Hormigón I - Flexión

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flexion

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  • Unidad 3 Flexin en vigas y losas

  • Unidad 3Flexin en vigas y losasANLISIS PARA CARGAS DE SERVICIO (Mtodo elstico): Las bases fundamentales de este mtodo son: Debe haber equilibrio entre las fuerzas externas y las internas

    as: La resultante interna de las fuerzas a compresin debe serigual a la resultante interna de las fuerzas a traccin.

    La magnitud del par formado por las fuerzas de compresin ylas fuerzas de traccin en una seccin, debe ser igual almomento aplicado en esa seccin.

  • Unidad 3Flexin en vigas y losasANLISIS PARA CARGAS DE SERVICIO (Mtodo elstico): Las secciones transversales planas permanecen planas antes,

    durante y despus de la deformacin causada por la aplicacinde las cargas externas.

    Debe haber homogeneidad en el enlace entre el acero y elconcreto para garantizar el trabajo como seccin compuesta. Nodebe haber deslizamiento del acero respecto del concreto; deesta manera se garantiza que la deformacin unitaria en el aceroes la misma que en el concreto circundante.

    Se asume que el concreto no resiste fuerzas de traccin.

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    SECCIONES TRANSFORMADAS

    Para determinar las caractersticas geomtricas de unaseccin compuesta por dos o ms materiales (como en elcaso del concreto reforzado), se emplea lo que se denominauna seccin transformada.

    Esta seccin transformada se supone que est conformadapor un solo material, y las caractersticas de los demsmateriales se modifican por medio de una relacin demdulos de elasticidad para convertirlos en el primermaterial y as teniendo una seccin transformada en un solomaterial, se determinan las caractersticas geomtricas.

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    SECCIONES TRANSFORMADAS1. Para la determinacin de las caractersticas geomtricas de una

    seccin transformada de concreto reforzado a flexin se deben seguirlos siguientes pasos:

    2. Mediante la relacin modular del acero y el concreto se transforma elrea de acero en un rea de concreto equivalente.

    3. Se encuentra la localizacin del eje neutro de la seccin elsticatransformada.

    4. Con la localizacin del eje neutro se calcula la inercia de la seccintransformada.

    5. Se aplica la frmula de esfuerzo por flexin: Ec. 3.16. Si se desea hallar la capacidad elstica de la seccin (por esfuerzos

    admisibles), basta con determinar segn los esfuerzos admisibles delconcreto y acero respectivamente, cul sera el mximo momento quepodra soportar la seccin sin superar esos esfuerzos admisibles.

    IMc

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    SECCIN TRANSFORMADA NO AGRIETADA El anlisis de esta seccin se realiza considerando que la seccin est trabajando

    en su rango lineal elstico y adems nunca se sobrepasar el valor del mdulo derotura del concreto a traccin: Ec. 3.2

    es decir, no habrn grietas de traccin en el concreto.

    En este caso se considera la totalidad de la seccin para el anlisis de esfuerzos ysu chequeo a flexin.

    Seccin transformada no fisurada Fuente Nilson, Arthur

    MPacffr '7.0

  • Unidad 3Ejemplo:

    SECCIN TRANSFORMADA NO AGRIETADA (Simplemente reforzada)

    Caractersticas de la seccin:bw= 0.30 m h= 0.50 m cr= 0.05 mAs= 3#5 = 6.0 cm

  • Unidad 3Ejemplo:

    SECCIN TRANSFORMADA NO AGRIETADA (Doblemente reforzada)

    Caractersticas de la seccin:bw= 0.30 m h= 0.50 m cr= 0.05 m d= 0.05 mAs= 3#5 = 6.0 cm As= 2#5 = 4.0 cm

  • Unidad 3Ejemplo:

    SECCIN TRANSFORMADA AGRIETADA (Simplemente reforzada)

    Caractersticas de la seccin:bw= 0.30 m h= 0.50 m cr= 0.05 mAs= 3#5 = 6.0 cm

  • Unidad 3Ejemplo:

    SECCIN TRANSFORMADA AGRIETADA (Doblemente reforzada)

    Caractersticas de la seccin:bw= 0.30 m h= 0.50 m cr= 0.05 m d= 0.05 mAs= 3#5 = 6.0 cm As= 2#5 = 4.0 cm

  • Unidad 3Flexin en vigas y losasDISEO LTIMO (Mtodo de la resistencia):Las suposiciones bsicas de este mtodo son: Los esfuerzos sobre cualquier punto de la seccin transversal

    del elemento deben satisfacer las condiciones de equilibrio ycompatibilidad de deformaciones unitarias.

