Hji Phd Thesis

casa abierta al tiempo

MODELAMIENTO MATEMATICO DE LOS PROCESOS DE TRANSFERENCIA DE MOMENTUM, CALOR Y MASA EN MEDIOS POROSOS

TESIS QUE PRESENTA EL MAESTRO EN CIENCIAS HUGO JIMENEZ ISLAS PARA LA OBTENCION DEL GRADO DE DOCTOR EN CIENCIAS NOVIEMBRE, 1999 UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA UNIDAD IZTAPALAPA DIVISIN DE CIENCIAS BASICAS E INGENIERIAi

AGRADECIMIENTOS

Al Dr. Hctor Felipe Lpez Isunza por su valioso apoyo como asesor y por su calidad acadmica y humana mostrada durante el desarrollo del presente trabajo, por lo que le manifiesto mi ms sincero reconocimiento.

Al Dr. Jess Alberto Ochoa Tapia por su valiosa colaboracin en la realizacin de este trabajo doctoral.

Al cuerpo de sinodales, integrados por los doctores: Gilberto Espinosa Paredes, Eduardo Ramos Mora, Ramiro Rico Martnez y Francisco Javier Snchez Bernab, por sus comentarios y observaciones que ayudaron a enriquecer el presente trabajo.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologa por el apoyo econmico brindado como beca de estudios

A la Universidad Autnoma Metropolitana-Iztapalapa por las facilidades brindadas para la utilizacin de equipo de cmputo.

A la Direccin General de Servicios de Cmputo Acadmico de la UNAM por las facilidades otorgadas para la utilizacin remota de la supercomputadora CRAY Origin 2000.

Al Instituto Tecnolgico de Celaya y al sistema SEP-SEIT-DGIT por impulsar decididamente el programa de formacin de recursos humanos

A la Academia del Departamento de Ingeniera Bioqumica del Instituto Tecnolgico de Celaya por su apoyo para realizar mis estudios de doctorado.

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CONTENIDO Pgina RESUMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii LISTA DE FIGURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi LISTA DE TABLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xx NOMENCLATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiii OBJETIVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Metas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 JUSTIFICACIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 CAPITULO I 1.1 1.2 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 El Medio Poroso: Caractersticas e Importancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Secado y Almacenamiento de Granos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 CAPITULO II 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 MARCO TERICO ACTUAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Ecuaciones de Transporte Puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 El Medio Poroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Modificaciones de la Ley de Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Teorema del Promedio Volumtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Conveccin Natural en Medios Porosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Modelamiento Matemtico del Medio Poroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.6.1 Ecuaciones de Transporte Promedio en el Medio Poroso . . . . . . . . 33 Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.7.1 Condiciones de Entorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.7.2 Mtodos de Solucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

iii

CAPITULO III. 3.1

DESARROLLO

DE

PROGRAMAS

PARA

SOLUCIN DE

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES . . . . . . . . . . . . . 49 Mtodos de Residuos Ponderados y Colocacin Ortogonal en una Dimensin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.1.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.1.2 Teora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2 Colocacin Ortogonal 2-D para EDP Elpticas no Lineales . . . . . . . . . . . . 55 3.2.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2.2 Teora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3 Colocacin Ortogonal 2-D para resolver EDP Parablicas no Lineales . . 59 3.3.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.3.2 Teora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4 Colocacin Ortogonal en Elemento Finitos 2-D para resolver EDP Elpticas no Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.4.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.4.2 Colocacin Ortogonal en Elemento Finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 CAPITULO IV 4.1 CONVECCIN NATURAL 2-D EN CAVIDADES . . . . . . . . . . . 74

Conveccin Natural en un Cilindro con Medio Poroso, con Fuente de Calentamiento Central (Cilindros Concntricos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.1.1 Modelo Matemtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.1.2 Resultados y Discusin: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.1.3 Conveccin Natural en Cilindros Concntricos con Flux de Calor Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.2

Conveccin Natural en Cavidades Rectangulares y Cilndricas, que contienen un Medio Poroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.2.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.2.2 Modelos Matemticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.2.3 Resultados y Discusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.3

Efecto de la Extensin de Brinkman en la Ley de Darcy . . . . . . . . . . . . . . 119 4.3.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.3.2 Modelamiento Matemtico y Mtodos Numricos . . . . . . . . . . . . 122 4.3.3 Resultados y Discusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

iv

4.4

Efecto del Calor de Respiracin sobre la Conveccin Natural en el Almacenamiento de Granos en Silos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.4.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.4.2 Modelo Matemtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.4.3 Resultados y Discusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

4.5

Problema de la Interfase Fluido-Medio Poroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.5.1 Teora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.5.2 Ley de Darcy y extensin de Brinkman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 4.5.3 Resultados y Discusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

4.6

Conveccin Simultnea de Calor y Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 4.6.1 Teora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 4.6.2 Modelo Matemtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 4.6.3 Metodologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 4.6.4 Resultados y Discusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

CAPITULO V 5.1 5.2

CONVECCIN NATURAL TRIDIMENSIONAL EN CAVIDADES RECTANGULARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

Colocacin Ortogonal en Tres Dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 5.1.1 Algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Conveccin Natural 3-D en una Cavidad Rectangular . . . . . . . . . . . . . . 240 5.2.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 5.2.2 Modelo Matemtico de la Conveccin Natural en un Medio Poroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 5.2.3 Colocacin Ortogonal en Tres Dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 5.2.4 Resultados y Discusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

CAPITULO VI 6.1

CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

Recomendaciones

REFERENCIAS: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

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ANEXO A:

Publicaciones y Presentaciones en Congresos de Trabajos Relacionados con la Tesis Doctoral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

ANEXO B: ANEXO C:

Resumen de Programas de Computadora Desarrollados . . . . . . . . . . . . . 294 Problemas Tipo de Conveccin Natural en Medio Poroso, en una Dimensin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

ANEXO D: ANEXO E: ANEXO F:

Conveccin Natural de Aire en una Cavidad Cuadrada . . . . . . . . . . . . . . 308 Ecuaciones de Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 Conveccin Natural 2-D en una Cavidad Cuadrada que Contiene un Medio Poroso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

ANEXO G: G.1

Programas Desarrollados para CO en Una, Dos y Tres Dimensiones . . . 330 Programa LEGENDRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 G.1.1 Desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 G.1.2 Resultados y Discusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

G.2

Programa ELI-COL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 G.2.1 Desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 G.2.2 Resultados y Discusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

G.3

Programa PAR-COL2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 G.3.1 Desarrollo del Programa PAR-COL2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 G.3.2 Resultados y Discusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

G.4.

Programa COL-FIN2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 G.4.1 Desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 G.4.2 Resultados y Discusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

G.5

Desarrollo del Programa ELI-COL3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 G.5.1 Resultados y Discusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

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RESUMEN

El presente estudio consisti en el modelamiento matemtico y solucin numrica del fenmeno de conveccin natural en un medio poroso, utilizando las ecuaciones de transporte para medios multifsicos, obtenidas a partir del Mtodo del Promedio Volumtrico. En los problemas resueltos, se analiz el efecto del nmero de Rayleigh, del aspecto geomtrico, de las fuentes de calor y de diversas condiciones de frontera, sobre el comportamiento de las lneas de corriente y en los perfiles de temperatura y de concentracin.

Para el modelamiento matemtico, se consideraron propiedades termodinmicas constantes medio poroso saturado y la aproximacin de Boussinesq. Las ecuaciones de conservacin se adimensionalizaron, de tal manera que se generan los nmeros de Rayleigh (Ra), Darcy (Da), Prandtl (Pr) y/o Lewis (Le) y se utilizaron los criterios de fluidos solenoidales, funcin corriente, vorticidad y vector potencial para excluir a la presin como variable dependiente y satisfacer a la vez a la ecuacin de continuidad. La mayora de los problemas analizados fueron con medios porosos isotrpicos, por lo que el formato final de las ecuaciones de transporte para medios multifsicos, es el mismo que las ecuaciones de transporte para medios homogneos, excepto que las propiedades termodinmicas (k, D AB, K) son efectivas.

Uno de los problemas que se analizaron y que dio origen a la publicacin de un artculo (Jimnez-Islas et al, 1999) fue el estudio numrico de la conveccin natural en una cavidad cilndrica que contiene un medio poroso isotrpico, saturado, que presenta generacin volumtrica de calor. Este trabajo se hizo con el fin de investigar el efecto de la ley de Darcy sin y con la extensin de Brinkman, sobre las lneas de flujo, isotermas y el nmero de Nusselt promedio. Para este problema, se analizaron dos casos: 1) Paredes aisladas en la parte superior y en el fondo del cilindro y pared lateral enfriada isotrmicamente; 2) Paredes enfriadas isotrmicamente. Los resultados mostraron que el efecto de la extensin de Brinkman es importante a valores del nmero de Darcy (Da) mayores de 10 -4 . Adems, el vii

nmero de Nusselt se incrementa asintticamente a medida que el nmero de Darcy disminuye, alcanzando su valor de equilibrio cuando se tiene medio darciano.

Por otro lado, es importante mencionar que en el aspecto numrico, se han desarrollado algoritmos eficientes de resolucin de los sistemas de ecuaciones diferenciales parciales, tomando como punto de partida los algoritmos de colocacin ortogonal y diferencias finitas. Las ecuaciones discretizadas se resolvieron por los mtodos de Relajacin no Lineal o de Newton-Raphson modificado con factorizacin LU para los casos en estado estable y por los mtodos de Runge-Kutta-Fehlberg con control de tamao de etapa o implcito para los casos en estado transitorio.

