HISTORIA DE LA MATEMÁTICA

La historia de las matemáticas es el área de estudio que abarca las investigaciones sobre los

orígenes de los descubrimientos en matemáticas, de los métodos matemáticos, de la

evolución de sus conceptos y también en cierto grado, de los matemáticos involucrados.

Antes de la edad moderna y la difusión del conocimiento a lo largo del mundo, los

ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemáticos salían a la luz solo en unos pocos

escenarios. Los textos matemáticos más antiguos disponibles son la tablilla de barro

Plimpton 322 (c. 1900 a. C.), el papiro de Moscú (c. 1850 a. C.), el papiro de Rhind (c.

1650 a. C.) y los textos védicos Shulba Sutras (c. 800 a. C.). En todos estos textos se

menciona el teorema de Pitágoras, que parece ser el más antiguo y extendido desarrollo

Matemático después de la aritmética básica y la geometría.

Tradicionalmente se ha considerado que la matemática, como ciencia, surgió con el fin de

hacer los cálculos en el comercio, para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos

astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la

subdivisión amplia de la matemática en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio.

Las matemáticas egipcias y babilónicas fueron ampliamente desarrolladas por la

matemática helénica, donde se refinaron los métodos (especialmente la introducción del

rigor matemático en las demostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta ciencia.

La matemática en el islam medieval, a su vez, desarrolló y extendió las matemáticas

conocidas por estas civilizaciones ancestrales. Muchos textos griegos y árabes de

matemáticas fueron traducidos al latín, lo que llevó a un posterior desarrollo de las

matemáticas en la Edad Media. Desde el renacimiento italiano, en el siglo XVI, los nuevos

desarrollos matemáticos, interactuando con descubrimientos científicos contemporáneos,

han ido creciendo exponencialmente hasta el día de hoy.

Origen de la matemática

Prehistoria

Sistema chino de numeración con varillas.

Mucho antes de los primeros registros escritos, hay dibujos que indican algún conocimiento

de matemáticas elementales y de la medida del tiempo basada en las estrellas. Por ejemplo,

los paleontólogos han descubierto rocas de ocre en una caverna de Sudáfrica de

aproximadamente 70.000 años de antigüedad, que están adornados con hendiduras en

forma de patrones geométricos. También se descubrieron artefactos prehistóricos en África

y Francia, datados entre el 35.000 y el 20.000 a. C., que sugieren intentos iniciales de

cuantificar el tiempo.

Hay evidencias de que las mujeres inventaron una forma de llevar la cuenta de su ciclo

menstrual: de 28 a 30 marcas en un hueso o piedra, seguidas de una marca distintiva. Más

aún, los cazadores y pastores empleaban los conceptos de uno, dos y muchos, así como la

idea de ninguno o cero, cuando hablaban de manadas de animales. El hueso de Ishango,

encontrado en las inmediaciones del río Nilo, al noreste del Congo, puede datar de antes del

20.000 a. C. Una interpretación común es que el hueso supone la demostración más antigua

conocida de una secuencia de números primos y de la multiplicación por duplicación.

Primeras civilizaciones

En el periodo predinástico de Egipto del V milenio a. C. se representaban pictóricamente

diseños espaciales geométricos. Se ha afirmado que los monumentos megalíticos en

Inglaterra y Escocia, del III milenio a. C., incorporan ideas geométricas tales como círculos,

elipses y ternas pitagóricas en su diseño.

Las primeras matemáticas conocidas en la historia de la India datan del 3000 - 2600 a. C.,

en la Cultura del Valle del Indo (civilización Harappa) del norte de la India y Pakistán. Esta

civilización desarrolló un sistema de medidas y pesas uniforme que usaba el sistema

decimal, una sorprendentemente avanzada tecnología con ladrillos para representar razones,

calles dispuestas en perfectos ángulos rectos y una serie de formas geométricas y diseños,

incluyendo cuboides, barriles, conos, cilindros y diseños de círculos y triángulos

concéntricos y secantes. Los instrumentos matemáticos empleados incluían una exacta

regla decimal con subdivisiones pequeñas y precisas, unas estructuras para medir de 8 a 12

secciones completas del horizonte y el cielo y un instrumento para la medida de las

posiciones de las estrellas para la navegación. La escritura hindú no ha sido descifrada

todavía, de ahí que se sepa muy poco sobre las formas escritas de las matemáticas en

Harappa. Hay evidencias arqueológicas que han llevado a algunos a sospechar que esta

civilización usaba un sistema de numeración de base octal y tenían un valor para π, la razón

entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

Por su parte, las primeras matemáticas en China datan de la Dinastía Shang (1600 −

1046 a. C.) y consisten en números marcados en un caparazón de tortuga.10 Estos números

fueron representados mediante una notación decimal. Por ejemplo, el número 123 se

escribía, de arriba a abajo, como el símbolo para el 1 seguido del símbolo para 100, luego el

símbolo para el 2 seguido del símbolo para 10 y, por último, el símbolo para el 3. Este era

el sistema de numeración más avanzado en su tiempo y permitía hacer cálculos para usarlos

con el suanpan o el ábaco chino. La fecha de invención del suanpan no se conoce con

certeza, pero la mención escrita más antigua data del 190 d. C., en Notas suplementarias

sobre el Arte de las Cifras, de Xu Yue's.

Antiguo Oriente Próximo (c. 1800 a. C.–500 a. C.)

Tablilla de arcilla YBC 7289.

Mesopotamia

Artículo principal: Matemática babilónica.

Las matemáticas babilónicas hacen referencia a las matemáticas desarrolladas por la gente

de Mesopotamia, el actual Irak, desde los días de los primeros sumerios, hasta el inicio del

periodo helenístico. Se llaman matemáticas babilónicas debido al papel central de Babilonia

como lugar de estudio, que dejó de existir durante el periodo helenístico. Desde este punto,

las matemáticas babilónicas se fundieron con las matemáticas griegas y egipcias para dar

lugar a las matemáticas helenísticas. Más tarde, bajo el Imperio árabe, Mesopotamia,

especialmente Bagdad, volvió a ser un importante centro de estudio para las matemáticas

islámicas.

En contraste con la escasez de fuentes en las matemáticas egipcias, el conocimiento sobre

las matemáticas en Babilonia se deriva de más de 400 tablillas de arcilla desveladas desde

1850. Labradas en escritura cuneiforme, fueron grabadas mientras la arcilla estaba húmeda

y cocidas posteriormente en un horno o secadas al sol. Algunas de ellas parecen ser tareas

graduadas.

La mayoría de las tabletas de arcilla recuperadas datan del 1800 al 1600 a. C. y abarcan

tópicos que incluyen fracciones, álgebra, ecuaciones cuadráticas y cúbicas y el cálculo de

primos gemelos regulares recíprocos (véase Plimpton 322).12 Las tablillas también incluyen

tablas de multiplicar y métodos para resolver ecuaciones lineales y ecuaciones cuadráticas.

La tablilla babilónica YBC 7289 da una aproximación de √2 con una exactitud de cinco

posiciones decimales.

Las matemáticas babilónicas fueron escritas usando un sistema de numeración sexagesimal

(base 60). De ahí se deriva la división de un minuto en 60 segundos y de una hora en 60

minutos, así como la de un círculo en 360 (60 × 6) grados y las subdivisiones

sexagesimales de esta unidad de medida de ángulos en minutos y segundos. Los avances

babilónicos en matemáticas fueron facilitados por el hecho de que el número 60 tiene

muchos divisores. También, a diferencia de los egipcios, griegos y romanos, los babilonios

tenían un verdadero sistema de numeración posicional, donde los dígitos escritos a la

izquierda representaban valores de orden superior, como en nuestro actual sistema decimal

de numeración. Carecían, sin embargo, de un equivalente a la coma decimal y así, el

verdadero valor de un símbolo debía deducirse del contexto.

Egipto

Artículo principal: Matemáticas en el Antiguo Egipto.

Papiro de Moscú.

Las matemáticas en el Antiguo Egipto se refieren a las matemáticas escritas en las lenguas

egipcias. Desde el periodo helenístico, el griego sustituyó al egipcio como el lenguaje

escrito de los escolares egipcios y desde ese momento las matemáticas egipcias se

fundieron con las griegas y babilónicas para dar lugar a la matemática helénica. El estudio

de las matemáticas en Egipto continuó más tarde bajo el influjo árabe como parte de las

matemáticas islámicas, cuando el árabe se convirtió en el lenguaje escrito de los escolares

egipcios.

El texto matemático más antiguo descubierto es el papiro de Moscú, que data del Imperio

Medio de Egipto, hacia el 2000-1800 a. C. Como muchos textos antiguos, consiste en lo

que hoy se llaman problemas con palabras o problemas con historia, que tienen la

intención aparente de entretener. Se considera que uno de los problemas es de particular

importancia porque ofrece un método para encontrar el volumen de un tronco: "Si te dicen:

Una pirámide truncada [de base cuadrada] de 6 de altura vertical, por 4 en la base [base

inferior] y 2 en lo alto [base superior]. Haces el cuadrado de 4 y resulta 16. Doblas 4 y

resulta 8. Haces el cuadrado de 2 y resulta 4. Sumas el 16, el 8 y el 4 y resulta 28. Tomas un

tercio de 6 y resulta 2. Tomas 28 dos veces y resulta 56. Mira, es 56. Encontrarás lo

correcto."

El papiro de Rhind13 (hacia 1650 a. C.) es otro texto matemático egipcio fundamental, un

manual de instrucciones en aritmética y geometría. En resumen, proporciona fórmulas para

calcular áreas y métodos para la multiplicación, división y trabajo con fracciones unitarias.

También contiene pruebas de otros conocimientos matemáticos,14 incluyendo números

compuestos y primos, media aritmética, geométrica y armónica, y una comprensión simple

de la criba de Eratóstenes y la teoría de números perfectos (a saber, del número 6). El

papiro también muestra cómo resolver ecuaciones lineales de primer orden15 , así como

series aritméticas y series geométricas. 16

Además, tres elementos geométricos del papiro de Rhind sugieren los rudimentos de la

geometría analítica: cómo obtener una aproximación de con un error menor del 1%; un

antiguo intento de cuadrar el círculo; y el uso más antiguo conocido de un tipo de

cotangente.

Finalmente, el papiro de Berlín (hacia 1300 a. C.)17 muestra que los antiguos egipcios

podían resolver una ecuación cuadrática.18

Matemática en la Antigua India (del 900 a. C. al 200 d. C.)

Numerales brahmí en el siglo I.

Los registros más antiguos existentes de la India son los Sulba Sutras (datados de

aproximadamente entre el siglo VIII a.C. y II d.C), apéndices de textos religiosos con reglas

simples para construir altares de formas diversas, como cuadrados, rectángulos,

paralelogramos y otros. Al igual que con Egipto, las preocupaciones por las funciones del

templo señala un origen de las matemáticas en rituales religiosos. En los Sulba Sutras se

encuentran métodos para construir círculos con aproximadamente la misma área que un

cuadrado, lo que implica muchas aproximaciones diferentes del número π. Adicionalmente,

obtuvieron el valor de la raíz cuadrada de 2 con varias cifras de aproximación, listas de

ternas pitagóricas y el enunciado del teorema de Pitágoras. Todos estos resultados están

presentes en la matemática babilónica, lo cual indica una fuerte influencia de Mesopotamia.

No resulta claro, sin embargo, hasta qué punto los Sulba Sutras influenciaron las

matemáticas indias posteriores. Al igual que en China, hay una falta de continuidad en la

matemática india; significativos avances se alternan con largos períodos de inactividad.

Panini (hacia el siglo V a. C.) formuló las reglas de la gramática del sánscrito. Su notación

fue similar a la notación matemática moderna y usaba "metarreglas", transformaciones

lineales y recursiones.[cita requerida] Pingala (aproximadamente de los siglos III al I a. C.) en su

tratado de prosodia, usa un dispositivo correspondiente a un sistema binario de numeración.[cita requerida] Su discusión sobre la combinatoria de métricas musicales corresponde a una

versión elemental del teorema del binomio. La obra de Pingala también contiene ideas

básicas sobre los números de Fibonacci, llamados mātrāmeru.25

Matemática en la Grecia Antigua

(Desde el 600 a. C. hasta el 300 d. C.)

