Holzer (4ta Diap.)

CURSO

INGENIERIA SISMO RESISTENTE I

Método de Holzer.- Conceptos Generales.-Procedimiento.- Ejemplo de aplicación.

Ing. Omart Tello Malpartida

El de Holzer es un procedimiento iterativo, basado en aproximaciones graduales, y sirve para determinar los periodos superiores de las vibraciones naturales mediante el sistema de varios puntos de esfuerzos cortantes.

Este método es solamente aplicable a estructuras sencillamente acopladas (estructuras donde la masa de los pisos intermedios esta ligada solo a la masa de los pisos superior e inferior mediante resortes que representan las rigideces de entrepiso correspondientes).

En su forma mas general el método se puede aplicar a cualquier estructura lineal con acoplamiento entre las diferentes masas.

EL METODO DE HOLZER

Ingeniería Sismo Resistente I Ing. Omart Tello Malpartida

1. Supóngase arbitrariamente ω2 mayor que el modo fundamental, previamente obtenido por cualquier método. (es recomendable el obtenido por Stodola)

2. Supóngase la amplitud del movimiento X1 de la primera masa a partir del apoyo. Conviene suponer un valor unitario. Esta amplitud supuesta es también igual al desplazamiento ΔX1 del primer entrepiso. X1 =ΔX1 =1

3. Calcúlese la fuerza cortante en el primer resorte, V1 = K1 ΔX1 donde K1 es la rigidez del entrepiso, y la fuerza de inercia en la primera masa, F1 = M1ω2X1.

El procedimiento es:


5. Por equilibrio determínese la fuerza cortante en el segundo resorte: V2=V1 – F1.

Obténgase la deformación de este último,ΔX2= V2/ K2 .

Calcúlese la amplitud del desplazamiento de la segunda masa, X2 = X1 + ΔX2 , y la fuerza de inercia en la misma, F2 = M2 ω2 X2 .

6. Repítanse los pasos (4) a (5) con el tercer resorte y la tercera masa.



7. Continúese el proceso hasta llegar a la última masa. Si se satisface el equilibrio entre la fuerza cortante del último resorte y la fuerza de inercia de la masa aludida, la frecuencia escogida y las amplitudes calculadas corresponden a un modo natural de vibración. Por lo general, tales fuerzas no son iguales y su diferencia constituye un residuo.

8. Se repite el proceso para distintos valores de ω2

9. Se grafica la curva ω2 Vs R




Residuos Vs ω2

10. Cuando se está probando un valor de Xi suficientemente próximo al correspondiente a un modo de vibrar (cuando el residuo es pequeño), se encuentra que una aproximación más precisa de dicha frecuencia es: (Crandall y Strang, 1957).

Mejorando la aproximación

Afinado Hallado


W3 = 200 ton

W2 = 400 ton

W1 = 400 ton

K3 = 80 ton/cm

K2 = 200 ton/cm

K1 = 200 ton/cm

Ejemplo numérico:


NIVEL 1 2 3 RK1 M1 K2 M2 K3 M3

ton/cm ton-seg2/cm ton/cm ton-seg2/cm ton/cm ton-seg2/cmω2 RESIDUO

200 0.408 200 0.408 80 0.204Xi 1.000 0.980 -1.569Δxi 1.000 -0.02 -2.549

Vi = Ki . ΔXi 200 -4 -203.92500

Fi = Mi . ω2 .Xi 204 199.92 -160.038

- 43.882

1. Asumir ω2 , recomendable para iniciar el modo fundamental obtenido por Stodola

2. Asumir en el 1er entrepiso: X1 = ΔX1 = 1

3. Calcúlese la fuerza cortante en el primer resorte, V1 = K1 . ΔX1y la fuerza de inercia en la primera masa, F1 = M1.ω2.X1.

4. Se calcula la fuerza cortante en el segundo resorte: V2 = V1 – F1

6. Repítanse los pasos (4) a (5) con el tercer resorte y la tercera masa.

5. Con el valor de V2, se calcula la deflexión del 2do entrepiso: ΔX2= V2/ K2

y el desplazamiento del 2do entrepiso : X2= X1 + ΔX2

Con este ultimo valor se calcula la fuerza de inercia de la 2da masa: F2 = M2.ω2.X2