Con respecto a los programas de cmputo, se han desarrollado paquetes codificados en lenguaje CLIPPER-C, para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales parciales no lineales. Estos programas son interactivos, con mens de procedimientos y generacin de informes de resultados, con el fin de que se puedan utilizar como soporte acadmico y/o de investigacin. Por otra parte, los mismos algoritmos fueron desarrollados en lenguaje FORTRAN 77/90 estructurado para su aplicacin tanto en plataformas x86, como en estaciones de trabajo y computadoras de alto desempeo. Los programas tienen un enfoque general, a diferencia de la mayora de los programas comerciales conocidos que han sido diseados para resolver situaciones especficas. Lo anterior significa que los cdigos tienen factibilidad de utilizarse para la solucin de problemas de ingeniera, cuyo modelamiento matemtico origine un sistema de ecuaciones diferenciales parciales elpticas o parablicas. Un resumen de los programas desarrollados se menciona en el Anexo B, mientras que en el Anexo G se describen con mayor detalle cinco de estos programas, junto con una serie de ejemplos resueltos.

Por ltimo, es importante mencionar que se desarroll la tcnica de colocacin ortogonal en tres dimensiones, la cual no haba sido reportada previamente, afirmacin que fue ratificada por el Profesor John Villadsen (uno de los precursores de la aplicacin viii

ingenieril de los mtodos de aproximacin polinomial y actualmente editor de la revista Chemical Engineering Science), en su visita a la UAM-I en junio de 1995. Este algoritmo se utiliz para codificacin de programas (ELI-COL3 y PAR-COL3) que resuelven sistemas de EDP 3-D, no lineales del tipo elptico y parablico respectivamente. Este proyecto se llev a cabo en el Departamento de Ingeniera de Procesos e Hidrulica, de la Divisin de Ciencias Bsicas e Ingeniera de la Universidad Autnoma Metropolitana, Unidad Iztapalapa, con la direccin del Dr. Felipe Lpez Isunza y la codireccin del Dr. Jess Alberto Ochoa Tapia.

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CURRCULUM CONDENSADO M.C. HUGO JIMNEZ ISLAS PROFESOR TITULAR "C" ADSCRITO AL DEPARTAMENTO DE ING. BIOQUMICA. INSTITUTO TECNOLGICO DE CELAYAA) FORMACIN ACADMICA INGENIERO BIOQUMICO EN ALIMENTOS INSTITUTO TECNOLGICO DE CELAYA. (1980) TESIS 'MODELAMIENTO MATEMTICO DE LOS PROCESOS DE SECADO DE FRUTAS Y HORTALIZAS" MAESTRA EN INGENIERA QUMICA DE PROCESOS INSTITUTO TECNOLGICO DE CELAYA (1988) TESIS "PAQUETE COMPUTACIONAL PARA LA RESOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES" CANDIDATO A DOCTOR EN CIENCIAS UNIVERSIDAD AUTNOMA METROPOLITANA- UNIDAD IZTAPALAPA. MXICO, D.F TESIS "MODELAMIENTO MATEMTICO DE LOS PROCESOS DE TRANSFERENCIA DE MOMENTUM, CALOR Y MASA EN MEDIOS POROSOS" (1992-1998) B) EXPERIENCIA DOCENTE 15 AOS IMPARTIENDO MATERIAS COMO: PROGRAMACIN, ANLISIS NUMRICO, FENMENOS DE TRANSPORTE, BALANCES DE MATERIA Y ENERGA, SIMULACIN DE PROCESOS, INGENIERA DE ALIMENTOS, OPERACIONES UNITARIAS PARTICIPACIN NACIONAL EN COMITE DE CONSOLIDACIN DE ING. BIOQUMICA Y CIENCIAS BSICAS, ELABORACIN DE PROGRAMAS DE ESTUDIOS, GUAS MECNICAS. INSTRUCTOR DE CURSOS COMO: APLICACIN DE LA COMPUTACIN EN LA ING. BIOQUMICA, BALANCES DE MATERIA Y ENERGA, TRANSFERENCIA DE MOMENTUM, INFORMTICA, MS-DOS, MANEJO DE BASES DE DATOS, ETC. C)DIRECCIN DE TESIS: 13 A NIVEL LICENCIATURA Y CUATRO CO-ASESORAS A NIVEL MAESTRA D)PUBLICACIONES: 13 A NIVEL NACIONAL Y 3 A NIVEL INTERNACIONAL E)PRESENTACIONES EN CONGRESOS: 23 A NIVEL NACIONAL Y DOS A NIVEL INTERNACIONAL F)DESARROLLO DE 3 PROYECTOS DE EVALUACIN TCNICA ECONMICA G) REAS DE INTERS: -MATEMTICAS APLICADAS -DESARROLLO DE MODELOS MATEMTICOS Y SIMULACIN DE PROCESOS, COMPUTACIN APLICADA AL EJERCICIO DE LA INGENIERA

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LISTA DE FIGURAS Pgina Fig. 1.1 Interacciones qumico-biolgicas en el almacenamiento de granos en silos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Fig. 2.1 Volumen promediante. La regin sombreada es la fase 1 y la regin intersticial es la fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Fig. 3.1 Fig 4.1 Fig. 4.2. Fig. 4.3 Fig. 4.4 Fig. 4.5 Fig. 4.6 Fig. 4.7 Fig. 4.8 Fig. 4.9 Fig. 4.10 Fig. 4.11 Fig. 4.12 Fig. 4.13 Malleo tpico para colocacin ortogonal en elemento finito. . . . . . . . . . . . 67 Sistema geomtrico (a) y el dominio computacional (b) . . . . . . . . . . . . . . 76 Lneas de corriente para A = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Isotermas para A = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Patrones de flujo e isotermas para A = 5 y / = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Lneas de corriente e isotermas para A = 10 y / = 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Nusselt promedio como una funcin de Ra para / = 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . 87 Lneas de corriente para Ra=1, A=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Isotermas para Ra =1 y A = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Lneas de corriente a Ra = 100 y A = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Isotermas a Ra = 100 y A = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Lneas de corriente a Ra = 500 y A = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Isotermas a Ra = 500 y A = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Sistemas geomtricos utilizados para a) Caso I; b) Caso II y c) Caso III y el correspondiente dominio computacional, que est mostrado por la regin sombreada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Fig. 4.14 Lneas de corriente e isotermas para el Caso I con A = 1 y paredes adiabticas en Y = 0 y Y = 1. a) Ra = 10, b) Ra = 100, c) Ra = 10000 . . . . . . . . . . . . . 104 Fig. 4.15 Lneas de corriente e isotermas para el Caso I con A = 1 y paredes enfriadas isotrmicamente en Y = 0 y Y = 1. a) Ra = 100, b) Ra = 1000 . . . . . . . . . 105 Fig. 4.16 Lneas de corriente e isotermas para el Caso II con A = 1 y paredes adiabticas en = 0 y = 1. a) Ra = 100, b) Ra = 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

xi

Fig. 4.17

Lneas de corriente e isotermas para el Caso II para Ra = 1000 y A = 5 y paredes adiabticas en = 0 y = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Fig. 4.18

Lneas de corriente e isotermas para el Caso II para Ra = 1000 y A = 1, pared adiabtica en = 0 y pared enfriada isotrmicamente en = 1 . . . . . . . . . 110

Fig. 4.19

Lneas de corriente e isotermas para el Caso II para A = 1, paredes enfriadas isotrmicamente en = 0 y = 1. a) Ra = 1000, b) Ra = 10000 . . . . . . . . 110 Lneas de corriente e isotermas para el Caso III para Ra = 100, = 1 y A = 1.

Fig. 4.20

a) = 0.1, b) = 1.0, c) = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Fig. 4.21 a) = 0.1, b) = 1.0, c) = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Fig. 4.22 Efecto de los puntos de colocacin sobre el % de error en el balance de energa para la corrida 5 (Caso I a Ra = 1000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Fig. 4.23 Efecto del factor de relajacin & sobre la tasa de convergencia para el mtodo de Relajacin no Lineal con los parmetros de la corrida 14 (Caso III, Ra = 50, Lneas de corriente e isotermas para el Caso III para Ra = 50, = 1 y A = 1.

= 1.0 y = 0.1)Fig. 4.24

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Comparacin del desempeo de diferentes plataformas computacionales con los parmetros de la corrida 9 (Caso II, Ra = 1000), usando FORTRAN 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Fig. 4.25 Fig. 4.26

Sistema geomtrico utilizado en este trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Efecto del Nmero de Rayleigh sobre las lneas de corriente y las isotermas a A =1 y Da = 10 -8 para paredes inferior y superior aisladas. a) Ra =100, b) Ra = 1000, c) Ra = 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Fig. 4.27

Efecto del nmero de Rayleigh sobre las lneas de corriente y las isotermas a A = 1 y Da = 10 -2 para paredes inferior y superior aisladas. a) Ra =100, b) Ra = 1000, c) Ra = 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Fig. 4.28

Efecto del nmero de Darcy sobre las lneas de corriente y las isotermas a A = 1 y Ra = 1000 para paredes inferior y superior aisladas. a) Da =10 -1, b) Da = 10 -4, c) Da = 10 -6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

xii

Fig. 4.29

Efecto del nmero de Darcy sobre las lneas de corriente y las isotermas a A = 1 y Ra = 5000 para paredes inferior y superior aisladas. a) Da =10 -1, b) Da = 10 -4, c) Da = 10 -6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Fig. 4.30

Efecto del aspecto geomtrico sobre las lneas de corriente y las isotermas a Ra = 1000 y Da = 10 -8 para paredes inferior y superior aisladas. a) A =0.5, b) A = 2, c) A = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Fig. 4.31

