Historia de La Teoría de Conjuntos - Ahiguera

8/17/2019 Historia de La Teoría de Conjuntos - Ahiguera

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RESEÑA HISTORICA

4.1. La génesis

La Teoría de Conjuntos, cuya posición como piedra angular

de las Matemáticas nadie pone hoy en duda, tuvo un orígen y un

crecimiento de novela, hasta llegar a ser reconocida, ya bien en-

trado el siglo XX, como una rama consolidada e imprescindible

de las Matemáticas.

La noción intuitiva de conjunto ha sido usada por la comu-nidad científica en todas las épocas de desarrollo intelectual y

el concepto aparece de un modo tan natural y tan intuitivo,

que sólo hasta finales del siglo XIX no se hacia distinción al-

guna entre los significados de conjunto, de clase, de grupo o de

colección.

La noción era en apariencia tan transparente, que la famosa

definición literal dada por Cantor en la que “...se entiende por

conjunto la agrupación de un todo de objetos bien diferenciados

de nuestra intuición o de nuestra mente” no despertaba ni el

menor recelo, ni la más pequeña suspicacia dentro del mundomatemático y nadie, por purista que fuera, consideraba nece-

saria una definición más formal.


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40 4. RESEÑA HISTORICA

Las dificultades, y con ellas el verdadero desarrollo de la Teoría

de Conjuntos, comenzaron a aparecer al evidenciarse la conex-

ión entre conjunto, número y magnitud con la cual se lograbael viejo sueño de unificar en una sola raíz todo el conocimien-

to matemático. Ese sueño, que formaba parte del programa

pitagórico de reducir toda la Matemática al número, se había

cristalizado tras recorrer un camino muy complejo y totalmente

inverso al que hoy se sigue cuando se enseñan de manera formal

los sistemas númericos, pues si bien es cierto que desde muy

atrás el Algebra y el Análisis eran fecundos campos de trabajo,

también es cierto que los números, que les servían de base y fun-

damento, nunca habían sido formalizados de manera adecuada.

La Geometría Euclidiana se había sumergido en el Análisis

Clásico mediante el acercamiento, fuertemente intuitivo, de lanoción de magnitud a la noción de número, sin que esta últi-

ma hubiese sido cuestionada ni en su poder, ni en su solidez

matemática. Hamilton, por ejemplo, no se preocupó demasiado

por analizar la consistencia de los números reales sobre los cuales

había fundamentado su construcción de los números complejos.

La fundamentación lógica de los reales se acometió, de modo

serio, sólo en la segunda mitad del siglo XIX, impulsada por

la necesidad de resolver y sustentar de modo adecuado algunos

problemas específicos del Análisis, tales como la demostración

de Bolzano para el Teorema del Valor Intermedio, el estudio delos límites, la prueba de suficiencia del Criterio de Cauchy para

la convergencia y el estudio de las discontinuidades de funciones

representables mediante series de Fourier.

La fundamentación de los números reales requería en primera

instancia de la formalización de los irracionales, cuya existen-

cia presuponía la construcción de los racionales. Los primeros

trabajos sobre los irracionales fueron presentados por Hamilton

en 1833 y en 1835 pero solo fueron publicados en 1837. Des-

de sus cursos en Berlín a partir de 1859, Weierstrass ofreció su

propia teoría de irracionales sustentada en clases de racionales.

En 1869 Meray dió una definición de los irracionales basadaen los racionales y en 1871 Cantor presentó su teoría de irra-

cionales construídos a partir de sucesiones de racionales, seguido


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4.1 La génesis 41

en 1872, por Heine y Dedekind con su teoría de las cortaduras

de racionales.

En 1873 se publica el método de Liuville para construir cualquiernúmero dentro de una clase de números trascendentes. Aparece

la demostración de Hermite sobre la trascendencia de e y en1882 se publica la prueba de Lindemann de la trascendencia de

π que suscitó por parte de Kronecker la frase, que desde su ironíaera muy representativa de la opinión de un grueso número de

matemáticos: “¿qué valor tiene su hermosa demostración, si los

números irracionales no existen?”

Wallis había demostrado en 1696 la identificación de los números

racionales con los números decimales periódicos y en 1886, casi

doscientos años más tarde, Stolz mostró que cada número irra-

cional tiene una representación decimal no periódica y que esacaracterística funcionaba como propiedad definitoria.

