Historia de la matemtica

Lahistoria de las matemticases el rea de estudio que abarca las investigaciones sobre los orgenes de los descubrimientos enmatemticas, de los mtodos matemticos, de la evolucin de sus conceptos y tambin en cierto grado, de losmatemticosinvolucrados. El surgimiento de la matemtica en la historia humana est estrechamente relacionado con el desarrollo del concepto de nmero, proceso que ocurri de manera muy gradual en las comunidades humanas primitivas. Aunque disponan de una cierta capacidad de estimar tamaos y magnitudes, no posean inicialmente una nocin de nmero. As, los nmeros ms all de dos o tres, no tenan nombre, de modo que utilizaban alguna expresin equivalente a "muchos" para referirse a un conjunto mayor.1El siguiente paso en este desarrollo es la aparicin de algo cercano a un concepto de nmero, aunque muy incipiente, todava no como entidad abstracta, sino como propiedad o atributo de un conjunto concreto.1Ms adelante, el avance en la complejidad de la estructura social y sus relaciones se fue reflejando en el desarrollo de la matemtica. Los problemas a resolver se hicieron ms difciles y ya no bastaba, como en las comunidades primitivas, con solo contar cosas y comunicar a otros la cardinalidad del conjunto contado, sino que lleg a ser crucial contar conjuntos cada vez mayores, cuantificar el tiempo, operar con fechas, posibilitar el clculo de equivalencias para el trueque. Es el momento del surgimiento de los nombres y smbolos numricos.1Antes de la edad moderna y la difusin del conocimiento a lo largo del mundo, los ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemticos salan a la luz solo en unos pocos escenarios. Los textos matemticos ms antiguos disponibles son la tablilla de barroPlimpton 322(c. 1900a.C.), elpapiro de Mosc(c. 1850a.C.), elpapiro de Rhind(c. 1650a.C.) y los textos vdicosShulba Sutras(c. 800a.C.). En todos estos textos se menciona elteorema de Pitgoras, que parece ser el ms antiguo y extendido desarrollo matemtico despus de laaritmticabsica y lageometra.Tradicionalmente se ha considerado que la matemtica, como ciencia, surgi con el fin de hacer los clculos en el comercio, para medir laTierray para predecir los acontecimientosastronmicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisin amplia de la matemtica en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio.[citarequerida]Las matemticas egipcias y babilnicas fueron ampliamente desarrolladas por lamatemtica helnica, donde se refinaron los mtodos (especialmente la introduccin delrigor matemticoen lasdemostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta ciencia.2Lamatemtica en el islam medieval, a su vez, desarroll y extendi las matemticas conocidas por estas civilizaciones ancestrales. Muchos textos griegos y rabes de matemticas fueron traducidos al latn, lo que llev a un posterior desarrollo de las matemticas en laEdad Media. Desde elrenacimientoitaliano, en el siglo XV, los nuevos desarrollos matemticos, interactuando con descubrimientos cientficos contemporneos, han ido creciendo exponencialmente hasta el da de hoy.

Los inicios de la matemtica[editar]Prehistoria[editar]

Sistema chino denumeracin con varillas.Mucho antes de los primeros registros escritos, hay dibujos que indican algn conocimiento de matemticas elementales y de la medida del tiempo basada en las estrellas. Por ejemplo, lospaleontlogoshan descubierto rocas de ocre en laCueva de Blombosen Sudfrica de aproximadamente 70.000 aos de antigedad, que estn adornados con hendiduras en forma depatrones geomtricos.3Tambin se descubrieronartefactosprehistricosen frica y Francia, datados entre el35.000y el20.000a.C.,4que sugieren intentos iniciales de cuantificar el tiempo.5Hay evidencias de que las mujeres inventaron una forma de llevar la cuenta de su ciclo menstrual: de 28 a 30 marcas en un hueso o piedra, seguidas de una marca distintiva. Ms an, los cazadores y pastores empleaban los conceptos deuno,dosymuchos, as como la idea deningunoocero, cuando hablaban de manadas de animales.67Elhueso de Ishango, encontrado en las inmediaciones delro Nilo, al noreste delCongo, puede datar de antes del 20.000a.C. Una interpretacin comn es que el hueso supone la demostracin ms antigua conocida4de una secuencia denmeros primosy de lamultiplicacin por duplicacin.

Primeras civilizaciones[editar]En elperiodo predinstico de Egiptodel V milenioa.C. se representaban pictricamente diseos espaciales geomtricos. Se ha afirmado que los monumentosmegalticosen Inglaterra y Escocia, del IIImilenioa.C., incorporan ideas geomtricas tales comocrculos,elipsesyternas pitagricasen su diseo.8Las primeras matemticas conocidas en lahistoria de la Indiadatan del 3000 - 2600a.C., en laCultura del Valle del Indo(civilizacin Harappa) del norte de la India y Pakistn. Esta civilizacin desarroll un sistema de medidas y pesas uniforme que usaba elsistema decimal, una sorprendentemente avanzada tecnologa conladrillospara representarrazones, calles dispuestas en perfectosngulos rectosy una serie de formas geomtricas y diseos, incluyendocuboides,barriles,conos,cilindrosy diseos de crculos y tringulos concntricos y secantes. Los instrumentos matemticos empleados incluan una exacta regla decimal con subdivisiones pequeas y precisas, unas estructuras para medir de 8 a 12 secciones completas del horizonte y el cielo y un instrumento para la medida de las posiciones de las estrellas para la navegacin. Laescritura hindno ha sido descifrada todava, de ah que se sepa muy poco sobre las formas escritas de lasmatemticas en Harappa. Hay evidencias arqueolgicas que han llevado a algunos a sospechar que esta civilizacin usaba unsistema de numeracinde baseoctaly tenan un valor para, la razn entre la longitud de lacircunferenciay sudimetro.910Por su parte, las primeras matemticas en China datan de laDinasta Shang(16001046a.C.) y consisten en nmeros marcados en un caparazn de tortuga.11Estos nmeros fueron representados mediante una notacin decimal. Por ejemplo, el nmero 123 se escriba, de arriba a abajo, como el smbolo para el 1 seguido del smbolo para 100, luego el smbolo para el 2 seguido del smbolo para 10 y, por ltimo, el smbolo para el 3. Este era el sistema de numeracin ms avanzado en su tiempo y permita hacer clculos para usarlos con elsuanpano el baco chino. La fecha de invencin delsuanpanno se conoce con certeza, pero la mencin escrita ms antigua data del 190d.C., enNotas suplementarias sobre el Arte de las Cifras, de Xu Yue's.

