Historia de la geometrRIALageometraes una de lascienciasms antiguas. Inicialmente, constitua un cuerpo de conocimientos prcticos en relacin con laslongitudes,reasyvolmenes. En elantiguo Egiptoestaba muy desarrollada, segn los textos deHerodoto,EstrabnyDiodoro Sculo.Euclides, en el siglo III a. C. configur la geometra en formaaxiomtica, tratamiento que estableci una norma a seguir durante muchos siglos: lageometra euclidianadescrita en Los Elementos.El estudio de laastronomay lacartografa, tratando de determinar las posiciones deestrellasyplanetasen la esfera celeste, sirvi como importante fuente de resolucin de problemas geomtricos durante ms de un milenio.Ren Descartesdesarroll simultneamente ellgebray lageometra analtica, marcando una nueva etapa, donde las figuras geomtricas, tales como lascurvasplanas, podran ser representadas analticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometra se enriquece con el estudio de la estructura intrnseca de los entes geomtricos que analizanEuleryGauss, que condujo a la creacin de latopologay lageometra diferencial. La Geometra en la Edad Contempornea

Gaussdevuelve el carcter geomtrico que impregna parte delanlisis matemtico, fundamentalmente con dos contribuciones: el nacimiento delanlisis complejoy de lageometra diferencial.Pero no son las nicas contribuciones de ste genio al campo de la geometra. En su adolescencia se vio dividido entre dedicarse a lafilologao a lamatemtica. A los 17 descubri la manera deconstruir el polgonoregular de 17 lados, y la condicin necesaria y suficiente para que un polgono regular pueda construirse. Esto determin su vocacin.En su primera demostracin delteorema fundamental del lgebra(de las cinco que realiz a lo largo de su carrera) sent las bases del anlisis devariable compleja, usando la interpretacin geomtrica de los nmeros complejos como vectores fijos del plano (no en este lenguaje, que ser introducido mucho ms tarde). Por cierto, se atribuye a Gauss la paternidad de esta idea. PrimeroWessely luegoArgandse le anticiparon, pero nadie conoca los estudios de ambos. Aunque no es propiamente obra suya, pues elanlisis complejoest desarrollada fundamentalmente porCauchy, s es el primero en abordarla seriamente, y sobre todo le da una interpretacin geomtrica que marcar el desarrollo de esta rama.Pero la principal contribucin de Gauss a la geometra es la creacin de lageometra diferencial, retomando las ideas que sobre las relaciones entre el anlisis matemtico y la geometra haba hasta entonces y desarrollndolas ampliamente.Partiendo de la base de que la geometra estudia el espacio, lascurvasy lassuperficies, establece la nocin fundamental decurvaturade una superficie. Gracias a ella, y a la definicin degeodsica, demuestra que si consideramos que una geodsica es una curva con menor distancia entre dos puntos sobre una superficie (es decir, si tenemos dos puntos sobre una superficie, el camino ms corto entre esos dos puntos sin salirnos de la superficie es un segmento de geodsica), concepto totalmente anlogo sobre la superficie al de recta en el plano, existen superficies en las que los tringulos formados por las geodsicas miden ms de la medida de dos ngulos rectos, y otras en las que mide menos. Esto, esencialmente, es contradecir elV postulado de Euclides.Estas consideraciones llevaron a Gauss a considerar la posibilidad de creargeometras no eucldeas, pero aunque a esas alturas ya era el matemtico ms prestigioso de Europa, consider que la mentalidad de la poca no estaba preparada para un resultado de tal magnitud, y nunca public esos resultados. Slo vieron la luz cuandoBolyaipublic su geometra no eucldea, y comprob que la comunidad cientfica general aceptaba el resultado.As que, por un lado, Gauss fue el primero en crear una geometra no eucldea, y por otro fue el creador de la geometra diferencial y precursor de la variable compleja.Ahiigudems, Gauss es el primero en considerar una nueva propiedad en la geometra: la orientacin.Antecedentes de la geometraLa geometra (Del griego : : geo = Tierra, Metria = medida). Se plantea como el mbito de los conocimientos relativos a las relaciones espaciales. La geometra fue unos de los dos campos antecedentes a la moderna matemtica, el otro campo es el estudio de los nmeros.

Los antecedentes de lageometra clsica se centraron en la orientacin y en la correcta construccin de edificios. Ahora en los tiempos modernos, los conceptos geomtricos se han generalizado con un alto nivel de abstraccin y complejidad, y han sido sometidos a los mtodos de clculo y lgebra abstracta, de modo que muchas modernas ramas son apenas reconocibles como las descendientes de los principios de la geometra.ANTECEDENTES HISTRICOS DE LA GEOMETRA ANALTICALos primeros grabados sobre la geometra se remontan a la poca de los caverncolas, cuando sedescubri obtusos tringulos en el antiguo Valle del Indo (Harappan), y en la antigua Babilonia alrededor del 3000 AC.

