CLCULO DIFERENCIAL PROFESOR: CARLOS FELIPE PIEDRA CCEDA

HOJA DE TRABAJO N07

APLICACIONES DE LA DERIVADA:

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES EN UN INTERVALO

VALORES MXIMOS Y MNIMOS LOCALES DE UNA FUNCIN.

NIVEL 1: I. Determine los intervalos en las cuales las funciones siguientes son crecientes o

decrecientes:

a) 2( ) 4 20 29f x x x

b) 3 2( ) 2 4 8f x x x x

c) 3 2( ) 2 3f x x x x

d) 1

3( ) 1f x x

e) 2 4( ) 2f x x x

f) 4 3 2( ) 3 16 18f x x x x

g) 4 3 2( ) 2 3f x x x x

h) 1

3( ) ( 4)f x x x

i) 2 4( ) 12 2f x x x

j) 3 23

( )2

f x x x

II. Halle los puntos crticos, determine los valores mximo relativo y mnimo relativo de la

funcin dada:

a) 2( ) 4 5f x x x

b) 3( ) 12 5f x x x

c) 5 3( ) 3 5f x x x

d) 4 3( ) 4 10f x x x

e) 1

( )f xx

f) 4 3 2( ) 3 4 12 5f x x x x

g) 3 2( ) 5 5f x x x x

h) 2

3

9( 3)( )

xf x

x

i) 3

( ) 1 1f x x

j) 2 1

3 3( ) (6 )f x x x

NIVEL 2: Resolver los siguientes problemas:

1. La deflexin y de una viga de longitud L es: 4 3 2 2( ) 2 5 3y x x Lx L x

donde x es la distancia desde un extremo

de la viga. Encontrar el valor de x que

produce la deflexin mxima.

2. Suponga que en cualquier tiempo t (en

segundos) la corriente i (en amperes) en un

circuito de corriente alterna es

2 2i Cost Sent

Cul es la corriente

pico (mayor magnitud) para este circuito?

CLCULO DIFERENCIAL PROFESOR: CARLOS FELIPE PIEDRA CCEDA

3. Un agricultor tiene 2400 pies de cerca y

desea cercar un campo rectangular que

bordea un ro recto. No necesita cercar a lo

largo del ro (ver figura). Cules son las

dimensiones del campo con el rea ms

grande que puede cercar?

4. Una ventana Normanda se construye

contiguo a un semicrculo en la parte

superior de una ventana Normanda

rectangular (ver figura). Encuentre las

dimensiones de una ventana Normanda

para tener la mayor cantidad de luz, si el

permetro total es de 16 pies.

5. Una empresa que produce leche, tiene

envases de forma de cilindro circular recto y

de volumen 442,8cm3. Actualmente la

empresa requiere que los envases de este

tipo, tengan la menor cantidad de metal,

para as reducir el costo del material.

6. Se desea construir una caja sin tapa con base

rectangular a partir de una hoja rectangular

de cartn de 16 cm. de ancho y 21 cm. de

largo, recortando un cuadrado en cada

esquina y doblando los lados hacia arriba.

Calcular el lado del cuadrado para el cual se

obtiene una caja de volumen mximo.

7. La energa elctrica P en vatios en un circuito

de corriente continua con dos resistencias R1

y R2 conectadas en paralelo es:

1 2

2

1 2

vR RP

R R

donde v es la tensin. Si v y R1 se mantienen

constantes, la resistencia R2 produce

potencia mxima?

8. Las ganancias totales(en dlares) de la

compaa Acrosonic por la fabricacin y

venta de x unidades del sistema de sonido

modelo F estn dadas por:

2( ) 0.02 300 200000P x x x ,

0 20000x

a) Determinar dnde la funcin P es

creciente y dnde es decreciente.

b) Cuntas unidades de este sistema debe

producir a fin de maximizar las ganancias?

9. Para producir x unidades de cierto artculo,

un monopolista incurre en un costo total de: 2( ) 2 3 5C x x x

y obtiene el ingreso total de ( ) . ( )R x x p x

donde ( ) 15 2p x x es el precio al cual se

vendern las x unidades. Halle la funcin

utilidad ( ) ( ) ( )P x R x C x y trace la

grfica. Para qu nivel de produccin

parece maximizarse la utilidad?

NIVEL 3:

10. Un fabricante quiere disear una caja abierta

que tiene una base cuadrada y un rea

superficial de 108 pulgadas cuadradas, como

CLCULO DIFERENCIAL PROFESOR: CARLOS FELIPE PIEDRA CCEDA

se muestra en la figura. Qu dimensiones

producir una caja con un volumen mximo?

11. La altura de un objeto que se mueve

verticalmente est dada por: 2( ) 16 96 112s t t t

con s en pies y t en segundos. Encuentre

a). La velocidad del objeto cuando t=0

b). Su altura mxima y en dnde la alcanza.

c). Su velocidad cuando s=0.

12. Un rectngulo est inscrito en un semicrculo

de radio 2. Cul es la

mayor rea del rectngulo que puede tener,

y cules son sus dimensiones?

13. Un objeto que cuelga de un resorte se estira

5 unidades desde su posicin de reposo y se

suelta en el tiempo t=0 para que se mueva

hacia arriba y hacia abajo. Su posicin en

cualquier tiempo t posterior es:

5s Cost

Cules son su velocidad y su aceleracin en

el tiempo? Cundo alcanza su velocidad

mxima?

14. Un tringulo rectngulo cuya hipotenusa

mide 3 m de largo se gira alrededor de uno

de sus catetos para generar un cono circular

recto. Encuentre el radio, la altura y el

volumen del cono de mayor volumen que se

pueda hacer de esta manera.

15. Una plataforma de perforacin a 12 millas de

la costa debe ser conectada mediante un

oleoducto a una refinera que est a 20

millas en lnea recta desde el punto de la

costa ms cercano a la plataforma. Sin

instalar la tubera debajo del agua cuesta

500000 dlares por milla, y en la tierra

cuesta 300000 por milla. Qu combinacin

de instalacin subacutica y terrestre da la

conexin ms barata?

16. La figura muestra una viga uniforme sujeta a

una carga distribuida linealmente creciente.

La funcin para la curva elstica es:

5 2 3 40( ) ( 2 )120

wy x x L x L x

EIL

Determinar el punto x donde ocurre la

deflexin mxima. Luego sustituya este valor

en y(x) para determinar el valor de la

deflexin mxima. Use los siguientes valores

de parmetros en su clculo: L = 600cm, E =

50000kN/cm2, I=30000cm4 y w0 = 2,5kN/cm.

Bibliografa:

N Autor Ttulo Paginas [1] JAMES

STEWART CLCULO

Conceptos y contextos

269-289 (Tercera edicin)

[2] THOMAS CLCULO (una variable)

244-267 (Undcima

edicin)

[3] LARSON-HOSTETLER-EDWARDS

CLCULO 164 -197 (Octava edicin)

[4] HAEUSSLER-PAUL-WOOD

MATEMTICAS PARA

ADMINISTRACIN Y

ECONOMA

566-615 (Decimo segunda edicin)