El proceso de aritmetización del Análisis, que le dió sentido

pleno a la frase de Kronecker de “Dios creó los naturales, el

resto es obra del hombre.” , se completó con tres trabajos de

importancia histórica: la construcción de los racionales hecha

por Weierstrass a partir de los enteros, en la que representó

a los racionales positivos como pares de números naturales, a

los enteros negativos como otro tipo de pares de naturales y

a los racionales negativos como pares de enteros negativos y

naturales; la teoría de los enteros presentada por Dedekind ensu famosa obra Was sind und was sollen die Zahlen, publicada

en 1888 y que recogía sus trabajos desde 1872 hasta 1878 y la

axiomatización de los números naturales propuesta por Peano en

1889 en su obra Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita .

El trabajo de Peano, que se basaba en algunas ideas de Dedekind

y que luego daría impulso al desarrollo de la Lógica Simbólica

por parte de Frege y de Russell, hizo resurgir una antigua e in-

teresante pregunta: ¿existe un modo no intuitivo de definir las

operaciones entre naturales?

Este interrogante estaba vigente desde Leibnitz y permaneció

sin respuesta hasta mas allá de la primera mitad del siglo XIX,pues solo en 1896 Grassmann inicio el proceso de respuesta,

demostrando las propiedades básicas de los naturales a partir de


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la operación x → x + 1 y el Principio de Inducción Matemática,que había sido concebido por Pascal en el siglo XVII y que era

usado como cosa sabida por un buen número de matemáticos.Es en medio de ese largo y tortuoso camino donde aparece y

se destaca con luz propia el genio del matemático ruso-alemán

Georg Cantor, quien trabajando desde el Análisis en problemas

de series trigonométricas, llega a una clasificación de conjuntos

“excepcionales” y con maravillosa intuición percibe la riqueza

del tema como generador de nuevos y poderosos desarrollos sig-

nificativos.

En 1873 al estudiar los problemas de equipotencia, Cantor

plantea la no enumerabilidad de los reales, pero es en 1874 cuan-

do en un memorable artículo demuestra la enumerabilidad de

los racionales, la no enumerabilidad de los reales y la enumer-abilidad del conjunto de los números algebraicos, esto es de los

números reales que son soluciones de ecuaciones de la forma

anxn + an−1x

n−1 + · · · + a1x + a0 = 0 con ai ∈ Z, introduceel método de diagonalización y con los tres resultados de enu-

merabilidad pone sobre el tapete la presencia del hasta entonces

inaceptable infinito actual o real, noción esta que era rechazada

desde Aristóteles en beneficio del infinito potencial.

La equipotencia entre naturales y racionales echaba por tierra

el intocable postulado de que el todo siempre es mayor que la

parte y la no enumerabilidad de los reales ponía a la vista laexistencia tangible de al menos dos infinitos de tamaños difer-

entes. Solo esos dos hechos, con sus implicaciones matemáticas

y filosóficas ya bastarían para hacer que Cantor fuera parte de

la Historia.

En 1877 demuestra que los puntos de la recta real y los puntos

del espacio n-dimensional Rn con n > 1 son equipotentes y es-cribe nuevamente a Dedekin para manifestarle con sorpresa que

“ lo veo, pero no lo creo”. A esa demostración se opuso Du Bois-

Reymond diciendo: “Repugna al sentido común. De hecho, se

trata simplemente de la conclusión de un tipo de razonamiento

que permite la intervención de ficciones ideales a la que se hace jugar el papel de cantidades genuinas aunque no sean siquiera


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4.1 La génesis 43

límites de representaciones de cantidades. Ahi es donde reside

la paradoja.”

Cantor continua su trabajo y entre 1878 y 1884 escribe unaserie inigualable de artículos en los Mathematishe Annalen at-

acando los problemas de equipotencia, de los conjuntos total-

mente ordenados, de las propiedades topológicas de R y Rn, de

la medida de un conjunto, de la concepción del continuo, de los

conjuntos bien ordenados, de los ordinales y de los cardinales.

Tal y como era de esperarse un trabajo tan revolucionario co-

mo el de Cantor, generó una virulenta reacción por parte de los

sectores más tradicionalistas del mundo matemático. La ácida

crítica, encabezada por Kronecker y Schwarz, ayudó a desen-

cadenar una crisis nerviosa en el genio quién tras un receso re-

tomaría su trabajo sólo hasta 1887. Entre 1895 y 1897 desarrollala teoría de los conjuntos totalmente ordenados, la aritmética de

ordinales, demuestra que m < 2m e intenta probar que existeuna relación de buen orden entre los cardinales. Consigue este

resultado con ayuda de Berstein, quien probó en 1897 que si

a b y b a entonces a b y de Zermelo que en 1904 estable-ció el Principio de Buena Ordenación ya intuído por Cantor

desde 1883.

