HYPATIA 2. CÁLCULO DE ÁREA Y ÁNGULOS DE UN TERRENO IRREGULAR 3. RESUMEN Planteamos el problema...
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CARÁTULA DE TRABAJO
CÁLCULO DE ÁREA Y ÁNGULOS INTERNOS DE UN TERRENO IRREGULAR Título del trabajo
HYPATIA Pseudónimo de integrantes
MATEMÁTICAS ÁREA
LOCAL CATEGORÍA
INVESTIGACIÓN
EXPERIMENTAL MODALIDAD
4206245 Folio de Inscripción
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2. CÁLCULO DE ÁREA Y ÁNGULOS DE UN TERRENO IRREGULAR
3. RESUMEN
Planteamos el problema sobre cómo medir el área de un terreno irregular y
calcular sus ángulos internos.
El profesor nos explicó y nos enseñó cómo medir, auxiliándonos con los
materiales que nos pidió (cinta de medir que hicimos, balizas, nivel, etc.).
Cada medida tiene que ser horizontal utilizando el nivel y alineada sobre cada lado
del terreno apoyándonos con las balizas.
Delimitamos un terreno clavando las estacas para cada vértice y formando el
perímetro con el hilo cáñamo. Nos fuimos a un jardín de la escuela.
Hicimos un croquis en nuestro cuaderno del terreno y lo dividimos en triángulos y
anotamos las medidas de cada lado.
Calculamos el área de cada triángulo con la fórmula de Herón de Alejandría.
Procedimos a calcular los ángulos internos de cada triángulo con la ley de
cosenos y con ellos fuimos calculando los ángulos internos de nuestro terreno.
Los resultados quedaron asentados en el cuadro de datos.
Por último, trazamos nuestro terreno con la información del croquis, utilizando
regla y compás, y basándonos en la orientación de un lado que hicimos con la
brújula con asesoría del profesor.
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4. INTRODUCCIÓN.
4.1 Marco teórico.
o Para medir nos basamos en el principio de la horizontalidad y la alineación.
o Utilizamos la fórmula de Herón de Alejandría que nos ayuda a calcular el
área de un triángulo utilizando sólo su perímetro.
s = 𝑎+𝑏+𝑐
2
A = √𝑠 (𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)
o Para el cálculo de los ángulos internos utilizamos la Ley de los cosenos:
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
o El terreno lo orientamos utilizando una brújula y en un solo lado (lado base).
o El plano del terreno lo trazamos con regla y compás basándonos en la
orientación anterior.
4.2 Objetivo de investigación.
Calcular las medidas que definen un terreno: área, ángulos internos, perímetro y
orientación magnética.
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4.3 Problema.
¿Cómo calcular el área y ángulos internos de un terreno con forma de polígono
irregular?
5. DESARROLLO
Para nuestro proyecto de matemáticas, el profesor nos explicó lo siguiente:
mediremos un terreno,
prepararán y traerán el material que les pediré,
después de que su equipo haya medido su parte, el trabajo que tendrán
que elaborar será calcular el área del terreno en total con las medidas que
haya obtenido el equipo registradas en el croquis del terreno.
Pero antes de empezar todo, tienen que comprender qué es exactamente lo que
harán.
1. ¿Qué es medir?
Medir es una acción que consiste en comparar 2 cantidades y una sirve de
patrón de medida.
2. Existen diferentes formas de medir, podemos medir longitud en metros (m),
tiempo en segundos (s), temperatura en grados Kelvin (°K), cantidad de
sustancia en moles (mol), luminosidad con la candela (cd), resistencia
eléctrica en OMHS (Ω) y masa en kilogramos (Kg).
3. Podemos comprenderlo más sabiendo algo sobre la TOPOGRAFÍA. Topos
> lugar, graphos > medidas. La topografía es una rama de la ingeniería que
se dedica a describir por medio de medidas una zona o área terrestre. La
topografía se mide en dos partes: planimetría y altimetría.
4. Horizontalidad → cualquier medida de una parte o zona siempre tendrá una
proyección horizontal.
Alineación → todas las medidas tienen que estar alineadas sobre una recta.
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MATERIAL.
6 palos de escoba y/o madera (mínimo 2)
1 listón 5.40m de largo y 3.5cm de ancho
1 madeja de hilo cáñamo blanco
40 – 12 clavos de 1”
1 marro o martillo
1 bolsa de lona, mochila vieja
1 nivel
Brújula Brunton
ACTIVIDADES PREVIAS.
1. Tomar el listón y dividirlo en cm y m, dejar 20cm al principio y de ahí marcar
los 5m, al final dejar otros 20cm. (Será nuestra cinta de medir)
2. Pintar de rojo y blanco cada 10cm cuatro palos de escoba. (Serán nuestras
balizas)
3. Cortar los palos que quedan en pedazos de 10cm para hacer estacas.
PRÁCTICA DE MEDICIÓN.