Artículo principal: Matemática helénica.

Teorema de Pitágoras.

Se acredita a los pitagóricos la primera demostración formal del teorema.

Las matemáticas griegas hacen referencia a las matemáticas escritas en griego desde el

600 a. C. hasta el 300 d. C.26 Los matemáticos griegos vivían en ciudades dispersas a lo

largo del Mediterráneo Oriental, desde Italia hasta el Norte de África, pero estaban unidas

por un lenguaje y una cultura común. Las matemáticas griegas del periodo siguiente a

Alejandro Magno se llaman en ocasiones Matemáticas helenísticas.

Tales de Mileto.

Las matemáticas griegas eran más sofisticadas que las matemáticas que habían desarrollado

las culturas anteriores. Todos los registros que quedan de las matemáticas pre-helenísticas

muestran el uso del razonamiento inductivo, esto es, repetidas observaciones usadas para

establecer reglas generales. Los matemáticos griegos, por el contrario, usaban el

razonamiento deductivo. Los griegos usaron la lógica para deducir conclusiones, o

teoremas, a partir de definiciones y axiomas.27 La idea de las matemáticas como un

entramado de teoremas sustentados en axiomas está explícita en los Elementos de Euclides

(hacia el 300 a. C.).

Se cree que las matemáticas griegas comenzaron con Tales (hacia 624 a.C – 546 a.C) y

Pitágoras (hacia 582 a. C. - 507 a. C.). Aunque el alcance de su influencia puede ser

discutido, fueron inspiradas probablemente por las matemáticas egipcias, mesopotámicas e

indias. Según la leyenda, Pitágoras viajó a Egipto para aprender matemáticas, geometría y

astronomía de los sacerdotes egipcios.

Tales usó la geometría para resolver problemas tales como el cálculo de la altura de las

pirámides y la distancia de los barcos desde la orilla. Se atribuye a Pitágoras la primera

demostración del teorema que lleva su nombre, aunque el enunciado del teorema tiene una

larga historia.26 En su comentario sobre Euclides, Proclo afirma que Pitágoras expresó el

teorema que lleva su nombre y construyó ternas pitagóricas algebraicamente antes que de

forma geométrica. La Academia de Platón tenía como lema "Que no pase nadie que no sepa

Geometría".

Los Pitagóricos probaron la existencia de números irracionales. Eudoxio (408 al 355 a. C.)

desarrolló el método exhaustivo, un precursor de la moderna integración. Aristóteles (384

al 322 a. C.) fue el primero en dar por escrito las leyes de la lógica. Euclides (hacia el

300 a. C.) dio el ejemplo más temprano de la metodología matemática usada hoy día, con

definiciones, axiomas, teoremas y demostraciones. También estudió las cónicas. Su libro

Elementos fue conocido por todo el mundo occidental culto hasta la mitad del siglo XX.26

Además de los teoremas familiares sobre geometría, tales como el Teorema de Pitágoras,

"Los elementos" incluye una demostración de que la raíz cuadrada de dos es un número

irracional y otra sobre la infinitud de los números primos. La Criba de Eratóstenes (hacia

230 a. C.) fue usada para el descubrimiento de números primos.

Arquímedes de Siracusa (hacia 287-212 a. C.) usó el método exhaustivo para calcular el

área bajo un arco de parábola con ayuda de la suma de una serie infinita y dio una

aproximación notablemente exacta de pi.28 También estudió la espiral, dándole su nombre,

fórmulas para el volumen de superficies de revolución y un ingenioso sistema para la

expresión de números muy grandes.

Matemática en la China clásica (c. 500 a. C. – 1300 d. C.)

Los nueve capítulos sobre el arte matemático.Artículo principal: Matemática china.

En China, el emperador Qin Shi Huang (Shi Huang-ti) ordenó en el 212 a. C. que todos los

libros de fuera del estado de Qin fueran quemados. El mandato no fue obedecido por todo

el mundo, pero como consecuencia se conoce muy poco acerca de la matemática en la

China ancestral.

Desde la Dinastía Zhou, a partir del 1046 a. C., el libro de matemáticas más antiguo que

sobrevivió a la quema fue el I Ching, que usa trigramas y hexagramas para propósitos

filosóficos, matemáticos y místicos. Estos objetos matemáticos están compuestos de líneas

enteras o divididas llamadas yin (femenino) y yang (masculino), respectivamente (véase

Secuencia del Rey Wen).

La obra más antigua sobre geometría en China viene de canon filosófico mohista, hacia el

330 a. C., recopilado por los acólitos de Mozi (470-390 a.c.). El Mo Jing describió varios

aspectos de muchos campos relacionados con la física así como proporcionó una pequeña

dosis de matemáticas.

Después de la quema de libros, la dinastía Han (202 a.C - 220 d.C) produjo obras

matemáticas que presumiblemente abundaban en trabajos que se habían perdido. La más

importante de estas es Los nueve capítulos sobre el arte matemático, cuyo título completo

apareció hacia el 179 d. C., pero existía anteriormente en parte bajo otros títulos. La obra

consiste en 246 problemas en palabras que involucran agricultura, negocios, usos

geométricos para establecer las dimensiones de las pagodas, ingeniería, agrimensura y

nociones sobre triángulos rectángulos y π. También se usa el Principio de Cavalieri sobre

volúmenes más de mil años antes de que el propio Cavalieri lo formulara en Occidente. Se

crearon pruebas sobre el Teorema de Pitágoras y una formulación matemática de la

eliminación de Gauss-Jordan. Liu Hui hizo un comentario de la obra hacia el siglo III d. C.

En resumen, las obras matemáticas del Han astrónomo e inventor Zhang Heng (78–

139 d. C.) contenían una formulación para pi también, la cual difería de los cálculos de Liu

Hui. Zhang Heng usó su fórmula de pi para encontrar volúmenes esféricos. Estaban

también los trabajos escritos del matemático y teórico de la música Jing Fang (78–37 a. C.);

mediante el uso de la coma pitagórica, Jing observó que 53 quintas justas se aproximan a

31 octavas. Esto llevaría más tarde al descubrimiento del temperamento igual que divide a

la octava en 53 partes iguales y no volvería a ser calculado con tanta precisión hasta que en

el siglo XVII lo hiciese el alemán Nicholas Mercator.

Los chinos también hicieron uso de diagramas combinatorios complejos conocidos como

cuadrado mágico y círculo mágico, descritos en tiempos ancestrales y perfeccionados por

Yang Hui (1238–1398 d. C.).

Zu Chongzhi (siglo V) de las Dinastías del Sur y del Norte calculó el valor de π hasta siete

lugares decimales, lo que daba lugar al valor de π más exacto durante casi 1000 años.

Incluso después de que las matemáticas europeas comenzasen a florecer durante el

Renacimiento, las matemáticas chinas y europeas mantuvieron tradiciones separadas, con

un significativo declive de las chinas, hasta que misioneros jesuitas como Matteo Ricci

intercambiaron las ideas matemáticas entre las dos culturas entre los siglos XVI y XVIII.

Matemática en Japón

Sangaku.

La matemática que se desarrolla en Japón durante el período Edo (1603 - 1887), es

independiente de la matemática occidental; a este período pertenece el matemático Seki

Kōwa, de gran influencia por ejemplo, en el desarrollo del wasan (matemática tradicional

japonesa), y cuyos descubrimientos (en áreas como el cálculo integral), son casi

simultáneos a los matemáticos contemporáneos europeos como Gottfried Leibniz.

La matemática japonesa de este período se inspira de la matemática china, está orientada a

problemas esencialmente geométricos. Sobre tablillas de madera llamadas sangaku, son

propuestos y resueltos «enigmas geométricos»; de allí proviene, por ejemplo, el teorema del

sexteto de Soddy.

Matemática en la India clásica

(Hacia 400–1600)

Artículo principal: Matemática en la India.

Aryabhata.

Los avances en matemática india posteriores a los Sulba Sutras son los Siddhantas, tratados

astronómicos de los siglos IV y V d.C. (período Gupta) que muestran una fuerte influencia

helénica.29 Son significativos en cuanto a que contienen la primera instancia de relaciones

trigonométricas basadas en una semi-cuerda, como en trigonometría moderna, en lugar de

una cuerda completa, como en la trigonometría ptolemaica.29 Con una serie de alteraciones

y errores de traducción de por medio, las palabras "seno" y "coseno" derivan del sánscrito

"jiya" y "kojiya".29

El Suria-sidhanta (hacia el año 400) introdujo las funciones trigonométricas de seno,

coseno y arcoseno y estableció reglas para determinar las trayectorias de los astros que son

conformes con sus posiciones actuales en el cielo. Los ciclos cosmológicos explicados en el

texto, que eran una copia de trabajos anteriores, correspondían a un año sideral medio de

365.2563627 días, lo que solo es 1,4 segundos mayor que el valor aceptado actualmente de

365.25636305 días. Este trabajo fue traducido del árabe al latín durante la Edad Media.30 31

En el siglo V d.C, Aryabhata escribe el Aryabhatiya, un delgado volumen concebido para

complementar las reglas de cálculo utilizadas en astronomía y en medida matemática.

Escrito en verso, carece de rigor lógico o metodología deductiva.32 Aunque casi la mitad de

las entradas son incorrectas, es en el Aryabhatiya en donde el sistema decimal posicional

aparece por vez primera. Siglos más tarde, el matemático árabe Abu Rayhan Biruni

describiría este tratado como "una mezcla de guijarros ordinarios y cristales onerosos"32

En el siglo VII Brahmagupta identificó el teorema de Brahmagupta, la identidad de

Brahmagupta y la fórmula de Brahmagupta y, por primera vez en Brahma-sphuta-

siddhanta, explicó claramente los dos usos del número 0: como un símbolo para rellenar un

hueco en el sistema posicional y como una cifra y explicó el sistema de numeración hindo-

arábigo.33 Fue a raíz de una traducción de este texto indio sobre matemáticas (hacia el 770)

cuando las matemáticas islámicas tuvieron acceso a este sistema de numeración, que

posteriormente adaptaron usando los numerales arábigos. Los estudiantes árabes exportaron

este conocimiento a Europa hacia el siglo XII y terminó desplazando los sistemas de

numeración anteriores en todo el mundo. En el siglo X, un comentario de Halayudha sobre

la obra de Pingala incluía un estudio de la sucesión de Fibonacci y del triángulo de Pascal y

describía la formación de una matriz.[cita requerida]

Los progresos en matemáticas así como en otras ciencias se estancaron en la India a partir

de la conquista musulmana de la India.

Matemática islámica

(Hacia 800-1500)

Artículo principal: Matemática en el islam medieval.Véase también: Números arábigos.

Muhamad ibn Musa al-Kuarizmi.

Hizo aportes significativos en matemáticas en el siglo octavo. Aunque la mayor parte de los

textos islámicos sobre matemáticas fueron escritos en árabe, no todos fueron escritos por

árabes, dado que, así como el griego era usado en el mundo helenístico, el árabe era usado

como el lenguaje escrito de los intelectuales no árabes a lo largo del mundo islámico en

aquella época. Junto con los árabes, muchos otros importantes matemáticos islámicos

fueron persas.

En el siglo IX, Al-Juarismi escribió varios libros importantes sobre los números arábigos y

sobre los métodos de resolución de ecuaciones. Su libro Sobre los cálculos con números

arábigos, escrito alrededor del año 825, junto con el trabajo de Al-Kindi, fueron

instrumentos para dar a conocer las matemáticas árabes y los números arábigos en

Occidente. La palabra algoritmo se deriva de la latinización de su nombre, Algoritmi, y la

palabra álgebra del título de uno de sus trabajos. Al-Juarismi a menudo es apodado "el

padre del álgebra", por sus importantes contribuciones a este campo. Aportó una meticulosa

explicación a la solución de ecuaciones de segundo grado con raíces positivas, y fue el

primero en enseñar el álgebra en sus formas más elementales. También introdujo el método

fundamental de "reducción" y "balance", refiriéndose a la colocación de los términos

restados al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos iguales que se

encuentran en lados opuestos de una ecuación. Esta operación fue descrita originariamente

por Al-Jarismi como al-jabr. Su álgebra no solo consistía "en una serie de problemas sin

resolver, sino en una exposición que comienza con las condiciones primitivas que se deben

dar en todos los prototipos de ecuaciones posibles mediante una serie de combinaciones, a

partir de este momento serán objeto de estudio."

