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Hizketaren inguruko oinarrizko kontzeptuak

Análisis y modelado de sistemas. Predicción lineal.

Mecanismos de producción de la vozAnálisis LPC

Conceptos básicos sobre voz

Teoría de producción de la voz Estudio científico Modelo ingenieril

Análisis LPC Predecir una muestra a partir de las anteriores Calcular la mejor Combinación Lineal Predictora Invertir=Síntesis desde señal error sin información

Parámetros equivalentes


Voz

Es la onda acustica radiada cuando una constricción del tracto vocal perturba el flujo

de aire expulsado por los pulmones

Producción de voz


Sonidos sonoros: El flujo de aire procedente de los pulmones es periódicamente

interrumpido por la apertura y cierre de las cuerdas vocales. Flujo periódico, frecuencia fundamental F0 -> pitch

Sonidos sordos: No vibran las cuerdas vocales El flujo de aire encuentra un

Estrechamiento toma gran velocidad forma turbulencias

Tracto vocal + Tracto nasal: Actúan como cavidades resonantes Frecuencias de resonancia Formantes Los formantes dependen de la forma y dimensiones del TV El

espectro de la voz varía con el tiempo al varíar el TV

Teoría de la producción de voz


Pulso de Rosenbergg(t)

ExcitaciónCavidad

resonanteRadiación

en los labios


G(f)


Modelo de Fuente y Tracto vocal: Separa las características de la fuente y del tracto

vocal. Funciona mejor con parametros que varían

lentamente. Filtro V(z) todo polos: solo tiene resonancias no,

modela las nasales. Separa fuente sonora y sorda

no vale para todos los sonidos

Cambio repentino de tipo de fuente: no es realista




Tracto vocal tubo de sección variante y no uniforme

A(x)

Glotis Labios

A(x)

x=0 x=l

Aproximación: concatenación de tubos de secciones Ak constantes

A(x)

Glotis Labios

Ak(x)

x=0 x=l



Longitud de onda mayor que la longitud del tubo: f≤5000Hz ≥340m/s/5000Hz=6’8cm Aproximación de onda plana aceptable

Además se supone: No hay pérdidas por rozamiento ni por conducción

de calor Las secciones Ak no cambión con el tiempo


Con estas suposiciones, las ondas en el tubo cumplen estas ecuaciones:

Puesto que el área en una sección es constante:

tA

u

x

p

t

A

t

pA

cx

u

2

1

p=p(x,t) Variación de la presionu=u(x,t) Variación del flujo de aire: Densidad del airec: Velocidad del sonidoA=A(x,t) Función de área


tu

Axp

tp

cA

xu

2



Analogía electrica: línea de transmisión uniforme y sin pérdidas

t

iL

x

v

t

vC

x

i

v: tensión p: presióni: corriente u: velocidadL: inductancia /A: inductancia acústicaC: capacidad A/c2: capacidad acústica

c

xti

c

xti txv ,


Solución de las ecuaciones diferenciales:

AnA1 A2 A3 An+1An-1

t

u

Ax

p k

k

k

t

p

c

A

x

u kk

2

c

xtu

c

xtutxu kkk ,

cx

tucx

tuAc

txp kkk

k

,


Onda que avanza

Onda que retrocede

cx

tuk

cx

tuk

x=0

tuk

tuk

x=lk



lk lk+1

ktuk

ktuk

tuk

tuk

11 ktu

k

11 ktu

k

tuk

1

tuk

1

Condiciones de continuidad:

c

lkk Tiempo de recorrido de una sección

tptlp kkk ,0, 1

tutlu kkk ,0, 1

turturtu kkkkkk

11 1

turturtu kkkkkkk

11 kk

kkk AA

AAr

1

1Coeficiente de reflexión

|rk|<1

Se obtienen las ecuaciones:

