Álgebra

Al Juarismi (siglo IX d.C.), considerado uno de los «padres delálgebra».

El álgebra (en árabe: الجـبر al-ŷabr 'reintegración,recomposición'[1]) es la rama de la matemática que estu-dia la combinación de elementos de estructuras abstractasacorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos po-dían ser interpretados como números o cantidades, por loque el álgebra en ciertomodo originalmente fue una gene-ralización y extensión de la aritmética.[2][3] En el álgebramoderna existen áreas del álgebra que en modo algunopueden considerarse extensiones de la aritmética (álgebraabstracta, álgebra homológica, álgebra exterior, etc.).

1 Introducción

A diferencia de la aritmética elemental, que trata delos números y las operaciones fundamentales, en álge-bra -para lograr la generalización- se introducen ademássímbolos (usualmente letras) para representar paráme-tros (variables o coeficientes), o cantidades desconocidas(incógnitas); las expresiones así formadas son llamadas«fórmulas algebraicas», y expresan una regla o un prin-cipio general.[4] El álgebra conforma una de las grandes

áreas de las matemáticas, junto a la teoría de números, lageometría y el análisis.

Página del libro Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷabr wa-l-muqābala, de Al-Juarismi.

La palabra «álgebra» proviene del vocablo árabe الجبرal-ŷabar (en árabe dialectal por asimilación progresivase pronunciaba [alŷɛbɾ] de donde derivan los términosde las lenguas europeas), que se traduce como 'restaura-ción' o 'reponimiento, reintegración'. Deriva del tratadoescrito alrededor del año 820 d.C. por el matemático yastrónomo persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi (co-nocido como Al Juarismi), tituladoAl-kitāb al-mukhtaṣarfī ḥisāb al-ŷarabi waˀl-muqābala (Compendio de cálcu-lo por reintegración y comparación), el cual proporciona-ba operaciones simbólicas para la solución sistemática deecuaciones lineales y cuadráticas. Muchos de sus métodosderivan del desarrollo de la matemática en el islam me-dieval, destacando la independencia del álgebra como unadisciplina matemática independiente de la geometría y dela aritmética.[5] Puede considerarse al álgebra como el ar-

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2 2 HISTORIA DEL ÁLGEBRA

te de hacer cálculos del mismo modo que en aritmética,pero con objetos matemáticos no-numéricos.[6]

El adjetivo «algebraico» denota usualmente una relacióncon el álgebra, como por ejemplo en estructura algebrai-ca. Por razones históricas, también puede indicar unarelación con las soluciones de ecuaciones polinomiales,números algebraicos, extensión algebraica o expresión al-gebraica. Conviene distinguir entre:

• Álgebra elemental es la parte del álgebra que se en-seña generalmente en los cursos de matemáticas.

• Álgebra abstracta es el nombre dado al estudio delas «estructuras algebraicas» propiamente.

El álgebra usualmente se basa en estudiar las combinacio-nes de cadenas finitas de signos y, mientras que análisismatemático requiere estudiar límites y sucesiones de unacantidad infinita de elementos.

2 Historia del álgebra

2.1 El álgebra en la antigüedad

Las raíces del álgebra pueden rastrearse hasta la anti-gua matemática babilónica,[7] que había desarrollado unavanzado sistema aritmético con el que fueron capacesde hacer cálculos en una forma algorítmica. Con el usode este sistema lograron encontrar fórmulas y solucionespara resolver problemas que hoy en día suelen resolver-se mediante ecuaciones lineales, ecuaciones de segundogrado y ecuaciones indeterminadas. En contraste, la ma-yoría de los egipcios de esta época, y la mayoría de losmatemáticos griegos y chinos del primer milenio antes deCristo, normalmente resolvían tales ecuaciones por méto-dos geométricos, tales como los descritos en el Papiro deRhind, Los Elementos de Euclides y Los nueve capítulossobre el arte matemático.

• Papiro de Ahmes; datado entre 2000 al 1800 a. C.

• Las nueve lecciones del arte matemático; compiladodurante siglos II y I a. C.

• Elementos de Euclides, ca. 300 a. C.