El posterior desarrollo del álgebra vino de la mano de Al-Karaji. En su tratado al-Fakhri

extiende la metodología para incorporar potencias y raíces de cantidades desconocidas. La

primera demostración por inducción matemática de la que se tiene constancia aparece en un

libro escrito por Al-Karaji en el 1000 d.C., en el que demuestra el teorema del binomio, el

triángulo de Pascal, y la suma de cubos integrales.45 El historiador de las matemáticas, F.

Woepcke,46 elogió a Al-Karaji por haber sido "el primero en introducir la teoría del cálculo

algebraico." También en el siglo X Abul Wafa tradujo las obras de Diofanto al árabe y

desarrolló la función tangente. Ibn al-Haytham fue el primer matemático en deducir la

fórmula de la suma de las ecuaciones cuárticas, usando un método que puede generalizarse

para determinar la fórmula general de la suma de cualquier potencia entera. Desarrolló una

integración para calcular el volumen de un paraboloide y fue capaz de generalizar sus

resultados para las integrales de polinomios de más de cuarto grado. Incluso se acercó

bastante a la fórmula general de la integral de polinomios, aunque no estaba interesado en

polinomios de grado mayor que cuatro.47

En las postrimerías del siglo XI, Omar Khayyam escribió un libro sobre los defectos en los

Elementos de Euclides, especialmente el postulado de las paralelas, y estableció los

fundamentos de la geometría analítica y la geometría no euclídea. También fue el primero

en encontrar la solución geométrica a la ecuación cúbica e influyó en la reforma del

calendario.

Matemática en Occidente

Ilustración de los Elementos de Euclides, hacia 1309 - 1316.

Durante la Edad Media las aplicaciones del álgebra al comercio, y el dominio de los

números, lleva al uso corriente de los números irracionales, una costumbre que es luego

transmitida a Europa. También se aceptan las soluciones negativas a ciertos problemas,

cantidades imaginarias y ecuaciones de grado tres.

Matemática medieval en Europa

El desarrollo de las matemáticas durante la edad media es frecuentemente motivada por la

creencia en un «orden natural»; Boecio las sitúa dentro del currículo, en el siglo VI, al

acuñar el término Quadrivium para el estudio metódico de la aritmética, la geometría, la

astronomía y la música; en su De institutione arithmetica, una traducción de Nicómaco,

entre otros trabajos que constituyeron la base de la matemática hasta que se recuperaron los

trabajos matemáticos griegos y árabes.48 49

Las nuevas fuentes dan un impulso a las matemáticas. Fibonacci escribe su Liber Abaci en

1202, reeditado en 1254, produce el primer avance significativo en matemática en Europa

con la introducción del sistema de numeración indio: los números arábigos (sistema de

notación decimal, posicional y con uso común del cero).

Esta enseñanza se transmite en las botteghe d'abbaco o «escuelas de ábacos», en donde los

maestri enseñaban la aritmética, la geometría y los métodos calculatorios a los futuros

comerciantes, a través de problemas recreativos, conocidos gracias a «tratados de álgebra»

que estos maestros han dejado. Aunque el álgebra y la contabilidad corren por senderos

separados, para cálculos complejos que involucran interés compuesto, un buen dominio de

la Aritmética es altamente valorado.

Hay un fuerte desarrollo en el área de las matemáticas en el siglo XIV, como la dinámica

del movimiento. Thomas Bradwardine propone que la velocidad se incrementa en

proporción aritmética como la razón de la fuerza a la resistencia se incrementa en

proporción geométrica, y muestra sus resultados con una serie de ejemplos específicos,

pues el logaritmo aún no había sido concebido; su análisis es un ejemplo de cómo se

transfirió la técnica matemática utilizada por al-Kindi y Arnau de Vilanova.

Los matemáticos de esta época (tales como los calculatores de Merton College, de Oxford),

al no poseer los conceptos del cálculo diferencial o de límite matemático, desarrollan ideas

alternativas como por ejemplo: medir la velocidad instantánea como la "trayectoria que

habría seguido [un cuerpo] si... hubiese sido movido uniformemente con un mismo grado

de velocidad con el que es movido en ese instante dado"; o bien: determinar la distancia

cubierta por un cuerpo bajo movimiento uniforme acelerado (hoy en día resuelto con

métodos de integración). Este grupo, compuesto por Thomas Bradwardine, William

Heytesbury, Richard Swineshead y John Dumbleton, tiene como principal éxito la

elaboración del teorema de la velocidad media que más tarde, usando un lenguaje

cinemático y simplificado, compondría la base de la "ley de la caída de los cuerpos", de

Galileo.

Ritratto di Luca Pacioli, 1495, atribuido a Jacopo de'Barbari (Museo di Capodimonte).

Nicolás Oresme en la Universidad de París y el italiano Giovanni di Casali, proveyeron -

independientemente- una demostración gráfica de esta relación.57 En un comentario

posterior a los Elementos, Oresme realiza un análisis más detallado en el cual prueba que

todo cuerpo adquiere, por cada incremento sucesivo de tiempo, un incremento de una

cualidad que crece como los números impares. Utilizando el resultado de Euclides que la

suma de los números impares son los cuadrados, deduce que la cualidad total adquirida por

el cuerpo, se incrementará conforme el cuadrado del tiempo.

Pacioli introduce símbolos por primera vez en un libro impreso, lo que luego se convirtió

en una notación convencional. También es el primer libro conocido de álgebra (mucho del

contenido es plagiado de Piero della Francesca).

Durante la primera mitad del siglo XVI, Scipione del Ferro y Niccolò Fontana Tartaglia

descubren las soluciones complejas de las ecuaciones cúbicas, trabajando en la resolución

de ecuaciones. Retomado por Tartaglia y publicado por Cardan, encuentran una primera

formulación junto con Bombelli. Gerolamo Cardano publicará el Ars magna junto con un

trabajo de su alumno Ferrari, quien resuelve las ecuaciones de cuarto grado. En 1572 Rafael

Bombelli publica su L'Algebra, en el que muestra cómo utilizar las cantidades imaginarias

que podrían aparecer en la fórmula de Cardano para las ecuaciones de grado tres.

Hasta fines del siglo XVI, la resolución de problemas matemáticos continúa siendo una

cuestión retórica. El cálculo simbólico aparecerá en 1591, con la publicación del Isagoge

Artem Analycitem de François Viète y la introducción de notaciones específicas para las

constantes y las variables (trabajo popularizado y mejorado por Harriot, Fermat y

Descartes, cambiará por completo el trabajo algebraico desarrollado en Europa).

La Revolución Científica de los siglos XVII y XVIII

Leonhard Euler por Emanuel Handmann.

Las matemáticas se inclinan sobre aspectos físicos y técnicos. Isaac Newton y Gottfried

Leibniz crean el cálculo infinitesimal, con lo que se inaugura la era del Análisis

Matemático, la derivada, la integración y las ecuaciones diferenciales.

El universo matemático de comienzos del siglo XVIII está dominado por la figura de

Leonhard Euler y por sus aportes tanto sobre funciones matemáticas como teoría de

números, mientras que Joseph-Louis Lagrange alumbra la segunda mitad del siglo.

El siglo precedente había visto la puesta en escena del cálculo infinitesimal, lo que abría la

vía al desarrollo de una nueva disciplina matemática: el análisis algebraico, en el que, a las

operaciones clásicas del álgebra, se añaden la diferenciación y la integración. El cálculo

infinitesimal se aplica tanto en la física (mecánica, mecánica celeste, óptica, cuerdas

vibrantes) como en geometría (estudio de curvas y superficies). Leonhard Euler, en Calculi

différentialis (1755) y en Institutiones calculi integralis (1770), intenta establecer las reglas

de utilización de los infinitos pequeños y desarrolla métodos de integración y de resolución

de ecuaciones diferenciales. La función matemática se vuelve un objeto de estudio a parte

entera. Matemáticos de la talla de Brook Taylor, James Stirling, Euler, Maclaurin o

Lagrange, la utilizan en problemas de optimización; se la desarrolla en series enteras o

asintóticas pero sin preocuparse de su convergencia. Leonhard Euler elabora una

clasificación de funciones. Se intenta aplicarla a los reales negativos o complejos. El

teorema fundamental del álgebra (existencia de raíces eventualmente complejas a todo

polinomio) que tenía forma de conjetura desde hacía dos siglos, es revalorizado en la

utilización de la descomposición en elementos simples, necesario para el cálculo integral.

Sucesivamente, Euler (1749) y Lagrange (1771), intentan demostraciones algebraicas pero

se enfrentan a la parte trascendente del problema (todo polinomio de grado impar sobre R

posee una raíz real), que necesitará de la utilización de un teorema de valores intermedios.

En aritmética, Euler demuestra el pequeño teorema de Fermat y da una versión extendida a

los números compuestos (1736-1760).

Matemática moderna

Siglo XIX

La historia matemática del siglo XIX es inmensamente rica y fecunda. Demasiado como

para ser abarcada en su totalidad dentro de la talla razonable de este artículo; aquí se

presentan los puntos sobresalientes de los trabajos llevados a cabo durante este período.

Numerosas teorías nuevas aparecen y se completan trabajos comenzados anteriormente.

Domina la cuestión del rigor, como se manifiesta en el «análisis matemático» con los

trabajos de Cauchy y la suma de series (la cual reaparece a propósito de la geometría),

teoría de funciones y particularmente sobre las bases del cálculo diferencial e integral al

punto de desplazar las nociones de infinitamente pequeño que habían tenido notable éxito el

siglo pasado. Más aún, el siglo marca el fin del amateurismo matemático: las matemáticas

eran consideradas hasta entonces como obra de algunos particulares, en este siglo, se

convierten en profesiones de vanguardia. El número de profesionales no deja de crecer y las

matemáticas adquieren una importancia nunca antes vista. Las aplicaciones se desarrollan

rápidamente en amplios dominios, haciendo creer que la ciencia todo lo puede; algunos

sucesos así parecen atestiguarlo, como el descubrimiento de un nuevo planeta únicamente

por el cálculo, o la explicación de la creación del sistema solar. El dominio de la física,

ciencia experimental por excelencia, se ve completamente invadido por las matemáticas: el

calor, la electricidad, el magnetismo, la mecánica de fluidos, la resistencia de materiales y

la elasticidad, la cinética química,... son todas matematizadas.

Joseph-Louis Lagrange

Augustin Louis Cauchy Carl Friedrich Gauss

Bernhard Riemann Pierre de Laplace

William Rowan Hamilton Gottlob Frege

Durante el siglo XIX las matemáticas se vuelven más abstractas. El trabajo revolucionario

de Carl Friedrich Gauss (1777–1855) en matemática pura, incluye la primera prueba

satisfactoria del «teorema fundamental de la aritmética» y de la «ley de reciprocidad

cuadrática», además de numerosas contribuciones en función matemática, variable

compleja, geometría, convergencia de series, ...

En este siglo se desarrollan dos formas de geometría no euclidiana, en las que el postulado

de las paralelas de la geometría euclídea ya no es válido. El matemático ruso Nikolai

Ivanovich Lobachevsky y su rival, el matemático húngaro János Bolyai,

independientemente definen y estudian la geometría hiperbólica. La geometría elíptica fue

desarrollada más tarde por el matemático alemán Bernhard Riemann, quien también

introduce el concepto de variedad (matemática) (y la hoy llamada Geometría de Riemann).

En álgebra abstracta, Hermann Grassmann da una primera versión de espacio vectorial.