La persistencia de Cantor, sumada al apoyo personal y cientí-

fico de Dedekind, consiguieron que la Teoría de Conjuntos fuera

reconocida en el Congreso Internacional de Matemáticas realiza-do en Zurich en 1897, donde Hadamard y Hurwitz con el respal-

do de Hilbert, mostraron a la comunidad matemática toda la

contundencia y todo el poder de la nueva teoría al ser utilizada

en Análisis. En resumen: a finales del siglo XIX Cantor había

revolucionado los Fundamentos de la Matemática, había sido

fuertemente combatido y al final había triunfado. Nunca una

Ciencia le había debido tanto a un solo hombre.

El poder de la Teoría de Conjuntos, representado sobre todo

por el manejo del infinito actual, pero en particular por la teoría

de los números transfinitos, había seducido poco a poco a una

buena parte de los matemáticos más importantes de comienzosdel siglo XX, quienes disfrutaban de la riqueza conceptual y

técnica que ofrecía la nueva teoría para sus trabajos en Algebra


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y Análisis. Sin embargo, y por fortuna, todavía no se podía

hablar de un final feliz.

4.2. Las Paradojas

En 1895 Cantor encuentra que la colección de todos los ordi-

nales, que es una colección bien ordenada, no podía ser tratada

como un conjunto, pues sería de hecho un ordinal y por tanto

debería ser isomorfa con un segmento propio, lo cual es contra-

dictorio. Esta paradoja fue publicada en 1897 por Burali-Forti

de quien recibió el nombre con el que pasó a ser conocida en la

literatura especializada.

Por esa misma época Cantor se interrogaba, en carta dirigida

a Dedekind, sí la colección de los números cardinales era real-

mente un conjunto, pues argumentaba que en caso de serlo, su

cardinal sería mayor que cualquier otro, generando de nuevo una

contradicción que desde entonces se conoce como la Paradoja de

Cantor.

Aunque ambas paradojas se daban en la cúpula de la Teoría

de Conjuntos, Cantor vio que eran insalvables con el apara-

to matemático existente y decidió que los conjuntos deberían

dividirse en dos clases: los consistentes, que no generaban prob-

lemas, y los inconsistentes, donde se ubicarían todas las colec-ciones contradictorias.

Siguiendo la misma línea de razonamiento Cantor le planteó

a Dedekind, en carta fechada en 1899, la imposibilidad de con-

siderar la existencia de un conjunto universal, entendido como

aquel que contiene a todos los demás, porque estaría forzado

a contener dentro de sí a su conjunto de partes, lo cual a to-

das luces resultaba imposible. Esta paradoja se conoce como la

Paradoja del Conjunto Universal.

La situación creada por la aparición de esas colecciones prob-

lemáticas podría haber pasado desapercibida, dado que solo to-

caban aspectos muy técnicos y en áreas muy específicas de la

Teoría de Conjuntos, pero comenzaron a aparecer paradojas que

afectaban la noción misma de conjunto, lo cual dejaba un amar-


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4.2 Las Paradojas 45

go sabor general de inconsistencia y resquebrajaba todo el edi-

ficio matemático construído sobre el basamento de dicha teoría.

Las paradojas de Russell, de Richard y de Berry mostraronque si se tomaba desprevenidamente la concepción cantoriana de

conjunto, se corría el riesgo inmenso de generar contradicciones

mayúsculas, no solo en la Teoría de Conjuntos sino también en

la Aritmética y se pondría en grave peligro toda la Matemática.

La paradoja de Russell apareció publicada en The Principles

of Mathematics en 1903 y retomaba, en términos conjuntistas,

la famosa paradoja de Epiménides. Russell consideró la colec-

ción M = {x : x /∈ x} o sea la colección formada por todos loselementos que no se pertenecen a si mismos y se preguntó si

M ∈ M.

Si M ∈ M entonces M debe satisfacer la propiedad defin-itoria, esto es, M /∈ M , pero si M /∈ M entonces M satis-face la definición y por tanto M ∈ M. Es decir se cumple queM ∈ M ⇐⇒ M /∈ M y la contradicción salta a la vista.

En 1905 Richard, en carta dirigida al editor de la Revue

Générale des Sciences Pures et Appliquées, planteó la contradic-

ción que hoy lleva su nombre. En apariencia Richard parece

haber desarrollado su paradoja a partir de algunas notas pre-

sentadas por Hadamard en el Congreso de Heidelberg de 1904,

alrededor de las inconsistencias de Zermelo-König sobre la posi-

bilidad de bien ordenar el continuo y de Cantor-Burali-Fortisobre las nociones de conjuntos bien ordenados. La paradoja se

puede presentar como sigue.