Comportamiento de a)

max y b) nmero de Nusselt promedio en funcin del

nmero de Darcy para paredes inferior y superior aisladas. . . . . . . . . . . 140 Fig. 4.32 Comparacin de la ecuacin (4.55) con los valores numricos del nmero de Nusselt promedio como una funcin del nmero de Rayleigh para paredes inferior y superior aisladas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Fig. 4.33 Efecto del nmero de Rayleigh sobre las lneas de corriente y las isotermas a A = 1 y Da = 10 -8 para paredes enfriadas isotrmicamente. a) Ra =100, b) Ra = 1000, c) Ra = 5000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Fig. 4.34 Comportamiento Bnard en las lneas de corriente e isotermas a Ra = 10000, A = 1 y Da = 10 -8 para la corrida 28. a) Flujo bicelular, b) Flujo unicelular, c) Solucin sin inestabilidad numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Fig. 4.35 Efecto del nmero de Rayleigh sobre las lneas de corriente y las isotermas a A = 1 y Da = 10 -2 para paredes enfriadas isotrmicamente. a) Ra =100, b) Ra = 5000, c) Ra = 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Fig. 4.36 Efecto del nmero de Darcy sobre las lneas de corriente y las isotermas a A = 1 y Ra = 1000 para paredes enfriadas isotrmicamente. a) Da =10 -1, b) Da = 10 -4, c) Da = 10 -10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Fig. 4.37 Efecto del nmero de Darcy sobre las lneas de corriente y las isotermas a A = 1 y Ra = 5000 para paredes enfriadas isotrmicamente. a) Da =10 -1, b) Da = 10 -4, c) Da = 10 -10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Fig. 4.38 Efecto del aspecto geomtrico sobre las lneas de corriente y las isotermas a Ra = 5000 y Da=10 -8 para paredes enfriadas isotrmicamente. a) A =0.5, b) A = 2, c) A = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 xiii

Fig. 4.39

Comportamiento de a)

max y b) nmero de Nusselt promedio en funcin del

nmero de Darcy para paredes enfriadas isotrmicamente. . . . . . . . . . . . 153 Fig. 4.40 Lneas de Flujo para el caso I: a) S o = 0.0, b) S o = 2.0203, c) S o = 18.6408 y d) S o = 46.9859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Fig. 4.41 Isotermas para el caso I: a) S o = 0.0, b) S o = 2.0203, c) S o = 18.6408 y d) S o = 46.9859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Fig. 4.42 Lneas de Flujo para el caso II: a) S o = 0.8015, b) S o = 2.0203, c) S o = 7.3952 y d) S o = 18.6408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Fig. 4.43 Isotermas para el caso II: a) S o = 0.8015, b) S o = 2.0203, c) S o = 7.3952 y d) S o = 18.6408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Fig. 4.44 Perfil de velocidad para un flujo rectilneo en un canal horizontal formado por una pared inferior permeable (y = 0) y una pared superior impermeable (y = h), (Beavers y Joseph, 1967). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Fig. 4.45 Fig. 4.46 Sistema geomtrico estudiado con sus condiciones de frontera. . . . . . . 178 Efecto del nmero de Rayleigh sobre las lneas de corriente a S o = 30, Da = 10 -6 y Yp = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Fig. 4.47 Efecto del nmero de Rayleigh sobre las isotermas a S o = 30, Da = 10-6 y Yp = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Fig. 4.48 Efecto de la fuente de calor S o sobre las lneas de corriente a Ra f = 10 5, Da = 10 -4 y Yp = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Fig. 4.49 Efecto de la fuente de calor S o sobre las isotermas a Ra f = 10 5, Da = 10-4 y Yp = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Fig. 4.50 Efecto del nmero de Darcy sobre las lneas de corriente e isotermas a Ra f = 10 6, S o = 50 y Yp = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Fig. 4.51 Efecto de la posicin de la interfase Yp sobre las lneas de corriente a Ra f = 10 5, S o = 30 y Da = 10 -6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Fig. 4.52 Efecto de la posicin de la interfase Yp sobre las isotermas a Ra f = 10 5, S o = 30 y Da = 10 -6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

xiv

Fig. 4.53

Comparacin de las soluciones obtenidas con los mtodos del parmetro binario y la condicin frontera de Beavers y Joseph respectivamente, para Ra f = 10 4, S o = 30, Da = 10 -6 y Yp = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Fig. 4.54

Isotermas para Rk =1 en el plano z = 0.5 reportadas por Singh et al (1993). a) Ra f = 10 4, b) Ra f = 10 5 y c) Ra f = 10 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Fig. 4.55

Isotermas para Rk =1 obtenidas a partir del mtodo del parmetro binario, con los datos reportados por Singh et al (1993) (Tabla 4.22). a) Ra f = 10 4, b) Ra f = 10 5, c) Ra f = 10 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Fig. 4.56

Sistema geomtrico 2-D utilizado en el estudio numrico, junto con sus condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Fig. 4.57

Dinmica de las lneas de corriente, isotermas y lneas de concentracin constante para el caso de suministro continuo de masa en la superficie situada en = 0. a) Fo = 0.1, b) Fo =0.3, c) Fo = 0.7, d) Fo = 1.0 . . . . . . . . . . . 215

Fig. 4.58

Dinmica de los perfiles de concentracin constante para Ra = 50, Le = 1 y N = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Fig. 4.59

Efecto del nmero de Rayleigh sobre las lneas de corriente a Le = 1.0 y N = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Fig. 4.60 Fig. 4.61

Efecto del nmero de Rayleigh sobre las isotermas a Le = 1.0 y N = 0 . 218 Efecto del nmero de Rayleigh sobre las lneas de concentracin constantes a Le = 1.0 y N = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Fig. 4.62 Fig. 4.63

Efecto del nmero de Lewis sobre las isotermas a Ra = 50 y N = 0 . . . 220 Efecto del nmero de Lewis sobre las lneas de concentracin constante a Ra = 50 y N = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

Fig. 4.64

Efecto del nmero de Lewis sobre las lneas de concentracin constante a Ra = 25 y N = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Fig. 4.65

Efecto del nmero de Lewis sobre las lneas de concentracin constante a Ra = 25 y N = 0, con malleo de 23x23 puntos de colocacin ortogonal . . . 223

Fig. 4.66

Efecto de la razn de flotacin sobre las isotermas a Ra = 50 y Le =10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 xv

Fig. 4.67

Efecto de la razn de flotacin sobre las lneas de concentracin constante a Ra = 50 y Le = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Fig. 4.68

Efecto de la razn de flotacin sobre las lneas de concentracin constante a Ra = 25 y Le = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

Fig. 4.69 Fig. 4.70 Fig. 4.71

Nmero de Nusselt promedio en funcin de Ra, para Le = 1 y N = 0 . . . . 227 Nmero de Sherwood promedio en funcin de Ra y Le para N = 0 . . . . . 227 Isotermas e isolneas de concentracin para pared superior del silo aislada a Ra = 50, Le = 1 y N = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Fig. 4.72

Isotermas e isolneas de concentracin para pared superior del silo aislada a Ra = 100, Le = 1 y N = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Fig. 4.73

Lneas de corriente para el caso de una velocidad adimensional ur = 10 en la parte superior del silo, para Ra = 50, Le = 1 y N = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Fig. 4.74

Isotermas para el caso de velocidad adimensional u r = 10 en la parte superior del silo, para Ra = 50, Le = 1 y N = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

Fig. 4.75

Lneas de concentracin constante para el caso de velocidad adimensional u r = 40 en la parte superior del silo, para Ra = 50, Le = 1 y N = 0 . . . . . . . 234

Fig. 5.1

Geometra utilizada para la deduccin del algoritmo para resolver sistemas de EDP 3-D no lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

Fig. 5.2 Fig. 5.3

Sistema geomtrico utilizado con sus condiciones de frontera . . . . . . . . 242 Isotermas en el plano X = 0.5, donde se muestra el efecto de la generacin de calor a Ra = 10, a) S o = 0, b) S o = 100, c) S o = 500, d) S o = 1000 . . . . . . 253

Fig. 5.4 Fig. 5.5

Isotermas en el plano X = 0.5 para Ra = 100: a) S o = 0, b) S o = 100 . . . 254 Lneas de flujo potencial en el plano X = 0.5 para Ra = 100 y S o = 100 para a)

3 x, b) 3 yFig. 5.6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Efecto del aspecto geomtrico para Ra = 100 y S o = 100 en el plano X = 0.5 sobre las isotermas, para diversos valores de Ay: a) 0.5, b) 1.0, c) 2.0 (Para Az = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Fig. 5.7

Isotermas a Ra = 100, S o = 100, Ay = 1 y Az = 1 para a)Plano X = 0.5, b) Plano Y = 0.5, c) Plano Z = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 xvi

Fig. 5.8

Perspectivas de isotermas en el plano Y-Z a X = 0.125, 0.250, 0.375, 0.500, 0.625, 0.750 y 0.875 para Ra = 10, So = 100, Ay = 1 y Az = 1 . . . . . . . . . 258

Fig. 5.9 Fig. 5.10

Plano oblicuo de isotermas para Ra = 10, So = 100, Ay = 1 y Az = 1 . . . . 259 Iso-superficie que representa la regin entre 4.945 5.196 de temperatura adimensional para Ra = 10, So = 100, Ay = 1 y Az = 1 . . . . . . . . . . . . . . 260 Interseccin de planos XY, XZ y YZ en el punto central de la cavidad, para Ra = 100, S o = 100, Ay = 1 y Az = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

Fig. 5.11

Fig. 6.1

Diagrama

de flujo

para optimizacin

no

lineal

de parmetros

experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 Fig. C.1 Fig. C.2 Fig. C.3 Fig. C.4 Perfil de velocidad en un tubo con medio poroso isotrmico. . . . . . . . . . 300 Conveccin libre en un medio poroso entre dos placas . . . . . . . . . . . . . . 302 Conveccin forzada en un tubo que contiene un medio poroso. . . . . . . . 303 Perfiles de temperatura adimensional como funcin de Z y

(r/R) en la

conveccin forzada en un cilindro que contiene un medio poroso . . . . . 307 Fig. D.1 Lneas de corriente e isotermas para el problema de la conveccin natural en una cavidad cuadrada que contiene aire Fig. D.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

Contornos de U x y U y para el problema de la conveccin natural en una cavidad cuadrada que contiene aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

Fig. E.1

Elemento diferencial origen de la deduccin de las ecuaciones de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

Fig. F.1

Lneas de corriente e isotermas para Ra = 100, resuelto con 17x17 puntos de CO con polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