George Boole divisa un álgebra que utiliza únicamente los números 0 y 1, la hoy conocida

como Álgebra de Boole, que es el punto de partida de la lógica matemática y que tiene

importantes aplicaciones en ciencias de la computación.

Augustin Louis Cauchy, Bernhard Riemann y Karl Weierstrass reformularon el cálculo de

manera más rigurosa.

RESEÑA HISTORICA DE LAS MATEMÁTICAS

El mundo de las matemáticas es, sin duda, discutible, El hombre primitivo necesita el

número para contar tal o cual categoría de objetos, para verificar la cuenta de su rebaño o

para efectuar sus estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades. En

el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las

magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a la

generalización de ambos (como en el álgebra). Las matemáticas se empezaron a considerar

como la ciencia de las relaciones en el siglo XIX, o como la ciencia que produce

condiciones necesarias, ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría

exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y

reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos.

Las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad: tejidos y en las pinturas

rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras

geométricas. Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de

los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas

numéricos en los que las bases son los números 5 y 10.

Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio

a.C., en Babilonia y Egipto, estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en

medidas y cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticos como los axiomas

o las demostraciones.

Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (a), junto con la fracción B, para

expresar todas las fracciones. Los egipcios fueron capaces de resolver problemas

aritméticos con fracciones, así como problemas algebraicos elementales. En geometría

encontraron las reglas correctas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios,

y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, por supuesto, pirámides. Para calcular

el área de un círculo, utilizaban un cuadrado de lado U del diámetro del círculo, valor muy

cercano al que se obtiene utilizando la constante pi (3,14).

La matemática es una ciencia que ya ha cumplido más 2000 años y aunque actualmente

está estructurada y organizada, esta operación llevó muchísimo tiempo. Trataremos la

evolución de los conceptos e ideas matemáticas siguiendo su desarrollo histórico. En

realidad, las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad. Ya la encontramos

en los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres (donde se

pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas).

Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de

una o dos manos (prestar atención como cuentan los niños), lo que resulta evidente por la

abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5 y 10.

También durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos signos matemáticos y

algebraicos. El matemático francés François Viète llevó a cabo importantes estudios sobre

la resolución de ecuaciones. Sus escritos ejercieron gran influencia en muchos matemáticos

del siglo posterior, incluyendo a Pierre de Fermat en Francia e Isaac Newton en Inglaterra.

Durante el siglo XVII tuvieron lugar los más importantes avances en las matemáticas, el

siglo comenzó con el descubrimiento de los logaritmos por el matemático escocés John

Napier (Neper); su gran utilidad llevó al astrónomo francés Pierre Simon Laplace a decir,

dos siglos más tarde, que Neper, al reducir el trabajo de los astrónomos a la mitad, les había

duplicado la vida.

Otro avance importante en las matemáticas del siglo XVII fue la aparición de la teoría de la

probabilidad a partir de la correspondencia entre Pascal y Fermat sobre un problema

presente en los juegos de azar, el llamado problema de puntos. Este trabajo llevó al

científico holandés Christiaan Huygens a escribir un pequeño folleto sobre probabilidad en

juegos con dados, que fue publicado en el Ars coniectandi (1713) del matemático suizo

Jacques Bernoulli. Tanto Bernoulli como el francés Abraham De Moivre, en su Doctrina

del azar de 1718, utilizaron el recién descubierto cálculo para avanzar rápidamente en su

teoría, que para entonces tenía grandes aplicaciones en pujantes compañías de seguros.

El gran matemático del siglo XVIII fue el suizo Leonhard Euler, quien aportó ideas

fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Euler

escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a seguir

para otros autores interesados en estas disciplinas. Sin embargo, el éxito de Euler y de otros

matemáticos para resolver problemas tanto matemáticos como físicos utilizando el cálculo

sólo sirvió para acentuar la falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas

del cálculo. La teoría de Newton estaba basada en la cinemática y las velocidades, la de

Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente algebraico y

basado en el concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados en

comparación con el modelo lógico de la geometría griega, y este problema no fue resuelto

hasta el siglo posterior.

El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca.

Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas

y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos,

siguen sin solución. Al mismo tiempo siguen apareciendo nuevos y estimulantes

problemas. Parece que incluso las matemáticas más abstractas están encontrando

aplicación.

HISTORIA DE LOS SIGNOS Y SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

A Euler le parecía que sus símbolos y fórmulas se encargaban de pensar por él . Incluso

dijo algo parecido de su lápiz. Y es que en ocasiones parece que los símbolos nos

devuelven más de lo que pusimos en ellos, como si fueran más sabios que sus creadores.

Suma y resta

Estamos en el siglo XV y poco a poco se van imponiendo abreviaturas para indicar algunas

operaciones matemáticas. Por ejemplo, los italianos utilizaban una p y una m para indicar la

suma y la resta (plus y minus, en latín). Sin embargo, acabó imponiéndose la abreviatura

alemana + y -. Estos signos se utilizaban originariamente para indicar exceso y defecto en

la medida de las mercancías en los almacenes. De hecho, el texto más antiguo que se

conoce en el que aparecen estos signos con el sentido de suma y resta es un libro de

aritmética comercial del alemán Johann Widman publicado en 1489. Pese a su uso por los

alemanes, parece ser que el signo + tiene origen latino por ser una contracción medieval de

la palabra et (la conjunción copulativa "y").

Producto

Muchos algoritmos para obtener productos y proporciones hacían uso, en los viejos tiempos

de la aritmética, de la cruz de San Andrés (el aspa). Quizá por ello Oughtred, allá por 1631,

la eligió como símbolo para sus multiplicaciones y pronto otros autores siguieron su

ejemplo. Pero no todos: Leibniz, en 1698, le escribió a Johann Bernoulli: "no me gusta

como símbolo para la mutiplicación, pues se confunde demasiado fácilmente con la x; ... a

menudo relaciono dos cantidades con un punto interpuesto, e indico la multiplicación

mediante ZC·LM". Es decir, que Leibniz, para evitar confusiones, señalaba de la misma

manera proporciones y productos, con un sencillo punto.

Me pregunto si habrá alguna razón para que nos empeñemos en enseñar a los niños a

utilizar el aspa y después, cuando ya están acostumbrados, les digamos que se olviden y

que utilicen el punto. ¿Quizá es otro caso de recapitulación embriológica? 

Otra posibilidad (*) para indicar el producto es no poner nada en absoluto entre los factores,

como cuando escribimos xy para indicar 'x por y'. Descartes, cuando en la página 7 de su

Geometria fija la notación que va a utilizar, dice: "Et ab, pour les multiplier l'une par

l'autre". Lo que no sé es si fue el primero en utilizar esta notación.

División

La barra horizontal de las fracciones (de origen árabe) ya era usada por Fibonacci en el

siglo XIII, aunque no se generalizó hasta el siglo XVI. Es, desde luego, la forma más

satisfactoria, pues no solo indica la operación sino que en el caso de que sean varias las

operaciones a realizar establece el orden de prioridad entre ellas (digamos que además de

signo es paréntesis). La barra oblicua /, variante de la anterior para escribir en una sola

línea, fue introducida por De Morgan en 1845.

En 1659 el suizo Johann Heinrich Rahn inventó para la división el signo , que resulta

bastante gráfico una vez que la barra de fracción es norma general. No tuvo mucho éxito en

su país, Suiza, ni en la Europa continental, pero sí en Gran Bretaña y los Estados Unidos.

Los dos puntos se deben a Leibniz (1684), la división en una sola línea y la notación con

raya de fracción no fuese por tanto adecuada. Este signo mantiene el parentesco de la

división con la multiplicación, para la que Leibniz usaba un punto.

En cuanto al gnomon o ángulo que utilizamos para separar dividendo, divisor y cociente en

la división larga no se dispone de una información precisa. Boyer, en su Historia de la

matemática, p.282, dice: "Los árabes, y a través de ellos más tarde los europeos, adoptaron

la mayor parte de sus artificios aritméticos de los hindúes, y por tanto es muy probable que

también provenga de la India el método de "división larga" conocido como el "método de la

galera", por su semejanza con un barco con las velas desplegadas."  Pues bien: en dicho

"método de la galera" se utilizaba un ángulo parecido al que se usa en la actualidad para

separar el divisor de los otros números.

Raíz

Este signo lo introdujo el matemático alemán Christoph Rudolff en 1525. El mismísimo

Euler conjeturó en 1775 que se trataba de una forma estilizada de la letra r, inicial del

término latino radix, "radical". Otra teoría, sin embargo, dice que el signo actual evolucionó

a partir de un punto (signo que en ocasiones se utilizó delante de las expresiones para

indicar la extracción de la raíz cuadrada) al que posteriormente se le añadió un trazo

oblicuo en la dirección del radicando (gracias, Raquel).Cualquiera sabe: incluso puede que

las dos explicaciones sean correctas.

Cero

Aunque se han encontrado documentos muy antiguos donde se usan símbolos para

representar la posición vacía en un número (en Mesopotamia, tabla encontrada en Kish del

700 a.C., y en Grecia, en el Almagesto de Ptolomeo escrito hacia el 130), no es hasta el año

650 (estimación) cuando empieza a usarse en la India de manera definitiva y en la forma

que conocemos actualmente. El primer documento que se conserva donde es usado es del

876. La palabra cero proviene del sánscrito "shunya" (vacío) que se tradujo al árabe como

"sifr" y que nos llegó a través del italiano. El símbolo fue originalmente un huevo de oca.

Decir también, que a comienzos de nuestra era, siglos antes de que en la India se inventase

el que usamos en la actualidad, los mayas ya utilizaban en su sistema de numeración

vigesimal con un signo para el cero, que recuerda a un ojo semicerrado.

Incógnita

Los árabes, para representar la incógnita, utilizaban el término shay, que quiere decir

"cosa". En los textos españoles se escribió xay, que con el tiempo se quedó en x.

Los egipcios le llamaban aha, literalmente "montón". Durante los siglos XV y XVI se le

llamó res en latín, chose en francés, cosa en italiano o coss en alemán.

Igual

Este signo se debe a Robert Recorde, que empezó a utilizarlo en 1557. Explicó su elección

diciendo: "Pondré, como hago a menudo en el curso de mi trabajo, un par de paralelas o

líneas gemelas de una misma longitud, así: ======, porque no hay dos cosas que puedan

ser más iguales". Posteriormente, la rutina se encargó de acortar las paralelas.

Cociente entre la circunferencia y el diámetro

En 1652, William Oughtred utilizó / para referirse al cociente entre la circunferencia y el

diámetro de una circunferencia, usando sin duda la letra griega (pi) para indicar la

circunferencia o periferia y la letra (delta) para indicar el diámetro.

Sin embargo, el primero que usó la letra en solitario para simbolizar 3,141592... fue

William Jones, que lo introdujo en un texto de 1706.

De todas maneras, no se impondría en los círculos matemáticos hasta que uno de los

grandes, Euler, empezase a usarlo treinta años después, sin que se sepa si lo tomó de la obra

de Jones o no.

Unidad imaginaria

Descartes, en 1637, llamó imaginarias a las expresiones en las que aparecían raíces

cuadradas de números negativos. En el siglo XVII, Leibniz dijo: “El Espíritu Divino

encontró una sublime salida en esa maravilla del análisis, ese portento ideal que significa

estar entre el ser y el no ser que nosotros llamamos la raíz imaginaria de la unidad

negativa”. Sin embargo, fue Euler quien utilizó en 1777 por primera vez el símbolo i para la

unidad imaginaria, aunque sería Gauss quien iniciaría su uso sistemático unos años más

tarde.

Base de los logaritmos naturales

Su uso se debe a Euler (1727 ó 1728). No está muy claro su origen: quizá venga de

exponencial, pero también puede ser que fuese la primera letra que encontrase libre en

aquel momento. Algunos defienden que se trata de la inicial de su propio apellido, pero

parece improbable. En 1859 Benjamin Peirce propuso dos nuevos signos para e y para ,

pero aquello no prosperó: los impresores se neg

EL ORIGEN DE LOS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

Siempre hemos usado infinidad de veces estos símbolos, pero…..no se han preguntado

nunca de donde salieron o cual fue su origen.