Los principios de la geometra eran una coleccin de principios empricamente descubiertos en relacin con las longitudes, ngulos, reas, y volmenes, y que fueron desarrollados para satisfacer algunas necesidades en la agrimensura, la construccin, la astronoma, y diversas artesanas. Entre estos principios, destacan algunos sorprendentemente sofisticados, que para la matemtica moderna o para un matemtico le pueden resultar difcil de obtener algunos de ellos sin el uso del clculo moderno. Por ejemplo, tanto los egipcios como los babilonios eran conscientes de las versiones del teorema de Pitgoras aproximadamente 1500 aos antes que Pitgoras; los egipcios tenan una frmula correcta para el volumen de un tronco de una pirmide cuadrada; los babilonios disponan de tablas de trigonometra.GEOMETRA EGIPCIALos antiguos egipcios conocan la forma de aproximarse al rea de un crculo de la siguiente manera:rea del crculo = [ (Dimetro) x 8/9 ]2El problema n 50 del papiro de Ahmes utiliza este mtodo para obtener la superficie de un crculo de acuerdo con la norma de que el rea es igual al cuadrado de 8 / 9 del dimetro del crculo. Esto supone que es de 4 (8 / 9) (3.160493 ), con un error de poco ms de 0,63 por ciento.Este valor es ligeramente menos preciso que los clculos de los babilonios (25 / 8 = 3,125, con un error del0,53 por ciento), pero no fue superado hasta la llegada de Arqumedes cuya aproximacin fue de 211875/67441 = 3,14163, donde haba un error de poco ms de 1 entre 10000 ).En el problema 48 se usaba un cuadrado de lado de 9 unidades. Esta pieza fue cortada en forma decuadrcula de 33. Los cuadrados de las diagonales fueron utilizados para hacer un octgono irregular con una superficie de 63 unidades. Esto dio un segundo valor de de 3,111 Los dos problemas juntos indicaron un rango de valores de Pi entre 3.11 y 3.16.El problema 14 del Papiro de Mosc muestra un nico ejemplo antiguo al encontrar el volumen de un tronco de una pirmide, describiendo la frmula correcta:V = 1/3 * h(X12+ X1*X2 + X22)GEOMETRA BABILONIALos babiloniosconocan las normas generales para la medicin de reas y volmenes. Se meda la circunferencia de un crculo como tres veces el dimetrolo que sera correcto si fuese estimado como valor 3. El volumen de un cilindro se tom como el producto de la base y la altura, sin embargo, el volumen del tronco de un cono o una pirmide cuadrada fue tomada incorrectamente como el producto de la altura y la mitad de la suma de las bases.El teorema de Pitgoras era tambin conocido por los babilonios. Los babilonios tambin son conocidos por la milla babilnica, que fue una medida de distancia igual a siete millas actuales.GEOMETRA INDIAPeriodo Harappan:Las primeras pruebas y antecedentes de la utilizacin de las matemticas en el sur de Asia se encuentra en los artefactos de la civilizacin del Valle Indus , tambin llamada Harappan , durante el 3er milenio aC. Las excavaciones en Harapa, Mohenjo-Daro (en la actual Pakistn), Lothal (en la actual India) y otros lugares a lo largo del valle del ro Indus han descubierto pruebas de la utilizacin de las matemticas. Estos pueblos fabricaban ladrillos cuyas dimensiones eran de la proporcin 4:2:1, considerado favorable para la estabilidad de una estructura de ladrillo. Utilizaron un sistema normalizado de pesos sobre la base de los ratios: 1 / 20, 1 / 10, 1 / 5, 1 / 2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, y 500, con la unidad peso que tiene aproximadamente 28 gramos.Perodo Vdico:Los manuscritos Vedas durante el perodo historico vdico (finales del 2 milenio y comienzos del primer milenio aC), en su mayora contienen menciones de los nmeros relacionados con los rituales, entre ellos potencias de 10. Con una gran influencia deMesopotamia en la forma del sistema sexagesimal.El Satapatha Brahmana (9 siglo aC) contiene normas para el ritual de las construcciones geomtricas que son similares a las Sulba Sutras.El ulba sutras (literalmente, aforismos de los acordes en snscrito vdico) (c. 700-400 aC) contiene una lista de las reglas para la construccin de altares de sacrificio de fuego.Los altares estaban obligados a ser de cinco capas de ladrillo quemado, con la condicin adicional de que cada capa fuera de 200 ladrillos.Segn (Hayashi 2005, p. 363), el ulba sutras contena elteorema de Pitgoras explicado de forma breve, a pesar de que ya se haba conocido en el Viejo pueblo babilonio.Perodo clsico:En los manuscritos Bakhshali , hay un puado de problemas geomtricos acerca de los volmenes de slidos irregulares). El manuscrito tambin emplea a un valor decimal con un sistema de valor o de nmero cero.Dentro de la Aryabhatase incluyen el clculo de reas y volmenes.Brahmagupta escribi su trabajo astronmico Brahma Sphua Siddhanta en el 628 cuyo captulo 12 contiene 66 versos del snscrito, este tratado se dividi en dos secciones: Operaciones bsicas (incluidas las races cubo, fracciones, y el ndice de proporcin, y el trueque) y prcticas de matemticas (incluidas series matemticas, figuras planas, apilar ladrillos, aserrado de la madera, y la acumulacin de grano). En este ltimo punto, manifest su famoso teorema sobre las diagonales de un cuadriltero cclico.Teorema de Brahmagupta: Si un cuadriltero