Retardok

+

+

Retardok+1

Retardok+1

Retardok

ktuk

tuk

11 ktu

k tu

k

1

11 ktu

k tu

k

1

ktuk

tuk

tubo késimo tubo (k+1)ésimo

1+rk

1-rk

rk-rk

Diagrama de flujo que corresponde a estas ecuaciones:


Condiciones de contorno: En los labios En la glotis

Para modelar los labios: Pantalla acústica esférica

Difícil de modelar

Pantalla acústica plana




Condiciones de contorno en los labios:

Velocidad de partícula, en los labios:

Diagrama de flujo que corresponde a esta ecuación:

NNLNN turtlu 1,

NNLNN turtu

LN

LN

L

ZA

c

ZA

c

r

rL coeficiente de reflexión en los labiosZL impedancia de radiación en los labios

RetardoN

+Retardo

N

NN tu tuN

tlu NN,

NN tu tuN

tubo Nsimo

1+rL

-rL



Condiciones de contorno en la glotis:

Diagrama de flujo que corresponde a esta ecuación :

)(2

111 turtu

rtu GG

G

1

1

Ac

Z

Ac

Zr

G

G

G

rG coeficiente de reflexión en la glotisZG impedancia de la glotis

+

Retardo1

Retardo1

11 tu tu

1

11 tu tu

1

1er tuborG

tuG

2

1 Gr



Modelo de tubo sin pérdidas completo:

Retardo1

Retardo1

11 tu tu

1

11 tu tu

1

1er tuborG

tuG

2

1 Gr 1+r1

1-r1

Retardo3

+Retardo

3

33 tu tu3

tuL

33 tu tu 3

3er tubo

1+rL

-rL

Retardo2

Retardo2

22 tu tu2

22 tu tu 2

2º tubo

1+r2

1-r2

r2-r2

+

r1-r1

++

+ +




N

i

ii

N

ii

N

G

G

L

za

rzr

zU

zUzH

1

1

2

1

)1(

2

1

)(

)()(

Retardo1

Retardo1

11 tu tu

1

11 tu tu

1

1er tuborG

tuG

2

1 Gr 1+r1

1-r1

Retardo3

+Retardo

3

33 tu tu3

tuL

33 tu tu 3

3er tubo

1+rL

-rL

Retardo2

Retardo2

22 tu tu2

22 tu tu 2

2º tubo

1+r2

1-r2

r2-r2

+

r1-r1

++

+ +




Todos los tubos de igual longitud:

Retardo1

Retardo1

11 tu tu

1

11 tu tu

1

1er tuborG

tuG

2

1 Gr 1+r1

1-r1

Retardo3

+Retardo

3

33 tu tu3

tuL

33 tu tu 3

3er tubo

1+rL

-rL

Retardo2

Retardo2

22 tu tu2

22 tu tu 2

2º tubo

1+r2

1-r2

r2-r2

+

r1-r1

++

+ +

x Longitud de los tubosN Número de tubos l Longitud del tracto vocal Retardo en un tubo

Nl

x cx

A5A1 A2 A3 A6A4 A7 A8

xx

xx

x xx

x

l

N

i

ii

N

ii

N

G

G

L

za

rzr

zU

zUzH

1

1

2

1

)1(

2

1

)(

)()(



Sistema discreto equivalente:

Sistema discreto equivalente con retardos enteros:

rG

nTuG

2

1 Gr 1+r1

1-r1+

nTuN

(1+rL)

-rL

1+r2

1-r2

r2-r2

+

r1-r1

++

+ +

z-1 z-1 z-1

z3/2

rG

nTuG

2

1 Gr 1+r1

1-r1+

nTuN

1+rL

-rL

1+r2

1-r2

r2-r2

+

r1-r1

++

+ +

z-1/2

z-1/2

z-1/2

z-1/2

z-1/2

z-1/2


Línea continua: terminación en cortocircuito




Sistema linealV(z)

uG(n) uL(n)

parámetros

Modelo de tubo sin pérdidas

uG(n) uL(n)