Los matemáticos de la Antigua Grecia introdujeron unaimportante transformación al crear un álgebra de tipogeométrico, en donde los «términos» eran representadosmediante los «lados de objetos geométricos», usualmen-te líneas a las cuales asociaban letras.[6] Los matemáti-cos helénicos Herón de Alejandría y Diofanto[8] así co-mo también los matemáticos indios como Brahmagupta,siguieron las tradiciones de Egipto y Babilonia, si bienla Arithmetica de Diofanto y el Brahmasphutasiddhantade Brahmagupta se hallan a un nivel de desarrollo muchomás alto.[9] Por ejemplo, la primera solución aritmética

Arithmetica; escrito por Diofanto alrededor de 280.

completa (incluyendo al cero y soluciones negativas) paralas ecuaciones cuadráticas fue descrita por Brahmaguptaen su libro Brahmasphutasiddhanta. Más tarde, los ma-temáticos árabes y musulmanes desarrollarían métodosalgebraicos a un grado mucho mayor de sofisticación.Diofanto (siglo III d.C.), algunas veces llamado «el pádredel álgebra», fue un matemático alejandrino, autor de unaserie de libros intitulados Arithmetica. Estos textos tratande las soluciones a las ecuaciones algebraicas.[10]

2.2 Influencia árabe

Los babilonios y Diofanto utilizaron sobre todo métodosespeciales “ad hoc” para resolver ecuaciones, la contri-bución de Al-Khwarizmi fue fundamental; resuelve ecua-ciones lineales y cuadráticas sin el simbolismo algebraico,números negativos o el cero, por lo que debe distinguirvarios tipos de >jab.[11]

El matemático persa Omar Khayyam desarrolló la geo-metría algebraica y encontró la solución geométrica de laecuación cúbica. Otro matemático persa, Sharaf Al-Dinal-Tusi, encontró la solución numérica y algebraica a di-versos casos de ecuaciones cúbicas; también desarrolló elconcepto de función. Los matemáticos indios Mahavirá y

3.1 Signos de operación 3

Bhaskara II, el matemático persa Al-Karaji, y el matemá-tico chino Zhu Shijie, resolvieron varios casos de ecua-ciones de grado tres, cuatro y cinco, así como ecuacionespolinómicas de orden superior mediante métodos numé-ricos.

2.3 Edad Moderna

Durante la Edad Moderna europea tienen lugar numero-sas innovaciones, y se alcanzan resultados que claramen-te superan los resultados obtenidos por los matemáticosárabes, persas, indios o griegos. Parte de este estímuloviene del estudio de las ecuaciones polinómicas de tercery cuarto grado. Las soluciones para ecuaciones polinómi-cas de segundo grado ya era conocida por los matemáti-cos babilónicos cuyos resultados se difundieron por todoel mundo antiguo.El descrubrimiento del procedimiento para encontrar so-luciones algebraicas de tercer y cuarto orden se dieron enla Italia del siglo XVI. También es notable que la nociónde determinante fue descubierta por el matemático japo-nés Kowa Seki en el siglo XVII, seguido por GottfriedLeibniz diez años más tarde, con el fin de resolver siste-mas de ecuaciones lineales simultáneas utilizando matri-ces. Entre los siglos XVI y XVII se consolidó la noción denúmero complejo, con lo cual la noción de álgebra empe-zaba a apartarse de cantidades medibles. Gabriel Cramertambién hizo un trabajo sobre matrices y determinantesen el siglo XVIII. También Leonhard Euler, Joseph-LouisLagrange, Adrien-Marie Legendre y numerosos matemá-ticos del siglo XVIII hicieron avances notables en álgebra.

2.4 Siglo XIX

El álgebra abstracta se desarrolló en el siglo XIX, inicial-mente centrada en lo que hoy se conoce como teoría deGalois y en temas de la constructibilidad.[12] Los traba-jos de Gauss generalizaron numerosas estructuras alge-braicas. La búsqueda de una fundamentación matemáti-ca rigurosa y una clasificación de los diferentes tipos deconstrucciones matemáticas llevó a crear áreas del álge-bra abstracta durante el siglo XIX absolutamente inde-pendientes de nociones aritméticas o geométricas (algoque no había sucedido con el álgebra de los siglos ante-riores).

3 Notación algebraica

Consiste en que los números se emplean para representarcantidades conocidas y determinadas. Las letras se em-plean para representar toda clase de cantidades, ya seanconocidas o desconocidas. Las cantidades conocidas seexpresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d, ...Las cantidades desconocidas se representan por las últi-mas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.[13]

Notación matemática de raíz cuadrada de x (√<spanstyle="border-top:1px solid #000">x).

Los signos empleados en álgebra son tres clases: Signos deoperación, signos de relación y signos de agrupación.[13]

3.1 Signos de operación

En álgebra se verifican con las cantidades las mismas ope-raciones que en aritmética: suma, resta, multiplicación,elevación a potencias y extracción de raíces, que se in-dican con los principales signos de aritmética excepto elsigno de multiplicación. En lugar del signo × suele em-plearse un punto entre los factores y también se indica ala multiplicación colocando los factores entre paréntesis.Así a ⋅ b y (a)(b) equivale a a × b.