    Las secciones que son planas antes de la aplicacin de unacarga, permanecen planas despus de la aplicacin de esta, locual permite suponer una relacin lineal entre lasdeformaciones unitarias de cualquier punto de la seccin y ladistancia hasta el eje neutro de este punto (C.10.2.2 NSR-10).

    El concreto se supone incapaz de resistir esfuerzos de traccin.(C.10.2.5 NSR-10).

  • Unidad 3Flexin en vigas y losasDISEO LTIMO (Mtodo de la resistencia):Las suposiciones bsicas de este mtodo son: La deformacin unitaria a la cual se supone la falla por

    aplastamiento del concreto es cu=0.003 (C.10.2.3 NSR-10). El acero est plenamente adherido al concreto de tal manera

    que las deformaciones unitarias del acero y el concreto que lorodea son iguales.

    Se supondr un modelo esfuerzo deformacin elasto-plsticopara el acero (C.10.2.4 NSR-10).

    Se debe asumir una relacin entre los esfuerzos de compresinen el concreto y sus deformaciones unitarias aceptada por lacomunidad cientfica (C.10.2.6 NSR-10).

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    C. S. Whitney propuso una simplificacin en la que la distribucin real de esfuerzos decompresin se simplificara mediante un rectngulo cuya resultante tuviera la mismamagnitud y ubicacin que la real.

    Rectngulo de Whitney:Distribucin

    aproximadamenteparablica

    Distribucin rectangularde Whitney

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    Coeficienteb1 :

    Determinacin del coeficiente 1:La variacin del coeficiente 1 depende

    de la resistencia del concreto que seva a utilizar y est especificado enC.10.2.7.3 del NSR-10.

    No se incluyen valores para resistenciasinferiores a 17 MPa debido a queesta es la resistencia mnimapermitida por el NSR-10.

    72805.085.0

    '

    1cf

    72805.085.0

    '

    1cf Ec. 3.3 Ecuacin del tramo inclinado deb1

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    Capacidad nominal a flexin (seccin arbitraria):

    Fuerza resultante a compresin (Cc):fc = Resistencia a compresin del concreto a los 28 das.Ac = rea de la superficie equivalente de Whitney a

    compresin.Fuerza resultante a traccin (T):As = rea de acerofy = resistencia de fluencia del acero.

    AcfC cc 85.0 '

    ys fAT

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Revisin de la capacidad nominal a flexin (seccin rectangular):

    y

    por equilibrio de fuerzas de donde

    El momento nominal es entonces cualquiera de las dos fuerzas multiplicadas por el brazo

    y el momento de diseo =

    abfC cc 85.0 ' ys fAT abffA cys 85.0 ' bf

    fAa

    c

    ys

    85.0

    '

    2

    adfAM ysn

    2

    85.0 ' adabfM cn nM

  • Unidad 3Ejemplo de Revisin:

    Revisin seccin simplemente reforzada:

    Caractersticas de la seccin:bw= 0.30 m h= 0.50 m cr= 0.05 m fc = 21 MPa fy = 420 MPaAs= 3#5 = 6.0 cm Mn = ?

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Diseo de seccin rectangular simplemente reforzada:El diseo de una seccin corresponde bsicamente a la determinacin de la cantidad de

    acero necesaria para resistir un momento ltimo dado, habiendo supuesto lascaractersticas geomtricas y mecnicas de la seccin.

    El procedimiento es el siguiente:Se despeja el valor de As de la ecuacin teniendo claro que

    fMn = Mu para condiciones ptimas de diseo y que quedando la

    ecuacin para hallar As as:

    bffA

    ac

    ys

    85.0

    '

    2

    adfAM ysn

    285.0

    ' bffA

    dfAM cys

    ysu

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Diseo de seccin rectangular simplemente reforzada:

    Procedimiento alterno:Se despeja el valor de a de la ecuacin y luego se

    reemplaza el valor de a en la ecuacin

    2

    adfMA

    y

    us

    w

    u

    bcfM

    dda85.0

    22

  • Unidad 3Ejemplo de Diseo:

    Diseo seccin simplemente reforzada:

    Caractersticas de la seccin:bw= 0.30 m h= 0.50 m cr= 0.05 m fc = 21 MPa fy = 420 MPaMu = 150 kNm As= ?