7. Se continua el proceso hasta la ultima masa, en este ultimo entrepiso se determina el residuo: R = V3 – F3

8.- Se repite el proceso para diferentes valores de ω2

K M K M K Mton/cm ton-seg2/cm ton/cm ton-seg2/cm ton/cm ton-seg2/cm

200 0.408 200 0.408 80 0.204X 1.000 1.751 2.539ΔX 1.000 0.751 0.788V 200.0 150.2 63.1F 49.8 87.2 63.2X 1.000 1.388 0.234ΔX 1.000 0.388 -1.154V 200.0 77.6 -92.3F 122.4 169.9 14.3X 1.000 0.980 -1.569ΔX 1.000 -0.02 -2.549V 200.0 -4.0 -203.9F 204.0 199.9 -160.0X 1.000 0.776 -2.159ΔX 1.000 -0.224 -2.935V 200.0 -44.8 -234.8F 244.8 190.0 -264.2X 1.000 -0.040 -2.436ΔX 1.000 -1.04 -2.396V 200.0 -208.0 -191.7F 408.0 -16.3 -496.9X 1.000 -0.652 -0.459ΔX 1.000 -1.652 0.193V 200.0 -330.4 15.4F 530.4 -345.8 -121.8X 1.000 -1.060 1.899ΔX 1.000 -2.06 2.959V 200.0 -412.0 236.7F 612.0 -648.7 581.1

500 -43.882

305.264

1300 137.211

1500 -344.374

METODO DE HOLZER

ω2 RESIDUO

-106.634

600 29.443

1000

122

300

-0.140

9.- Se grafica los valores de R y ω2, determinándose las intersecciones de la curva con el eje ω2, estos valores corresponden a los diferentes modos de vibración.

GRAFICO DE RESIDUOS

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

0 500 1000 1500 2000

W2

R Serie1

ω2 = 122

ω2 = 560

ω2 = 1373

Cuando se está probando un valor de Xi suficientemente próximo al correspondiente a un modo de vibrar (cuando el residuo es pequeño), se encuentra que una aproximación más precisa de dicha frecuencia es: (Crandall y Strang, 1957)

10.- Para mejorar la aproximación

Afinado Hallado

Segundo Modo de Vibración

2 2 ..

i i

i i

V XF X

ω ωΔ

= ∑∑


200 0.408 200 0.408 80 0.204X 1.000 0.858 -1.948ΔX 1.000 -0.142 -2.805V 200.0 -28.5 -224.4F 228.5 195.9 -222.5 833.63 562.52X 1.000 0.852 -1.962 829.90ΔX 1.000 -0.148 -2.814V 200.000 -29.509 -225.155F 229.509 195.646 -225.146 838.04 562.53

838.02T = 0.265 seg

560

562.52

SEGUNDO MODO DE VIBRACION

ω2 RESIDUO

-1.9

-0.009

2 200 1.000 28.5 0.142 225.5 1.948560 562.52228.5 1.000 195.9 0.858 225.5 1.948

x x xxx x x

ω + += =

+ +

Primer Modo de Vibración

2 2 ..

i i

i i

V XF X

ω ωΔ

= ∑∑

2 200 1.000 150.2 0.751 63.1 0.788122 121.8849.8 1.000 87.2 1.751 63.2 2.539

x x xxx x x

ω + += =

+ +


200 0.408 200 0.408 80 0.204X 1.000 1.751 2.539ΔX 1.000 0.751 0.788V 200.0 150.2 63.1F 49.8 87.2 63.2 362.54 121.88X 1.000 1.751 2.541 362.90ΔX 1.000 0.751 0.790V 200.000 150.273 63.182F 49.727 87.091 63.182 362.81 121.88

362.81T = 0.569 seg

ω2 RESIDUO

PRIMER MODO DE VIBRACION

122 -0.1

121.88 0.000

Tercer Modo de Vibración

2 2 ..

i i

i i

V XF X

ω ωΔ

= ∑∑

2 200 1.000 360.2 1.801 85.5 1.1061373 1374.34560.2 1.000 448.7 0.801 85.4 0.305

x x xxx x x

ω + += =

+ +


200 0.408 200 0.408 80 0.204X 1.000 -0.801 0.305ΔX 1.000 -1.801 1.106V 200.0 -360.2 88.5F 560.2 -448.7 85.4 946.52 1374.34X 1.000 -0.804 0.320 945.59ΔX 1.000 -1.804 1.124V 200.0 -360.7 89.9F 560.7 -450.6 89.8 951.68 1374.41X 1.000 -0.804 0.321 951.63ΔX 1.000 -1.804 1.125V 200.000 -360.759 89.976F 560.759 -450.735 89.976

T = 0.169 seg

TERCER MODO DE VIBRACION

1373 3.0

ω2 RESIDUO

1374.34 0.1

1374.41 0.000

PRIMER MODO

3

0

2

4

6

8

10

0.000 1.000 2.000 3.000

SEGUNDO MODO

0

2

4

6

8

10

-3.000 -2.000 -1.000 0.000 1.000 2.000

TERCER MODO

0

2

4

6

8

10

-1.000 -0.500 0.000 0.500 1.000 1.500

¿ Preguntas ….?

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