Fig. F.2

Lneas de corriente e isotermas para Ra = 500, resuelto con 17x17 puntos de CO con polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

Fig. F.3

Lneas de corriente e isotermas para Ra = 1000, resuelto con 10 elementos finitos y 2 puntos de CO con polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . 325

Fig. F.4


xvii

Fig. F.5

Lneas de corriente e isotermas para Ra = 5000, resuelto con 20 elementos finitos y 2 puntos de CO con polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . 327

Fig. F.6


Fig. F.7


Fig. G.1

Perfil de temperaturas obtenido por doble colocacin ortogonal con 9 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

Fig. G.2 Fig. G.3

Perfil de temperaturas obtenido a partir de la solucin analtica . . . . . . 339 Comparacin de resultados calculados por colocacin ortogonal (smbolos) con los resultados analticos (lneas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

Fig. G.4

Lineas de corriente con nmero de Rayleigh (Ra) igual a 100 y aspecto geomtrico (A) de 0.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

Fig. G.5

Isotermas calculadas con nmero de Rayleigh (Ra) igual a 100 y aspecto geomtrico (A) de 0.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

Fig. G.6

Comparacin entre los resultados del programa PAR-COL2 (smbolos) y los resultados tericos (lnea continua) para el Ejemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . 351

Fig. G.7

Comparacin entre: a) Los perfiles de temperatura numricos y b) Los perfiles de temperatura calculados a partir de 25 trminos de la ecuacin (G.18) para el Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

Fig. G.8

Lneas de corriente e isotermas para el Ejemplo3 para Pr =7 y Ra = 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3358 Perfiles de concentracin adimensional en el catalizador ( f = 0.1) . . . 363 Isotermas en el catalizador ( = 0.01), indicando un proceso exotrmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 Efecto del factor de malleo sobre la formacin de flujo multicelular ( % = 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 Lneas de flujo ( % =2), para Ra =1000 y A = 0.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

Fig. G.9 Fig. G.10

Fig. G.11

Fig. G.12 Fig. G.13

Isotermas ( = 0.1), para Ra = 1000 y A = 0.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 xviii

Fig. G.14

Isotermas en el plano -Z para a)

= 0.0, b) = 0.19331, c) = 0.50, d)

= 0.8066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 Fig. G.15 Comparacin entre los resultados obtenidos por colocacin ortogonal y las soluciones analticas para el Ejemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 Fig. G.16 Comparacin entre los resultados obtenidos por colocacin ortogonal y las soluciones analticas para el Ejemplo 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

xix

LISTA DE TABLAS Pgina Tabla 2.1 Tipos clsicos de condiciones frontera, que se presentan en los problemas de fenmenos de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Tabla 3.1 Tabla 4.1 Resumen de los mtodos de Residuos Ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Nmeros de Nusselt promedio y errores en el balance de energa en la doble colocacin ortogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Tabla 4.2 Tabla 4.3 Errores en el balance de energa en la doble colocacin ortogonal. . . . . . . 88 Errores relativos en el balance de energa en la aplicacin de la doble colocacin ortogonal para el Caso I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Tabla 4.4 Errores relativos en el balance de energa en la aplicacin de la doble colocacin ortogonal para el Caso II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Tabla 4.5 Errores relativos en el balance de energa en la aplicacin de la doble colocacin ortogonal para el Caso III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Tabla 4.6 Comparacin de la precisin de los mtodos de diferencias finitas y colocacin ortogonal en funcin del tamao de la red para la corrida 7 . . . . . . . . . . . 112 Tabla 4.7 Corridas efectuadas para el caso I con el % de error en el balance de energa y el nmero de Nusselt promedio obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Tabla 4.8 Error obtenido entre el Nu estimado por la ecuacin (4.55) y el Nu calculado numricamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Tabla 4.9 Tabla 4.10 Valores de Nu para valores seleccionados de Ra y A . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Corridas efectuadas para el caso II con el % de error en el balance de energa y el nmero de Nusselt promedio obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Tabla 4.11 Comparacin de valores de Nu estimados con la ecuacin (4.57) con los obtenidos por simulacin numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Tabla 4.12 Valores de contenido de humedad del grano y de temperatura, utilizados para obtener los calores de respiracin adimensional S o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Tabla 4.13 Propiedades termodinmicas del sorgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

xx

Tabla 4.14

Corridas efectuadas para el Caso I: Temperatura adimensional unitaria en la superficie en = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Tabla 4.15

Corridas efectuadas para el Caso II: Temperatura adimensional cero en la superficie en = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Tabla 4.16

Mtodos de representar matemticamente la conveccin natural en una cavidad que contiene dos capas de fluido y medio poroso respectivamente . . . . . 181

Tabla 4.17 Tabla 4.18

Nmeros de Rayleigh empleados a S o = 30, Da = 10 -6 y Yp = 0.5 . . . . . . 177 Fuente adimensional de calor utilizada a Ra f = 10 5, Da = 10 -6 y Yp = 0.5, con 17x17 puntos de colocacin ortogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Nmero de Darcy utilizado a Ra f = = 10 6, S o = 50 y Yp = 0.5, con 17x17 puntos de colocacin ortogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Posicin de la interfase fluido-medio poroso utilizada a Ra f = 10 6, So = 30 y Da =10 -6, con 17x17 puntos de colocacin ortogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Tabla 4.19

Tabla 4.20

Tabla 4.21

Temperatura mxima

max, temperatura promedio med y nmero de Nusselt

promedio Nu med para las simulaciones numricas efectuadas . . . . . . . . . 191 Tabla 4.22 Datos de Ra f y Da tomados del artculo de Singh et al (1993), para Rk = 1 y Yp = 0.5, junto con los puntos de colocacin utilizados, iteraciones de Newton y tiempo de CPU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Tabla 4.23 Efecto del tamao de malla sobre el % de error en el balance global de energa y en el Nu promedio, para los datos de la corrida 3 (Ra f = 10 5, S o = 30, Da = 10 6

, Yp = 0.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

Tabla 4.24

Resumen de corridas realizadas con sus estadsticas de cmputo y errores relativos (%) en los balances globales de energa y de masa . . . . . . . . . . 210

Tabla 4.25

Clculo de los nmeros de Nusselt y Sherwood promedios para cada corrida a Fo=1.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Tabla 5.1 Tabla 5.2 Tabla 5.3

Corridas efectuadas con el tiempo de CPU obtenido . . . . . . . . . . . . . . . 247 Nmero de Nusselt promedio y el % de error en el balance de energa . 249 Error obtenido entre el Nu av estimado por la ecuacin (5.32) y el Nu av calculado numricamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 xxi

Tabla 5.4

Resultados de la comparacin con diferencias finitas centrales con respecto al % de error en el balance global de energa, para Ra = 500, S o = 0 y A=1 . 251

Tabla D.1

Corridas efectuadas a diferentes nmeros de Rayleigh para el problema de la conveccin natural de aire en una cavidad cuadrada. . . . . . . . . . . . . . . . 310

Tabla E.1 Tabla G.1

Principales Fenmenos de Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 Nmero de etapas de integracin y tiempo de CPU necesarios para desarrollar la solucin de t = 0 a t = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

Tabla G.2

Efecto del factor de malleo sobre el error relativo promedio (Er) de las variables T 1 y T 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

Tabla G.3

Resultados del problema de conveccin natural en un medio poroso darciano para Ra = 1000 y A = 0.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

xxii

NOMENCLATURA

A= A=

Aspecto geomtrico, L/R, L/D, H/L Razn altura/diferencia de radios, L/(Ro - Rd), (Seccin 4.1)

Ay = Aspecto geomtrico en el eje y = H/L Az = Aspecto geomtrico en el eje z = W/L C= Cp= D= Da= f= Fo = g= Gr= h c= k= K= K= L= Tensor de permeabilidades del medio poroso, m Calor especfico, J/kg K Distancia de simetra en la cavidad rectangular, m, (Seccin 4.2) Nmero de Darcy, K/R Funcin de discretizacin Tiempo adimensional, . t/R Aceleracin de la gravedad, m/s Nmero de Grashof Coeficiente global de transferencia de calor por conveccin, W/m K Conductividad trmica, J/m s K Permeabilidad del medio poroso, m Tensor de conductividad trmica efectiva del medio poroso, W/m K Longitud o altura de la cavidad rectangular o cilndrica, m

L,H,W = Dimensiones de la cavidad, m Le = Nmero de Lewis, (Seccin 4.6)

Mp= Parmetro binario, (Seccin 4.5) Nu= N= p= Pr= Qo = r= R= Nmero de Nusselt, hc R/k Razn de fuerzas de flotacin, (Seccin 4.6) Presin, Pa Nmero de Prandtl, Cp /k Fuente volumtrica de calor, J/m3 s Coordenada radial, m Radio del cilindro, m xxiii

R o=

Trmino de generacin por reaccin qumica

Ra f = Nmero de Rayleigh para un fluido en funcin de generacin de calor, g ! SR 5/(2 .k), (Seccin 4.2) Ra= Ra= Ra= Nmero de Rayleigh para medio poroso, Ra fDa, g ! KSR 3/(2 . k0), (Seccin 4.2) Nmero de Rayleigh para medio poroso, g ! K(T h -T c)R/( . ) Nmero de Rayleigh para medio poroso basado en el radio del cilindro,( ! g [T h -

Ra = Nmero de Rayleigh para medio poroso= g LK T/ .