3.2 Signos de relación

Se emplean estos signos para indicar la relación que existeentre dos cantidades. Los principales son: =, que se leeigual a. Así, a = b se lee "a igual a b". >, que se leemayorque. Así, x + y > m se lee "x + y mayor que m". <, que selee menor que. Así, a < b + c se lee "a menor que b + c".

3.3 Signos de agrupación

Los signos de agrupación son: el paréntesis ordinario (), el paréntesis angular o corchete [ ], las llaves { } y labarra o vínculo | |. Estos signos indican que la operacióncolocada entre ellos debe efectuarse primero. Así, (a+ b)cindica que el resultado de la suma a y b debe multiplicarsepor c; [a – b]m indica que la diferencia entre a y b debemultiplicarse porm, {a + b} ÷ {c – d} indica que la sumade a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d. Elorden de estos signos son de la siguiente forma { [ ( ) ] }, por ejemplo: { [ (a + b) – c] ⋅ d} indica que al resultado

4 9 ENLACES EXTERNOS

de la suma de a + b debe restarse c y el resultado de estomultiplicarse por d.

3.4 Signos y símbolos más comunes

Los signos y símbolos son utilizados en el álgebra — y engeneral en teoría de conjuntos y álgebra de conjuntos —con los que se constituyen ecuaciones, matrices, series,etc. Sus letras son llamadas variables, ya que se usa esamisma letra en otros problemas y su valor va variando.Aquí algunos ejemplos:

4 Lenguaje algebraico

5 Estructura algebraica

En matemáticas, una estructura algebraica es un conjuntode elementos con unas propiedades operacionales deter-minadas; es decir, lo que define a la estructura del conjun-to son las operaciones que se pueden realizar con los ele-mentos de dicho conjunto y las propiedades matemáticasque dichas operaciones poseen. Un objeto matemáticoconstituido por un conjunto no vacío y algunas leyes decomposición interna definida en él es una estructura alge-braica. Las estructuras algebraicas más importantes son:

• Módulo

• Espacio vectorial

6 Véase también

•

• Portal:Álgebra. Contenido relacionado conÁlgebra.

• Álgebra abstracta

• Álgebra elemental

• Teorema fundamental del álgebra

• Notación matemática

7 Referencias[1] Federico Corriente (1991): Diccionario Árabe-Español,

Ed. Herder, ISBN 84-254-1763-5

[2] The 1911 Classic Encyclopedia, Algebra, (en inglés).

[3] Diccionario de la Real Academia Española, álgebra.

[4] Aurelio Baldor, Álgebra, pp. 5-6.

[5] Roshdi Rashed (Noviembre 2009). Saqi Books, ed.Al Kh-warizmi: The Beginnings of Algebra. ISBN 0-86356-430-5.

[6] C.B. Boyer, 1991, Europe in the Middle Ages, p. 258.

[7] Struik, Dirk J. (1987). A Concise History of Mathematics.New York: Dover Publications. ISBN 0486602559.

[8] Diophantus, Father of Algebra

[9] History of Algebra

[10] Cajori, Florian (2010). A History of Elementary Mathe-matics – With Hints on Methods of Teaching. p. 34. ISBN1-4460-2221-8.

[11] Josef W. Meri (2004). Medieval Civilization. PsychologyPress. p. 31. ISBN 978-0-415-96690-0. Consultado el 25de noviembre de 2012.

[12] "The Origins of Abstract Algebra". University of HawaiiMathematics Department.

[13] Álgebra Aurelio Baldor (2003)

[14] Álgebra Arturo Aguilar (2009)

8 Bibliografía• Aguliar, A., Bravo, F. V., Gallegos, H. A., Cerón,M., & Reyes, R. (2009). Álgebra. México, D. F.:Prentice Hall.

• Baldor, A. (2007). Álgebra. México, D. F.: GrupoEditorial Patria.

9 Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multi-media sobre Álgebra. Commons

• Wikiquote alberga frases célebres de o sobreÁlgebra. Wikiquote

• Wikcionario tiene definiciones y otra informa-ción sobre álgebra.Wikcionario

• Wikiversidad alberga proyectos de aprendizajesobre Álgebra.Wikiversidad

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10.1 Text• Álgebra Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra?oldid=81720773 Colaboradores: Andre Engels, Romero Schmidtke,

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