EL MAS Y EL MENOS

- El matemático alemán Michael Stifel (1485 -1567) en su obra Arithmetica Integra

popularizó los símbolos “+” y “-” desplazando a los signos “p” (plus) y “m” (minus).

Según el matemático español Rey Pastor (1888-1962), los signos “+” y “-” fueron

utilizados por primera vez por el científico alemán Widmann (1460-1498).

EL IGUAL

- Robert Recode (1510-1558), matemático y médico inglés, fue el creador del símbolo “=“.

Para él no había dos cosas más iguales que dos lineas rectas paralelas.

LA RAIZ

- El símbolo que conocemos como “raíz de” apareció por primera vez en un libro alemán de

álgebra de 1525. Antes, para designar la raíz de un número se escribía literalmente “raíz de

…”. Para abreviar se usó simplemente la letra “r“, pero cuando los números eran grandes se

alargaba el trazo horizontal de la misma dando origen al símbolo que utilizamos hoy en día.

LAS INCOGNITAS

- El matemático François Viète (1540 – 1603) fue el primero en utilizar letras para designar

las incógnitas y constantes.

EL MAYOR Y EL MENOR

- A Tomas Harriot (1560 – 1621) le debemos los signos actuales de “>” y “<“, y el “.”

como símbolo de multiplicación.

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

- Los símbolos de multiplicación “x” y división “:” fueron introducidos por el matemático

William Oughtred (1574-1660) en el año 1657.

EL INTEGRAL

- El símbolo de la integral fue propuesto por Gottfried Leibniz (1646-1716) y lo extrajo de

la palabra latina “summa” tomando su inicial. A Leibniz le debemos muchos más signos

notacionales como “dx” y además fue quien popularizó el “.” como signo de

multiplicación.

SÍMBOLOS Y SIGNOS MATEMÁTICOS

 <  Menor       2 es menor que 5 se escribe    2 < 5

Hay que tener en cuenta que esta expresión se puede leer de dos

maneras: diciendo que 2 es menor que 5 o que 5 es mayor que 2.

De nuevo: x < 3 se puede leer como que  x es menor que 3, o que 3 es

mayor que x.

Otra vez: 4 < m   se puede leer como que 4 es menor que m o que m es

mayor que 4.

Una forma sencilla de acordarse es darse cuenta que la abertura menor

va dirigida hacia el número menor, y la abertura mayor para el número

mayor. Otra forma es ver este signo como la forma que tiene el brazo

izquierdo apoyado sobre una mesa.

>Mayor       8 es mayor que 5 se escribe    8 > 5 

Conjuntos numéricos:

Conjunto de los números naturales

Conjunto de los números enteros

Conjunto de los números racionales

 Conjunto de los números reales

Los números reales están formados por todos los números,

absolutamente todos los que trabajamos habitualmente hasta cuarto

año.   ¿Es que podría haber más números?

A veces pueden no tener una expresión decimal exacta, aunque

podemos conocer una buena aproximación.  Por ejemplo, son números

reales 4, -5, 1/4, -1/3, ¶,

Todos los números reales menores que 5 y mayores que 1:  { x / x e R, 

1 < x < 5 } = (1,5)

Traducción: son todos los números que llamaremos x, tales que

pertenecen  a los números reales y a la vez son mayores que 1 y

menores que 5.

 Una propuesta de innovación pedagógica a través de nuevas tecnologías

promovida.

Por Microsoft de Uruguay  en el marco de su programa  Alianza por la Educación.

Historia de los símbolos matemáticos

Contenido

1 Factorial

2 Similar y Congruente

3 Símbolo de ángulo

4 Símbolo de ángulo recto

5 El símbolo para pi ( )

6 El símbolo para porcentaje

7 Símbolo de división

8 Símbolos de Orden ( , , , )

9 Símbolo del Infinito

Factorial

El símbolo , llamado n factorial, fue introducido en 1808 por Christian Kramp the

Strassbourg, que lo escojio asi para por problemas de imprenta al querer usar el símbolo

que se usaba anteriormente que se muestra en la figura

Similar y Congruente

Los símbolos usados en geometría para similar y para congruente fueron creados or

Leibniz.

Símbolo de ángulo

En 1923, el Comité Nacional de Requerimientos Matemáticos, patrocinado por la

Asociación Matematica de América, recomendó el símbolo de de arriba para simbolizar el

angulo en los Estados Unidos de América. Históricamente, Pierre Herigone, en un trabajo

francés en 1634, fue aparentemente la primera persona en usar un símbolo para el ángulo.

El uso el símbolo que está arriba asi como el símbolo que está abajo, que ya era usado

como el símbolo de "menor que".

El símbolo estándar sobrevivió así como estas otras variantes. (Estos aparecen en

Inglaterra alrededor de 1750)

During the 19th century in Europe these forms were used to designate the angle ABC, and

the angle between a and b , respectively.

Durante el siglo 19 en Europa estas formas son usadas para designar el ángulo ABC y el

ángulo entre a y b.

Este símbolo, representando el arco de un ángulo, aparece por primera vez en Alemania

en la última mitad del siglo 19.

Símbolo de ángulo recto

Este símbolo (a la izquierda) fue usado en 1968 por Samuel Reyher, quien simbolizo

"el ángulo B es un ángulo recto" como está ilustrado a la derecha, usando una línea vertical

como la igualdad.

Este símbolo utilizado comúnmente para el ángulo recto en América alrededor de

1880 muy usado en el popular libro de Wentworth de geométrica.

El símbolo para pi ( )

El símbolo usado para pi, fue usado por el matemático inglés William Oughtred (1574 -

1660), Isaac Barrow (1630-1677) y David Gregory (1661-1701) para designar la

circunferencia, o la periferia de un círculo. El primero en usar el símbolo para la razón de la

circunferencia al diámetro fue el escritor inglés, William Jones, en un publicación en 1706.

El símbolo no era tan usado en este sentido, sin embargo, hasta que Euler (1707-1783) lo

adopto en 1737. (Eves p99)

La notación de Oughtred era precursora para el símbolo de pi, usada por primera vez por

William Jones en 1906 en "Synopsis palmariorum matheseos". Euler uso por primera vez pi

en 1737. En esta época, el símbolo fue adoptado a nivel general. (Cajori p158)

El símbolo para porcentaje

Este símbolo ha sido usado desde el final del siglo 15 en computar el interés, ganancia,

perdida y impuestos. Sin embargo, la idea tiene su origen mucho antes. Cuando el

emperador romano Augustus impuso un impuesto en todos los bienes que se vendían en

una subasta, centesima rerum venalium, el impuesto era de . Otros impuesto romanos

eran sobre cada esclavo liberado y en cada esclavo vendido. Sin reconocer esto como

porcentaje, usaban fracciones reducidas a las centenas para su cálculo fácil.

En la edad media, a medida que se empezó a usar grandes denominaciones de dinero, el

100 se convierto en una base comúnmente utilizada. Manuscritos italianos del siglo 15

contenían expresiones como "20 p 100" y "10 p cento" para indicar 20 por ciento y 10 por

ciento. Cuando la aritmética comercial apareció al final del sigo 15, el uso del porcentaje

estaba ya bien establecido. Por ejemplo, Giorgio Chiarino (1481) uso "xx. per .c." par a el

20 por ciento y "viii in x percento" para 8 a 10 por ciento.

El símbolo de porcentaje, , seguramente evoluciono de un símbolo introducido en

un manuscrito anónimo de 1425. En lugar de "P cento", que era común en ese tiempo, el

autor uso el símbolo que se muestra a la izquierda.

Para 1650, el símbolo se cambio a la forma que se enseña a la izquierda. Finalmente, el

"per" se dejo de usar, dejando este símbolo sin la p y se transformo en .

Símbolo de división

La barra horizontal de las fracciones (de origen árabe) ya era usada por Fibonacci en el

siglo XIII, aunque no se generalizó hasta el siglo XVI. Es, desde luego, la forma más

satisfactoria, pues no solo indica la operación sino que en el caso de que sean varias las

operaciones a realizar establece el orden de prioridad entre ellas (digamos que además de

signo es paréntesis). La barra oblicua , variante de la anterior para escribir en una sola

línea, fue introducida por De Morgan en 1845.

En 1659 el suizo Johann Heinrich Rahn inventó para la división el signo , que resulta

bastante gráfico una vez que la barra de fracción es norma general. No tuvo mucho éxito en

su país, Suiza, ni en la Europa continental, pero sí en Gran Bretaña y los Estados Unidos.

Los dos puntos se deben a Leibniz (1684), que los aconsejaba para aquellos casos en los

que se quisiese escribir la división en una sola línea y la notación con raya de fracción no

fuese por tanto adecuada. Este signo mantiene el parentesco de la división con la

multiplicación, para la que Leibniz usaba un punto.

En cuanto al gnomon o ángulo que utilizamos para separar dividendo, divisor y cociente en

la división larga no se dispone de una información precisa. Boyer, en su Historia de la

matemática, p.282, dice: "Los árabes, y a través de ellos más tarde los europeos, adoptaron

la mayor parte de sus artificios aritméticos de los hindúes, y por tanto es muy probable que

también provenga de la India el método de "división larga" conocido como el "método de la

galera", por su semejanza con un barco con las velas desplegadas." Pues bien: en dicho

"método de la galera" se utilizaba un ángulo parecido al que se usa en la actualidad para

separar el divisor de los otros números.

Símbolos de Orden ( , , , )

Thomas Harriot (1560-1621) fue in matematico ingles que vivió gran parte de su vida en el

siglo 16 pero su más grande publicación aprecio en el siglo 17. Es considerado el fundador

de la escuela de algebristas de Inglaterra. Su gran trabajo en este campo, "Artis Analyticae

Praxis" fue publicado en Londres en 1631 y trata de teoría de ecuaciones. En esta

publicación el usa los símbolos, ">" para "mayor que", y "<" para "menor que".

No fueren inmediatamente aceptados, muchos matemáticos preferían los siguientes

símbolos

"mayor que" "menor que"

que otro inglés William Oughtred (1574-1660) el cual sugirió esa notación en el popular

Clavis Mathematicae, un trabajo de aritmética y álgebra que difundió bastante ese

conocimiento en ese país.

Estos símbolos ( y ), y algunas de sus variantes, fueron inventados en 1734 por el

francés Pierre Bouguer (1698-1758).

Símbolo del Infinito

La historia de la palabra infinito viene del latín infinitus, una combinación de "in" que

significa no o sin, y la palabra finis que significa fin o limite. Una de las primeras personas

en considerar la noción de infinito fue el filósofo griego Anaximander, quién usó el terminó

"sin fronteras" (apeiron). Infinito ha sido históricamente dividido en dos tipos: aquella

concebida como actual (ya sea el espacio, tiempo, o Dios) y aquella que solo existe en

nuestras mentes, como los conceptos de lógica y matemáticas. Este segundo tipo de infinito

se le conoce más como infinito cuantitativo. El símbolo que hoy día conocemos como

infinito se llama realmente lemniscate y fue inventado en el 1655 por el matemático John

Wallis. No fue hasta cuarenta años después que otro matemático, Bernoulli, le pusiera

Lemniscus (que significa lazo).

Tabla de símbolos matemáticos

 Genéricos

Símbolo Nombre se lee como Categoría

=

igualdad igual a todos

x = y significa: x y y son nombres diferentes para precisamente la misma cosa.

1 + 2 = 6 − 3

:=≡

:⇔definición se define como todos

x := y o x ≡ y significa: x se define como otro nombre para y (notar, sin embargo, que ≡ puede también significar otras cosas, como congruencia)P :⇔ Q significa: P se define como lógicamente equivalente a Q

cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x)); A XOR B :⇔ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B)

 

Aritmética

Símbolo Nombre se lee como Categoría

+

adición mas aritmética

4 + 6 = 10 significa que si a cuatro se le agrega 6, la suma, o resultado, es 10.

