HISTORIA DE LA FISICA

CUANTICA

Heisenberg. imprecisión y revolución cuántica A sus 32 años, Werner Heisenberg fue uno de los científicos más jóvenes entre los galardonados con el Nobel. Tras uno de los principios fundamentales de lafísica, se halla una historia de ambición y feroz competencia

David C. Cassidy

Entre los muchos logros cientí­ficos del siglo xx, quizás el fun­damental sea la mecánica

cuántica. Ideada por un puñado de físicos europeos de mente preclara, la ciencia del átomo exige transfor­maciones profundas y controvertidas en nuestra comprensión de la natu­raleza. La materia puede consistir en ondas o en partículas, según como la observemos; la causa y el efecto ya no están íntimamente conectados. Esta interpretación de la mecánica cuántica - las prescripciones sobre el cómo y el cuándo de su uso y sobre qué nos dice del mundo físico- fue elaborada en Copenhague en 1927. Debido a la difusión que le dieron sus creadores y al éxito sorprendente que obtuvieron sus partidarios, la inter­pretación de Copenhague adquirió ya en los años treinta el prestigio de que goza hoy. Pero una "interpre­tación" no es más que eso. Su origen, defensa y aceptación pudieron haber sido, en aspectos importantes, fruto de circunstancias históricas y prefe­rencias personales, tanto como de su validez científica.

El papel desempeñado en la cien­cia por el talante del hombre queda ejemplificado, quizá como en ningún otro caso, en uno de los principales inventores y más activos defensores de la interpretación de Copenhague, Werner Karl Heisenberg. Ocurrió en febrero de 1927, y tenía 25 años, cuan­do este asistente posdoctoral de Niels Bohr formuló lo que constituye su contribución más famosa en el domi­nio de la física y es elemento clave para la interpretación de Copenha­gue: el principio de imprecisión o inde­terminación. Como la interpretación de Copenhague, este principio pue­de considerarse el resultado de la búsqueda de un método coherente de

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conectar el mundo cotidiano dellabo­ratorio con ese mundo, nuevo y extra­ño, propio del minúsculo átomo.

Dicho brevemente, el principio de imprecisión afirma que la medida simultánea de dos variables llama­das conjugadas, como la posición y el momento lineal de una partícula en movimiento, impone necesariamente una limitación en la precisión. Cuanto más precisa sea la medida de la posi­ción, tanto más imprecisa será la medida del momento, y viceversa. En el caso extremo, la precisión abso­luta de una de las variables implica­ría imprecisión absoluta respecto a la otra. (N. del T.: Se traduce siste­máticamente por imprecisión el tér­mino inglés uncertainty, con el que vino a expresarse el adjetivo original alemán unscharf. Se pretende con ello eliminar toda acepción psicoló­gica, de estado de la mente, que con­lleva el término castellano incerti­dumbre. Tal acepción es totalmente ausente tanto en Heisenberg como en Cassidy.)

Esta indeterminación no debe acha­carse al experimentador, sino que se trata de una consecuencia funda­mental de las ecuaciones cuánticas y es característica de todo experimento cuántico. Más aún, Heisenberg de­claró absolutamente inevitable el principio de imprecisión, en la medida en que fuera válida la mecánica cuán­tica. Era la primera vez, desde la revolución científica, que un físico de primera línea proclamaba una limi­tación al conocimiento científico.

Junto con las ideas de Bohr y Max Born (otras lumbreras), el principio de imprecisión de Heisenberg cons­tituía el sistema lógicamente cerrado de la interpretación de Copenhague, que Heisenberg y Born proclamaron completa e irrevocable ante una reu-

nión de los principales físicos cuán­ticos en octubre de 1927, con motivo del quinto congreso Solvay sobre física fundamental celebrado en Bruselas. A las pocas semanas de ese aconte­cimiento, Heisenberg fue nomina­do para la cátedra de física teórica de la Universidad de Leipzig. Con sólo 25 años, era el catedrático más joven de Alemania.

L a extrema juventud de Heisenberg en el momento de su obra más sig­

nificativa señala un rasgo caracte­rístico que habría de definir a toda su investigación de primera hora: el ansia casi insaciable de éxito acadé­mico y la necesidad de destacar como el mejor en todo lo que hacía. De ese estado de ánimo podemos rastrear su explicación hasta el entorno familiar.

Los Heisenberg eran una familia muy culta y ambiciosa, que fue esca­lando peldaños hasta instalarse en la clase media alta de la sociedad ger­mana. La unificación de Alemania bajo Otto von Bismarck hacia fina­les del siglo XIX, con el vigoroso cre­cimiento consiguiente de la econo­mía, había creado una apremiante necesidad de burócratas, diplomáti­cos, jueces, abogados y empresarios. En consecuencia, las nuevas univer­sidades y escuelas conocieron un espectacular despegue. Y se presti­gió el reconocimiento y la remune­ración económica de los docentes y de sus alumnos más brillantes.

Tanto el padre de Werner, August, como su abuelo materno, Nikolaus Wecklein, se habían remontando desde sus orígenes humildes hasta la cumbre de la alta burguesía alemana mediante logros académicos. Weck­lein era director de un renombrado instituto (Gymnasium) de Munich, y August en 1910 fue nombrado profe-

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1. WERNER HEISENBERG realizó sus principales aportaciones a la física cuando apenas contaba ventitantos años de edad. La fotogra-

FENÓMENOS CUÁNTICOS

fía se tomó hacia 1924, en la Universidad de Gotinga, donde impar­tió la clase que le habilitó para una cátedra.

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sor de filología bizantina en la Uni­versidad de Munich. Ambos contra­jeron matrimonio dentro de su nueva situación social.

Desde su mismo nacimiento en 1901, la familia de Werner decidió que él persistiera también en ese nivel privilegiado mediante una cómoda situación académica. Creyendo que la competencia alentaría el éxito en los estudios, August estimuló la riva­lidad entre Werner y su hermano mayor, Erwin. Durante años los dos muchachos pugnaron sin cuartel, hasta que un día la lucha acabó en una pelea violenta con las sillas co­mo armas. Llegados a la edad adul­ta, cada uno siguió su propio camino - Erwin se trasladó a Berlín y se hizo químico- y, fuera de esporádicas reuniones familiares, tuvieron poco contacto.

L a ambición de Werner por alcan­zar la cumbre se evidencia con

claridad durante el período com­prendido entre julio de 1925, cuando desarrolló, con sus colegas Born y Pascual J ordan, una descripción matemática de la mecánica cuántica, y febrero de 1927, cuando formuló las relaciones de imprecisión. La con­fluencia de dos procesos convirtió en determinante ese afán durante dicho intervalo.

En primer lugar, varias cátedras de física teórica quedaron de repente vacantes en la Europa central de len­gua alemana. Esos cargos constituían una gran oportunidad para un aca­démico ambicioso como Heisenberg, que ya se había habilitado en la Universidad de Gotinga, es decir, había sido reconocido apto para ocu­par una cátedra de enseñanza uni­versitaria.

En segundo lugar, y quizá más importante, fue la aparición de una descripción matemática nueva y rival de la mecánica cuántica. Heisenberg y sus colegas habían desarrollado en 1925 un formalismo de la mecánica cuántica, basado en las matemáticas abstractas del cálculo matricial. Para sus autores, esta "mecánica matri-

cial" incardinaba su voluntad de fun­darse, de manera exclusiva, en mag­nitudes observables en el laborato­rio. Sostenían puntos esenciales como la existencia de saltos cuánticos y dis­continuidades en los átomos, y recha­zaban la idea de modelos atómicos visualizables (anschaulich).

Erwin Schriidinger, un físico vie­nés de 39 años que trabajaba enton­ces en Zurich, atacaba los enigmas de la física atómica desde un punto de vista totalmente distinto y con obje­tivos enteramente otros. En una serie de artículos publicados durante la primera mitad de 1926, Schriidinger presentaba una ecuación de ondas cuántica, basada en una hipótesis que había propuesto el doctorando francés Louis de Broglie. La idea, recibida favorablemente por Einstein, era que toda materia en movimiento podía considerarse como ondas. Schrb­dinger, sirviéndose de esa noción, aducía que las "ondas de materia" del electrón excitaban modos armónicos de vibración en el interior del átomo. Estos armónicos reemplazaban los estados atómicos estacionarios de la teoría matricial; en vez de saltos cuánticos discontinuos, había tran­siciones continuas de un armónico a otro. Si eso era verdad, Schrbdinger tornaba inútiles los puntos funda­mentales de la mecánica matricial de Heisenberg.

La mayoría de los físicos acogieron con satisfacción el enfoque más fami­liar de Schrbdinger, a tendiendo poco a su manera de interpretarlo. Esta situación cambió bruscamente en mayo de 1926, cuando Schrbdinger publicó una prueba de que los dos formalismos rivales eran, de hecho, matemáticamente equivalentes. Hei­senberg y sus colegas matriciales repusieron su causa y lo hicieron en términos que fueron adquiriendo por ambas partes tonos emocionales cre­cientes.

Schrbdinger no se mostraba muy cooperador. En su artículo sobre la equivalencia no pondera por igual los dos esquemas opuestos, sino que resaltaba la superioridad del suyo

2. PERSONAS QUE INFLUYERON en la vida de Heisenberg. Debemos empezar por su abue­lo, Nikolaus Wecklein (a), y su padre, August, que aparece con su esposa, Anna, y sus hi­jos, Erwin (de pie) y Werner (b). Abuelo y progenitor inculcaron afán de triunfo académico en los dos muchachos. Heisenberg estudió con Niels Bohr (e), con quien más tarde de­sarrolló la interpretación de Copenhague. Uno de los primeros rivales de Heisenberg fue Erwin Schrtidinger (d), cuyo formalismo ondulatorio constituía un reto a la mecánica ma­tricial, elaborada por Heisenberg con Max Born (e) y Pascual Jordan (f, a la derecha). Wolf­gang Pauli (g) fue una fuerza de primer orden, que ayudó a Heisenberg a elaborar el prin­cipio de imprecisión en 1927. En 1929 Heisenberg se embarcó en una vuelta al mundo docente para difundir el "espíritu de Copenhague", llegando a los Estados Unidos, Japón, China y, finalmente, la India (h) .

FENÓMENOS CUÁNTICOS

propio. En una famosa nota al pie, llegó a escribir: "No veo ninguna co­nexión genética de ningún tipo [en­tre el trabajo de Heisenberg y el mío propio]. Por supuesto que conocía su teoría, pero me sentía desanimado, por no decir repelido, por los méto­dos de álgebra trascendental, que a mí me parecieron difíciles, y por la falta de visualizabilidad [Anschau­lichkeit]."

En carta a su íntimo colega Wolf­gang Pauli, Heisenberg respondía en el mismo tono: "Cuanto más pienso en el aspecto físico de la teoría de Schrbdinger, más repulsiva la encuen­tro ... Lo que escribe Schrbdinger sobre la visualizabilidad de su teoría 'pro­bablemente no es del todo correcto' [eco de una expresión típica de Bohr], en otras palabras, es basura [Mist]." La única ventaja del método de Schrii­dinger, decía a quien quisiera oírlo, es que permite un cálculo simple de las probabilidades de transición ató­micas, o probabilidades de saltos cuánticos, para poder insertarlas en las matrices de la mecánica cuántica. Pauli estaba de acuerdo.

U na lectura detenida de las obser­vaciones nos revela que lo que

provocó el conflicto no era la equiva­lencia (Pauli la había probado sin más ni más un mes antes), sino lo que cada bando sacaba de ella. Hei­senberg y su escuela matricial se habían empeñado a fondo en las pro­piedades de la naturaleza que creían existir y estar incorporadas en su mecánica matricial. Habían apostado su futuro en ese enfoque. Schrbdinger había arriesgado su reputación en eliminar la discontinuidad y los sal­tos cuánticos al parecer irracionales, resucitando la física de los movi­mientos ondulatorios, racionales, cau­sales y continuos. Ninguno de los dos bandos estaba dispuesto a conceder al otro la superioridad, y su proba­ble consecuencia -el predominio pro­fesional-. Se debatía nada menos que la naturaleza de la orientación futura de la mecánica cuántica.

Este desacuerdo espoleó aún más la ambición académica de Heisenberg. Una semanas antes de que Schrb­dinger publicara su prueba de la equi­valencia, Heisenberg había renun­ciado a una plaza de profesor en Leipzig, en favor del puesto de asisten­te de Bohr en Copenhague. El incré­dulo abuelo de Werner, Wecklein, se apresuró a viajar a Copenhague para disuadir a su nieto de tomar dicha opción, justamente cuando aparecía el artículo de Schrbdinger sobre la equivalencia. La presión renovada

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,,_-.nra._ ----.. , .