Antes de medir el terreno, el maestro nos mostró cómo íbamos a utilizar las
balizas (los 4 palos) y el listón.
Salimos e hicimos una pequeña práctica que consistía en:
Un compañero que sostuviera una de las balizas en un punto, otro compañero
pondría el “cero” del listón y otro compañero estiraría el resto del listón hacia otro
punto donde otro compañero sostendría otra baliza. Aprendimos cómo medir
distancias en un terreno en declive.
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EN EL CAMPO.
Lo aprendido esa vez lo utilizamos para la medición del terreno para el proyecto
desarrollado de las siguientes formas:
Elevamos las estacas en los que serían nuestros vértices del terreno. Amarramos
el hilo entre las estacas para unir los puntos y nuestro procedimiento de medición
ya aprendido lo aplicamos para calcular la longitud de lado a lado y de diagonales
para formar triángulos en nuestro croquis que dibujamos.
Por último, orientamos utilizando la brújula, y con ayuda del profesor, un lado del
terreno (lado base), para poder trazar el plano posteriormente. La medida fue:
Lado ED, orientación (rumbo) N 60° E
Se obtuvo lo siguiente:
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CÁLCULO DEL ÁREA DE CADA TRIÁNGULO DEL TERRENO
Fórmula de Herón de Alejandría:
s = 𝑎+𝑏+𝑐
2
A = √𝑠 (𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)
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Triángulo EAF
Fórmula:
s = 𝑒+𝑎+𝑓
2
e = 12.02 a = 10.83 f = 9.22
s = 12.02+10.83+9.22
2 s =
30.07
2
s = 16.035//
A = √16.035(16.035 − 12.02)(16.035 − 10.83)(16.035 − 9.22)
A = √16.035(4.015)(5.205)(6.815)
A = √2283.71081
A4 = 47.78818693m2
9
Triángulo EBA
Fórmula:
s = 𝑒+𝑏+𝑎
2
e = 13.07 b = 6.32 a = 12.02
s = 13.07+6.32+12.02
2 s =
31.41
2
s = 15.705//
A = √15.705(15.705 − 13.07)(15.705 − 6.32)(15.705 − 12.02)
A = √15.705(2.635)(9.385)(3.685)
A = √1431.16705
A3 = 37.83076856m2
10
Triángulo ECB
Fórmula:
s = 𝑒+𝑐+𝑏
2
e = 11.16 c = 6.33 b = 13.07
s = 11.16+6.33+13.07
2 s =
30.56
2
s = 1528//
A = √15.28(15.28 − 11.16)(15.28 − 6.33)(15.28 − 13.07
A = √15.28(4.12)(8.95)(2.21)
A = √1245.19073
A4 = 35.28726017m2
11
Triángulo EDC
Fórmula:
s = 𝑒+𝑑+𝑐
2
e = 8.98 d = 8.76 c = 11.16
s = 8.98+876+11.16
2 s =
28.9
2
s = 14.45//
A = √14.45(14.45 − 8.98)(14.45 − 8.76)(14.45 − 11.16)
A = √14.45(5.47)(5.69)(3.29)
A = √1479.66478415
A1 = 38.46641112m2
Entonces el area total del terreno será la suma de todos:
AT = 38.46641112+35.28726017+37.83076856+47.78818693=
AT = 159.3726268m2
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CÁLCULO DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DE CADA TRIÁNGULO
* Triángulo: EDC
Cos A = 𝑏2+ 𝑐2− 𝑎2
2𝑏𝑐 a = 8.98 a2 = 80.6404
b = 8.76 b2 = 76.7376
c = 11.16 c2 = 124.5456
Cos A = 76.7376+124.5456−80.6404
2 (8.76)(11.16)
Cos A = 120.6428
195.5232 A = 51.90°
Cos B = 𝑎2+ 𝑐2− 𝑏2
2𝑎𝑐 a = 8.98 a2 = 80.6404
b = 8.76 b2 = 76.7376
c = 11.16 c2 = 124.5456
Cos B = 80.6404+124.5456−76.7376
2 (8.98)(11.16)
Cos B = 128.4484
200.4336 B = 50.14°
Cos C = 𝑎2+ 𝑏2− 𝑐2
2𝑎𝑏 a = 8.98 a2 = 80.6404
b = 8.76 b2 = 76.7376
c = 11.16 c2 = 124.5456
Cos C = 80.6404+76.7376−124.5456
2 (8.98)(8.76)
Cos C = 32.8324
157.3296 C = 77.95°
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* Triángulo: ECB
Cos A = 𝑏2+ 𝑐2− 𝑎2