T c]Ro)/ . , (Seccin 4.1) Ra= Ra f= Nmero de Rayleigh, g ! KSD 3/(2 . k),Krg ! R(Th-Tc)/( . r ), (Seccin 4.2) Nmero de Rayleigh para un fluido, g ! L3(T h-T c)/( . ), (Anexo D) Nmero de Reynolds, ! Lv/ Razn de conductividades medio poroso/fluido, k eff/k, (Seccin 4.5) Generacin volumtrica de calor, W/m3, (Seccin 4.2) Inverso de A, (Ro - Rd)/L, (Seccin 4.1) Calor de respiracin adimensional, Q oR/((T h - T c)Keff), (Seccin 4.4) Generacin de calor adimensional, QoL/k(T h-T c), (Seccin 4.5) Temperatura, C, K Velocidad adimensional, vL/ . , vR/ . ,vR/ . L,v/V o Velocidad adimensional = vRo/ . Velocidad de referencia, m/s Vector velocidad, m/s Velocidad del fluido, m/s Abscisa, m Longitud adimensional, x/L Longitud adimensional, x/D

Rd = Radio de la fuente de calentamiento axial, m, (Seccin 4.1) Re= Rk=

Ro = Radio del cilindro, m, (Seccin 4.1) S= s= So = So = T= u= U= Vo = v= v= x= X= X=

X,Y = Coordenadas adimensionales y= Ordenada, m xxiv

Y= Y= Y= Yp= z= Z=

Longitud adimensional, y/L Longitud adimensional, y/H Altura adimensional, y/L, (Seccin 4.1) Altura adimensional de la capa porosa, h/L, (Seccin 4.5) Coordenada axial, m Longitud adimensional, z/W

Smbolos griegos:

.=

Difusividad trmica del medio poroso, m/s Coeficiente de expansin volumtrica del fluido, 1/K Coeficiente de expansin volumtrica debido a diferencia de concentraciones, (mol/m3) -1, (Seccin 4.6)

= C=/=

Razn de radios, Rd/(Ro - Rd), (Seccin 4.1) Factor de relajacin Porosidad Coordenada axial adimensional, z/L Temperatura adimensional, (T - T c)/ (T h - T c) Temperatura adimensional, (T - T c)/ (SD/2k), (Seccin 4.2) Temperatura adimensional, (T - T o)/(T 1 - To) Factor de amortiguamiento del mtodo de Newton Viscosidad del fluido, kg/m s Viscosidad efectiva, kg/m s Coordenada radial adimensional, r/R Coordenada radial adimensional, (r - Rd)/(Ro - Rd), (Seccin 4.1) Densidad del fluido, kg/m3 Razn de conductividades trmicas, k r/k z,(Seccin 4.2) Funcin corriente adimensional Propiedad termodinmica promediable Vorticidad adimensional xxv

=0=

= = = = == '=

= = != $= %= = &=

=3=

Razn de permeabilidades, Kr/Kz, (Seccin 4.2) Vector potencial

Superndices: MR = Marca Registrada o= Valor inicial

Subndices:

=1 =c= eff= h=

Regin bifsica Medio poroso

AV= Promedio Pared fra Medio efectivo Pared caliente

med= Valor promedio o= r = x = y = z = Estado de referencia Direccin radial Direccin x Direccin y Direccin axial

Smbolos Diversos Operador promedio

xxvi

Abreviaturas ADI CO CPU COEF EDP ITER MRP NQ NX NY NZ ODE SOR TOL Direccin Implcita Alternante Colocacin Ortogonal Unidad Central de Proceso Colocacin Ortogonal en Elemento Finito Ecuaciones Diferenciales Parciales Nmero de iteraciones Mtodo de Residuos Ponderados Nmero de ecuaciones diferenciales parciales Puntos de colocacin interior en la direccin x o radial Puntos de colocacin interior en la direccin y o axial Puntos de colocacin interior en la direccin z Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Sobre-relajacin sucesiva Tolerancia o error permitido

xxvii

OBJETIVO

Modelamiento matemtico del fenmeno de conveccin natural que se manifiesta en un medio poroso, debido a la accin de fuerzas de flotacin y la resolucin numrica de las ecuaciones de transporte utilizando los mtodos de colocacin ortogonal y diferencias finitas.

Metas: 1. Anlisis de las ecuaciones promedio de transporte de momentum, calor y masa, para evaluar la distribucin de flujos y los perfiles de temperatura y concentracin en un medio bifsico compuesto de un medio poroso saturado con un fluido newtoniano, utilizando coordenadas cartesiana y cilndrica.

2. -

Desarrollo de modelos matemticos para predecir los perfiles de flujo, temperatura y concentracin en estos sistemas, tanto en sistemas de una, dos o tres dimensiones.

3. -

Implementacin de algoritmos para la solucin numrica de las ecuaciones de transporte en estas condiciones, empleando colocacin ortogonal con polinomios de Jacobi y diferencias finitas centrales de segundo orden. En cada mtodo se consider estado estable o dinmico.

4. -

Desarrollo de programas para la prediccin de, perfiles de velocidad, temperatura y concentracin para esta situacin, tanto en estado estable como transitorio. Los programas han sido diseados con enfoque general, ya que se pueden utilizar para resolver otros modelos matemticos que se presentan en los estudios de problemas de mecnica de fluidos, reactores catalticos, conveccin natural en fluidos, etc.

1

JUSTIFICACIN

El medio poroso juega un papel fundamental en muchas disciplinas, tales como la Fsica, Qumica, Biologa, Geologa y en las Ingenieras como la Qumica y Bioqumica. Algunos ejemplos de situaciones reales son: las clulas biolgicas, geles de polmeros, yacimientos petrolferos y geotrmicos, lechos catalticos, almacenamiento y ventilacin de granos, dispersin de contaminantes qumicos y nucleares en el subsuelo, movimiento del magma en la corteza y manto terrestre, etc.; ya que el conocimiento adecuado de los procesos de transferencia de momentum, calor y masa en sistemas bifsicos, proporciona la informacin necesaria (perfiles de temperatura y concentracin, Lneas de corriente, nmeros de Nusselt, etc.) para efectuar el diseo de las operaciones unitarias involucradas o la adopcin de estrategias para la recuperacin de materiales valiosos o el confinamiento seguro de desechos peligrosos.

En el caso del presente estudio, esta investigacin es fundamental, orientada principalmente a la obtencin de nuevos conocimientos en el campo de los fenmenos de transporte en medios porosos, en particular al transporte por conveccin natural y a la utilizacin de mtodos numricos para evaluar sistemas de ecuaciones diferenciales parciales no lineales, tanto en estado estable como transitorio, aplicadas a geometras rectangular y cilndrica.

Con respecto a los paquetes y subrutinas disponibles para resolver ecuaciones diferenciales parciales (EDP), existen una serie de programas publicados, pero, en su mayora estn diseados para resolver determinados tipos de problemas (de una sola EDP o EDP lineales), por lo que se plante la necesidad de disponer programas que resuelvan sistemas de EDP no lineales con condiciones de frontera lineales o no lineales, ya que los modelos matemticos que se obtienen de las ecuaciones de conservacin, presentan estas caractersticas. En vista de lo anterior, se evalu la posibilidad de utilizar como tcnica de discretizacin la de colocacin ortogonal, desarrollando los algoritmos para problemas tridimensionales. Adems, los programas elaborados tienen la caracterstica de que son generales, es decir, se pueden utilizar para resolver cualquier problema cientfico o de ingeniera, que

2

se exprese como un sistema de EDP elpticas o parablicas no lineales, lo que se cree que ser un aporte para resolver una gran variedad de modelos matemticos.

Los resultados de este trabajo servirn de base, entre otras aplicaciones, en el estudio de la preservacin de productos agrcolas almacenados en silos, donde se emplean sistemas de aireacin o agentes qumicos, cuyo objetivo es la eliminacin de insectos, hongos y otros organismos dainos que pueden existir en los silos, cuya proliferacin es favorecida por la presencia de humedad y calor en el seno del grano almacenado.

Estos procesos usualmente involucran tanto la transferencia de calor y masa como los transportes difusivos y el diseo de sistemas ptimos de conservacin de granos y cereales requiere el entendimiento de los mtodos de transporte de momentum, calor y masa que ocurren en el lecho del grano como en el espacio libre superior del silo, as como los efectos del medio ambiente sobre los perfiles de velocidad, temperatura y concentracin que se manifiestan en el silo.

Este problema tiene una gran importancia prctica, ya que con los modelos de transporte de momentum, calor y masa, se podr contribuir con una alternativa sustentada en principios de la ingeniera que, junto con la prediccin rigurosa de coeficientes efectivos de transporte, podr utilizarse como punto de partida para el diseo termodinmico de silos y al establecimiento de las condiciones ptimas de almacenamiento del grano, en lo que se refiere a la vida de anaquel, temperatura, humedad relativa del aire, actividad acuosa, tratamiento con agentes fumigantes y ventilacin, entre otros parmetros.

3

4

CAPITULO I

INTRODUCCION

Un medio poroso es un material que consiste en una estructura o matriz slida que contiene espacios o huecos interconectados, considerando que la fase slida es rgida o presenta una deformacin despreciable. La interconexin de los huecos o poros permite que exista el flujo de uno o ms fluidos a travs del material. Para este caso, se presentan dos situaciones que son: Flujo en fase simple, que consiste en que un fluido simple que llena o satura los huecos y el Flujo bifsico, que se presenta cuando un gas y un fluido comparten el espacio vaco del medio poroso. Para el modelamiento del medio poroso, se considera que todo el espacio vaco est conectado, por lo que se introduce el concepto de porosidad efectiva , que es la razn del espacio vaco conectado entre el volumen total (Nield y Bejan, 1992).

En la mayora de los medios naturales, la porosidad no excede de 0.6. Para lechos de esferas slidas de tamao uniforme, la porosidad varia entre los lmites de 0.2545 (arreglo rombodrico) y 0.4764 (arreglo cbico). En los medios porosos formados por granos, los que tienen tamaos no uniformes tienden a presentar porosidades menores que los granos con tamao uniforme, debido a que los granos ms pequeos tienden a llenar los poros formados por los granos ms grandes. Este comportamiento es importante para decidir que ecuacin de movimiento se va utilizar en el modelamiento matemtico.