3. CARTA ESCRITA por Heisenberg a Wolfgang Pauli, en que deriva las relaciones de im­precisión para p y q, donde P, = Y2 !::..p Y q, = Y2 !::..p. Este fragmento, tomado de una carta de 14 páginas, fue la base de su artículo sobre el principio de imprecisión.

de Wecklein y el desafío de Schrb­dinger a las bases de la física matri­cial redoblaron los esfuerzos de Hei­senberg por producir un trabajo de tan alta calidad, que pudiera adqui­rir amplia reputación profesional y le permitiera, en última instancia, hacerse con alguna otra cátedra va­cante.

Pero al menos tres sucesos de 1926 ahondaron el profundo abismo in­telectual entre sus propias ideas y el punto de vista de Schrbdinger. El primero fueron las conferencias de Schrbdinger en Munich sobre su nue­va física, a fines de julio. Allí, mez­clado en una audiencia multitudina­ria, eljoven Heisenberg objetaba que la teoría de Schrbdinger dejaba sin explicar diversos fenómenos. No lo­gró convencer a nadie, y abandonó desalentado la sala. A continuación, durante la reunión de otoño de los científicos y médicos alemanes, Hei­senberg fue testigo del soporte abru­mador -y a su juicio desquiciado­en favor de las concepciones de Schrbdinger.

Por último, en octubre de 1926 se produjo un tenso debate, aunque en último término inconcluso, entre Bohr y Schrbdinger en Copenhague. El resultado final de la disputa fue el reconocimiento de que no se disponía de ninguna interpretación entera­mente aceptable, ni del uno ni del

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otro formalismo cuántico. Quien encontrara tal interpretación, fuera persona o bando, podría dar cumpli­miento, expresaba Bohr abierta­mente, a sus "deseos" de cómo debiera ser la física del futuro.

Puestas en marcha estas diversas motivaciones -personales, pro­

fesionales y científicas-, Heisenberg creyó, en febrero de 1927, haber dado de repente con la interpretación nece­saria: el principio de imprecisión. Su progreso intelectual hacia esta idea, a finales de 1926 y principios de 1927, se apoya en la investigación de sus colegas más próximos, especialmente de J ardan y de Paul A. M. Dirac, quie­nes formularon a la vez la "teoría de transformaciones", una amalgama de matemática ondulatoria y matri­cial. El objetivo para Heisenberg y sus aliados era, en aquel momento, des­cubrir un método irrefutable para incorporar las discontinuidades en el formalismo de Dirac y Jordan.

De Pauli recibió Heisenberg un impulso vigorosísimo para la nueva interpretación. En una carta de 19 de octubre de 1926, al tiempo que le informaba de una cátedra vacante en Leipzig, Pauli aplicaba los estados atómicos estacionarios al primer estu­dio de Born de ondas electrónicas libres. Según sus resultados, han de elegirse variables continuas para el

momento lineal p y la posición qde un electrón atómico, pero en su com­portamiento cuántico se manifestaba un "punto negro": "Ha de darse por sentado que las variables p están con­troladas y las q incontroladas. Esto es, sólo se pueden calcular las proba­bilidades de determinados cambios de las variables p, para unas condicio­nes iniciales dadas, y promediando sobre todos los valores posibles de las variable q". Por tanto, no se puede hablar de un determinado '''camino' de la partícula", escribía Pauli, ni "se puede preguntar simultáneamente sobre el valor de la variable p y la variable q".

Heisenberg respondió que estaba "muy entusiasmado" con la carta de Pauli y con ese punto negro, sobre el que hubo de reflexionar una y otra vez durante los meses siguientes. El entusiasmo de Heisenberg culminó en una carta de 14 páginas, enviada a Pauli el 23 de febrero de 1927. En ella presentaba prácticamente todos los elementos esenciales del artículo, que enviará a publicar un mes más tarde, titulado "Sobre el contenido intuitivo [anschaulichJ de la cine­mática y la mecánica teórico-cuánti­cas": el artículo de Heisenberg sobre la imprecisión.

Habiendo deducido las relaciones de imprecisión a partir de razona­mientos matemáticos y a partir de experimentos mentales, Heisenberg consideró la concordancia entre am­bas deducciones como una prueba de la validez universal de la impreci­sión. El argumento matemático co­menzaba con una función de ondas correspondiente a una curva en forma de campana o, dicho matemática­mente, a una distribución de pro­babilidad gaussiana, para la varia­ble q. El error en el conocimiento del valor exacto de q (llamado la desvia­ción estándar) es delta q, que es­cribimos !::..q . Usando el formalismo desarrollado por Dirac y Jordan, transformó Heisenberg la distribución gaussiana en la de su variable con­jugadap.

Al hacerlo, descubrió que, como consecuencia matemática, las des­viaciones estándar de las dos distri­buciones -es decir, las imprecisio­nes en los valores de q y p- están en relación inversa una respecto a otra. Este carácter inverso puede gene­ralizarse y expresarse mediante la relación

h 4rc '

donde h es la constante de Planck. A continuación demostró que este

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resultado no es mero constructo mate­mático, sino enteramente compati­ble con cualquier experimento ima­ginable que implique la medición simultánea de pares de variables con­jugadas, como posición y momento lineal, o energía y tiempo.

La compatibilidad con el experi­mento se basaba, sin embargo, en diversas innovaciones que Heisenberg introducía al objeto de incorporar la discontinuidad y las partículas. Una de ellas era la re definición del término alemán anschaulich (intuitivo) que aparecía en el mismo título de su ar­tículo, para significar "físico" o dotado de significado empírico, más que "visualizable" o pictórico. Con este cambio pretendía neutralizar las crí­ticas de Schrodinger, de que una física de partículas discontinua es esen­cialmente irracional y unanschau­lich (no-intuitiva). Lo que se hallaba en íntima relación con otra innova-

ción: una re definición de conceptos clásicos, como posición, velocidad y trayectoria de una partícula atómica, en función de las operaciones expe­rimentales usadas para medirlas, una forma de operacionalismo. Sólo lo que el físico puede medir tiene sig­nificado real, y estas mediciones manifiestan siempre las relaciones de imprecisión.

Para eljoven Heisenberg, el princi­pio de imprecisión culminaba y

completaba la revolución cuántica, una revolución que incorporaba sus compromisos personales con los fun­damentos que él mismo había ayu­dado a establecer. Y, como para hacer callar toda objeción sobre este punto, concluía su artículo publicado con algunas pretensiones que iban mucho más allá del razonamiento matemá­tico y el experimento mental. Con la teoría de transformaciones de Di-

rac-Jordan, declaraba, el formali s­mo cuántico queda completo y resulta inalterable; las relaciones de impre­cisión son verdaderas e irrefutables, porque son una consecuencia directa del formalismo . Todas las observa­ciones experimentales anteriores y futuras de fenómenos atómicos están así sometidas a tal interpretación.

Más aún, razonaba, aunque la física cuántica contenga un elemento esta­dístico básico , éste no es una propie­dad de la naturaleza misma. Aparece en virtud de la perturbación causada por los intentos del físico para ob­servar la naturaleza. Finalmente, presentaba su primera afirmación explícita sobre la consecuencia más profunda de la imprecisión: un de­safío a la causalidad.

El principio de causalidad requiere que todo efecto sea precedido por una causa única. Esta idea había servido durante más de un siglo como hipó-

El experimento mental con el microscopio de rayos gamma

Para demostrar el principio de imprecisión , Heisenberg ofreció un experimento mental. Usando un microsco­

pio cuya resolución era alta, por basarse en rayos gamma para su iluminación, intentó mostrar que la posición y el momento lineal del electrón obedecían al principio de impre­cisión . Aunque Heisenberg logró los resultados correctos , Bohr le señaló que el experimento original descuidaba dos puntos esenciales : el poder de resolución del microscopio y la dualidad onda-corpúsculo.

En la versión correcta , un electrón libre está directamente debajo de la lente (el objetivo) del microscopio. El objetivo circular forma un cono de ángulo 2e con vértice en el elec­trón. El electrón es iluminado por un rayo gamma proveniente de la izquierda. Según un principio de óptica ondulatoria, el microscopio tiene capacidad de resolución para objetos de hasta un tamaño tlx, relacionado con e y con la longitud de la onda, 'A. , mediante la expresión

M = !::.sene 2

En el momento en que la luz se difracta en el objetivo del micros­copio , el electrón retrocede hacia la derecha. Después de la colisión , el rayo gamma observado podría haberse dispersado con un ángulo cualquiera dentro del cono 2e . En el caso extremo de dispersión hacia adelante hasta tocar el punto del borde más a la derecha de la lente, el momento lineal en la dirección xsería

, h e Px + T sen -,

donde p'x es el momento lineal del electrón en la dirección x, 'A. , es la

F ENÓMENOS CUÁNTICOS

y

longitud de onda del rayo gamma desviado, h es la cons­tante de Plank (que relaciona la frecuencia del fotón con

su energía), y ~ es el momento lineal total del fotón rayo

gamma, según lo definen los principios cuánticos . En el otro extremo, el rayo gamma se dispersa hacia atrás, impac­tando justamente en el borde izquierdo de la lente . En este caso, el momento lineal total en la dirección x es

" h e p x - -;¡::: sen -.

El momento lineal final en la dirección x ha de ser en ambos casos igual al lineal ; por consiguiente,

P'x he" h e + T sen - = P x - -;¡::: sen - .

LENTE-OBJETIVO DEL MICROSCOPIO

Si e es pequeño, entonces es 'A. , - 'A." - 'A. ,

p'~ - p'x 2h !::"Px - T sene.

Puesto que !::,.x = ~ sen e , exis­

te una relación inversa entre la im­precisión mínima en la medida de la posición del electrón a lo largo del eje xy la de su momento lineal en la dirección x:

h !::"Px - !::,.x·

Para imprecisiones mayores que ese mínimo , puede introducirse una desigualdad

tlpx • !::,.x ~ h,

que aproxima la relación de impre­cisión de Heisenberg .

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tesis básica de prácticamente todas las formas de investigación racional. Se le reconoce al matemático francés Laplace la definición quizá más sim­ple de causalidad, en su aplicación a la mecánica newtoniana: Si sabemos con exactitud la posición y el momento lineal de una partícula en un ins­tante dado, conociéndose además todas las fuerzas que actúan sobre la partícula, su movimiento queda en­tonces completamente determinado por las ecuaciones mecánicas para todo el futuro .

El principio de impre­cisión, asevera Heisen­berg, niega eso. "En la for­mulación estricta de la ley causal -si conocemos el presente, podemos calcu­lar el futuro- no es falsa la conclusión, sino la pre­misa." Los valores inicia­les del momento lineal y la posición no pueden ser simultáneamente medi­dos con absoluta precisión. Razón por la cual, sólo puede calcularse una ga­ma de posibilidades para la posición y el momento lineal de la partícula en un cierto tiempo futuro . Del movimiento real de la par­tícula resultará, sin em­bargo, una única posibili­dad. La conexión causal entre presente y futuro se pierde, y las leyes y pre­dicciones de la mecánica cuántica resultan de natu­raleza puramente proba­bilística, o estadística.

enviárselo a Einstein, cumpliendo el ruego de Heisenberg, Bohr se le que­jaba de que el enfoque del autor pe­caba de excesiva estrechez y que el microscopio de rayos gamma era falso de arriba abajo, aunque el resultado fuera correcto. Para Bohr, las rela­ciones de imprecisión no surgían sólo del formalismo , de las re-definiciones de los conceptos clá sicos y de la pri­macía de la discontinuidad y los cor­púsculos sobre las ondas continuas. También eran decisivas la dualidad

berg era tan sólo un caso particular de lo que Bohr iba llamando ya com­plementariedad.

Heisenberg estaba en vehemente desacuerdo . Insistiendo en el

empleo primordial de partículas y discontinuidad, rechazó de plano la sugerencia que le hizo Bohr de reti­rar su artículo; lo había enviado en el ínterin a su publicación. Heisenberg no podía tolerar un uso extensivo de ondas o de nociones de mecánica ondu-

latoria , ni podía dejar de publicar su propia y más importante contribución al debate de la interpre­tación. La subsiguiente batalla con Bohr se hizo tan intensa que , según se dice, durante uno de estos encuentros Werner esta­lló en lágrimas e incluso consiguió ofender al im­perturbable Bohr con al­gunas observaciones du­ras . Evidentemente había muchas cosas en juego para eljoven de 25 años: sus nuevas concepciones, sus planes académicos y quizá también su deseo de paridad intelectual con sus mentores. En mayo apareció su artículo en una de las principales re­vistas de física alemanas , sin ninguna revisión; sí agregaba un breve post­scriptum, donde admitía el error del microscopio y llamaba la atención del lector sobre algunos pun­tos esenciales del r azo­namiento de Bohr.