2𝑏𝑐 a = 11.16 a2 = 124.5456
b = 6.33 b2 = 40.0689
c = 13.07 c2 = 170.8249
Cos A = 40.0689+170.8249−124.5456
2 (6.33)(13.07)
Cos A = 86.3482
165.4662 A = 58.54°
Cos B = 𝑎2+ 𝑐2− 𝑏2
2𝑎𝑐 a = 11.16 a2 = 124.5456
b = 6.33 b2 = 40.0689
c = 13.07 c2 = 170.8249
Cos B = 124.5456+170.8249−40.0689
2 (11.16)(13.07)
Cos B = 255.3016
2291.7224 B = 28.93°
Cos C = 𝑎2+ 𝑏2− 𝑐2
2𝑎𝑏 a = 11.16 a2 = 124.5456
b = 6.33 b2 = 40.0689
c = 13.07 c2 = 170.8249
Cos C = 124.5456+40.0689−170.8249
2 (11.16)(6.33)
Cos C = −6.2104
141.2856 C = 92.51°
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* Triángulo: EBA
Cos A = 𝑏2+ 𝑐2− 𝑎2
2𝑏𝑐 a = 13.07 a2 = 170.8249
b = 6.32 b2 = 39.9424
c = 12.02 c2 = 144.4804
Cos A = 39.9424+144.4804−170.8249
2 (6.32)(12.02)
Cos A = 13.5979
151.9328 A = 84.86°
Cos B = 𝑎2+ 𝑐2− 𝑏2
2𝑎𝑐 a = 13.07 a2 = 170.8249
b = 6.32 b2 = 39.9424
c = 12.02 c2 = 144.4804
Cos B = 170.8249+144.4804−39.9424
2 (13.07)(12.02)
Cos B = 275.3629
314.2028 B = 28.79°
Cos C = 𝑎2+ 𝑏2− 𝑐2
2𝑎𝑏 a = 13.07 a2 = 170.8249
b = 6.32 b2 = 39.9424
c = 12.02 c2 = 144.4804
Cos C = 170.8249+39.9424−144.4804
2 (13.07)(6.32)
Cos C = 66.2869
165.2048 C = 66.34°
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* Triángulo: EAF
Cos A = 𝑏2+ 𝑐2− 𝑎2
2𝑏𝑐 a = 12.02 a2 = 144.4804
b = 10.83 b2 = 117.2889
c = 9.22 c2 = 85.0084
Cos A = 117.2889+85.0084−144.4804
2 (10.83)(9.22)
Cos A = 57.8169
199.7052 A = 73.17°
Cos B = 𝑎2+ 𝑐2− 𝑏2
2𝑎𝑐 a = 12.02 a2 = 144.4804
b = 10.83 b2 = 117.2889
c = 9.22 c2 = 85.0084
Cos B = 144.4804+85.0084−177.2889
2 (12.02)(9.22)
Cos B = 112.1999
221.6488 B = 59.58°
Cos C = 𝑎2+ 𝑏2− 𝑐2
2𝑎𝑏 a = 12.02 a2 = 144.4804
b = 10.83 b2 = 117.2889
c = 9.22 c2 = 85.0084
Cos C = 144.4804+117.2889−85.0084
2 (12.02)(10.83)
Cos C = 176.7609
260.3532 C = 47.24°
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6. RESULTADO.
6.1 PLANO
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6.2 CUADRO DE DATOS.
Vértice Lado Distancia Ángulo
A AB 6.32cm 144.44°
B BC 6.33cm 158.85°
C CD 8.76cm 136.49°
D DE 8.98cm 51.90°
E EF 9.22cm 155.6°
F FA 10.83cm 73.17°
Total 719.91°
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7. ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS.
El área total es la suma de las áreas de todos los triángulos.
Con la fórmula de Herón de Alejandría no es necesario utilizar la altura de
los triángulos.
Los polígonos tienen algunas características que los definen, en este caso,
nuestro terreno es un polígono de 6 lados (hexágono) y en este polígono la
suma de sus ángulos internos debe de ser de 720°, dato que al compararlo
con el que calculamos que nos dio 719.91°, tiene una diferencia de 9
centésimas.
8. CONCLUSIONES.
a) Cuando el terreno que se va a medir es un polígono como en nuestro caso,
siempre conviene dividirlo en triángulos.
b) Se pueden facilitar los cálculos diseñando un programa para hacerlo en
computadora, o utilizar algún paquete. Los aparatos modernos de
topografía ya tienen dichos programas integrados.
c) Cuando el terreno es inclinado, como nos tocó en algunas partes, a las
personas se les hace difícil entender que la medida tiene que ser horizontal.
d) Nos divertimos mucho.
9. FUENTES DE INFORMACIÓN.
Guzmán Herrera, Abelardo, Geometría y Trigonometría, México, Publicaciones
Cultural, 2002, pp. 76-141.