Un subconjunto de números naturales se llamará richardiano

si es un conjunto infinito, con complemento infinito, que puede

ser descrito en un número finito del palabras de un lenguaje

natural dado, por ejemplo el castellano.

El conjunto de los números primos es un buen ejemplo de

un conjunto richardiano, pues es un subconjunto infinito de los

naturales, su complemento es infinito y la pertenencia a él se

puede describir con la expresión finita “ un número natural es

primo sí y solo sí tiene exactamente dos divisores”.Dado que en cualquier lenguaje natural las expresiones finitas,

que describen conjuntos númericos infinitos con complemento


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infinito es enumerable, se puede considerar que E 0, E 1, . . . , E i, . . .es una enumeración de dicha lista.

A cada expresión E j corresponde un conjunto richardiano R jque puede ser codificado mediante un par ordenado de números

naturales de la forma (a j , b j) así: al conjunto R0, descrito porla expresión E 0, se le asigna la pareja (a0,b0) , donde a0 es elmenor natural que pertenece a R0 y b0 es el menor natural queno pertenece a R0. La existencia de ambos está garantizadadado que R0 es richardiano y tanto él como su complementoson infinitos, además dado que los naturales son un conjunto

bien ordenado siempre se puede hallar el menor natural a0 y elmenor natural b0.

Al conjunto R1 se le asigna el par (a1,b1) , donde a1 es el

menor natural que está en R1, b1 es el menor natural que noestá en R1 y además a0 = a1, a0 = b1, a1 = b0 y b0 = b1.O sea, los números usados para la codificación de un conjun-

to richardiano cualquiera no se repiten cuando se codifica otro

conjunto richardiano.

El proceso continua de manera recursiva asignando al conjun-

to Ri la pareja (ai, bi) , de modo que ai es el menor natural queestá en Ri, bi es el menor natural que no pertenece a Ri y los dosnúmeros difieren de todos los números usados en los códigos an-

teriores. La infinitud de cada Ri y de su complemento y el buen

orden deN

garantizan que siempre habrá códigos disponibles.Ahora se puede considerar un nuevo conjunto B, contenido enlos naturales y formado por todas las segundas componentes de

los códigos asignados. B es claramente un conjunto de naturales,infinito, de complemento infinito y está descrito por un número

finito de palabras del castellano. Por tanto B es un conjuntorichardiano y la expresión que lo describe debe ser una de las

expresiones colocadas en la enumeración.

Esto es, la descripción de B es la expresión E py por tanto Bes el conjunto richardiano R p. Luego B debe tener un código(a p,b p) donde b p no pertenece a R p, esto es b p no pertenece a B,

lo cual es contradictorio dado que B se construyó con todas lassegundas componentes de los códigos.


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4.2 Las Paradojas 47

Esta paradoja, a pesar de su clara connotación semántica,

tuvo un impacto grande ya que tocaba de manera directa al

conjunto de los números naturales y dejaba en una incómodaposición a la Aritmética y a todo el aparato matemático que se

sustentaba sobre ella.

La última paradoja que se considerará aquí será la de Berry,

que sin recurrir a una construcción tan complicada y aparatosa

como la de Richard, también tocaba sin disimulo el inmaculado

mundo de los naturales. Esta paradoja fue publicada por Russell

en 1906 y su versión original es como sigue: “Algunos ordinales

son definibles en un número finito de palabras. Supongamos que

existe algún ordinal que no se puede definir así. Los ordinales

menores que este particular forman una serie bien ordenada.

Por lo tanto, si entre ellos hay algunos que no son definibles en un número finito de palabras, hay uno que debe ser el mínimo

que no es definible en un número finito de palabras. Pero esto

es absurdo, pues acabo de definirlo en [veintitrs] palabras”La versión más difundida de esta paradoja puede plantearse

así:

Sea T el conjunto de todos los números naturales que puedenser descritos en menos de dieciseis palabras francesas. Como solo

existe un número finito de palabras francesas, entonces existe

un número finito de combinaciones de dieciseis palabras que

describan conjuntos de números naturales. Por lo tanto T esfinito. Como es obvio, dado que se trabaja sobre N, existiránnaturales mayores que todos los elementos de T y por lo tantogracias al buen orden de N existe “el menor natural que no

puede ser descrito en menos de dieciseis palabras francesas”.