El artículo de Heisen­berg sobre el principio de imprecisión era profundo y trascendental en casi todos sus aspectos. Ade­más de satisfacer estric-

4. HEINSEBERG a los 65 años, de vuelta a Leipzig para impartir un curso de conferencias como profesor invitado. Cayó enfermo años más tarde y murió de cáncer en 1976.

Cuatro meses más tar­de , Heisenberg había en­jugado ya sus ojos y cam­biado de tono: parecía estar agradecido por la tamente sus propósitos , el

artículo de Heisenberg estaba "corta­do a su medida". Cuando su mentor, Bohr, le señaló un error en el argu­mento , Heisenberg defendió su posi­ción obstinadamente en una batalla que en la primavera de 1927 degeneró en lo que Heisenberg llamó "gran malentendido personal" . El error implicaba la confianza absoluta de Heisenberg en la discontinuidad y los aspectos corpusculares del cuanto de luz , en uno de sus experimentos mentales básicos, el llamado micros­copio de rayos gamma.

Bohr, que había estado de va­caciones en la nieve, se encontró so­bre la mesa, a su regreso , el borra­dor del artículo de Heisenberg. Al

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onda-partícula y, en el microscopio de rayos gamma, la dispersión de ondas de luz sobre el electrón dentro del objetivo del microscopio.

Las imágenes ondulatoria y cor­puscular eran complementarias una de otra, descripciones mutuamente exclusivas pero conjuntamente esen­ciales. Bohr objetaba que el experi­mentador ha de elegir o la imagen ondulatoria o la corpuscular, para analizar con ella el experimento. El precio a pagar por dicha opción pro­ducía una restricción sobre lo que podía enseñarnos el experimento, limitación que venía representada por las relaciones de imprecisión. Para Bohr, el argumento de Heisen-

crítica de Bohr. Tras ofrecer Bohr su primera presentación de la com­plementariedad ante una audiencia reunida en el lago Como en septiem­bre de 1927, Heisenberg, antes tan seguro de su imprecisión, brindó a Bohr el primero de sus generosos re­conocimientos . En la versión publi­cada de la discusión que siguió al ar­tículo de Bohr en Como, Heisenberg le agradeció por esclarecer la impre­cisión "en todos sus detalles" y por enunciar lo que vino a conocerse como la interpretación de Copenhague.

El cambio de corazón en Heisenberg pudo haberse iniciado con la reali­zación de su ambición . Porque el mismo mes del congreso de Como, se

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enteró de su inminente llamada a la cátedra de Leipzig. Al menos había­se cumplido esa meta.

Al apaciguarse en Heisenberg el deseo de demostrar su capacidad y sus aportaciones a la mecánica cuántica, surgió en él otro que ahora incluía a Bohr: la voluntad de crear en Leipzig un programa de investigación per­manente y de primera línea, basado en la física. Además de reforzar lo defectuosamente argumentado so­bre la imprecisión, las explicaciones de Bohr proporcionaban un punto de apoyo para los seguidores del danés que, como Heisenberg, estaban ansio­sos por una física completa que poder propagar desde sus cátedras recién adquiridas y explotar en sus artícu­los. Heisenberg y otros discípulos de Bohr ya no prestaron su fidelidad a programas y descubrimientos indi­viduales, como la mecánica matricial o la imprecisión, sino al "espíritu de Copenhague".

Heisenberg y otros consiguieron asegurar la aceptación de su inter­pretación, a pesar de las prolongadas objeciones de Einstein y Schrbdin­ger. Durante la media década que siguió a la reunión de Como y el ulte­rior congreso Solvay, Heisenberg y su instituto produjeron teorías cuánti­cas muy importantes: cristales de estado sólido, estructura molecular, dispersión de radiación por núcleos, y la estructura neutrónico-protónica de los núcleos. Con otros expertos, dieron pasos de gigante hacia una teoría cuántica de campos relativis­ta y sentaron los fundamentos de la investigación sobre física de altas energías.

Tales éxitos atrajeron a los mejo­res alumnos hacia institutos como el de Heisenberg. Esos estudiantes, amamantados con la doctrina de Copenhague, formaron una nueva generación de físicos, predominante, que difundieron por todo el mundo esas ideas, cuando el ascenso de Hitler al poder, en los años treinta, les obligó a emigrar y dispersarse.

Heisenberg y otros de la escuela de Copenhague no consumieron mucho tiempo en explicar su doctrina a los que no viajaron a los institutos euro­peos. Aquél, en particular, encontró en los Estados Unidos un campo fér­til para el proselitismo. Durante una vuelta alrededor del mundo con Dirac en 1929, Heisenberg impartió en la Universidad de Chicago unas clases sobre la doctrina de Copenhague que tuvieron un enorme impacto. En el prólogo a la publicación de esas cla­ses, escribió: "El objetivo de este libro me parece que quedará alcanzado, si

FENÓMENOS CUÁNTICOS

contribuye de alguna manera a la difusión de este Kopenhagener Geist der Quantentheorie ... [espíritu de Copenhague de la física cuántica ... J, que ha dirigido todo el desarrollo de la moderna física atómica."

El suministrador de ese espíritu retornó a Leipzig con sus primeros compromisos científicos, esta vez ampliamente aceptados por una pro­fesión que le proporcionó posiciones prominentes en el aspecto insti­tucional y en el aspecto científico. En 1933 la profesión le otorgó a Heisen­berg, con Schrbdinger y Dirac, el reco­nocimiento supremo de su trabajo: el premio Nobel.

Aunque se le celebre, con todajus­ticia, como uno de los físicos más

eminentes de los tiempos modernos, no han faltado voces que le han cri­ticado su comportamiento tras la subida de Hitler al poder. No militó nunca en el partido nacionalsocia­lista, pero ocupó cargos académicos de altísimo rango y se convirtió en interlocutor de la cultura alemana en los territorios ocupados. Recha­zando repetidos ofrecimientos de emi­gración, dirigió el principal esfuerzo de investigación sobre la fisión del uranio para el Tercer Reich. Después de la guerra ofreció diversas expli­caciones de sus actividades, que empañaron aún más su reputación en el extranjero. La enigmática yuxta­posición de ese comportamiento cues­tionable y una física brillante refleja los delicados compromisos del cien­tífico y la ciencia durante un siglo turbulento ya veces brutal. Hijo leal de Alemania, Heisenberg, que veía tan profundamente en la naturaleza, encontró difícil distinguir y aceptar cuán trágicamente se había des­carriado su país. Murió de cáncer de riñón y vesícula biliar en su casa de Munich en 1976.

BIBLlOGRAFIA COMPLEMENTARIA

THE SHAKY GAME: EINSTEIN, REALISM AND THEQUANTUMTHEORY. ArthurFine. Uni­versity of Chicago Press , 1986.

SCHRÓDINGER: LIFE AND THOUGHT. Walter 1. Moore. Cambridge University Press, 1989.

NIELS BOHR 'S TLMES: IN PHYSICS, PHlLO­SOPHY AND POLlTY. Abraham Pais. Ox­ford University Press, 1991.

UNCERTAINTY: THE LIFE AND SCfENCE OF

WERNER HEISENBERG. David C. Cassidy. W. H. Freeman and Company, 1991.

LA SEGUNDA LEY

P. W. ATKINS

Un volumen de 22 x 23,5 cm y 230 páginas, profusamente ilustrado en negro y en color.

SUMARIO

• Disimetría de la naturaleza

• El indicador del cambio

• Colapso en el caos

• Cuenta y razón del caos

• Potencia del caos

• Transformaciones del caos

• Potencias de la temperatura

• Caos constructivo

• Estructuras del caos

• Aspectos formales

• Juegos

Prensa Científica, S. A.

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Dirac y la belleza de la física Prefería la teoría bella a la corroborada con hechos pero fea porque, advertía, los hechos cambian. Ello le llevó a predecir la existencia de antimateria

R. Corby Hovis y Helge Kragh

A los físicos distinguidos que vi­. sitan la Universidad de Moscú

se les pide que dejen en cierta pizarra una sentencia para la poste­ridad. Niels Bohr, el padre de la teo­ría cuántica del átomo, escribió allí la divisa de su famoso principio de complementariedad: "Contraria non contradictoria sed complementa sunt" ("los contrarios no son contradictorios sino complementarios"). Hideki Yu­kawa, el pionero de la moderna teo­ría de las fuerzas nucleares fuertes, grabó con tiza la frase : "La natura­leza es , por esencia, simple". Paul Adrien Maurice Dirac eligió el epí­grafe: "U na ley física tiene que poseer belleza matemática".

Hace exactamente 40 años Dirac escribía en ScientificAmerican: "Dios es un matemático excepcional, que usó matemáticas muy avanzadas pa­ra construir el universo."[Véase "La concepción física de la naturaleza", TEMAS DE INVESTIGACIÓN y CIENCIA, número 10]. Inspirado por las concep­ciones de Albert Einstein y Hermann Weyl, Dirac llegó a preocuparse, más que cualquier otro físico moderno, de la ide.a de "belleza matemática" como rasgo intrínseco de la naturaleza y como guía metodológica para su in­vestigación científica. "Una teoría con belleza matemática es más pro­bablemente correcta que otra fea, aunque ésta case con unos cuantos datos experimentales", aseguraba.

La preocupación de Dirac por la estética y la lógica de la física mate­mática,junto con su reticencia e intro­versión legendarias han hecho de él una de las figuras más enigmáticas entre los grandes científicos del si­glo xx. Desgraciadamente, su racio­nalismo exagerado parece haberle conducido también a desviaciones estériles, tras unos años iniciales de éxito asombroso. Entre los 23 y los

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31 años Dirac descubrió una original y potente formulación de la mecánica cuántica, una teoría cuántica de la emisión y absorción de radiación por los átomos (una versión primitiva pero importante de la electrodiná­mica cuántica) , la ecuación de ondas relativista para el electrón, la idea de antipartículayuna teoría de mono­polos magnéticos . Con todo, muy pocas de sus contribuciones ulterio­res tuvieron valor perdurable, y nin­guna el carácter revol ucionario de su obra inicial.

Dirac había nacido en 1902 en Bris­tol, como el segundo de tres hijos,

en el seno de una familia que hoy tilda­ríamos de disfuncional. La calamidad de la familia era su cabeza, Charles Adrian Ladislas Dirac, que había emi­grado de Suiza a Inglaterra hacia 1890, y había encontrado y tomado por esposa allí a Florence Hannah Holten, la hija de un capitán de barco. Charles se ganaba la vida enseñando su len­gua nativa, el francés, en el Instituto Técnico Merchant Venturers' de Bris­tol, en el que fue tristemente famoso por imponer una rígida disciplina. El hogar Dirac era gobernado por él según los mismos principios de organiza­ción militar. Obviando toda manifes­tación de sentimientos e identificando amor paterno con disciplina, aprisionó a sus hijos en una tiranía doméstica que les aisló de la vida social y cul­tural. N o pudiendo o no queriendo su­blevarse, Paul se refugió en la segu­ridad del silencio y se distanció de su padre. Esos años de infelicidad le mar­caron para toda la vida. Al morir Charles Dirac en 1936, Paul no se afli­gió. "Me siento ahora mucho más li­bre", le escribía a su mujer.

Paul poseía un rico mundo interior donde refugiarse. A una edad muy temprana mostró su aptitud por las

matemáticas . A los 12 años se ins­cribió en el Merchant Venturers', cen­tro que, a diferencia de la mayoría de los demás de su tiempo, no ofrecía una educación clásica en latín y griego, sino un plan de estudios moderno, con ciencias, lenguas modernas y ofi­cios. Estos estudios se adecuaban muy bien a Dirac, pues, según él mismo dijo, "no apreciaba el valor de las culturas antiguas". Una vez aca­bado este programa de nivel secun­dario, pasó a otra institución ubicada en los mismos edificios, la escuela de ingeniería de la Universidad de Bris­tol. Allí se preparó en la especialidad de electricidad, no por tener gran interés en la ingeniería, sino por creer que eso daría gusto a su padre.

El plan de estudios de ingeniería excluía toda materia que no fuese física aplicada o matemáticas. A pesar de estas omisiones, Dirac sintió la fascinación y obtuvo pronto el domi­nio de las nuevas teorías einsteinia­nas del espacio, el tiempo y la gravi­tación -las teorías de la relatividad especial y general.

Cuando Dirac se graduó en 1921, con las máximas clasificaciones,

la depresión económica de la pos­guerra parecía que iba a dejarle sin trabajo. Le salvó una beca para estu­diar matemáticas en Bristol, tras la cual, en el otoño de 1923, comenzó sus estudios de posgrado de matemáticas y física teórica en la Universidad de Cambridge, constituida por entonces en centro de científicos consumados (Joseph Larmor, J. J. Thomson, Ernest Rutherford, Arthur Stanley Eddington y James J ean) y de jóvenes estrellas (James Chadwick, Patrick Blackett, RalphFowler, EdwardMilne, Douglas R. Hartree y Peter Kapitza). A Dirac se le asignó Fowler como director de tesis, y de él aprendió teoría atómica

TEMAS 31

y mecánica estadística, materias que no había estudiado anteriormente. De estos días recordará más tarde: "Me encerraba totalmente en el traba­jo científico, y perseveraba en él muy a gusto día tras día, excepto los domin­gos, en que descansaba y, si el tiempo era bueno, me daba un largo paseo soli­tario por el campo".

A los seis meses de su llegada a la universidad, publicaba Dirac su pri­mer artículo científico, y en los dos años siguientes publicó 10 más. Al momento de concluir su tesis docto­ral, en mayo de 1926, había descu­bierto una formulación original de la mecánica cuántica, y había impar­tido un curso de mecánica cuántica, el primero ofrecido en una universi­dad británica. Al cabo de sólo 10 años

. de pisar Cambridge, recibirá el No­bel de física, por su "descubrimiento de nuevas y fructuosas formulacio­nes de la teoría de los átomos ... y por sus aplicaciones".

L os ocho años de esplendor de Dirac comenzaron un buen día del mes

de agosto de 1925, en el que recibió de Fowler las pruebas de imprenta de un artículo aún no publicado de Werner Heisenberg, un joven físico teórico alemán. El artículo trazaba las bases matemáticas de una revo­lucionaria teoría de los fenómenos atómicos, que será pronto conocida como "mecánica cuántica". Dirac se dio cuenta inmediatamente de que el trabajo de Heisenberg abría una vía enteramente nueva de contemplar el mundo a una escala ultramicroscó­pica. Durante el año siguiente refor­muIó la intuición básica de Heisen­berg, estableciendo una teoría original de la mecánica cuántica, que fue cono­cida como álgebra de "números-q", por denominar así Dirac las magni­tudes físicas "observables", tales como posición, momento o energía.

Aunque este trabajo le ganó pronto a Dirac un reconocimiento interna­cional, muchos de sus resultados habían sido obtenidos simultánea­mente por un potente grupo de físi­cos teóricos que trabajaban en Ale­mania, entre ellos Heisenberg, Max Born, Wolfgang Pauli y Pascual Jordan. Dirac competía abiertamente con ellos. Born, Heisenberg y J ordan elaboraron el esquema inicial de Hei­senberg mediante el álgebra de matri­ces. Luego, en la primavera de 1926, el físico austríaco Erwin Schrodinger elaboró otra teoría cuántica, la mecá­nica ondulatoria, que conducía a los mismos resultados que las teorías más abstractas de Heisenberg y Dirac, y se prestaba más fácilmente al cálcu-

FENÓMENOS CUÁNTICOS

lo. Muchos físicos sospechaban que esos tres sistemas eran meras re­presentaciones particulares de una teoría más general de la mecánica cuántica.

Durante una estancia de seis meses en el Instituto de Física Teórica de

Copenhague, Dirac encontró esa teo­ría general que tantos investigado­res habían esperado -un sistema que subsumía todos los esquemas particulares y proporcionaba reglas definidas para transformar un es­quema en otro. Esta "teoría de trans-

1. "ERA ALTO, macilento, desmañado y extremadamente taciturno", escribió el físico y bió­logo alemán Walter Elsasser. "Había logrado que todo lo que en él había se pusiese en un solo afán. Era hombre de altísima categoría en un campo, pero al que había quedado poco interés y competencia para otras actividades humanas ... En otras palabras, era el prototipo de mente matemática superior. Mientras que en otros ésta había coexistido con una multi­tud de intereses, en el caso de Dirac todo confluía hacia la realización de su gran misión his­tórica, el establecimiento de la nueva ciencia, la mecánica cuántica, a la que probablemen­te contribuyó como el que más."

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Hechos memorables En 1931, siendo profesor en Cambridge , Nevill Mott escribía a sus padres : "Dirac se parece mucho a la idea que nos hemos formado de Gandhi. Le hemos tenido aquí a cenar .. . Ha sido una cenita estupenda, pero estoy seguro de que no le habría preocupado si no le hubiéramos dado más que 'porridge' (gachas de avena) . Se va a Copenhague por la ruta del mar del Norte porque piensa que debe curarse a sí mismo de los mareos en barco. Es total­mente incapaz de aparentar que piensa algo que realmente no piense. En la época J. Robert Oppenheimer de Galileo habría sido un mártir muy satis-fecho". Dirac asistió una vez a un almuerzo

ha dicho que sabía francés? Contestación concisa de Dirac: "Usted nunca me lo pre­guntó". Cuando Dirac pasó por Berkeley camino del Japón en 1934, J. Robert Oppenhei­mer salió a su encuentro y le ofreció dos libros que le ocuparan durante el viaje . Dirac cortésmente los rechazó, diciendo que el leer libros impide pensar. Una vez el físico ruso Peter Kapitza dio a Dirac una traducción inglesa de Crimen y castigo, de Dostoievski. Pasado cierto tiempo , Ka­pitza le preguntó si había disfrutado. A lo que respondió : "Es un libro bonito, pero en uno de los capítulos el autor comete un error . Describe el sol saliendo dos veces en un mismo día."

con Eugene Wigner y Michael Polanyi. Se entabló allí una viva discusión sobre ciencia y sociedad , durante la cual Dirac no dijo una palabra. Interpelado para que interviniera y diera su opinión, respondió : "Siempre hay más gente dispuesta a hablar que dispuesta a escuchar". Un físico fran­cés que a duras penas hablaba inglés acudió en cierta ocasión a visitarle. Dirac le escuchaba pacientemente mientras el pobre hombre se esforzaba por encontrar las palabras inglesas correctas con que exponer su asunto. En ese momento entró en la habitación su hermana y le pregun­tó a Dirac algo en francés , a lo que él con­testó también en un fluido francés. Na­turalmente el visitante se puso furioso, y

Eugene Wigner le preguntó indignado: ¿Por qué no me Peter Kapitza

formaciones" de Dirac, junto con otra teoría semejante elaborada al mismo tiempo por Jordan, proporcionó la base de todos los ulteriores desarro­llos de la mecánica cuántica.

E126 de diciembre de 1927 el físico inglés Charles G. Darwin (nieto

del famoso naturalista) escribía a Bohr: "He estado en Cambridge hace pocos días y he visto a Dirac. Acaba de obtener un sistema de ecuaciones completamente nuevo para el elec­trón, que proporciona el espín correcto en todos los casos, y parece ser 'la cosa'. iSuS ecuaciones son ecuacio­nes diferenciales de primer orden, y no de segundo!".

La ecuación de Dirac para el elec­trón era realmente "la cosa", pues satisfacía inmediatamente las exi­gencias de la teoría especial de la relatividad, y daba cuenta del "espín" del electrón experimentalmente ob­servado, que puede tomar uno de los dos valores, +112 o -112 , "arriba" o "abajo" . La ecuación original de Schrodinger no había logrado hacer esto, porque no era relativista, y su extensión relativista, la ecuación de

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Klein-Gordon, no podía dar cuenta del espín.

El uso de derivadas sólo de primer orden era crucial por dos razones. En primer lugar, Dirac deseaba conser­var la estructura formal de la ecua­ción de Schrodinger, que contenía una derivada de primer orden en el tiempo. En segundo lugar , necesitaba satis­facer las exigencias de la relatividad, que ponen en pie de igualdad espacio y tiempo. La difícil reconciliación dira­quiana de los dos criterios era a la vez bella y funcional: al aplicar la nueva ecuación al caso de un electrón que se mueve en un campo electromag­nético, salía automáticamente el valor correcto del espín del electrón.

Esta deducción de una propiedad a partir de primeros principios impre­sionó a los físicos, que aludían a la ecuación como "un milagro" y "una absoluta maravilla", y se dedicaban a analizar sus sutilezas. Esta línea de investigación condujo al nacimien­to del análisis espinorial -potente herramienta matemática para ana­lizar problemas de prácticamente todas las ramas de la física- y con­dujo también al desarrollo de la ecua-

ción de ondas relativista para partí­culas con espín distinto de 112. Otro éxito consistió en que Dirac y otros , aplicando esta ecuación al átomo de hidrógeno, lograron reproducir exac­tamente las líneas observadas en su espectro. Al cabo de un año escaso de su publicación, la ecuación de Dirac se había convertido en lo que sigue siendo hoy: una piedra angular de la física moderna.

Además de adorador de la lógica matemática, Dirac era maestro

consumado de la intuición. Estos ras­gos intelectuales de contradictoria apariencia destacaron, más que en ningún otro asunto, en su desarrollo de la teoría de los "agujeros" entre 1929 y 1931. Con dicha teoría alum­bró todo un mundo que había escapa­do al conocimiento de los físicos.

La teoría surgió cuando Dirac se dio cuenta de que su ecuación no sólo tenía soluciones correspondientes a los electrones de energía positiva, sino también otras correspondientes a electrones de energía negativa. Tales partículas deberían mostrar propiedades muy peculiares. Además,

TEMAS 31

Porque se lo aconsejaron, leyó también Guerra y paz de Leon Tolstoi; tardó dos años en acabar la novela.

tía exactamente lo que acababa de decir, usando las mismísimas palabras.

Dirac rehuía la publicidad. En un primer momento, se sintió tentado de no acep­tar el Nobel. El día en que se anunció su nombramiento para la cátedra Lucasiana, se escapó al zoo para evitar las muchas felicitaciones . Rechazó todos los docto­rados honoris causa -por más que se le otorgaran muchos en su ausencia, y por lo que parece sin su aceptación.

Alrededor de 1950 se le asignó la tutoría del doctorado en Cambridge de Dennis Sciama. Cierto día, entró éste entusias­mado en el despacho de Dirac: "Profesor, se me acaba de ocurrir un método de rela­cionar la formación de las estrellas con las cuestiones cosmológicas. ¿Quiere que se lo cuente?" Respuesta de Dirac: "No". Se acabó la conversación . Parece que Dirac no se daba cuenta de que su bre­vedad y franqueza podía percibirse como descortesía o insolencia. En sus clases se esforzaba por presentar su manual con la máxima lucidez y claridad . Consideraba absurdo modificar esas frases cuidado­samente elegidas sólo porque no hubie­sen sido entendidas. Más de una vez alguien de la audiencia le pidió repetir un pasaje que no se había entendido, dando a entender que le agradaría oír una acla­ración ulterior . En tales casos Dirac repe-

Escribía en 1977: "De todos los físicos que he conocido, creo que ninguno me ha parecido más estrechamente semejante a mí que Schrodinger. Con él me ponía de acuerdo antes que con ningún otro. Creo que la razón de ello es que Schródinger y yo teníamos en común un enorme aprecio por la belleza matemá­tica ... Para nosotros era una especie de acto de fe que cualesquiera ecuaciones que describan leyes fundamentales de la naturaleza tienen que encerrar en sí una gran belleza matemática."

las partículas de energía positiva deberían ir cayendo constantemente a esos estados de energía negativa , iprovocando así el derrumbe de nues­tro mundo circundante!

A finales de 1929 encontró unaesca­patoria al enigma creado por la apa­rente necesidad de que se den en la naturaleza electrones de energía negativa. Imaginó que el vacío cons­tituía un "mar" uniforme de estados de energía negativa, todos llenos de electrones. Puesto que el principio de exclusión de Pauli prohíbe que dos electrones ocupen el mismo estado cuántico, los electrones de energía positiva se mantendrían por encima del mar invisible, formando los esta­dos "excitados" que observamos en la naturaleza. Un estado excitado podría crearse también inyectando suficiente energía positiva para extraer del mar un electrón, proceso que dejaría un "agujero" en el que podría caer otro electrón de energía negativa. "Estos agujeros serían objetos de energía positiva, y por consiguiente serían en este respecto semejantes a las par­tículas ordinarias", escribía Dirac a principios de 1930.

FENÓMENOS CUÁNTICOS

Erwin Schr6dinger

Pero, ¿con qué partícula podría identificarse un agujero? En aquel tiempo, dos eran los candidatos ima­ginables , y ambos fueron considera­dos por Dirac: el protón y el electrón positivo. Su primera elección, el pro­tón, se enfrentó casi inmediatamente con dos serias dificultades. En primer lugar, era de suponer que un elec­trón podría caer ocasionalmente den­tro de un agujero y llenarle , en cuyo caso ambos se aniquilarían produ­ciendo un destello de luz (rayos gamma). Pero tales aniquilaciones protón-electrón no se habían ob­servado nunca. En segundo lugar, re­sultaba evidente que el candidato correcto tenía que ser idéntico al elec­trón en todos los aspectos, salvo en la carga eléctrica; sin embargo, la masa del protón, como era bien sabido, multiplicaba unas 2000 veces la del electrón.

