R. Sendra Calculo II (IEyAI)

Hoja de Problemas N0 1(El espacio metrico y topologico Rn)

1. Sea {an}nN una sucesion convergente de numeros reales y ` = lmn an. Determinar el interior,adherencia y derivado del conjunto A = {an |n N} {`}.

2. Determinar el interior, adherencia y derivado de los siguientes subconjuntos de R

a) A = {(1 + 1n)n) / n N} {e}

b) A = {(1)n(1 + 1n) / n N} {1}

c) A = {(1)n / n N}d) A = {(1)n + 1

m/ n,m N} {1}

e) A = [0, 1] \ { 1n/ n N}

f ) A = {(1)n 1n/ n N} {0}

g) A = R \Qh) A = { 1

n/ n N} {0}

3. En R2 se considera el conjunto A = {(x, y) Q2 / 0 x y, 0 y < 1}. DeterminarA,A, A.

4. Determinar el interior, adherencia y derivado de los siguientes conjuntos de R3:

a) A = {(x, y, z) R3 / x2 + y2 = 1}b) A = {(x, y, z) R3 / x2 + y2 + z2 1}c) A = {(x, y, z) Q3 / x2 + y2 + z2

4 1}

d) A = R3 \Q3e) A = {(x, y, z) R3 / x2 + y2 + z2 < 1}f ) A = {(x, y, z) R3 / x2 + y2 + z2 = 1}g) A = {(x, y, z) R3 / x2 + y2 + z2 > 1}h) A = {(x, y, z) R3 / x2 + y2 + z2 1}

5. Estudiar que conjuntos, del problema anterior, son compactos.

6. Sean A y B subconjuntos de Rn, demostrar que

a)A

B 6=

A B,

b) A B 6= A B.

1