1.1

El Medio Poroso: Caractersticas e Importancia Los medios porosos se clasifican en naturales y sintticos. En los primeros, la distribucin y

forma de los poros es generalmente irregular, mientras que en los sintticos, la distribucin y forma son uniformes. Ejemplos de los medios porosos naturales son: Arena de playa; madera; granos y cereales en almacenamiento a granel; subsuelo (en estudios geotrmicos, edafolgicos y de difusin de contaminantes); masa para panificacin, paredes celulares, etc., mientras que entre los medios porosos sintticos se tienen los lechos empacados de reactores catalticos; materiales de aislamiento y empaque; materiales de construccin, etc.

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La investigacin en el rea de transporte de flujos as como tambin algunos aspectos del transporte de calor en medio poroso, se inicia al comienzo de este siglo. La transferencia de calor por conveccin en un medio poroso saturado con un fluido, ha adquirido una atencin considerable en dcadas recientes debido a su relevancia en una gama amplia de aplicaciones tales como: Diseo de aislamientos trmicos, movimiento de agua en depsitos geotrmicos, difusin en el subsuelo de productos qumicos, ingeniera geotrmica (Garca et al, 1998), almacenamiento y preservacin de granos y cereales y la explotacin eficiente de yacimientos petrolferos.

Por otro lado, la transferencia de calor por radiacin y el proceso de transporte multifsico en un medio poroso, ambos con o sin cambio de fase, han ganado inters en aos recientes. Algunas aplicaciones de estos estudios son la ingeniera geotrmica, el aislamiento trmico de edificios, diseo de reactores catalticos, aislamiento para materiales criognicos, dinmica de los yacimientos petrolferos, cambiadores de calor por contacto directo, cmaras de combustin de carbn, diseo de confinamientos seguros para materiales radiactivos y la transferencia trmica en reactores nucleares, entre otros.

Varias aplicaciones relacionadas con el medio poroso requieren de un anlisis detallado de la transferencia de calor por conveccin en diferentes geometras, orientaciones y configuraciones. Con base en las aplicaciones especficas, el flujo en el medio poroso puede ser interno o externo. La mayora de los estudios efectuados hasta ahora en el medio poroso, toman como ecuacin de transporte a la ley de Darcy, que se origina en la consideracin de un flujo reptante que pasa a travs de un medio poroso uniforme y semi-infinito. Sin embargo, se reconoce generalmente que los efectos no darcianos son significativos en ciertas aplicaciones (Lauriat, 1989). Diferentes modelos se han propuesto para estudiar y cuantificar el comportamiento no darciano, como los efectos inerciales, las interfases medio poroso-fluido, la porosidad variable con la posicin y/o el tiempo y la matriz porosa deformable.

El objetivo de la aplicacin ingenieril de los estudios sobre el transporte de calor por conveccin natural en medios porosos es determinar el grado de transferencia de calor, expresada por 6

el nmero de Nusselt (Nu). Una cantidad considerable de investigacin se ha efectuado para tal efecto (Prasad et al, 1985) y una serie de correlaciones para estimar el nmero de Nusselt para una gran variedad de configuraciones y de condiciones frontera se han establecido, con ciertas limitaciones (rango de nmero de Rayleigh, aspecto geomtrico, etc.).

Algunos estudios especficos relacionados con los medios porosos son: Conveccin natural y forzada, flujo multifsico y transferencia de calor, flujos con reaccin y transferencia de calor por radiacin, transferencia simultanea de calor y masa, enfoques matemticos avanzados y desarrollo de mtodos numricos para la solucin de los modelos de transporte, desarrollo de tcnicas experimentales para medicin de permeabilidad y porosidad, problema de la interfase medio porosofluido homogneo, etc.

En el presente proyecto de investigacin, se han resuelto modelos de transporte en dos y tres dimensiones, tanto en estado estable como dinmico y las geometras que se consideraron en este estudio fueron la rectangular y la cilndrica. La geometra cnica, que es de inters en el diseo de silos, se va a estudiar a posteriori, ya que implica mayor dificultad, debido a que las coordenadas cnicas no son ortogonales y el anlisis de este sistema queda fuera del alcance de este trabajo.

1.2

Aplicaciones Muchas operaciones industriales en las reas de ingeniera qumica, bioqumica, metalrgica

entre otras, involucran el paso de un fluido a travs de un lecho empacado con partculas slidas para obtener reas de contacto interfacial fluido-slido o un buen mezclado del fluido. Algunos ejemplos tpicos de aplicaciones que involucran a tales sistemas incluyen reacciones heterogneas con catalizador y cromatogrficas, sistemas de filtracin, torres empacadas de absorcin y destilacin, columnas para el intercambio de iones, filtros empacados, migracin de desechos radiactivos a travs del suelo y muchas otras (Greenkorn, 1983; Nield y Bejan, 1992)

Otras aplicaciones importantes de los medios porosos son:

7

a)

Bioingeniera: Estudio del transporte de metabolitos a travs de membranas celulares, diseo de bioreactores para fermentacin en estado slido, desarrollo de biocatalizadores, etc.

b)

Ingeniera de Alimentos: Estudio de la cintica de secado, clculo de sistemas de refrigeracin, diseo de procesos de esterilizacin. En estos casos, un enfoque moderno es considerar a los alimentos como medios porosos, con el fin de estimar sus propiedades termodinmicas

c)

Geomecnica: Estudios de transporte de contaminantes en suelos, dinmica de los yacimientos de arena, carbn, sal, etc., diseo de tneles, estudios edafolgicos, etc.

d)

Industria Petrolera: Propiedades de yacimientos petrolferos, extraccin de petrleo por percolacin por gravedad, remediacin de zonas contaminadas mediante surfactantes o con extraccin con vapor

El diseo termodinmico de estos sistemas est definido por los mecanismos de cada de presin, flujo del fluido y la transferencia de calor y masa que gobiernan el proceso en el medio poroso.

A continuacin se describir una de las aplicaciones ms importantes del estudio matemtico y fisicoqumico del medio poroso.

1.2.1 Secado y Almacenamiento de Granos El modelado del secado de granos y otros materiales agrcolas en un silo utilizando aire caliente, implica la inclusin de fenmenos de transporte multifsicos acompaados por cambios de fase. En este sistema es necesario conocer y controlar el movimiento de humedad desde el interior de la matriz porosa hasta su superficie y de ah, su transporte (con cambio de fase) hasta el seno del aire. El parmetro fundamental de diseo es la velocidad de secado, la que depende principalmente de la temperatura, velocidad y contenido de humedad del aire, rea interfacial por unidad de volumen, espesor del lecho de material y la naturaleza intrnseca del material poroso (fraccin de huecos, permeabilidad, estructura molecular, etc.), que determinar si el mecanismo de transporte dentro del material slido es por difusin molecular, capilaridad, conveccin o un transporte mixto (Thorpe, 8

1995). Carbonell y Whitaker (1984) desarrollaron un modelo matemtico para el transporte de calor y masa en medios porosos granulares, utilizando el Mtodo del Promedio Volumtrico con el cual obtuvieron ecuaciones para medio efectivo, es decir, el medio que conjuga el efecto de la fase slida, lquida y gaseosa.

Para aplicar el enfoque de medio efectivo, es necesario utilizar propiedades termodinmicas efectivas (viscosidad, densidad, conductividad trmica, calor especfico y difusividad), las que se deben determinar experimentalmente o deducirse a partir del anlisis matemtico (Thorpe et al, 1991).

Los modelos ms simples para el estudio de los procesos de transferencia en los silos, consideran un equilibrio trmico local en cada punto del grano, originando un modelo matemtico formado por ecuaciones diferenciales hiperblicas que se resuelven por el mtodo de caractersticas (Thorpe y Whitaker, 1992). Haciendo uso de las propiedades de la mezcla aire-agua, el sistema se encuentra completamente definido por una sola temperatura y un solo contenido de humedad en cada punto, por lo que es posible modelar el medio poroso mediante la insercin de ecuaciones que toman en cuenta el promedio espacial de las variables y las propiedades efectivas (Patio-Palacios, 1996). En la literatura concerniente a la Ingeniera Agrcola se encuentran modelos matemticos de transferencia de masa y calor que ocurre en almacenes con lotes de granos (Singh y Thorpe, 1993). Tales modelos se emplean con propsitos comerciales o con fines de investigacin para el diseo termodinmico de procesos de secado o ventilacin, los cuales pueden tener fundamentos rigurosos en mayor o menor grado.

Con base en lo anterior, se considera que el modelado del proceso de secado mediante las ecuaciones de transporte para medio poroso, junto con las ecuaciones macroscpicas del balance de materia y la primera ley de La Termodinmica, conducirn a la prediccin de la velocidad y tiempo de secado y al diseo termodinmico de secadores tipo silo (Magaa-Ramrez y Jimnez-Islas, 1995).

9

El mecanismo de transporte en el silo es, principalmente, por conveccin libre y se han reportado modelos matemticos planteados mediante la utilizacin de tcnicas como: Ecuacin de presin (Patankar, 1980), utilizacin de la funcin corriente y vorticidad (vector-potencial) (Reizes et al, 1983) y el Mtodo del Promedio Volumtrico entre otras [(Whitaker, 1985)], aplicndolos a situaciones relativamente ms idealizadas (p.e. Medio istropo, estado estacionario, flujo en dos dimensiones, coordenadas rectangulares, etc.).

Los esquemas numricos utilizados para resolver estos modelos han sido, en su mayora, variantes de la discretizacin por diferencias finitas [mtodo del falso transiente, sobre-relajacin (SOR) y el implcito de direccin alternante (ADI)], entre otros [Mallinson y de Vahl Davis, 1973; Rajamani et al, 1990; Valencia-Lpez, 1993]. Sin embargo, en el caso de la interaccin de la conveccin libre en el espacio superior de aire sobre la masa de granos, las condiciones de frontera de la interfase aire/grano presentan problemas en el acoplamiento de la velocidad. Algunas contribuciones importantes han sido reportadas por Ochoa-Tapia y Whitaker (1997), aunque tambin es posible utilizar las condiciones de frontera propuestas por Beavers y Joseph (1967) o un modelo de parmetro binario (Beckermann et al, 1987)

Los cereales y otros granos alimenticios deben conservarse a temperaturas y contenidos de humedad que sean suficientemente bajos para preservar sus propiedades funcionales, tales como el rendimiento de molienda en el caso del arroz o sus propiedades de amasado en el caso del trigo. Una forma de controlar las condiciones dentro del grano es mediante la ventilacin del grano con aire que se encuentre en las condiciones termodinmicas adecuadas.

Los cereales son materiales higroscpicos que adsorben o desorben humedad. As, si un volumen de grano razonablemente seco es ventilado con aire que tiene una humedad relativa del 90%, entonces el grano que se encuentra prximo al ducto de ventilacin se comienza a humedecer. El grano que est situado abajo de la zona hmeda podra estar a una temperatura ms baja que la temperatura original de la masa de granos provista por la entalpia del aire de ventilacin que es mas baja que la del aire intersticial inicial en el almacn del grano (Thorpe, 1995). El anlisis de la 10

transferencia de calor y humedad en granos almacenados a granel es muy similar al caso de transferencia de calor en un medio poroso, pero la naturaleza higroscpica de los granos, la generacin de calor por respiracin y la produccin de agua en el metabolismo de los granos deben tomarse en cuenta, lo que hace al problema interesante desde el punto de vista matemtico.

Adems, la humedad del aire es absorbida por los granos, los cuales comienzan a respirar ms rpido. S hay larvas de insectos y/o esporas de hongos, stos comenzarn a crecer y a reproducirse. Muy pronto, los insectos, los hongos y el grano producirn calor y por lo tanto, se desarrollarn puntos calientes Todas estas interacciones qumico-biolgicas se pueden apreciar en la Fig. 1.1. Un anlisis del efecto del calor de respiracin sobre la conveccin natural en el almacenamiento de sorgo se reporta en el Captulo IV, seccin 4.4

Por ltimo, es importante mencionar que, en un anlisis riguroso de los fenmenos de transporte en al almacenamiento de granos, tambin se debe considerar al calor de sorcin, que es el total de energa que debe suministrarse para evaporar la unidad de masa hmeda atrapada en los granos. Cuando una molcula de agua est ligada a la superficie del grano, su movimiento se restringe debido a las fuerzas de atraccin superficiales. S la molcula de agua va a ser removida desde la superficie, entonces debe proveerse energa, no solamente para darle energa cintica (si suponemos estado gaseoso), sino debe darse la suficiente energa para romper su enlace con la superficie. Esta energa es la suma algebraica del calor latente de vaporizacin y el calor diferencial de

humedecimiento (Thorpe, 1995). Adems, se debe conocer las isotermas de sorcin del grano, que determinarn el equilibrio entre la humedad superficial del grano y la humedad contenida en el aire intersticial a una temperatura definida.

11

Fig. 1.1

Interacciones qumico-biolgicas en el almacenamiento de granos en silos

12

13

CAPITULO II

MARCO TERICO ACTUAL

Para describir los modelos matemticos que gobiernan un medio poroso, se har una breve resea de las ecuaciones de balance a escala diferencial para un medio homogneo y, posteriormente, se comentarn los diversos enfoques para modelar un medio bifsico.

2.1

Ecuaciones de Transporte Puntuales Las ecuaciones de transporte de propiedades como cantidad de movimiento, calor y masa

total o para un componente i, se deducen a partir de balances microscpicos de las variables consideradas en un elemento diferencial monofsico, partiendo de la premisa general (Sissom y Pitts, 1972):

Entradas - Salidas Fuentes = Acumulacin Y las expresiones son:

Continuidad: Representa un balance de materiales global en un elemento diferencial:0

0t

/ #

(v)

0,

(2.1)

Para fluido incompresible/ #

v

0,

(2.2)

en donde:

=v= t=

Densidad del fluido Vector velocidad Tiempo

14

Movimiento: Establece que un pequeo elemento de volumen que se mueve con el fluido es acelerado por las fuerzas que actan sobre l. En otras palabras, es una expresin de la segunda ley de Newton, segn la cual: Masa x Aceleracin = fuerzas

Las fuerzas pueden ser de superficie como la presin o volumtricas como la gravedad o la fuerza centrfuga.

0!v [/ # !vv] /p [/ # ] !g, 0ten donde: g= p= v= Aceleracin de la gravedad Presin Vector velocidad Densidad Tensor de esfuerzos

(2.3)

!==

S el fluido es newtoniano con densidad y viscosidad constante, la expresin anterior se reduce a las ecuaciones de Navier-Stokes (Bird et al, 1960; White, 1991), adems de considerar la ecuacin (2.1)

! 0v !(v # /v) /p /2v !g.0t

(2.4)

En sistemas donde la conveccin libre es el transporte predominante, la variacin de la densidad con la temperatura tiene una importancia crtica y es conveniente modificar la ecuacin de movimiento para tener en cuenta los efectos del empuje o flotacin (Bird et al, 1960) .

15

Una forma rigurosa es la inclusin en el modelo matemtico de una ecuacin de estado (p. e. gas ideal o real), lo que hace que las ecuaciones diferenciales aumenten su grado de no linealidad (p.e. balance de energa) dificultando, por lo tanto, su resolucin numrica, ya que para el caso de conveccin natural bidimensional en estado estable, se establecen cinco ecuaciones de gobierno (Continuidad, movimiento en la direccin x, movimiento en la direccin y, balance de energa y la ecuacin de estado f(!, p, T) = 0 y las cinco variables dependientes vx, vy, p, ! y T. Todo lo anterior implica la definicin de condiciones frontera para cada variable dependiente, lo que conduce a condiciones no lineales para el caso de la densidad y de la presin, causando que la solucin numrica sea de convergencia difcil (Leonardi, 1984). El problema todava se complica ms s se ha de considerar la dependencia de la temperatura de los parmetros de transporte y termodinmicos involucrados.

Para simplificar la solucin numrica, muchos autores (Nield y Bejan, 1992; Gebhart et al, 1988, entre otros) recomiendan emplear la aproximacin de Boussinesq, que consiste en suponer la densidad constante, excepto en el trmino de fuerzas volumtricas, afirmando que el grado de error incurrido es pequeo, mas an s las variaciones de temperatura dentro de la cavidad son pequeas.

La aproximacin de Boussinesq (Leonardi, 1984) se basa en las siguientes consideraciones: 1.2.La variacin de la densidad es despreciable excepto s da origen a fuerzas de flotacin. La densidad varia solo con la temperatura y la desviacin con respecto a un valor promedio , es pequea. 3.4.Todas las dems propiedades del fluido se consideran constantes. Los efectos debidos a la disipacin viscosa tienen poca relevancia en el comportamiento del sistema.

Basndose en lo anterior, se puede aseverar que en un sistema de conveccin libre, la temperatura del fluido vara alrededor de un cierto valor promedio . S todos los puntos del fluido estuvieran a la temperatura y s no existe gradiente de presin externo, entonces, el gradiente de presin que se produce est dada por el peso del fluido, es decir: 16

/p = g ,

(2.5)

en donde es la densidad del fluido a la temperatura y presin local. Desarrollando

!

mediante series de Taylor alrededor del valor medio, despreciando los trminos superiores a la primera derivada e introduciendo la definicin del coeficiente de expansin volumtrica , se tiene la siguiente expresin:

=< > [1 b (T < T > )],

(2.6) (2.6a)

0! . ! 0T T1

Entonces, la ecuacin de movimiento queda:

0v (v # /v) /v g(T ), 0t

(2.7)

que es la expresin que se emplea en los problemas de conveccin libre, cuando es posible definir una temperatura media . Hay que tener en cuenta que sta es una ecuacin aproximada limitada a velocidades bajas del fluido y pequeas variaciones de temperatura. S el fluido es incompresible, las fuerzas viscosas equilibran a las fuerzas de flotacin (Bird et al, 1960; Gebhart, 1988; Kaviany, 1991).

Con este criterio, se tendrn las variables v, p, T y CA, mientras que sin el criterio de Boussinesq, las variables dependientes sern !, v, p, T y CA. Esta variante ya ha sido tratada por algunos autores (Leonardi, 1984), pero no se ha llegado a un esquema general, debido a la dificultad de la solucin numrica. Adems, en un enfoque ms riguroso, las propiedades termodinmicas involucradas en las ecuaciones de transporte como la viscosidad, conductividad trmica y difusividad, tambin estn en funcin de la temperatura, por lo que la estructura de las ecuaciones se complica mas y, por lo tanto, ha sido poco estudiado.

17

Calor: La energa calorfica puede entrar o salir del sistema analizado, por el mecanismo de conduccin de calor, de acuerdo con la ley de Fourier; tambin puede transferirse debido al movimiento global del fluido, es decir, por transporte convectivo y la energa que se manifiesta mediante este proceso se le llama tambin calor sensible. En casos especiales, tambin se puede considerar el transporte de calor por radiacin, descrito por la ley de Stefan-Boltzmann. Como ejemplo de estos casos se tienen la transferencia de calor en reactores de deposicin qumica de vapor y la radiacin solar que incide sobre un silo

La energa calorfica tambin se puede generar por efectos de una reaccin qumica (e.g. calor de respiracin de los granos) y, en ocasiones, por disipacin viscosa (degradacin de energa mecnica), aunque se estima que esta contribucin es despreciable, debido a las bajas velocidades del aire que se manifiestan en la conveccin natural (Re entre 1 y 500). Una versin mas completa del balance de energa se ilustra a continuacin, donde se incluyen los efectos de la energa cintica, interna y potencial (Bird et al, 1960):

!Cv( 0T v # /T) (/ #0t

q)

T( 0p )v (/ # v) ( # /v) Q0. 0T

(2.8)

Si se considera que el aire (o el gas en cuestin) tiene un comportamiento de gas ideal e incompresible; la disipacin viscosa es poco significativa y que el transporte de calor por conduccin est descrito por la ley de Fourier para un medio anistropo, por lo tanto, la ecuacin anterior se transforma en:

!Cp( 0T v # /T) / # (k/T) 0ten donde: Cp = T= k= Qo = Calor especfico a presin constante Temperatura Conductividad trmica Fuente volumtrica de calor 18

Q0,

(2.9)

v = Vector velocidad

! = DensidadMasa: El transporte de masa tanto difusivo como convectivo en un medio homogneo se describe para una sustancia A, que se transporta a travs de un medio B. Por ejemplo, en el almacenamiento de granos, las ecuaciones gobernantes deben incluir el transporte de humedad o de un agente fumigante. En tal caso, la sustancia A ser representada por cualquiera de dichas sustancias, mientras que el aire ser el componente B.