Antiguo Oriente Prximo (c. 1800a.C.500a.C.)[editar]

Tablilla de arcillaYBC 7289.Mesopotamia[editar]Artculo principal:Matemtica babilnicaLasmatemticas babilnicashacen referencia a las matemticas desarrolladas enMesopotamia, el actualIrak, desde los das de los primerossumerios, hasta el inicio delperiodo helenstico. Se llaman matemticas babilnicas debido al papel central deBabiloniacomo lugar de estudio, que dej de existir durante el periodo helenstico. Desde este punto, las matemticas babilnicas se fundieron con las matemticas griegas y egipcias para dar lugar a lasmatemticas helensticas. Ms tarde, bajo elImperio rabe, Mesopotamia, especialmenteBagdad, volvi a ser un importante centro de estudio para lasmatemticas islmicas.En contraste con la escasez de fuentes en las matemticas egipcias, el conocimiento sobre las matemticas en Babilonia se deriva de ms de 400tablillas de arcilladesveladas desde 1850. Labradas enescritura cuneiforme, fueron grabadas mientras la arcilla estaba hmeda y cocidas posteriormente en un horno o secadas al sol. Algunas de ellas parecen ser tareas graduadas.Las evidencias ms tempranas de matemticas escritas datan de los antiguossumerios, que constituyeron la civilizacin primigenia en Mesopotamia. Los sumerios desarrollaron un sistema complejo demetrologadesde el3000a.C.Desde alrededor del2500a.C.en adelante, los sumerios escribierontablas de multiplicaren tablillas de arcilla y trataron ejercicios geomtricos y problemas dedivisin. Las seales ms tempranas de los numerales babilnicos tambin datan de ese periodo.12La mayora de las tabletas de arcilla recuperadas datan del 1800 al 1600a.C. y abarcan tpicos que incluyen fracciones, lgebra, ecuaciones cuadrticas y cbicas y el clculo deprimos gemelosregularesrecprocos(vasePlimpton 322).13Las tablillas tambin incluyen tablas de multiplicar y mtodos para resolverecuaciones linealesyecuaciones cuadrticas. La tablilla babilnicaYBC 7289da una aproximacin de2con una exactitud de cinco posiciones decimales. Tambin la matemtica abarca muchas ramas empezando por la clasificacin delos nmeros. Las matemticas babilnicas fueron escritas usando unsistema de numeracin sexagesimal(base 60). De ah se deriva la divisin de un minuto en 60 segundos y de una hora en 60 minutos, as como la de un crculo en 360 (60 6) grados y las subdivisiones sexagesimales de esta unidad de medida de ngulos en minutos y segundos. Los avances babilnicos en matemticas fueron facilitados por el hecho de que el nmero 60 tiene muchosdivisores. Tambin, a diferencia de los egipcios, griegos y romanos, los babilonios tenan un verdadero sistema de numeracin posicional, donde los dgitos escritos a la izquierda representaban valores de orden superior, como en nuestro actualsistema decimal de numeracin. Carecan, sin embargo, de un equivalente a la coma decimal y as, el verdadero valor de un smbolo deba deducirse del contexto.alba[editar]Artculo principal:Matemticas en el Antiguo Egipto

Papiro de Mosc.Las matemticas en elAntiguo Egiptose refieren a las matemticas escritas en laslenguas egipcias. Desde elperiodo helenstico, elgriegosustituy al egipcio como el lenguaje escrito de los escolares egipcios y desde ese momento las matemticas egipcias se fundieron con las griegas y babilnicas para dar lugar a lamatemtica helnica. El estudio de las matemticas en Egipto continu ms tarde bajo el influjo rabe como parte de lasmatemticas islmicas, cuando elrabese convirti en el lenguaje escrito de los escolares egipcios.El texto matemtico ms antiguo descubierto es elpapiro de Mosc, que data delImperio Medio de Egipto, hacia el 2000-1800a.C. Como muchos textos antiguos, consiste en lo que hoy se llamanproblemas con palabrasoproblemas con historia, que tienen la intencin aparente de entretener. Se considera que uno de los problemas es de particular importancia porque ofrece un mtodo para encontrar el volumen de untronco: "Si te dicen: Una pirmide truncada [de base cuadrada] de 6 de altura vertical, por 4 en la base [base inferior] y 2 en lo alto [base superior]. Haces el cuadrado de 4 y resulta 16. Doblas 4 y resulta 8. Haces el cuadrado de 2 y resulta 4. Sumas el 16, el 8 y el 4 y resulta 28. Tomas un tercio de 6 y resulta 2. Tomas 28 dos veces y resulta 56. Mira, es 56. Encontrars lo correcto."Elpapiro de Rhind14(hacia 1650a.C.) es otro texto matemtico egipcio fundamental, un manual de instrucciones en aritmtica y geometra. En resumen, proporciona frmulas para calcular reas y mtodos para la multiplicacin, divisin y trabajo con fracciones unitarias. Tambin contiene pruebas de otros conocimientos matemticos,15incluyendonmeros compuestosyprimos,media aritmtica,geomtricayarmnica, y una comprensin simple de lacriba de Eratstenesy lateora de nmeros perfectos(a saber, del nmero 6). El papiro tambin muestra cmo resolverecuaciones linealesde primer orden,16as comoseries aritmticasyseries geomtricas.17Adems, tres elementos geomtricos del papiro de Rhind sugieren los rudimentos de lageometra analtica: cmo obtener una aproximacin decon un error menor del 1%[citarequerida]; un antiguo intento decuadrar el crculo; y el uso ms antiguo conocido de un tipo decotangente.Finalmente, elpapiro de Berln(hacia 1300a.C.)18muestra que los antiguos egipcios podan resolver unaecuacin cuadrtica.19Matemtica en la Antigua India (del 900a.C. al 200d.C.)[editar]