Función de área (coeficientes de

reflexión)



Modelo de tubo sin pérdidas

uG(n) uL(n)

Función de área (coeficientes de

reflexión)

Sistema linealV(z)

uG(n) uL(n)

parámetros

N

k

kk za

GzV

1

1)(

x

x

k

z k

plano Z

+

+

a1

a2

uL(n)uG(n)

+

+aN-1

aN

+

z-1

z-1

z-1

G

+

+

2|z1|cos1

-|z1|2

uL(n)uG(n)

z-1

z-1

G1

+

+

z-1

z-1

G2

+

+

z-1

z-1

GM

2|z2|cos2 2|zM|cosM

-|z2|2 -|zM|2


Análisis LPC

Análisis por Predicción Lineal (Linear Predictive Analysis) Técnica eficaz para analizar la voz Estima el espectro de la voz de forma

Precisa Eficiente

Idea básica: una combinación lineal de muestras de voz pasadas es buena aproximación de la muestra siguiente


Análisis LPC

El análisis LPC (Linear Predictive Coding):

Predice los polos que modelan el tracto vocal Mediante pocos párametros

Obtenidos por cálculos sencillos


Análisis LPC

Sean {s(n)} las muestras de voz tomadas cada Ts seg.

Ts<1/2m, m: frecuencia máxima de la señal

Formamos una combinación lineal de P muestras:

a1·s(n-1)+a2·s(n-2)+…+ap·s(n-p)= ŝ(n)

e(n) = s(n) - ŝ(n)

P+1

s(n)

s(n-p)


Análisis LPC

Si {e(n)} es una variable estadística incorrelada (media 0 y varianza 2)


Análisis LPC


p

ii insans

1

)()(ˆ ŝ(n) es una buena aproximación de s(n)


Análisis LPC


Error cometido en la predicción, residuo:

p

ii insans

1

)()(ˆ

)(ˆ)()( nsnsne

ŝ(n) es una buena aproximación de s(n)


Análisis LPC

P(z) filtro predictor

P(z))(ns )(ˆ ns

p

ii insans

1

)()(ˆ

p

i

ii zSzazS

1

)()(ˆ

Transformada Z

p

i

ii zazP

1

·)(

)()()(ˆ zSzPzS


Análisis LPC

Error de predicción

+

P(z)

)(ns

)(ˆ ns

)(ne

+_

A(z)

transformada Z

A(z)


Análisis LPC

P(z)

)(ns

)(ˆ ns

)(ne+

H(z)=1/A(z)

p

i

ii zazP

1

·)(

H(z): modela la respuesta del tracto vocal

e(n): es la excitación, la fuente de sonido

Sintesis LPC


Análisis LPC: ejemplos E

Segmento de una e, enventanado hamming FFT de la señal y espectro LPC de orden 14

Error de predicción Espectro del error


Análisis LPC: ejemplos S

Error de predicción Espectro del error

Segmento de una s, enventanado hamming FFT de la señal y espectro LPC de orden 14


Cálculo de los coeficientes LPC

Criterio para calcular los coeficientes del filtro predictor P(z) : Minimizar el error cuadrático medio

1

0

)(22n

nn

ne 00

2

p

iiji

j

c

pj ...1mínimo

1

0

)()(n

nnij jnsinsc

10


Para calcular la solución en el intervalo [n0 n1] son necesarias la muestras de la señal del intervalo [n0-p n1]

Basandose en un conjunto de N muestras se han investigado dos métodos de resolución: Método de las autocorrelaciones Método de las covarianzas


00

2

p

iiji

j

c

pj ...1 Sistema de ecuaciones linealesp ecuacionesp incógnitas


Método de las autocorrelaciones: El error se minimiza en el intervalo [-∞ ∞] Se supone señal nula en n<0 y n>N-1


i-j

s(m+i-j)s(m)