Por definición ese número no puede estar en T pero ese númeroacaba de ser descrito en catorce palabras y por tanto debe estar

en T .Vale la pena anotar que en el texto francés original la frase

de descripción requiere de quince palabras: “le plus petit naturel

qui n’est pas définissable en moins de seize mots francais”.

Si se revisa con juicio la literatura pertinente es posible en-contrar otras paradojas, pero será evidente desde esa misma

revisión, que las ya mencionadas son las más relevantes y signi-


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ficativas dentro de ese fenómeno que el mundo matemático llamó

la Crisis de los Fundamentos y cuya aparición puso a prueba to-

da la capacidad creativa de la que ha sido posiblemente la máspoderosa generación de matemáticos de toda la historia.

4.3. Las respuestas

El reto planteado por la Crisis de los Fundamentos fue de una

magnitud tal, que las diferentes corrientes matemáticas, con sus

correspondientes transfondos filosóficos, se dieron a la tarea de

buscar salidas que solventaran la crisis y que permitieran a la

Matemática continuar con su desarrollo y consolidación, en un

mundo que cada vez era más consciente de la importancia y dela necesidad de contar con una herramienta científica, sólida y

confiable, que sostuviera los avances que se veían y se presentían

en otras áreas del conocimiento humano.

La comunidad científica de comienzos del siglo XX no podía

darse el lujo de permitir que la aparición de las paradojas pusiera

en peligro mortal todo el trabajo de depuración que se había he-

cho sobre la base de la Teoría de Conjuntos, pero tampoco podía

negar que esas contradicciones, rebuscadas o no, eran una bom-

ba de tiempo colocada en los cimientos mismos de la Matemática

y que esa amenaza exigía una respuesta pronta, contundente y

consistente.Tres escuelas de pensamiento enfrentaron el desafío, cada una

con más ahínco que las otras, en una lucha intelectual que en-

frentó a las mentes más lúcidas del planeta durante un buen

número de años y cuyos debates, afirmaciones y técnicas siguen

siendo objeto de trabajo cien años más tarde.

4.3.1. El Logicismo

La Escuela Logiscista había intentado, desde la segunda mitad

del siglo XIX y bajo la batuta directora de Gottlob Frege, recon-

struir la Lógica y dentro de ella toda la Matemática. Aunque la

aparición de las paradojas frenó el trabajo de Frege, la idea fue

continuada por Russell y Whitehead, quienes entre 1910 y 1913


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4.3 Las respuestas 49

desarrollaron una obra monumental: la Principia Mathematica,

en la cual expusieron su filosofía y sus resultados.

Para ellos se partiría del desarrollo de la Lógica y de ahi seseguiría a la Matemática sin necesidad de explicitar axiomas

puramente matemáticos. El desarrollo de la Lógica consistiría en

establecer para ella un sistema de axiomas del cual se deducirían

los teoremas para ser usados en razonamientos posteriores.

La Escuela Logicista creo la Teoría de Tipos, que con base

en algunos conceptos indefinidos tales como proposición, fun-

ción proposicional, afirmación de la verdad de una proposición,

negación de una proposición y disyunción de dos proposiciones

clasifica los conjuntos de acuerdo con el siguiente esquema: los

objetos individuales no tienen elementos y son de nivel 0, una

colección de objetos de nivel 0 es un conjunto de nivel 1 y engeneral una colección de objetos de nivel n será un conjunto denivel n + 1.

Así pues en la Teoría de Tipos la expresión x ∈ z solo tienesentido entre objetos de niveles consecutivos, esto se si x es denivel n y z es de nivel n + 1. Esta restricción impide la apariciónde expresiones como x /∈ x y la paradoja de Russell ni siquierapuede plantearse.

En la Teoría de Tipos los números reales son de un nivel más

que los números racionales y estos a su vez son de un nivel

más que los enteros, que se encuentrasn un nivel por encima delos naturales. Esta técnica evita problemas y paradojas pero

complica hasta lo inimaginable el trabajo matemático. Weil,

al referirse a la muy compleja estructura del logicismo afirmó:

“pone a prueba la fuerza de nuestra fe apenas menos que las

doctrinas de los primeros padres de la Iglesia o de los filósofos

escolásticos de la Edad Media.”