cclico cuyas diagonales son perpendiculares, entonces la lnea trazada perpendicular desde el punto de interseccin de las diagonales a cualquier lado del cuadriltero siempre cortar el lado opuesto.GEOMETRACHINALas primeras matemticas simples, antecedentes de las matematicas que aparecen en China pertenecen a los registros de la adivinacin de la dinasta Shang (ao 1600 -1050 antes de Cristo), sin embargo, el primer trabajo definitivo (o al menos ms antiguo existente) sobre la geometra en China fue el Mo Jing, perteneciente a los primeros escritos del filsofo Mozi (470 aC-390 aC). Se compil aos ms tarde despus de su muerte por sus seguidores alrededor del ao 330 aC.A pesar de que el Mo Jing es el libro ms antiguo existente de la geometra en China, existe la posibilidad de que incluso exista material an ms antiguo. Sin embargo, debido a la infame quema de los libros durante la gobernante dinasta Qin(ao 210 aC), multitudes de libros desaparecieron. Adems, el Mo Jing presenta conceptos geomtricos en matemticas que son tal vez demasiado avanzados y no ha tenido un antecedente conocido al respecto.El Mo Jing describe diversos aspectos sobre muchos campos relacionados con la ciencia y la fsica y proporcion un pequeo cmulo de informacin sobre las matemticas. Al igual que Euclides,el Mo Jing dijo que un punto puede estar en la final de una lnea, o en su inicio.Al igual que las teoras de Demcrito s, el Mo Jing dijo que un punto es la unidad ms pequea, y no puede ser reducido a la mitad, ya que nada no puede ser reducido a la mitad. Declar que dos lneas de igual longitudsiempre terminan en el mismo lugar, la vez que proporciona definiciones para la comparacin de las longitudes y los paralelos,junto con los principios de espacio y limites espaciales.Los nueve captulos del arte matemtico:Los nueve captulos sobre el Arte de las Matemticas, es el ttulo con el que apareci por primera vez por el ao 179 dC en una inscripcin de bronce, que fue editado y comentado por el matemtico Liu Hui del Reino de Cao Wei. Este libro incluye muchos de los problemas que la geometra aplicaba a campos como la bsqueda de superficies para cuadrados y crculos, los volmenes de los slidos en tres dimensiones, e incluy el uso del teorema de Pitgoras. El libro ilustra un dilogo entre el anterior duque de Zhou y Shang Gao sobre las propiedades del ngulo recto de los tringulos, el teorema de Pitgoras, as como las mediciones entre. Estableci como valor al nmero Pi3,1555utilizando 142/45. Liu Hui escribi tambin el estudio matemtico para calcular la distancia entre las mediciones de profundidad, altura, anchura y superficie.GEOMETRACLSICA GRIEGAPara los antiguos matemticos griegos, la geometra era la joya de la corona de sus ciencias, llegando a una exhaustividad y una perfeccin de metodologa que ninguna otra rama de su conocimiento haba antesalcanzado. Se ampli la rama de la geometra a muchos nuevos tipos de clculos, curvas, superficies, y slidos, que cambi su metodologa de ensayo y error a la deduccin lgica, que reconoci que los estudios de geometra eterna formas, o abstracciones, de los cuales fsica los objetos son slo aproximaciones, y desarrollaron la idea de una teora axiomtica, que, por ms de 2000 aos, se consideraba el paradigma ideal para todas las teoras cientficas.Pitgoras y Thales de MiletoThales (635-543 aC), de Mileto (en la actualidad en el suroeste de Turqua), fue el primero al que se le atribuye la deduccin matemtica.Pitgoras (582-496 aC) de Ionia, y ms tarde, Italia, y luego colonizado por los griegos, pudo haber sido un estudiante de Thales, y viaj a por Babilonia y por Egipto. El teorema que lleva su nombre puede no haber sido descubrimiento suyo, pero fue probablemente uno de los primeros en dar una prueba deductiva del mismo. l reuni a un grupo de estudiantes a su alrededor para estudiar matemticas, msica, yfilosofa, y juntos descubrieron lo que la mayora de los estudiantes de secundaria estudian hoy en da en sus cursos de geometra.Euclides:Euclides (c. 325-265 aC), de Alejandra, probablemente un estudiante de uno de los estudiantes de Platn, escribi un tratado en 13 libros (captulos) , titulado Los Elementos de Geometra, en la que present la geometra de una forma ideal axiomtica, que vino a ser conocida como la geometra euclidiana.El tratado era un compendio de todo lo quelos matemticos saban en el momento acerca de la geometra, pero era tan superior que los dems cayeron en desuso y se perdieron. Fue llevado a la universidad en Alejandra por Ptolomeo I, Rey de Egipto.Arqumedes:Arqumedes (287-212 aC), de Siracusa, Sicilia, cuando era una ciudad perteneciente al estado griego, es a menudo considerado el ms grande de los matemticos griegos, y, en ocasiones, incluso como uno de los tres ms grandes de todos los tiempos (junto con Isaac Newton y Carl Friedrich Gauss). Si no hubiera sido un matemtico, seguira siendo recordado como un gran fsico, ingeniero e inventor. En su matemtica, desarroll mtodos muy similares a los sistemas de coordenadas de la geometra analtica, y la limitacin del proceso de clculo integral. El nico elemento del que careci en dichos campos fue una mejor cultura del lgebra en la que expresar mejor sus concepto

Mtodos deductivo y inductivo1. 1.

El pensamiento va de lo general a lo particular

Exposicin de conceptos y definiciones para extraer conclusiones y consecuencias

Tradicionalmente es ms utilizado en la enseanza

El pensamiento va de lo particular a lo general

Es ideal para lograr principios, y a partir de ellos utilizar el mtodo deductivo

En las aulas se hace al revs

El pensamiento va de lo particular a lo particular

Se establecen comparaciones que llevan a una solucin por semejanza

INDUCTIVO METODOS Formas de Razonamiento DEDUCTIVO ANALOGICO2. 2.Procedimientos del Mtodo Deductivo

Redactar con claridad concentrndose nicamente en la parte esencial de la informacin

Respetar el orden seguido por el autor

No aportar ideas propias

Ser conciso en la redaccin

Debe de ser un todo y representar la unidad del texto

Un resumen es la reduccin de un escrito en trminos breves y precisos. Este gnero es el ms utilizado para estudiar de manera autnoma, y uno de los trabajos escritos ms solicitados en todos los niveles de la enseanza. Se recomienda lo siguiente: Resumen3. 3.Procedimientos del Mtodo Deductivo Denota las ideas principales de un texto, presenta las ideas generales del autor, por lo tanto casi siempre es el autor quien las publica. Es decir, el lector ciertamente puede expresar con sus propias palabras y estilo la idea principal del autor, cambiando el orden segn sus intereses. Es una recopilacin de datos acerca de los puntos de una obra o tema en particular, para otorgar al espectador un extracto de los aspectos ms relevantes del asunto, y formndole una visin general de una manera resumida y adecuada. En ella no se incluyen detalles del desenlace de la obra, pues se trata es de captar el inters del lector. Sntesis Sinopsis4. 4.Son representaciones simplificadas de una realidad compleja. Su uso ayuda a comprender, memorizar y jerarquizar los elementos que la integran, engranndolos entre s mediante vnculos conceptuales. Esta parte de verdades establecidas, de las que se extraen todas las relaciones lgicas y evidentes para no dejar lugar a dudas de la conclusin, el principio o ley que se quiere demostrar como verdadero. Desde el punto de vista educativo, una demostracin es una explicacin visualizada de un hecho. Procedimientos del Mtodo Deductivo Demostracin Esquemas Mapas Grficos5. 5.Procedimientos del Mtodo Inductivo Consiste en provocar el fenmeno sometido a estudio para que pueda ser observado en condiciones ptimas. sta se utiliza para comprobar o examinar las caractersticas de un hecho o fenmeno. Consiste en proyectar la atencin del participante sobre objetos, hechos o fenmenos, tal y como se presentan en la realidad, puede ser tanto de objetos materiales, de hechos o otros fenmenos. Esta se limita a la descripcin y registro de los fenmenos sin modificarlos, ni emitir juicios de valor. Existe observacin directa sobre el objeto, hecho o fenmeno real y observacin indirecta basada en representacin grfica o multimedia. Experimentacin Observacin6. 6.Conjunto de procedimientos interpretativos de productos comunicativos (mensajes, textos o discursos) que proceden de procesos singulares de comunicacin previamente registrados, y que, basados en tcnicas de medida cuantitativas cualitativas, tienen por objeto elaborar y procesar datos relevantes sobre las condiciones mismas en que se han producido, para su empleo posterior. Es una funcin del cerebro que cada persona utiliza de diferente manera. Permite acceder a una gran reserva de conocimientos de los que no somos conscientes, o lo somos slo parcialmente, podra ser considerada como el instinto de los seres humanos, ya que, es una capacidad innata aunque no todos confan en ella. Es cuando se sabe algo sin una base lgica. Procedimientos del Mtodo Inductivo Anlisis Intuicin7. 7.Aclarar algo de difcil comprensin con ejemplos imgenes (dibujo, fotografa o lmina) colocada en una publicacin o impreso para atraer a la vista o explicar y ampliar su contenido Proceso mediante el cual se separan y aslan los rasgos, nexos y relaciones comunes y esenciales de los objetos y fenmenos singulares. Esta se realiza cuando el participante descompone un objeto, atiende a un solo elemento y excluye los restantes, esto viene a ser la culminacin del mtodo inductivo. Demostrar, ilustrar o autorizar con ejemplos Procedimientos del Mtodo Inductivo Ilustracin Ejemplificacin Abstraccin8. 8.EJERCICIOS9. 9.Indique que tipo de Mtodo se aplica en este caso: deductivo, inductivo o analgico

Caso A

El profesor presenta los objetivos a lograr en la sesin, as como un breve esbozo de las actividades necesarias para conseguirlos. Entrega a cada alumno una hoja en la que se le dan instrucciones acerca de los contenidos tericos que debe estudiar en forma individual en la bibliografa que posee.

Una vez cubierta la fase de estudio individual los alumnos se renen en pequeos grupos para dar respuesta a unos ejercicios de comprensin de la teora propuesta por el profesor.

Por ltimo el profesor organiza un coloquio general sobre el tema en el que a travs de preguntas relativas a los puntos claves, suscita una participacin generalizada del grupo.

10. 10.Indique que tipo de Mtodo se aplica en este caso: deductivo, inductivo o analgico

Caso B

El profesor empieza la leccin recordando lo que se vio el da anterior. A continuacin pregunta si hay alguna duda. Al no intervenir ningn alumno pasa a explicar una parte nueva. En primer lugar explica la teora, realizando en la pizarra la correspondiente demostracin paso a paso, preguntando de vez en cuando si hay dudas. Como los alumnos no plantean ninguna duda, contina la explicacin.

Una vez vista la parte terica, explica algunas aplicaciones basndose en problemas que va resolviendo en la pizarra.

A continuacin dicta un problema de distinto tipo de los anteriores y da tiempo a los alumnos a que lo estudien y piensen las posibles soluciones. Lo soluciona l mismo en la pizarra e incita a los alumnos a comparar con las soluciones que ellos mismos haban pensado.

Por ltimo entrega tres problemas a resolver en casa.

11. 11.

Caso C

Mediante una serie de diapositivas y sus explicaciones correspondientes, el profesor muestra distintos tipos de soluciones a un problema tcnico.

A continuacin entrega a cada alumno una documentacin breve pero suficiente en la que desarrolla cada una de las soluciones y les pide, que de forma individual, intenten encontrar los puntos comunes y las diferencias ms significativas entre ellas.

Una vez realizado lo anterior, los alumnos se constituyen en grupos de 5 o 6, y el profesor, por medio de un documento previamente preparado, pide que cada uno defina los puntos fuertes y dbiles de cada solucin e indiquen la que, a su juicio, resulta ms adecuada, as como las razones de esa eleccin.

Por ltimo, cada grupo debe confeccionar un proyecto para la solucin de ese problema tcnico.

Indique que tipo de Mtodo se aplica en este caso: deductivo, inductivo o analgico12. 12.Es cuando se sabe Sin saber Como se sabe