Con todo, llevado del deseo de sim­plicidad, Dirac estaba a favor del

protón como agujero. En 1930 elec­trón y protón eran las únicas partí­culas fundamentales conocidas, y no le apetecía lo más mínimo introdu-

cir una entidad nueva e inobserva·da. Además, si los protones podían ser interpretados como estados de ener­gía negativa no ocupados por electro­nes, el número de partículas elemen­tales se reducía a una, el electrón. Tal simplificación era "el sueño de los fi­lósofos", según declaraba Dirac.

Pero las objeciones a esa interpre­tación inicial de los agujeros resul­taron pronto abrumadoras, y en mayo de 1931 Dirac se decidió, a su pesar, por el segundo candidato a agujero , el antielectrón: "Un nuevo tipo de par­tícula, desconocido de la física expe­rimental, que tiene la misma masa que el electrón y carga opuesta". La total simetría en esta teoría entre cargas positivas y negativas le impul­só a admitir también el antiprotón en el ámbito de la existencia teórica. Dirac doblaba así el número de par­tículas elementales que había de ad­mitirse, y fijaba las bases para espe­cular sobre mundos enteros hechos de antimateria.

Dirac defendía también la exis­tencia de otra partícula hipotética, el mono polo magnético, que tendría una carga magnética aislada, como tienen carga eléctrica el electrón o el protón. Ni aun hoy contamos con una prueba experimental concluyente en favor de los monopolos .

En septiembre de 1932 fue elegido para la cátedra Lucasiana de Cam­bridge, la famosa cátedra de matemá­ticas que en su tiempo había ocupado Newton durante 30 años, y en la que Dirac permanecerá 37 años (actual­mente la ocupa Stephen W. Hawking). Ese mismo mes, Carl D. Anderson, un joven físico experimental del Instituto de Tecnología de California, enviaba a Science un artículo en el que des­cribía la detección , en los rayos cós­micos, de "una partícula cargada po­sitivamente que poseía una masa comparable a la del electrón". Aunque el descubrimiento no estaba en modo alguno inspirado por la teoría de Di­rac, la nueva partícula, apodada "posi­trón" , será universalmente identifi­cada con el antielectrón de Dirac. En diciembre de 1933, al recibir su pre­mio Nobel en Estocolmo, Dirac, a los 31 años, daba su conferencia sobre la "Teoría de electrones y positrones". Tres años después Anderson, tam­bién de 31 años , recibía el premio N obel por haber sacado la partícula de Dirac del ámbito de lo hipotético.

L a electrodinámica cuántica (EDC) es el nombre dado a la teoría cuán­

tica del campo electromagnético . Hacia mediados de los años 30, los intentos de formular una teoría cuán-

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tica de campos relativista satisfac­toria habían alcanzado una situación de crisis, y muchos físicos llegaban a la conclusión de que era necesario cambiar drásticamente ideas físicas fundamentales. Dirac había hecho contribuciones pioneras a la EDC al final de los años 20, y se dolía de los defectos del esquema teórico exis­tente, construido en torno a una teo­ría propuesta por Heisenberg y Pauli en 1929. Dirac llamaba a esa teoría ilógica y "fea". Además, los cálculos realizados con ella conducían a inte­grales divergentes -infinitos- a las que no cabía atribuir ningún sentido físico. En 1936, Dirac elaboró una teoría alternativa en la que no se con­servaba la energía. Aunque esta pro­puesta radical fue pronto refutada por los experimentos, Dirac siguió

. criticando la teoría de Heisenberg­Pauli, y buscando -casi obsesiva­mente- una mejor. En una mirada retrospectiva a su carrera, escribía en 1979: "Me he pasado la vida inten­tando sobre todo encontrar ecuacio­nes mejores para la electrodinámica cuántica, hasta ahora sin éxito, pero continúo trabajando en ello".

Un camino lógico hacia una EDC mejor consistiría en utilizar, como trampolín, una teoría clásica del elec­trón más perfecta. En 1938 Dirac si­guió esta estrategia, y construyó una teoría del electrón clásico-relativista, que perfeccionaba mucho la antigua teoría elaborada por H. A. Lorentz a principios de siglo. La teoría de Dirac daba como resultado una ecuación de movimiento exacta para el electrón, tratado como partícula puntual. Pues­to que la teoría eliminaba los infini­tos y los términos mal definidos, pare-

cía plausible que condujera a una EDC libre de divergencias. Pero el crear una versión mecánico-cuántica satisfactoria de la teoría clásica resultó ser más engorroso de lo que Dirac había previsto. Luchó -en vano- con este problema a lo largo de más de 20 años.

Durante el bienio 1947-1948 sur­gió una nueva teoría de EDC que

resolvía, en un sentido práctico, la di­ficultad de los infinitos que habían arruinado anteriormente los cálcu­los. Los iniciadores de la nueva teoría -Sin-itiro Tomonaga en Japón, y Ri­chard Feynman, Julian Schwinger y Freeman Dyson en Estados U nidos­propusieron un procedimiento de "renormalización", en el que los infi­nitos que resultaban en los cálculos teóricos se reemplazaban por expre­siones de los valores de la masa y la carga del electrón experimentalmen­te medidos. Este procedimiento de sustraer cantidades (de hecho) infi­nitas permitía hacer predicciones enormemente precisas, y los muchos triunfos experimentales de la teoría convencieron a los físicos de que la renormalización debía aceptarse co­mo el método de hacer EDC.

Dirac, sin embargo, se resistió a aceptar el método de renormaliza­ción, juzgándole tan "complicado y feo" como el viejo de Heisenberg y Pauli. Una teoría que opera con tru­cos matemáticos ad hoc no dictados directamente por principios físicos básicos -argüía- no puede ser bue­na, por bien que concuerde con los resultados experimentales. Pero sus objeciones solían dejarse de lado. Al final de su vida no tuvo más remedio

~ ..... ~~ Q4 Q,~ ~tl-T~ ~~~

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2. EL CONCEPTO DE ANTIMATERIA, que introdujo Dirac en 1931, surgía directamente de su teoría de los "agujeros", bosquejada aquí en una carta a Niels Bohr con fecha 26 de no­viembre de 1929, que ilustra, en pulcra escritura, la claridad y concisión que le definían.

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que admitir, no sólo que se había qiIe­dado aislado en la comunidad cien­tífica, sino también que ninguna de sus muchas propuestas para recons­truir la EDC había tenido éxito.

La lucha de Dirac por una teoría cuántica de campos distinta obtuvo, no obstante, algunos subproductos valiosos. Uno de ellos fue la impor­tante teoría clásica del electrón antes mencionada. Otro fue una notación para la mecánica cuántica conocida como el formalismo de "bras" y "kets" (del inglés "bracket", paréntesis), que introducía elegantemente en la física cuántica las potentes matemáticas de espacios vectoriales (o "espacios de Hilbert", como se les designa a veces). Este formalismo se difundió amplia­mente a través de la tercera edición (1947) de su prestigioso libro de texto Principios de mecánica cuántica, y ha sido desde entonces el lenguaje mate­mático preferido para este tema.

Por lo general, Dirac sólo había tra­bajado en áreas de la teoría cuántica muy especializadas. Resultó por ello algo sorprendente que en 1937 se aventurara a entrar en la cosmolo­gía con una idea nueva, y que luego la desarrollara hasta obtener un mo­delo concreto de universo. Su interés por este tema había sido inspirado en gran parte por dos de sus antiguos profesores de Cambridge, Milne y Eddington, y por discusiones con un brillante joven astrofísico indio, Su­brahmanyan Chandrashekhar, cuyo trabajo de doctorado en Cambridge había dirigido en parte Dirac. Al prin­cipio de los años 30, Eddington se había embarcado en un programa de investigación ambicioso y heterodoxo, que pretendía deducir las constantes fundamentales de la naturaleza enla­zando teoría cuántica y cosmología. Esta búsqueda de una "teoría funda­mental", según la llamaba Eddington, extendió la investigación racional hasta introducirla en el ámbito de la especulación metafísica -produ­ciendo, según acusaba un crítico, una "combinación de parálisis de la razón con intoxicación de la fantasía". Dirac era escéptico respecto a las preten­siones imaginativas de Eddington, pero estaba impresionado por su filo­sofía de la ciencia, que subrayaba la potencia de un razonamiento pura­mente matemático, y por su idea de una conexión fundamental entre el microcosmos y el macrocosmos.

En su primer artículo sobre cosmo­logía, Dirac concentraba la atención en los números "puros" (o sin dimen­siones físicas) muy grandes que pue­den construirse mediante combina­ción algebraica de constantes físicas

TEMAS 31

fundamentales (como la constante de gravitación, la constante de Planck, la velocidad de la luz, y las cargas y masas de electrón y protón), de forma que sus unidades de medida se can­celen en la división. Sostenía que sólo esos grandes números tenían signi­ficado profundo en la naturaleza.

Por ejemplo, era bien sabido que la razón de la fuerza eléctrica entre un protón y un electrón a la fuerza gra­vitacional entre esas dos mismas par­tículas es un número muy grande, del orden de 1039. Es curioso, notaba Dirac, que este número se aproxime a la edad del universo (tal como era estimada entonces), si esta edad se expresa mediante una unidad de tiempo apropiada, como es el tiempo que necesita la luz para atravesar el diámetro de un electrón.

D irac sabía de varias correlaciones de este tipo entre números puros

grandes, pero en vez de considerar­las meras coincidencias, mantenía que constituían la esencia de un nuevo e importante principio cosmológico, que bautizó como la Hipótesis de los Grandes Números: "Dos cualesquiera de los números muy grandes sin dimensiones que ocurren en la natu­raleza estarán conectados por una relación matemática simple en la que los coeficientes son del orden de mag­nitud de la unidad".

A partir de este principio, Dirac concluía fácilmente -yen forma muy discutible- que la "constante" gra­vitacional G es inversamente pro­porcional a la edad del universo , y por tanto ha de estar disminuyendo con­tinuamente con el tiempo cósmico.

Hacia 1938 Dirac había derivado diversas consecuencias empírica­mente contrastables de la Hipótesis de los Grandes Números, y había bos­quejado su propio modelo de universo, basado en ese principio. Pero la mayo­ría de los físicos y astrónomos -que comenzaban a estar muy molestos por ese planteamiento racionalista de la cosmología- desecharon sus ideas. Sólo décadas más tarde, en los años setenta, volvería Dirac a ocu­parse de la cosmología, principal­mente a partir de su teoría original. Defendió su Hi pótesis de los Grandes N úmeros y su predicción de una cons­tante gravitacional variable, contra las objeciones basadas en observa­ciones, e intentó modificar su modelo para acomodarlo a nuevos descubri­mientos, como las microondas de la radiación cósmica de fondo. Sus esfuerzos no llegaron a obtener reco­nocimiento, y se convirtió -en cos­mología como en EDC- en una figura

FENÓMENOS CUÁNTICOS

Predicciones de la raya alfa del hidrógeno

La raya alfa del espectro de hidrógeno ilustra bien los avances de la teoría atómica desde que Niels Bohr la explicara en 1913 como el resultado de

una sola transición cuántica. Cuando experimentos más perfeccionados reve­laron una estructura fina en esa raya, Arnold Sommerfeld combinó la teoría atómica de Bohr con la teoría de la relatividad especial de Einstein para expli­car las componentes de la raya como resultado de transiciones distintas. Los intentos de derivar el resultado de Sommerfeld a partir de la nueva mecá­nica cuántica fracasaron hasta 1928, año en que la teoría del electrón de Dirac logró mostrar que reproducía exactamente la vieja ecuación de Sommerfeld. Medidas ulteriores demostraron una estructura todavía más fina, que recibió justificación teórica en las postrimerías de los años cuarenta, a través de la moderna electrodinámica cuántica de Julian Schwinger, Richard Feynman y Sin-itiro Tomonaga. A Dirac no le gustaba esta nueva teoría, por­que no era, decía, "más que un conjunto de reglas que funcionan", no una verdadera teoría edificada sobre una base "firme y bella".

o C§ ü5 Z llJ 1-Z

BOHR (1913) DIRAC (1928) SCHWINGER-FEYNMAN­TOMONAGA(1947 -48)

FRECUENCIA

distanciada de la corriente central de investigación.