Muestras usadas

E minimo en [n0 n1]


Método de las autocorrelaciones: El error se minimiza en el intervalo [-∞ ∞] Se supone señal nula en n<0 y n>N-1


)(1

0

)()()()()(jiN

mnij jiRjimsmsjnsinsc

n-i=m

Autocorrelación de s(n)

i-j

s(m+i-j)s(m)

Muestras usadas

E minimo en [n0 n1]



kN

m

kmsmskR1

0

)()()(

R(k) es par ijcjiRjiR |)(|)(

Las ecuaciones a resolver son 0|)(|0

p

ii jiR pj ...1

)(

...

)2(

)1(

...

)0(...)2()1(

............

)2(...)0()1(

)1(...)1()0(

2

1

pR

R

R

RpRpR

pRRR

pRRR

p

Ecuaciones deYule-Walker

[R]

Método de las autocorrelaciones:



La matriz [R] es Toepliz: Simétrica Los elementos en las diagonales paralelas a la

diagonal principal son iguales El método de Durbin aprovecha estas

propiedades de la matriz [R] Como s(n)=0 para n<0 y n>N-1, e(n) será grande

en 0<n<p pues la predicción se basa en muestras que han sido puestas a cero. Ocurre lo mismo en el intervalo final N<n<N+p-1

Para reducir este efecto se enventana la señal


LPC koefizienteak

Para obtener la solución: algoritmo de Levison-Durbin

Hasiera

E(0) = R(0)

i:1 p

Ki = 1/E(i-1) { R(i)+j(i-1)R(i-j) }

i(i) = -ki

j(i) = j

(i-1) - kii-j(i-1)

j:1 i-1

j

E(i) = (1-ki2)E(i-1)

i

Bukaera

ki


Método de las covarianzas: Se minimiza el error en el intervalo [p, N-1] Se utilizan todas las muestras de la señal


i-j

s(m+i-j)s(m)

Muestras usadas

E minimo en [n0 n1]


Método de las covarianzas: Se minimiza el error en el intervalo [p, N-1] Se utilizan todas las muestras de la señal


i-j

s(m+i-j)s(m)

Muestras usadas

E minimo en [n0 n1]

iN

ipm

N

pnij jijimsmsjnsinsc

11

),()()()()(

n-i=m



Las ecuaciones a resolver

p

i

iN

ipmi

p

iiji jimsmsc

0

1

0

)()(0

Método de las covarianzas:

La matriz : Es definida positiva Se puede resolver por métodos eficientes

(descomposición de Cholesky)

),0(),(1

jjip

ii

pj ...1


Análisis LPC

Sonido del residuo

+

P(z)

)(ns

)(ˆ ns

)(ne

+_

A(z)


Resi

duo d

e u

n s

egm

ento

sonoro

Análisis LPC


Análisis LPCR

esi

duo d

e u

n s

egm

ento

sord

o


Análisis LPCSeñal ori

gin

al


Análisis LPC


Análisis LPCR

esi

duo


Análisis LPC: ejemplos

p

k

kk zazP

1

·)(

P(z)

)(ny

)(ˆ ny

+

Análisis LPC…{ak,Gi}i {ak,Gi}i +1…)(ny

)(nsx

Gi

Ruido blanco, G=100%

Ruido blanco, G=50%

Tren de deltas G=100%

Tren de deltas G=50%


Parametrización de la voz

Análisis de la señal de voz Análisis LPC Análisis PARCOR Análisis CEPSTRUM Vocoder LPC Análisis por síntesis


Análisis PARCOR

PARtial CORrelation coefficients ei(n) es el error de predicción del método

Levinson-Durbin en el paso i forward prediction error

bi(n) se define de forma similar backward prediction error

i

k

ik

i knsansne1

)()()(

i

k

ik

i iknsainsnb1

)()()(

s(n) se predice como combinación lineal de i muestras

anteriores

s(n-i), se predice como combinación lineal de i muestras

posteriores


Análisis PARCOR

Sistema predictor de orden i:

Relación entre coeficientes de sistemas predictores de distinto orden

Si la entrada al sistema predictor es s(n), la salida es ei(n)

i

k

kik

i zazA1

·1)(

11

ikii

ik

ik akaa )()()( 111 zAzkzAzA ii

iii

)()()()()()()( 111 zAzSzkzSzAzSzAzE iii

iii

i muestras usadas en una predicción de

orden i

s(n)

s(n-i)


Análisis PARCOR




i

k

kik

i zazA1

·1)(

11

ikii

ik


iii

)()()()()()()( 111 zAzSzkzSzAzSzAzE iii

iii

)(1 zE i


orden i

s(n)

s(n-i)


Análisis PARCOR




i

k

kik

i zazA1

·1)(

11

ikii

ik


iii

)()()()()()()( 11)1(11 zAzSzzkzSzAzSzAzE iii

iii

)(1 zE i )(1 zB i


orden i

s(n)

s(n-i)


Análisis PARCOR

)()()()()()()( 11111)1(11 zBzkzEzAzSzzkzSzAzE ii

iiii

ii

Transformada inversa

)1()()( 11 nbknene ii

ii

)()()( 111 zAzkzAzA iii

ii

)()()( 1 zSzAzzB iii )()()( 111 zEkzBzzB i

iii

Transformada inversa

)()1()( 11 neknbnb ii

ii

b1(n)z-1

s(n)-k1

-k1

e0(n)

b0(n) z-1

+

+

-k2

-k2

e1(n)+

+bp-1(n) z-1

+

+

-kp

-kp

ep-1(n)ep(n) Estas ecuaciones

recursivas corresponden a un filtro

lattice


Cálculo de los coeficientes ki:

Estos coeficientes se pueden usar para generar voz

Análisis PARCOR

1

0

1

0

2121

1

0

11

)1()(

)1()(

N

n

N

n

ii

N

n

ii

i

nbne

nbnek

e(n) eta b(n) seinaleen arteko korrelazio

normalizatua

b1(n)z-1

s(n)

-k1

-k1

e0(n)

b0(n)z-1

+

+

-k2

-k2

e1(n)+

+bp-1(n)z-1

+

+

-kp

-kp

ep-1(n)ep(n)

puesto que s(n)=e0(n), se puede generar la señal de

voz usando ep(n)


Análisis PARCOR

Usando la configuración Lattice se han desarrollado otros métodos de síntesis: Método de Burg: minimiza la suma de los errores

forward y backward

Se llega a esta ecuación para los coef. PARCOR

1

0

22 ))(())((2

N

m

iii mbmeE

1

0

1

0

2121

1

0

11

'

)1()(

)1()(2

N

m

N

m

ii

N

m

ii

i

mbme

mbmek Con esta expresión se

cumple siempre |k’i|<1.

Se garantiza la estabilidad del filtro


Comparación de métodosCovarianzas

Cholesky

Autocorrelaciones

Durbin

Lattice

Burg

Memoria

Datos

Matriz correl.

Ventana

N1 N2 3N3

p2/2 p --

-- N2 --

Productos

Enventanado

Correlación

Solución

-- N2 --

N1p N2p --

p3 p2 5N3p

Estabilidad Puede ser inestable

Estable si R(i) se calcula con suficiente precisión

Estable


Huang, X., Acero, A., Hon, H.Spoken Language ProcessingPrentice Hall, 2001

Rabiner, L.R., Schafer, R.W. Digital Processing of Speech Signals Prentice Hall, 1978

O’Shaughnessy, D.Speech Communications Human and MachineIEEE Press, 2000

Dutoit, T.An introduction to Text-to-Speech SynthesisKluwer Academic Publishers, 1997

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Bibliografía

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