )x

u L u x

norma de u en ( )L

2 /2(1 )s sxJ potencial de Bessel de orden 2 2, ( ) (1 ) ( )

sss J u û

2 2( )s

sxD potencial de Riesz de orden , ( ) ( )

sss D u û

2( )s sH J L espacio de Sobolev de orden s con base en 2( )L

2, ( ) ( )u v L u x v x dx

, producto interno de u y v en 2( )L

2, ,s

s s

H Lu v J u J v , producto interno de u y v en ( )sH

2s

s

H LJ norma en ( )sH

,A B AB BA conmutador de A y B

0( , )C I X espacio de funciones continuas de soporte compacto definidas de I en

X

( , )AC I X espacio de funciones absolutamente continuas definidas de I en X

( , )D I X espacio de funciones C con soporte compacto de I en X

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