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Falla balanceada, subreforzada y sobrerreforzada:

    Falla subreforzada: Cuando fluye primero el acero y luego el concreto alcanza su deformacin defalla cu = 0.003.

    Falla sobrerreforzada: Cuando el concreto alcanza su deformacin unitaria de falla antes que elacero alcance su condicin de fluencia.

    Falla balanceada: Cuando simultneamente el concreto y el acero alcanzan su deformacin unitariade falla y el acero su condicin de fluencia.

    Fuente: emeraldinsight.com

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Falla balanceada, subreforzada y sobrerreforzada:

    Cuando s y s 0.002 Seccin controlada por compresin.

    Cuando s 0.005 Seccin controlada por traccin.

    Cuando 0.002 < s < 0.005 Transicin entre control por compresin y control por traccin.

    cu = 0.003

    s = 0.001s = 0.002s = 0.003s = 0.004s = 0.005s = 0.006

    dcddc

    sscucu

    cccccc

    Cuando s < y Falla sobrerreforzada

    Cuando s = y Falla balanceada

    Cuando s > y Falla subreforzada

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Condicin de falla balanceada:Estableciendo condiciones de equilibrio de fuerzas internas y denominando la cantidadnecesaria de acero para producir la condicin de falla balanceada y la profundidadequivalente del eje neutro en las mismas condiciones Asb y ab respectivamente, se tiene:

    Despejando Asb y reemplazando ab porb1 cb se tiene: yreemplazando cb por su equivalente en trminos de deformaciones unitarias se obtiene:

    lo que corresponde a la cantidad exacta de acero

    que generar una condicin de falla balanceada.

    bwcysb

    c

    abffACT

    85.0 '

    y

    bwcsb f

    cbfA 85.0 1'

    yw

    y

    csb dbf

    fA

    003.0003.0

    85.0 1'

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Secciones controladas por traccin o compresin:Para definir si una seccin al momento de alcanzar su resistencianominal a flexin estar controlada por traccin o compresin,se determina la deformacin unitaria del acero que est msalejado de la fibra extrema a compresin a una distanciadenominada dt.

    La distancia dt hace referencia solamente a la capa de refuerzoms alejada de la fibra extrema a compresin, mientras que ladistancia d lo hace al centroide del refuerzo a traccin.Se considera que una seccin es controlada por traccin cuando la deformacin unitariaeten la capa de refuerzo a la distancia dt es mayor o igual que 0.005 en el momento dealcanzar su resistencia nominal a flexin.

    Una seccin es controlada por compresin cuando en el momento de alcanzar suresistencia nominal a flexin, la deformacin unitaria et en la capa de refuerzo a ladistancia dt es menor o igual que 0.002 (ey terico).

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Secciones controladas por traccin o compresin (variacin de f):Dependiendo de la zona que definael tipo de falla de una seccinsometida a flexin y del tipo derefuerzo de confinamiento se debenutilizar diferentes valores delcoeficiente de reduccin deresistenciaf.En la zona controlada por traccinse usar un fde 0.90 y en la zonagobernada por compresin se

    usar 0.65 si el refuerzo transversal consiste en estribos y 0.75 si consiste en espirales.

    Las zonas controladas por compresin sern consideradas nicamente en columnas.

    La zona que queda en medio se denomina zona de transicin y la variacin de debe serlineal como se muestra en la grfica.