Dirac estaba casado con su trabajo, y sus colegas le habían tenido desde siempre por un solterón empeder­nido. Por eso produjo una enorme sor­presa que en 1937 tomase por esposa a Margit Wigner, hermana del famoso físico húngaro Eugene Wigner. Margit era viuda, con un hijo y una hija de su matrimonio anterior; de Paul tuvo dos niñas. N o es de extrañar que éste permaneciera distanciado de la vida familiar. "Es la ironía de la vida: Paul sufrió terriblemente por parte de su padre y éste había tenido con su fami­lia las mismas dificultades que él", ha escrito Margit. "Paul , aunque no fuera un padre dominante, se man­tuvo excesivamente apartado de sus hijos. Que la historia se repite, es la mayor de las verdades en la familia de Dirac."

Dirac no mostró nunca interés por el arte, la música o la literatura, y rara vez fue al teatro. Las únicas afi­ciones a las que dedicó mucho tiempo eran caminatas por la montaña y via­jes. Era un caminante infatigable, y en las excursiones demostraba con frecuencia una resistencia que asom­braba a los que sólo le conocían de con­gresos y convites. Sus viajes le lle­varon a dar por tres veces la vuelta

al mundo, y escaló algunos de los más altos picos de Europa y América.

E n septiembre de 1969 Dirac seju­biló de su cátedra Lucasiana. Al

año siguiente decidió con Margit tras­ladarse de Inglaterra al templado clima de Florida, donde aceptó un puesto de profesor en la universidad del estado en Tallahassee, ciudad donde falleció en octubre de 1984.

BIBLlOGRAFIA COMPLEMENTARIA

THE HISTORICAL DEVELOPMENT OF QUAN­TUM THEORY , Vol. 4, Parte 1: THE FuN­DAMENT AL EQUATIONS OF QUANTUM ME­CHANICS , 1925-1926. Jagdish Mehra y Helmut Rechenberg. Springer-Verlag , 1982.

PAUL ADRIEN MAURICE DIRAC. R. H. Da­litz y Sir Rudolf Peierls en Biographical Memoirs of Fellows ofthe Royal Society, vol. 32, págs. 137-185; 1986.

REMINISCENCES ABOUT A GREAT PHYSI­CIST: PAUL ADRIEN MAURICE DIRAC. Di­rigido por Behram N. Kursunoglu y Eugene P. Wigner. Cambridge University Press , 1987.

DIRAC: A SCIENTIFIC BIOGRAPHY. Helge Kragh. Cambridge University Press , 1990.

19

l

Cien años de misterios cuánticos La mecánica cuántica cumple cien años combinando éxitos espectaculares con enigmas persistentes

Max Tegmark y John Archibald Wheeler

JUlIO l. _ .. -_ ... -1t" .... ~ .. ' c.QUtll~'

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Ecuación de Schrodinger; interpretación de Copenhague (1926) -­l'l~L U1' tlB &.

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T Planck explica la radiación del cuerpo negro (1900)

-

Teoría de los espectros atómicos

de Bohr (1913) Principio de exclusión

de Pauli (1925)

Predicción de la condensación

de Bose-Einstein (1924)

1920

Principio de indeterminación de Heisenberg (1927)

Ecuación del electrón de Dirac (1928)

Descubrimiento de la superconductividad (1911)

20

LAS BASES de la mecánica cuántica se sentaron entre 1900 y 1926, gracias en buena medida a los siete físicos de la derecha. A lo largo del último siglo, la me­cánica cuántica no sólo nos ha permitido ahondar en nuestra comprensión de la naturaleza, si­no que nos ha proporcionado también numerosas aplicacio­nes técnicas. Pero quedan por resolver algunos enigmas funda­mentales.

MAXPLANCK (1858- 1947)

Artículo del gato de Schrodinger;

artículo de Einstein, Podolsky y Rosen sobre el realismo

local (1935)

Descubrimiento de la superfluidez (1938)

ALBERT EINSTEIN (1879- 1955)

Electrodinámica cuántica y renormalización

(1948)

NIELSBOHR (1885-1962)

TEMAS 31

" E n unos pocos años habre­mos determinado con una buena aproximación las

grandes constantes de la física, y .. . la única ocupación de los hombres de ciencia será extender las medidas a un nuevo decimal." Recién llegados al siglo XXI, en plena celebración de los logros anteriores, estas palabras resultan familiares. Pero la frase fue pronunciada por James Clerk Max­well en 1871, en la clase magistral que impartió con motivo de su incor­poración a la Universidad de Cam­bridge; expresaba el sentir común por aquel entonces (aunque él no lo

Interpretación de la onda piloto de Bohm (1952)

Interpretación de estado relativo o de muchos

universos (1957)

• •

Teorema de Bell sobre variables ocultas locales

(1964)

• •• , Invención del láser (1960)

Teoría de la superconductividad

(1957)

compartiera). Treinta años después, el 14 de diciembre de 1900, Max Planck anunció su fórmula para el espectro del cuerpo negro y dio así el disparo de salida de la revolución cuántica.

Abordamos aquí los primeros cien años de la mecánica cuántica, pres­tando especial atención alIado mis­terioso de la teoría, para culminar en el debate abierto sobre cuestiones que van de la computación cuántica a la naturaleza misma de la realidad física, pasando por la conciencia y los universos paralelos . Nos sorprende­ríamos de la cantidad asombrosa de

aplicaciones científicas y prácticas de la mecánica cuántica. Alrededor del 30 % del producto interior bruto de los Estados Unidos depende de inventos basados en la mecánica cuán­tica; por citar algunos: semiconduc­tores de los chips de los ordenadores, láser de los lectores de discos com­pactos o aparatos de formación de imágenes por resonancia magnética de los hospitales .

En 1871, los científicos tenían bue­nas razones para sentirse optimis­tas. La mecánica clásica y la elec­trodinámica habían impulsado la revolución industrial, y sus ecuacio-

. ,,~.~ \ ., ~i.~;

Descubrimiento del quark cima

(1995)

Efecto Hall cuántico fraccionario (1982)

1970

Descubrimiento del leptón tau (1975)

Unificación electrodébil (1973)

, \ -1:

Teoría delteletransporte cuántico (1993)

Superconductores de altas temperaturas

(1987)

Refutación experimental de las variables ocultas locales (1982)

Descubrimiento de condensados Bose-Einstein (1995)

Teoría de aforo (gauge) de Yang-Mills (1954)

Teoría de la decoherencia (1970)

LOUIS DE BROGLIE (1892-1987)

FENÓMENOS CUÁNTICOS

ERWIN SCHRODINGER (1887-1961)

MAXBORN (1882-1970)

WERNER HEISENBERG (1901-1976)

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Naipes cuánticos. La caída del naipe da pie a un misterio cuántico

Según la física cuántica, un naipe ideal en equilibrio perfecto sobre uno de sus bordes caerá en ambos

sentidos a la vez; es lo que se conoce como superposición. La función de onda cuántica del naipe (azu~ varía conti­nuamente, sin saltos, desde el estado de equilibrio (izquierda) hasta el misterioso estado final (derecha), en el cual parece que el naipe esté en dos lugares a la vez. Aunque el expe­rimento no es factible con un naipe real, se han puesto de

manifiesto situaciones análogas en ocasiones innumera­bles con electrones, átomos y objetos mayores. Uno de los retos más persistentes y fundamentales de la mecánica cuán­tica consiste en comprender el significado de tales super­posiciones y saber por qué no las vemos nunca en el mundo que nos rodea. A lo largo de varias décadas, los investi­gadores han desarrollado diversas ideas para resolver este enigma, entre las que se cuentan las interpretaciones riva­les de Copenhague y de los muchos universos, sobre la fun­ción de onda, y la teoría de la decoherencia.

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nes fundamentales parecían bastar para describir todas las propiedades de los sistemas físicos. Algunos de­talles insignificantes empañaban la imagen. Así, el espectro calculado pa­ra la luz emitida por un objeto incan­descente no coincidía con las obser­vaciones. La predicción clásica se conocía como la catástrofe ultravio­leta, porque según ella una intensa radiación ultravioleta, acompañada de rayos X, debería cegarnos al con­templar el elemento incandescente de una estufa.

El desastre del hidrógeno

En su artículo de 1900 Planck con­siguió deducir el espectro correc­

to. Mas, para ello, hubo de introducir una hipótesis tan extraña, que estuvo años sin creer realmente en ella: toda la energía se emitía en cantidades discretas, o cuantos. Esta enigmáti­ca hipótesis resultó ser acertada.

En 1905 Albert Einstein avanzó un paso más, al proponer que la radia­ción sólo podía transportar energía en pequeños paquetes, o "fotones", y explicar de esta manera el efecto foto­eléctrico, gracias al cual funcionan hoy las baterías solares y los sensores de imagen de las cámaras digitales .

La física volvió a pasar apuros en 1911. Ernest Rutherford argumentó de manera convincente que los áto-

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mos consistían en electrones que orbi­taban en torno a un núcleo dotado de carga positiva, a la manera de un sis­tema solar en miniatura. Según la teoría electromagnética, sin embargo, los electrones en órbita emitirían radiación continuamente y se preci­pitarían sobre el núcleo en una billo­nésima de segundo. Pero los átomos de hidrógeno eran muy estables. Tal discrepancia representa el error cuan­titativo más grave de toda la histo­ria de la física, ya que estima a la baja la vida media del hidrógeno en unos 40 órdenes de magnitud.

En 1913 Niels Bohr, que había ido a la Universidad de Manchester para trabajar con Rutherford, dio con una explicación que nuevamente impli­caba a los cuantos. Postuló que el mo­mento angular de los electrones sólo podía tomar ciertos valores defini­dos, que confinarían a los electrones en un conjunto discreto de órbitas. Los electrones sólo podrían emitir ener­gía saltando a una órbita inferior y emitiendo un fotón. Al alcanzar la ór­bita más cercana al núcleo, el elec­trón no tenía donde saltar y se for­maba un átomo estable.

La teoría de Bohr daba cuenta tam­bién de muchas de las líneas espec­trales del hidrógeno, es decir, las fre­cuencias específicas de la luz emitida por los átomos excitados . La teoría

funcionaba con el átomo de helio, pero sólo si se ignoraba uno de sus dos electrones. De vuelta a Copenhague, Bohr recibió una carta de Rutherford que le instaba a publicar sus resul­tados, pero el danés respondió que nadie le creería a menos que expli­cara el espectro de todos los elemen­tos. Rutherford insistió que, si expli­caba el hidrógeno y el helio, el resto no plantearía problemas.

Pese a los éxitos de la idea de los cuantos, los físicos todavía no sabían qué pensar de estas reglas extrañas y aparentemente arbitrarias. En 1923, Louis de Broglie propuso una respues­ta en su tesis doctoral: los electrones y otras partículas actúan como ondas estacionarias, ondas que, cual vibra­ciones de una cuerda de guitarra, adoptan ciertas frecuencias discretas (cuantizadas). La idea se salía tanto de lo normal, que el tribunal de tesis tuvo que recabar la ayuda de Einstein, que emitió un informe favorable.

En noviembre de 1925 Erwin Schrti­dinger dio un seminario en Zurich sobre el trabajo de De Broglie. Al ter­minar, Peter Debye le preguntó que, tratándose de ondas, dónde estaba la ecuación de ondas. Schrtidinger dedujo entonces la ecuación que lleva su nombre, donde se encierra la llave de buena parte de la física moderna, al tiempo que Max Born, Pascual

TEMAS 31

J ordan y Werner Heisenberg propo­nían una formulación matricial equi­valente. Gracias a esta sólida fun­damentación matemática, la teoría cuántica realizó progresos espec­taculares . En pocos años, los físicos explicaron multitud de resultados experimentales, desde los espectros de átomos más complicados hasta las propiedades de las reacciones quí­micas. Pero seguía sin saberse qué era esa "función de ondas" que veri­ficaba la ecuación de Schrbdinger. Es el interrogante central de la mecánica cuántica, que permanece abierto .

A Born se le ocurrió que la función de onda podía interpretarse en clave probabilista. Cuando los físicos expe­rimentales miden la posición de un electrón, la probabilidad de hallarlo en una región determinada depende de la magnitud de la función de onda en esa región. Esta interpretación concedía al azar un papel funda­mental en las leyes de la naturaleza, una conclusión que inquietaba pro­fundamente a Einstein, quien expresó su preferencia por un universo deter­minista con la célebre frase "N o puedo creer que Dios juegue a los dados".

Gatos curiosos y naipes cuánticos

Tampoco Schrbdinger se sentía sa­tisfecho. Las funciones de onda

podían describir combinaciones de distintos estados, las llamadas super­posiciones. Un electrón, por ejemplo, podía estar en una superposición de distintas posiciones. Para Schrbdin­ger, si los átomos y otros cuerpos mi­croscópicos podían estar en extrañas superposiciones, por qué no iban a estarlo los objetos macroscópicos, hechos de átomos. E ideó un ejemplo rebuscado: el famoso experimento mental en el que un dispositivo per­verso acaba con un gato si un átomo radiactivo se desintegra. Puesto que el átomo radiactivo se halla en una superposición de desintegrado y no desintegrado, produce un gato que está a la vez vivo y muerto, en super­posición.

El recuadro "Naipes cuánticos" muestra una variante sencilla de este experimento mental. Consiste en tomar un naipe con un borde impe­cable y colocarlo en equilibrio sobre una mesa. Según la física clásica, el naipe permanecerá en equilibrio inde­finidamente. Según la ecuación de Schrbdinger, caerá a los pocos segun­dos aunque esté perfectamente equi­librado, y lo hará en ambos sentidos, a derecha y a izquierda, en superpo­sición.

Si acometiéramos ese experimento

FENÓMENOS CUÁNTICOS

ideal con un naipe de verdad, con­cluiríamos sin duda que la física clá­sica está equivocada y que el naipe cae; siempre lo veríamos caer al azar a la derecha o a la izquierda, nunca en ambos sentidos a la vez, como pre­tende la ecuación de Schrbdinger. Semejante contradicción aparente está relacionada con uno de los mis­terios originales y más persistentes de la mecánica cuántica.

La interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica, que se fra­guó en los intercambios que mantu­vieron Bohr y Heisenberg a finales de los años ve in te del siglo xx, aborda este misterio a partir del carácter especial de las observaciones o las mediciones. Mientras no observamos el naipe en equilibrio, su función de onda evoluciona de acuerdo con la ecuación de Schrbdinger; se trata de una evolución continua y gradual que recibe el nombre matemático de "uni­taria" y que tiene diversas propie­dades interesantes. La evolución uni­taria produce la superposición en la cual el naipe ha caído tanto a la iz­quierda como a la derecha, pero el acto de observarlo provoca un cambio brusco en la función de onda, lo que se conoce como un "colapso": el obser­vador ve el naipe en un estado clá­sico determinado (cara ar riba o cara abajo) y a partir de ese momento sólo subsiste la parte correspondiente de la función de onda. Es como si la natu-

raleza seleccionara un estado al azar, de acuerdo con las probabilidades que determina la función de onda.

La interpretación de Copenhague permitió calcular en detalle, con sor­prendente eficacia, el resultado de los experimentos, pero no eliminó la sospecha de que alguna ecuación debía describir cuándo y cómo se pro­duciría el colapso de la función de onda. Para muchos físicos, el no dis­poner de esta ecuación significaba que la mecánica cuántica era intrín­secamente defectuosa, y que pronto la sustituiría una teoría más funda­mental que incluiría dicha ecuación. Por ello, en lugar de debatir las impli­caciones ontológicas de las ecuacio­nes, la mayoría de los físicos se dedicó a desarrollar las numerosas aplica­ciones de la teoría y a ocuparse de los problemas acuciantes que planteaba la física nuclear.

Este enfoque pragmático cosechó grandes éxitos. La mecánica cuán­tica permitió predecir la antimateria, comprender la radiactividad (y los fundamentos de la energía nuclear), dar cuenta del comportamiento de los semiconductores y explicar la superconductividad, amén de des­cribir las interacciones entre la luz y la materia (que llevó a la invención del láser) o entre las ondas de radio y el núcleo (que condujo a la forma­ción de imágenes por resonancia mag­nética nuclear). Muchos de los éxitos

La interpretación de Copenhague IDEA: Los observadores ven un resultado aleatorio; la probabilidad viene dada por la función de onda. VENTAJAS: Sólo se da un resultado, que coincide con lo que observamos. INCONVENIENTES: Precisa el "colapso" de la función de onda, pero ninguna ecua­ción especifica cuándo se producirá.

Cuando se mide o se observa una superposición cuántica , vemos al azar una u otra de las dos alternativas , con probabilidades que vienen dadas

por la función de onda. Si una persona ha apostado que el naipe caerá cara arriba, la primera vez que lo mira tiene un 50 % de pOSibilidades de alegrarse por haber ganado la apuesta. Esta interpretación ha sido aceptada en la prác­tica por los físicos durante mucho tiempo, pese a que exige un cambio brusco o colapso de la función de onda que contradice la ecuación de Schrbdinger.

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Interpretación de los muchos universos

IDEA: Las superposiciones aparecerán como universos alternativos paralelos a sus habitantes. VENTAJAS: La ecuación de Schródinger se cumple siempre; la función de onda no se colapsa jamás. INCONVENIENTES: Idea arriesgada que todavía plantea problemas de carácter técnico.

1111 4/4 3/4 2/4 1/4 0/4

Si las funciones de onda nunca se colapsan , la ecua­ción de Schródinger predice que la persona que con­

templa la superposición del naipe entrará en una super­posición de dos posibles resultados : ganar o perder la apuesta . Estas dos partes de la función de onda total (de la persona y del naipe) evolucionan independientemente, como dos mundos paralelos. Si se repite el experimento muchas veces , la gente que habita la mayoría de los uni­versos paralelos verá que el naipe cae hacia arriba apro­ximadamente la mitad de las veces .

PROBABILIDADES DE GANAR SI SE DEJAN CAER CUATRO NAIPES

Los naipes apilados de la derecha muestran los 16 universos que genera el dejar caer un naipe cuatro veces.

LAURIE GRACE

de la mecánica cuántica implican a su extensión, la teoría cuántica de campos, que se halla en la base de la física de las partículas elementales desde sus orígenes hasta los actua­les experimentos con las oscilaciones de neutrinos y la búsqueda de la par­tícula Higgs y la supersimetría.

Muchos universos

Amediados del siglo pasado era evidente que los sucesivos éxi­

tos de la mecánica cuántica no podían ser fruto de una teoría provisional e improvisada. En el ecuador de los años cincuenta, un alumno de la Uni­versidad de Princeton, Hugh Eve­rett III, decidió dedicar su tesis docto­ral a revisar el postulado del colapso. Everett llevó las ideas cuánticas al límite al plantearse qué pasaría si la evolución temporal del universo en­tero fuera siempre unitaria . Después de todo, si la mecánica cuántica bas­tara para describir el universo, el estado actual del universo estaría representado por una función de onda (una función extraordinariamente complicada). Según el planteamiento de Everett, tal función de onda evo­lucionaría siempre de forma deter­minista , excluyendo todo desplome misterioso no unitario o la posibili­dad de que Dios juegue a los dados.

24

+

En lugar de desplomarse por las mediciones, las superposiciones mi­croscópicas se amplificarían vertigi­nosamente en complicadas superpo­siciones macroscópicas. Nuestro naipe estaría realmente en dos lugares a la vez. Además, una persona que lo con­templara entraría en una superposi­ción de dos estados mentales distin­tos, cada uno de los cuales percibiría uno de los dos resultados. Si hubié­ramos apostado que el naipe caería cara arriba, acabaríamos en una su­perposición de alegría y desengaño. Everett intuyó genialmente que los observadores de este universo cuán­tico, determinista pero esquizofréni­co, percibirían la realidad con la que estamos familiarizados y, lo que es más importante, percibirían que el azar aparente obedece las reglas de probabilidad correctas (véase el recua­dro "Interpretación de los muchos universos").

Al punto de vista de Everett se le conoce en la academia por formula­ción de estado relativo. Más famosa es su denominación popular de "inter­pretación de los muchos universos" de la mecánica cuántica; en efecto, en su seno cada componente de la super­posición del observador percibe su propio universo. La formulación de Everett simplifica la teoría subyacen-

te porque elimina el postulado del co­lapso, pero a un precio elevado: el que le lleva a la conclusión de que todas estas percepciones paralelas de la realidad son igualmente reales.

El trabajo de Everett pasó sin pena ni gloria durante cerca de veinte años. Muchos físicos seguían confiando en el advenimiento de una teoría fun­damental que mostraría que el mundo es, después de todo, clásico, y que en él no caben absurdos como el de la bilocación de un objeto grande. Pero una nueva serie de experimentos dio al traste con estas esperanzas.

¿No podría sustituirse la aparente aleatoriedad cuántica por algún tipo de variable desconocida propia de las partículas (las variables ocultas)? John S. Bell, físico teórico del CERN, mostró que en tal caso las magnitu­des que se podían medir en ciertos experimentos de difícil realización, mostrarían una discrepancia inevi­table con las predicciones estándar de la mecánica cuántica. Muchos años después, la técnica permitió ejecutar los experimentos y eliminar, así, la posibilidad de la existencia de varia­bles ocultas.

U no de nosotros (Wheeler) propuso en 1978 un experimento de "selec­ción diferida" (delayed choice). Reali­zado con éxito en 1984, mostró otro

TEMAS 31

Decoherencia: el cuanto se hace clásico

IDEA: La menor interacción con el ambiente hace que se disipe rápidamente el peculiar carácter cuántico de las superposiciones. VENTAJAS: Contrastable experimentalmente. Explica por qué el mundo en torno parece "clásico" y no cuántico. ADVERTENCIA: La decoherencia no elimina por completo la necesidad de adoptar una interpretación, ya sea la de Copenhague o la de los muchos universos.

La indeterminación de una superposición cuántica (izquierda) es distinta de la incertidumbre de la proba­

bilidad clásica, como la que se da al lanzar una moneda (derecha) . Un objeto matemático denominado matriz de den­sidad ilustra la distinción . La función de onda del naipe cuán­tico se corresponde con una matriz de densidad con cua­tro máximos. Dos de estos máximos representan la

Cara arriba

INDETERMINACION CUANTICA

SUPERPOSICION COHERENTE

Interferencia

Cara abajo

La teoría de la decoherencia muestra que la menor interacción con el entorno, como la colisión de un fotón o una molécula de gas, transforma rápidamente una matriz de densidad coherente en una matriz de den-

probabilidad (50 %) de cada resultado , cara arriba o cara abajo. Los otros dos indican que estos dos resultados pue­den , en principio , obstruirse entre sí. El estado cuántico todavía es "coherente". La matriz de densidad de un lan­zamiento de moneda sólo tiene dos máximos , lo que sig­nifica, por convención , que la moneda está realmente cara arriba o cara abajo, aunque no la hayamos mirado aún.

INCERTIDUMBRE CLASICA

~

LANZAMIENTO DE MONEDA

sidad que, a todos los efectos, representa las proba­bilidades clásicas como las de un lanzamiento de moneda. La ecuación de Schrodinger controla el pro­ceso entero.

DECOHERENCIA Cara arriba Cara abajo

" OM _

Interacción en el entorno

CUANTICO CLASICO

FENÓMENOS CUÁNTICOS 25

Dividir la realidad

Resulta instructivo dividir el universo en tres partes: el objeto consi­derado, el entorno y el estado cuántico del observador, o sujeto. La ecua­

ción de Schrbdinger que rige el universo en su totalidad puede dividirse en términos que describen la dinámica interna de cada uno de los tres subsis­temas y términos que exponen las interacciones entre ellos. Estos términos ejercen efectos muy distintos desde el punto de vista cualitativo.

El término que describe la dinámica del objeto suele ser el más importante; por ello, para saber qué hará el objeto, los teóricos pueden empezar igno­rando el resto de los términos . En el caso de nuestro naipe cuántico, su diná­mica predice que caerá a derecha e izquierda en superposición. Cuando nues­tro observador mira al naipe, la interacción entre sujeto y objeto extiende la superposición a su estado mental, produciendo una superposición de ale­gría y tristeza por haber ganado y perdido la apuesta. Pero el observador nunca percibe esta superposición, porque la interacción entre el objeto y el entorno (que incluye el choque de las moléculas de aire o los fotones con­tra el naipe) conduce rápidamente a una decoherencia que hace que la super­posición no pueda observarse.

Aun en el caso de que nuestro observador consiguiera aislar completa­mente al naipe de su entorno (por ejemplo, haciendo el experimento en una cámara oscura en el cero absoluto de temperatura) las cosas no serían muy distintas. Por lo menos una neurona del nervio óptico entraría en una super­posición de activarse o no activarse cuando el observador mirara el naipe; los cálculos recientes cifran en 10-20 segundos el tiempo en que la decohe­rencia haría mella en esta superposición. A poco que los complejos proce­sos de excitación de las neuronas de nuestro cerebro tengan que ver con la conciencia y con la formación de nuestro pensamiento y percepciones, la decoherencia de las neuronas garantizará que nunca percibiremos una super­posición cuántica de estados mentales. En esencia, nuestros cerebros rela­cionan inextricablemente sujeto y entorno, imponiéndonos la decoherencia.

~ SUJETO

OBJETO

aspecto cuántico de la realidad que desafía la descripción clásica: no sólo puede un fotón estar en dos lugares a la vez, sino que los experimenta­dores pueden escoger tras el experi­mento si el fotón estaba en los dos sitios o sólo en uno.

El sencillo experimento de inter­ferencia de la doble rendija, en el que luz o electrones pasan a través de dos rendijas y producen un patrón de interferencia, y que Richard Feynman ensalzó como la madre de todos los efectos cuánticos, fue repetido con

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éxito con objetos cada vez mayores: átomos, pequeñas moléculas y, recien­temente, buckybolas de 60 átomos. Tras este logro, el grupo de Anton Zeilinger en Viena comenzó a plan­tear la posibilidad de realizar el expe­rimento con un virus. El veredicto experimental es inapelable: nos guste o no, la rareza del universo cuántico es real.

La censura cuántica: la de coherencia

L os progresos experimentales de las últimas décadas se acompa­

ñaron de notables avances en la com­prensión teórica. El trabajo de Eve­rett había dejado sin responder dos cuestiones cruciales. A tenor de la pri­mera, si el mundo contiene realmente extrañas superposiciones macroscó­picas, ¿por qué no las percibimos?

La respuesta la aportó en 1970 H. Dieter Zeh, de la Universidad de Heidelberg, en un artículo seminal. Mostraba que la propia ecuación de Schrodinger comportaba decohe­rencia, cierta forma de censura. Así vino en designarse tal fenómeno por­que de la superposición ideal prís­tina se predica la coherencia. El con­cepto de decoherencia sería depurado por Wojciech H. Zureck, Zeh y otros en las décadas siguientes. Hallaron que las superposiciones coherentes sólo persisten mientras permanecen ocultas al resto del mundo. Nuestro naipe cuántico recibe constante­mente el impacto de moléculas de aire y fotones que comprueban si ha caído hacia la derecha o hacia la izquierda, destruyendo ("decohesio­nando") la superposición y hurtán­dola a la observación (véase el recua­dro "Decoherencia: el cuanto se hace clásico").

Es como si el entorno sustituyera al observador, provocando el hundi­miento de la función de onda. Su­pongamos que una persona mirara al naipe sin decirnos de qué lado ha caído . Según la interpretación de Copenhague, su medida fuerza la superposición en un resultado deter­minado, y nuestra mejor descripción del naipe pasa de una superposición cuántica a una representación clá­sica de nuestra ignorancia de lo que aquella persona vio. Los cálculos de la decoherencia muestran, pues, que no es precisa la intervención de un observador humano (o el colapso ex­plícito de la función de onda) para obtener prácticamente el mismo efecto; bastaría con una molécula de aire que rebotara en el naipe caído. A efectos prácticos, una interacción ínfima torna la superposición en una

TEMAS 31

situación clásica, en un abrir y cerrar de ojos.

La de coherencia explica por qué no solemos ver las superposiciones cuánticas en el mundo que nos rodea. N o se debe a que la mecánica cuán­tica se ciña, por principio, a objetos mayores que cierta talla mágica, sino a la cuasiimposibilidad de mantener aislados los objetos macroscópicos como los gatos o los naipes en el grado necesario para evitar la decoheren­cia. Los objetos microscópicos, en cam­bio, pueden ser aislados de su entorno para que retengan su comportamiento cuántico.

La segunda pregunta sin respuesta planteada por Everett, más sutil aun­que de igual importancia, inquiría por el mecanismo que selecciona los estados clásicos (cara arriba y cara

. abajo, en el caso del naipe). Si los consideramos estados cuánticos abs­tractos, no tienen nada de particular, comparados con las innumerables superposiciones posibles de arriba y abajo en distintas proporciones. ¿Por qué respetan los muchos universos la separación estricta entre arriba y abajo con la que estamos familiari­zados, y nunca otras alternativas? La de coherencia responde también a esta cuestión, ya que los cálculos muestran que los estados clásicos como arriba y abajo son precisamente los más resistentes a la decoheren­cia. Con otras palabras, las interac­ciones con el entorno no afectarían a los naipes cara arriba o cara abajo, pero harían que toda superposición de arriba y abajo desembocara en una de las dos alternativas clásicas .

La decoherencia y el cerebro

De lejos les viene a los físicos su tendencia a analizar el universo

dividiéndolo en dos partes. En ter­modinámica, los teóricos separan un cuerpo material de todo cuanto le rodea (el "ambiente"), que propor­ciona las condiciones prevalentes de temperatura y presión. Tradicional­mente la física cuántica separa del aparato de medición clásico el sis­tema cuántico. Si se toman en serio la unitariedad y la decoherencia, resulta instructivo dividir el universo en tres partes descritas por sendos estados cuánticos: el objeto conside­rado, el ambiente y el observador, o sujeto (véase el recuadro "Dividir la realidad").

La de coherencia causada por la interacción entre el ambiente y el objeto o el sujeto es la responsable de que nunca percibamos una superpo­sición cuántica de estados mentales.

FENÓMENOS CUÁNTICOS

Además, nuestros cerebros están inex­tricablemente ligados con el ambien­te , de forma que la decoherencia de las neuronas excitadas es inevitable y esencialmente instantánea. Como ha hecho notar Zeh, estas conclusio­nes justifican el que en los libros de texto se use el postulado del colapso de la función de onda como una receta práctica que recomienda "callar y cal­cular": se deben calcular las proba­bilidades como si la función de onda se desplomara cuando observamos el objeto. Pese a que, según Everett, la función de onda no llega nunca a hun­dirse, los investigadores están de acuerdo en que la de coherencia pro­duce un efecto que tiene el mismo aspecto que un "colapso".

El descubrimiento de la decohe­rencia, junto con los experimentos cada vez más refinados que ponen de manifiesto las perplejidades cuánti­cas, no han dejado indiferentes a los físicos. La principal motivación para la introducción de la noción de colapso de la función de onda era explicar por qué los experimentos producían resultados determinados y no extra­ñas superposiciones de resultados. Esta motivación ha dejado de exis­tir. Además, llama la atención que nadie haya sugerido una ecuación determinista contrastable que espe­cifique con exactitud el momento en que se supone debe producirse el colapso.

De una encuesta informal reali­zada enjulio de 1999 durante un con­greso sobre computación cuántica en el Instituto Isaac Newton de Cam­bridge se desprende que la percepción de los físicos está cambiando. De los 90 físicos encuestados, sólo ocho decla­raro n que su punto de vista implicaba el colapso explícito de la función de onda. Treinta prefirieron "muchos universos o historias consistentes (sin colapso)". (A grandes rasgos, el enfoque de historias consistentes ana­liza secuencias de medidas y reúne grupos de resultados alternativos que formarían una historia "consistente" para un observador. )

Pero la imagen resultante no es clara: 50 de los investigadores res­pondieron "ninguna de las anteriores o indeciso". Puede que la confusión lingüística reinante haya contribuido a un número tan alto. No es raro encontrar dos físicos que afirman subscribir la interpretación de Co­penhague y discrepan, sin embargo, en qué entender por tal.

Dicho esto, la encuesta plantea sin ambages la necesidad de poner al día los manuales de mecánica cuántica. Aunque estos libros incluyan, sin

excepclOn, en uno de los primeros capítulos el colapso no unitario como un postulado fundamental, la en­cuesta sugiere que muchos físicos (especialmente los cada vez más numerosos que se dedican a la com­putación cuántica) no toman este pos­tulado en serio. La noción de colapso seguirá siendo útil como receta de cálculo, pero una advertencia adicio­nal de que probablemente no se trata de un proceso fundamental que viola la ecuación de Schrbdinger ahorra­ría muchas horas de confusión a los estudiantes más avispados.

Mirando al futuro

Tras 100 años de ideas cuánticas, ¿qué nos depara el futuro? ¿Qué

misterios quedan por resolver? ¿Qué hemos de pensar o hacer con los cuan­tos? Aunque las cuestiones relacio­nadas con la ontología y la natura­leza última de la realidad aparecen recurrente mente en los debates sobre la interpretación de la mecánica cuán­tica, puede que la teoría no sea sino una de las piezas del rompecabezas. Podemos agrupar las teorías en árbo­les genealógicos de forma que , al menos en principio, cada una de ellas esté basada en las teorías más fun­damentales que la preceden. Muy en lo alto del árbol hallamos la teoría de la relatividad general y la teoría cuán­tica de campos. En el siguiente nivel aparecen la relatividad especial y la mecánica cuántica, que a su vez com­prenden el electromagnetismo, la me­cánica clásica, la física atómica, etc. Disciplinas como la informática, la psicología o la medicina aparecen en las ramas inferiores.

Todas estas teorías tienen dos com­ponentes: las ecuaciones matemáti­cas y la prosa que explican la rela­ción entre ecuaciones y observación experimental. La mecánica cuántica enseñada en los manuales presenta ambos componentes: algunas ecua­ciones y tres postulados fundamen­tales enunciados con palabras del lenguaje ordinario. En cada nivel de la jerarquía de teorías se introducen nuevos conceptos (por ejemplo, pro­tones , átomos, células, organismos, culturas) porque son convenientes y porque captan la esencia de los fenó­menos, sin tener que recurrir a las teorías de niveles superiores. La pro­porción entre ecuaciones y prosa decrece a medida que descendemos por el árbol de teorías , y aquéllas ter­minan por desaparecer llegados a la medicina o la sociología. Las teorías de la copa del árbol, en cambio, están fuertemente matematizadas, y los físicos siguen esforzándose por com-

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COLABORADORES DE ESTE NUMERO Asesoramiento y traducción:

Manuel García Doncel: Heisenberg, imprecisión y revolución cuántica y Dirac y la belleza de lafísica; Xavier Roqué: Cien años de misterios cuánticos; Ramón Pascual: Reglas para un mundo cuántico complejo, Trampa de láser para partículas neutras, Puntos cuánticos y Electrodinámica cuántica en cavidades; Ma Victoria Gracia: Computación cuántica con moléculas; Juan Pedro Campos: Teletransporte cuántico, El límite clásico del átomo y El condensado de Bose-Einstein; Julio A. Alonso: El láser monoatómico

Portada: Ian W orpole

INVESTIGACION y CIENCIA DIlRECTORGENERAL José M.a Valderas Gallardo DIRECTORA FINANCIERA Pilar Bronchal Garfella EDICIONES Juan Pedro Campos Gómez PRODUCCIÓN M.a Cruz Iglesias Capón

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prender los conceptos codificados en las fórmulas que utilizan.

El objetivo último de la física es dar con lo que popularmente se conoce como una teoría del todo, a partir de la cual se deduzca el resto . De exis­tir una teoría así, ocuparía el lugar más alto del árbol genealógico, lo que querría decir que tanto la teoría de la relatividad general como la teoría cuántica de campos se deducirían de ella. Los físicos echamos de menos algo en lo alto del árbol, porque care­cemos de una teoría consistente que incluya la gravedad y la mecánica cuántica, mientras que el universo contiene ambos fenómenos.

U na teoría del todo puede que no debiera contener ningún concepto, ya que de otro modo nos veríamos obligados a buscar una explicación para esos conceptos en términos de una teoría más fundamental, y así sucesivamente en un proceso sin fin . En otras palabras, la teoría debería ser pura matemática y no incluir explicaciones ni postulados. Un ma­temático infinitamente inteligen­te podría deducir todo el árbol ge­nealógico de teorías a partir de las ecuaciones, e inferir así las propie­dades del universo que estas ecua­ciones describen, junto con las pro­piedades de sus habitantes y sus percepciones del mundo.

El primer siglo de mecánica cuán­tica nos ha regalado técnicas muy poderosas y ha contestado a muchas preguntas. Pero la física ha plantea­do nuevas cuestiones tan importan­tes como las que preocupaban a Maxwell cuando impartió su lección inaugural, cuestiones relacionadas con la gravedad cuántica y con la naturaleza última de la realidad. Si la historia nos enseña algo, la cen­turia que iniciamos nos deparará más de una sorpresa.

BIBLlOGRAFIA COMPLEMENTARIA

ONE HUNDRED YEARS OF QUANTUM PHY­SICS. Daniel Kleppner y Roman Jackiw, en Science , vol. 289,págs . 893-898; 11 de agosto de 2000.

BEAM LINE. Número especial dedicado al siglo cuántico. Volumen 30, número 2 (ve­ran%toño 2000). Disponible en la red en www .slac .stanford.edu/pubs/beamline/ pdf/OOii.pdf.

MAX PLANCK: THE RELUCTANT REVOLU­TIONARY. Helge Kragh, en Physics World , vol. 13, n.o 12, págs . 31-35; diciembre de 2000.

THE QUANTUM CENTENNIAL. A. Zeilinger, en Nature, vol. 408 , págs. 639-641; 7 de diciembre de 2000.

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