Homotecia.

Homotecia. Es la transformación geométrica que no tiene una imagen congruente, ya que a partir de una figura dada se obtienen una o varias figuras en tamaño mayor o menor que la figura dada.

Procedimiento.1. Para obtenerlas se parte de un punto

escogido arbitrariamente, al cual se llama centro de homotecia.

2.- Del cual se trazan segmentos de recta, tantos como vértices tenga la figura que se va a transformar. 3.- Se debe considerar otro elemento básico para desarrollar esta transformación, siendo esta una constante, la cual se denomina constante de homotecia que viene a ser la escala en la cual se realiza la reproducción.

Tiene las siguientes propiedades:

O Los ángulos de las figuras por homotecia son iguales ya que tienen la misma medida.

 O Los segmentos con paralelos.

O Las dimensiones de dos figuras por homotecia son directamente proporciónales; esta proporción es fijada por la constante de homotecia.

Homotecia Directa.O Si k > 0, A y A′ están al mismo lado de O, y se

dice que la homotecia es directa.

Homotecia InversaO Si k < 0, A y A′ están a distinto lado de O, y se

dice que la homotecia es inversa.

O Como habrás notado, para que el polígono A’B’C’D’E’ conserve la forma y orientación del polígono ABCDE, necesita que los lados correspondientes de ambos polígonos se mantengan paralelos.

O Pero, al mover el punto O obtienes distintas homotecias en distintas ubicaciones del plano, y al mover el punto E’, obtienes homotecias de distintos tamaños.

O Esto quiere decir que una homotecia F’ depende del punto O y del tamaño que queremos que tenga la figura F’.

O La figura A'B'C' se construyó tomando el punto O y trazando paralelas al triángulo ABC.

O Triángulo OCB es semejante a Triángulo OC'B', entonces: OB'/OB=OC'/OC=B'C'/BC

O Triángulo OCA es semejante a Triángulo OC'A', entonces: OC'/OC=OA'/OA=C'A'/CA

O Luego, concluimos que: B'C'/BC=C'A'/CAO Lo anterior es válido para todos los lados correspondientes:

B'C'/BC=C'A'/CA=B'A'/BA=k (factor de conversión)O Por tanto Triángulo ABC es semejante a Triángulo A'B'C'

EJERCICIOS:O Construye una homotecia de centro O y

talque A’ sea el vértice correspondiente del punto A para el siguiente triángulo: