60

Unitatearen aurkezpena

•Unitatehonetan,aljebraikasteariekingodiogu;horretarako,au-rrekoikasturteetanlandutakoprozedurakgogoratukoetasakon-dukoditugu.

• Ikasleekzenbaitzailtasunaurkituditzakete,berezikiletrakegoeraabstraktubatadieraztekozeinugisaerabiltzekoorduan.Horixeda,baina,aljebrarenerabilerariknabarmenena:letrabatenbidezzenbaitbalioadieraztea,etahoriekmoduerrazeanerabiliahalizatea.

•Lehenepigrafean,hizkuntzaaljebraikoabeharrezkoadelajusti-fikatzenda,etazenbaitterminorenesanahiagogoratzenda(mo-nomioa,ezezaguna…),baitaidentitatearenetaekuazioarenarte-kodesberdintasunaere.

•Hurrengoorrialdeetan,honakokontzeptuhaueklandukoditugu:definizioak,monomioeietapolinomioeilotutakoterminologia,baitahaieneragiketaketapropietateakere.

•Ikasleekhonakoaulertubehardute:adierazpenkonplexuakadierazpenerrazagobihurtzeamatematikarekinlanegitekome-todorikeraginkorrenetakobatdela.Horretarako,oinarrizkoera-giketakezagutubeharkodituzte:monomioenetapolinomioenartekobaturaetabiderkadura,faktorekomunalortzea,etaiden-titatenabarmenakidentifikatzea.

•PolinomioenzatiduraetaRuffinirenerregelaereikasikoditugu,etapolinomioafaktorebihurtzekoerabilikoditugu.Faktoreko-munaetaidentitatenabarmenakateratzekoerabiltzeazgain,za-tikialjebraikoaksinplifikatzekoereerabilikoditugu.Atalhonekzailtasunugaridituenez,komenidairakasleakikasleenmailarahobekienegokitzendirenariketakhautatzea.Izanere,atalhauhurrengoikasturteanosatukodugu.

•Unitateanzehar,ekuazioakebaztekoorduanageriohidirenzenbaiteragiketanabarmendukoditugu(izendatzailekomuneralaburtzea,faktorekomunaateratzea,etab.).Hurrengounitatean,horiekosoerabilgarriakizangozaizkigu.

Gutxienekoezaguerak

Unitateaamaituorduko,ikasleekezaguerahauekjakinbeharkodi-tuzte,gutxienez:

•Enuntziatuaketapropietateakhizkuntzaaljebraikoraitzultzea.

•Adierazpenaljebraikoakenuntziatuedopropietatebatekinlo-tzea.

•Monomioaetaharenelementuakidentifikatzea.Monomioantze-koakantzematea.

5 Hizkuntza aljebraikoa

60

Unitatearen eskema

ALJEBRA

honakoekinegindaitezkeeragiketak:

zehatzaezdenean

honakoetarakobaliodutenak:

honakoetarakobaliodutenak:

izenhaudu:

izenhaudu:

maneiatzenditu

honakohauekdira:

honakohauekdira:

izenhaudu:

kasuhauetan:

kasuhauetan:

honakohauekizandaitezke:

zeinuberaezbadute zeinuberabadute

zatiketabipolinomioren

zatiduraadierazia

MONOMIOAK

biderkadura

koefizientea

batura

kenketa

biderketa

zatiketa

POLINOMIOAK

IDENTITATEAK EKUAZIOAK

BERDINTZAK

ADIERAZPENALJEBRAIKOAK

ZATIKIALJEBRAIKOA

zenbakibatena

letrazkoatala

letrabatenaedohainbatletrarena

hainbatmonomiorenbatura

berdintzaletrazkoatalaren

edozeinbaliotarakoegiaztatzendenean

berdintzakletrazkoatalarenzenbait

baliotarakobakarrikbalio

duenean

zenbakizkopropietateaketaerlazioaksinplifikatzeko

problemakebazteko

61

•Monomioakbatzeaetabiderkatzea.

•Polinomioaetaharenelementuakidentifikatzea.

•Polinomiobatenzenbakizkobalioakalkulatzea.

•Polinomioakbatzeaetabiderkatzea.

•Faktorekomunaateratzea.

•Identitatenabarmenakgaratzea.

•Polinomioenzatidura.Ruffinirenerregela.

Osagarrigarrantzitsuak

•Polinomiomotahauekidentifikatzea:binomiobatenkarratuadi-renaketabaturabiderkenduradirenak.

•Polinomioafaktoreenzatidurabihurtzea,honakohauekerabiliz:faktorekomunaateratzea,identitatenabarmenakezagutzeaetaRuffinirenerregela.

•Zatikialjebraikoerrazaksinplifikatzea.

•Zatikialjebraikoerrazekineragiketakegitea.

Lanakaurreratu

•Eragiketenlehentasunaetaparentesiarenerabileraberrikustea.

•Zatikiakzuzenerabiltzea:eragiketakegitekoprozedura.

•Berretzaileosoadutenberreketakberrikustea,baitahaienartekoeragiketaketapropietateakere.

•Berreketenpropietateakerabiltzea,eragiketaerrazaksinplifika-tzeko.

•Enuntziatuakadierazpenaljebraikoekinlortzea,kasuerrazetan:zenba-kibatenbikoitzagehiharenerdia;zenbakibatenkarratuaken1...

LANKIDETZAN IKASI PENTSAMENDU ULERKORRA PENTSAMENDU KRITIKOA

85.etik89.erakoorrialdeak.PDhonetaniradokitakoariketa(*)

89.or.5.eta8.ariketak. 85.or.1.ariketa.(*)

95.etik97.erakoorrialdeak.PDhonetaniradokitakoariketa(*)

91.orrialdetik93.era.Ariketaebatziak.(*) 88.or.1.ariketa.(*)

94.or.Ariketaetaproblemaebatziak.(*) 95.or.3.ariketa.(*)

95.or.7.eta10.ariketak.(*) 96.or.18.ariketa.(*)

97.or.28.eta35.ariketak.(*) 98.or.42.ariketa.(*)

99.or.55.ariketa.(*) 99.or.56.ariketa.(*)

DIZIPLINARTEKOTASUNA IKT EKIMENA PROBLEMAK EBAZTEA

82.or.PDhonetaniradokitakoariketa.(*)

82.or.PDhonetaniradokitakoariketa.

83.or.Ebatzi.(*) Ikaslearenliburuanproposatutakoproblemaguztiakatalhonidagozkio.Jarraian,interesbereziadutenbatzukadierazikoditugu.

84.or.1.ariketa.(*) 95.or.5.ariketa.(*)

93.or.1.ariketa.(*) 98.or.41.eta46.ariketak.(*)

95.or.1.eta2.ariketak.(*) 101.or.Trebatuproblemakebatziz.(*)

99.or.49.ariketa.(*)

100.or.«Ikertu»ariketa.(*)

Jarraianaurkeztuduguntaulan,lankidetza,pentsamenduulerkorra,pentsamendukritikoa,diziplinartekotasuna,IKTak,ekime-naetaproblemenebazpenalantzekoariketa-sortabatproposatudugu.Horietakobatzukikaslearenliburuanproposatuditu-gu,etahemenadieraziditugubakoitzaridagozkionorrialdeaetaariketa.Besteariketabatzuk,ordea,Proposamendidaktikoanbertanjasoditugu.

Iradokizunhorienaukeraketabatikaslearenliburuandagoadierazita,ikonobatekin;hemen,izartxo(*)batekinadieraziditugu.

62

8382

5 Hizkuntza aljebraikoa

Ebatzi

1. Honako berdintza hauetako zein elkartzen diozu egiptoar papiroko enuntziatuan ageri den gari pilari? Zenbat neurri ditu pila horrek?

I x 5 131

2– – = II x x x3 5 2– – = III x x

3 5 2=+

2. Osatu koadernoan gorago ageri diren bi irudi geometrikoen azalerak elkartzen di-tuen berdintza: a2 – b2 = …

3. Itzuli hizkuntza aljebraikora (gaur egungo estilora) gorago deskribatu den gauzari buruzko problema. Gero, haztamuz jokatuz, kalkulatu zenbat balio duen gauza horrek.

Problema «erretorikoa»

Antzinako egiptoarrek problemak era erretorikoan deskribatzen zituzten, hizkuntza arrunta erabiliz. Hona hemen horren adibide bat:

Berdintza aljebraikoa geometria erabiliz

Ondoan datorrena greziar matematikariek berdintza aljebraiko batzuk justifika-tzeko erabiltzen zituzten irudi geometrikoen adibidea da. Ikusten al duzu eraldaketa geometrikoa? Eta aljebrarako «itzulpena»?

«Gauzaren artea»

Ba al dakizu zergatik erabiltzen dugun x letra ekuazioko ezezaguna sinbolizatzeko? Gauza, arabieraz xay esaten da eta horrela transkribatu zen gaztelaniara. Apurka-apurka, hitz horren ordez, hasierako letra, x, hasi ziren erabiltzen.

5

a2 – b2 = …

= a – b

a + ba

b

Pilan dagoen gariaren herena eta bost neurri gehiago ateraz gero, pilaren erdia geratuko da.

Gauza 16 bider biderkatuz eta 35 gehituz zein gauza 3rekin eta gauzarekin biderkatuz, emaitza bera lortuko dugu.

Lehenengo pausoak, «aljebra erretorikoa»Aljebrazko problemak antzinako zibilizazioetan ageri dira, ia beti arlo praktikoen testuinguruan: banaketak egiteko, jaraunspenetarako, azalerak kalkulatzeko…Antzinako mesopotamiarrek eta egiptoarrek aljebra «erreto-rikoa» praktikatzen zuten, hizkera arrunta erabiliz: «Piloan dagoen gariaren herena ateraz gero, eta…».

Lehenengo sinboloak, «aljebra sinkopatua»Aljebraren bilakaera sinbolismoaren hobekuntzan eta ekuazioak ebazteko teknikak sistematizatzean islatzen da.Diofanto Alexandriakoak, iii. mendean, idazkera sinbolikoa asmatu zuen; idazkera hori, nahiz eta oinarrizkoa izan, aurrerapauso handia izan zen («aljebra sinkopatua»).

Arabiarrak eta «gauzaren artea»Al-Jwarizmik, ix. mendean, mundu zibilizatuan hurrengo mendeetan ere eragin handia izan zuen eskuliburua idatzi zuen.Ezezagunari gauza esaten zion, eta nomenklatura hori Europara pasatu zen; Europan, «gauzaren artea» esan zioten aljebrari, ondorioz.

… Eta «aljebra sinbolikoa» iritsi zenAljebra ez zen modu berean garatu Europan.Italiako xvi. mendeko aljebralariak nabarmendu ziren.Aljebra, sinboloak erabiltzen dituen hizkuntza gisa, gaur ezagutzen dugun eran, Vieta (xvi. mendearen azkenerantz) eta Descartesen (xvii. mendean) azterketen bidez izan zuen azken bilakaera.

Egiptoko lur-neurtzaileak. Menaren eta Najten hilobietako margolanak (Egipto).

Al-Jwarizmiren estatua Jivan (Uzbekistan).

Vieta (1540-1603).

Unitatea hasteko

•Unitatearenhasierakoirakurgaieiesker,ikasleekikusikodutehistorianzeharurratsaskoemanbeharizandirelagauregunaljebralantzekoera-biltzendugunnomenklaturasoretafinkazedin.

•Irakurgaieiesker,ibilbidebategingoduguprozesuhistorikohorrenga-raietanzehar:

– Aljebraerretorikoa:ezzegoenlaburtzapenik,eztasinboloberezirikere.Hizkuntzaarruntaerabiltzenzen.

– Aljebrageometrikoa:elementugeometrikoetanoinarritzenzen.

– Aljebrasinkopatua:zenbaitgaiteknikoetalaburtzapenerabiltzenzi-renjada.

– Arabiaraljebra:gukezezagunderitzogunak«gauza»zuenizena.

– Aljebrasinbolikoa:gauregungoaljebrarenantzhandiagoazuen.

•HonakoparagrafohauAminMaaloufidazlarenSamarcandaeleberritikateratadago;bertan,ezezagunaizendatzeko«gauza»-tikxletraranolapasatzendenkontatzenda:

«OmarJayyam-ek,xi.mendekoolerkari,astronomoetamatematikariak,aljebrariburuzkoliburubatean,ezezagunaizendatzeko,shayarabiarhi-tzaerabilizuen;hitzhorrekgauzaesannahidu.Halaere,zenbaitespai-niarlanzientifikotan,xayidatziizanda;horrela,denborarenpoderioz,hitzarenlehenletra,x,ezezagunarenikurunibertsaltzathartuda».

•Honahemenaljebrarekinlotutakobitxikeriabat:arabiarmunduanalje-brakgarapenhandiaizanzuen,gizartepoligamoazirelakoetajaraun-tsiekinlotutakoarazokonplikatuakkonpontzekobeharrizanhandiazute-lako.

•«Ebatzi»izenekoatalean,aurrekoirakurgaietatikateratakozenbaitpro-blemaaljebraikoplanteatudira.

IKT Honakoariketahauiradokitzendugu:

SakonduAl-Jwarizmiarabiarmatematikariariburuzkoinformazioa,etaikertunolahelduzirenharenlanakMendebaldera.

Diziplinartekotasuna Honakoariketahauiradokitzendugu:

Eginmatematikaezdenzenbaitdiziplinarenzerrenda,nonhizkuntzaalje-braikoaerabiltzeaerabilgarriaden.

«Ebatzi» atalaren soluzioak

1 II.berdintza.Pilahorrek30neurriizangoditu.

2 a 2–b 2=(a+b)·(a–b)

3 16x+35=3x 2.Gauzahorrek7baliodu.

OHARRAK

63

8584

1 Adierazpen aljebraikoak

Aljebran lan egitea kantitate bat edo gehiago ezezagunak dituzten zenbakizko erlazioak erabiltzea da. Kantitate ezezagun horiei aldagai edo ezezagun esaten zaie eta letren bidez adierazten dira.Problemaren osagaiak hizkuntza aljebraikora itzuliz gero, adierazpen alje-braikoak lortzen dira.Guztiz era desberdineko adierazpen aljebraikoak daude:

•Monomioak: 7x 3, – 23 x, 4πr 2 (esferaren azalera)

•Polinomioak: 5x 3 + x 2 – 11, 2πr h + 2πr 2 (zilindroaren azalera totala)

Adierazpen aljebraiko batzuetan, «=» zeinua ageri da:

•Identitateak: 5(x + 4) = 5x + 20. Berdintasunaren bigarren atala lehenen-goan eraginez lortzen da.

•Ekuazioak: 5(x + 4) = x + 44. Berdintza x ezezagunaren balioren baterako baino ez da egiaztatzen. Kasu horretan, x = 6 baldin bada.

Etimologia

Monomio eta polinomio: greziera-tik datoz:

mono hitzak bat esan nahi du.poli hitzak asko esan nahi du.nomos hitzak zatia esan nahi du.

Identitate: latineko idem hitzetik dator eta berdin esan nahi du.Ekuazio: latineko aequare aditzetik dator eta berdindu esan nahi du.

Adibideak

• Adierazpen hauek monomioak dira:

7a 2, 54 xy 2, (5 + 2)x 5

Horien koefizienteak honako hauek dira, hurrenez hurren:

7, 54 eta 5 + 2

• 7a 2 = 7(a · a)-ren maila 2 da.

54 xy 2 =

54 (x · y · y )-ren maila 3 da.

• 9 = 9x 0 zero mailako monomioa da.

• 5ab x 2 eta –7ab x 2 antzekoak dira.

1. Adierazpen aljebraikoa erabiliz, deskribatu honako enuntziatu hauetako bakoitza:a) Zenbaki bat bi halako ken horren herena.b) Zenbaki bati hiru unitate batzea bi halako.

c) Triangelu horren azalera 36 cm2 da.

2x

x

d) Nuen diruaren 3/5 janzkia erosten eta 60 € bi alkandora erosten eralgi dut. Nuen diruaren erdia geratzen zait.

Pentsatu eta egin

1. Zenbat da honako monomio hauetako bakoitzaren maila?a) –5xy 2z 3 b) 11xy 2 c) –12

2. Batu honako monomio hauek:a) 5x + 3x 2 – 11x + 8x – x 2 + 7xb) 6x 2y – 13x 2y + 3x 2y – x 2yc) 2x – 5x 2 + 3x + 11y + 2x 3

d) 3yz 3 + y 3z – 2z 3y + 5zy 3

3. Biderkatu honako monomio hauek:

a) x32 3c m · (– 6x) b) ·x x2

9 53– 32c cm m

c) (7xy 2 ) · (2y) d) (5xyz) · (–3x 2z)

4. Sinplifikatu monomioen honako zatiketa hauek:

a) x yxy3

5 4

2 b) xx y

y35

3

4 2 c)

xx

53

4

2

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatzia

Era aljebraikoan adieraztea:a) Zenbaki bat hiru halako ken

lau unitate.b) Zenbaki bati lau unitate

kentzearen emaitza hiru halako.

c) Laukizuzenaren perimetroa, aldeetako bat bestearen aldeetako bat hiru halako izanik, 60 cm da:

x

3x

d) Dudanaren 3/5 eta, gainera, 90 € eralgiz gero, orain dudanaren herena baino ez dut izango.

a) 3x – 4. Polinomioa da.

b) 3(x – 4). Polinomioa da.

c) x + 3x + x + 3x = 60. Soluzioa x = 7,5 duen ekuazioa da. Ondorioz, lauki-zuzenaren dimentsioak honako hauek dira: 7,5 cm × 22,5 cm.

d) Arrazoituz, enuntziatu horrek ematen duen adierazpen aljebraikoa lortuko dugu:

daukateralgi

dutorain daukat lortutako erlazioa

x53 x + 90 x x

53 90– +c m x x x

53 90

31– + =c m

↑ ↑ monomioa polinomiak ekuazioa

Ekuazioaren soluzioa x = 1 350 da.

Orain dudan dirua, beraz, 1 350 € da.

Monomio zenbaki bat bider letra baten edo hainbat letraren (aldagaiak) biderkadura da

Monomioan, letrek (letrazko atalak) balio ezezaguneko edo zehaztugabeko zenbakiak adierazten dituzte. Horregatik, zenbakien eta zenbakien eragiketen propietate guztiak gordetzen dituzte.•Monomioaren koefizientea letrazko atala biderkatzen duen zenbakia da.•Monomioaren maila letrazko atala eratzen duen faktore kopuru osoari esaten zaio.

Zenbakiak zero mailako monomioak dira x 0 = 1 denez gero.•Bi monomio antzekoak dira letrazko atal bera baldin badute.

Eragiketak monomioekin

•Bi monomio antzekoren batura horien antzeko den beste monomio bat da eta azken horren koefizientea aurrekoen koefizienteen batura da.Adibidez: 7x 5 + 11x 5 = 18x 5

Bi monomio antzekoak baldin ez badira, horien batura ezin daiteke sinpli-fikatu eta adierazita utzi behar da. Orduan, emaitza ez da monomio.Adibidez: 7x 5 + 11x 3 ezin daiteke sinplifikatu.

•Kenketa batuketaren kasu berezia da.Adibidez: 3abx 2 – 8abx 2 = –5abx 2

•Bi monomio edo gehiagoren biderkatura beste monomio bat da eta horren koefizientea koefizienteen biderkadura da eta, letrazko atala, faktoreetako letrazko atalen biderkadura.Adibidez: (3x 2ab) · (5xac) = 15x 3a 2bc

•Bi monomioren zatidura koefizienteak eta letrazko atalak zatitzearen emaitza da. Monomioa izan daiteke, edo ez.

Esaterako, x yx y

63

21

2

5= x 3 monomioa da, baina

x yx y

yx

63

22 4

5

33

= ez da mono-

mioa.

2 Monomioak

Iradokizunak

•84.orrialdean,aljebrarekinlotutakooinarrizkoterminologiagogoratukodugu;horrezgain,aljebrarenerabileranagusiaerenabarmendukodu-gu:enuntziatuedopropietatebathizkuntzasinbolikoraitzultzea.

•Mailahonetakoikasleekadierazpenaljebraikoakzuzenerabiltzenjakinbehardute.Ikasketa-prozesuhorretan,komenidaikasleaketengabetre-batzea,egoerazehatzaksinbolikokideskribatzendituztenadierazpenaljebraikoekinlortzekogaiizandaitezen.Horilortzeko,irakasleakho-nakohauproposatukodieikasleei:lehenik,enuntziatujakinbatzukda-gozkienadierazpenaljebraikoekinlotzea;ondoren,berenberegiaukera-tutakoenuntziatumultzobatidagozkionadierazpenaljebraikoaklortzea.

•Irakasleakbeharrezkotzatjozgero,letrahauenesanahiasakondudaiteke:

– Ezezaguna:kalkuladezakegunzenbakiezezagunbatadieraztenduenletra.

– Aldagaia:edozeinbaliohardezakeenletra.

•85.orrialdean,monomioarendefinizioagogoratukodugu,baitaharilo-tutakohiztegiaetaoinarrizkoeragiketakere:monomioenbatura,bi-derkaduraetazatidura.Eragiketahoriekeragiketaaritmetikoenluzapengisajustifikadaitezke:faktorekomunaateratzea,etaberrekizunberekoberretzaileenbiderkaduraedozatidura.

•Honakohauereegiaztadezakegu:monomioenbaturaedobiderkaduraegitean(5x2+3x2=8x2o3x·2x2=6x3)berdintzabakoitzekogaienzenbakizkobalioaberdinada,letreiedozeinbalioematendiegulaere.

Indartu eta sakondu

Honakohauekgomendatzendira:

•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko2.koadernotik:

Indartzeko:3.orrialdeko1.eta2.ariketak.34.orrialdeko1.eta2.arike-tak.

Sakontzeko:3.orrialdeko3.eta4.ariketak.34.eta35.orrialdeetako3.,4.eta5.Ariketak.

Lankidetzan ikasi

Orrialde hauek eragiketa aljebraikoak indartzerabideratutadaude.Honakometodologiahauerabiltzeairadokitzendugu:

•Ikasleaktaldetxikitanjarrikodira(bikoedohirukotaldeak).

•Zenbaitadierazpenebatzikodituzte,banaka;gero,prozesuaketaso-luzioakegiaztatukodituzte.

•Desadostasunikbadago,akatsakadierazibeharkodituzte.Zalantzakar-gitzekogaiezbadiraedoadosjartzenezbadira,irakasleakpartehar-tukodu.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

84. Orrialdea

1 a)2x–31 x b)2(x–3)

c) ·x x2

2 =36 d)x– x x53

6021+ =e o

85. Orrialdea

1 a)6.maila b)3.maila c)0.maila

2 a)9x+2x2 b)–5x2y

c)5x–5x2+2x3+11y d)4z3+6y3z

3 a)–4x 4 b)–2x5/15 c)14xy3 d)–15x3yz2

4 a)yx35 3

b)xy

3

5 c)

x5

32

64

8786

3 Polinomioak

Polinomioa bi polinomio edo gehiago batzea da. Osatzen duten monomioe-tako bakoitzari gai esaten zaio.

Monomioa gai bakarreko polinomioa dela esan daiteke.

•Polinomioan monomio antzekoak egonez gero, eragitea, adierazpena sinpli-fikatzea eta polinomioa era laburtuan lortzea komeni da.

•Polinomioaren maila polinomioa osatzen duten monomioen mailetako han-diena da, monomioa era laburtuan jarri denean.

Polinomioak zer maila duen esan baino lehen, laburtzea komeni da; mailarik handieneko monomioak sinplifikatu eta desagertu egin daitezkeenez gero.

•Polinomioaren zenbakizko balioa, x = a denean, x a-rekin ordeztuz lortzen den balioa da. Adibidez 2x 3 – 5x 2 + 7-ren balioa, x = 2 izanez gero, honako hau da: 2 · 23 – 5 · 22 + 7 = 2 · 8 – 5 · 4 + 7 = 3.

•x = a 0 denean, polinomioaren zenbakizko balioa 0 izanez gero, orduan, a polinomio horren erro bat dela esaten da.

Polinomioak batzea eta kentzea

Bi polinomio batzeko, gaiak taldekatu eta monomio antzekoak batzen ditugu. Bi polinomioren arteko kenketa egiteko, kenkizunari kentzailearen aurkakoa batzen zaio. Adibidez: A = 6x 2 – 4x + 1 eta B = x 3 + 2x 2 – 11:

A+ B

A + B

888

6x 2 – 4x + 1x 3 + 2x 2 – 11x 3 + 8x 2 – 4x – 10

A– B

A – B

888

6x 2 – 4x + 1– x 3 – 2x 2 + 11– x 3 + 4x 2 – 4x + 12

Monomioa bider polinomioa

Monomioa bider polinomioa egiteko, monomioa polinomioko gaietako bakoi-tzarekin biderkatu eta emaitzak batzen dira. Adibidez:

(3x 2 ) · (x 3 – 2x 2 – 1) = 3x 2 · x 3 – 3x 2 · 2x 2 – 3x 2 · 1 = 3x 5 – 6x 4 – 3x 2

1. Adierazi zer maila duen honako polinomio hauetako bakoitzak:a) x 6 – 3x 4 + 2x 2 + 3b) 5x 2 + x 4 – 3x 2 – 2x 4 + x 3

c) x 3 + 3x 2 – 2x 3 + x + x 3 – 2

2. P = 5x 3 – 2x + 1 eta Q = x 4 – 2x 2 + 2x – 2 dugu.Kalkulatu P + Q eta P – Q.

3. Biderkatu eta adierazi emaitzak zer mailatakoak diren:

a) 2x (x 2 + 3x – 1) b) 2x 2(3x 2 – 4x + 6)

c) –2(–3x 3 – x) d) 5(x 2 + x – 1)

e) –7x 5(2x 2 – 3x – 1) f ) –7x (2x 3 – 3x 2 + x)

g) 4x 2(3 – 5x + x 3) h) 8x 2(x 2 + 3)

i) – x 3(–3x + 2x 2) j) – 4x [x + (3x)2 – 2]

Pentsatu eta egin

4. P = 4x 2 + 3, Q = 5x 2 – 3x + 7 eta R = 5x – 8 izanik, kalkulatu:a) P · Q b) P · R c) Q · R

5. Eragin eta sinplifikatu ateratzen den adierazpena.a) x (5x 2 + 3x – 1) – 2x 2(x – 2) + 12x 2

b) 5(x – 3) + 2( y + 4) – 37 ( y – 2x + 3) – 8

c) 15 · ( ) ( )x y x x3

2 3 754

152– – –

–+ += G

d) (x 2 – 2x + 7)(5x 3 + 3) – (2x 5 – 3x 3 – 2x + 1)

6. Garatu honako karratu hauek:a) (x + 4)2 b) (2x – 5)2

c) (1 – 6x)2 d) x2 4

3 2+c m

e) x2 21–2

2c m f ) (ax + b )2

7. Biderkatu:a) (x + 1)(x – 1) b) (2x + 3)(2x – 3)

c) x x33 2

121– +c cm m d) (ax + b )(ax – b )

Pentsatu eta egin

Adibideak

• Polinomioak dira: 3x 2 y + 5x 3 – 8 2x 2 + 6x 2 – 5x + 1

• Sinplifikatzea: 5x 2 + 4x 4 – 2x 2 – 3x 4 + 1 → → x 4 + 3x 2 + 1

• 3x 2 y + 5x – 8y 2-ren maila 3 da, 3x 2y-ren maila denez gero.

• Sinplifikatu polinomioari maila esleitu baino lehen:

7x 3 + 5x 2 + 3x 3 – 2x – 10x 3 = = 5x 2 – 2x → maila 2 da.

Definizioa

Polinomioaren aurkako esaten zaio gai guztien zeinua aldatuz ateratzen denari.

P = x 3 + 2x 2 – 11P-ren aurkakoa :

–(x 3 + 2x 2 – 11) = –x 3 – 2x 2 + 11

Hartu kontuan

Kalkuluak horrela aurkeztuz gero, polinomioak ordenan eta seguru biderkatzen dira. Gairen bat falta izanez gero, hutsunea utzi behar da dagokion tokian.

Bi polinomio biderkatzea

Bi polinomio biderkatzeko, faktoreetako bateko monomioetako bakoitza beste faktoreko monomioetako bakoitzarekin biderkatzen da eta, gero, lortu diren monomio antzekoak batzen dira.Adibidez: P = 5x 3 – 2x 2 – 1, Q = 6x – 3

5x 3 – 2x 2 – 1 6Ä P 6x – 3 6Ä Q

– 15x 3 + 6x 2 + 3 6Ä –3 bider P 30x 4 – 12x 3 – 6x 6Ä 6x bider P

30x 4 – 27x 3 + 6x 2 – 6x + 3 6Ä P · Q

Gai gutxi direnean, ez dago aurreko metodoa erabili beharrik, zuzenean biderkatu dezakegu:

(2x 2 – 1) (3x + 4) = 6x 3 + 8x 2 – 3x – 4

Biderkadura nabarmenak

Horrela esaten zaie honako berdintza hauei:

I. (a + b)2 = a 2 + b 2 + 2ab baturaren karratua II. (a – b)2 = a 2 + b 2 – 2ab kenduraren karratua III. (a + b) · (a – b) = a 2 – b 2 batura bider kendura

Ezagutzen zenituen berdintza horiek, baina sarri erabiliko dituzu; ondorioz, beharrezkoa da trebetasunez erabiltzea.Adibidez:

(5x – 3)2 = (5x)2 + 32 – 2 · 5x · 3 = 25x 2 + 9 – 30x(4x – 3) · (4x + 3) = (4x)2 – 32 = 16x 2 – 9

Polinomioak batzeko eta kentzeko laguntza.

Webgunean

Polinomioaren maila, gaiak eta koefizienteak.

Webgunean

• Praktikatu polinomioak batuz.• Praktikatu polinomioak kenduz.

Webgunean • Praktikatu polinomioak biderkatuz.• Praktikatu identitate nabarmenekin.

Webgunean

Polinomioak biderkatzeko laguntza.Webgunean

Identitate nabarmenak erabiltzeko laguntza.

Webgunean

Identitate nabarmenen justifikazio geometrikoa.

Webgunean

Iradokizunak•Polinomioakbatzeaedomonomiobatenbiderkadurabiderpolinomiobatedobipolinomioegitea,azkenbatean,monomioekinlanegiteada.Akatsaksaihestekobehardengauzabakarraondoantolatzeabainoezda.Horidelaeta,komenigarriairudituzaigupolinomioakbatabestea-renazpianjartzea;horrela,antzekomonomioaktaldekaegonik,erraza-golaburtukoditugu.Irakasleakerabakikoduzeinunetankomenidenpolinomioaklerrobakarbateanidazteaetaadierazitakoeragiketakmo-dukontsekutiboanegitea.

•Aurrekoikasturteanidentitatenabarmenakikusibazituztenere,mailahonetanikasleaskokezdituzteoraindikondoerabiltzen,etaakatsugarieginohidituzte.Horrenbestez,binomioenbiderkaduragisadutengara-penajustifikatzeazgain,komenidahainbatadibiderekinlanegitea,pro-zesuaautomatizatuarte.

Indartu eta sakondu•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko2.koadernotik:

Indartzeko:4.orrialdeko1.,2.eta3.ariketak.

Sakontzeko:5.orrialdeko4.eta5.ariketak.

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofotoko-piatzekomaterialetik:

Indartzeko:Afitxako«Praktikatu»ataleko1.eta2.ariketak.Bfitxako«Praktikatu»ataleko1.ariketa.Afitxako«Aplikatu»ataleko1.,2.eta3.ariketak.

Sakontzeko:Bfitxako«Praktikatu»ataleko3.ariketa.Bfitxako«Aplikatu»ataleko1.,2.eta3.ariketak.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a)6.maila b)4.maila c)2.maila

2 P+Q=x4+5x3–2x2–1;P–Q=–x4+5x3+2x2–4x+3

3 a)2x3+6x2–2x.3.maila b)6x4–8x3+12x2.4.maila

c)6x3+2x.3.maila d)5x2+5x–5.2.maila

e)–14x7+21x6+7x5.7.maila f) –14x4+21x3–7x2.4.maila

g)12x2–20x3+4x5.5.maila h)8x4+24x2.4.maila

i) 3x4–2x5.5.maila j) –4x2–36x3+8x.3.maila

4 a)P·Q=20x4–12x3+43x2–9x+21

b)P·R=20x3–32x2+15x–24

c)Q·R=25x3–55x2+59x–56

5 a)3x3+19x2–x b) x y329

31 22– –

c)23x–12y–133 d)3x5–10x4+38x3+3x2–4x+20

6 a)x2+16+8x b)4x2+25–20x c)1+36x2–12x

d) ( )x x x x x4 16 4

3161 4 9 12

2 22+ + = + +

e)4x4+ ( )x x x41 2

41 16 1 8– –2 4 2= +

f) a2x2+b2+2abx

7 a)x2–1 b)4x2–9

c) x9 4

1–2

d)a2x2–b2

65

8988

Faktore komuna ateratzea

Honako adierazpen honetan

3x y + 6x 2z + 9x y z

x eta 3 batugai guztietan biderkatzen ari dira. Horien guztien faktore komunak dira. Kanpora atera ditzakegu, honela:

3x y + 6x 2z + 9x y z = 3x · y + 3x · 2x z + 3x · 3y z = 3x (y + 2x z + 3y z)

Eraldaketa horri faktore komuna ateratzea esaten zaio. Adierazpenak sinpli-fikatzeko eta geroago agertuko diren ekuazio batzuk ebazteko erabiltzen da.

Hartu kontuan azken adierazpenean parentesia kenduz gero, hasierakoa lortuko zenukeela berriz ere.

4 Identitateak

Azalpenak(1) Batura baten eta kendura baten

karratuak garatu dira.(2) Aurrean minus zeinua duen paren-

tesiak gai guztien zeinua aldatu beharra dakar.

(3) Gai antzekoak laburtzen dira.(4) 16 faktore komun ateratzen da.

Ez ahaztu

Batugai bat faktore komunarekin bat datorrenean, hartu kontuan 1ekin biderkatzen ari dela.

x y + x 2 + x = x ( y + x + 1)

4. Atera faktore komuna honako adierazpen hauetako bakoitzean:a) 5x 2 – 15x 3 + 25x 4

b) x x3 9 15

1––4

c) 2x 3y 5 – 3x 2y 4 + 2 x 7y 2 + 7x 3y 3

d) 2x 2y – 5x 3y (2y – 3)

e) 2(x – 3) + 3(x – 3) – 5(x – 3)

f ) 2x y 2 – 6x 2y 3 + 4x y 3

g) ( )x2

3–2( y – 1) – 2

7 ( y – 1)

h) ( )x3

2 134–

2 2+ (2x 2 + 1)

5. Adierazi adierazpen aljebraiko baten karratu edo bi adierazpenen arteko biderkadura eran.a) 4x 2 – 25 b) x 2 + 16 + 8xc) x 2 + 2x + 1 d) 9x 2 + 6x + 1

e) 4x 2 + 25 – 20x f ) x42

+ x + 1

g) 144(x 2)2 – x 2 h) ( ) xx 125 5 4

33 2+ +

i) 16x 4 – 9 j) x x 64100 586 3

+ +

6. Osatu honako berdintza hauek identitate izan daitezen:a) x 2 – … + 1 = (x – …)2

b) 4x 2 + … + 36 = (… + 6)2

c) 9x 2 – … = (3x + …)(… – 5)

d) 41 x 2 + x + … = (x + …)2

7. Sinplifikatu honako adierazpen hauek:a) (x – 2)(x + 2) – (x 2 + 4)b) (3x – 1)2 – (3x + 1)2

c) 2(x – 5)2 – (2x 2 + 3x + 50)d) (5x – 4)(2x + 3) – 5e) 3(x 2 + 5) – (x 2 + 40)f ) (x + 3)2 – [x 2 + (x – 3)2 ]

8. Elkartu ezkerreko adierazpenetako bakoitza es-kuinean horretatik atera daitekeen faktore komunarekin:

12x 3 – 8x 5 + 4x 2y 2 – 34 x 2 2(x – 2)

(x 2 – 1) + (x 2 – 2x + 1) – (4x – 4) 3x6(x 2 – 4x + 4) – (2x 2 – 8) + (30x – 60) x – 19x 2 – 18xy 2 – 6xyz + 6x 4x 2

Lortu adierazpen sinplifikatuak faktoreak atera ondoren.

9. Biderkatu eta sinplifikatu emaitzak.

a) x xx x 32 4 8 4 4

1– ––+ bider 8

b) x xx x 12 49

2 33

19–– –+ ++ bider 9

c) ( )( ) x xx 1 582 4

2– –– 2 + bider 8

d) ( ) ( )x x x4

3 22

3 56

5 4 11225–+ + + ++ bider 12

e) x xx 79

4 7 114

1 366

–– – + + ++ c m bider 36

f ) ( )( ) x xx 951

52

4 23– –2 22 + ++ + bider 20

Pentsatu eta egin

2x + 5x = 7x berdintza identitatea da x-ren balioa edozein izanda ere egia denez gero.

Identitate asko ezagutzen dituzu. Hona hemen halako batzuk:

a m · an = a m + n

a · (x + y ) = a · x + a · y

a – (b + c) = a – b – c

Biderkadura nabarmen esaten zaienak ere identitateak dira.

Horiek guztiak ezaugarri aritmetikoen ondorio edo horien itzulpen sinple dira.

Identitatea parte hartzen duten letren edozein baliotarako egia den berdintza aljebraikoa da.

Identitateen erabilgarritasuna

Identitateak honetarako erabiltzen dira: adierazpen aljebraikoa erabiltzen erosoago izango den beste adierazpen aljebraiko bat bihurtzeko. Adibidez:

(x + 5)2 – (x – 3)2 =(1)(x 2 + 25 + 10x) – (x 2 + 9 – 6x) =(2)

= x 2 + 25 + 10x – x 2 – 9 + 6x =(3)

= 16x + 16 =(4) 16(x + 1)

Lau berdintzetako bakoitza identitatea da.

Azken adierazpena, 16(x + 1), jatorrizko baino sinpleagoa da eta errazago era-bil daiteke, baina berdin-berdinak dira. Horregatik, lehenengo adierazpenaren ordez azkena erabil dezakegu eta aldaketa onuragarria da.

1. Honako berdintza hauetako zein dira identi-tate?

a) a + a + a = 3a b) 3a + 15 = 3 · (a + 5)

c) x 2 · x = 27 d) a + a + a = 15

e) x · x · x = x 3 f ) a + 5 + a = 2a + 5

g) (2x – 3) · (2x + 3) = 4x – 9

h) m 2 – m – 6 = (m + 2) · (m – 3)

2. Ahalik eta erarik laburrenean, osatu honako berdintza hauetako bigarren gaia identitate izan daitezen:

a) ·· · · ·

a aa a a a a = [?] b) 5a – 4 + a – a a

a a a·

· · = [?]

c) a · b + a · c + a · b = [?]

d) (1 – b) · (1 + b) + b 2 + a – 1 = [?]

3. Honako adierazpen hauetatik hasita, iritsi adierazten diren emaitzetara identitateen bidez:

a) (x + 3)2 – (x 2 + x + 6) → 5x + 3

b) (x + 2) · (x + 6) – (x + 2) · (x + 5) → x + 2

c) (x 2 + 1) · (x + 1) · (x – 1) → x 4 – 1

d) (x 2 – 1) – (x – 1)2 → 2(x – 1)

e) (a + b)2 – (a – b)2 → 4ab

Pentsatu eta egin

Faktore komuna ateratzeko laguntza.Webgunean

Indartu faktore komuna ateratzeko prozedura.Webgunean

Iradokizunak•Identitatea,partehartzendutenletrenedozeinbaliotarakoegiadenberdintzagisa,kontzeptuintuitiboaetaulertzekoerrazadaikasleentzat.Irakasleakbeharrezkotzatjotzenbadu,kontzeptuhorietahurrengouni-tateanikasikoduguninfinitusoluziodituenekuazioalotuditzake.

•Ikasleekidentitatenabarmenakerrazerabilditzaten,etaprozesuhauosatudadin,beharrezkoadaaurkakopausoaematea:binomiobatenkarratuaedomonomioenkarratuenkenduradirenadierazpenakidenti-fikatzea,etahoriekguztiakberehorretanadieraztea.

•Zenbaitikaslekzailtasunakizatendituztefaktorekomunaateratzekoprozeduraulertzekoetaaplikatzeko.Zailtasunhoriekhonakohauekizandaitezke:ateradaitezkeenfaktoreaedofaktoreakantzematea,prozesuhonekdituenmonomioakzatitzeaetazatiduraunitateadeneanparente-sibarruanzergaijarribehardenjakitea.Lehenkasuetan,osoeraginko-rradaikasleeieskatzeabiadierazpenenartekoberdintzakegiaztatzea.

•Osogarrantzitsuadaikasleakhonakoazohartaraztea:identitateakzuzenerabiltzeaekuazioak,ekuazio-sistemakedobesteprozesualjebraikobatzukebaztekomodueraginkorrada.Horidelaeta,zenbaitariketaproposatukoditugu;horietan,eragiketakegindakoan,osogarrantzitsuaizangodalortutakoemaitzasinplifikatzea.

Indartu eta sakonduHonakohauekgomendatzendira:

•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko2.koadernotik:

Indartzeko:6.orrialdeko1.eta2.ariketak.

Sakontzeko:6.orrialdeko3.ariketa.

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofotoko-piatzekomaterialetik:

Indartzeko:Afitxako«Praktikatu»ataleko2.ariketa.Bfitxako«Praktikatu»ataleko2.ariketa.

Sakontzeko: A fitxako «Praktikatu» ataleko 4. ariketa. B fitxako«Praktikatu»ataleko2.3.eta4.ariketak.

Lankidetzan ikasi Eragiketaaljebraikokindartzerabideratutakoorrialdehauetarako,honakometodologiahauiradokitzendugu:

•Ikasleaktaldetxikitanjarrikodira(bikoedohirukotaldeak).

•Zenbaitadierazpenebatzikodituzte,banaka;gero,prozesuaketaso-luzioakegiaztatukodituzte.

•Desadostasunikbadago,akatsakadierazibeharkodituzte.Zalantzakar-gitzekogaiezbadiraedoadosjartzenezbadira,irakasleakpartehar-tukodu.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 Identitateakdiraa),b),e),f)etah).

2 a)a3 b)5a–4 c)2ab+ac d)a

3 Ikasleekemaitzakegiaztatukodituzte.

OHARRAK

66

8988

Faktore komuna ateratzea

Honako adierazpen honetan

3x y + 6x 2z + 9x y z

x eta 3 batugai guztietan biderkatzen ari dira. Horien guztien faktore komunak dira. Kanpora atera ditzakegu, honela:

3x y + 6x 2z + 9x y z = 3x · y + 3x · 2x z + 3x · 3y z = 3x (y + 2x z + 3y z)

Eraldaketa horri faktore komuna ateratzea esaten zaio. Adierazpenak sinpli-fikatzeko eta geroago agertuko diren ekuazio batzuk ebazteko erabiltzen da.

Hartu kontuan azken adierazpenean parentesia kenduz gero, hasierakoa lortuko zenukeela berriz ere.

4 Identitateak

Azalpenak(1) Batura baten eta kendura baten

karratuak garatu dira.(2) Aurrean minus zeinua duen paren-

tesiak gai guztien zeinua aldatu beharra dakar.

(3) Gai antzekoak laburtzen dira.(4) 16 faktore komun ateratzen da.

Ez ahaztu

Batugai bat faktore komunarekin bat datorrenean, hartu kontuan 1ekin biderkatzen ari dela.

x y + x 2 + x = x ( y + x + 1)

4. Atera faktore komuna honako adierazpen hauetako bakoitzean:a) 5x 2 – 15x 3 + 25x 4

b) x x3 9 15

1––4

c) 2x 3y 5 – 3x 2y 4 + 2 x 7y 2 + 7x 3y 3

d) 2x 2y – 5x 3y (2y – 3)

e) 2(x – 3) + 3(x – 3) – 5(x – 3)

f ) 2x y 2 – 6x 2y 3 + 4x y 3

g) ( )x2

3–2( y – 1) – 2

7 ( y – 1)

h) ( )x3

2 134–

2 2+ (2x 2 + 1)

5. Adierazi adierazpen aljebraiko baten karratu edo bi adierazpenen arteko biderkadura eran.a) 4x 2 – 25 b) x 2 + 16 + 8xc) x 2 + 2x + 1 d) 9x 2 + 6x + 1

e) 4x 2 + 25 – 20x f ) x42

+ x + 1

g) 144(x 2)2 – x 2 h) ( ) xx 125 5 4

33 2+ +

i) 16x 4 – 9 j) x x 64100 586 3

+ +

6. Osatu honako berdintza hauek identitate izan daitezen:a) x 2 – … + 1 = (x – …)2

b) 4x 2 + … + 36 = (… + 6)2

c) 9x 2 – … = (3x + …)(… – 5)

d) 41 x 2 + x + … = (x + …)2

7. Sinplifikatu honako adierazpen hauek:a) (x – 2)(x + 2) – (x 2 + 4)b) (3x – 1)2 – (3x + 1)2

c) 2(x – 5)2 – (2x 2 + 3x + 50)d) (5x – 4)(2x + 3) – 5e) 3(x 2 + 5) – (x 2 + 40)f ) (x + 3)2 – [x 2 + (x – 3)2 ]

8. Elkartu ezkerreko adierazpenetako bakoitza es-kuinean horretatik atera daitekeen faktore komunarekin:

12x 3 – 8x 5 + 4x 2y 2 – 34 x 2 2(x – 2)

(x 2 – 1) + (x 2 – 2x + 1) – (4x – 4) 3x6(x 2 – 4x + 4) – (2x 2 – 8) + (30x – 60) x – 19x 2 – 18xy 2 – 6xyz + 6x 4x 2

Lortu adierazpen sinplifikatuak faktoreak atera ondoren.

9. Biderkatu eta sinplifikatu emaitzak.

a) x xx x 32 4 8 4 4

1– ––+ bider 8

b) x xx x 12 49

2 33

19–– –+ ++ bider 9

c) ( )( ) x xx 1 582 4

2– –– 2 + bider 8

d) ( ) ( )x x x4

3 22

3 56

5 4 11225–+ + + ++ bider 12

e) x xx 79

4 7 114

1 366

–– – + + ++ c m bider 36

f ) ( )( ) x xx 951

52

4 23– –2 22 + ++ + bider 20

Pentsatu eta egin

2x + 5x = 7x berdintza identitatea da x-ren balioa edozein izanda ere egia denez gero.

Identitate asko ezagutzen dituzu. Hona hemen halako batzuk:

a m · an = a m + n

a · (x + y ) = a · x + a · y

a – (b + c) = a – b – c

Biderkadura nabarmen esaten zaienak ere identitateak dira.

Horiek guztiak ezaugarri aritmetikoen ondorio edo horien itzulpen sinple dira.

Identitatea parte hartzen duten letren edozein baliotarako egia den berdintza aljebraikoa da.

Identitateen erabilgarritasuna

Identitateak honetarako erabiltzen dira: adierazpen aljebraikoa erabiltzen erosoago izango den beste adierazpen aljebraiko bat bihurtzeko. Adibidez:

(x + 5)2 – (x – 3)2 =(1)(x 2 + 25 + 10x) – (x 2 + 9 – 6x) =(2)

= x 2 + 25 + 10x – x 2 – 9 + 6x =(3)

= 16x + 16 =(4) 16(x + 1)

Lau berdintzetako bakoitza identitatea da.

Azken adierazpena, 16(x + 1), jatorrizko baino sinpleagoa da eta errazago era-bil daiteke, baina berdin-berdinak dira. Horregatik, lehenengo adierazpenaren ordez azkena erabil dezakegu eta aldaketa onuragarria da.

1. Honako berdintza hauetako zein dira identi-tate?

a) a + a + a = 3a b) 3a + 15 = 3 · (a + 5)

c) x 2 · x = 27 d) a + a + a = 15

e) x · x · x = x 3 f ) a + 5 + a = 2a + 5

g) (2x – 3) · (2x + 3) = 4x – 9

h) m 2 – m – 6 = (m + 2) · (m – 3)

2. Ahalik eta erarik laburrenean, osatu honako berdintza hauetako bigarren gaia identitate izan daitezen:

a) ·· · · ·

a aa a a a a = [?] b) 5a – 4 + a – a a

a a a·

· · = [?]

c) a · b + a · c + a · b = [?]

d) (1 – b) · (1 + b) + b 2 + a – 1 = [?]

3. Honako adierazpen hauetatik hasita, iritsi adierazten diren emaitzetara identitateen bidez:

a) (x + 3)2 – (x 2 + x + 6) → 5x + 3

b) (x + 2) · (x + 6) – (x + 2) · (x + 5) → x + 2

c) (x 2 + 1) · (x + 1) · (x – 1) → x 4 – 1

d) (x 2 – 1) – (x – 1)2 → 2(x – 1)

e) (a + b)2 – (a – b)2 → 4ab

Pentsatu eta egin

Faktore komuna ateratzeko laguntza.Webgunean

Indartu faktore komuna ateratzeko prozedura.Webgunean

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

4 a)5x2(1–3x+5x2)

b) x x31

3 51– –4e o

c)x2y2(2xy3–3y2+2x5+7xy)

d)x2y(2–10xy+15x)

e)0

f) 2xy2(1–3xy+2y)

g)(y–1) ( )x y x

23 7

12

5– –

– –2 2

=f fp p

h) ( ) ( )x x31

2 1 2 3–2 2+

5 a)(2x+5)(2x–5) b)(x+4)2

c) (x+1)2 d)(3x+1)2

e)(2x–5)2 f) x2

12

+c m

g)(12x2–x)·(12x2+x) h) x5 2

13 2

+f p

i) (4x2–3)·(4x2+3) j) x10

83 2

+f p

6 a)x2–2x+1=(x–1)2

b)4x2+24x+36=(2x+6)2

c)9x2–25=(3x+5)·(3x–5)

d) x x x x41 1 1

21–2

2

+ + = +f e op

7 a)–8 b)–12x

c)–23x d)10x2+7x–17

e)2x2–25 f) 12x–x2

8 12x3–8x5+4x2y2– x x x x y34 4 3 2

31– –2 2 3 2= +e o

(x2–1)+(x2–2x+1)–(4x–4)=(x–1)(2x–4)

6(x2–4x+4)–(2x2–8)+(30x–60)=2(x–2)(2x+7)

9x2–18xy2–6xyz+6x=3x(3x–6y2–2yz+2)

9 a)x–2 b)2x–10

c)–20x–24 d)–13x+63

e)–13x+821 f) 9x2+76x+155

OHARRAK

67

9190

Polinomioak zatitzea

Polinomioak zenbaki arruntak bezala zatitzen dira: bi polinomioren arteko zatiketa eginez gero, zatidura eta hondarra ateratzen dira.Adibidez, P (x) = 7x 4 – 11x 3 – 94x + 7 zati Q (x) = x – 3:

7x 4 – 11x 3 – 94x + 7 x – 3– 7x 4 + 21x 3 7x 3 + 10x 2 + 30x – 4

10x 3

– 10x 3 + 30x 2 (7x 4) : x = 7x 3

30x 2 (10x 3) : x = 10x 2

– 30x 2 + 90x (30x 2) : x = 30x– 4x (– 4x) : x = – 4+ 4x – 12

– 5

•Zatidura C (x) = 7x 3 + 10x 2 + 30x – 4 da. Maila P (x) eta Q (x)-ren mailen arteko kendura da.

•Hondarra R (x) = –5 da. Maila zatitzailearena baino txikiago da.P (x), Q (x), C (x) eta R (x)-ren arteko erlazioa zatiketa osokoa bera da:

P (x) = Q (x) · C (x) + R (x)R (x) = 0 denean, zatiketa zehatza da eta P (x) = Q (x) · C (x) betetzen da. Orduan P (x) zatigarri dela Q (x)-rekin esaten dugu.

Ruffiniren erregela

Aurreko zatiketa, era sintetikoan, honela egin daiteke:

3 21 30 90 –12

7 –11 0 –94 7

7 –5

1 7 9

3 · 10

3 · 303 · (–

4)

–11 + 21

3 · 70 + 30 –94 + 90

HONDARRA

7 – 12

3 5

4

2

6 8

10 30 –4

zatidura: 7 10 30 – 4 → esan nahi du: 7x 3 + 10x 2 + 30x – 4hondarra: –5

Berdez zenbakitutako pausoak goiko zatiketan ematen direnak dira.Koefizienteek soilik parte hartzen duten eta benetan garrantzia duten eragiketak soilik egiten diren metodoari Ruffiniren erregela esaten zaio.

Ruffiniren erregelak polinomio bat x – a-rekin zatitzeko balio du. Eragiketak, (batuketak eta biderketak a-rekin) bana-banaka egiten dira. Horrela, zatiduraren koefizienteak eta zatiketaren hondarra lortzen dira.

5 Polinomioen zatidura

Faktorizazioa

Polinomioen arteko zatiketaren aplikaziorik garrantzitsuenetako bat polinomioa faktoreen biderkaduran deskonposatzea da; polinomioaren faktorizazio esaten zaio horri. Prozesu horretan, Ruffiniren erregela guztiz erabilgarri da.

Prozesuaren deskripzioa

1. Zatikizunean, falta diren gaieta-rako hutsuneak uzten dira.

2. Zatikizuneko lehenengo gaia zati-tzaileko lehenengo gaiarekin zati-tzen da:

(7x 4) : x = 7x 3. Hori da zatidu-rako lehenengo gaia.

3. 7x 3 eta Q (x)-ren arteko biderka-dura, zeinua aldatuta, zatikizuna-ren azpian jarri eta batu egiten da.

4. Lehenengo kendura 10x 3 – 94x + 7.Hortik aurrera, 2. eta 3. pausoetan bezala jokatuko dugu berriz ere.Prozesuak aurrera jarraituko du lor-tzen den kendura partziala Q (x)-ren maila baino handiago edo pareko den artean.

1. Kalkulatu zatiketa hauetako zatidura eta hondarra:a) (x 5 – 7x 4 + 3x 2 – 8) : (x 2 – 3x + 1)b) (6x 4 + 3x 3 – 2x) : (3x 2 + 2)c) (5x 4 + 6x 2 – 11x + 13) : (x – 2) Ruffiniren erregelaz.

2. Bihurtu polinomioak faktoreen biderkadura:

a) P (x) = x 3 – 7x – 6 b) P (x) = x 4 + 3x 2 – 4x

c) P (x) = x 3 – 3x + 2 d) P (x) = x 4 – x 2

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatziak

1. Honako polinomio hau:

P(x) = 6x4 + 8x 2 + 7x + 40

zati Q(x) = 2x 2 – 4x + 5 egitea.

oharra: Zatiketa horretan, ezin daiteke Ruffiniren erregela era-bili, zatitzailea ez delako x – a motakoa, maila 2 duen polino-mioa baino.

6x 4 + 8x 2 + 7x + 40 2x 2 – 4x + 5– 6x 4 + 12x 3 – 15x 2 3x 2 + 6x + 17/2

12x 3 – 7x 2

– 12x 3 + 24x 2 – 30x (6x 4) : (2x 2) = 3x 2

17x 2 – 23x (12x 3) : (2x 2) = 6x– 17x 2 + 34x – 85/2 (17x 2) : (2x 2) = 17/2

11x – 5/2

Zatidura C (x) = 3x 2 + 6x + 217 da, eta hondarra, R (x) = 11x – 2

5 .

2. Honako polinomio hau:

P(x) = x 3 – 13x + 12

zati Q(x) = x – 1 egitea.

P(x) zatigarri al da Q(x) -rekin?

Koefizienteak lerroan jarriko ditugu, kontuan hartuz x 2-n gaia falta dela; ondo-rioz, 0 jarriko dugu dagokion tokian.

1 0 –13 121 1 1 –12

1 1 –12 0

zatidura: 1 1 –12, honi dagokio: x 2 + x – 12 hondarra: 0Ondorioz, P (x) = (x – 1) (x 2 + x – 12).Hondarra 0 denez, P (x) polinomioa Q (x)-rekin zatigarri dela esan dezakegu.

3. Ruffiniren erregelaren lagun- tzaz, honako polinomio hau faktoreen biderkadura bihurtzea:

P(x) = x 3 – 4x 2 + x + 6

Zeuk egin. Erabili Ruffiniren erregela honako polinomio hau faktoreen biderkadura bihur-tzeko (lehenengo, atera x faktore komun):

P (x) = x 4 – x 3 – 4x 2 + 4x

Erregela garrantzitsua. Polinomioaren koefizienteak zenbaki osoak izanez gero, polinomioaren erroak gai askearen, x ez daramanaren, zatitzaile (positibo edo negatibo) dira. (Erregela hori hurrengo ikasturtean justifikatuko da).Honako polinomio honetan, x 3 – 4x 2 + x + 6, gai askea 6 da. Zatitzaileak 1, –1, 2, –2, 3, –3, 6 eta – 6 dira. Soilenekin probatzen hasiko gara:

1 – 4 1 61 1 –3 –2

1 – 3 –2 4

1 ez da erro.

1 – 4 1 6–1 – 1 5 – 6

1 – 5 6 0

–1 bada erro.

Ondorioz, zatiketa zehatza da eta P (x) = (x + 1) · (x 2 – 5x + 6) betetzen da.Orain, x 2 – 5x + 6-ren zatitzaileen bila joko dugu. –1ekin proba egin eta orain erro ez dela egiaztatu dugu. Gero, 2rekin probatu eta erro badela ikusi dugu.

1 –5 62 2 – 6

1 –3 0Orduan, (x 2 – 5x + 6) = (x – 2) (x – 3) Ondorioz, P (x) = (x + 1) (x 2 – 5x + 6) = (x + 1) (x – 2) (x – 3). Hori da hasie-rako polinomioaren faktore-deskonposizioa.

7 –11 0 –94 73 21 30 90 –12

7 10 30 – 4 –5zatiduraren

koefizienteakhondarra

Iradokizunak•Aurrekoataletan,monomioenetapolinomioenartekobaturaetabi-derkaduraikasiditugu,baitazenbaitaplikazioerabilgarriere,halanolaidentitatenabarmenaketafaktorekomunaateratzea.Oraingoan,baina,polinomioenzatiduraikusikodugu;kontzeptuhorizenbakiarruntenzati-duraosoalortzearekinlotukodugu.

•Polinomioakzatitzeko,eragiketahauekeginbeharditugu,elkarrenja-rraian:bimonomioenartekozatiketa,monomiobatenbiderkadurabi-derpolinomiobategitea,etapolinomioenkenketa.

Prozesuhoriorrialdearenmarjinanagerida,etabeharbestealdizerre-pikatukoda.Zailtasunikhandienaprozesuamoduordenatuetasistema-tikobateanegiteandatza.

•Komenidaikasleekadibideebatzianematendirenurratseijarraitzea:faltadirengaienhutsuneauztea;zatiketakidazteazatidurarengaiaklor-tzeko,etabiderketakbiderzatitzaileaegitea,ondorenkenketaegiteko,etabiderkadurarengaietakobakoitzadagokionlekuankokatzeko.

•Aukeratudugunadibideak,x–aitxurakozatitzailearekin,aukeraeman-godigu zatiketa bera erabiltzekoRuffiniren erregela aurkezteko.Erregelahori,aplikatudaitekeenkasuetan,osoeraginkorrada,etaosoerabilgarriapolinomiobatfaktoreenbiderkadurabihurtzeko.

•IkasleekargiulertubeharduteohikozatiketarenetaRuffinierregelaera-bilizegindakozatiketarenarteanparalelismohandiadagoela;bestela,azkenhorizentzurikgabekoautomatismobihurdaitekehaientzat.

Erregelahorierrazikasetabarneratudaitekeenarren,ikasleekargiizanbehardutezatitzaileax–amotatakoadeneansoilikaplikadaitekeela,etahondarrabetidelazenbakibat.

Adibideebatzietanideiahoriazpimarratzenda.

•MailahonetanezdituguRuffinirenerregelarenaplikazioaksakonazter-tu,eztapolinomioenfaktorizazioaere.Izanere,horiguztiahurrengoikasturteanikasikodugu.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a)Zatidura:x3–4x2–13x–32;Hondarra:–83x+24

b)Zatidura:2x2+x–34 ;Hondarra:–4x+

38

c)Zatidura:5x3+10x2+26x+41;Hondarra:95

2 a)(x+2)(x–3)(x+1)

b)x(x–1)(x2+x+4)

c) (x+2)(x–1)2

d)x2(x+1)(x–1)

OHARRAK

68

9392

Biderkatzea

Bi zatiki aljebraikoren biderkadura horien izendatzaileen biderkadura zati izen-datzaileen biderkadura da.

Adibidez: ·( ) ·

· ( )xxx x

xx xx x

xx x2

35 1

32 5 1

310 2

– – – 22 2 32

= =+ + +

Zatitzea

Bi zatiki aljebraikoren zatidura lehenengoa bider bigarrenaren alderantzizkoa da (gaien biderkadura gurutzatua).

Adibidez: : · ( )x

xxx x x

x x3 25

32

55 5

3 2 3 6= + = =++ +

Zatiki aljebraiko esaten zaio bi polinomioren zatidura adieraziari.

Adibidez: , ,x

xx x x

x3 5 1

16 3

3 1– –2 2+ +

+

Zatiki aljebraikoak eta zenbakizko zatikiak guztiz antzeko eran portatzen dira, ondoren ikusiko dugunez.

Sinplifikatzea

Zatikia sinplifikatzeko zenbakitzailea eta izendatzailea bien faktore komun batekin edo hainbatekin zatitzen dira. Horrela, baliokide den beste zatiki bat lortzen da.

Adibidez: ( )

( )( )

( )( )x xx x

x x xx x x

xx

6 13 1

3 2 13 1 1

21

· · · ·2

2

++ =

++ + = +

Izendatzaile komunera laburtzea

Hainbat zatiki izendatzaile komunera laburtzeko, zatikietako bakoitzaren ordez baliokidea jartzen da, guztiek izendatzaile bera izan dezaten. Azken hori izenda-tzaile guztien multiplo izango da.

x3 , x 2

5– Izendatzaile komuna: x · (x – 2)

↓ ↓

( )( )

x xx

23 2

· –· – ,

( ) ··

x xx

25–

Hartu kontuan zatiki bakoitzean zenbakitzailea eta izendatzailea faktore egokiarekin biderkatu dela nahi den izendatzaile komuna lortzeko.

Batzea eta kentzea

Zatiki aljebraikoen arteko batuketak edo kenketak egiteko, izendatzaile komu-nera laburtzen dira eta zenbakitzaileak batu edo kendu egiten dira, izendatzaile komuna utzita.

Adibidez: ( )( )

( ) ( )x x x xx

x xx

x xx x

x xx3

25

23 2

25

23 6 5

28 6

– ––

– ––

––

2+ = + = + =

6 Zatiki aljebraikoak

Kontuz

Izendatzaile komuna duten zatiki aljebraikoak batzeko (edo kentzeko) zenbakitzaileak batu eta izendatzaile komuna gordetzen da.

x xxx x

1 113 2– –+ + + =+

( )x

x xx1

3 21

5– –= ++ = +

Definizioa

Zatiki aljebraikoaren alderantzizko esaten zaio zenbakitzailea eta izenda-tzailea trukatuz lortzen denari.

x 25+ zatikiaren alderantzizkoa

x 25+ da.

1. Sinplifikatu honako zatiki hauek. Horreta-rako, atera faktore komuna komeni denean:

a) ( )x x

x5 3

15–2

2 b) ( )

( )xx

3 19 1

––

2

c) x xx x

3 915 3

––

2 3

3 4 d)

( )( ) ( )

xx x

2 19 1 3 1–

++ +

e) ( ) ( )( )

x x xx x

5 3 315 3

––

2 2 + f ) ( )( )

x xx x x

3 13

––

3

3 2

2. Eragin eta sinplifikatu.

a) x x xx

232 2–+ +

b) x x xxx x

13 42 8– –2

2

+ ++

c) x x

x9

323

7–

– –2 +

d) x xx xx

x x3 25 15

510 15–

3 2

2

3 2

+ ++ +

3. Egin honako eragiketa hauek eta sinplifikatu. Hartu kontuan identitate nabarmenak:

a) : ( )x xx 11 ––2 b) :( )

x xxx x

22 4–– 2

+

c) :x xx x x 12 1 ––2 + d) ·x

xx6 3–2

3

e) · ( )x

xx

x x3 311–

–2 2+ f ) :x

xx

x1

22 2

4– –

2

g) ·( )

xx10

55

52

++

h) ·x xx x

3 42 6

32

i) ·xx

xx

24 3

8 64–

–2

j) ·( )x

xx

x3 318 1

3––2

4. Eragin eta sinplifikatu.

a) : xx

xx

xx

2 35

2 35

4 96

––22

+ +c m

b) ( )( )x

xx x

x x5 25 5

11 5 25

– –– –22

23 2

++

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatzia

Eragitea.

a) xx

x x2 32 3

3 5 7– –++

+

b) x

xx

x52

24 –+ +

c) x x

x3 32 + +

d) x

xx1

31

2–

–+

a) ( )xx

xx

xx x

xx

2 33 5

2 37

2 33 5 7

2 32 12– – – –

++

+ = ++ = +

+

b) ( )x

xx

xx

xx

xx

x xx

x52

22

2 5 42

22

10 8 22

11 64 – – –+ + = + + = + + = +

c) ·( )

x x xx xx

x xx x x x x x3 3 3 3 3 3 3 3

2 2 22

2 2= = =+ + + + + + + +

d) ( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

xx

x x xx x

x xx

x xx x x

13

12

1 11 3

1 11 2

1 13 3 2 2

– ––

· ––

– ·–

– –2

+ =++

+=

++ =

x

x x1

3 2–2

2= + +

Ariketa ebatzia

Eragitea.

a) ·x

xx

2 71

3–+

b) :x x

x3

51– 2 +

c) · :x x

xx

x31

5 3 5 3–+ +c m

a) ( )

( )x

xx x x

xx xx2 7

13

13 2 7 6 21– · – –

2+ =+

=+

b) :( )( )

x xx

x xx

x xx

x xx

35

1 35 1

35 1 5 5

3– – ·– –2

2 2

2

2

+= + = + = +

c) : ·· ·xx

xx

xx x xx x

x3

15 3 5 3

5 33

15 3

13

– – –+ +

+ == +c m

Zatiki aljebraikoak sinplifikatzeko laguntza.

Webgunean

Zatiki aljebraikoak biderkatzeko eta zatitzeko laguntza.

Webgunean

Zatiki aljebraikoen arteko batuketak eta kenketak egiteko laguntza.Webgunean

Iradokizunak•Epigrafehonetan,mailahonetakoikasleekerabilibeharkodutentresna-rikzailenetakobataurkeztukodugu:zatikialjebraikoak.Kontzeptuaberaaurkezteazgain,harenerabilerariereheldukodiogu.Datorrenikastur-teanosatukoduguedukihau.

•Argidagozailtasunaezdelakontzeptuabera,harekinegitendirenera-giketakbaino.Orrialdearenhasieranzatikialjebraikoakzenbakizkozati-kienantzekoakdirelaesatendenarren,badakiguzatikialjebraikobatsinplifikatzekoezinbestekoadelapolinomiobatfaktoreenbiderkadurabihurtzekoteknikakezagutzea(faktorekomunaateratzea,identitateakidentifikatzea,Ruffinirenerregelaaplikatzea).

•Hasteko,ariketaerrazakegingoditugu,faktorekomunaateratzekoauke-raematendutenak.Ikasleeiesangodiegufaktorekomunakzenbatzai-leanetaizendatzaileansinplifikatubehardirela.Gero,bestemotabatekoariketakegingoditugu,hainzuzenere,izendatzaileanetazenbatzaileanidentitatenabarmenakdituztenak,eta,behinbiderkaduragisaadierazi-ta,sinplifikatzekoaukeraematendutenak.Ondoren,biteknikahoriekbateraerabiltzekomodukoadierazpenakdituztenariketakegingoditu-gu.Alabaina,mailahonetanezdabeharrezkoazatikiaksinplifikatzekoRuffinirenerregeladerrigorrezerabiltzeaeskatzendutenariketakegitea.

•Zatikiekineragiketakegiterakoan,kalkulukonplexuakaldebaterautzikoditugu.Adibideaz,batuketakegitean,izendatzaileenmktezindaitekeizan2.mailabainogehiagokopolinomioa.Zatiketaketabiderketakegi-tean,honakoanabarmendukodugu:izendatzaileanetazenbatzaileanegindakobiderketakadierazibehardirela,emaitzaemanbainolehenzatikiasinplifikadaitekeenikusteko.Horidazenbakizkozatikienkasua,zatikilaburtezingisaadierazibeharbaitira.

Indartu eta sakondu•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko2.koadernotik:

Indartzeko:7.orriadeko1.ariketa.1.ariketa,a),b),c)etad)atalak.8.eta9.orrialdeetako2.ariketakoa),b)etac).

Sakontzeko:8.eta9.orrialdeetako1.ariketakoe),f),g),h),i),j)etak)atalak,eta2.ariketakod),e),f)atalak.9.orrialdeko3.ariketa.

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofotoko-piatzekomaterialetik:

Sakontzeko:Bfitxako«Praktikatu»ataleko5.ariketa.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a)x 13–

b) x31–

c)( )x x

xx x

x51 3

53 1

––

––

2=

++

d)3

e)( ) ( )x x x x x

3

3 3

39– –2+

= f) 1

2 a)x

x2

2 3+ b)

xx x

14 6 5– – –2

+ c)

xx x

94 21 25

–– – –

2

2

d)x x

x x x xx

x x x5 15

25 75 15 453

5 15 3 9– – – –3 2

5 4 3 2 3 2

++

=+

+

3 a) xx 1+ b)1

c)x–1 d)( )

xx

xx6 3 6 18– –

=

e) x3 f) x

1

g)( )x x2 51

2 101

+=

+ h) x

1

i) x j)x21

4 a)103

b)51

69

Ariketak eta problemak

95

Ariketa eta problema ebatziak

94

Egin Hizkuntza aljebraikora itzultzea

1. Adierazi hizkuntza aljebraikoan ezezagun bakar batekin.a) Zenbaki bat bi halako gehi zenbakiaren karratua.b) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura.c) 3 handiago egin den zenbaki baten erdia.d) 3ren multiploetako bat ken 7.

2. Erabili bi ezezagun honako enuntziatu hauek hizkuntza aljebraikoan adierazteko:a) Zenbaki bat gehi beste baten karratuaren erdia.b) Bi zenbakiren kenduraren karratua.c) Aitaren eta horren semearen adinen batura duela

5 urte.

3. Elkartu honako adierazpen hauetako bakoitza A, B eta C triangeluen perimetroari eta azalerari :a) 12x b) 4x – 2 c) 4x + 6d) 4x + 12 e) x 2 + 3x f ) x 2 – x – 2

x 6

x + 3 2x

x – 2

x + 1

A B C

4. Adierazi era aljebraikoan zenbat diren honako laukizuzen hauen perimetroa eta azalera:

y y

x x – 1

y + 1

x

A B C

5. Adierazi hizkuntza aljebraikoan bi ezeza-gun erabiliz:a) Andrearen adina, 7 urte barru, Luziak izango

duena bi halako izango da.b) Olio-errota batean, 1 500 litro olio ontziratu dira

2,5 eta 5 litroko botilatan.c) Matematikako azterketa jakin batean, 4 pun-

tu ematen dituzte erantzun zuzen bakoitzeko eta 1 puntu kentzen dute errakuntza bakoitzeko. Kol-dok 60 puntu atera ditu.

d) Bi zenbakiren arteko kenduraren kuboa 8 da.

Monomioak eta polinomioak. Eragiketak

6. Adierazi zenbat den honako monomio hauen maila eta adierazi zein diren antzekoak:

a) –5xy b) (–7x)3 c) 8x d) (xy)2

e) 32 f ) 5

4 x 3 g) yx

53–

h) 21 x

7. Kalkulatu zenbat den aurreko ariketako mo-nomioen zenbakizko balioa x = –1 eta y = 3 izanik.

8. Egin.

a) 5x – x 2 + 7x 2 – 9x + 2

b) 2x + 7y – 3x + y – x 2

c) x 2y 2 – 3x 2y – 5xy 2 + x 2y + xy 2

9. Biderkatu honako monomio hauek:

a) (6x 2)(–3x) b) (2xy 2)(4x 2y )

c) x x43

213 3c cm m d) xy xz

4 21 3c cm m

10. Egin, laburtu eta adierazi zenbat den ate-ratzen den polinomioaren maila kasu bakoitzean:

a) x (x 2 – 5) – 3x 2(x + 2) – 7(x 2 + 1)

b) 5x 2(–3x + 1) – x (2x – 3x 2) – 2 · 3x

11. Hartu kontuan honako polinomio hauek:

A = 3x 3 – 5x 2 + x – 1

B = 2x 4 + x 3 – 2x + 4

C = – x 3 + 3x 2 – 7x

Kalkulatu: A + B; A – C; A – B + C

12. Saiatu ea –1, 1, 2, 3 zenbakiak honako polino-mio hauetako erro diren:

a) x 3 – 7x + 6

b) x 3 – 3x 2 + 4x – 12

c) x 3 – 3x 2 – x + 3

13. Eragin eta sinplifikatu.

a) (2x 2 + 3)(x – 1) – x (x – 2)

b) (x 2 – 5x + 3)(x 2 – x) – x (x 3 – 3)

c) x x135

61

22 + +c m(6x – 12)

1. Adierazpen aljebraikoak

Adierazi hizkuntza aljebraikoan.

a) Zati urdinaren azalera 140 cm2 da.

18 cm10 cm

x

b) Etxera joateagatik 20 € eta orduko 15  € gehi zergei dagokien % 21 kobratzen duen iturginaren faktura.

a) Azalera zenbat den kalkulatzeko, barruko laukizuzenaren azalera (18 × 10) kanpoko laukizuzenaren azalerari kenduko diogu; horren aldeen neurriak honako hauek dira, hurrenez hurren: 18 + 2x eta 10 + 2x, eta 140era berdinduko ditugu:(18 + 2x)(10 + 2x) – 18 · 10 = 180 + 36x + 20x + 4x 2 – 180 = 4x 2 + 56x4x 2 + 56x = 140 → Ekuazioa da.

b) Lanean egin diren orduak x izanez gero, faktura 20 + 15x izango da gehi zergei dagokien % 21:(20 + 15x) · 1,21 = 24,2 + 18,15x → Binomioa da.

Zeuk egin. Adierazi hizkuntza aljebraikoan zenbat litro ur gelditzen diren bete-rik zegoen eta, lehenengo, 1/3 eta, gero, gainerakoaren 1/5 atera den deposituan.

2. Biderketa bihurtzea

Honako polinomio hauek biderketa bihurtzea:

a) P(x) = x 3 + 2x 2 – 9x – 18

b) T(x) = x 4 – 2x 3 – 3x 2

Zeuk egin. Bihurtu biderketa.a) 180x 3 – 80x b) x 3 – 3x – 2

a) Ruffiniren erregela erabiliko dugu P (x)-ren zatitzaile bat aurkitzeko. P (x)-ren erroren bat bilatuko dugu horren gai askearen (–18) zatitzaileen artean:

Hondarra 0 denez, P (x) zatigarri da (x + 2)-rekin eta P (x) = (x + 2) (x 2 – 9) dela betetzen da.

1 2 –9 –18–2 –2 0 18

1 0 –9 0

Zatidura (x 2 – 9) karratuen arteko kendura da eta batura bider kendura eran adieraz dezakegu. Ondorioz:

P (x) = (x + 2)(x + 3)(x – 3)b) Faktore komuna aterako dugu x 2 → T (x) = x 2(x 2 – 2x – 3)

–3ren zatitzaileen artean, x 2 – 2x – 3-ren erroren baten bila joko dugu:x 2 – 2x – 3 polinomioa zatigarri da (x + 1)-ekin:

x 2 – 2x – 3 = (x + 1)(x – 3) Ondorioz: T (x) = x 4 – 2x 3 – 3x 2 = x 2(x + 1)(x – 3)

1 –2 –3–1 –1 3

1 –3 0

3. Zatiki aljebraikoak

Sinplifikatzea.

a) x x

x x4 4

3 12–2

3

+ +

b) xx

xx12

22

13

– –2+ +c m

Zeuk egin. Sinplifikatu.

a) x x

x x3 15

10 25–

–3 2

2 +

b) xxx 1 11– · 2+c cm m

a) Zenbakitzailea eta izendatzailea biderkadura bihurtuko ditugu. Horretarako, faktore komuna atera eta identitate nabarmenik dagoen begiratuko dugu:

( )( )

( )( )( )( ) ( )

xx x

x xx x x

xx x

23 4

2 23 2 2

23 2– – –

2

2

+=

+ ++ = +

b) Parentesiaren barruko eragiketa eta, gero, biderketa eta kenketa egingo ditugu, pausoz pauso sinplifikatuz:

( )xx

x x x xx

xx

x x1 3 22 1 1 3 2

2 1 1 3 22 1– – – – · – – ·

–2 2+ = = =c m

x x x16

2 16

6 2 16

7 2– – – –= + ==

Iradokizunak

•«Ariketaetaproblemaebatziak»izenekoorrialdean,ikasleekzenbaites-trategia,iradokizunetajarraibidetopatukodituzte;horrela,unitatearenamaierakoorrialdeetanageridirenariketakerrazagoebatzikodituzte.

•Horrekinguztiarekin,ikasleakgaiizangodiraantzekozenbaitegoeraproblematikoriaurreegiteko.

«Zeuk egin» atalaren soluzioak

1 x158

2 a)20x(3x+2)(3x–2) b)(x–2)(x+1)2

3 a)x

x3

5–2 b)

xx 1–

3

4

«Ariketa eta problemak» atalaren soluzioak

1 a)2x+x2 b)x(x+1) c)( )x

2

3+ d)3x–7

2 a)x+y

2

2

b)(x–y)2 c) (x–5)+(y–5)

3 a)12xdaBrenazalera. b)4x–2daCrenperimetroa.

c)4x+6daArenperimetroa. d)4x+12daBrenperimetroa.

e)x 2+3xdaArenazalera. f) x 2–x–2daCrenazalera.

4

A( )x y x y

xy

2 2 2Perimetroa

Azalera

= + = +

=*

B( )

( )

x y x y

x y xy y

2 1 2 2 2

1

Perimetroa – –

Azalera – –

= + = +

= =*

C( )

( )

x y x y

x y xy x

2 1 2 2 2

1

Perimetroa

Azalera

= + + = + +

= + = +*

5 a)x+7=2y b)2,5x+5y=1500

c)4x–y=60 d)(x–y)3=8

6 a)2b)3c)1d)4e)0f)3g)2h)1

Antzekoak:a)etag);b)etaf);c)etah)

7 a)15 b)343 c)–8 d)9

e)2/3 f) –4/5 g)9/5 h)–1/2

8 a)6x2–4x+2 b)–x2–x+8y

c)x2y2–2x2y–4xy2

9 a)–18x3 b)8x3y3 c)83 x6 d)

83 x2yz

10 a)–2x3–13x2–5x–7→3.maila

b)–12x3+3x2–6x→3.maila

11 A+B=2x4+4x3–5x2–x+3

A–C=4x3–8x2+8x–1

A–B+C=–2x4+x3–2x2–4x–5

12 a)1eta2honenerroakdira:x3–7x+6.

b)3honenerroada:x3–3x2+4x–12.

c)–1,1eta3honenerroakdira:x3–3x2–x+3.

13 a)2x3–3x2+5x–3

b)–6x3+8x2

c)3x3+4x2–19x–2

70

96 97

Ariketak eta problemak14. Laburtu honako adierazpen hauek:

a) 6 xx x 16

5 42

2 33–– – –+c m

b) 12 xx x2

3 13

6 14––+ + +c m

c) 20 ( ) ( )x x x1

1 10

2 15 4

– – + += G15. Biderkatu adierazpen bakoitza izendatzaileen

mkt-rekin eta sinplifikatu emaitzak:

a) xx x 18

36

512–– –+ +

b) ( ) ( )x x1 143

31

61– – + +

c) x x25

3 33

1 1–– + +

Berdintza nabarmenak

16. Garatu honako adierazpen hauek:

a) (x + 6)2 b) (7 – x)2

c) (3x – 2)2 d) x 12

2+c m

e) (x – 2y )2 f ) x y152

3–2

c m

17. Adierazi karratuen arteko kendura eran.

a) (x + 7)(x – 7) b) (3 + x)(3 – x)

c) (3 + 4x)(3 – 4x) d) (x 2 + 1)(x 2 – 1)

e) x x1 21 12

1 – +c cm m f ) xx1 1 1 1–+c cm m

18. Falta den gaia idatziz, osatu adierazpene-tako bakoitza batura edo kendura baten karratua izan dadin:

a) x 2 + … + 4x b)x 2 + … – 10x

c) x 2 + 9 + … d) x 2 + 16 – …

19. Atera faktore komuna.

a) 12x 3 – 8x 2 – 4x b) –3x 3 + x – x 2

c) 2xy 2 – 4x 2y + x 2y 2 d) xx x31

32

35–2 3+

20. Adierazi batura baten edo kendura baten karratu eran, adibidean bezala.

• x 2 + 25 + 10x = x 2 + 52 + 2 · 5x = (x + 5)2

a) x 2 + 49 – 14x b) x 2 + 1 – 2x

c) 4x 2 + 1 + 4x d) x 2 + 12x + 36

21. Bihurtu biderketa.

a) 4x 2 – 49 b) x 2 – 18x + 81

c) 9x 2 + 12x + 4 d) 121 – 100x 2

22. Laburtu honako adierazpen hauek:

a) 18 ( )( ) xx61

92 5 –– 22 += G

b) 8 ( ( )) ( )x x x x x2

34

28

3 2– –2++ += G

c) 30 ( ) ( )x x x15

261

21– –

2+ += G23. Atera faktore komuna, adibidean bezala.

• 3x (x + 1) – x 2(x + 1) + (x + 1)(x 2 – 2) =

= (x + 1)(3x – x 2 + x 2 – 2) = (x + 1)(3x – 2)

a) 2x (x – 2) + x 2(x – 2) – 3(x – 2)

b) x 2(x + 1) – x 2(x + 2) + 2x 2(x – 3)

c) 3x 2(x + 3) – 6x (x + 3)

24. Bihurtu biderketa, adibidean bezala.

• x 3 + 2x 2 + x = x (x 2 + 2x + 1) = x (x + 1)2

a) x 3 – 4x b) 4x 3 – 4x 2 + x

c) x 4 – x 2 d) 3x 4 – 24x 3 + 48x 2

Polinomioak zatitzea. Ruffiniren erregela

25. Kalkulatu zenbat diren honako zatiketa hauetako zatidura eta hondarra:

a) (x 2 – 5x + 6) : (x – 2)

b) (x 3 – 3x 2 + 5) : (x + 1)

c) (2x 3 – 4x + 7) : (x – 1)

d) (x 3 – 4x 2 – 7x + 10) : (x + 2)

e) (– x 2 + 3x – 7) : (x – 3)

26. Kalkulatu zenbat diren honako zatiketa hauetako zatidura eta hondarra:

a) (x 3 + 2x 2 + 1) : (x 2 + 1)

b) (2x 3 – x 2 – x + 1) : (x 2 – 1)

c) (x 3 – 3x 2 + 2x – 2) : (x 2 + x – 1)

d) (x 4 – 5x 3 + 2x) : (x 2 – 2x + 1)

27. Erabili Ruffiniren erregela honako polinomio hauek biderketa bihurtzeko:

a) x 2 + 2x – 3 b) x 2 – 4x – 5

c) 2x 2 – 5x + 2 d) x 2 – x – 6

e) 2x 2 – x – 3 f ) x 3 – x 2 – 4x + 4

28. Bihurtu biderketa.

a) x 3 – 3x 2 + 2x

b) x 4 – 2x 3 – 3x 2

c) 2x 4 – 2x 3 – 10x 2 – 6x

d) x 3 + 2x 2 – 9x – 18

Zatiki aljebraikoak

29. Sinplifikatu honako zatiki aljebraiko hauek:

a) xx

129

2 b) ( )( )x

x x5 1

1++ c) ( )x x

x2

2

2

3+

30. Sinplifikatu honako zatiki aljebraiko hauek. Horretarako, atera faktore komuna:

a) x

x x4–2

2 b)

x xx2

32 +

c) ( )

xx3 3

1 2+

+

d) x xx x

22 4

3 22

++ e)

( )xx x2 1

8 4––

23 2

f ) x xx x5 54 2

3

++

31. Sinplifikatu honako zatiki hauek:

a) xx

155 2

b) ( )( )x

x x6 3

2 3–– c) x

x3 1

12 4––

d) ( )x

x55

2++ e) x

x x2

2 4––2

f ) xx x

32–2

32. Sinplifikatu. Horretarako, bihurtu biderkadura zenbakitzailea eta izendatzailea.

a) x xx

3 62 4

2 ++ b)

xx

11

–2+ c)

x xx

4 42–

–2 +

d) xx x

93

––

2

2 e)

x xx

4 44–

22

+ + f ) x

x x x3 3

23 2

++ +

33. Laburtu izendatzaile komunetako txikienera eta egin eragiketa hauek:

a) x x1 2

2+ b) x xx3

21

35–+

c) x x25 3– 2 d) x x

x x3 1– –2+

e) x x2 13–+ f ) x

x x12 –+

34. Egin.

a) x x x6

13

112

–2 3+ b) x xx2

71

––+

c) xx x x

3 124 4

–– –

+ + d) xxxx3

123–

–– +

e) xx

13

21

4– + + f ) x x x3 1 2– 2 +

+

35. Eragin eta laburtu.

a) ·xx

13

22

++ b) ·x x

x x2

33–

– 2

c) ·x

x4

32

2–2

+ d) ·( )xx

x 11

1––

2

e) :xxx

12

52–

–– f ) :x x

x x5

5 52

+ +

36. Eragin eta sinplifikatu, ahal izanez gero.

a) xx

x13· 2+ b) :x

xx

x1

3 2 1–+ +

c) ( )

:x x

31 1

2– –2 d) (x + 1) : x

21–2

37. Egin honako eragiketa hauek eta sinplifikatu. Hartu kontuan berdintza nabarmenak:

a) :x x x21 14– +c cm m

b) : ·x xx12

23

2

+c m

c) ·x x x9

32– +

c m

d) · :x x xx1 21 2 2 4– –2

+c cm m

e) ·( )x

xxx2

13

1212

–– 2

+c m

f ) : ·xx

xx

x13

33

3 9–

–+c m

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

14 a)9x–12 b)7x+15 c)–3x2–14x+10

15 a)5x–13 b)5x–11 c)8x–13

16 a)x2+36+12x b)49+x2–14x

c)9x2+4–12x d)x2+41 +x

e)x2+4y2–4xy f) x y xy254

91

154–2 2+

17 a)x2–49 b)9–x2 c)9–16x2

d)x4–1 e)41 x2–1 f) 1–

x12

18 a)x2+4+4x b)x2+25–10x

c)x2+9+6x d)x2+16+8x

19 a)4x(3x2–2x–1) b)(–3x2+1–x)

c)xy(2y–4x+xy) d)31 x(2x+x2–5)

20 a)(x–7)2 b)(x–1)2

c) (2x+1)2 d)(x+6)2

21 a)(2x–7)(2x+7) b)(x–9)2

c) (3x+2)2 d)(11+10x)(11–10x)

22 a)5x2–46x+47 b)–3x2–20x–4

c)–3x2–14x+10

23 a)(x–2)(2x+x2–3) b)x2(2x–7)

c)3x(x–2)(x+3)

24 a)x(x+2)(x–2) b)x(2x–1)2

c)x2(x+1)(x–1) d)3x2(x–4)2

25 a)Zatidura:x–3;Hondarra:0

b)Zatidura:x2–4x+4;Hondarra:1

c)Zatidura:2x2+2x–2;Hondarra:5

d)Zatidura:x2–6x+5;Hondarra:0

e)Zatidura:–x;Hondarra:–7

OHARRAK

71

96 97

Ariketak eta problemak14. Laburtu honako adierazpen hauek:

a) 6 xx x 16

5 42

2 33–– – –+c m

b) 12 xx x2

3 13

6 14––+ + +c m

c) 20 ( ) ( )x x x1

1 10

2 15 4

– – + += G15. Biderkatu adierazpen bakoitza izendatzaileen

mkt-rekin eta sinplifikatu emaitzak:

a) xx x 18

36

512–– –+ +

b) ( ) ( )x x1 143

31

61– – + +

c) x x25

3 33

1 1–– + +

Berdintza nabarmenak

16. Garatu honako adierazpen hauek:

a) (x + 6)2 b) (7 – x)2

c) (3x – 2)2 d) x 12

2+c m

e) (x – 2y )2 f ) x y152

3–2

c m

17. Adierazi karratuen arteko kendura eran.

a) (x + 7)(x – 7) b) (3 + x)(3 – x)

c) (3 + 4x)(3 – 4x) d) (x 2 + 1)(x 2 – 1)

e) x x1 21 12

1 – +c cm m f ) xx1 1 1 1–+c cm m

18. Falta den gaia idatziz, osatu adierazpene-tako bakoitza batura edo kendura baten karratua izan dadin:

a) x 2 + … + 4x b)x 2 + … – 10x

c) x 2 + 9 + … d) x 2 + 16 – …

19. Atera faktore komuna.

a) 12x 3 – 8x 2 – 4x b) –3x 3 + x – x 2

c) 2xy 2 – 4x 2y + x 2y 2 d) xx x31

32

35–2 3+

20. Adierazi batura baten edo kendura baten karratu eran, adibidean bezala.

• x 2 + 25 + 10x = x 2 + 52 + 2 · 5x = (x + 5)2

a) x 2 + 49 – 14x b) x 2 + 1 – 2x

c) 4x 2 + 1 + 4x d) x 2 + 12x + 36

21. Bihurtu biderketa.

a) 4x 2 – 49 b) x 2 – 18x + 81

c) 9x 2 + 12x + 4 d) 121 – 100x 2

22. Laburtu honako adierazpen hauek:

a) 18 ( )( ) xx61

92 5 –– 22 += G

b) 8 ( ( )) ( )x x x x x2

34

28

3 2– –2++ += G

c) 30 ( ) ( )x x x15

261

21– –

2+ += G23. Atera faktore komuna, adibidean bezala.

• 3x (x + 1) – x 2(x + 1) + (x + 1)(x 2 – 2) =

= (x + 1)(3x – x 2 + x 2 – 2) = (x + 1)(3x – 2)

a) 2x (x – 2) + x 2(x – 2) – 3(x – 2)

b) x 2(x + 1) – x 2(x + 2) + 2x 2(x – 3)

c) 3x 2(x + 3) – 6x (x + 3)

24. Bihurtu biderketa, adibidean bezala.

• x 3 + 2x 2 + x = x (x 2 + 2x + 1) = x (x + 1)2

a) x 3 – 4x b) 4x 3 – 4x 2 + x

c) x 4 – x 2 d) 3x 4 – 24x 3 + 48x 2

Polinomioak zatitzea. Ruffiniren erregela

25. Kalkulatu zenbat diren honako zatiketa hauetako zatidura eta hondarra:

a) (x 2 – 5x + 6) : (x – 2)

b) (x 3 – 3x 2 + 5) : (x + 1)

c) (2x 3 – 4x + 7) : (x – 1)

d) (x 3 – 4x 2 – 7x + 10) : (x + 2)

e) (– x 2 + 3x – 7) : (x – 3)

26. Kalkulatu zenbat diren honako zatiketa hauetako zatidura eta hondarra:

a) (x 3 + 2x 2 + 1) : (x 2 + 1)

b) (2x 3 – x 2 – x + 1) : (x 2 – 1)

c) (x 3 – 3x 2 + 2x – 2) : (x 2 + x – 1)

d) (x 4 – 5x 3 + 2x) : (x 2 – 2x + 1)

27. Erabili Ruffiniren erregela honako polinomio hauek biderketa bihurtzeko:

a) x 2 + 2x – 3 b) x 2 – 4x – 5

c) 2x 2 – 5x + 2 d) x 2 – x – 6

e) 2x 2 – x – 3 f ) x 3 – x 2 – 4x + 4

28. Bihurtu biderketa.

a) x 3 – 3x 2 + 2x

b) x 4 – 2x 3 – 3x 2

c) 2x 4 – 2x 3 – 10x 2 – 6x

d) x 3 + 2x 2 – 9x – 18

Zatiki aljebraikoak

29. Sinplifikatu honako zatiki aljebraiko hauek:

a) xx

129

2 b) ( )( )x

x x5 1

1++ c) ( )x x

x2

2

2

3+

30. Sinplifikatu honako zatiki aljebraiko hauek. Horretarako, atera faktore komuna:

a) x

x x4–2

2 b)

x xx2

32 +

c) ( )

xx3 3

1 2+

+

d) x xx x

22 4

3 22

++ e)

( )xx x2 1

8 4––

23 2

f ) x xx x5 54 2

3

++

31. Sinplifikatu honako zatiki hauek:

a) xx

155 2

b) ( )( )x

x x6 3

2 3–– c) x

x3 1

12 4––

d) ( )x

x55

2++ e) x

x x2

2 4––2

f ) xx x

32–2

32. Sinplifikatu. Horretarako, bihurtu biderkadura zenbakitzailea eta izendatzailea.

a) x xx

3 62 4

2 ++ b)

xx

11

–2+ c)

x xx

4 42–

–2 +

d) xx x

93

––

2

2 e)

x xx

4 44–

22

+ + f ) x

x x x3 3

23 2

++ +

33. Laburtu izendatzaile komunetako txikienera eta egin eragiketa hauek:

a) x x1 2

2+ b) x xx3

21

35–+

c) x x25 3– 2 d) x x

x x3 1– –2+

e) x x2 13–+ f ) x

x x12 –+

34. Egin.

a) x x x6

13

112

–2 3+ b) x xx2

71

––+

c) xx x x

3 124 4

–– –

+ + d) xxxx3

123–

–– +

e) xx

13

21

4– + + f ) x x x3 1 2– 2 +

+

35. Eragin eta laburtu.

a) ·xx

13

22

++ b) ·x x

x x2

33–

– 2

c) ·x

x4

32

2–2

+ d) ·( )xx

x 11

1––

2

e) :xxx

12

52–

–– f ) :x x

x x5

5 52

+ +

36. Eragin eta sinplifikatu, ahal izanez gero.

a) xx

x13· 2+ b) :x

xx

x1

3 2 1–+ +

c) ( )

:x x

31 1

2– –2 d) (x + 1) : x

21–2

37. Egin honako eragiketa hauek eta sinplifikatu. Hartu kontuan berdintza nabarmenak:

a) :x x x21 14– +c cm m

b) : ·x xx12

23

2

+c m

c) ·x x x9

32– +

c m

d) · :x x xx1 21 2 2 4– –2

+c cm m

e) ·( )x

xxx2

13

1212

–– 2

+c m

f ) : ·xx

xx

x13

33

3 9–

–+c m

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

26 a)Zatidura:x+2;Hondarra:–x–1

b)Zatidura:2x–1;Hondarra:x

c)Zatidura:x–4;Hondarra:7x–6

d)Zatidura:x2–3x–7Hondarra:–9x+7

27 a)(x+3)(x–1) b)(x–5)(x+1) c)2(x–2) x21–e o

d)(x–3)(x+2) e)2(x+1) x23

–e o f) (x–1)(x–2)(x+2)

28 a)x(x–1)(x–2) b)x2(x–3)(x+1)

c)2x(x+1)(x+1)(x–3) d)(x–3)(x+2)(x+3)

29 a)x43

b) x5 c)

xx2

2+

30 a) xx 4– b)

x 23+

c)x 13+

d) x2 e)

xx

2 14–

2

f) x5

31 a) x3 b) x

3 c)4

d)x 51+

e)2x f) x32–

32 a)x32 b)

x 11–

c)x 21–

d)x

x3+ e)

xx

22–

+ f)

( )x x

3

1+

33 a)x

x 22

+ b)x6

11 c)x

x2

5 6–2

d)x

x x4 1– –2

2 + e)x

x x1

2 2 3–

–2 + f)

xx x

1– 2

+

34 a)x

x x62 3–

3

2 + b)

x xx x

714

––

2

2 +

c)x xx

48

––

2

2

d)x

x x9

10 3–

–2

2 +

e)( )x

x x4 1

10–

2 + + f)

( )x xx x

12 5 22

++ +

35 a)31 b) x

2 c)

( )x2 23–

d) xx 1– e)

x 15–

f) x5

36 a)( )x x1

3+

b)xx x

13 2

–2

2 +

c)( )x2 13–

d)x 12–

37 a)2x–4 b)x2+3x c) xx 6–

d) x2 e)

( )x 22–

f)( )x 3

1+

OHARRAK

72

98 99

Ariketak eta problemak

Ebatzi problemak38. Adierazi hizkuntza aljebraikoan.

a) Andelean dagoen ur kantitatea eta andel horreta-tik, lehenengo, edukieraren 1/3 ateratzen da; gero, geratzen denaren 2/5 eta, gero, 20 litro.

b) Bi fraka erosi ditut 60 eurorekin. Bat % 20 merke-ago zegoen eta bestea, % 25 merkeago.

c) Freskagarri batek botila bat urek baino 1 € gehia-go balio du. Hiru freskagarri eta bi botila ur 6 € ordaindu ditut.

39. 10a + b adierazpenak bi zifrako zenbaki bat adie-razten du. Idatzi era aljebraikoan:a) Hiru zifrako zenbaki bat.b) a)-n idatzi duzun zenbakiaren hurrengoa eta aurrekoa.c) Hiru zifrako zenbaki baten arteko kendura eta zenba-

ki horretako zifrak alderantzikatuz ateratzen dena.

40. Zenbaki baten erdia zenbaki hori hiru halako bai-no 20 unitate txikiago da. Honako adierazpen alje-braiko hauetako zein dagokio enuntziatu horri?

a) x2

20– = 3x b) x2 – 20 = 3x c) x

2 + 20 = 3x

41. Freskagarria, ogitartekoa eta opila 9 € or-daindu ditut. Ogitartekoak freskagarriak hiru halako balio du eta horrek opilak bi halako. Opilaren prezioa x izanik, adierazi era aljebraikoan enuntziatu hori.

42. Lagun talde batek oparia erosi nahi dio-te Mireni eta bakoitzak 12 € ordaindu beharko du. Beste hiru gehiago izanez gero, bakoitzak 4 € gutxiago ordaindu beharko luke. Honako berdin-tza hauetako zeinek adierazten du enuntziatu hori?a) 12(x – 4) = 8(x + 3) b) 12x = 8(x + 3)c) 12x = 9(x + 4)

43. 6 kg pintura kiloak 3 € gutxiago balio duen kalitate eskasagoko 9 kg pinturarekin nahasiz gero, nahastearen prezioa 5,20 €/kg izango da. Pintura garestiaren prezioa x izanik, bete honako taula hau eta adierazi enuntziatu hori era aljebraikoan.

kantitatea (kg) prezioa (€/kg) kostua (€)

1. pintura 6 x 6x2. pintura 9nahastea 5,20

44. Adierazi era aljebraikoan zenbat diren koloreztatuta dagoen zatiaren azalera eta peri-metroa.

x

Triangeluko hiru erpinetako bi bat datoz karratuaren erdiguneekin.

45. Adierazi era aljebraikoan zenbat diren dimen-tsioak ondoz ondoko hiru zenbaki arrunt dituen or-toedroaren azalera totala eta bolumena.

x + 1

x + 2

x

46. Zilindro baten altuera oinarriko erradioa bi halako da. Adierazi era aljebraikoan zenbat diren zilindro horren azalera totala eta bolumena.

2R

R

47. Adierazi era aljebraikoan zenbat diren honako irudi honen azalera eta perimetroa:

x

x

10

10

48. Adierazi era aljebraikoan zenbat den koloreztatu-ta dagoen zatiaren azalera.

x

2

2

y

49. Pentsatu ondoz ondoko hiru zenbaki. Kendu handienaren karratuari txikienaren karratua. Zatitu emaitza erdikoarekin. 4 aterako duzu beti!

Justifika ezazu hizkuntza aljebraikoa erabiliz.

50. Idatzi ondoz ondoko hiru zenbaki bakoiti. Batu 3 txikienari eta jaso karratura. Kendu beste bien ka-rratua. Zer lortu duzu?

Problema korapilatsuagoak51. Asmatu ezkutuko zenbakia!

Pentsatu edozein zenbaki, biderkatu 2rekin, kendu 10, kendu pentsatu duzun zenbakia, batu 3 eta esa-dazu emaitza.

Azaldu zergatik lortuko dudan ezkutuko zenbakia emango didazun emaitzari 7 batuz.

52. Pentsatu edozein zenbaki, batu 7, biderkatu emaitza 2rekin, kendu 4, zatitu 2rekin eta esadazu emaitza.

Nola jakin dezaket zer zenbaki pentsatu duzun?

53. Bi zifrako zenbat zenbakik egiaztatzen dute honako hau?: Zenbakiko bi zifrak gehi bi zifra horien arteko biderkadura batuz hasierako zenbakia ateratzen da.

54. Erreparatu:

1 + 3 = 4 = 22

1 + 3 + 5 = 9 = 32

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42

Zenbat da 1 + 3 + 5 + … + 19-ren balioa?

Eta 1 + 3 + 5 + … + n -rena?

Hitzak erabiliz, adierazi propietate hori eta saia zaitez frogatzen.

Hausnartu teoriari buruz55. Noiz esaten da zenbakia polinomioaren

erroa dela?

Honako polinomio hauetako zeinek ditu 21 eta

–2 erroak?

a) x 2 + 2x b) 4x 2 – 1 c) 3x 2 + 5

d) – x 2 – 3x – 2 e) 2x 2 + 3x – 2 f ) 2x 2 + 5x + 2

56. Egia ala gezurra? Justifikatu eta eman adibideak.a) (x + a)2 = (– x – a)2

b) (x – a)2 = (a – x)2

c) – (x)2 = x 2

d) Bi monomio biderkatuz gero, binomioa lortuko dugu.e) Bi monomio antzekoak dira horien letrazko atalak

letra berak edukiz gero.f ) Bi monomioen arteko batura positiboa izanez

gero, biderkadura ere bada.

57. Zenbat izan behar du k-ren balioak x 3 – 5x 2 – 7x + k polinomioaren erroa –2 izan da-din? Azaldu erantzuna.

58. Zer emaitza ateratzen da zatiki bat horren alde-rantzizkoarekin biderkatuz gero?

Egiaztatu xx

2+ zatikiarekin eta horren alderan-tzizkoarekin.

59. a) Sinplifikatu (a + 1)2 – (a – 1)2 adierazpena.b) Kalkulatu, kalkulagailua erabili gabe zenbat den

honako honen balioa: 2 5012 – 2 4992

60. Kalkulatu zenbat balio behar duen a-k kasu bakoitzean, bi adierazpenak berdin-berdinak izan daitezen:a) (3x + a)(3x – a) + 7 eta 9x 2 – 18b) (x – a)2 + 2xa – 46 eta x 2 + 18

61. Honako adierazpen hauetako zein dira identita-teak? Justifikatu.

a) x9 2 = 3xb) x (x + 1) = x 2 + 1c) (x – 5)2 = x 2 – 25

62. x x32

6– zenbaki osoa izanez gero, zer esan

dezakegu x-ren balioari buruz?

63. x

x x12

6 8–2

4 3 zatiki aljebraikoa sinplifikatuz gero,

honako zatiki hauetako zein lortzen da? Justifikatu.

a) x x2

3 4–2 b) x x

68–2 3

c) x x6

3 4–2

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

38 a)x– x x x3 5

23

20 0– – – =c m

b)0,8x+0,75y=60

c)xur-botilarenbalioabada,3(x+1)+2x=6

xfreskagarriarenprezioabada,3x+2(x–1)=6

39 a)100a+10b+c

b)100a+10b+c+1eta100a+10b+c–1

c) (100a+10b+c)–(100c+10b+a)=99a–99c

40 c)da.

41 x+2x+6x=9

42 b)berdintzada.

43 kantitatea (kg) prezioa (€/kg) kostua (€)1. pintura 6 x 6x

2. pintura 9 x–3 9(x–3)

nahastea 15 5,20 6x+9(x–3)

Nahastearenkostua→( )x x

15

6 9 3–+=5,20

44 Perimetroa= x2

2 5 2+ Azalera=

83 x2

45 Azalera=6x2+12x+4 Bolumena=x3+3x2+2x

46 Azalera=6πR 2 Bolumena=2πR3

47 Perimetroa=20+2x+5 2 Azalera=20x–225

48 A=4x+4y–16

49 (x2+2)2–x2=4x+4→xx

14 4

++ =4

50 Betilortzenda1.

51 x;2x;2x–10;

2x–10–x=x–10;

x–10+3=x–7

52 Emaitzari5kenduz.

53 Amaieran9dutenzenbakiguztiekegiaztatzenduteeskatutakobal-dintza.

54 1+3+…+19=102

1+3+…+n=n2

55 azenbakiaP(x)polinomioarenerroada,baldinetaP(a)=0bada.

e)polinomioa.

56 a)E b)E c)G d)G e)G f) G

57 k=4

58 Emaitza1da.

59 a)4a b)10000

60 a)a=5oa=–5 b)a=8edoa=–8

61 a)adierazpenasoilikdaidentitatea.

62 xzenbakibikoitiada.

63 c)zatikialortzenda.

73

100 101

Taller de matemáticas

Jo informazio bilaHistoria apur batAljebraren Europan zeharko xii. mendeko hedapena is-lamdar kultura Iberiar penintsulan zabaltzearekin batera gertatu zen.Hedapen horren funtsezko pieza Toledo hiria izan zen x. eta xiii. mendeen artean; hedapen hori gailurrera iritsi zen Alfontso X.a Jakintsuak Toledoko Itzultzaileen Eskola sortu zuenean. Europara greziar eta arabiar kulturak pasat-zeko bidea izan zen eskola hori.

Aljebralaria eta odol-ateratzaileaAljebra hitza arabierako al-jaber hitzetik dator; hitz horrek «berriz konpontzea edo itzultzea» esan nahi du eta esanahi hori pasatu zen gaztelaniara ere. Eta xvi. mendean bizarra mozteaz gain hortz-haginak atera, odolusteak egin eta hezurrak konpontzen zituzten bizargileek honako errotulu hau jartzen zuten ateetan: «aljebra-laria eta odol-ateratzailea».

Matematika-lantegia

IkertuTriangelu bitxiaBeherantz mugarik gabe irekitzen den zenbaki bilduma honek erregulartasun bitxi eta asko ditu; baina, ezer baino lehen, nola eraikitzen den jakin beharko duzu.Gauza al zara laukitxo hutsak betetzeko?

Trebatu problemak ebatziz •Bi txirrindulari leku beretik atera dira, ordu berean eta

noranzko berean. 30 km/h eta 24 km/h-ko abiaduran doaz, hurrenez hurren.Zenbateko aldea aterako dio lehenengoak bigarrenari ordu bat eta berrogei minutu igarota?

•Gorputz-heziketako saioaren ostean, 4 kaxatan gorde ditugu gure 9 baloiak. Kaxa bakoitzak baloi kopuru bakoitia du eta bi kaxako baloien kopurua inoiz ere ez dator bat. Nola izan liteke?

•Dantza-gela batean, 30 gazteri galdetu zaie eta 15ek rock-zaleak direla erantzun dute eta 13k electro-latino delakoa gustatzen zaiela. Horietako 6k bi musika-erri-tmoak gustatzen zaizkiela erantzun dute.

Rock

Electro-latino

Ez rock ez electro-latino

6

Zenbat ez dira erritmo baten ez besteren zale?

1. Deskribatu, adierazpen aljebraiko baten bidez, honako enuntziatu hauek:a) 3 €/kg balio duen 5 kg pintura x €/kg balio duen

7 kg pinturarekin nahasiz lortzen den pinturaren prezioa.

b) Zenbat ordaindu beharko ditugun izozkia, freska-garria eta kafea, jakinik izozkiak kafeak hiru ha-lako eta freskagarriak izozkiaren erdia balio duela.

c) Aldearen neurria x eta altuera 5 cm dituen oinarri karratuko prismaren azalera totala eta bolumena.

2. Egin eta laburtu:a) x (3x – 2)2 – (x – 3)(2x – 1)x

b) 4 ( )x x243 4– – –2 2< F

3. Biderkatu izendatzaileen mkt-rekin eta sinplifikatu.( ) ( )x x x x

95 1

127 2

21–– – –+

4. Bihurtu biderketa zenbakitzailea eta izendatzailea, eta sinplifikatu honako zatiki hau:

xx x

4 94 12 9

––

2

2 +

5. Kalkulatu zenbat diren zatidura eta hondarra kasu bakoitzean:a) (3x 4 – x 3 + 2x 2 + 4) : (x 2 + x)b) (x 3 + 3x 2 – 2x + 2) : (x + 2)

6. Egin eta sinplifikatu, ahal izanez gero.

a) xxx

xx

23 1 5–– –

2 +

b) · : ( )xx

xx x21

3 2– –+c m

7. Zenbat izan behar du m-ren balioak P = 2x 3 + mx 2+ + 12 polinomioaren erroa 2 izan dadin?

8. Egia ala gezurra? Justifikatu eta eman adibideak.a) 9x 3 – 15x 2 = 3x 2(3x – 5) adierazpena identitatea da.b) 1 eta 2 mailako bi binomio biderkatuz gero,

3 mailako polinomioa lortzen da.c) Bi binomio batuz gero, binomioa lortzen da beti.d) Zenbakiak monomioak dira.e) 3a 2b eta –3ab 2 monomioak antzekoak dira.f ) 3x 2y 2 : 6xy 2 zatiketa eginez gero, monomioa lor-

tzen da.

Autoebaluzioa

…………………………………? ? 10 ? ? ?

1 4 6 ?1 3 3

1 21 1

11

?

100

•Batu lerro bakoitzeko zenbakiak eta osatu taula:

1 n …………… n 1……………………………

1 4 6 41 3 3

1 21 1

11

1

Sn

S4

S3

S2

S1

S1 S2 S3 S4 S5 … Sn

2 4 8 …

Idatzi adierazpen aljebraikoa enegarren lerroko, Sn, gaien arteko batura zenbat den kalkulatzeko.

•Erreparatu zenbakien honako eskailera honi:

Hartu kontuan:3 = 1 + 26 = 1 + 2 + 310 = ...

1 ?n …………………………………………………………

1 4 61 3 31 21 1

1

1 5 10

Zein da 6. lerroko hirugarren zenbakia? 1 6 ?

Eta 20. lerrokoa? 1 20 ?

Idatzi n-garren lerroko hirugarren laukitxorako adieraz-pen aljebraikoa: 1 n ?

aljebralaria eta

odol-ateratzailea

eta ikasiizan ekimena

Honako ariketa hauek ebaztea.Webgunean

Jo informazio bila

•Irakurgaihonekin,unitatearenhasierakohistoriaosatukodugu.

Ikertu

Triangelu bitxia

•Ariketahonenbitartez,gaitasunaketaikerketabidezkoikasketa-meto-doakbultzatunahiditugu:behatzea,manipulatzea,probatzea,azter-tzea,erregulartasunaktopatzea,hipotesiakegiteaetaegiaztatzea,etab.

•Ikasleekariketaulertudutelabermatzeko,egituraaztertukodugu,taldehandian.Lehentriangelurako,ikasleekeraketa-legeadeskubritukodute,etahainbatlerrotanosatudute.Ondoren,taldetxikitanedobanaka,gainerakogaieiheldukodiegu.

Bigarrentriangeluan,lerrobakoitzekoelementuenbaturabatdatorda-gozkienberrekizuna2dutenberreketekin.Zenbaitlerrorekinegiazta-tukoda.

Hirugarrenzatiadazailena.Gakoahonakohauaurkitzeada:hirugarreneskailerakozenbakiakbatdatozelaondokolehenzenbakiarruntenba-turekin(an=1+2+3+…+n).Horijakinik,progresioaritmetikobate-kogaiakbatzekoikasidituztenprozedurakaplikatukodituzte.

Soluzioak

• S1 S2 S3 S4 S5 … Sn

2 4 8 16 32 … 2n

• 1 6 21 1 20 210

•

1 n( ) ·n n

2

1+

Trebatu problemak ebatziz Soluzioak

• 10kilometrokoaldeaaterakodio.

•

• 30gazteetatik8ezdiraezrockarenezelectro-latinoarenzaleere.

Autoebaluazioaren soluzioak

1 a) x12

15 7+

b)xbadakafebatenprezioa,211 x

c)Azalera=2x2+20x;Bolumena=5x2

2 a)7x3–5x2+x b)x2–16x

3 –18x2+59x–26

4 xx

2 32 3–

+

5 a)Zatidura:3x2–4x+6;Hondarra:–6x+4

b)Zatidura:x2+x–4;Hondarra:10

6 a)x

x x25 6–2

2 + + b)

x 13+

7 m=–7

8 a)E b)E c)G d)G e)G f) E