Esa increíble e inmanejable complejidad estructural hizo que

Russell recurriera a artificios de otra escuela, creando lo que

llamó el axioma de reducibilidad, que le permitía garantizar que

para cualquier función proposicional, de cualquier tipo, existía

una función proposicional equivalente de tipo 0.Aunque esto permitía hacer Matemáticas de manera más prác-

tica y expedita, pero le quitó peso a las ideas logicistas, haciendo


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que en un tiempo relativamente corto estas fueran abandonadas

por la mayoría de los matemáticos. Compleja o no, inmanejable

o no, la escuela logicista hizo un formidable esfuerzo de for-malización cuya importancia para la Lógica Matemática nadie

niega.

4.3.2. El Intuicionismo

Una segunda corriente de pensamiento, llamada Escuela In-

tuicionista, planteó un enfoque radicalmente diferente para la

Matemática. Kronecker puede ser considerado como el primer

intuicionista, pues para él era posible aceptar los números natu-

rales a la luz de la intuición y como “ obra de Dios ”, pero lo demás

era “obra del hombre ” y por tanto digno de toda sospecha.

Su ideal era que todo teorema del Análisis se pudiera escribir e

interpretar en términos de relaciones entre naturales. Su segunda

gran objeción al trabajo de los no intuicionistas era la ausencia

, en muchas partes de la Matemática, de métodos o criterios

constructivos para determinar, en un número finito de pasos,

los objetos que manejaban y las propiedades que de ellos se

obtenían.

En su opinión las definiciones deberían incluir los medios

necesarios para calcular efectivamente el objeto definido y las

demostraciones de existencia deberían permitir con cualquiergrado de aproximación, el cálculo del objeto cuya existencia se

afirmaba.

Con respecto al axioma de reducibilidad de los logicistas ase-

guró que “la definición de reducibilidad está desprovista de fun-

damento seguro mientras no se de un método en virtud del cual

se pueda decidir si una función dada es reducible o no”. Es

curioso anotar que aunque la mayoría de esas observaciones

fueron planteadas entre 1870 y 1880, solo comenzaron a ten-

er seguidores a partir de la aparición de la Teoría de Conjuntos

y de la crisis de los Fundamentos.

Un segundo gran defensor de los principios intuicionistas fue

Poincare, quien siempre ridiculizó el intento de basar la Matemáti-

ca en la Lógica, argumentando que ese esfuerzo solo lograría


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convertir a la Matemática en una gran tautología. Rechazaba

todo concepto que no fuera definible en un número finito de

palabras. Para él, un conjunto formado con la ayuda del ax-ioma de elección no estaba realmente definido si la elección se

había hecho sobre una familia infinita de conjuntos. Compartió

con Kronecker la defensa de las definiciones y las demostra-

ciones constructivas. En esa misma línea de pensamiento se for-

maron matemáticos como Baire, Hadamard y Lebesgue quienes

aparte de rechazar la posibilidad de hacer infinitas elecciones

simultáneas a la luz del axioma de elección, también objetaron

la fundamentación axiomática de la Aritmética y la existencia

de los números trascendentes.

Sin demeritar los trabajos y los aportes de los ya mencionados

se puede asegurar que el verdadero fundador del intuicionismofue el matemático holandés Brouwer quien desde su tesis doctor-

al Sobre los Fundamentos de la Matemática comenzó a desarrol-

lar la filosofía intuicionista. Según él, la intuición fundamental

es la presencia de percepciones en una sucesión temporal. De

acuerdo con su tesis, la mente humana construye el concepto de

número natural despues de repeticiones ilimitadas de percep-

ciones. Brouwer concibe el pensamiento matemático como un

proceso de construcción que crea su propio universo, indepen-

diente del universo físico y fáctico de la experiencia y que está

restringido únicamente por la intuición matemática fundamen-tal.

Brouwer no reconoce la obligatoriedad a priori de los prin-

cipios lógicos y no acepta que sea tarea de las Matemáticas el

deducir conclusiones a partir de axiomas. Para él la Matemática

no está obligada a respetar las leyes de la Lógica ya que en su

opinión, es ésta quien se apoya en aquella y no al contrario.

Desde esa perspectiva epistemológica las paradojas, incluída

la de Russell, no son planteables en el universo intuicionista,

pues las colecciones que generan conflicto no son construibles

paso a paso partiendo de los naturales y por tanto pierden todo

su interés. Como complemento a la visión intuicionista sobre laMatemática y su desarrollo, vale la pena anotar que esta escuela

rechaza el Principio del tercero excluído, cuya afirmación de que


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toda proposición es verdadera o falsa es fundamental para las

demostraciones indirectas. Ese rechazo abre la posibilidad para

la existencia de proposiciones indecidibles, en particular en elmundo de los conjuntos infinitos, a los cuales se concibe con

la visión aristotélica de infinito en potencia, pero nunca como

infinito de acto.