Numerales brahmen el sigloI.Los registros ms antiguos existentes de la India son losSulba Sutras(datados de aproximadamente entre el siglo VIII a.C. y II d.C),20apndices de textos religiosos con reglas simples para construir altares de formas diversas, como cuadrados, rectngulos, paralelogramos y otros.21Al igual que con Egipto, las preocupaciones por las funciones del templo seala un origen de las matemticas en rituales religiosos.20En losSulba Sutrasse encuentran mtodos para construircrculos con aproximadamente la misma rea que un cuadrado, lo que implica muchas aproximaciones diferentes delnmero .2223Adicionalmente, obtuvieron el valor de laraz cuadradade 2 con varias cifras de aproximacin, listas de ternas pitagricas y el enunciado delteorema de Pitgoras.24Todos estos resultados estn presentes en la matemtica babilnica, lo cual indica una fuerte influencia de Mesopotamia.20No resulta claro, sin embargo, hasta qu punto losSulba Sutrasinfluenciaron las matemticas indias posteriores. Al igual que en China, hay una falta de continuidad en la matemtica india; significativos avances se alternan con largos perodos de inactividad.20Panini(hacia elsigloVa.C.) formul las reglas de lagramtica del snscrito.25Su notacin fue similar a la notacin matemtica moderna y usaba "metarreglas",transformaciones linealesyrecursiones.[citarequerida]Pingala(aproximadamente de lossiglosIIIalIa.C.) en su tratado deprosodia, usa un dispositivo correspondiente a unsistema binario de numeracin.[citarequerida]Su discusin sobre lacombinatoriademtricas musicalescorresponde a una versin elemental delteorema del binomio.[citarequerida]La obra de Pingala tambin contiene ideas bsicas sobre losnmeros de Fibonacci, llamadosmtrmeru.26Matemtica en la Grecia Antigua (desde el 600a.C. hasta el 300d.C.)[editar]Artculo principal:Matemtica helnica

Teorema de Pitgoras.Se acredita a lospitagricosla primera demostracin formal del teorema.Las matemticas griegas hacen referencia a las matemticas escritas engriegodesde el 600a.C. hasta el 300d.C.27Los matemticos griegos vivan en ciudades dispersas a lo largo delMediterrneo Oriental, desdeItaliahasta elNorte de frica, pero estaban unidas por un lenguaje y una cultura comunes. Las matemticas griegas del periodo siguiente aAlejandro Magnose llaman en ocasionesMatemticas helensticas.

Tales de Mileto.Las matemticas griegas eran ms sofisticadas que las matemticas que haban desarrollado las culturas anteriores. Todos los registros que quedan de las matemticas pre-helensticas muestran el uso del razonamiento inductivo, esto es, repetidas observaciones usadas para establecer reglas generales. Los matemticos griegos, por el contrario, usaban el razonamiento deductivo. Los griegos usaron la lgica para deducir conclusiones, oteoremas, a partir de definiciones yaxiomas.28La idea de las matemticas como un entramado de teoremas sustentados en axiomas est explcita en losElementosdeEuclides(hacia el 300a.C.).Se cree que las matemticas griegas comenzaron conTales(hacia 624 a.C 546 a.C) yPitgoras(hacia 582a.C. - 507a.C.). Aunque el alcance de su influencia puede ser discutido, fueron inspiradas probablemente por las matemticas egipcias, mesopotmicas e indias. Segn la leyenda, Pitgoras viaj a Egipto para aprender matemticas, geometra y astronoma de los sacerdotes egipcios.Tales us la geometra para resolver problemas tales como el clculo de la altura de laspirmidesy la distancia de los barcos desde la orilla. Se atribuye a Pitgoras la primera demostracin delteorema que lleva su nombre, aunque el enunciado del teorema tiene una larga historia.27En su comentario sobreEuclides,Procloafirma que Pitgoras expres el teorema que lleva su nombre y construyternas pitagricasalgebraicamente antes que de forma geomtrica. LaAcademia de Platntena como lema "Que no pase nadie que no sepa Geometra".LosPitagricosprobaron la existencia de nmeros irracionales.Eudoxio(408 al 355a.C.) desarroll elmtodo exhaustivo, un precursor de la modernaintegracin.Aristteles(384 al 322a.C.) fue el primero en dar por escrito las leyes de lalgica.Euclides(hacia el 300a.C.) dio el ejemplo ms temprano de la metodologa matemtica usada hoy da, con definiciones, axiomas, teoremas y demostraciones. Tambin estudi lascnicas. Su libroElementosfue conocido por todo el mundo occidental culto hasta la mitad del siglo XX.27Adems de los teoremas familiares sobre geometra, tales como elTeorema de Pitgoras, "Los elementos" incluye una demostracin de que la raz cuadrada de dos es un nmero irracional y otra sobre la infinitud de los nmeros primos. LaCriba de Eratstenes(hacia 230a.C.) fue usada para el descubrimiento de nmeros primos.ArqumedesdeSiracusa(hacia 287-212a.C.) us el mtodo exhaustivo para calcular elreabajo un arco deparbolacon ayuda de lasuma de una serie infinitay dio una aproximacin notablemente exacta depi.29Tambin estudi laespiral, dndole su nombre, frmulas para elvolumendesuperficies de revoluciny un ingenioso sistema para la expresin de nmeros muy grandes.Matemtica en la China clsica (c. 500a.C. 1300d.C.)[editar]