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    rea mxima de acero en elementos a flexin:Debido a que una condicinde falla sobrerreforzada noes deseable, el NSR-10 en laseccin C.10.3.5 limita el valorde t a un mnimo de 0.004.Esto hace que haya una zonade transicin con variable,sin embargo el incremento deresistencia que

    se lograra al poder utilizar reas mayores de acero al trabajar con estevalor de t, se ve reducido al emplear coeficientes menores que 0.90, porlo que se recomienda utilizar como deformacin unitaria mnima para eldiseo de vigas t = 0.005, cuyo valor de constante es 0.90 y esta opcinresulta ms econmica.

    et= 0.004

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    El rea mxima quedar definida entonces por la ecuacin:dondeet,min es 0.004 0.005 segn el

    criterio del diseador

    rea mnima de acero en elementos a flexin:Cuando la seccin de una viga se agrieta por tensin es necesaria una mnima cantidadde acero que asuma la tensin soportada antes por el concreto, ya que de no existir esteacero la seccin fallara de forma frgil.Para prevenir este fenmeno el NSR-10 en la seccin C.10.5.1especifica un rea mnimade acero as:

    Ec. C.10-3

    y para vigas T isostticas C.10.5.2

    y

    ww

    y

    c

    s fdbdbf

    fA 4.1

    25.0 'min,

    y

    ww

    y

    c

    s fdbdbf

    fA 4.1

    50.0 'min,

    min,1

    '

    max, 003.0003.0

    85.0t

    w

    y

    cs dbf

    fA

  • Unidad 3Ejemplo de Revisin:

    Revisin seccin simplemente reforzada:

    Caractersticas de la seccin:bw= 0.40 m h= 0.45 m cr= 0.05 m fc = 21 MPa fy = 420 MPaAs= 4#6 = 11.4 cm Mn = ?As,min= ? As,max= ?

  • Unidad 3Ejemplo de Diseo:

    Diseo seccin simplemente reforzada:

    Caractersticas de la seccin:bw= 0.40 m h= 0.45 m cr= 0.05 m fc = 21 MPa fy = 420 MPaMu = 150 kNm As= ?As,min= ? As,max= ?

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Vigas doblemente reforzadas:

    El empleo de refuerzo a compresin no incrementa sustancialmente lacapacidad a flexin (menos de 5%), sin embargo para elementos quehagan parte del sistema de resistencia ssmica es obligatorio su empleo, asno se considere este refuerzo a la hora de disear.

    El empleo de refuerzo a compresin mejora lassiguientes caractersticas: Reduce deflexiones a largo plazo por cargas

    sostenidas. Incrementa la ductilidad (debido a que es aumenta

    al disminuir c). Cambia el modo de falla de compresin a tensin

    en elementos sobrerreforzados. Facilita la construccin.

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Vigas doblemente reforzadas:

    Las fuerzas que actan en la seccin son entonces:Fuerza de compresin del concreto:Fuerza de compresin del acero: donde:y fuerza de tensin en el acero:

    abfC cc 85.0 '

    ys fAT

    ''

    sss fAC )85.0( ''' csss ffAC ysss fEf '

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Vigas doblemente reforzadas:

    Estableciendo equilibrio en la seccin se tiene: T = Cc + Csrecordando que

    en esta ecuacin tanto a como fs se pueden expresar en trminos de c.quedandoel nico trmino desconocido es c, correspondiente a la profundidad del eje neutro

    '''

    85.0 sscys fAabffA yss fEf s ''

    c

    dcEAcbffA cusscys'

    '

    1'

    85.0

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Vigas doblemente reforzadas:

    Al calcular el valor de c mediante la ecuacin cuadrtica resultante de laigualacin de fuerzas de traccin y compresin, es necesario corroborarloas:

    Si fs > fy Recalcular c haciendo f s = fy.

    Si fs fy El valor calculado de c es correcto.Esta metodologa no permite percibir muy claramente lo que est ocurriendo en laseccin de la viga, lo que algunos autores catalogan como una falencia de estametodologa.

    c

    dcEEf cussss'

    ''

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    Vigas doblementereforzadas:

    Wight & MacGregor(Wight & MacGregor, 2012)proponen una metodologaiterativa que da un mejorcontrol al diseador de loque est sucediendo en laviga, el cual se resume en elsiguiente diagrama:

    Fuente: Wight &MacGregor

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Vigas doblemente reforzadas:Otra manera de determinar si el acero a compresin est fluyendo o no esdeterminando la cantidad mnima de acero a tensin que har que el decompresin fluya.

    Suponiendo que el acero a compresin est fluyendo e igualando tensin ycompresin se tiene: , reemplazando c por suequivalente en trminos de deformaciones unitarias y dividiendo a amboslados por fy se tiene:

    Lo que corresponde a la cantidad mnima de acero a tensin que generarfluencia en el acero a compresin.