La expresin para la transferencia de masa en un medio anistropo, con reaccin qumica y transporte difusivo y convectivo, est dada por: (Bird et al, 1960; Hines y Maddox, 1984)

0CA v#/CA / # ( DAB/CA ) Ro, 0ten donde CA = Concentracin de la sustancia A

(2.10)

DAB = Difusividad v = Ro= Vector velocidad Trmino de reaccin de la sustancia A.

Transferencia simultanea de calor y masa: En la mayora de las situaciones, el transporte de calor y masa no estn acoplados directamente, por lo que las ecuaciones (2.9) y (2.10) se conservan sin cambio. Cuando se considera que la densidad del fluido depende de la temperatura T y de la concentracin CA, se establece un fenmeno conocido como doble difusin. S el fluido es un gas ideal y los gradientes de temperatura y concentracin son pequeos, la densidad es una funcin lineal de T y CA y puede expresarse como:

= o [1 ( T To ) C ( C C o )],en donde el subndice o representa un estado de referencia,

(2.11)

volumtrica y C es el coeficiente de expansin volumtrica de la concentracin, los cuales se evalan 19

es el coeficiente de expansin

en el estado de referencia. (Nield y Bejan, 1992). La ecuacin (2.11) representa un efecto combinado de fuerzas de flotacin

2.2

El Medio Poroso Un medio poroso puede definirse como una red compleja de conductos y obstrucciones

constituida por una fase slida discontinua y una fase continua integrada por un fluido, que puede ser compresible o incompresible. Dos propiedades que se asocian con la mecnica de fluidos a travs de lechos porosos son:

Porosidad:

Es la relacin del volumen de los poros con respecto al volumen total de una muestra del material y depende principalmente de la naturaleza geomtrica del slido.

Permeabilidad:

Es una medida cuantitativa de la facilidad con la cual un fluido se transporta a travs de un medio poroso. Cuando solo depende de la naturaleza intrnseca del slido, se trata de un medio istropo y esta propiedad es un escalar. Por otro lado, cuando tambin depende de la naturaleza geomtrica del slido (propiedades direccionales de los poros), se trata de un medio anistropo y la permeabilidad se convierte en un tensor simtrico de segundo orden (Greenkorn, 1983).

El primer estudio serio del transporte de un fluido a travs de un medio poroso fue hecho por el fsico francs Henri Darcy, quien en 1856 public una expresin obtenida a partir de experimentacin, que describe la velocidad media de flujo de un fluido homogneo en rgimen laminar, que pasa a travs de un lecho poroso isotrpico (Nield y Bejan, 1992):

v

K dp !g , dx

(2.12)

20

en donde K es la permeabilidad del medio poroso, la cual tiene dimensiones de L. Los geofsicos miden la permeabilidad en darcys nombre dado en honor de este investigador (Sissom y Pitts, 1972):

1 darcy = 1.0623 x 10 -11 ft.

Aunque, la naturaleza de la ley de Darcy es emprica, Greenkorn (1983) describe que dicha ley es equivalente a las ecuaciones de Navier-Stokes, por lo que se emplea como ecuacin de movimiento de un fluido a travs de medios porosos y una de sus aplicaciones prcticas es el estudio de operaciones de filtracin (Greenkorn, 1983). En forma tridimensional, se tiene que: v

K /p !g .

(2.13)

La ley de Darcy evita la dificultad de representar el perfil de velocidad puntual por la introduccin de una velocidad promedio definida como el cociente del flujo volumtrico a travs de una seccin dada del medio poroso. En un flujo unidimensional, la velocidad promedio de fase se conoce como velocidad aparente o velocidad superficial (Gebhart, 1988). La ley de Darcy ha sido verificada mediante experimentacin extensiva (Nield y Bejan, 1992).

En la postulacin de la ley de Darcy se han hecho varias consideraciones como: los efectos inerciales se han ignorado y las prdidas por friccin se han balanceado solamente con la cada de presin y las fuerzas volumtricas. Por lo tanto, esta ley es slo vlida para pequeas velocidades de flujo (Greenkorn, 1983; Gebhart, 1988). Una desventaja original de la ley de Darcy, es que no requiere de la condicin de la velocidad en las fronteras del medio poroso (paredes que lo contienen), lo cual hace que dicha ley sea nicamente valedera lejos de estas fronteras. Con base en lo anterior se han publicado una serie de modificaciones a la ley de Darcy, algunas de las cuales se comentan en la siguiente seccin.

21

2.3

Modificaciones de la Ley de Darcy Para solucionar este problema, Brinkman (1947a, 1947b) propone una extensin a la ley de

Darcy, que consiste en aadir un trmino de esfuerzo cortante, con el fin de predecir la distorsin del perfil de velocidad en las fronteras, quedando la ley de Darcy como: v K /p !g K /v,

(2.14)

en donde ' es la viscosidad efectiva del medio poroso mientra que es la viscosidad del fluido. Otra forma de expresar la Ley de Darcy para el transporte de fluidos a travs de un medio poroso es:

/p v !g,K

(2.15)

mientras que la ecuacin de Navier-Stokes sin trminos inerciales, est dada por:

/p /v !g.

(2.16)

Para establecer una analoga con el fin de emplear condiciones de frontera racionales, Brinkman propone:

/p v /v !g,K en donde se podra estimar con la relacin de Einstein (Brinkman, 1947b):

(2.17)

1 2.50,

(2.18)

en donde 0 es la fraccin de huecos del medio poroso. S K tiende a ser muy grande, la ecuacin (2.16) es una expresin lmite de la ecuacin (2.17) y, por lo tanto, = . Por otro lado, s K tiende a ser pequeo, la ecuacin (2.15) es una expresin lmite de la (2.17) ya que el trmino de transporte viscoso se hace despreciable. En conclusin, el trmino de esfuerzo que propone Brinkman, est dado por intuicin pura y su validez para este 22

trabajo se comentar ms adelante. Neale y Nader (1974) analizaron el significado prctico de la extensin de Brinkman a la ley de Darcy. El anlisis sirve para proporcionar una base fsica y matemtica ms rigurosa a la teora semi-emprica propuesta por Beavers y Joseph (1967). Se demuestra que las predicciones de estos autores pueden ser derivadas independientemente, sin tener una formulacin emprica de las condiciones de frontera por el uso de la extensin de Brinkman a la ecuacin de Darcy (Saffmann, 1971; Ross, 1983). Un anlisis ms detallado se presenta en el Captulo IV.

En resumen, el comportamiento no darciano de un medio poroso est dado principalmente por la consideracin de los efectos viscosos, como la extensin de Brinkman o la ecuacin de Forchheimer (Nield y Bejan, 1992); la inclusin de efectos inerciales y de resistencia viscosa (Tong et al, 1985; Hunt, 1988) quienes estudiaron el efecto de la porosidad variable en medios altamente porosos. En el caso de los medios porosos constituidos por granos alimenticios, los valores de permeabilidad tienen un orden de magnitud de 10-8 m (Singh y Thorpe, 1993), por lo que los efectos inerciales son pequeos y, por lo tanto, el modelo de la ecuacin de Darcy con o sin la extensin de Brinkman es adecuado. Un anlisis cuantitativo se presenta en el Captulo IV.

2.4

Teorema del Promedio Volumtrico En la mayora de los procesos de transformacin qumica, se usan operaciones de separacin

que involucran varias fases. El transporte de solutos y las reacciones qumicas que se llevan a cabo en sistemas de fase mltiple y los fenmenos de conveccin natural en medios porosos son problemas muy importantes dentro de la ingeniera qumica, pero no exclusivos. El origen del inters en este tipo de fenmenos se pierde en los siglos, y naci cuando la humanidad se involucr en el secado de granos, el filtrado de vino, u otras operaciones de manufactura de productos hechos en casa. Al paso del tiempo y con el propsito de hacer ms efectivos los procesos de fabricacin, el hombre se ha visto obligado a entender mejor los procesos de transferencia y transformacin que ocurren en sistemas de ms de una fase. (Ochoa-Tapia, 1993)

23

El enfoque tradicional de la Ingeniera Qumica en el estudio de los fenmenos de transporte, generalmente comienza con el estudio de la mecnica de fluidos, continuando con la transferencia de calor y completando la secuencia con el estudio de la transferencia de masa tanto difusional como convectiva.

Con frecuencia, este estudio es restringido a los fenmenos de transporte en una fase, o situaciones donde la segunda fase es representada solamente en trminos de una condicin de frontera. J. C. Maxwell comenz el estudio terico de los procesos de transferencia en sistemas de varias fases, relacionndola con su investigacin sobre la conduccin de corriente elctrica en un sistema de dos fases (Maxwell, 1891). La similitud matemtica entre este fenmeno elctrico con los de conduccin de calor, y difusin de masa ha ocasionado que varios mtodos modernos para estudiar el transporte en sistemas multifsicos se hallan desarrollado sobre las ideas originalmente propuestas y usadas por Maxwell a finales del siglo pasado (Ochoa-Tapia, 1993, Whitaker, 1999).

En los ltimos aos este enfoque se ha profundizado a los procesos de transferencia multifsicos donde, una manera de extrapolar los modelos formales de transporte anteriormente descrit

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