43 + 65 = 108; 2 + 7 = 9

−-

substracción menos aritmética

9 − 4 = 5 significa que si 4 es restado de 9, el resultado será 5. El símbolo 'menos' también se utiliza para denotar que un número es negativo. Por ejemplo, 5 + (−3) = 2 significa que si 'cinco' y 'menos tres' son sumados, el resultado es 'dos'.

87 − 36 = 51

×·*

multiplicación por aritmética

significa que si se cuenta siete veces seis, el resultado será 42.

÷/

división entre aritmética

significa que si se hace seis pedazos uniformes de cuarenta y dos, cada pedazo será de tamaño siete.

24 / 6 = 4

∑

sumatoria suma sobre ... desde ... hasta ... de aritmética

∑k=1n ak significa: a1 + a2 + ... + an

∑k=14 k2 = 12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30

∏

producto producto sobre... desde ... hasta ... de aritmética

∏k=1n ak significa: a1a2···an

∏k=14 (k + 2) = (1  + 2)(2 + 2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 × 4 × 5 × 6 = 360

Lógica proposicional

Símbolo Nombre se lee como Categoría

⇒→

implicación materialimplica; si .. entonces

lógica proposicional

A ⇒ B significa: si A es verdadero entonces B es verdadero también; si A es falso entonces nada se dice sobre B.→ puede significar lo mismo que ⇒, o puede ser usado para denotar funciones, como se indica más abajo.

x = 2  ⇒  x2 = 4 es verdadera, pero x2 = 4   ⇒  x = 2 es, en general, falso (yq que x podría ser −2)

⇔↔

equivalencia material si y sólo si; ssi lógica proposicional

A ⇔ B significa: A es verdadera si B es verdadera y A es falsa si B es falsa.

x + 5 = y + 2  ⇔  x + 3 = y

∧conjunción lógica o intersección en una reja

ylógica proposicional, teoría de rejas

la proposición A ∧ B es veradera si A y B son ambas verdaderas; de otra manera es falsa.

n < 4  ∧  n > 2  ⇔  n = 3 cuando n es un número natural

∨disjunción lógica o unión en una reja

ológica proposicional, teoría de rejas

la proposición A ∨ B es verdadera si A o B (o ambas) son verdaderas; si ambas son falsas, la proposición es falsa.

n ≥ 4  ∨  n ≤ 2  ⇔ n ≠ 3 cuando n es un número natural

¬/

negación lógica no lógica proposicional

la proposición ¬A es verdadera si y sólo si A es falsa.un "slash" colocado sobre otro operador es equivalente a "¬" colocado enfrente.

¬(A ∧ B) ⇔ (¬A) ∨ (¬B); x ∉ S  ⇔  ¬(x ∈ S)

Lógica de predicados

Símbolo Nombre se lee como Categoría

∀ cuantificación universalpara todos; para cualquier; para cada

lógica de predicados∀ x: P(x) significa: P(x) es verdadera para cualquier x∀ n ∈ N: n2 ≥ n

∃ cuantificación existencial

existelógica de predicados∃ x: P(x) significa: existe por lo menos un x tal que P(x) es verdadera.∃ n ∈ N: n + 5 = 2n

:

tal quelógica de predicados∃ x: P(x) significa: existe por lo menos un x tal que P(x) es verdadera.∃ n ∈ N: n + 5 = 2n

Teoría de conjuntos

Símbolo Nombre se lee como Categoría

{ , }

delimitadores de conjunto el conjunto de ...teoría de conjuntos

{a,b,c} significa: el conjunto consistente de a, b, y c

N = {0,1,2,...}

{ : }{ | }

notación constructora de conjuntos

el conjunto de los elementos ... tales que ...

teoría de conjuntos

{x : P(x)} significa: el conjunto de todos los x para los cuales P(x) es verdadera. {x | P(x)} es lo mismo que {x : P(x)}.

{n ∈ N : n2 < 20} = {0,1,2,3,4}

{}

conjunto vacío conjunto vacíoteoría de conjuntos

{} significa: el conjunto que no tiene elementos; ∅ es la misma cosa.

{n ∈ N : 1 < n2 < 4} = {}

∈∉ membresía de conjuntosen; está en; es elemento de; es miembro de; pertenece a

teoría de conjuntos

a ∈ S significa: a es elemento del conjunto S; a ∉ S significa: a no es elemento del conjunto S

(1/2)−1 ∈ N; 2−1 ∉ N⊆⊂ subconjunto es subconjunto deteoría de conjuntos

A ⊆ B significa: cada elemento de A es también elemento de BA ⊂ B significa: A ⊆ B pero A ≠ B

A ∩ B ⊆ A; Q ⊂ R

∪ unión conjunto-teorética la unión de ... y ...; uniónteoría de conjuntos

A ∪ B significa: el conjunto que contiene todos los elementos de A y también todos aquellos de B, pero ningún otro.

A ⊆ B  ⇔  A ∪ B = B

∩

intersección conjunto-teorética

la intersección de ... y ...; intersecciónteoría de conjuntos

A ∩ B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos que A y B tienen en común.

{x ∈ R : x2 = 1} ∩ N = {1}

\

complemento conjunto-teorético

menos; sinteoría de conjuntos

A \ B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos de A que no se encuentran en B

{1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2}

 

Funciones

Símbolo Nombre se lee como Categoría

( )[ ]{ }

aplicación de función; agrupamiento de funciones

para aplicación de función: f(x) significa: el valor de la función f sobre el elemento xpara agrupamiento: realizar primero las operaciones dentro del paréntesis.

If f(x) := x2, entonces f(3) = 32 = 9; (8/4)/2 = 2/2 = 1, pero 8/(4/2) = 8/2 = 4

f:X→Y

mapeo funcional de ... a funciones

f: X → Y significa: la función f mapea el conjunto X al conjunto Y

Considérese la función f: Z → N definida por f(x) = x2

 

Números

Símbolo Nombre se lee como Categoría

N

números naturales N números

N significa: {0,1,2,3,...}, pero véase el artículo números naturales para una convención diferente.

{|a| : a ∈ Z} = N

Z números enteros Z números

Z significa: {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}

{a : |a| ∈ N} = Z

Q

números racionales Q números

Q significa: {p/q : p,q ∈ Z, q ≠ 0}

3.14 ∈ Q; π ∉ Q

R

números reales R números

R significa: {limn→∞ an : ∀ n ∈ N: an ∈ Q, el límite existe}

π ∈ R; √(−1) ∉ R

C

números complejos C números

C significa: {a + bi : a,b ∈ R}

i = √(−1) ∈ C

√

raíz cuadradala raíz cuadrada de; la principal raíz cuadrada de

números reales

√x significa: el número positivo cuyo cuadrado es x

√(x2) = |x|

∞

infinito infinito números

∞ es un elemento de la línea extendida de números reales mayor que todos los números reales; ocurre frecuentemente en límites

limx→0 1/|x| = ∞

| |

valor absoluto valor absoluto de números

|x| significa: la distancia en la línea real (o en el plano complejo) entre x y zero

|a + bi| = √(a2 + b2)

 

Órdenes parciales

Símbolo Nombre se lee como Categoría

<>

comparación es menor que, es mayor que órdenes parciales

x < y significa: x es menor que y; x > y significa: x es mayor que y

x < y  ⇔  y > x

≤≥

comparación es menor o igual a, es mayor o igual a órdenes parciales

x ≤ y significa: x es menor o igual a y; x ≥ y significa: x es mayor o igual a y

x ≥ 1  ⇒  x2 ≥ x

 

Geometría eucliedeana

Símbolo Nombre se lee como Categoría

π

pi pi Geometría euclideana

π significa: la razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro.

A = πr² es el área de un círculo con radio r

 

Combinatoria

Símbolo Nombre se lee como Categoría

!

factorial factorial combinatoria

n! es el producto 1×2×...×n

4! = 24

 

Análisis funcional

Símbolo Nombre se lee como Categoría

|| ||

norma norma de; longitud de análisis funcional

||x|| es la norma del elemento x de un espacio vectorial normado

||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||

Cálculo

Símbolo Nombre se lee como Categoría

∫

integración integral desde ... hasta ... de ... con respecto a ... cálculo

∫ab f(x) dx significa: el área, con signo, entre el eje-x y la gráfica de la función f

entre x = a y x = b

∫0b x2 dx = b3/3; ∫x2 dx = x3/3

f '

derivación derivada de f; f prima cálculo

f '(x) es la derivada de la función f en el punto x, esto es, la pendiente de la tangente en ese lugar.

Si f(x) = x2, entonces f '(x) = 2x y f '&apos;(x) = 2∇ gradiente del, nabla, gradiente de cálculo∇f (x1, …, xn) es el vector de derivadas parciales (df / dx1, …, df / dxn)

Si f (x,y,z) = 3xy + z² entonces ∇f = (3y, 3x, 2z)

∂

derivación parcial derivada parcial de cálculo

Con f (x1, …, xn), ∂f/∂xi es la derivada de f con respecto a xi, con todas las otras variables mantenidas constantes.

Si f(x,y) = x2y, entonces ∂f/∂x = 2xy

 

Ortogonalidad

Símbolo Nombre se lee como Categoría

⊥ perpendicular es perpendicular a ortogonalidad

x ⊥ y significa: x es perpendicular a y; o, más generalmente, x es ortogonal a y.

 

Teoría de rejas

Símbolo Nombre se lee como Categoría

⊥ fondo el elemento fondo teoría de rejas

x = ⊥ significa: x es el elemento más pequeño.

LAS MATEMÁTICAS EN LA ANTIGÜEDAD

Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio

a.C., en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la aritmética, con

cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticos

como los axiomas o las demostraciones. Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año

1800 a.C., muestran un sistema de numeración decimal con distintos símbolos para las

sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100…), similar al sistema utilizado por los romanos. Los

números se representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el

número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y así

sucesivamente. Para sumar números, se sumaban por separado las unidades, las decenas, las

centenas… de cada número. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y

la división era el proceso inverso.

Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (:), junto con la fracción _, para

expresar todas las fracciones. Por ejemplo, _ era la suma de las fracciones _ y _. Utilizando

este sistema, los egipcios fueron capaces de resolver problemas aritméticos con fracciones,

así como problemas algebraicos elementales. En geometría encontraron las reglas correctas

para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como

ortoedros, cilindros y, por supuesto, pirámides. Para calcular el área de un círculo, los

egipcios utilizaban un cuadrado de lado del diámetro del círculo, valor muy cercano al que

se obtiene utilizando la constante pi (3,14).

El sistema babilónico de numeración era bastante diferente del egipcio. En el babilónico se

utilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de cuña (cuneiforme); una cuña

sencilla representaba al 1 y una marca en forma de flecha representaba al 10. Los números

menores que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como

en las matemáticas egipcias. El número 60, sin embargo, se representaba con el mismo

símbolo que el 1, y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en el

número completo. Por ejemplo, un número compuesto por el símbolo del 2, seguido por el

del 27 y terminado con el del 10, representaba 2 × 602 + 27 × 60 + 10. Este mismo

principio fue ampliado a la representación de fracciones, de manera que el ejemplo anterior

podía también representar 2 × 60 + 27 + 10 × (\), o 2 + 27 × (\) + 10 × (\)-2. Este sistema,

denominado sexagesimal (base 60), resultaba tan útil como el sistema decimal (base 10).

Las matemáticas en Grecia

Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios. La

innovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en una

estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones. Según los cronistas griegos,

este avance comenzó en el siglo VI a.C. con Tales de Mileto y Pitágoras de Samos. Este

último enseñó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo.

Algunos de sus discípulos hicieron importantes descubrimientos sobre la teoría de números

y la geometría, que se atribuyen al propio Pitágoras.

