Hoja 7Curso 2012-2013

Álgebra Lineal

Hoja 7 Espacios con producto escalar

P1. Se sabe de los vectores w1 y w2 que forman una base ortonormal en un espacio vectorial real con producto escalar. Hallar el producto escalar de los vectores x e y, así como sus respectivas normas:

w1=x+ yw2= x− y

P2. Hallar el producto escalar (no ordinario) de los vectores de R2x1

x=[13 ] y=[ 1−2]

así como el valor de sus normas respectivas, sabiendo que la base formada por los siguientes vectores es ortonormal respecto del producto escalar (no ordinario) que rige en el espacio:

w1=[34 ] w2=[21 ]P3.Demostrar la siguiente afirmación:

En un espacio vectorial de dimensión dos, con producto escalar real, se sabe que si u y v son dos vectores base de igual norma, entonces los vectores w1 y w2 forman una base ortonormal:

P4. Sean F y G dos subespacios vectoriales de R3x1. Los vectores w1 y w2 forman una base ortonormal de F. El vector w3 es una base ortonormal de G. El producto escalar es el ordinario.

w1=1√6 [112] w2=

1√3 [−1

−11 ] w3=

1√3 [ 1

−11 ]

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u

v

b

axvvx 2,

uux 2,

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Álgebra Lineal

Al proyectar ortogonalmente un vector x de R3x1 sobre F se obtiene un vector cuyas componentes en

la citada base de F valen

√6 y

√3 respectivamente. Análogamente, si se proyecta el mismo

vector x ortogonalmente sobre G se obtiene un vector cuya componente en la citada base de G vale

√3. Hallar el vector x.

P5. Hallar el producto escalar (no ordinario) de los vectores

que pertenecen a un subespacio vectorial F de R2[t], así como el valor de sus normas respectivas, sabiendo que los vectores w1 y w2 forman una base ortonormal de F:

P6. Los vectores x1, x2 y x3 forman una base del subespacio vectorial F de R4x1:

x1=[ 100

−1] x2=[ 1

20

−1] x3=[ 3

11

−1]

Hallar una base ortonormal de F a partir de la base dada utilizando el método de Gram-Schmidt.

P7. Hallar el vector x de R2x1 del que se conoce lo siguiente:

- Su proyección ortogonal sobre el subespacio generado por el vector

u=[21 ] vale

π x , u=2u

.

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Álgebra Lineal

- Su proyección ortogonal sobre el subespacio generado por el vector

v=[−21 ]

vale

π x , v=2v

.

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