El intuicionismo no se limitó al mero acto de criticar y por

el contrario ha intentado recosntruir la Matemática desde su

visión finitística y construccionista. Hoy es posible conseguir en

la bibliografía especializada resultados de impacto que habrían

sido impensables en tiempos de Brouwer o Weil.

4.3.3. El Formalismo

La tercera respuesta a la Crisis de los Fundamentos provino de

la denominada Escuela Formalista, que usando el mismo tipo de

herramientas con que Euclides y Peano trabajaron la Geometría

y la Aritmética, intentó establecer un sustento para el sistema

númerico sin recurrir a la Teoría de Conjuntos, para demostrar

luego su consistencia. Si lo hubieran logrado se habría deducido

también la consistencia de la Geometría.

Aunque Hilbert presentó sus puntos de vista en el Congreso

Internacional de Matemáticas de 1904, se alejó del tema durantequince años, hasta que la virulencia de los ataques intuicionistas

al Análisis Clásico lo hizo regresar, esta vez para quedarse, a en-

frentar los problemas de los Fundamentos. Defendió sus tesis en

una serie de publicaciones hechas en la década de los años veinte

y consiguió gradualmente la adhesión de un muy importante

sector de la comunidad matemática, entre quienes se contaban

algunos de los más prominentes matemáticos contemporáneos.

El Formalismo incluye diversos aspectos, entre los cuales esta

la tendencia a que cualquier fundamentación de las matemáti-

cas debe contar con la Lógica, haciendo que ambas deban ser

tratadas al mismo tiempo. Para los formalistas la Lógica es

un lenguaje simbólico que permite expresar las proposiciones

matemáticas mediante fórmulas, reduciendo el razonamiento a


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un proceso deductivo formal, basado en un sistema de reglas

donde los símbolos carecen de un significado específico.

En 1926 Hilbert afirmó que los objetos del pensamiento matemáti-co son los símbolos mismos, convirtiendólos en la esencia y de-

jando a un lado las representaciones de objetos físicos ideales.

Con relación al rechazo intuicionista al uso del tercero excluí-

do dijo: “Prohibirle a un matemático usar el principio del tercio

excluso es como prohibirle a un astrónomo usar su telescopio o

a un boxeador el uso de sus puños.”

Para el formalismo las Matemáticas son una colección de

sistemas formales, cada uno con su propia lógica y su propia

matemática, esto es, son sistemas independientes donde cada

uno tiene sus propios símbolos primitivos, sus propios concep-

tos, sus propios axiomas, sus reglas de deducción y sus propiosteoremas.

A pesar de esa limpieza teórica, casi quirúrgica, los formalis-

tas seguían teniendo el problema de demostrar la inexistencia de

contradicciones dentro de cada sistema. Para ello Hilbert y al-

gunos de sus alumnos más aventajados, entre ellos Ackermann,

Bernays y Von Neumann, desarrollaron entre 1920 y 1930 la

Teoría de la Demostración, desde la que pretendían, con base

en una lógica plena de razonamientos concretos, procedimientos

y construcciones finitistas, muy próximas al pensamiento intu-

icionista, demostrar la consistencia de toda la Matemática ydado que buena parte de la Matemática Clásica puede reducirse

a la Aritmética de Peano, la demostración de su consistencia

pasó a ser el problema más importante del formalismo.

Infortunadamente para el programa formalista, pero afortu-

nadamente para el ego del hombre, aparece en 1931 un artícu-

lo de Gödel titulado Uber Unentscheisdbare Sátzeder Principia

Mathematica und Verwandter Systeme I, donde demuestra que

cualquier teoría formal axiomatizable que contenga a la Teoría

de Números, esto es a la Aritmética, es incompleta.

Ese resultado conocido como el Teorema de Incompletitud de

Gödel y que demuestra que en las teorías formales que incluyenla Aritmética existen proposiciones para las cuales no es posi-

ble deducir ni su afirmación ni su negación, puso una frontera


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insospechada e inesperada a la ambición formalista y de paso al

sueño humano de alcanzar algún día el conocimiento total. Este

teorema junto con sus implicaciones le dio a Weil la oportunidadde afirmar que Dios existe porque la matemática es consistente

y que el diablo existe porque no es posible demostrar esa con-

sistencia.