En el siglo V a.C., algunos de los más importantes geómetras fueron el filósofo atomista

Demócrito de Abdera, que encontró la fórmula correcta para calcular el volumen de una

pirámide, e Hipócrates de Cos, que descubrió que el área de figuras geométricas en forma

de media luna limitadas por arcos circulares es iguales a las de ciertos triángulos. Este

descubrimiento está relacionado con el famoso problema de la cuadratura del círculo

(construir un cuadrado de área igual a un círculo dado). Otros dos problemas bastante

conocidos que tuvieron su origen en el mismo periodo son la trisección de un ángulo y la

duplicación del cubo (construir un cubo cuyo volumen es dos veces el de un cubo dado).

Todos estos problemas fueron resueltos, mediante diversos métodos, utilizando

instrumentos más complicados que la regla y el compás. Sin embargo, hubo que esperar

hasta el siglo XIX para demostrar finalmente que estos tres problemas no se pueden

resolver utilizando solamente estos dos instrumentos básicos.

A finales del siglo V a.C., un matemático griego descubrió que no existe una unidad de

longitud capaz de medir el lado y la diagonal de un cuadrado, es decir, una de las dos

cantidades es inconmensurable. Esto significa que no existen dos números naturales m y n

cuyo cociente sea igual a la proporción entre el lado y la diagonal. Dado que los griegos

sólo utilizaban los números naturales (1, 2, 3…), no pudieron expresar numéricamente este

cociente entre la diagonal y el lado de un cuadrado (este número, f, es lo que hoy se

denomina número irracional). Debido a este descubrimiento se abandonó la teoría

pitagórica de la proporción, basada en números, y se tuvo que crear una nueva teoría no

numérica. Ésta fue introducida en el siglo IV a.C. por el matemático Eudoxo de Cnido, y la

solución se puede encontrar en los Elementos de Euclides. Eudoxo, además, descubrió un

método para demostrar rigurosamente supuestos sobre áreas y

Volúmenes mediante aproximaciones sucesivas. Euclides, matemático y profesor que

trabajaba en el famoso Museo de Alejandría, también escribió tratados sobre óptica,

astronomía y música. Los trece libros que componen sus elementos contienen la mayor

parte del conocimiento matemático existente a finales del siglo IV a.C., en áreas tan

diversas como la geometría de polígonos y del círculo, la teoría de números, la teoría de los

inconmensurables, la geometría del espacio y la teoría elemental de áreas y volúmenes.

Las matemáticas aplicadas en Grecia

En paralelo con los estudios sobre matemáticas puras hasta ahora mencionados, se llevaron

a cabo estudios de óptica, mecánica y astronomía. Muchos de los grandes matemáticos,

como Euclides y Arquímedes, también escribieron sobre temas astronómicos. A principios

del siglo II a.C., los astrónomos griegos adoptaron el sistema babilónico de

almacenamiento de fracciones y, casi al mismo tiempo, compilaron tablas de las cuerdas de

un círculo. Para un círculo de radio determinado, estas tablas daban la longitud de las

cuerdas en función del ángulo central correspondiente, que crecía con un determinado

incremento. Eran similares a las modernas tablas del seno y coseno, y marcaron el

comienzo de la trigonometría. En la primera versión de estas tablas —las de Hiparco, hacia

el 150 a.C. — los arcos crecían con un incremento de 7°, de 0° a 180°. En tiempos del

astrónomo Tolomeo, en el siglo II d.C., la maestría griega en el manejo de los números

había avanzado hasta tal punto que Tolomeo fue capaz de incluir en su Almagesto una tabla

de las cuerdas de un círculo con incrementos de ° que, aunque expresadas en forma

sexagesimal, eran correctas hasta la quinta cifra decimal.

Mientras tanto, se desarrollaron otros métodos para resolver problemas con triángulos

planos y se introdujo un teorema —que recibe el nombre del astrónomo Menelao de

Alejandría— para calcular las longitudes de arcos de esfera en función de otros arcos. Estos

avances dieron a los astrónomos las herramientas necesarias para resolver problemas de

astronomía esférica, y para desarrollar el sistema astronómico que sería utilizado hasta la

época del astrónomo alemán

Johannes Kepler.

Los Mayas y las matemáticas

Los mayas fueron parcialmente avanzados en matemáticas y en astronomía. Si bien el

primer uso documentado del cero es de los mayas (en el año 36 a. C.), se quedaron

estancados ya que no conocían otros avances como los decimales, los números complejos,

el cálculo infinitesimal, etc. En matemáticas desarrollaron un sistema de numeración

utilizando tres símbolos y de base 20.En astronomía realizaron cálculos de ciclos con gran

precisión considerando que eran realizados a vista simple, sin emplear instrumentos como

los telescopios. Sin embargo, eran inferiores comparados con los avances que pueden

realizarse gracias a estos instrumentos. Además tampoco conocían la esfericidad de la

Tierra, el modelo heliocéntrico, etc.

Las matemáticas en la Edad media (siglo V y el XV)

En Grecia, después de Tolomeo, se estableció la tradición de estudiar las obras de estos

matemáticos de siglos anteriores en los centros de enseñanza. El que dichos trabajos se

hayan conservado hasta nuestros días se debe principalmente a esta tradición. Sin embargo,

los primeros avances matemáticos consecuencia del estudio de estas obras aparecieron en el

mundo árabe.

Los árabes proporcionaron a la cultura europea su sistema de numeración, que reemplazó a

la numeración romana. Este sistema prácticamente no se conocía en Europa antes de que el

matemático Leonardo Fibonacci lo introdujera en 1202 en su obra Liber abbaci (Libro del

ábaco). En un principio los europeos tardaron en reaccionar, pero hacia finales de la Edad

Media habían aceptado el nuevo sistema numérico, cuya sencillez estimuló y alentó el

progreso de la ciencia.

Las matemáticas en el mundo islámico

Después de un siglo de expansión en la que la religión musulmana se difundió desde sus

orígenes en la península Arábiga hasta dominar un territorio que se extendía desde la

península Ibérica hasta los límites de la actual China, los árabes empezaron a incorporar a

su propia ciencia los resultados de "ciencias extranjeras". Los traductores de instituciones

como la Casa de la Sabiduría de Bagdad, mantenida por los califas gobernantes y por

donaciones de particulares, escribieron versiones árabes de los trabajos de matemáticos

griegos e indios.

Hacia el año 900, el periodo de incorporación se había completado y los estudiosos

musulmanes comenzaron a construir sobre los conocimientos adquiridos. Entre otros

avances, los matemáticos árabes ampliaron el sistema indio de posiciones decimales en

aritmética de números enteros, extendiéndolo a las fracciones decimales. En el siglo XII, el

matemático persa Omar Jayyam generalizó los métodos indios de extracción de raíces

cuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de grado superior. El matemático

árabe Al-JwDrizm; (de su nombre procede la palabra algoritmo, y el título de uno de sus

libros es el origen de la palabra álgebra) desarrolló el álgebra de los polinomios; al-Karayi

la completó para polinomios incluso con infinito número de términos. Los geómetras, como

Ibrahim ibn Sinan, continuaron las investigaciones de Arquímedes sobre áreas y

volúmenes. Kamal al-Din y otros aplicaron la teoría de las cónicas a la resolución de

problemas de óptica. Los matemáticos Habas al-Hasib y Nasir ad-Din at-Tusi crearon

trigonometrías plana y esférica utilizando la función seno de los indios y el teorema de

Menelao. Estas trigonometrías no se convirtieron en disciplinas matemáticas en Occidente

hasta la publicación del De triangulis omnimodis (1533) del astrónomo alemán

Regiomontano.

Finalmente, algunos matemáticos árabes lograron importantes avances en la teoría de

números, mientras otros crearon una gran variedad de métodos numéricos para la

resolución de ecuaciones. crecimiento de las matemáticas durante la edad media. Los

matemáticos italianos, como Leonardo Fibonacci y Luca Pacioli (uno de los grandes

tratadistas del siglo XV en álgebra y aritmética, que desarrollaba para aplicar en el

comercio), se basaron principalmente en fuentes árabes para sus estudios.

Las matemáticas durante el Renacimiento

Aunque el final del periodo medieval fue testigo de importantes estudios matemáticos sobre

problemas del infinito por autores como Nicole Oresme, no fue hasta principios del siglo

XVI cuando se hizo un descubrimiento matemático de trascendencia en Occidente. Era una

fórmula algebraica para la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, y fue

publicado en 1545 por el matemático italiano Gerolamo Cardano en su Ars magna. Este

hallazgo llevó a los matemáticos a interesarse por los números complejos y estimuló la

búsqueda de soluciones similares para ecuaciones de quinto grado y superior. Fue esta

búsqueda la que a su vez generó los primeros trabajos sobre la teoría de grupos a finales del

siglo XVIII y la teoría de ecuaciones del matemático francés Évariste Galois a principios

del XIX.

También durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos signos matemáticos y

algebraicos. El matemático francés François Viète llevó a cabo importantes estudios sobre

la resolución de ecuaciones. Sus escritos ejercieron gran influencia en muchos matemáticos

del siglo posterior, incluyendo a Pierre de Fermat en Francia e Isaac Newton en Inglaterra.

Avances en el siglo XVII

Los europeos dominaron el desarrollo de las matemáticas después del renacimiento.

Durante el siglo XVII tuvieron lugar los más importantes avances en las matemáticas desde

la era de Arquímedes y Apolonio. El siglo comenzó con el descubrimiento de los

logaritmos por el matemático escocés John Napier (Neper); su gran utilidad llevó al

astrónomo francés Pierre Simon Laplace a decir, dos siglos más tarde, que Neper, al reducir

el trabajo de los astrónomos a la mitad, les había duplicado la vida.

La ciencia de la teoría de números, que había permanecido aletargada desde la época

medieval, es un buen ejemplo de los avances conseguidos en el siglo XVII basándose en los

estudios de la antigüedad clásica. La obra Las aritméticas de Diofante ayudó a Fermat a

realizar importantes descubrimientos en la teoría de números. Su conjetura más destacada

en este campo fue que no existen soluciones de la ecuación an + bn = cn con a, b y c

enteros positivos si n es mayor que 2. Esta conjetura, conocida como último teorema de

Fermat, ha generado gran cantidad de trabajos en el álgebra y la teoría de números.

En geometría pura, dos importantes acontecimientos ocurrieron en este siglo. El primero

fue la publicación, en el Discurso del método (1637) de Descartes, de su descubrimiento de

la geometría analítica, que mostraba cómo utilizar el álgebra (desarrollada desde el

renacimiento) para investigar la geometría de las curvas (Fermat había hecho el mismo

descubrimiento pero no lo publicó).

Otro avance importante en las matemáticas del siglo XVII fue la aparición de la teoría de la

probabilidad a partir de la correspondencia entre Pascal y Fermat sobre un problema

presente en los juegos de azar, el llamado problema de puntos. Este trabajo no fue

publicado, pero llevó al científico holandés Christian Huygens a escribir un pequeño folleto

sobre probabilidad en juegos con dados, que fue publicado en el Ars coniectandi (1713) del

matemático suizo Jacques Bernoulli.

Sin embargo, el acontecimiento matemático más importante del siglo XVII fue, sin lugar a

dudas, el descubrimiento por parte de Newton de los cálculos diferencial e integral, entre

1664 y 1666. Newton se basó en los trabajos anteriores de dos compatriotas, John Wallis e

Isaac Barrow, así como en los estudios de otros matemáticos europeos como Descartes,

Francesco Bonaventura Cavalieri, Johann van Waveren Hudde y Gilles Personne de

Roberval. Unos ocho años más tarde, el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz descubrió

también el cálculo y fue el primero en publicarlo, en 1684 y 1686. El sistema de notación

de Leibniz es el que se usa hoy en el cálculo.

Situación en el siglo XVIII

Durante el resto del siglo XVII y buena parte del XVIII, los discípulos de Newton y

Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e

ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las

matemáticas. Así, los hermanos Jean y Jacques Bernoulli inventaron el cálculo de

variaciones y el matemático francés Gaspard Monge la geometría descriptiva. Joseph Louis

Lagrange, también francés, dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica en

su gran obra Mecánica analítica (1788), en donde se pueden encontrar las famosas

ecuaciones de Lagrange para sistemas dinámicos. Además, Lagrange hizo contribuciones al

estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de números, y desarrolló la teoría de

grupos. Su contemporáneo Laplace escribió Teoría analítica de las probabilidades (1812) y

el clásico Mecánica celeste (1799-1825), que le valió el sobrenombre de "el Newton

francés".