Los nueve captulos sobre el arte matemtico.Artculo principal:Matemtica chinaEnChina, el emperadorQin Shi Huang(Shi Huang-ti) orden en el212a.C.que todos los libros de fuera del estado de Qin fueran quemados. El mandato no fue obedecido por todo el mundo, pero como consecuencia se conoce muy poco acerca de la matemtica en la China ancestral.Desde laDinasta Zhou, a partir del1046a.C., el libro de matemticas ms antiguo que sobrevivi a la quema fue elI Ching, que usa trigramas y hexagramas para propsitos filosficos, matemticos y msticos. Estos objetos matemticos estn compuestos de lneas enteras o divididas llamadas yin (femenino) y yang (masculino), respectivamente (vaseSecuencia del Rey Wen).La obra ms antigua sobre geometra en China viene de canon filosficomohista, hacia el330a.C., recopilado por los aclitos deMozi(470-390 a.c.). ElMo Jingdescribi varios aspectos de muchos campos relacionados con la fsica as como proporcion una pequea dosis de matemticas.Despus de la quema de libros, ladinasta Han(202 a.C - 220 d.C) produjo obras matemticas que presumiblemente abundaban en trabajos que se haban perdido. La ms importante de estas esLos nueve captulos sobre el arte matemtico, cuyo ttulo completo apareci hacia el 179d.C., pero exista anteriormente en parte bajo otros ttulos. La obra consiste en 246 problemas en palabras que involucran agricultura, negocios, usos geomtricos para establecer las dimensiones de laspagodas, ingeniera,agrimensuray nociones sobretringulos rectngulosy. Tambin se usa elPrincipio de Cavalierisobre volmenes ms de mil aos antes de que el propio Cavalieri lo formulara en Occidente. Se crearon pruebas sobre elTeorema de Pitgorasy una formulacin matemtica de laeliminacin de Gauss-Jordan.Liu Huihizo un comentario de la obra hacia el siglo IIId.C.En resumen, las obras matemticas del Han astrnomo e inventorZhang Heng(78139d.C.) contenan una formulacin parapitambin, la cual difera de los clculos de Liu Hui. Zhang Heng us su frmula de pi para encontrar volmenes esfricos. Estaban tambin los trabajos escritos del matemtico yterico de la msicaJing Fang(7837a.C.); mediante el uso de lacoma pitagrica, Jing observ que 53quintas justasse aproximan a 31 octavas. Esto llevara ms tarde al descubrimiento del temperamento igual que divide a la octava en 53 partes iguales y no volvera a ser calculado con tanta precisin hasta que en el siglo XVII lo hiciese el alemnNicholas Mercator.Los chinos tambin hicieron uso de diagramas combinatorios complejos conocidos comocuadrado mgicoycrculo mgico, descritos en tiempos ancestrales y perfeccionados porYang Hui(12381398d.C.).Zu Chongzhi(siglo V) de lasDinastas del Sur y del Nortecalcul el valor de hasta siete lugares decimales, lo que daba lugar al valor de ms exacto durante casi 1000 aos.Incluso despus de que las matemticas europeas comenzasen a florecer durante elRenacimiento, las matemticas chinas y europeas mantuvieron tradiciones separadas, con un significativo declive de las chinas, hasta que misionerosjesuitascomoMatteo Ricciintercambiaron las ideas matemticas entre las dos culturas entre los siglos XVI y XVIII.Matemtica en Japn[editar]

Sangaku.Vanse tambin:SangakuySeki Kwa.La matemtica que se desarrolla en Japn durante elperodo Edo(1603 - 1887), es independiente de lamatemtica occidental; a este perodo pertenece el matemticoSeki Kwa, de gran influencia por ejemplo, en el desarrollo delwasan(matemtica tradicional japonesa), y cuyos descubrimientos (en reas como elclculo integral), son casi simultneos a los matemticos contemporneos europeos comoGottfried Leibniz.La matemtica japonesa de este perodo se inspira de la matemtica china, est orientada a problemas esencialmente geomtricos. Sobre tablillas de madera llamadassangaku, son propuestos y resueltos enigmas geomtricos; de all proviene, por ejemplo, elteorema del sexteto de Soddy.Matemtica en la India clsica (hacia 4001600)[editar]Artculo principal:Matemtica en la India

Aryabhata.Los avances en matemtica india posteriores a losSulba Sutrasson losSiddhantas, tratados astronmicos de los siglos IV y V d.C. (perodo Gupta) que muestran una fuerte influencia helnica.30Son significativos en cuanto a que contienen la primera instancia de relaciones trigonomtricas basadas en una semi-cuerda, como en trigonometra moderna, en lugar de una cuerda completa, como en la trigonometra ptolemaica.30Con una serie de alteraciones y errores de traduccin de por medio, las palabras "seno" y "coseno" derivan del snscrito "jiya" y "kojiya".30ElSuria-sidhanta(hacia el ao400) introdujo lasfunciones trigonomtricasdeseno,cosenoy arcoseno y estableci reglas para determinar las trayectorias de los astros que son conformes con sus posiciones actuales en el cielo. Los ciclos cosmolgicos explicados en el texto, que eran una copia de trabajos anteriores, correspondan a unao sideralmedio de 365.2563627das, lo que solo es 1,4segundos mayor que el valor aceptado actualmente de 365.25636305das. Este trabajo fue traducido del rabe al latn durante la Edad Media.3132En el siglo V d.C,Aryabhataescribe elAryabhatiya, un delgado volumen concebido para complementar las reglas de clculo utilizadas en astronoma y en medida matemtica. Escrito en verso, carece de rigor lgico o metodologa deductiva.33Aunque casi la mitad de las entradas son incorrectas, es en elAryabhatiyaen donde el sistema decimal posicional aparece por vez primera. Siglos ms tarde, el matemtico rabeAbu Rayhan Birunidescribira este tratado como "una mezcla de guijarros ordinarios y cristales onerosos"33En el siglo VIIBrahmaguptaidentific elteorema de Brahmagupta, laidentidad de Brahmaguptay lafrmula de Brahmaguptay, por primera vez enBrahma-sphuta-siddhanta, explic claramente los dos usos delnmero 0: como un smbolo para rellenar un hueco en el sistema posicional y como unacifray explic elsistema de numeracin hindo-arbigo.34Fue a raz de una traduccin de este texto indio sobre matemticas (hacia el 770) cuando las matemticas islmicas tuvieron acceso a este sistema de numeracin, que posteriormente adaptaron usando los numerales arbigos. Los estudiantes rabes exportaron este conocimiento a Europa hacia el sigloXII y termin desplazando los sistemas de numeracin anteriores en todo el mundo. En el sigloX, un comentario deJalaiudasobre la obra dePingalainclua un estudio de lasucesin de Fibonacciy deltringulo de Pascaly describa la formacin de unamatriz.[citarequerida]En el siglo XII,Bhaskara IIestudi diversas reas de las matemticas. Sus trabajos se aproximan a la moderna concepcin deinfinitesimal,derivacin,coeficientediferencialydiferenciacin. Tambin estableci elteorema de Rolle(un caso especial delteorema del valor medio), estudi laecuacin de Pell[citarequerida]e investig la derivada de la funcin seno. Hasta qu punto sus aportes anticiparon la invencin del clculo es fuente de controversias entre los historiadores de las matemticas.35Desde el sigloXII,Mdhava, fundador de laEscuela de Kerala, encontr la llamadaserie de Madhava-Leibnizy, utilizando 21 trminos, comput el valor delnmero a 3,14159265359. Mdhava tambin encontr laserie de Madhava-Gregorypara el arcotangente, la serie de potencias Madhava-Newton para determinar el seno y el coseno as comolas aproximaciones de Taylorpara las funciones seno y coseno.36En el siglo XVI,Jyesthadevaconsolid muchos de los desarrollos y teoremas de la Escuela de Kerala en losYukti-bh.37Sin ambargo, la Escuela no formul una teora sistemtica de laderivadao laintegracin, ni existe evidencia directa de que sus resultados hayan sido transmitidos al exterior de Kerala.3839Los progresos en matemticas as como en otras ciencias se estancaron en la India a partir de laconquista musulmana de la India.4041Matemtica islmica (hacia 800-1500)[editar]Artculo principal:Matemtica en el islam medievalVase tambin:Nmeros arbigos

Muhamad ibn Musa al-Kuarizmi.El imperio islmico, establecido a lo largo delOriente Medio,Asia Central,frica del Norte,Iberia, y parte de laIndia, hizo aportes significativos en matemticas en el siglo octavo. Aunque la mayor parte de los textos islmicos sobre matemticas fueron escritos enrabe, no todos fueron escritos porrabes, dado que, as como el griego era usado en el mundo helenstico, el rabe era usado como el lenguaje escrito de los intelectuales no rabes a lo largo del mundo islmico en aquella poca. Junto con los rabes, muchos otros importantes matemticos islmicos fueronpersas.En el siglo IX,Al-Juarismiescribi varios libros importantes sobre los nmeros arbigos y sobre los mtodos de resolucin de ecuaciones. Su libroSobre los clculos con nmeros arbigos, escrito alrededor del ao 825, junto con el trabajo deAl-Kindi, fueron instrumentos para dar a conocer las matemticas rabes y los nmeros arbigos en Occidente. La palabraalgoritmose deriva de la latinizacin de su nombre, Algoritmi, y la palabralgebradel ttulo de uno de sus trabajos,Al-Kitb al-mukhtaar f hsb al-abr wal-muqbala(Compendio de clculo por complecin y comparacin). Al-Juarismi a menudo es apodado "el padre del lgebra", por sus importantes contribuciones a este campo.42Aport una meticulosa explicacin a la solucin de ecuaciones de segundo grado con races positivas,43y fue el primero en ensear el lgebra en susformas ms elementales.44Tambin introdujo el mtodo fundamental de "reduccin" y "balance", refirindose a la colocacin de los trminos restados al otro lado de una ecuacin, es decir, la cancelacin de trminos iguales que se encuentran en lados opuestos de una ecuacin. Esta operacin fue descrita originariamente por Al-Jarismi comoal-jabr.45Su lgebra no solo consista "en una serie deproblemassin resolver, sino en unaexposicinque comienza con las condiciones primitivas que se deben dar en todos los prototipos de ecuaciones posibles mediante una serie de combinaciones, a partir de este momento sern objeto de estudio."El posterior desarrollo del lgebra vino de la mano deAl-Karaji. En su tratadoal-Fakhriextiende la metodologa para incorporar potencias y races de cantidades desconocidas. La primerademostracinporinduccin matemticade la que se tiene constancia aparece en un libro escrito por Al-Karaji en el 1000 d.C., en el que demuestra elteorema del binomio, eltringulo de Pascal, y la suma decubosintegrales.46Elhistoriadorde las matemticas, F. Woepcke,47elogi a Al-Karaji por haber sido "el primero en introducir lateoradelclculoalgebraico." Tambin en el siglo XAbul Wafatradujo las obras deDiofantoal rabe y desarroll la funcintangente.Ibn al-Haythamfue el primer matemtico en deducir la frmula de la suma de lasecuaciones curticas, usando un mtodo que puede generalizarse para determinar la frmula general de la suma de cualquier potencia entera. Desarroll una integracin para calcular el volumen de unparaboloidey fue capaz de generalizar sus resultados para las integrales depolinomiosde ms de cuarto grado. Incluso se acerc bastante a la frmula general de laintegralde polinomios, aunque no estaba interesado en polinomios de grado mayor que cuatro.48En las postrimeras del siglo XI,Omar KhayyamescribiDiscusiones sobre las dificultades en Euclides, un libro sobre los defectos en losElementos de Euclides, especialmente elpostulado de las paralelas, y estableci los fundamentos de lageometra analticay lageometra no eucldea. Tambin fue el primero en encontrar la solucin geomtrica a laecuacin cbicae influy en lareforma del calendario.[citarequerida]Matemtica en Occidente[editar]

Ilustracin de losElementosdeEuclides, hacia 1309 - 1316.Durante la Edad Media las aplicaciones del lgebra al comercio, y el dominio de los nmeros, lleva al uso corriente de losnmeros irracionales, una costumbre que es luego transmitida a Europa. Tambin se aceptan las soluciones negativas a ciertos problemas, cantidades imaginarias y ecuaciones de grado tres.Matemtica medieval en Europa[editar]El desarrollo de las matemticas durante la edad media es frecuentemente motivada por la creencia en un orden natural;Boeciolas sita dentro delcurrculo, en el siglo VI, al acuar el trminoQuadriviumpara el estudio metdico de la aritmtica, la geometra, la astronoma y la msica; en suDe institutione arithmetica, una traduccin deNicmaco, entre otros trabajos que constituyeron la base de la matemtica hasta que se recuperaron los trabajos matemticos griegos y rabes.4950Renacimiento europeo[editar]Durante el siglo XII, particularmente en Italia y en Espaa, se traducen textos rabes y se redescubren los griegos.51Toledose vuelve un centro cultural y de traducciones; los escolares europeos viajan a Espaa y a Sicilia en busca de literatura cientfica rabe52incluyendo elCompendio de clculo por complecin y comparacindeal-Khwrizm, y la versin completa de losElementosde Euclides, traducida a varios idiomas porAdelardo de Bath,Herman de Carinthia, yGerardo de Cremona.5354El crecimiento econmico y comercial que conoce Europa, con la abertura de nuevas rutas hacia el oriente musulmn, permite tambin a muchos mercaderes familiarizarse con las tcnicas transmitidas por los rabes. Las nuevas fuentes dan un impulso a las matemticas.Fibonacciescribe suLiber Abacien1202, reeditado en1254, produce el primer avance significativo en matemtica en Europa con la introduccin delsistema de numeracinindio: losnmeros arbigos(sistema denotacin decimal,posicionaly con uso comn delcero). En teora enseada en elQuadrivium, pero tambin destinada a la prctica comercial. Esta enseanza se transmite en lasbotteghe d'abbacoo escuelas de bacos, en donde losmaestrienseaban la aritmtica, la geometra y los mtodos calculatorios a los futuros comerciantes, a travs de problemas recreativos, conocidos gracias a tratados de lgebra que estos maestros han dejado.55Aunque el lgebra y lacontabilidadcorren por senderos separados,56para clculos complejos que involucraninters compuesto, un buen dominio de la Aritmtica es altamente valorado.Hay un fuerte desarrollo en el rea de las matemticas en el siglo XIV,57como la dinmica del movimiento.Thomas Bradwardinepropone que la velocidad se incrementa en proporcin aritmtica como la razn de la fuerza a la resistencia se incrementa en proporcin geomtrica, y muestra sus resultados con una serie de ejemplos especficos, pues el logaritmo an no haba sido concebido;58su anlisis es un ejemplo de cmo se transfiri la tcnica matemtica utilizada poral-KindiyArnau de Vilanova.59Los matemticos de esta poca (tales como loscalculatores de Merton College, de Oxford), al no poseer los conceptos delclculo diferencialo delmite matemtico, desarrollan ideas alternativas como por ejemplo: medir la velocidad instantnea como la "trayectoria quehabraseguido [un cuerpo]si... hubiese sido movido uniformemente con un mismo grado de velocidad con el que es movido en ese instante dado";58o bien: determinar la distancia cubierta por un cuerpo bajo movimiento uniforme acelerado (hoy en da resuelto con mtodos deintegracin). Este grupo, compuesto porThomas Bradwardine, William Heytesbury, Richard Swineshead y John Dumbleton, tiene como principal xito la elaboracin delteorema de la velocidad mediaque ms tarde, usando un lenguaje cinemtico y simplificado, compondra la base de la "ley de la cada de los cuerpos", de Galileo.58

Ritratto di Luca Pacioli, 1495, atribuido aJacopo de'Barbari(Museo di Capodimonte).Nicols Oresmeen laUniversidad de Parsy el italianoGiovanni di Casali, proveyeron -independientemente- una demostracin grfica de esta relacin.58En un comentario posterior alos Elementos, Oresme realiza un anlisis ms detallado en el cual prueba que todo cuerpo adquiere, por cada incremento sucesivo de tiempo, un incremento de una cualidad que crece como los nmeros impares. Utilizando el resultado de Euclides que la suma de los nmeros impares son los cuadrados, deduce que la cualidad total adquirida por el cuerpo, se incrementar conforme el cuadrado del tiempo.60Luca Pacioliescribe"Summa de Arithmetica, Geometra, Proportioni et Proportionalit"(Venecia, 1494), en donde se incluyen tratados de contabilidad y escritura; si bien estaba dirigido a mercaderes o aprendices de mercaderes, tambin contena acertijos y rompecabezas matemticos.61EnSumma Arithmetica, Pacioli introduce smbolos por primera vez en un libro impreso, lo que luego se convirti en una notacin convencional. Tambin es el primer libro conocido delgebra(mucho del contenido es plagiado dePiero della Francesca).Durante la primera mitad del siglo XVI,Scipione del FerroyNiccol Fontana Tartagliadescubren lassoluciones complejasde las ecuaciones cbicas, trabajando en laresolucin de ecuaciones. Retomado por Tartaglia y publicado por Cardan, encuentran una primera formulacin junto con Bombelli.Gerolamo Cardanopublicar elArs magnajunto con un trabajo de su alumno Ferrari, quien resuelve las ecuaciones de cuarto grado. En 1572Rafael Bombellipublica suL'Algebra, en el que muestra cmo utilizar las cantidades imaginarias que podran aparecer en la frmula de Cardano para las ecuaciones de grado tres.Hasta fines del siglo XVI, la resolucin de problemas matemticos contina siendo una cuestin retrica. Elclculo simblicoaparecer en 1591, con la publicacin delIsagoge Artem AnalycitemdeFranois Vitey la introduccin de notaciones especficas para las constantes y las variables (trabajo popularizado y mejorado porHarriot,FermatyDescartes, cambiar por completo el trabajo algebraico desarrollado en Europa).La Revolucin Cientfica de los siglos XVII y XVIII[editar]

Leonhard EulerporEmanuel Handmann.Las matemticas se inclinan sobre aspectos fsicos y tcnicos.Isaac NewtonyGottfried Leibnizcrean elclculo infinitesimal, con lo que se inaugura la era delAnlisis Matemtico, la derivada, la integracin y las ecuaciones diferenciales.62El universo matemtico de comienzos del siglo XVIII est dominado por la figura deLeonhard Euler63y por sus aportes tanto sobrefunciones matemticascomoteora de nmeros, mientras queJoseph-Louis Lagrangealumbra la segunda mitad del siglo.El siglo precedente haba visto la puesta en escena delclculo infinitesimal, lo que abra la va al desarrollo de una nueva disciplina matemtica: el anlisis algebraico, en el que, a las operaciones clsicas del lgebra, se aaden la diferenciacin y la integracin. El clculo infinitesimal se aplica tanto en la fsica (mecnica,mecnica celeste,ptica,cuerdas vibrantes) como en geometra (estudio de curvas y superficies).Leonhard Euler, enCalculi diffrentialis(1755) y enInstitutiones calculi integralis(1770), intenta establecer las reglas de utilizacin de los infinitos pequeos y desarrolla mtodos de integracin y de resolucin de ecuaciones diferenciales. Tambin se destacan los matemticosJean le Rond d'AlembertyJoseph-Louis Lagrange. En 1797,Sylvestre Franois LacroixpublicaTrait du calcul diffrentiel et intgralque es una sntesis de los trabajos del Anlisis del siglo XVIII. La familiaBernoullicontribuye al desarrollo de la resolucin de las ecuaciones diferenciales.Lafuncin matemticase vuelve un objeto de estudio a parte entera. Matemticos de la talla deBrook Taylor,James Stirling, Euler,Maclaurino Lagrange, la utilizan en problemas de optimizacin; se la desarrolla en series enteras o asintticas pero sin preocuparse de su convergencia. Leonhard Euler elabora una clasificacin de funciones. Se intenta aplicarla a los reales negativos o complejos. Elteorema fundamental del lgebra(existencia de races eventualmente complejas a todo polinomio) que tena forma de conjetura desde hacia dos siglos, es revalorizado en la utilizacin de ladescomposicin en elementos simples, necesario para el clculo integral. Sucesivamente, Euler (1749) y Lagrange (1771), intentan demostraciones algebraicas pero se enfrentan a la parte trascendente del problema (todo polinomio de grado impar sobre R posee una raz real), que necesitar de la utilizacin de un teorema de valores intermedios.64La demostracin de D'Alembert publicada en 1746 en los anales de la academia de Berln, es la ms completa pero contiene an algunas lagunas y pasajes obscuros. Gauss, en 1799, que critica a D'Alembert sobre estos puntos, no est exento de los mismos reproches. Hay que hacer intervenir en un momento un resultado fuerte del Anlisis que el siglo an no conoce. Adems, este obstculo se sita en la cuestin de los puntos de bifurcacin: es una cuestin ya debatida en la polmica sobre los logaritmos y los nmeros negativos a la que pondr fin Euler. La segunda y tercera demostracin de Gauss no adolecen de estas carencias, pero ya no se inscriben dentro del mismo siglo.En aritmtica, Euler demuestra elpequeo teorema de Fermaty da una versin extendida a los nmeros compuestos (1736-1760).Matemtica moderna[editar]Siglo XIX[editar]La historia matemtica del siglo XIX es inmensamente rica y fecunda. Demasiado como para ser abarcada en su totalidad dentro de la talla razonable de este artculo; aqu se presentan los puntos sobresalientes de los trabajos llevados a cabo durante este perodo.Numerosas teoras nuevas aparecen y se completan trabajos comenzados anteriormente. Domina la cuestin delrigor, como se manifiesta en el anlisis matemtico con los trabajos de Cauchy y la suma de series (la cual reaparece a propsito de la geometra), teora de funciones y particularmente sobre las bases del clculo diferencial e integral al punto de desplazar las nociones deinfinitamente pequeoque haban tenido notable xito el siglo pasado. Ms an, el siglo marca el fin del amateurismo matemtico: las matemticas eran consideradas hasta entonces como obra de algunos particulares, en este siglo, se convierten en profesiones de vanguardia. El nmero de profesionales no deja de crecer y las matemticas adquieren una importancia nunca antes vista. Las aplicaciones se desarrollan rpidamente en amplios dominios, haciendo creer que la ciencia todo lo puede; algunos sucesos as parecen atestiguarlo, como el descubrimiento de un nuevo planeta nicamente por el clculo, o la explicacin de la creacin del sistema solar. El dominio de la fsica, ciencia experimental por excelencia, se ve completamente invadido por las matemticas: el calor, la electricidad, el magnetismo, la mecnica de fluidos, la resistencia de materiales y la elasticidad, la cintica qumica,... son todas matematizadas. Joseph-Louis Lagrange Augustin Louis Cauchy Carl Friedrich Gauss Bernhard Riemann Pierre de Laplace William Rowan Hamilton Gottlob FregeDurante el siglo XIX las matemticas se vuelven ms abstractas. El trabajo revolucionario deCarl Friedrich Gauss(17771855) enmatemtica pura, incluye la primera prueba satisfactoria del teorema fundamental de la aritmtica y de la ley de reciprocidad cuadrtica, adems de numerosas contribuciones enfuncin matemtica, variable compleja, geometra, convergencia de series,...En este siglo se desarrollan dos formas degeometra no euclidiana, en las que elpostulado de las paralelasde lageometra eucldeaya no es vlido. El matemtico rusoNikolai Ivanovich Lobachevskyy su rival, el matemtico hngaroJnos Bolyai, independientemente definen y estudian lageometra hiperblica. Lageometra elpticafue desarrollada ms tarde por el matemtico alemnBernhard Riemann, quien tambin introduce el concepto devariedad (matemtica)(y la hoy llamadaGeometra de Riemann).Enlgebra abstracta,Hermann Grassmannda una primera versin deespacio vectorial.George Booledivisa un lgebra que utiliza nicamente los nmeros 0 y 1, la hoy conocida comolgebra de Boole, que es el punto de partida de lalgica matemticay que tiene importantes aplicaciones enciencias de la computacin.Augustin Louis Cauchy,Bernhard RiemannyKarl Weierstrassreformularon el clculo de manera ms rigurosa.=== Siglo XX ===

Teorema de los cuatro colores.El siglo XX ve a las matemticas convertirse en una profesin mayor. Cada ao, se gradan miles de doctores, y las salidas laborales se encuentran tanto en la enseanza como en la industria. Los tres grandes teoremas dominantes son: losTeoremas de incompletitud de Gdel; la demostracin de laconjetura de Taniyama-Shimura, que implica la demostracin del ltimo teorema de Fermat; la demostracin de lasconjeturas de WeilporPierre Deligne. Muchas de las nuevas disciplinas que se desarrollan o nacen son una continuacin de los trabajos dePoincar, lasprobabilidades, latopologa, lageometra diferencial, lalgica, lageometra algebraica, los trabajos deGrothendieck, entre otras.En un discurso en 1900 frente alCongreso Internacional de Matemticos,David Hilbertpropuso una lista de23 problemas matemticos. Esta lista, que toca varias reas de las matemticas, fue un foco central para muchos matemticos del siglo XX. A la fecha (2011), 10 han sido resueltos, 7 parcialmente resueltos y 2 siguen abiertos; los 4 restantes estn formulados de manera muy vaga para decidir si han sido resueltos o no.Muchas conjeturas notables fueron finalmente probadas. En 1976,Wolfgang HakenyKenneth Appelusaron una computadora para demostrar elteorema de los cuatro colores.Andrew Wiles, basado en trabajos previos de otros matemticos, prob elltimo teorema de Fermaten 1995.Paul CohenyKurt Gdelprobaron que lahiptesis del continuoeslgicamente independientede (no puede ser probada o negada de) losaxiomas de la teora de conjuntos. En 1998Thomas Callister Halesprob laconjetura de Kepler.Colaboraciones matemticas de tamao y dimensiones imprecedentes toman lugar. Un ejemplo es laclasificacin de grupos finitos simples(tambin llamada el "teorema enorme"), para cuya demostracin, entre 1955 y 1983, se requirieron 500 artculos de alrededor de 100 autores, llenando miles de pginas. Un grupo de matemticos franceses, incluyendoJean DieudonnyAndr Weil, publican bajo el pseudnimo Nicols Bourbaki, con intencin de exponer la totalidad del conocimiento matemtico como un todo riguroso coherente. El resultado de varias docenas de volmenes, reunidos enElementos de matemtica, ha tenido una influencia controversial en la educacin matemtica.65Lageometra diferencialse convirti en objeto de estudio como tal cuandoEinsteinla utiliza en larelatividad general. reas enteramente nuevas de la matemtica como lalgica matemtica, latopologay lateora de juegosdeJohn von Neumann, cambian el tipo de preguntas a las cuales se poda dar respuesta con mtodos matemticos. Todo tipo deestructurafue reducido a un grupo de axiomas abstracto, y se les dio nombres comoespacio mtrico,espacio topolgico, etc. Estos conceptos, a su vez fueron abstrados hacia unateora de categoras, como se suele ser el caso en matemticas.GrothendieckySerrerelanzan lageometra algebraicautilizandoteora de haces. Grandes avances fueron hechos en el estudio cualitativo de lateora de sistemas dinmicosquePoincarhaba comenzado en los 1890's. Lateora de la medidafue desarrollada en los tardos 1900s y comienzos del siglo XX. Las aplicaciones de la medida incluyen laintegral de Lebesgue, la axiomatizacin deKolmogorovde lateora de la probabilidad, y lateora ergdica. Lateora de nudostambin se ampli. Lamecnica cunticallev al desarrollo delanlisis funcional. Otras nuevas reas incluyen lateora de distribucionesdeLaurent Schwartz, losteoremas de punto fijo, lateora de la singularidady lateora de las catstrofesdeRen Thom, lateora de modelosy losfractalesdeMandelbrot. La teora de Lie, constituida por losgrupos de Liey laslgebras de Liese volvieron reas de gran inters.La invencin y el continuo progreso de las computadoras, al comienzo mquinas mecnicas analgicas y despus mquinas electrnicas, permitieron trabajar con cantidades cada vez ms grandes de datos, y surgieron reas como por ejemplo lateora de la computabilidaddeAlan Turing; lateora de la complejidad computacional; lateora de la informacindeClaude Shannon; elprocesamiento de seales; elanlisis de datos; laoptimizaciny otras reas deinvestigacin de operaciones. En los siglos precedentes, muchos de los focos matemticos estaban puestos en el clculo y las funciones continuas, pero el surgimiento de la computacin y la tecnologa de las comunicaciones llevan a una importancia creciente los conceptos de lasmatemticas discretasy la expansin de lacombinatoria, incluyendo lateora de grafos. La velocidad y procesamiento de datos de las computadoras tambin les permitieron encargarse de problemas matemticos que consumiran demasiado tiempo con clculos hechos con papel y lpiz, llevando a reas como elanlisis numricoy elclculo formal. Algunos de los mtodos y algoritmos ms importantes del siglo XX han sido: elalgoritmo smplex, latransformada rpida de Fourier, lacorreccin de errores hacia adelante, elFiltro de Kalmande lateora de controly elalgoritmo RSAde lacriptografa asimtrica.Siglo XXI[editar]En el ao 2000, elClay Mathematics Instituteanunci los sieteproblemas del milenio, y en 2003 la demostracin de laconjetura de Poincarfue resuelta porGrigori Perelmn(que razon ticamente el no aceptar el premio).La mayora de las revistas de matemtica tienen versinon lineas como impresas, tambin salen muchas publicaciones digitales. Hay un gran crecimiento hacia elacceso online, popularizada por elArXiv.