Para Zermelo como para otros reputados matemáticos, las

paradojas tenían cabida en la Teoría de Conjuntos porque Can-

tor no había restringido de modo adecuado la noción de con-

junto, permitiendo que se hablara de toda colección y dentro

de ellas de todo elemento aceptable por la mente , dejando así el

espacio suficiente´para que entraran colecciones tan amplias y

conflictivas como las propuestas por Russell y Richard.

Zermelo limitó su trabajo a los que Cantor llamo conjuntos consistentes, por considerar que con ellos era suficiente para

el trabajo matemático y con eso en mente presentó en 1908 un

sistema de axiomas basado en conceptos y relaciones fundamen-

tales definidas de un modo implícito por los mismos axiomas.

Para él la noción de conjunto y la relación de pertenencia

eran esenciales y no podía usarse ninguna propiedad conjuntista

a menos que estuviese garantizada por uno o varios axiomas.

Su idea básica era la de admitir sólo aquellas colecciones de

elementos de las que no se pudiera, de manera verosímil, derivar

una contradicción. Para ello partía de clases seguras y establecíareglas para formar nuevas clases igualmente seguras.

Dentro de las clases seguras consideró sin dudarlo a la clase

vacía, a cualquier clase finita y a la clase de los números natu-

rales. Incluyó dentro de las clases seguras a las subclases de una

clase segura y a la clase de todas las subclases de una clase segu-

ra, pero evitó tajantemente un axioma que le brindará seguridad

al complemento de una clase segura por temor a terminar acep-

tando colecciones demasiado grandes en las que cualquier cosa

pudiera suceder.

El sistema propuesto por Zermelo fue mejorado por Fraenkel

en algunos artículos publicados en 1921 y fue modificado porVon Neumann en 1925, quien introdujo las nociones de elemen-

to y de clase propia, en un esfuerzo por acercarse a las nociones


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de conjunto y multiplicidad que se habían propuesto en la teoría

cantoriana original como mecanismo para diferenciar los conjun-

tos decentes de las colecciones demasiado grandes.La modificación planteada por Von Neumann dió oportunidad

a la aparición de dos alternativas axiomáticas para la Teoría de

Conjuntos, que aunque diferentes en su enfoque de partida, son

equiconsistentes, esto es, llegan a los mismos resultados cuando

ambas se refieren a los objetos llamados conjuntos.

Los dos sistemas hoy conocidos como Zermelo-Fraenkel-Skolem

y Von Neumann-Gödel-Bernays, introdujeron mecanismos for-

males para evitar las paradojas y para tener cierta certeza de

estar haciendo Matemáticas en un mundo seguro.

Ambos sistemas usaron los lenguajes formales definidos por

Skolem, evitando así las paradojas semánticas, y cada uno deellos contempló un axioma que le permitiera evadir la paradoja

de Russell.

El sistema Z-F-S propuso el axioma de selección diciendo que

si A es un conjunto y S (x) es un enunciado sobre x con sentidopara todos los x de A, entonces existe un conjunto formado portodos los elementos de A que hacen verdadero a S (x). De esemodo si se considera la clase de Russell, sólo se podrá escribir

como M = {x ∈ A : x /∈ x} donde A es un conjunto dado.Así M ∈ M es imposible porque implicaría M /∈ M que es

contradictorio. Luego M /∈ M y por tanto M /∈ A porque siM ∈ A se tendría M ∈ M y otra vez contradicción. Mejordicho, en Z-F-S la clase de Russell no es contradictoria porque el

argumento de análisis solo prueba que no pertenece al conjunto

referencial.

VN-G-B planteo el axioma de construcción de clases diciendo

que dado un enunciado S (x) existe una clase formada por todoslos elementos que satisfacen S (x). Aquí es pertinente anotar quepara Von Neumann un elemento es cualquier clase que pertenece

a otra clase y donde una clase es propia si no pertenece a alguna

otra clase. La clase de Russell quedaría entonces escrita como

sigue: M = {x : x es elemento y x /∈ x}. Si se repite el argumentodel párrafo anterior se llegará a que M no es un elemento y portanto no habrá contradicción.


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Las dos teorías lograron de esa manera salvar el obstáculo

propuesto por las paradojas y permitieron la consolidación de la

Teoría de Conjuntos dando a Hilbert la oportunidad de decir en1926 “nadie podrá expulsamos del paraíso que Cantor ha creado

para nosotros ”

Para esa época se podia afirmar que Cantor había propuesto

una nueva rama de la Matemática, había sido criticado agria-

mente, su teoría había sido puesta en entredicho, pero que final-

mente la Teoría de Conjuntos había llegado para quedarse.

Historia de La Teoría de Conjuntos - Ahiguera

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