El gran matemático del siglo XVIII fue el suizo Leonhard Euler, quien aportó ideas

fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Euler

escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a seguir

para otros autores interesados en estas disciplinas. Sin embargo, el éxito de Euler y de otros

matemáticos para resolver problemas tanto matemáticos como físicos utilizando el cálculo

sólo sirvió para acentuar la falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas

del cálculo. La teoría de Newton estaba basada en la cinemática y las velocidades, la de

Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente algebraico y

basado en el concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados en

comparación con el modelo lógico de la geometría griega, y este problema no fue resuelto

hasta el siglo posterior.

Las matemáticas en el siglo XIX

En 1821, un matemático francés, Augustin Louis Cauchy, consiguió un enfoque lógico y

apropiado del cálculo. Cauchy basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el

concepto de límite. Sin embargo, esta solución planteó un nuevo problema, el de la

definición lógica de número real. Aunque la definición de cálculo de Cauchy estaba basada

en este concepto, no fue él sino el matemático alemán Julius W. R. Dedekind quien

encontró una definición adecuada para los números reales, a partir de los números

racionales, que todavía se enseña en la actualidad; los matemáticos alemanes Georg Cantor

y Karl T. W. Weierstrass también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo. Un

problema más importante que surgió al intentar describir el movimiento de vibración de un

muelle —estudiado por primera vez en el siglo XVIII— fue el de definir el significado de

la palabra función. Euler, Lagrange y el matemático francés Joseph Fourier aportaron

soluciones, pero fue el matemático alemán Peter G. L. Dirichlet quien propuso su

definición en los términos actuales. Además de fortalecer los fundamentos del análisis,

nombre dado a partir de entonces a las técnicas del cálculo, los matemáticos del siglo XIX

llevaron a cabo importantes avances en esta materia.

Otro descubrimiento del siglo XIX que se consideró abstracto e inútil en su tiempo fue la

geometría no euclídea. En esta geometría se pueden trazar al menos dos rectas paralelas a

una recta dada que pasen por un punto que no pertenece a ésta. Aunque descubierta primero

por Gauss, éste tuvo miedo de la controversia que su publicación pudiera causar. Los

mismos resultados fueron descubiertos y publicados por separado por el matemático ruso

Nikolái Ivánovich Lobachevski y por el húngaro János Bolyai. Las geometrías no euclídeas

fueron estudiadas en su forma más general por Riemann, con su descubrimiento de las

múltiples paralelas. En el siglo XX, a partir de los trabajos de Einstein, se le han encontrado

también aplicaciones en física.

Gauss es uno de los más importantes matemáticos de la historia. Los diarios de su juventud

muestran que ya en sus primeros años había realizado grandes descubrimientos en teoría de

números, un área en la que su libro Disquisitiones arithmeticae (1801) marca el comienzo

de la era moderna. En su tesis doctoral presentó la primera demostración apropiada del

teorema fundamental del álgebra. A menudo combinó investigaciones científicas y

matemáticas. Por

De mayor importancia para el álgebra que la demostración del teorema fundamental por

Gauss fue la transformación que ésta sufrió durante el siglo XIX para pasar del mero

estudio de los polinomios al estudio de la estructura de sistemas algebraicos. Un paso

importante en esa dirección fue la invención del álgebra simbólica por el inglés George

Peacock. Otro avance destacado fue el descubrimiento de sistemas algebraicos que tienen

muchas propiedades de los números reales. Entre estos sistemas se encuentran las cuaternas

del matemático irlandés William Rowan Hamilton, el análisis vectorial del matemático y

físico estadounidense Josiah Willard Gibbs y los espacios ordenados de n dimensiones del

matemático alemán Hermann Günther Grassmann. Otro paso importante fue el desarrollo

de la teoría de grupos, a partir de los trabajos de Lagrange. Galois utilizó estos trabajos muy

a menudo para generar una teoría sobre qué polinomios pueden ser resueltos con una

fórmula algebraica.

Los matemáticos resolvieron este problema construyendo teorías de conjuntos lo bastante

restrictivas como para eliminar todas las paradojas conocidas, aunque sin determinar si

podrían aparecer otras paradojas —es decir, sin demostrar si estas teorías son consistentes.

Hasta nuestros días, sólo se han encontrado demostraciones relativas de consistencia (si la

teoría B es consistente entonces la teoría A también lo es). Especialmente preocupante es la

conclusión, demostrada en 1931 por el lógico estadounidense Kurt Gödel, según la cual en

cualquier sistema de axiomas lo suficientemente complicado como para ser útil a las

matemáticas es posible encontrar proposiciones cuya certeza no se puede demostrar dentro

del sistema.

Las matemáticas a finales del siglo XX

En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el

matemático alemán David Hilbert expuso sus teorías. Hilbert era catedrático en Gotinga, el

hogar académico de Gauss y Riemann, y había contribuido de forma sustancial en casi

todas las ramas de las matemáticas, desde su clásico Fundamentos de la geometría (1899) a

su Fundamentos de la matemática en colaboración con otros autores. La conferencia de

Hilbert en París consistió en un repaso a 23 problemas matemáticos que él creía podrían ser

las metas de la investigación matemática del siglo que empezaba. Estos problemas, de

hecho, han estimulado gran parte de los trabajos matemáticos del siglo XX, y cada vez que

aparecen noticias de que otro de los "problemas de Hilbert" ha sido resuelto, la comunidad

matemática internacional espera los detalles con impaciencia.

A pesar de la importancia que han tenido estos problemas, un hecho que Hilbert no pudo

imaginar fue la invención del ordenador o computadora digital programable, primordial en

las matemáticas del futuro. Aunque los orígenes de las computadoras fueron las

calculadoras de relojería de Pascal y Leibniz en el siglo XVII, fue Charles Babbage quien,

en la Inglaterra del siglo XIX, diseñó una máquina capaz de realizar operaciones

matemáticas automáticamente siguiendo una lista de instrucciones (programa) escritas en

tarjetas o cintas. La imaginación de Babbage sobrepasó la tecnología de su tiempo, y no fue

hasta la invención del relé, la válvula de vacío y después la del transistor cuando la

computación programable a gran escala se hizo realidad. Este avance ha dado un gran

impulso a ciertas ramas de las matemáticas, como el análisis numérico y las matemáticas

finitas, y ha generado nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los

algoritmos. Se ha convertido en una poderosa herramienta en campos tan diversos como la

teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. Además, el ordenador

ha permitido encontrar la solución a varios problemas matemáticos que no se habían podido

resolver anteriormente, como el problema topológico de los cuatro colores propuestos a

mediados del siglo XIX. El teorema dice que cuatro colores son suficientes para dibujar

cualquier mapa, con la condición de que dos países limítrofes deben tener distintos colores.

Este teorema fue demostrado en 1976 utilizando una computadora de gran capacidad de

cálculo en la Universidad de Illinois (Estados Unidos).

LAS MATEMÁTICAS EN LA ACTUALIDAD

Hoy en día, las Matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en

muchos campos, entre los que se encuentran las ciencias naturales, la ingeniería, la

medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas que, aparentemente, no están

vinculadas con ella, como la música (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica).

Las matemáticas aplicadas, rama de las matemáticas destinada a la aplicación de los

conocimientos matemáticos a otros ámbitos, inspiran y hacen uso de los nuevos

descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, conducen al desarrollo de nuevas disciplinas.

Los matemáticos también participan en las matemáticas puras, sin tener en cuenta la

aplicación de esta ciencia, aunque las aplicaciones prácticas de las matemáticas puras

suelen ser descubiertas con el paso del tiempo.

El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca.

Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas

y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros

como las hipótesis de Riemann siguen sin solución. Al mismo tiempo siguen apareciendo

nuevos y estimulantes problemas. Parece que incluso las matemáticas más abstractas están

encontrando aplicación.

ALGUNOS GRANDES MATEMÁTICOS DE LA HISTORIA

Algunos de los matemáticos más emblemáticos han sido:

Tales de Mileto:

(Hacia el 600 a.C.). Matemático- Geomatra griego. Considerado uno de los siete sabios

de Grecia.

Inventor del Teorema de Tales, que establece, que si a un triángulo cualquiera le trazamos

una paralela a cualquiera de sus lados, obtenemos 2 triángulos semejantes. Dos triángulos

son semejantes si tienen los ángulos iguales y sus lados son proporcionales, es decir, que la

igualdad de los cocientes equivale al paralelismo. Este teorema establece así una relación

entre el álgebra y la geometría.

Pitágoras:

(582-500 a.C.). Fundador de la escuela Pitagórica, cuyos principios se regían por el

amor a la sabiduría, a las matemáticas y música.

Inventor del Teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo, el

cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la

suma de los cuadrados de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo:

los que conforman el ángulo recto). Además del teorema anteriormente mencionado,

también invento una tabla de multiplicar.

Euclides:

(Aproximadamente 365-300 a.C.). Sabio griego, cuya obra "Elementos de Geometría",

está considerada como el texto matemático más importante de la historia.

Los teoremas de Euclides son los que generalmente se aprenden en la escuela moderna. Por

citar algunos de los más conocidos:

- La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.

- En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los

cuadrados de los catetos, que es el famoso teorema de Pitágoras.

Arquímedes:

(287-212 a.C.). Fue el matemático más importante de la Edad Antigua. También

conocido por una de sus frases: "Eureka, eureka, lo encontré". Su mayor logro, fue el

descubrimiento de la relación entre la superficie y el volumen de una esfera y el cilindro

que la circunscribe. Su principio más conocido fue el Principio de Arquímedes, que

consiste en que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y

hacia arriba igual al peso de fluido que desaloja.

Fibonacci:

(1170-1240). Matemático italiano que realizo importantísimas aportaciones en los

campos matemáticos del álgebra y la teoría de números. Descubridor de la Sucesión

de Fibonacci, que consiste es una sucesión infinita de números naturales.

René Descartes:

(1596-1650). Matemático francés, que escribió una obra sobre la teoría de las

ecuaciones, en la cual se incluía, la regla de los signos, para saber el número de

raíces positivas y negativas de una ecuación. Invento una de las ramas de las

matemáticas, la geometría analítica.

Isaac Newton:

(1643-1727). Matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis principia

mathematica. Abordó el teorema del binomio, a partir de los trabajos de John

Wallis, y desarrolló un método propio denominado cálculo de fluxiones. Abordó el

desarrollo del cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque

geométrico y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas

definidas a través de ecuaciones.

¿QUIÉN INVENTÓ LAS MATEMÁTICAS?

Las matemáticas es una ciencia muy polémica, no se sabe realmente su origen y de hecho

ha llegado a pensarse que es más antigua que la misma escritura, el comercio y los cálculos

han sido parte de la historia humanas y por ende los números. Las matemáticas buscan

patrones, puntos  y relaciones, así como para realizar relaciones cuantitativas, geométricas

y variables.

Desde la prehistoria se cree que las mujeres habían desarrollado un sistema de conteo de la

menstruación y los hombres por su parte habían ideado un sistema para contabilizar los

animales de las manadas a la hora de la caza, luego más adelante en la historia comienza la

aparición de figuras geométricas en las edificaciones de templos y sitios de adoración así

como los cálculos precisos para la construcción de los mismos. Para el V milenio a.C, ya se

mostraban inicios de sistemas decimales en la India, mientras que en China las primeras

matemáticas son del periodo de las Dinastia Shang unos 1600 a.C, y son básicamente

números marcados en la caparazón de tortugas.

En la Antigua Grecia se le atribuye la primera escuela de matemáticas a Pitágoras, sin

embargo algunos historiadores aseguran que estas matemáticas tienen mucha influencia de

los sistemas egipcios. Para la edad media el mundo de las matemáticas ya era de amplio uso

en Europa, el algebra el uso de razones y números imaginables ya era de uso frecuente

entre algunos estudiosos y comerciantes.