    Es decir, si As > Asy As fluye

    ywcys fsAcbffA '85.0 1'

    sAdbffA

    ycu

    cuw

    y

    csy '85.0 '1

    '

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Vigas doblemente reforzadas:As,min Doblemente reforzadas = As,min Simplemente reforzadas

    As,max Doblemente reforzadas proviene de et,min = 0.004 0.005 (segn criterio deldiseador)

    donde f s fyy

    ss

    tw

    y

    cs f

    fAdbffA

    '

    '

    min,1

    '

    max, 003.0003.0

    85.0

    y

    ww

    y

    c

    s fdbdbf

    fA 4.1

    25.0 'min,

  • Unidad 3Ejemplo de Revisin:

    Revisin seccin doblemente reforzada:

    Caractersticas de la seccin:bw= 0.40 m h= 0.45 m cr= 0.05 m d= 0.05fc = 21 MPa fy = 420 MPa As= 4#6 = 11.4 cm As = 2#5 = 4.0 cmMn = ? As,min= ? As,max= ?

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Vigas con aletas o vigas en T (flanged sections). (C.8.12 NSR-10)

    Las vigas T se forman cuando las aletas que estn a compresin trabajanestructuralmente. La formacin de estas vigas depende de la forma de vaciado. Segn como se usen, pueden llegar a ser ms eficientes que las vigas rectangularestradicionales.

    Fuente: Wight &MacGregor

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Vigas con aletas o vigas en T (flanged sections).

    Fuente: Wight &MacGregor

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Vigas con aletas o vigas en T (flanged sections).

    Denominacin de las partes de la seccin

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Vigas con aletas o vigas en T (flanged sections).

    Ancho efectivo be mximo: C.8.12.2 Y C.8.12.3Fuente: Wight &

    MacGregor

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Vigas con aletas o vigas en T (flanged sections).

    Anlisis de secciones con aletas:

    Caso 1: a = b1c hf Se analizan como secciones rectangulares de anchobe.

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Vigas con aletas o vigas en T (flanged sections).

    Anlisis de secciones con aletas:

    Caso 2: a = b1c > hf Se divide la zona de compresin en dos partes y serealiza equilibrio de fuerzas.

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Vigas con aletas o vigas en T (flanged sections).

    fweccf hbbfC '85.0ysf fAT 1

    cfCT 1 fwecysf hbbffA '85.0 fwe

    y

    csf hbbf

    fA '

    85.0

    2f

    ysfnfh

    dfAM

    2fhd

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Vigas con aletas o vigas en T (flanged sections).

    2ad

    abffA wcysw '85.0sfssw AAA

    2adfAAM ysfsnw

    abffAA wcysfs '85.0

    wc

    ysfsbf

    fAAa

    '85.0

    cwCT 2

    abfC wccw '85.0ysw fAT 2

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Vigas con aletas o vigas en T (flanged sections).

    2f

    ysfnfh

    dfAM

    2adfAAM ysfsnw

    nwnfnw MMM

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Vigas con aletas o vigas en T: Procedimiento de revisin

    ec

    ys

    bffA

    a'85.0

    crhd

    f'c , fy , be , bw , hf , h , cr , As a > hf

    Vigarectangularde ancho be

    Viga TNo

    Si

    wc

    ysfsbf

    fAAa

    '85.0

    y

    fwecsf f

    hbbfA

    '85.0

    22adfAAhdfAM ysfsfysfn

    90.0

    Chequeo cuantasmnima y mxima

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Diseo de losas Losas en una direccin

    lnblna

    lnblna

    lnb

    lnalnb> 2 lna

    lnblna

    Condicin 1C.13.1.6.1 NSR-10

    Condicin 2C.13.1.6.2 NSR-10

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Diseo de losas Losas en dos direcciones

    lnb

    lna

    lnb< 2 lna

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Diseo de losas Escalera (Losa en una direccin)

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Diseo de losas Altura mnima: C.9.5 NSR-10

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Diseo de losas Separacin mximarefuerzo a tensin:C.10.6.4 NSR-10

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Diseo de losas Refuerzo mnimo:C.7.12.2.1 NSR-10= =

  • Unidad 3Flexin en vigas y losas

    Diseo de losas en una direccin

    Retraccin

    Principal